Úvod

Keď sme začali študovať stereometrické obrazce, dotkli sme sa témy „Pyramída“. Táto téma sa nám páčila, pretože pyramída sa veľmi často používa v architektúre. A keďže naša budúca profesia architekta, inšpirovaná touto postavou, si myslíme, že nás dokáže postrčiť k skvelým projektom.

Sila architektonických štruktúr, ich najdôležitejšia kvalita. Spojením pevnosti, po prvé, s materiálmi, z ktorých sú vytvorené, a po druhé, s vlastnosťami dizajnových riešení sa ukazuje, že pevnosť konštrukcie priamo súvisí s geometrickým tvarom, ktorý je pre ňu základ.

Inými slovami, hovoríme o geometrickom útvare, ktorý možno považovať za model zodpovedajúceho architektonického tvaru. Ukazuje sa, že geometrický tvar určuje aj silu architektonickej štruktúry.

Egyptské pyramídy boli dlho považované za najodolnejšiu architektonickú stavbu. Ako viete, majú tvar pravidelných štvoruholníkových pyramíd.

Práve tento geometrický tvar poskytuje najväčšiu stabilitu vďaka veľkej základnej ploche. Na druhej strane tvar pyramídy zabezpečuje, že so zvyšovaním výšky nad zemou sa hmotnosť zmenšuje. Práve tieto dve vlastnosti robia pyramídu stabilnou, a teda silnou v podmienkach gravitácie.

Cieľ projektu: dozvedieť sa niečo nové o pyramídach, prehĺbiť vedomosti a nájsť praktické aplikácie.

Na dosiahnutie tohto cieľa bolo potrebné vyriešiť nasledujúce úlohy:

Získajte historické informácie o pyramíde

Zvážte pyramídu ako geometrický útvar

Nájsť uplatnenie v živote a architektúre

Nájdite podobnosti a rozdiely medzi pyramídami nachádzajúcimi sa v rôznych častiach sveta

Teoretická časť

Historické informácie

Začiatok geometrie pyramídy bol položený v starovekom Egypte a Babylone, ale aktívne sa rozvíjal v starovekom Grécku. Prvý, kto zistil, čomu sa rovná objem pyramídy, bol Demokritos a Eudoxus z Knidu to dokázal. Staroveký grécky matematik Euclid systematizoval poznatky o pyramíde v XII zväzku svojich „Začiatkov“ a priniesol aj prvú definíciu pyramídy: telesnú postavu ohraničenú rovinami, ktoré sa zbiehajú z jednej roviny v jednom bode.

Hrobky egyptských faraónov. Najväčšie z nich - pyramídy Cheops, Khafre a Mikerin v El Gíze v staroveku boli považované za jeden zo siedmich divov sveta. Postavenie pyramídy, v ktorej už Gréci a Rimania videli pomník nebývalej pýchy kráľov a krutosti, ktorá odsúdila celý Egypt k nezmyselnej výstavbe, bola najdôležitejším kultovým činom a mala zrejme vyjadrovať mystickú identitu krajiny a jej vládcu. Obyvateľstvo krajiny pracovalo na stavbe hrobky v časti roka bez poľnohospodárskych prác. O pozornosti a starostlivosti, ktorú samotní králi (hoci neskoršej doby) venovali stavbe svojej hrobky a jej staviteľom, svedčí množstvo textov. Je tiež známe o špeciálnych kultových poctách, ktoré sa ukázali ako samotná pyramída.

Základné pojmy

Pyramída Nazýva sa mnohosten, ktorého základňou je mnohouholník a zvyšné plochy sú trojuholníky so spoločným vrcholom.

Apothem- výška bočnej steny pravidelnej pyramídy, vedená od jej vrcholu;

Bočné plochy- trojuholníky zbiehajúce sa hore;

Bočné rebrá- spoločné strany bočných plôch;

vrchol pyramídy- bod spájajúci bočné okraje a neležiaci v rovine základne;

Výška- úsečka kolmice vedená cez vrchol pyramídy do roviny jej základne (konce tohto úsečky sú vrchol pyramídy a základňa kolmice);

Diagonálny rez pyramídy- rez pyramídy prechádzajúci vrcholom a uhlopriečkou podstavy;

Základňa- mnohouholník, ktorý nepatrí k vrcholu pyramídy.

Hlavné vlastnosti správnej pyramídy

Bočné okraje, bočné plochy a apotémy sú rovnaké.

Dihedrálne uhly na základni sú rovnaké.

Dihedrálne uhly na bočných okrajoch sú rovnaké.

Každý výškový bod je rovnako vzdialený od všetkých základných vrcholov.

Každý výškový bod je rovnako vzdialený od všetkých bočných plôch.

Základné pyramídové vzorce

Plocha bočného a celého povrchu pyramídy.

Plocha bočnej plochy pyramídy (plná a zrezaná) je súčtom plôch všetkých jej bočných plôch, celková plocha je súčtom plôch všetkých jej plôch.

Veta: Plocha bočného povrchu pravidelnej pyramídy sa rovná polovici súčinu obvodu základne a apotému pyramídy.

p- obvod základne;

h- apotéma.

Plocha bočných a úplných plôch zrezanej pyramídy.

p1, s 2 - obvody základne;

h- apotéma.

R- celková plocha pravidelnej zrezanej pyramídy;

S strana- plocha bočného povrchu pravidelnej zrezanej pyramídy;

S1 + S2- základná plocha

Objem pyramídy

Formulár Objemová stupnica sa používa pre pyramídy akéhokoľvek druhu.

H je výška pyramídy.

Uhly pyramídy

Uhly, ktoré sú tvorené bočnou stenou a základňou pyramídy, sa nazývajú dihedrálne uhly v základni pyramídy.

Dihedrálny uhol tvoria dve kolmice.

Na určenie tohto uhla je často potrebné použiť vetu o troch kolmiach.

Nazývajú sa uhly, ktoré tvorí bočná hrana a jej priemet do roviny podstavy uhly medzi bočnou hranou a rovinou základne.

Uhol tvorený dvoma bočnými plochami sa nazýva dihedrálny uhol na bočnom okraji pyramídy.

Uhol, ktorý tvoria dve bočné hrany jednej strany pyramídy, sa nazýva tzv rohu na vrchole pyramídy.

Časti pyramídy

Povrch pyramídy je povrchom mnohostenu. Každá z jej stien je rovina, takže rez pyramídy daný sečnou rovinou je prerušovaná čiara pozostávajúca zo samostatných priamych čiar.

Diagonálny rez

Rez pyramídy rovinou prechádzajúcou dvoma bočnými hranami, ktoré neležia na rovnakej ploche, sa nazýva diagonálny rez pyramídy.

Paralelné úseky

Veta:

Ak pyramídu pretína rovina rovnobežná so základňou, potom sú bočné hrany a výšky pyramídy rozdelené touto rovinou na proporcionálne časti;

Rez tejto roviny je mnohouholník podobný základni;

Plochy sekcie a základne sú vo vzájomnom vzťahu ako druhé mocniny ich vzdialeností od vrcholu.

Druhy pyramíd

Správna pyramída- pyramída, ktorej základňa je pravidelný mnohouholník a vrchol pyramídy sa premieta do stredu základne.

V správnej pyramíde:

1. bočné rebrá sú rovnaké

2. bočné plochy sú rovnaké

3. apotémy sú si rovné

4. Dihedrálne uhly na základni sú rovnaké

5. Dihedrálne uhly na bočných okrajoch sú rovnaké

6. každý výškový bod je rovnako vzdialený od všetkých základných vrcholov

7. každý výškový bod je rovnako vzdialený od všetkých bočných plôch

Zrezaná pyramída- časť pyramídy uzavretá medzi základňou a rovinou rezu rovnobežnou so základňou.

Základňa a zodpovedajúca časť zrezanej pyramídy sa nazývajú základy zrezanej pyramídy.

Nazýva sa kolmica vedená z akéhokoľvek bodu jednej základne k rovine druhej výška zrezanej pyramídy.

Úlohy

č. 1 V pravidelnom štvorhrannom ihlane je bod O stred podstavy, SO=8 cm, BD=30 cm Nájdite bočnú hranu SA.

Riešenie problémov

č. 1 V pravidelnej pyramíde sú všetky steny a hrany rovnaké.

Zoberme si OSB: OSB-obdĺžnikový obdĺžnik, pretože.

SB 2 \u003d SO 2 + OB 2

SB2=64+225=289

Pyramída v architektúre

Pyramída - monumentálna stavba vo forme obyčajnej pravidelnej geometrickej pyramídy, v ktorej sa strany zbiehajú v jednom bode. Podľa funkčného účelu boli pyramídy v staroveku miestom pochovávania alebo uctievania. Základňa pyramídy môže byť trojuholníková, štvoruholníková alebo mnohouholníková s ľubovoľným počtom vrcholov, ale najbežnejšou verziou je štvoruholníková základňa.

Je známe značné množstvo pyramíd, ktoré postavili rôzne kultúry starovekého sveta, najmä ako chrámy alebo pamiatky. Najväčšie pyramídy sú egyptské pyramídy.

Po celej Zemi môžete vidieť architektonické štruktúry v podobe pyramíd. Budovy pyramíd pripomínajú dávne časy a vyzerajú veľmi krásne.

Egyptské pyramídy sú najväčšími architektonickými pamiatkami starovekého Egypta, medzi ktorými je jedným zo „siedmich divov sveta“ Cheopsova pyramída. Od úpätia po vrchol dosahuje 137,3 m a pred stratou vrcholu bola jeho výška 146,7 m.

Budova rozhlasu v hlavnom meste Slovenska, pripomínajúca obrátenú pyramídu, bola postavená v roku 1983. Okrem kancelárií a obslužných priestorov sa vo vnútri zväzku nachádza pomerne priestranná koncertná sála, ktorá má jeden z najväčších organov na Slovensku. .

Louvre, ktorý „je tichý a majestátny ako pyramída“, prešiel v priebehu storočí mnohými zmenami, kým sa stal najväčším múzeom na svete. Zrodila sa ako pevnosť, ktorú dal postaviť Filip Augustus v roku 1190 a ktorá sa čoskoro zmenila na kráľovskú rezidenciu. V roku 1793 sa palác stal múzeom. Zbierky sa obohacujú prostredníctvom odkazov alebo nákupov.

Naďalej zvažujeme úlohy zahrnuté v skúške z matematiky. Už sme študovali problémy, kde je daná podmienka a je potrebné nájsť vzdialenosť medzi dvoma danými bodmi alebo uhol.

Pyramída je mnohosten, ktorého základňou je mnohouholník, ostatné steny sú trojuholníky a majú spoločný vrchol.

Pravidelná pyramída je pyramída, na základni ktorej leží pravidelný mnohouholník a jej vrchol sa premieta do stredu základne.

Pravidelný štvorhranný ihlan - podstavou je štvorec Vrchol ihlana sa premieta do priesečníka uhlopriečok podstavy (štvorca).

ML - apotém
∠MLO - dihedrálny uhol na základni pyramídy
∠MCO - uhol medzi bočnou hranou a rovinou základne pyramídy

V tomto článku zvážime úlohy na riešenie správnej pyramídy. Je potrebné nájsť akýkoľvek prvok, bočnú plochu, objem, výšku. Samozrejme, musíte poznať Pytagorovu vetu, vzorec pre oblasť bočného povrchu pyramídy, vzorec na nájdenie objemu pyramídy.

V článku « » sú uvedené vzorce, ktoré sú potrebné na riešenie problémov v stereometrii. Takže úlohy sú:

SABCD bodka O- základný stredS vrchol, SO = 51, AC= 136. Nájdite bočnú hranuSC.

V tomto prípade je základom štvorec. To znamená, že uhlopriečky AC a BD sú rovnaké, pretínajú sa a sú rozpoltené priesečníkom. Všimnite si, že v pravidelnej pyramíde výška znížená z jej vrcholu prechádza stredom základne pyramídy. Takže SO je výška a trojuholníkSOCpravouhlý. Potom podľa Pytagorovej vety:

Ako odkoreniť veľké číslo.

odpoveď: 85

Rozhodnite sa sami:

V pravidelnej štvorhrannej pyramíde SABCD bodka O- základný stred S vrchol, SO = 4, AC= 6. Nájdite bočnú hranu SC.

V pravidelnej štvorhrannej pyramíde SABCD bodka O- základný stred S vrchol, SC = 5, AC= 6. Nájdite dĺžku segmentu SO.

V pravidelnej štvorhrannej pyramíde SABCD bodka O- základný stred S vrchol, SO = 4, SC= 5. Nájdite dĺžku segmentu AC.

SABC R- stred rebra pred Kr, S- vrchná časť. To je známe AB= 7 a SR= 16. Nájdite plochu bočného povrchu.

Plocha bočného povrchu pravidelnej trojuholníkovej pyramídy sa rovná polovici súčinu obvodu základne a apotému (apotém je výška bočnej plochy pravidelnej pyramídy nakreslenej z jej vrcholu):

Alebo môžete povedať toto: plocha bočného povrchu pyramídy sa rovná súčtu plôch troch bočných stien. Bočné steny v pravidelnej trojuholníkovej pyramíde sú trojuholníky rovnakej plochy. V tomto prípade:

odpoveď: 168

Rozhodnite sa sami:

V pravidelnej trojuholníkovej pyramíde SABC R- stred rebra pred Kr, S- vrchná časť. To je známe AB= 1 a SR= 2. Nájdite plochu bočného povrchu.

V pravidelnej trojuholníkovej pyramíde SABC R- stred rebra pred Kr, S- vrchná časť. To je známe AB= 1 a plocha bočného povrchu je 3. Nájdite dĺžku segmentu SR.

V pravidelnej trojuholníkovej pyramíde SABC L- stred rebra pred Kr, S- vrchná časť. To je známe SL= 2 a plocha bočného povrchu je 3. Nájdite dĺžku segmentu AB.

V pravidelnej trojuholníkovej pyramíde SABC M. Oblasť trojuholníka ABC je 25, objem pyramídy je 100. Nájdite dĺžku segmentu PANI.

Základňa pyramídy je rovnostranný trojuholník. Takže Mje stred základne aPANI- výška pravidelnej pyramídySABC. Objem pyramídy SABC rovná sa: kontrola riešenia

V pravidelnej trojuholníkovej pyramíde SABC základné mediány sa pretínajú v bode M. Oblasť trojuholníka ABC je 3, PANI= 1. Nájdite objem pyramídy.

V pravidelnej trojuholníkovej pyramíde SABC základné mediány sa pretínajú v bode M. Objem pyramídy je 1, PANI= 1. Nájdite obsah trojuholníka ABC.

Skončime s týmto. Ako vidíte, úlohy sa riešia v jednom alebo dvoch krokoch. V budúcnosti s vami zvážime ďalšie problémy z tejto časti, kde sú uvedené orgány revolúcie, nenechajte si to ujsť!

Prajem ti úspech!

S pozdravom Alexander Krutitskikh.

P.S: Bol by som vďačný, keby ste o stránke povedali na sociálnych sieťach.

Študenti sa stretávajú s pojmom pyramída dávno pred štúdiom geometrie. Obviňujte slávne veľké egyptské divy sveta. Preto si väčšina študentov už pri začatí štúdia tohto nádherného mnohostenu jasne predstavuje. Všetky vyššie uvedené mieridlá sú v správnom tvare. Čo pravá pyramída a aké vlastnosti má a o ktorých sa bude ďalej diskutovať.

V kontakte s

Definícia

Existuje mnoho definícií pyramídy. Od dávnych čias bol veľmi populárny.

Napríklad Euclid to definoval ako pevnú postavu pozostávajúcu z rovín, ktoré sa začínajúc od jednej zbiehajú v určitom bode.

Heron poskytol presnejšiu formuláciu. Trval na tom, že ide o postavu, ktorá má základňu a roviny v tvare trojuholníkov, zbiehajúce sa v jednom bode.

Na základe modernej interpretácie je pyramída prezentovaná ako priestorový mnohosten, pozostávajúci z určitého k-uholníka a k plochých trojuholníkových útvarov, ktoré majú jeden spoločný bod.

Pozrime sa bližšie, Z akých prvkov pozostáva?

• k-uholník sa považuje za základ obrázku;
• 3-uholníkové postavy vyčnievajú ako boky bočnej časti;
• horná časť, z ktorej pochádzajú bočné prvky, sa nazýva vrchol;
• všetky segmenty spájajúce vrchol sa nazývajú hrany;
• ak je priamka spustená zhora do roviny obrázku pod uhlom 90 stupňov, potom jej časť uzavretá vo vnútornom priestore je výškou pyramídy;
• v ktoromkoľvek bočnom prvku na stranu nášho mnohostenu môžete nakresliť kolmicu nazývanú apotém.

Počet hrán sa vypočíta pomocou vzorca 2*k, kde k je počet strán k-uholníka. Koľko stien má mnohosten, ako je pyramída, sa dá určiť výrazom k + 1.

Dôležité! Ihlan pravidelného tvaru je stereometrický útvar, ktorého základná rovina je k-uholník s rovnakými stranami.

Základné vlastnosti

Správna pyramída má veľa vlastností ktoré sú pre ňu jedinečné. Poďme si ich vymenovať:

1. Základom je postava správneho tvaru.
2. Okraje pyramídy, obmedzujúce bočné prvky, majú rovnaké číselné hodnoty.
3. Bočné prvky sú rovnoramenné trojuholníky.
4. Základňa výšky postavy spadá do stredu mnohouholníka, pričom je súčasne stredovým bodom vpísaného a opísaného.
5. Všetky bočné rebrá sú naklonené k základnej rovine pod rovnakým uhlom.
6. Všetky bočné plochy majú rovnaký uhol sklonu vzhľadom na základňu.

Vďaka všetkým uvedeným vlastnostiam je výkon výpočtov prvkov výrazne zjednodušený. Na základe vyššie uvedených vlastností venujeme pozornosť dva znaky:

1. V prípade, že mnohouholník zapadá do kruhu, bočné strany budú mať rovnaké uhly so základňou.
2. Pri opise kruhu okolo mnohouholníka budú mať všetky okraje pyramídy vychádzajúce z vrcholu rovnakú dĺžku a rovnaké uhly so základňou.

Námestie je založené

Pravidelná štvorhranná pyramída - mnohosten založený na štvorci.

Má štyri bočné strany, ktoré majú rovnoramenný vzhľad.

V rovine je znázornený štvorec, ale sú založené na všetkých vlastnostiach pravidelného štvoruholníka.

Napríklad, ak je potrebné spojiť stranu štvorca s jeho uhlopriečkou, potom sa použije nasledujúci vzorec: uhlopriečka sa rovná súčinu strany štvorca a druhej odmocniny z dvoch.

Na základe pravidelného trojuholníka

Pravidelný trojuholníkový ihlan je mnohosten, ktorého základňa je pravidelný 3-uholník.

Ak je základňa pravidelný trojuholník a bočné okraje sa rovnajú okrajom základne, potom je to také číslo nazývaný štvorsten.

Všetky strany štvorstenu sú rovnostranné 3-uholníky. V tomto prípade musíte poznať niektoré body a nestrácať čas pri výpočte:

• uhol sklonu rebier k akejkoľvek základni je 60 stupňov;
• hodnota všetkých vnútorných plôch je tiež 60 stupňov;
• ako základ môže pôsobiť akákoľvek tvár;
• nakreslené vo vnútri obrázku sú rovnaké prvky.

Úseky mnohostenu

V každom mnohostene sú niekoľko typov sekcií lietadlo. Na kurze školskej geometrie často pracujú s dvoma:

• axiálne;
• paralelný základ.

Osový rez sa získa pretínaním mnohostenu s rovinou, ktorá prechádza cez vrchol, bočné hrany a os. V tomto prípade je osou výška nakreslená od vrcholu. Rovina rezu je obmedzená priesečníkmi so všetkými plochami, výsledkom čoho je trojuholník.

Pozor! V pravidelnej pyramíde je axiálnym rezom rovnoramenný trojuholník.

Ak rovina rezu prebieha rovnobežne so základňou, výsledkom je druhá možnosť. V tomto prípade máme v kontexte postavu podobnú základni.

Napríklad, ak je základňa štvorec, potom časť rovnobežná so základňou bude tiež štvorec, len s menšou veľkosťou.

Pri riešení problémov za tejto podmienky sa používajú znaky a vlastnosti podobnosti obrázkov, na základe Thalesovej vety. V prvom rade je potrebné určiť koeficient podobnosti.

Ak je rovina nakreslená rovnobežne so základňou a odreže hornú časť mnohostenu, v spodnej časti sa získa pravidelná zrezaná pyramída. Potom sa hovorí, že základne skráteného mnohostenu sú podobné mnohouholníky. V tomto prípade sú bočné steny rovnoramenné lichobežníky. Axiálny rez je tiež rovnoramenný.

Na určenie výšky zrezaného mnohostenu je potrebné nakresliť výšku v osovom reze, to znamená v lichobežníku.

Plochy povrchu

Hlavné geometrické problémy, ktoré je potrebné vyriešiť v školskom kurze geometrie, sú zistenie povrchu a objemu pyramídy.

Existujú dva typy povrchovej plochy:

• plocha bočných prvkov;
• celú plochu povrchu.

Už z názvu je jasné, o čo ide. Bočný povrch obsahuje iba bočné prvky. Z toho vyplýva, že na jeho nájdenie stačí sčítať plochy bočných rovín, teda plochy rovnoramenných 3-uholníkov. Pokúsme sa odvodiť vzorec pre oblasť bočných prvkov:

1. Plocha rovnoramenného 3-uholníka je Str=1/2(aL), kde a je strana základne, L je apotém.
2. Počet bočných rovín závisí od typu k-uholníka na základni. Napríklad pravidelná štvorhranná pyramída má štyri bočné roviny. Preto je potrebné sčítať plochy štyroch číslic Sstrana=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L . Výraz je takto zjednodušený, pretože hodnota 4a=POS, kde POS je obvod základne. A výraz 1/2 * Rosn je jeho polobvod.
3. Dospeli sme teda k záveru, že plocha bočných prvkov pravidelnej pyramídy sa rovná súčinu polobvodu základne a apotému: Sside \u003d Rosn * L.

Plocha celého povrchu pyramídy pozostáva zo súčtu plôch bočných rovín a základne: Sp.p. = Sside + Sbase.

Pokiaľ ide o oblasť základne, tu sa vzorec používa podľa typu polygónu.

Objem pravidelnej pyramídy sa rovná súčinu plochy základnej roviny a výšky delenej tromi: V=1/3*Sbase*H, kde H je výška mnohostenu.

Čo je pravidelná pyramída v geometrii

Vlastnosti pravidelnej štvorhrannej pyramídy

Pyramída. Zrezaná pyramída

Pyramída sa nazýva mnohosten, ktorého jedna strana je mnohouholník ( základňu ) a všetky ostatné plochy sú trojuholníky so spoločným vrcholom ( bočné steny ) (obr. 15). Pyramída je tzv správne , ak je jeho základňa pravidelný mnohouholník a vrchol pyramídy sa premieta do stredu základne (obr. 16). Trojuholníková pyramída, v ktorej sú všetky hrany rovnaké, sa nazýva štvorsten .

Bočné rebro pyramída sa nazýva strana bočnej steny, ktorá nepatrí k základni Výška pyramída je vzdialenosť od jej vrcholu k rovine základne. Všetky bočné hrany pravidelnej pyramídy sú si navzájom rovné, všetky bočné strany sú rovnaké rovnoramenné trojuholníky. Výška bočnej plochy pravidelnej pyramídy vytiahnutej z vrcholu sa nazýva apotéma . diagonálny rez Časť pyramídy sa nazýva rovina prechádzajúca dvoma bočnými hranami, ktoré nepatria k tej istej ploche.

Bočná plocha povrchu pyramída sa nazýva súčet plôch všetkých bočných plôch. Celá plocha je súčet plôch všetkých bočných plôch a základne.

Vety

1. Ak sú v pyramíde všetky bočné hrany rovnako naklonené k rovine podstavy, potom sa vrchol pyramídy premieta do stredu opísanej kružnice blízko podstavy.

2. Ak v pyramíde majú všetky bočné hrany rovnakú dĺžku, potom sa vrchol pyramídy premieta do stredu opísanej kružnice blízko základne.

3. Ak sú v pyramíde všetky steny rovnako naklonené k rovine základne, potom sa vrchol pyramídy premieta do stredu kruhu vpísaného do základne.

Na výpočet objemu ľubovoľnej pyramídy je vzorec správny:

kde V- objem;

S hlavná- základná plocha;

H je výška pyramídy.

Pre pravidelnú pyramídu platia nasledujúce vzorce:

kde p- obvod základne;

h a- apotéma;

H- výška;

S plný

S strana

S hlavná- základná plocha;

V je objem pravidelnej pyramídy.

zrezaná pyramída nazývaná časť pyramídy uzavretá medzi základňou a reznou rovinou rovnobežnou so základňou pyramídy (obr. 17). Správna zrezaná pyramída nazývaná časť pravidelnej pyramídy, uzavretá medzi základňou a reznou rovinou rovnobežnou so základňou pyramídy.

základy zrezaná pyramída - podobné mnohouholníky. Bočné plochy - lichobežník. Výška zrezaná pyramída sa nazýva vzdialenosť medzi jej základňami. Uhlopriečka Zrezaný ihlan je segment spájajúci jeho vrcholy, ktoré neležia na rovnakej ploche. diagonálny rez Úsek zrezaného ihlana sa nazýva rovina prechádzajúca dvoma bočnými hranami, ktoré nepatria k tej istej ploche.

Pre skrátenú pyramídu platia tieto vzorce:

(4)

kde S 1 , S 2 - oblasti hornej a dolnej základne;

S plný je celková plocha povrchu;

S strana je plocha bočného povrchu;

H- výška;

V je objem zrezanej pyramídy.

Pre pravidelnú skrátenú pyramídu platí nasledujúci vzorec:

kde p 1 , p 2 - obvody základne;

h a- apotém pravidelnej zrezanej pyramídy.

Príklad 1 V pravidelnej trojuholníkovej pyramíde je dihedrálny uhol pri základni 60º. Nájdite dotyčnicu uhla sklonu bočnej hrany k rovine základne.

rozhodnutie. Urobme si nákres (obr. 18).

Pyramída je pravidelná, čo znamená, že základňa je rovnostranný trojuholník a všetky bočné strany sú rovnaké rovnoramenné trojuholníky. Dihedrálny uhol pri základni je uhol sklonu bočnej steny pyramídy k rovine základne. Lineárny uhol bude uhol a medzi dvoma kolmicami: t.j. Vrch pyramídy sa premieta do stredu trojuholníka (stred opísanej kružnice a kružnice vpísanej v trojuholníku ABC). Uhol sklonu bočného rebra (napr SB) je uhol medzi samotnou hranou a jej priemetom do základnej roviny. Pre rebro SB tento uhol bude uhol SBD. Ak chcete nájsť dotyčnicu, musíte poznať nohy SO a OB. Nechajte dĺžku segmentu BD je 3 a. bodka Oúsečka BD sa delí na časti: a Od nachádzame SO: Z toho nájdeme:

odpoveď:

Príklad 2 Nájdite objem pravidelného zrezaného štvorbokého ihlana, ak uhlopriečky jeho podstav sú cm a cm a výška je 4 cm.

rozhodnutie. Na zistenie objemu zrezanej pyramídy použijeme vzorec (4). Ak chcete nájsť oblasti základní, musíte nájsť strany základných štvorcov a poznať ich uhlopriečky. Strany podstavy sú 2 cm a 8 cm. To znamená plochy podstav a Nahradením všetkých údajov do vzorca vypočítame objem zrezanej pyramídy:

odpoveď: 112 cm3.

Príklad 3 Nájdite plochu bočnej steny pravidelného trojuholníkového zrezaného ihlana, ktorého strany základne sú 10 cm a 4 cm a výška pyramídy je 2 cm.

rozhodnutie. Urobme si nákres (obr. 19).

Bočná strana tejto pyramídy je rovnoramenný lichobežník. Na výpočet plochy lichobežníka potrebujete poznať základy a výšku. Základy sú dané stavom, neznáma zostáva len výška. Nájdite to odkiaľ ALE 1 E kolmo od bodu ALE 1 v rovine spodnej základne, A 1 D- kolmý od ALE 1 na AC. ALE 1 E\u003d 2 cm, pretože toto je výška pyramídy. Na nájdenie DE urobíme dodatočný výkres, na ktorom znázorníme pohľad zhora (obr. 20). Bodka O- priemet stredov hornej a dolnej podstavy. keďže (pozri obr. 20) a Na druhej strane OK je polomer vpísanej kružnice a OM je polomer vpísanej kružnice:

MK=DE.

Podľa Pytagorovej vety z

Oblasť bočnej tváre:

odpoveď:

Príklad 4 Na základni pyramídy leží rovnoramenný lichobežník, ktorého základne a a b (a> b). Každá bočná plocha zviera uhol rovný rovine základne pyramídy j. Nájdite celkovú plochu pyramídy.

rozhodnutie. Urobme si nákres (obr. 21). Celková plocha pyramídy SABCD sa rovná súčtu plôch a plochy lichobežníka A B C D.

Použime tvrdenie, že ak sú všetky steny pyramídy rovnako naklonené k rovine podstavy, potom sa vrchol premieta do stredu kružnice vpísanej do podstavy. Bodka O- vrcholová projekcia S na základni pyramídy. Trojuholník SOD je ortogonálny priemet trojuholníka CSD do základnej roviny. Podľa vety o oblasti ortogonálnej projekcie plochej postavy dostaneme:

Podobne to znamená Problém sa teda zmenšil na nájdenie oblasti lichobežníka A B C D. Nakreslite lichobežník A B C D samostatne (obr. 22). Bodka O je stred kružnice vpísanej do lichobežníka.

Pretože kruh môže byť vpísaný do lichobežníka, potom alebo Podľa Pytagorovej vety máme

Video lekcia 2: Pyramídová výzva. Objem pyramídy

Video lekcia 3: Pyramídová výzva. Správna pyramída

Prednáška: Pyramída, jej základňa, bočné hrany, výška, bočná plocha; trojuholníková pyramída; pravá pyramída

Pyramída, jej vlastnosti

Pyramída- Toto je trojrozmerné teleso, ktoré má na základni mnohouholník a všetky jeho strany pozostávajú z trojuholníkov.

Špeciálnym prípadom pyramídy je kužeľ, na ktorého základni leží kruh.

Zvážte hlavné prvky pyramídy:

Apothem je segment, ktorý spája vrchol pyramídy so stredom spodného okraja bočnej steny. Inými slovami, toto je výška tváre pyramídy.

Na obrázku vidíte trojuholníky ADS, ABS, BCS, CDS. Ak sa dobre pozriete na názvy, môžete vidieť, že každý trojuholník má vo svojom názve jedno spoločné písmeno - S. To znamená, že všetky bočné steny (trojuholníky) sa zbiehajú v jednom bode, ktorý sa nazýva vrchol pyramídy.

Úsečka OS, ktorá spája vrchol s priesečníkom uhlopriečok základne (v prípade trojuholníkov s priesečníkom výšok), sa nazýva tzv. výška pyramídy.

Diagonálny rez je rovina, ktorá prechádza vrcholom pyramídy, ako aj jednou z uhlopriečok základne.

Keďže bočná plocha pyramídy pozostáva z trojuholníkov, na nájdenie celkovej plochy bočnej plochy je potrebné nájsť plochy každej plochy a pridať ich. Počet a tvar plôch závisí od tvaru a veľkosti strán mnohouholníka, ktorý leží na základni.

Jediná rovina v pyramíde, ktorá nemá vrchol, je tzv základ pyramídy.

Na obrázku vidíme, že základňou je rovnobežník, môže však existovať ľubovoľný mnohouholník.

Vlastnosti:

Zoberme si prvý prípad pyramídy, v ktorej má hrany rovnakej dĺžky:

• Okolo základne takejto pyramídy možno opísať kruh. Ak premietnete vrchol takejto pyramídy, jej projekcia bude umiestnená v strede kruhu.
• Uhly na základni pyramídy sú rovnaké pre každú tvár.
• Zároveň za dostatočnú podmienku toho, že okolo základne pyramídy možno opísať kruh a tiež, že všetky hrany majú rôznu dĺžku, možno považovať rovnaké uhly medzi základňou a každou hranou plôch. .

Ak narazíte na pyramídu, v ktorej sú uhly medzi bočnými stenami a základňou rovnaké, potom platia nasledujúce vlastnosti:

• Budete vedieť opísať kruh okolo základne pyramídy, ktorej vrchol sa premieta presne do stredu.
• Ak nakreslíte na každej strane výšku k základni, budú mať rovnakú dĺžku.
• Na nájdenie bočného povrchu takejto pyramídy stačí nájsť obvod základne a vynásobiť ho polovicou dĺžky.
• Sbp \u003d 0,5 P oc H.
• Druhy pyramíd.
• V závislosti od toho, ktorý mnohouholník leží na základni pyramídy, môžu byť trojuholníkové, štvoruholníkové atď. Ak pravidelný mnohouholník (s rovnakými stranami) leží na základni pyramídy, potom sa takáto pyramída bude nazývať pravidelná.

Pravidelná trojuholníková pyramída