Pri dokazovaní vlastností limity funkcie sme dbali na to, aby sa od prepichnutých oblastí, v ktorých boli naše funkcie definované a ktoré vznikli pri dokazovaní, skutočne nič nevyžadovalo, okrem vlastností uvedených v úvode predchádzajúceho odseku. 2. Táto okolnosť slúži ako odôvodnenie na vyčlenenie nasledujúceho matematického objektu.

a. Základňa; definícia a hlavné príklady

Definícia 11. Množinu B podmnožín množiny X budeme nazývať bázou v množine X, ak sú splnené dve podmienky:

Inými slovami, prvky kolekcie B sú neprázdne množiny a priesečník ktorýchkoľvek dvoch z nich obsahuje nejaký prvok z tej istej kolekcie.

Uveďme niektoré z najčastejšie používaných báz pri analýze.

Ak potom namiesto toho napíšu a povedia, že x smeruje k a sprava alebo zo strany veľkých hodnôt (respektíve zľava alebo zo strany menších hodnôt). Keď sa namiesto toho prijme krátky záznam

Položka sa použije namiesto položky Znamená to, že a; smeruje cez množinu E k a, pričom zostáva väčšia (menšia) ako a.

potom namiesto toho napíšu a povedia, že x smeruje k plus nekonečnu (resp. k mínus nekonečnu).

Namiesto toho sa použije notácia

Keď namiesto my (ak to nevedie k nedorozumeniu) napíšeme, ako je zvykom v teórii limity postupnosti,

Všimnite si, že všetky uvedené základne majú tú vlastnosť, že priesečník ľubovoľných dvoch prvkov základne je sám osebe prvkom tejto základne a nielen obsahuje nejaký prvok základne. S ďalšími základmi sa stretneme pri štúdiu funkcií, ktoré nie sú dané na reálnej osi.

Všimli sme si tiež, že výraz „základ“, ktorý sa tu používa, je krátkym označením toho, čo sa v matematike nazýva „základ filtra“ a nižšie uvedený základný limit je najdôležitejšou súčasťou analýzy konceptu limitu filtra vytvoreného moderným francúzskym matematik A. Cartan

b. Limit základnej funkcie

Definícia 12. Nech je funkcia na množine X; B je základ v X. Číslo sa nazýva limita funkcie vzhľadom na základ B, ak pre ľubovoľné okolie bodu A existuje prvok základne, ktorého obraz je obsiahnutý v okolí.

Ak je A limita funkcie vzhľadom na základ B, tak píšeme

Zopakujme si definíciu limity základňou v logickej symbolike:

Keďže teraz uvažujeme o funkciách s číselnými hodnotami, je užitočné mať na pamäti nasledujúcu formu tejto základnej definície:

V tejto formulácii namiesto ľubovoľného okolia V(A) berieme okolie, ktoré je symetrické (vzhľadom na bod A) (e-okolie). Ekvivalencia týchto definícií pre funkcie s reálnou hodnotou vyplýva zo skutočnosti, že ako už bolo uvedené, každé okolie bodu obsahuje nejaké symetrické okolie toho istého bodu (vykonajte dôkaz v plnom rozsahu!).

Uviedli sme všeobecnú definíciu limity funkcie vzhľadom na základňu. Vyššie uvedené boli považované za príklady najbežnejších báz v analýze. V konkrétnom probléme, kde sa vyskytuje jeden alebo druhý z týchto základov, je potrebné vedieť dešifrovať všeobecnú definíciu a zapísať ju pre konkrétny základ.

Vzhľadom na príklady báz sme zaviedli najmä koncept okolia nekonečna. Ak použijeme tento pojem, potom v súlade so všeobecnou definíciou limitu je rozumné prijať nasledujúce konvencie:

alebo, čo je to isté,

Zvyčajne pomocou malej hodnoty. Vo vyššie uvedených definíciách to tak, samozrejme, nie je. V súlade s prijatými konvenciami môžeme napríklad písať

Aby sme mohli považovať za preukázané vo všeobecnom prípade limity nad ľubovoľnou bázou, všetky tie vety o limitách, ktoré sme dokázali v časti 2 pre špeciálnu bázu, je potrebné uviesť príslušné definície: konečne konštantná, nakoniec ohraničená a nekonečne malý pre danú bázu funkcií.

Definícia 13. Funkcia sa nazýva konečne konštantná na báze B, ak existuje číslo a taký prvok bázy, v ktoromkoľvek bode

V súčasnosti je hlavným prínosom uskutočneného pozorovania a v súvislosti s ním zavedeného konceptu bázy to, že nás ušetria od kontrol a formálnych dôkazov limitných viet pre každý konkrétny typ prechodu na limitu alebo v našej súčasnej terminológii , pre každý konkrétny typ základne

Aby sme si konečne zvykli na pojem limita nad ľubovoľnou bázou, ukážeme si ďalšie vlastnosti limity funkcie vo všeobecnom tvare.

konštantné číslo a volal limit sekvencie(x n ) ak pre ľubovoľne malé kladné čísloε > 0 existuje číslo N také, že všetky hodnoty x n, pre ktoré n>N vyhovujú nerovnici

|x n - a|< ε. (6.1)

Napíšte to takto: alebo x n → a.

Nerovnosť (6.1) je ekvivalentná dvojitej nerovnosti

a-ε< x n < a + ε, (6.2)

čo znamená, že body x n, začínajúc od nejakého čísla n>N, ležia vo vnútri intervalu (a-ε, a + ε ), t.j. spadnúť do akéhokoľvek maléhoε -okolie bodu a.

Zavolá sa postupnosť, ktorá má limit zbiehajúce sa, inak - divergentný.

Pojem limita funkcie je zovšeobecnením pojmu limita postupnosti, keďže limitu postupnosti možno považovať za limitu funkcie x n = f(n) celočíselného argumentu. n.

Nech je daná funkcia f(x) a nech a - limitný bod definičný obor tejto funkcie D(f), t.j. taký bod, ktorého každé okolie obsahuje body množiny D(f) odlišné od a. Bodka a môže alebo nemusí patriť do množiny D(f).

Definícia 1.Konštanta číslo A sa nazýva limit funkcie f(x) pri x→a if pre ľubovoľnú sekvenciu (x n ) hodnôt argumentov a, zodpovedajúce postupnosti (f(x n)) majú rovnakú limitu A.

Táto definícia sa nazýva definovanie limity funkcie podľa Heineho, alebo " v jazyku sekvencií”.

Definícia 2. Konštanta číslo A sa nazýva limit funkcie f(x) pri x→ak je dané ľubovoľne malé kladné číslo ε, možno nájsť také δ>0 (v závislosti od ε), čo pre všetkých X ležať vε-okolia čísla a, t.j. pre X uspokojenie nerovnosti
0 < x-a< ε , hodnoty funkcie f(x) budú ležať vε-okolie čísla A, t.j.|f(x)-A|< ε.

Táto definícia sa nazýva definovanie limity funkcie podľa Cauchyho, alebo “v jazyku ε - δ “.

Definície 1 a 2 sú ekvivalentné. Ak funkcia f(x) ako x →má limit rovná sa A, toto sa píše ako

. (6.3)

V prípade, že postupnosť (f(x n)) rastie (alebo klesá) donekonečna pre akúkoľvek metódu aproximácie X na svoj limit a, potom povieme, že funkcia f(x) má nekonečný limit, a napíš to ako:

Volá sa premenná (t. j. postupnosť alebo funkcia), ktorej limita je nula nekonečne malý.

Volá sa premenná, ktorej limita sa rovná nekonečnu nekonečne veľký.

Na nájdenie limity v praxi použite nasledujúce vety.

Veta 1 . Ak existuje každý limit

(6.4)

(6.5)

(6.6)

Komentujte. Výrazy ako 0/0, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - sú neisté, napríklad pomer dvoch nekonečne malých alebo nekonečne veľkých veličín a nájdenie limitu tohto druhu sa nazýva „zverejnenie neistoty“.

Veta 2. (6.7)

tie. pri konštantnom exponente je možné prejsť na limitu základne stupňa, najmä ;

(6.8)

(6.9)

Veta 3.

(6.10)

(6.11)

kde e » 2.7 je základ prirodzeného logaritmu. Vzorce (6.10) a (6.11) sa nazývajú prvé úžasná hranica a druhý pozoruhodný limit.

Dôsledky vzorca (6.11) sa tiež používajú v praxi:

(6.12)

(6.13)

(6.14)

najmä limit

Ak x → a a zároveň x > a, potom napíš x→a + 0. Ak konkrétne a = 0, potom sa namiesto symbolu 0+0 píše +0. Podobne, ak x→a a zároveň x a-0. čísla a sú podľa toho pomenované. pravý limit a ľavý limit funkcie f(x) v bode a. Aby limita funkcie f(x) existovala ako x→a je potrebné a postačujúce pre . Zavolá sa funkcia f(x). nepretržitý v bode x 0 ak limit

. (6.15)

Podmienku (6.15) možno prepísať ako:

,

to znamená, že prechod k limite pod znamienkom funkcie je možný, ak je v danom bode spojitá.

Ak je porušená rovnosť (6.15), hovoríme to pri x = xo funkciu f(x) Má medzera. Uvažujme funkciu y = 1/x. Doménou tejto funkcie je množina R, okrem x = 0. Bod x = 0 je limitným bodom množiny D(f), keďže v ktoromkoľvek jej okolí, t.j. každý otvorený interval obsahujúci bod 0 obsahuje body z D(f), ale sám do tejto množiny nepatrí. Hodnota f(x o)= f(0) nie je definovaná, takže funkcia má v bode x o = 0 diskontinuitu.

Zavolá sa funkcia f(x). súvislý vpravo v bode x o ak limit

,

a súvislý vľavo v bode x o ak limit

.

Spojitosť funkcie v bode x o je ekvivalentná jeho kontinuite v tomto bode vpravo aj vľavo.

Aby bola funkcia spojitá v bode x o, napríklad vpravo je potrebné, aby po prvé existovala konečná limita a po druhé, aby sa táto limita rovnala f(x o). Ak teda nie je splnená aspoň jedna z týchto dvoch podmienok, funkcia bude mať medzeru.

1. Ak limita existuje a nerovná sa f(x o), potom to hovoria funkciu f(x) v bode xo má zlom prvého druhu, alebo skok.

2. Ak je limit+∞ alebo -∞ alebo neexistuje, potom hovoríme, že v bod x o funkcia má prestávku druhý druh.

Napríklad funkcia y = ctg x na x→ +0 má limit rovný +∞, teda v bode x=0 má diskontinuitu druhého druhu. Funkcia y = E(x) (celočíselná časť X) v bodoch s celočíselnými úsečkami má diskontinuity prvého druhu alebo skoky.

Zavolá sa funkcia, ktorá je spojitá v každom bode intervalu nepretržitý v . Spojitá funkcia je reprezentovaná plnou krivkou.

Mnohé problémy spojené s neustálym rastom nejakej veličiny vedú k druhej pozoruhodnej hranici. Medzi takéto úlohy patrí napríklad: rast príspevku podľa zákona zloženého úročenia, rast populácie krajiny, rozpad rádioaktívnej látky, množenie baktérií atď.

Zvážte príklad Ya. I. Perelmana, ktorý dáva výklad čísla e v probléme zloženého úroku. číslo e existuje limit . V sporiteľniach sa k fixnému kapitálu každoročne pridávajú úroky. Ak sa spojenie uskutočňuje častejšie, kapitál rastie rýchlejšie, pretože veľké množstvo sa podieľa na tvorbe úrokov. Vezmime si čisto teoretický, veľmi zjednodušený príklad. Nech banka dá 100 denov. Jednotky vo výške 100 % ročne. Ak sa k fixnému kapitálu pridajú úročené peniaze až po roku, tak do tohto času 100 den. Jednotky sa zmení na 200 den. Teraz sa pozrime, na čo sa 100 brlohov zmení. jednotiek, ak sa k fixnému kapitálu každých šesť mesiacov pridávajú úroky. Po pol roku 100 den. Jednotky dorásť do 100× 1,5 \u003d 150 a po ďalších šiestich mesiacoch - na 150× 1,5 \u003d 225 (den. jednotky). Ak sa pristup robí každú 1/3 roka, tak po roku 100 den. Jednotky premeniť na 100× (1 + 1/3) 3 » 237 (den. jednotky). Zvýšime časový rámec na pridávanie úrokových peňazí na 0,1 roka, 0,01 roka, 0,001 roka atď. Potom zo 100 den. Jednotky o rok neskôr:

100 × (1 + 1/10) 10 » 259 (den. jednotky),

100 × (1+1/100) 100 » 270 (den. jednotky),

100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (den. jednotky).

Pri neobmedzenom znížení podmienok spájania sa akumulovaný kapitál nerastie donekonečna, ale približuje sa k určitej hranici rovnajúcej sa približne 271. Kapitál umiestnený na 100 % ročne sa nemôže zvýšiť viac ako 2,71-násobne, aj keby bol naakumulovaný úrok pridané do hlavného mesta každú sekundu, pretože limit

Príklad 3.1.Pomocou definície limity číselnej postupnosti dokážte, že postupnosť x n =(n-1)/n má limitu rovnajúcu sa 1.

rozhodnutie.Musíme dokázať, že čokoľvekε > 0 berieme, pre to existuje prirodzené číslo N také, že pre všetky n N je nerovnosť|xn-1|< ε.

Vezmite ľubovoľné e > 0. Keďže ; x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, potom na nájdenie N stačí vyriešiť nerovnosť 1/n< e. Preto n>1/e a preto N možno považovať za celú časť 1/ e, N = E(l/e ). Tým sme dokázali, že limit .

Príklad 3.2 . Nájdite limitu postupnosti danej spoločným členom .

rozhodnutie.Použite vetu o limitnom súčte a nájdite limitu každého člena. Pre n→ ∞ Čitateľ a menovateľ každého člena má tendenciu k nekonečnu a nemôžeme priamo použiť vetu o kvocientovej limite. Preto sa najprv transformujeme x n, delením čitateľa a menovateľa prvého členu o n 2 a druhý n. Potom použitím vety o kvociente a vety o limite súčtu zistíme:

.

Príklad 3.3. . Nájsť .

rozhodnutie. .

Tu sme použili limitný teorém stupňa: limita stupňa sa rovná stupňu limity bázy.

Príklad 3.4 . Nájsť ( ).

rozhodnutie.Nie je možné použiť diferenčnú limitnú vetu, pretože máme neurčitosť tvaru ∞-∞ . Transformujme vzorec všeobecného výrazu:

.

Príklad 3.5 . Daná funkcia f(x)=2 1/x . Dokážte, že limit neexistuje.

rozhodnutie.Používame definíciu 1 limity funkcie z hľadiska postupnosti. Vezmite postupnosť ( x n ) konvergujúcu k 0, t.j. Ukážme, že hodnota f(x n)= sa pre rôzne postupnosti správa odlišne. Nech x n = 1/n. Samozrejme, potom limit Vyberme si teraz ako x n postupnosť so spoločným členom x n = -1/n, tiež smerujúca k nule. Preto neexistuje žiadny limit.

Príklad 3.6 . Dokážte, že limit neexistuje.

rozhodnutie.Nech x 1 , x 2 ,..., x n ,... je postupnosť, pre ktorú
. Ako sa postupnosť (f(x n)) = (sin x n ) správa pre rôzne x n → ∞

Ak x n \u003d p n, potom sin x n \u003d sin p n = 0 pre všetky n a limit If
xn=2 p n+ p /2, potom sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 pre všetkých n a teda limit. Takto neexistuje.

Widget na výpočet limitov online

Do horného poľa zadajte namiesto sin(x)/x funkciu, ktorej limit chcete nájsť. Do dolného poľa zadajte číslo, ku ktorému má x tendenciu a kliknite na tlačidlo Výpočet, získajte požadovaný limit. A ak kliknete na Zobraziť kroky v pravom hornom rohu vo výsledkovom okne, dostanete podrobné riešenie.

Pravidlá zadávania funkcií: sqrt(x) – druhá odmocnina, cbrt(x) – odmocnina, exp(x) – exponent, ln(x) – prirodzený logaritmus, sin(x) – sínus, cos(x) – kosínus, tan (x) - tangens, cot(x) - kotangens, arcsin(x) - arcsínus, arccos(x) - arkkozín, arctan(x) - arkustangens. Znaky: * násobenie, / delenie, ^ umocňovanie, namiesto nekonečno Nekonečno. Príklad: funkcia je zadaná ako sqrt(tan(x/2)).

Nech je funkcia y=ƒ(x) definovaná v nejakom okolí bodu x o, snáď okrem samotného bodu x o.

Sformulujme dve ekvivalentné definície limity funkcie v bode.

Definícia 1 (v „jazyku sekvencií“, alebo podľa Heineho).

Číslo A sa nazýva limita funkcie y \u003d ƒ (x) v peci x 0 (alebo pri x® x o), ak pre akúkoľvek postupnosť prípustných hodnôt argumentu x n, n є N (x n ¹ x 0) konvergujúce k x o postupnosť zodpovedajúcich hodnôt funkcie ƒ(х n), n є N, konvergujúca k číslu A

V tomto prípade napíšte
alebo ƒ(x)->A pri x→x o. Geometrický význam limity funkcie: znamená, že pre všetky body x dostatočne blízko bodu x o sa zodpovedajúce hodnoty funkcie líšia ľubovoľne málo od čísla A.

Definícia 2 (v "jazyku ε", alebo po Cauchy).

Číslo A sa nazýva limita funkcie v bode x o (alebo v x→x o), ak pre každé kladné ε existuje kladné číslo δ také, že pre všetky x¹ x o spĺňa nerovnosť |x-x o |<δ, выполняется неравенство |ƒ(х)-А|<ε.

Geometrický význam limitu funkcie:

ak pre ľubovoľné ε-okolie bodu A existuje také δ-okolie bodu x o také, že pre všetky x¹ ho z tohto δ-okolia ležia zodpovedajúce hodnoty funkcie ƒ(x) v ε-okolí bodu A. Inými slovami, body grafu funkcie y = ƒ(x) ležia vo vnútri pásu šírky 2ε ohraničeného priamkami y=A+ ε, y=A-ε (pozri obr. 110) . Je zrejmé, že hodnota δ závisí od výberu ε, preto píšeme δ=δ(ε).

<< Пример 16.1

Dokáž to

Riešenie: Vezmite ľubovoľné ε>0, nájdite δ=δ(ε)>0 také, že pre všetky x spĺňajúce nerovnosť |х-3|< δ, выполняется неравенство |(2х-1)-5|<ε, т. е. |х-3|<ε.

Ak vezmeme δ=ε/2, vidíme, že všetky x spĺňajú nerovnosť |x-3|< δ, выполняется неравенство |(2х-1)-5|<ε. Следовательно, lim(2x-1)=5 при х –>3.

<< Пример 16.2

16.2. Jednostranné limity

V definícii limity funkcie sa uvažuje, že x má akýmkoľvek spôsobom tendenciu k x 0: zostáva menšie ako x 0 (vľavo od x 0), väčšie ako x o (vpravo od x o) alebo kolíše okolo bodu x 0 .

Sú prípady, keď metóda priblíženia argumentu x k xo výrazne ovplyvňuje hodnotu limity funkcie. Preto sa zavádza pojem jednostranné limity.

Číslo A 1 sa nazýva limita funkcie y \u003d ƒ (x) vľavo v bode x o, ak pre ľubovoľné číslo ε> 0 existuje číslo δ \u003d δ (ε)> 0 také, že pre x є (x 0 -δ; x o), nerovnosť |ƒ(x)-A|<ε. Предел слева записывают так: limƒ(х)=А при х–>x 0 -0 alebo krátko: ƒ (x o- 0) \u003d A 1 (Dirichletov zápis) (pozri obr. 111).

Limita funkcie vpravo je definovaná podobne, píšeme ju pomocou symbolov:

V stručnosti, limita vpravo je označená ƒ(x o +0)=A.

Limity funkcie vľavo a vpravo sa nazývajú jednostranné limity. Je zrejmé, že ak existuje, potom existujú obe jednostranné limity a A=A1=A2.

Platí aj opačné tvrdenie: ak existujú obe limity ƒ(x 0 -0) a ƒ(x 0 +0) a sú rovnaké, potom existuje limit a A \u003d ƒ(x 0 -0).

Ak A 1 ¹ A 2, potom táto ulička neexistuje.

16.3. Limit funkcie pri x ® ∞

Nech je funkcia y=ƒ(x) definovaná v intervale (-∞;∞). Volá sa číslo A limit funkcieƒ(x) pri x→ ∞ , ak pre akékoľvek kladné číslo ε existuje také číslo М=М()>0, že pre všetky х spĺňajúce nerovnosť |х|>М nerovnosť |ƒ(х)-А|<ε. Коротко это определение можно записать так:

Geometrický význam tejto definície je nasledujúci: pre "ε>0 $ M>0, že pre x є(-∞; -M) alebo x є(M; +∞) zodpovedajúce hodnoty funkcie ƒ( x) spadajú do ε-okolia bodu A, t.j. body grafu ležia v páse šírky 2ε, ohraničenom priamkami y \u003d A + ε a y \u003d A-ε (pozri obr. 112 ).

16.4. Nekonečne veľká funkcia (b.b.f.)

Funkcia y=ƒ(x) sa nazýva nekonečne veľká pre x→x 0, ak pre ľubovoľné číslo M>0 existuje číslo δ=δ(M)>0, ktoré pre všetky x spĺňa nerovnosť 0<|х-хо|<δ, выполняется неравенство |ƒ(х)|>M.

Napríklad funkcia y=1/(x-2) je b.b.f. pri x->2.

Ak ƒ(x) smeruje k nekonečnu ako x→x o a nadobúda iba kladné hodnoty, potom píšeme

ak len záporné hodnoty, tak

Funkcia y \u003d ƒ (x), uvedená na celej číselnej osi, nazývaný nekonečný pre x→∞, ak pre ľubovoľné číslo M>0 existuje také číslo N=N(M)>0, že pre všetky x spĺňajúce nerovnosť |x|>N je splnená nerovnosť |ƒ(x)|>M . Krátky:

Napríklad y=2x má b.b.f. pri x→∞.

Všimnite si, že ak argument х, smerujúci do nekonečna, nadobúda iba prirodzené hodnoty, t.j. хєN, potom zodpovedajúce b.b.f. sa stáva nekonečne veľkou sekvenciou. Napríklad postupnosť v n = n 2 +1, n є N je nekonečne veľká postupnosť. Je zrejmé, že každý b.b.f. v okolí bodu x o je v tomto okolí neohraničená. Opak nie je pravdou: neobmedzená funkcia nemusí byť b.b.f. (Napríklad y=xsinx.)

Ak však limƒ(x)=A pre x→x 0 , kde A je konečné číslo, potom je funkcia ƒ(x) ohraničená v blízkosti bodu x o.

Z definície limity funkcie totiž vyplýva, že pre x → x 0 platí podmienka |ƒ(x)-A|<ε. Следовательно, А-ε<ƒ(х)<А+ε при х є (х о -ε; х о +ε), а это и означает, что функция ƒ (х) ограничена.

Dnes na lekcii budeme analyzovať prísne sekvenovanie a striktná definícia limity funkcie, ako aj naučiť sa riešiť zodpovedajúce problémy teoretického charakteru. Článok je určený predovšetkým študentom prvého ročníka prírodovedných a technických odborov, ktorí začali študovať teóriu matematickej analýzy a stretli sa s ťažkosťami s pochopením tejto časti vyššej matematiky. Okrem toho je materiál celkom dostupný aj pre stredoškolákov.

Za roky existencie stránky som dostal nevľúdny tucet listov s približne nasledujúcim obsahom: „Nerozumiem dobre matematickej analýze, čo mám robiť?“, „Vôbec nerozumiem matanovi, však“ uvažujem o ukončení štúdia“ atď. V skutočnosti je to matan, kto často preriedi študentskú skupinu už po prvom sedení. Prečo sú veci takéto? Pretože téma je nepredstaviteľne zložitá? Vôbec nie! Teória matematickej analýzy nie je taká ťažká, ako je zvláštna. A musíte ju prijať a milovať takú, aká je =)

Začnime tým najťažším prípadom. V prvom rade nevypadni zo školy. Správne rozumej, prestaň, vždy to bude mať čas ;-) Samozrejme, ak ti o rok či dva z vybranej špeciality bude zle, tak áno - treba na to myslieť (a nie poraziť horúčku!) o zmene činností. Zatiaľ sa však oplatí pokračovať. A prosím, zabudnite na frázu „ničomu nerozumiem“ - nestane sa, že by ste vôbec ničomu nerozumeli.

Čo robiť, ak je teória zlá? Mimochodom, to platí nielen pre matematickú analýzu. Ak je teória zlá, tak najprv treba VÁŽNE zaviesť prax. Súčasne sa riešia dve strategické úlohy naraz:

– Po prvé, značná časť teoretických vedomostí sa získala praxou. A tak veľa ľudí rozumie teórii prostredníctvom... - to je pravda! Nie, nie, na to si nemyslel.

- A po druhé, praktické zručnosti vás pri skúške veľmi pravdepodobne „natiahnu“, aj keď ..., ale neladme sa tak! Všetko je skutočné a všetko je skutočne „zdvihnuté“ v pomerne krátkom čase. Matematická analýza je mojou obľúbenou sekciou vyššej matematiky, a preto som vám jednoducho nemohol nepodať pomocnú ruku:

Na začiatku 1. semestra väčšinou prechádzajú limity postupnosti a limity funkcií. Nerozumiete tomu, čo to je a neviete, ako ich vyriešiť? Začnite článkom Funkčné limity, v ktorej sa samotný koncept zvažuje „na prstoch“ a analyzujú sa najjednoduchšie príklady. Potom prepracujte ďalšie lekcie na danú tému, vrátane lekcie o v rámci sekvencií, na ktorý som už vlastne sformuloval rigoróznu definíciu.

Aké ikony okrem znakov nerovnosti a modulu poznáte?

- dlhá vertikálna palica znie takto: „taký ten“, „taký ten“, „taký to“ alebo „taký to“, v našom prípade samozrejme hovoríme o čísle - teda „takom, že“;

- pre všetky "en" väčšie ako ;

– modulová značka znamená vzdialenosť, t.j. tento zápis nám hovorí, že vzdialenosť medzi hodnotami je menšia ako epsilon.

No je to smrteľne ťažké? =)

Po zvládnutí praxe vás čakám v nasledujúcom odseku:

Skutočne, zamyslime sa trochu – ako sformulovať rigoróznu definíciu postupnosti? ... Prvá vec, ktorá vás napadne vo svetle praktické stretnutie: "limita postupnosti je číslo, ku ktorému sa členovia postupnosti nekonečne približujú."

Dobre, poďme si písať podsekvencia :

Je ľahké to pochopiť podsekvencia priblížiť sa nekonečne blízko k -1 a párnym členom - na "jednotku".

Možno dve hranice? Ale prečo ich potom nemôže mať nejaká postupnosť desať alebo dvadsať? Takto sa môžete dostať ďaleko. V tomto ohľade je logické predpokladať, že ak má postupnosť limit, potom je jedinečná.

Poznámka : postupnosť nemá limitu, ale možno z nej odlíšiť dve podsekvencie (pozri vyššie), z ktorých každá má svoju limitu.

Vyššie uvedená definícia sa teda ukazuje ako neudržateľná. Áno, funguje to pre prípady ako (čo som nie celkom správne použil pri zjednodušených vysvetleniach príkladov z praxe), ale teraz musíme nájsť presnú definíciu.

Pokus dva: „limita postupnosti je číslo, ku ktorému sa približujú VŠETCI členovia postupnosti, možno s výnimkou ich konečné množstvá." Toto je bližšie k pravde, ale stále nie úplne presné. Takže napríklad postupnosť polovica členov sa k nule vôbec nepribližuje - jednoducho sa jej rovnajú =) Mimochodom, "blikanie" má vo všeobecnosti dve pevné hodnoty.

Formuláciu nie je ťažké objasniť, ale potom vyvstáva ďalšia otázka: ako napísať definíciu matematickými výrazmi? Vedecký svet s týmto problémom dlho bojoval, kým sa situácia nevyriešila. slávny maestro, ktorý v podstate formalizoval klasickú matematickú analýzu v celej jej prísnosti. Cauchy ponúkol operovať okolia čo značne posunulo teóriu dopredu.

Zvážte nejaký bod a jeho svojvoľný- susedstvo:

Hodnota „epsilon“ je vždy kladná a navyše, máme právo si to sami vybrať. Predpokladajme, že dané okolie obsahuje množinu pojmov (nie nevyhnutne všetky) nejakú sekvenciu. Ako zapísať skutočnosť, že napríklad desiaty termín zapadol do susedstva? Nech je to na pravej strane. Potom by vzdialenosť medzi bodmi a mala byť menšia ako "epsilon": . Ak sa však "x desatina" nachádza naľavo od bodu "a", potom bude rozdiel záporný, a preto k nemu treba pridať znamienko modul: .

Definícia: číslo sa nazýva limita postupnosti, ak pre akékoľvek jeho okolia (vopred vybraté) existuje prirodzené číslo - TAKÉ, že VŠETKYčlenovia postupnosti s vyššími číslami budú vo vnútri susedstva:

Alebo kratšie: ak

Inými slovami, bez ohľadu na to, akú malú hodnotu „epsilon“ vezmeme, skôr či neskôr bude „nekonečný chvost“ sekvencie PLNE v tomto susedstve.

Takže napríklad „nekonečný chvost“ sekvencie PLNE ide do ľubovoľne malého okolia bodu. Táto hodnota je teda podľa definície limitom postupnosti. Pripomínam, že sa volá postupnosť, ktorej limita je nula nekonečne malý.

Treba poznamenať, že pre sekvenciu už nie je možné povedať „nekonečný chvost“. príde“- členovia s nepárnymi číslami sa v skutočnosti rovnajú nule a „nikam nejdú“ \u003d) Preto sa v definícii používa sloveso „skončí“. A, samozrejme, členovia takého sledu, ako tiež "nikam nechodia." Mimochodom, skontrolujte, či počet bude jeho limit.

Teraz ukážme, že postupnosť nemá žiadne obmedzenie. Zoberme si napríklad okolie bodu . Je úplne jasné, že neexistuje taký počet, po ktorom budú v danom susedstve VŠETCI členovia - nepárni členovia vždy "preskočia" na "mínus jeden". Z podobného dôvodu v bode neexistuje žiadny limit.

Opravte materiál praxou:

Príklad 1

Dokážte, že limit postupnosti je nula. Zadajte číslo, po ktorom budú všetky členy sekvencie zaručene v ľubovoľnom malom susedstve bodu.

Poznámka : pri mnohých postupnostiach požadované prirodzené číslo závisí od hodnoty - preto zápis .

rozhodnutie: zvážiť svojvoľný bude tamčíslo – tak, že VŠETCI členovia s vyššími číslami budú v tejto štvrti:

Aby sme ukázali existenciu požadovaného čísla, vyjadrujeme ho pomocou .

Pretože pre akúkoľvek hodnotu „en“ možno znamienko modulu odstrániť:

Používame „školské“ akcie s nerovnosťami, ktoré som opakoval na hodinách Lineárne nerovnosti a Rozsah funkcie. V tomto prípade je dôležitou okolnosťou, že „epsilon“ a „en“ sú kladné:

Keďže vľavo hovoríme o prirodzených číslach a pravá strana je vo všeobecnosti zlomková, je potrebné ju zaokrúhliť:

Poznámka : niekedy sa k právu pridá jednotka na zaistenie, ale v skutočnosti je to prehnané. Relatívne povedané, ak výsledok zoslabíme aj zaokrúhlením nadol, tak pôvodnú nerovnosť vyhovie najbližšie vhodné číslo („trojka“).

A teraz sa pozrieme na nerovnosť a pamätáme si, že sme to pôvodne zvažovali svojvoľný-okolie, t.j. "epsilon" sa môže rovnať ktokoľvek kladné číslo.

Záver: pre ľubovoľne malé -okolie bodu hodnota . Číslo je teda podľa definície limitom postupnosti. Q.E.D.

Mimochodom, z výsledku je jasne viditeľný prirodzený vzor: čím menšie je -susedstvo, tým väčšie číslo, po ktorom budú VŠETCI členovia sekvencie v tomto susedstve. Ale bez ohľadu na to, aký malý je "epsilon", vždy bude existovať "nekonečný chvost" vo vnútri a vonku - aj keď je veľký. konečné počet členov.

Aké sú dojmy? =) Súhlasím, že je to zvláštne. Ale prísne! Prosím, prečítajte si to znova a zamyslite sa.

Zvážte podobný príklad a zoznámte sa s inými technikami:

Príklad 2

rozhodnutie: definíciou postupnosti je potrebné to dokázať (Hovorte nahlas!!!).

Zvážte svojvoľný- susedstvo bodu a kontroly, či existuje? prirodzené číslo - také, že pre všetky väčšie čísla platí nasledujúca nerovnosť:

Na preukázanie existencie takéhoto , musíte vyjadriť „en“ cez „epsilon“. Zjednodušíme výraz pod znakom modulu:

Modul zničí znamienko mínus:

Menovateľ je kladný pre akékoľvek „en“, preto je možné paličky odstrániť:

Miešanie:

Teraz by sme mali vziať druhú odmocninu, no háčik je v tom, že pre niektoré „epsilonky“ bude pravá strana záporná. Aby ste sa vyhli týmto problémom posilnime sa modul nerovnosti:

Prečo sa to dá urobiť? Ak sa relatívne vzaté ukáže, že , potom bude podmienka splnená ešte viac. Modul môže len zvýšiť požadované číslo a to sa nám bude tiež hodiť! Zhruba povedané, ak je vhodná stotina, postačí aj dvesto! Podľa definície musíte ukázať samotná existencia čísla(aspoň niektorí), po ktorom budú všetci členovia sekvencie v -neighbourhood. Mimochodom, preto sa konečného zaoblenia pravej strany nahor nebojíme.

Extrahovanie koreňa:

A zaokrúhlite výsledok:

Záver: pretože hodnota "epsilon" bola zvolená ľubovoľne, potom pre ľubovoľne malé -okolie bodu hodnota , tak, že nerovnosť . teda a-priorstvo. Q.E.D.

radím najmä porozumieť posilňovaniu a zoslabovaniu nerovností - to sú typické a veľmi bežné metódy matematickej analýzy. Jediná vec, ktorú potrebujete na sledovanie správnosti tejto alebo tej akcie. Takže napríklad nerovnosť v žiadnom prípade uvoľniť, odčítanie, povedzme, jedna:

Opäť podmienené: ak číslo presne sedí, predchádzajúce už nemusí sedieť.

Nasledujúci príklad je pre samostatné riešenie:

Príklad 3

Pomocou definície postupnosti to dokážte

Krátke riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Ak postupnosť nekonečne skvelé, potom je definícia limity formulovaná podobným spôsobom: bod sa nazýva limita postupnosti, ak existuje, ľubovoľne veľký existuje číslo také, že pre všetky väčšie čísla bude nerovnosť splnená. Číslo sa volá okolie bodu "plus nekonečno":

Inými slovami, bez ohľadu na to, akú veľkú hodnotu vezmeme, „nekonečný chvost“ postupnosti nevyhnutne prejde do susedstva bodu, pričom naľavo zostane iba konečný počet členov.

Pracovný príklad:

A skrátený zápis: ak

Pre prípad napíšte definíciu sami. Správna verzia je na konci lekcie.

Keď si „naplníte“ ruku praktickými príkladmi a prídete na definíciu limity postupnosti, môžete sa obrátiť na literatúru o matematickej analýze a/alebo na svoju učebnicu. Odporúčam stiahnuť 1. diel Bohana (jednoduchšie - pre študentov na čiastočný úväzok) a Fikhtengoltz (podrobnejšie a dôkladnejšie). Z ostatných autorov radím Piskunov, ktorého kurz je zameraný na technické univerzity.

Skúste si svedomito naštudovať vety, ktoré sa týkajú limity postupnosti, ich dôkazov, dôsledkov. Spočiatku sa teória môže zdať „zamračená“, ale to je normálne – chce to len trochu zvyku. A mnohí dokonca dostanú chuť!

Prísna definícia limity funkcie

Začnime tým istým – ako tento pojem sformulovať? Slovná definícia limity funkcie je formulovaná oveľa jednoduchšie: „číslo je limita funkcie, ak má „x“ tendenciu (vľavo aj vpravo), zodpovedajúce hodnoty funkcie majú tendenciu » (pozri nákres). Všetko sa zdá byť normálne, ale slová sú slová, význam je význam, ikona je ikona a prísny matematický zápis nestačí. A v druhom odseku sa zoznámime s dvoma prístupmi k riešeniu tohto problému.

Nech je funkcia definovaná na nejakom intervale, možno okrem bodu . V náučnej literatúre sa všeobecne uznáva, že funkcia tam nie definované:

Táto voľba zdôrazňuje podstata limitu funkcie: "X" nekonečne blízko prístupy a zodpovedajúce hodnoty funkcie sú nekonečne blízko do . Inými slovami, pojem limit neznamená „presný prístup“ k bodom, a to nekonečne blízke priblíženie, nezáleží na tom, či je funkcia definovaná v bode alebo nie.

Prvá definícia limity funkcie nie je prekvapujúce, že je formulovaná pomocou dvoch postupností. Po prvé, pojmy spolu súvisia a po druhé, limity funkcií sa zvyčajne skúmajú po limitoch postupností.

Zvážte postupnosť bodov (nie je na výkrese) patriace do intervalu a iný ako, ktorý konverguje do . Potom zodpovedajúce hodnoty funkcie tvoria aj číselnú postupnosť, ktorej členy sú umiestnené na osi y.

Heineov limit funkcie pre akékoľvek bodové sekvencie (patriaci a odlišný od), ktorý konverguje k bodu, zodpovedajúca postupnosť funkčných hodnôt konverguje k .

Eduard Heine je nemecký matematik. ... A nič také si netreba myslieť, v Európe je len jeden gay - toto je Gay-Lussac =)

Druhá definícia limitu bola postavená ... áno, áno, máte pravdu. Najprv sa však pozrime na jeho dizajn. Zvážte svojvoľné susedstvo bodu ("čierna" štvrť). Na základe predchádzajúceho odseku znamená notácia to nejakú hodnotu funkcia sa nachádza vo vnútri "epsilon"-prostredia.

Teraz nájdime -susedstvo, ktoré zodpovedá danému -susedstvu (mentálne nakreslite čierne bodkované čiary zľava doprava a potom zhora nadol). Všimnite si, že hodnota je zvolená po dĺžke menšieho segmentu, v tomto prípade po dĺžke kratšieho ľavého segmentu. Okrem toho môže byť „karmínové“ susedstvo bodu dokonca znížené, pretože v nasledujúcej definícii dôležitý je samotný fakt existencie toto susedstvo. A podobne, záznam znamená, že nejaká hodnota sa nachádza v susedstve "delta".

Cauchyova limita funkcie: číslo sa nazýva limita funkcie v bode ak pre akékoľvek predvolené susedstve (ľubovoľne malý), existujú- okolie bodu, TAKÉTOže: AKO IBA hodnoty (vlastnený) zahrnuté v tejto oblasti: (červené šípky)- TAK HNEĎ je zaručené, že zodpovedajúce hodnoty funkcie vstúpia do susedstva: (modré šípky).

Musím vás upozorniť, že pre lepšiu zrozumiteľnosť som trochu improvizoval, tak to nezneužívajte =)

Skratka: ak

Čo je podstatou definície? Obrazne povedané, nekonečným zmenšovaním susedstva „sprevádzame“ hodnoty funkcie na jej limit, pričom im neponechávame inú možnosť priblížiť sa. Dosť nezvyčajné, ale opäť prísne! Ak chcete získať správnu myšlienku, prečítajte si formuláciu ešte raz.

! Pozornosť: iba ak potrebujete formulovať definícia podľa Heineho alebo len Cauchyho definícia prosím nezabudni významný predbežný komentár: "Zvážte funkciu, ktorá je definovaná na nejakom intervale, možno okrem bodu". Povedal som to raz na úplnom začiatku a neopakoval som to zakaždým.

Podľa zodpovedajúcej vety matematickej analýzy sú Heineho a Cauchyho definície ekvivalentné, ale druhý variant je najznámejší. (stále by!), ktorý sa tiež nazýva „limit na jazyku“:

Príklad 4

Pomocou definície limity to dokážte

rozhodnutie: funkcia je definovaná na celej číselnej osi okrem bodu. Pomocou definície , dokážeme existenciu limity v danom bode.

Poznámka : veľkosť okolia "delta" závisí od "epsilon", preto označenie

Zvážte svojvoľný- susedstvo. Úlohou je použiť túto hodnotu na kontrolu či či existuje?- susedstvo, TAKÉTO, ktorý z nerovnosti nasleduje nerovnosť .

Za predpokladu, že transformujeme poslednú nerovnosť:
(rozložiť štvorcovú trojčlenku)

Uvažujme funkciu %%f(x)%% definovanú aspoň v nejakej prerazenej oblasti %%\stackrel(\circ)(\text(U))(a)%% bodu %%a \in \overline( \ mathbb(R))%% rozšírený číselný riadok.

Pojem limity podľa Cauchyho

Zavolá sa číslo %%A \in \mathbb(R)%%. limit funkcie%%f(x)%% na %%a \in \mathbb(R)%% (alebo ako %%x%% má tendenciu k %%a \in \mathbb(R)%%), ak je to pozitívne číslo %%\varepsilon%% je, existuje kladné číslo %%\delta%% také, že pre všetky body prepichnutého %%\delta%% susedstva bodu %%a%% sú hodnoty funkcie patria do %%\varepsilon %%-okolie bodu %%A%%, príp

$$ A = \lim\limits_(x \to a)(f(x)) \Šípka vľavo\forall\varepsilon > 0 ~\existuje \delta > 0 \big(x \in \stackrel(\circ)(\text (U))_\delta(a) \Šípka doprava f(x) \v \texte(U)_\varepsilon (A) \big) $$

Táto definícia sa nazýva definícia v jazyku %%\varepsilon%% a %%\delta%%, ktorú navrhol francúzsky matematik Augustin Cauchy a používa sa od začiatku 19. storočia až do súčasnosti, pretože má tzv. nevyhnutnú matematickú prísnosť a presnosť.

Kombinovanie rôznych susedstiev bodu %%a%% ako %%\stackrel(\circ)(\text(U))_\delta(a), \text(U)_\delta (\infty), \text( U) _\delta (-\infty), \text(U)_\delta (+\infty), \text(U)_\delta^+ (a), \text(U)_\delta^- ( a) %% so susedstvami %%\text(U)_\varepsilon (A), \text(U)_\varepsilon (\infty), \text(U)_\varepsilon (+\infty), \text( U) _\varepsilon (-\infty)%%, dostaneme 24 definícií Cauchyho limity.

geometrický zmysel

Geometrický význam limity funkcie

Poďme zistiť, aký je geometrický význam limity funkcie v bode. Nakreslíme si funkciu %%y = f(x)%% a označíme na nej body %%x = a%% a %%y = A%%.

Limita funkcie %%y = f(x)%% v bode %%x \to a%% existuje a je rovná A, ak pre akékoľvek %%\varepsilon%%-okolie bodu %%A% % možno určiť také %%\ delta%%-okolie bodu %%a%% tak, že pre akékoľvek %%x%% tohto %%\delta%%-okolia bude hodnota %%f(x )%% bude v %%\varepsilon%%-bodoch susedstva %%A%%.

Všimnite si, že podľa Cauchyho definície limity funkcie pre existenciu limity v %%x \to a%% nezáleží na tom, akú hodnotu má funkcia práve v bode %%a%%. Môžete uviesť príklady, kde funkcia nie je definovaná, keď %%x = a%% alebo má inú hodnotu ako %%A%%. Limit však môže byť %%A%%.

Definícia Heineho limitu

Prvok %%A \in \overline(\mathbb(R))%% sa nazýva limita funkcie %%f(x)%% v %% x \to a, a \in \overline(\mathbb( R))%% , ak pre akúkoľvek sekvenciu %%\(x_n\) \až %% z domény, postupnosť zodpovedajúcich hodnôt %%\big\(f(x_n)\big\)%% má tendenciu do %%A%%.

Definíciu limity podľa Heineho je vhodné použiť vtedy, keď existujú pochybnosti o existencii limity funkcie v danom bode. Ak je možné zostrojiť aspoň jednu sekvenciu %%\(x_n\)%% s limitom v bode %%a%% tak, že sekvencia %%\big\(f(x_n)\big\)%% nemá limit, potom môžeme konštatovať, že funkcia %%f(x)%% nemá v tomto bode limit. Ak pre dvoch rôzne sekvencie %%\(x"_n\)%% a %%\(x""_n\)%% majúce rovnaký limit %%a%%, sekvencie %%\big\(f(x"_n)\big\)%% a %%\big\(f(x""_n)\big\)%% majú rôzne limity, potom v tomto prípade limita funkcie %%f(x)%% tiež neexistuje.

Príklad

Nech %%f(x) = \sin(1/x)%%. Skontrolujme, či limita tejto funkcie existuje v bode %%a = 0%%.

Najprv zvolíme postupnosť $$ \(x_n\) = \left\(\frac((-1)^n)(n\pi)\right\) konvergujúcu k tomuto bodu. $$

Je zrejmé, že %%x_n \ne 0~\forall~n \in \mathbb(N)%% a %%\lim (x_n) = 0%%. Potom %%f(x_n) = \sin(\left((-1)^n n\pi\right)) \equiv 0%% a %%\lim\big\(f(x_n)\big\) = 0 %%.

Potom zoberte postupnosť $$ x"_n = \vľavo\( \frac(2)((4n + 1)\pi) \vpravo\), $$

pre ktoré %%\lim(x"_n) = +0%%, %%f(x"_n) = \sin(\big((4n + 1)\pi/2\big)) \equiv 1%% a %%\lim\big\(f(x"_n)\big\) = 1%%. Podobne pre sekvenciu $$ x""_n = \left\(-\frac(2)((4n + 1) ) \pi) \vpravo\), $$

tiež konvergujúce k bodu %%x = 0%%, %%\lim\big\(f(x""_n)\big\) = -1%%.

Všetky tri sekvencie poskytli rôzne výsledky, čo je v rozpore s podmienkou Heineho definície, t.j. táto funkcia nemá obmedzenie v bode %%x = 0%%.

Veta

Definícia limity podľa Cauchyho a podľa Heineho sú ekvivalentné.