Ktoré vám boli do istej miery povedomé. Bolo tam tiež poznamenané, že zásoba funkčných vlastností sa bude postupne dopĺňať. V tejto časti sa budú diskutovať dve nové vlastnosti.
Definícia 1.
Funkcia y \u003d f (x), x є X, sa volá aj vtedy, ak pre akúkoľvek hodnotu x z množiny X platí rovnosť f (-x) \u003d f (x).
Definícia 2.
Funkcia y \u003d f (x), x є X, sa nazýva nepárna, ak pre akúkoľvek hodnotu x z množiny X platí rovnosť f (-x) \u003d -f (x).
Dokážte, že y = x 4 je párna funkcia.
rozhodnutie. Máme: f (x) \u003d x 4, f (-x) \u003d (-x) 4. Ale (-x) 4 = x 4 . Preto pre ľubovoľné x platí rovnosť f (-x) = f (x), t.j. funkcia je párna.
Podobne sa dá dokázať, že funkcie y - x 2, y = x 6, y - x 8 sú párne.
Dokážte, že y = x 3 je nepárna funkcia.
rozhodnutie. Máme: f (x) \u003d x 3, f (-x) \u003d (-x) 3. Ale (-x) 3 = -x 3 . Preto pre ľubovoľné x platí rovnosť f (-x) \u003d -f (x), t.j. funkcia je nepárna.
Podobne sa dá dokázať, že funkcie y \u003d x, y \u003d x 5, y \u003d x 7 sú nepárne.
Vy aj ja sme sa viackrát presvedčili, že nové pojmy v matematike majú najčastejšie „pozemský“ pôvod, t.j. dajú sa nejakým spôsobom vysvetliť. To platí pre párne aj nepárne funkcie. Pozri: y - x 3, y \u003d x 5, y \u003d x 7 sú nepárne funkcie, zatiaľ čo y \u003d x 2, y \u003d x 4, y \u003d x 6 sú párne funkcie. A vo všeobecnosti pre akúkoľvek funkciu tvaru y \u003d x "(nižšie budeme konkrétne študovať tieto funkcie), kde n je prirodzené číslo, môžeme dospieť k záveru: ak je n nepárne číslo, potom funkcia y \u003d x “ je nepárne; ak je n párne číslo, potom funkcia y = xn je párna.
Existujú aj funkcie, ktoré nie sú ani párne, ani nepárne. Takou je napríklad funkcia y \u003d 2x + 3. Skutočne, f (1) \u003d 5 a f (-1) \u003d 1. Ako vidíte, tu teda ani identita f (-x ) \u003d f (x), ani identitu f(-x) = -f(x).
Takže funkcia môže byť párna, nepárna alebo žiadna.
Štúdium otázky, či je daná funkcia párna alebo nepárna, sa zvyčajne nazýva štúdium funkcie pre paritu.
Definície 1 a 2 sa zaoberajú hodnotami funkcie v bodoch x a -x. To predpokladá, že funkcia je definovaná v bode x aj v bode -x. To znamená, že bod -x patrí do definičného oboru funkcie súčasne s bodom x. Ak číselná množina X spolu s každým jej prvkom x obsahuje opačný prvok -x, potom sa X nazýva symetrická množina. Povedzme, že (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) sú symetrické množiny, pričom : nech X 1a;b, a X 2a;b .
Závislosť premennej y od premennej x, v ktorej každej hodnote x zodpovedá jedna hodnota y, sa nazýva funkcia. Zápis je y=f(x). Každá funkcia má množstvo základných vlastností, ako je monotónnosť, parita, periodicita a iné.
Zvážte paritnú vlastnosť podrobnejšie.
Funkcia y=f(x) sa volá aj vtedy, ak spĺňa nasledujúce dve podmienky:
2. Hodnota funkcie v bode x patriaca do rozsahu funkcie sa musí rovnať hodnote funkcie v bode -x. To znamená, že pre ľubovoľný bod x z oblasti funkcie musí platiť nasledujúca rovnosť f (x) \u003d f (-x).
Graf párnej funkcie
Ak vytvoríte graf párnej funkcie, bude symetrický okolo osi y.
Napríklad funkcia y=x^2 je párna. Poďme si to overiť. Oblasťou definície je celá číselná os, čo znamená, že je symetrická k bodu O.
Vezmite ľubovoľné x=3. f(x)=3^2=9.
f(-x)=(-3)^2=9. Preto f(x) = f(-x). Obidve podmienky sú teda pre nás splnené, čo znamená, že funkcia je párna. Nižšie je uvedený graf funkcie y=x^2.
Obrázok ukazuje, že graf je symetrický okolo osi y.
Graf nepárnej funkcie
Funkcia y=f(x) sa nazýva nepárna, ak spĺňa tieto dve podmienky:
1. Definičný obor danej funkcie musí byť symetrický vzhľadom na bod O. To znamená, že ak nejaký bod a patrí do definičného oboru funkcie, potom aj príslušný bod -a musí patriť do definičného oboru danej funkcie.
2. Pre ľubovoľný bod x z oblasti funkcie musí byť splnená nasledujúca rovnosť f (x) \u003d -f (x).
Graf nepárnej funkcie je symetrický vzhľadom na bod O - počiatok. Napríklad funkcia y=x^3 je nepárna. Poďme si to overiť. Oblasťou definície je celá číselná os, čo znamená, že je symetrická k bodu O.
Vezmite ľubovoľné x=2. f(x)=2^3=8.
f(-x)=(-2)^3=-8. Preto f(x) = -f(x). Obe podmienky sú teda pre nás splnené, čiže funkcia je nepárna. Nižšie je uvedený graf funkcie y=x^3.
Obrázok jasne ukazuje, že nepárna funkcia y=x^3 je symetrická vzhľadom na počiatok.
