Dnes budeme hovoriť o logaritmické vzorce a dať demonštráciu príklady riešenia.

Samy o sebe implikujú vzory riešení podľa základných vlastností logaritmov. Pred použitím logaritmických vzorcov na riešenie si najprv pripomenieme všetky vlastnosti:

Teraz, na základe týchto vzorcov (vlastností), ukážeme príklady riešenia logaritmov.

Príklady riešenia logaritmov na základe vzorcov.

Logaritmus kladné číslo b v základe a (označené ako log a b) je exponent, na ktorý musí byť a umocnené, aby sme dostali b, pričom b > 0, a > 0 a 1.

Podľa definície log a b = x, čo je ekvivalent a x = b, teda log a a x = x.

Logaritmy, príklady:

log 2 8 = 3, pretože 2 3 = 8

log 7 49 = 2 pretože 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, pretože 5-1 = 1/5

Desatinný logaritmus je obyčajný logaritmus, ktorého základňa je 10. Označuje sa ako lg.

log 10 100 = 2 pretože 102 = 100

prirodzený logaritmus- tiež obvyklý logaritmus logaritmus, ale so základom e (e \u003d 2,71828 ... - iracionálne číslo). Označované ako ln.

Je vhodné si zapamätať vzorce alebo vlastnosti logaritmov, pretože ich budeme potrebovať neskôr pri riešení logaritmov, logaritmických rovníc a nerovníc. Prepracujme každý vzorec znova s ​​príkladmi.

• Základná logaritmická identita
  a log a b = b

  8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

• Logaritmus súčinu sa rovná súčtu logaritmov
  log a (bc) = log a b + log a c

  log 3 8,1 + log 3 10 = log 3 (8,1 * 10) = log 3 81 = 4

• Logaritmus kvocientu sa rovná rozdielu logaritmov
  log a (b/c) = log a b - log a c

  9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81

• Vlastnosti stupňa logaritmovateľného čísla a základu logaritmu

  Exponent logaritmického čísla log a b m = mlog a b

  Exponent základu logaritmu log a n b =1/n*log a b

  log a n b m = m/n*log a b,

  ak m = n, dostaneme log a n b n = log a b

  log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3

• Prechod na nový základ
  log a b = log c b / log c a,

  ak c = b, dostaneme log b b = 1

  potom log a b = 1/log b a

  log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1

Ako vidíte, logaritmické vzorce nie sú také zložité, ako sa zdá. Teraz, keď sme zvážili príklady riešenia logaritmov, môžeme prejsť k logaritmickým rovniciam. Príklady riešenia logaritmických rovníc podrobnejšie zvážime v článku: "". Nenechajte si ujsť!

Ak máte nejaké otázky týkajúce sa riešenia, napíšte ich do komentárov k článku.

Poznámka: rozhodol som sa získať vzdelanie v inej triede štúdiom v zahraničí ako voliteľnú možnosť.

S rozvojom spoločnosti, zložitosťou výroby sa rozvíjala aj matematika. Pohyb od jednoduchého k zložitému. Od zaužívaného účtovného spôsobu sčítania a odčítania sa ich opakovaným opakovaním dostali k pojmu násobenie a delenie. Zníženie viacnásobne opakovanej operácie sa stalo pojmom umocňovanie. Prvé tabuľky závislosti čísel od základne a počtu umocnení zostavil už v 8. storočí indický matematik Varasena. Z nich môžete spočítať čas výskytu logaritmov.

Historický náčrt

Oživenie Európy v 16. storočí podnietilo aj rozvoj mechaniky. T vyžadovalo veľké množstvo výpočtov spojené s násobením a delením viacciferných čísel. Staroveké stoly urobili skvelú službu. Umožnili nahradiť zložité operácie jednoduchšími – sčítanie a odčítanie. Veľkým krokom vpred bola práca matematika Michaela Stiefela, publikovaná v roku 1544, v ktorej realizoval myšlienku mnohých matematikov. To umožnilo použiť tabuľky nielen pre stupne vo forme prvočísel, ale aj pre ľubovoľné racionálne.

V roku 1614 Škót John Napier, rozvíjajúc tieto myšlienky, prvýkrát zaviedol nový termín „logaritmus čísla“. Boli zostavené nové komplexné tabuľky na výpočet logaritmov sínusov a kosínusov, ako aj tangens. To značne znížilo prácu astronómov.

Začali sa objavovať nové tabuľky, ktoré vedci úspešne používali už tri storočia. Uplynulo veľa času, kým nová operácia v algebre nadobudla svoju hotovú podobu. Bol definovaný logaritmus a boli študované jeho vlastnosti.

Až v 20. storočí, s príchodom kalkulačky a počítača, ľudstvo opustilo staroveké tabuľky, ktoré úspešne fungovali počas 13. storočia.

Dnes nazývame logaritmus b na základe čísla x, čo je mocnina a, aby sme dostali číslo b. Toto je napísané ako vzorec: x = log a(b).

Napríklad log 3(9) sa bude rovnať 2. To je zrejmé, ak budete postupovať podľa definície. Ak zvýšime 3 na 2, dostaneme 9.

Formulovaná definícia teda kladie len jedno obmedzenie, čísla a a b musia byť reálne.

Odrody logaritmov

Klasická definícia sa nazýva reálny logaritmus a je vlastne riešením rovnice a x = b. Možnosť a = 1 je hraničná a nie je zaujímavá. Poznámka: 1 ku ktorejkoľvek mocnine je 1.

Skutočná hodnota logaritmu definované iba v prípade, že základ a argument sú väčšie ako 0 a základ sa nesmie rovnať 1.

Osobitné miesto v oblasti matematiky hrať logaritmy, ktoré budú pomenované v závislosti od hodnoty ich základne:

Pravidlá a obmedzenia

Základnou vlastnosťou logaritmov je pravidlo: logaritmus súčinu sa rovná logaritmickému súčtu. log abp = log a(b) + log a(p).

Ako variant tohto tvrdenia to bude: log c (b / p) \u003d log c (b) - log c (p), kvocientová funkcia sa rovná rozdielu funkcií.

Z predchádzajúcich dvoch pravidiel je ľahké vidieť, že: log a(b p) = p * log a(b).

Medzi ďalšie vlastnosti patrí:

Komentujte. Nerobte bežnú chybu - logaritmus súčtu sa nerovná súčtu logaritmov.

Po mnoho storočí bola operácia hľadania logaritmu pomerne časovo náročná úloha. Matematici použili dobre známy vzorec logaritmickej teórie expanzie do polynómu:

ln (1 + x) = x - (x^2)/2 + (x^3)/3 - (x^4)/4 + ... + ((-1)^(n + 1))* (( x^n)/n), kde n je prirodzené číslo väčšie ako 1, ktoré určuje presnosť výpočtu.

Logaritmy s inými bázami boli vypočítané pomocou vety o prechode z jednej bázy na druhú a vlastnosti logaritmu súčinu.

Keďže táto metóda je veľmi prácna a pri riešení praktických problémov náročné na implementáciu, použili vopred zostavené tabuľky logaritmov, čo značne urýchlilo celú prácu.

V niektorých prípadoch boli použité špeciálne zostavené grafy logaritmov, ktoré poskytli menšiu presnosť, ale výrazne urýchlili hľadanie požadovanej hodnoty. Krivka funkcie y = log a(x), postavená na niekoľkých bodoch, umožňuje pomocou obvyklého pravítka nájsť hodnoty funkcie v akomkoľvek inom bode. Inžinieri na tieto účely dlho používali takzvaný milimetrový papier.

V 17. storočí sa objavili prvé pomocné analógové výpočtové podmienky, ktoré v 19. storočí nadobudli hotovú podobu. Najúspešnejšie zariadenie sa nazývalo posuvné pravítko. Napriek jednoduchosti zariadenia jeho vzhľad výrazne urýchlil proces všetkých inžinierskych výpočtov, čo je ťažké preceňovať. V súčasnosti pozná toto zariadenie len málo ľudí.

Nástup kalkulačiek a počítačov spôsobil, že používanie akýchkoľvek iných zariadení bolo zbytočné.

Rovnice a nerovnice

Nasledujúce vzorce sa používajú na riešenie rôznych rovníc a nerovníc pomocou logaritmov:

• Prechod z jednej bázy na druhú: log a(b) = log c(b) / log c(a);
• V dôsledku predchádzajúcej verzie: log a(b) = 1 / log b(a).

Na riešenie nerovností je užitočné vedieť:

• Hodnota logaritmu bude kladná iba vtedy, ak základ aj argument sú väčšie alebo menšie ako jedna; ak je porušená aspoň jedna podmienka, hodnota logaritmu bude záporná.
• Ak je logaritmická funkcia aplikovaná na pravú a ľavú stranu nerovnosti a základňa logaritmu je väčšia ako jedna, potom sa znamienko nerovnosti zachová; inak sa to zmení.

Príklady úloh

Zvážte niekoľko možností použitia logaritmov a ich vlastností. Príklady s riešením rovníc:

Zvážte možnosť umiestniť logaritmus do stupňa:

• Úloha 3. Vypočítajte 25^log 5(3). Riešenie: v podmienkach úlohy je zápis podobný nasledujúcim (5^2)^log5(3) alebo 5^(2 * log 5(3)). Napíšme to inak: 5^log 5(3*2), alebo druhú mocninu čísla ako argument funkcie možno zapísať ako druhú mocninu samotnej funkcie (5^log 5(3))^2. Použitím vlastností logaritmov je tento výraz 3^2. Odpoveď: ako výsledok výpočtu dostaneme 9.

Praktické využitie

Keďže ide o čisto matematický nástroj, zdá sa, že je ďaleko od skutočného života, že logaritmus sa zrazu stal veľmi dôležitým pri opise objektov v skutočnom svete. Je ťažké nájsť vedu, kde sa nepoužíva. V plnej miere to platí nielen pre prírodné, ale aj humanitné oblasti poznania.

Logaritmické závislosti

Tu je niekoľko príkladov numerických závislostí:

Mechanika a fyzika

Historicky sa mechanika a fyzika vždy rozvíjali pomocou matematických výskumných metód a zároveň slúžili ako stimul pre rozvoj matematiky, vrátane logaritmov. Teória väčšiny fyzikálnych zákonov je napísaná v jazyku matematiky. Uvádzame len dva príklady opisu fyzikálnych zákonov pomocou logaritmu.

Problém výpočtu takého zložitého množstva, ako je rýchlosť rakety, je možné vyriešiť pomocou vzorca Tsiolkovského, ktorý položil základ pre teóriu prieskumu vesmíru:

V = I * ln(M1/M2), kde

• V je konečná rýchlosť lietadla.
• I je špecifický impulz motora.
• M 1 je počiatočná hmotnosť rakety.
• M 2 - výsledná hmotnosť.

Ďalší dôležitý príklad- to je použitie vo vzorci ďalšieho veľkého vedca Maxa Plancka, ktorý slúži na vyhodnotenie rovnovážneho stavu v termodynamike.

S = k * ln (Ω), kde

• S je termodynamická vlastnosť.
• k je Boltzmannova konštanta.
• Ω je štatistická váha rôznych stavov.

Chémia

Menej zrejmé by bolo použitie vzorcov v chémii obsahujúcich pomer logaritmov. Tu sú len dva príklady:

• Nernstova rovnica, stav redoxného potenciálu prostredia vo vzťahu k aktivite látok a rovnovážnej konštante.
• Výpočet takých konštánt, ako je index autoprolýzy a kyslosť roztoku, tiež nie je úplný bez našej funkcie.

Psychológia a biológia

A je úplne nepochopiteľné, čo s tým má psychológia spoločné. Ukazuje sa, že silu vnemu táto funkcia dobre popisuje ako inverzný pomer hodnoty intenzity podnetu k nižšej hodnote intenzity.

Po vyššie uvedených príkladoch už nie je prekvapujúce, že téma logaritmov je široko používaná aj v biológii. O biologických formách zodpovedajúcich logaritmickým špirálam možno písať celé zväzky.

Ostatné oblasti

Zdá sa, že bez spojenia s touto funkciou je existencia sveta nemožná a riadi sa ňou všetky zákony. Najmä vtedy, keď sú prírodné zákony spojené s geometrickým postupom. Stojí za to odkázať na webovú stránku MatProfi a existuje veľa takýchto príkladov v nasledujúcich oblastiach činnosti:

Zoznam by mohol byť nekonečný. Po zvládnutí základných zákonov tejto funkcie sa môžete ponoriť do sveta nekonečnej múdrosti.

Vaše súkromie je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si prosím naše zásady ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.

Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

Osobné údaje sú údaje, ktoré možno použiť na identifikáciu konkrétnej osoby alebo jej kontaktovanie.

Kedykoľvek nás budete kontaktovať, môžete byť požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.

Nasleduje niekoľko príkladov typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

• Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, e-mailovej adresy atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

• Osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, nám umožňujú kontaktovať vás a informovať vás o jedinečných ponukách, akciách a iných akciách a pripravovaných akciách.
• Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje na zasielanie dôležitých upozornení a správ.
• Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
• Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobného stimulu, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na spravovanie takýchto programov.

Sprístupnenie tretím stranám

Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.

Výnimky:

• V prípade, že je potrebné – v súlade so zákonom, súdnym poriadkom, v súdnom konaní a/alebo na základe verejných žiadostí alebo žiadostí štátnych orgánov na území Ruskej federácie – zverejniť vaše osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak usúdime, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné z dôvodu bezpečnosti, presadzovania práva alebo iného verejného záujmu.
• V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušnú tretiu stranu, nástupcu.

Ochrana osobných údajov

Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj pred neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.

Zachovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o postupoch ochrany osobných údajov a zabezpečenia a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.

Čo je to logaritmus?

Pozor!
Existujú ďalšie
materiál v osobitnom oddiele 555.
Pre tých, ktorí silne „nie veľmi...“
A pre tých, ktorí „veľmi...“)

Čo je to logaritmus? Ako vyriešiť logaritmy? Tieto otázky mätú mnohých absolventov. Tradične sa téma logaritmov považuje za zložitú, nepochopiteľnú a strašidelnú. Najmä - rovnice s logaritmami.

Toto absolútne nie je pravda. Absolútne! neveríš? Dobre. Teraz na 10 - 20 minút:

1. Pochopiť čo je logaritmus.

2. Naučte sa riešiť celú triedu exponenciálnych rovníc. Aj keď ste o nich ešte nepočuli.

3. Naučte sa počítať jednoduché logaritmy.

Okrem toho budete potrebovať iba poznať tabuľku násobenia a to, ako sa číslo zvyšuje na mocninu ...

Cítim, že pochybuješ... No, nechaj si čas! Choď!

Najprv si v duchu vyriešte nasledujúcu rovnicu:

Ak sa vám táto stránka páči...

Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)

Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učenie - so záujmom!)

môžete sa zoznámiť s funkciami a deriváciami.

Začnime s vlastnosti logaritmu jednoty. Jeho formulácia je nasledovná: logaritmus jednoty sa rovná nule, tj. log a 1=0 pre ľubovoľné a>0, a≠1. Dôkaz je jednoduchý: keďže a 0 = 1 pre ľubovoľné a, ktoré spĺňa vyššie uvedené podmienky a>0 a a≠1 , potom z definície logaritmu okamžite vyplýva dokázaná rovnosť log a 1=0.

Uveďme príklady aplikácie uvažovanej vlastnosti: log 3 1=0 , lg1=0 a .

Prejdime k ďalšej vlastnosti: logaritmus čísla rovného základu sa rovná jednej, t.j. log a a=1 pre a>0, a≠1. V skutočnosti, keďže a 1 =a pre ľubovoľné a , potom podľa definície logaritmu log a a=1 .

Príklady použitia tejto vlastnosti logaritmov sú log 5 5=1 , log 5.6 5.6 a lne=1 .

Napríklad log 2 2 7 =7, log10-4 =-4 a .

Logaritmus súčinu dvoch kladných čísel x a y sa rovná súčinu logaritmov týchto čísel: log a (x y)=log a x+log a y, a>0, a≠1. Dokážme vlastnosť logaritmu súčinu. Vzhľadom na vlastnosti stupňa a log a x+log a y =a log a x a log a y a keďže podľa hlavnej logaritmickej identity log a x =x a log a y = y , potom log a x a log a y =x y . Teda log a x + log a y = x y , z čoho vyplýva požadovaná rovnosť podľa definície logaritmu.

Ukážme si príklady použitia vlastnosti logaritmu súčinu: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 a .

Vlastnosť logaritmu súčinu možno zovšeobecniť na súčin konečného počtu n kladných čísel x 1 , x 2 , …, x n ako log a (x 1 x 2 ... x n)= log a x 1 + log a x 2 +…+ log a x n . Táto rovnosť sa dá ľahko dokázať.

Napríklad prirodzený logaritmus súčinu možno nahradiť súčtom troch prirodzených logaritmov čísel 4 , e a .

Logaritmus podielu dvoch kladných čísel x a y sa rovná rozdielu medzi logaritmami týchto čísel. Vlastnosť logaritmu kvocientu zodpovedá vzorcu v tvare , kde a>0 , a≠1 , x a y sú nejaké kladné čísla. Platnosť tohto vzorca je dokázaná ako vzorec pre logaritmus súčinu: od , potom podľa definície logaritmu .

Tu je príklad použitia tejto vlastnosti logaritmu: .

Prejdime k vlastnosť logaritmu stupňa. Logaritmus stupňa sa rovná súčinu exponentu a logaritmu modulu bázy tohto stupňa. Túto vlastnosť logaritmu stupňa zapíšeme vo forme vzorca: log a b p =p log a |b|, kde a>0 , a≠1 , b a p sú čísla také, že stupeň b p dáva zmysel a b p > 0 .

Najprv dokážeme túto vlastnosť pre kladné b . Základná logaritmická identita nám umožňuje reprezentovať číslo b ako log a b , potom b p = (a log a b) p a výsledný výraz sa vzhľadom na mocninu rovná a p log a b . Dostávame sa teda k rovnosti b p =a p log a b , z ktorej podľa definície logaritmu usúdime, že log a b p = p log a b .

Zostáva dokázať túto vlastnosť pre záporné b . Tu si všimneme, že výraz log a b p pre záporné b má zmysel len pre párne exponenty p (keďže hodnota stupňa b p musí byť väčšia ako nula, inak logaritmus nebude dávať zmysel) a v tomto prípade b p =|b| p . Potom b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p log a |b|, odkiaľ log a b p =p log a |b| .

Napríklad, a ln(-3)4=4ln|-3|=4ln3.

Vyplýva to z predchádzajúcej vlastnosti vlastnosť logaritmu od koreňa: logaritmus odmocniny n-tého stupňa sa rovná súčinu zlomku 1/n a logaritmu koreňového výrazu, tj. , kde a>0 , a≠1 , n je prirodzené číslo väčšie ako jedna, b>0 .

Dôkaz je založený na rovnosti (pozri ), ktorá platí pre každé kladné b , a na vlastnosti logaritmu stupňa: .

Tu je príklad použitia tejto vlastnosti: .

Teraz dokážme prevodný vzorec na nový základ logaritmu milý . Na to stačí dokázať platnosť log c b=log a b log c a . Základná logaritmická identita nám umožňuje reprezentovať číslo b ako log a b , potom log c b = log c a log a b . Zostáva použiť vlastnosť logaritmu stupňa: log c a log a b = log a b log c a. Tým je dokázaná rovnosť log c b=log a b log c a, čo znamená, že je dokázaný aj vzorec pre prechod na nový základ logaritmu.

Ukážme niekoľko príkladov použitia tejto vlastnosti logaritmov: a .

Vzorec na prechod na novú základňu vám umožňuje prejsť na prácu s logaritmami, ktoré majú „pohodlnú“ základňu. Napríklad sa dá použiť na prepnutie na prirodzené alebo desiatkové logaritmy, aby ste mohli vypočítať hodnotu logaritmu z tabuľky logaritmov. Vzorec na prechod na nový základ logaritmu tiež umožňuje v niektorých prípadoch nájsť hodnotu daného logaritmu, keď sú známe hodnoty niektorých logaritmov s inými základmi.

Často sa používa špeciálny prípad vzorca na prechod na nový základ logaritmu pre c=b tvaru . To ukazuje, že log a b a log b a – . Napríklad, .

Často sa používa aj vzorec , čo je užitočné pri hľadaní logaritmických hodnôt. Na potvrdenie našich slov si ukážeme, ako sa pomocou neho vypočíta hodnota logaritmu formulára. Máme . Na dôkaz vzorca stačí použiť prechodový vzorec na nový základ logaritmu a: .

Zostáva dokázať porovnávacie vlastnosti logaritmov.

Dokážme, že pre akékoľvek kladné čísla b 1 a b 2 platí b 1 log a b 2 a pre a> 1 nerovnosť log a b 1

Nakoniec zostáva dokázať poslednú z uvedených vlastností logaritmov. Obmedzíme sa na dokázanie jeho prvej časti, teda dokážeme, že ak a 1 >1 , a 2 >1 a a 1 1 je pravda log a 1 b>log a 2 b . Ostatné tvrdenia tejto vlastnosti logaritmov sú dokázané podobným princípom.

Použime opačnú metódu. Predpokladajme, že pre 1 >1 , a 2 >1 a a 1 1 log a 1 b≤log a 2 b je pravda. Pomocou vlastností logaritmov možno tieto nerovnosti prepísať ako a v uvedenom poradí a z nich vyplýva, že log b a 1 ≤ log b a 2 a log b a 1 ≥ log b a 2, v tomto poradí. Potom, pomocou vlastností mocnín s rovnakými bázami, musia byť splnené rovnosti b log b a 1 ≥ b log b a 2 a b log b a 1 ≥ b log b a 2, teda a 1 ≥a 2 . Dospeli sme teda k rozporu s podmienkou a 1

Bibliografia.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. a iné Algebra a začiatky analýzy: Učebnica pre 10. – 11. ročník všeobecných vzdelávacích inštitúcií.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (príručka pre uchádzačov o štúdium na technických školách).