Dôležitým pojmom v matematike je funkcia. S jeho pomocou môžete vizualizovať mnohé procesy vyskytujúce sa v prírode, odrážať vzťah medzi určitými veličinami pomocou vzorcov, tabuliek a obrázkov v grafe. Príkladom je závislosť tlaku vrstvy kvapaliny na teleso od hĺbky ponoru, zrýchlenie - od pôsobenia určitej sily na predmet, zvýšenie teploty - od odovzdanej energie a mnohé ďalšie procesy. Štúdium funkcie zahŕňa vykreslenie grafu, zistenie jej vlastností, definičného oboru a hodnôt, intervalov nárastu a poklesu. Dôležitým bodom v tomto procese je nájdenie extrémnych bodov. O tom, ako to urobiť správne, a konverzácia bude pokračovať.

O samotnom koncepte na konkrétnom príklade

Konštrukcia funkčného grafu môže v medicíne vypovedať o priebehu vývoja ochorenia v tele pacienta, čo jasne odráža jeho stav. Predpokladajme, že čas v dňoch je vynesený pozdĺž osi OX a teplota ľudského tela je vynesená pozdĺž osi OY. Obrázok jasne ukazuje, ako tento ukazovateľ prudko stúpa a potom klesá. Je tiež ľahké si všimnúť singulárne body, ktoré odrážajú momenty, keď funkcia, ktorá sa predtým zvýšila, začína klesať a naopak. Toto sú extrémne body, to znamená kritické hodnoty (maximum a minimum) v tomto prípade teploty pacienta, po ktorých nastanú zmeny v jeho stave.

Uhol sklonu

Z obrázku je ľahké určiť, ako sa derivácia funkcie mení. Ak priame čiary grafu časom stúpajú, potom je to pozitívne. A čím sú strmšie, tým väčšia je hodnota derivácie, pretože uhol sklonu sa zvyšuje. Počas periód poklesu táto hodnota nadobúda záporné hodnoty, v extrémnych bodoch sa mení na nulu a graf derivácie v druhom prípade je nakreslený rovnobežne s osou OX.

S akýmkoľvek iným procesom by sa malo zaobchádzať rovnakým spôsobom. Ale najlepší spôsob, ako o tomto koncepte povedať, je pohyb rôznych telies, ktorý je jasne znázornený na grafoch.

Pohyb

Predpokladajme, že sa nejaký objekt pohybuje v priamom smere a rovnomerne naberá rýchlosť. V tomto období zmena súradníc telesa graficky predstavuje určitú krivku, ktorú by matematik nazval vetvou paraboly. Zároveň sa funkcia neustále zvyšuje, pretože súradnicové ukazovatele sa menia každou sekundou rýchlejšie a rýchlejšie. Rýchlostný graf ukazuje správanie derivácie, ktorej hodnota tiež rastie. To znamená, že pohyb nemá žiadne kritické body.

Takto by to pokračovalo donekonečna. Čo ak sa však telo zrazu rozhodne spomaliť, zastaviť sa a začať sa pohybovať iným smerom? V tomto prípade začnú klesať súradnicové ukazovatele. A funkcia prekročí kritickú hodnotu a zmení sa z rastúcej na klesajúcu.

V tomto príklade opäť pochopíte, že extrémne body na grafe funkcie sa objavujú v momentoch, keď prestáva byť monotónna.

Fyzikálny význam derivátu

To, čo bolo opísané skôr, jasne ukázalo, že derivácia je v podstate rýchlosť zmeny funkcie. Toto spresnenie obsahuje svoj fyzický význam. Extrémne body sú kritické oblasti na grafe. Je možné ich zistiť a odhaliť výpočtom hodnoty derivácie, ktorá sa rovná nule.

Existuje ešte jeden znak, ktorý je postačujúcou podmienkou pre extrém. Derivácia v takýchto miestach inflexie mení svoje znamienko: z „+“ na „-“ v oblasti maxima a z „-“ na „+“ v oblasti minima.

Pohyb pod vplyvom gravitácie

Predstavme si inú situáciu. Deti hrajúce loptu hádzali tak, že sa začala pohybovať šikmo k horizontu. V počiatočnom momente bola rýchlosť tohto objektu najväčšia, ale pod vplyvom gravitácie sa začala znižovať a s každou sekundou o rovnakú hodnotu, ktorá sa rovnala približne 9,8 m / s 2. Ide o hodnotu zrýchlenia, ktoré vzniká vplyvom zemskej príťažlivosti pri voľnom páde. Na Mesiaci by bol asi šesťkrát menší.

Graf popisujúci pohyb telesa je parabola s vetvami smerujúcimi nadol. Ako nájsť extrémne body? V tomto prípade ide o vrchol funkcie, kde rýchlosť telesa (lopty) nadobúda nulovú hodnotu. Derivácia funkcie sa stáva nulou. V tomto prípade sa smer a tým aj hodnota rýchlosti zmení na opačný. Teleso letí dole každou sekundou rýchlejšie a rýchlejšie a zrýchľuje sa o rovnakú rýchlosť - 9,8 m/s 2 .

Druhá derivácia

V predchádzajúcom prípade je graf rýchlostného modulu nakreslený ako priamka. Táto čiara smeruje najskôr nadol, pretože hodnota tejto veličiny neustále klesá. Po dosiahnutí nuly v jednom z časových bodov sa ukazovatele tejto hodnoty začnú zvyšovať a smer grafického znázornenia rýchlostného modulu sa dramaticky zmení. Teraz čiara smeruje nahor.

Rýchlosť, ktorá je deriváciou súradníc vzhľadom na čas, má tiež kritický bod. V tejto oblasti sa funkcia, spočiatku klesajúca, začína zvyšovať. Toto je miesto krajného bodu derivácie funkcie. V tomto prípade sa sklon dotyčnice stane nulovým. A zrýchlenie, ktoré je druhou deriváciou súradnice vzhľadom na čas, zmení znamienko z „-“ na „+“. A pohyb z rovnomerne pomalého sa stáva rovnomerne zrýchleným.

Graf zrýchlenia

Teraz zvážte štyri čísla. Každý z nich zobrazuje graf časovej zmeny takej fyzikálnej veličiny, akou je zrýchlenie. V prípade „A“ zostáva jeho hodnota kladná a konštantná. To znamená, že rýchlosť tela, rovnako ako jeho súradnice, sa neustále zvyšuje. Ak si predstavíme, že sa objekt bude takto pohybovať nekonečne dlho, ukáže sa, že funkcia odrážajúca závislosť súradnice od času bude neustále narastať. Z toho vyplýva, že nemá žiadne kritické regióny. Na grafe derivácie tiež nie sú žiadne extrémne body, to znamená lineárne sa meniaca rýchlosť.

To isté platí pre prípad „B“ s pozitívnym a neustále sa zvyšujúcim zrýchlením. Pravda, grafy pre súradnice a rýchlosť tu budú o niečo komplikovanejšie.

Keď zrýchlenie klesne na nulu

Pri pohľade na obrázok „B“ je možné pozorovať úplne iný obrázok charakterizujúci pohyb tela. Jeho rýchlosť bude graficky znázornená ako parabola s vetvami smerujúcimi nadol. Ak budeme pokračovať v čiare opisujúcej zmenu zrýchlenia, až kým sa nepretne s osou OX, a ďalej, potom si môžeme predstaviť, že až do tejto kritickej hodnoty, kde sa zrýchlenie rovná nule, sa rýchlosť objektu zvýši. stále pomalšie. Extrémny bod derivácie súradnicovej funkcie bude práve na vrchole paraboly, po ktorom telo radikálne zmení povahu pohybu a začne sa pohybovať iným smerom.

V druhom prípade „G“ nie je možné presne určiť charakter pohybu. Tu vieme len to, že na nejaké uvažované obdobie nie je žiadne zrýchlenie. To znamená, že objekt môže zostať na svojom mieste alebo pohyb prebieha konštantnou rýchlosťou.

Problém s pridávaním súradníc

Prejdime k úlohám, ktoré sa často stretávajú pri štúdiu algebry v škole a ponúkajú sa na prípravu na skúšku. Na obrázku nižšie je znázornený graf funkcie. Je potrebné vypočítať súčet extrémnych bodov.

Urobíme to pre os y určením súradníc kritických oblastí, kde je pozorovaná zmena charakteristík funkcie. Jednoducho povedané, nájdeme hodnoty pozdĺž osi x pre inflexné body a potom pokračujeme v pridávaní výsledných výrazov. Podľa grafu je zrejmé, že nadobúdajú nasledovné hodnoty: -8; -7; -5; -3; -2; 1; 3. To je výsledok -21, čo je odpoveď.

Optimálne riešenie

Nie je potrebné vysvetľovať, aký dôležitý môže byť výber optimálneho riešenia pri plnení praktických úloh. Koniec koncov, existuje veľa spôsobov, ako dosiahnuť cieľ, a najlepší spôsob, ako sa dostať, je spravidla iba jeden. To je mimoriadne potrebné napríklad pri navrhovaní lodí, kozmických lodí a lietadiel, architektonických štruktúr, aby sa našla optimálna forma týchto umelých predmetov.

Rýchlosť vozidiel do značnej miery závisí od kompetentnej minimalizácie odporu, ktorý zažívajú pri pohybe vodou a vzduchom, od preťaženia vznikajúceho pod vplyvom gravitačných síl a mnohých ďalších ukazovateľov. Loď na mori potrebuje také vlastnosti, ako je stabilita počas búrky, pre riečnu loď je dôležitý minimálny ponor. Pri výpočte optimálneho návrhu môžu extrémne body na grafe vizuálne poskytnúť predstavu o najlepšom riešení zložitého problému. Úlohy takéhoto plánu sa často riešia v ekonomike, v ekonomických oblastiach, v mnohých iných životných situáciách.

Z dávnej histórie

Extrémne úlohy zamestnávali aj starých mudrcov. Grécki vedci úspešne odhalili záhadu plôch a objemov prostredníctvom matematických výpočtov. Ako prví pochopili, že na rovine rôznych útvarov s rovnakým obvodom má kruh vždy najväčšiu plochu. Podobne je guľa vybavená maximálnym objemom medzi ostatnými objektmi v priestore s rovnakou plochou. Riešeniu takýchto problémov sa venovali také slávne osobnosti ako Archimedes, Euclid, Aristoteles, Apollonius. Heron uspel veľmi dobre pri hľadaní extrémnych bodov, ktorý sa uchýlil k výpočtom a postavil dômyselné zariadenia. Patrili sem automatické stroje pohybujúce sa pomocou pary, čerpadlá a turbíny fungujúce na rovnakom princípe.

Výstavba Kartága

Existuje legenda, ktorej dej je založený na riešení jednej z extrémnych úloh. Výsledkom obchodného prístupu, ktorý predviedla fénická princezná, ktorá sa obrátila o pomoc na mudrcov, bola výstavba Kartága. Pozemok pre toto starobylé a slávne mesto predložil Didovi (tak sa volal vládca) vodca jedného z afrických kmeňov. Plocha pozemku sa mu spočiatku nezdala príliš veľká, pretože podľa zmluvy mala byť pokrytá volskou kožou. Ale princezná prikázala svojim vojakom, aby ho nakrájali na tenké pásiky a vytvorili z nich opasok. Ukázalo sa, že je taký dlhý, že pokrýval oblasť, kam sa zmestilo celé mesto.

Pôvod kalkulu

A teraz sa prenesme z dávnych čias do neskoršej doby. Zaujímavé je, že v 17. storočí Keplera primälo k pochopeniu základov matematickej analýzy stretnutie s predajcom vína. Obchodník sa vo svojej profesii vyznal tak dobre, že mohol ľahko určiť objem nápoja v sude jednoduchým spustením železného turniketu. Vzhľadom na takúto zvedavosť sa slávnemu vedcovi podarilo vyriešiť túto dilemu pre seba. Ukazuje sa, že šikovní debnári tých čias dostali chuť vyrábať nádoby tak, aby pri určitej výške a polomere obvodu upevňovacích krúžkov mali maximálnu kapacitu.

To sa stalo pre Keplera príležitosťou na ďalšie úvahy. Bochars dospel k optimálnemu riešeniu dlhým hľadaním, chybami a novými pokusmi, odovzdávaním skúseností z generácie na generáciu. Ale Kepler chcel proces urýchliť a naučiť sa to isté v krátkom čase pomocou matematických výpočtov. Celý jeho vývoj, zachytený kolegami, sa zmenil na dnes známe vety Fermata a Newtona - Leibniza.

Problém nájsť maximálnu plochu

Predstavte si, že máme drôt, ktorého dĺžka je 50 cm Ako z neho urobiť obdĺžnik, ktorý má najväčšiu plochu?

Pri rozhodovaní by sa malo vychádzať z jednoduchých a dobre známych právd. Je jasné, že obvod našej postavy bude 50 cm.Tiež pozostáva z dvojnásobnej dĺžky oboch strán. To znamená, že po označení jedného z nich ako „X“ môže byť druhý vyjadrený ako (25 – X).

Odtiaľ dostaneme plochu rovnajúcu sa X (25 - X). Tento výraz môže byť reprezentovaný ako funkcia, ktorá nadobúda mnoho hodnôt. Riešenie úlohy si vyžaduje nájsť ich maximum, čo znamená, že by ste mali zistiť extrémne body.

Aby sme to dosiahli, nájdeme prvú deriváciu a prirovnáme ju k nule. Výsledkom je jednoduchá rovnica: 25 - 2X = 0.

Z nej sa dozvieme, že jedna zo strán je X = 12,5.

Preto ďalšie: 25 - 12,5 \u003d 12,5.

Ukazuje sa, že riešením problému bude štvorec so stranou 12,5 cm.

Ako zistiť maximálnu rýchlosť

Uvažujme ešte o jednom príklade. Predstavte si, že existuje teleso, ktorého priamočiary pohyb je opísaný rovnicou S = - t 3 + 9t 2 - 24t - 8, kde prejdená vzdialenosť je vyjadrená v metroch a čas v sekundách. Je potrebné nájsť maximálnu rýchlosť. Ako to spraviť? Stiahnuté nájdite rýchlosť, teda prvú deriváciu.

Dostaneme rovnicu: V = - 3t 2 + 18t - 24. Teraz, aby sme úlohu vyriešili, musíme opäť nájsť extrémne body. Toto sa musí vykonať rovnakým spôsobom ako v predchádzajúcej úlohe. Nájdeme prvú deriváciu rýchlosti a prirovnáme ju k nule.

Dostaneme: - 6t + 18 = 0. Preto t = 3 s. Toto je čas, kedy rýchlosť tela nadobúda kritickú hodnotu. Získané údaje dosadíme do rýchlostnej rovnice a dostaneme: V = 3 m/s.

Ako však pochopiť, že ide presne o maximálnu rýchlosť, pretože kritickými bodmi funkcie môžu byť jej najväčšie alebo najmenšie hodnoty? Ak chcete skontrolovať, musíte nájsť druhú deriváciu rýchlosti. Vyjadruje sa ako číslo 6 so znamienkom mínus. To znamená, že nájdený bod je maximálny. A v prípade kladnej hodnoty druhej derivácie by ich bolo minimum. Nájdené riešenie bolo teda správne.

Úlohy uvedené ako príklad sú len časťou tých, ktoré možno vyriešiť tým, že dokážeme nájsť extrémne body funkcie. V skutočnosti je ich oveľa viac. A takéto poznanie otvára ľudskej civilizácii neobmedzené možnosti.

Zvážte dva zuby známeho profilu píly. Nasmerujme os pozdĺž plochej strany píly a os - kolmo na ňu. Zoberme si graf nejakej funkcie, znázornenej na obr. 1.

Je celkom zrejmé, že v bode aj v bode sa hodnoty funkcie ukážu ako najväčšie v porovnaní s hodnotami v susedných bodoch vpravo a vľavo a v bode - najmenší v porovnaní so susednými bodmi. Body sa nazývajú extrémne body funkcie (z latinského extrému – „extrém“), body a sú maximálne body a bod je minimálny bod (z latinského maxima a minima – „najväčší“ a „najmenší“ “).

Upresnime definíciu extrému.

O funkcii v bode sa hovorí, že má maximum, ak existuje interval obsahujúci bod a patriaci do oblasti funkcie, takže pre všetky body tohto intervalu sa ukáže, že je . Podľa toho má funkcia v bode minimum, ak je podmienka splnená pre všetky body určitého intervalu.

Na obr. Obrázky 2 a 3 znázorňujú grafy funkcií, ktoré majú v bode extrém.

Venujme pozornosť tomu, že podľa definície musí extrémny bod ležať v intervale nastavenia funkcie, a nie na jeho konci. Preto pre funkciu znázornenú na obr. 1, nemožno predpokladať, že má v bode minimum.

Ak v tejto definícii maxima (minima) funkcie nahradíme prísnu nerovnosť neprísnou , potom získame definíciu neprísneho maxima (neprísneho minima). Zoberme si napríklad profil vrcholu hory (obr. 4). Každý bod plochej oblasti - segment je neprísny maximálny bod.

V diferenciálnom počte je štúdium funkcie pre extrémy veľmi efektívne a celkom jednoducho sa vykonáva pomocou derivácie. Jednou z hlavných teorém diferenciálneho počtu, ktorá stanovuje nevyhnutnú podmienku pre extrém diferencovateľnej funkcie, je Fermatova veta (pozri Fermatovu vetu). Nech má funkcia v bode extrém. Ak v tomto bode existuje derivácia, potom sa rovná nule.

V geometrickom jazyku Fermatova veta znamená, že v extrémnom bode je dotyčnica ku grafu funkcie vodorovná (obr. 5). Opačné tvrdenie, samozrejme, nie je pravdivé, čo ukazuje napríklad graf na obr. 6.

Veta je pomenovaná po francúzskom matematikovi P. Fermatovi, ktorý ako jeden z prvých vyriešil množstvo extrémnych problémov. Ešte nemal k dispozícii koncept derivácie, ale pri skúmaní použil metódu, ktorej podstata je vyjadrená vo výroku vety.

Postačujúcou podmienkou pre extrém diferencovateľnej funkcie je zmena znamienka derivácie. Ak v určitom bode derivácia zmení znamienko z mínus na plus, t.j. jeho pokles je nahradený zvýšením, potom bude bod minimálnym bodom. Naopak, bod bude maximálny bod, ak derivácia zmení znamienko z plus na mínus, t.j. prechádza od vzostupu k zostupu.

Bod, v ktorom sa derivácia funkcie rovná nule, sa nazýva stacionárny. Ak sa pre extrém skúma diferencovateľná funkcia, mali by sa nájsť všetky jej stacionárne body a znamienka derivácie by sa mali zvážiť naľavo a napravo od nich.

Skúmame funkciu pre extrém.

Poďme nájsť jeho derivát: .

Obráťme sa na graf funkcie y \u003d x 3 - 3x 2. Uvažujme okolie bodu x = 0, t.j. nejaký interval obsahujúci tento bod. Je logické, že existuje také okolie bodu x \u003d 0, že funkcia y \u003d x 3 - 3x 2 má najväčšiu hodnotu v tomto susedstve v bode x \u003d 0. Napríklad na intervale (- 1; 1) najväčšiu hodnotu rovnajúcu sa 0, funkcia nadobúda v bode x = 0. Bod x = 0 sa nazýva maximálny bod tejto funkcie.

Podobne sa bod x \u003d 2 nazýva minimálny bod funkcie x 3 - 3x 2, pretože v tomto bode hodnota funkcie nie je väčšia ako jej hodnota v inom bode v blízkosti bodu x \u003d 2 , napríklad okolie (1,5; 2,5).

Bod x 0 sa teda nazýva maximálny bod funkcie f (x), ak existuje okolie bodu x 0 - také, že nerovnosť f (x) ≤ f (x 0) je splnená pre všetky x z tohto susedstve.

Napríklad bod x 0 \u003d 0 je maximálny bod funkcie f (x) \u003d 1 - x 2, pretože f (0) \u003d 1 a nerovnosť f (x) ≤ 1 platí pre všetky hodnoty z x.

Minimálny bod funkcie f (x) sa nazýva bod x 0, ak existuje také okolie bodu x 0, že nerovnosť f (x) ≥ f (x 0) je splnená pre všetky x z tohto okolia.

Napríklad bod x 0 \u003d 2 je minimálny bod funkcie f (x) \u003d 3 + (x - 2) 2, pretože f (2) \u003d 3 a f (x) ≥ 3 pre všetky x .

Extrémne body sa nazývajú minimálne body a maximálne body.

Vráťme sa k funkcii f(x), ktorá je definovaná v niektorom okolí bodu x 0 a má v tomto bode deriváciu.

Ak x 0 je extrémny bod diferencovateľnej funkcie f (x), potom f "(x 0) \u003d 0. Toto tvrdenie sa nazýva Fermatova veta.

Fermatova veta má jasný geometrický význam: v extrémnom bode je dotyčnica rovnobežná s osou x, a preto je jej sklon
f "(x 0) je nula.

Napríklad funkcia f (x) \u003d 1 - 3x 2 má maximum v bode x 0 \u003d 0, jej derivácia f "(x) \u003d -2x, f "(0) \u003d 0.

Funkcia f (x) \u003d (x - 2) 2 + 3 má minimum v bode x 0 \u003d 2, f "(x) \u003d 2 (x - 2), f "(2) \u003d 0 .

Všimnite si, že ak f "(x 0) \u003d 0, potom to nestačí na tvrdenie, že x 0 je nevyhnutne extrémny bod funkcie f (x).

Napríklad, ak f (x) \u003d x 3, potom f "(0) \u003d 0. Bod x \u003d 0 však nie je extrémnym bodom, pretože funkcia x 3 sa zvyšuje na celej reálnej osi.

Extrémne body diferencovateľnej funkcie teda treba hľadať len medzi koreňmi rovnice
f "(x) \u003d 0, ale koreň tejto rovnice nie je vždy extrémnym bodom.

Stacionárne body sú body, v ktorých sa derivácia funkcie rovná nule.

Aby bol teda bod x 0 extrémnym bodom, je potrebné, aby bol stacionárnym bodom.

Zvážte dostatočné podmienky na to, aby stacionárny bod bol extrémnym bodom, t.j. podmienky, za ktorých je stacionárny bod minimálnym alebo maximálnym bodom funkcie.

Ak je derivácia naľavo od stacionárneho bodu kladná a napravo záporná, t.j. derivácia zmení znamienko "+" na znamienko "-" pri prechode týmto bodom, potom je tento stacionárny bod maximálnym bodom.

V tomto prípade sa totiž vľavo od stacionárneho bodu funkcia zvyšuje a vpravo klesá, t.j. tento bod je maximálny bod.

Ak derivácia zmení znamienko "-" na znamienko "+" pri prechode cez stacionárny bod, potom tento stacionárny bod je minimálny bod.

Ak derivácia pri prechode stacionárnym bodom nemení znamienko, t.j. derivácia je kladná alebo záporná vľavo a vpravo od stacionárneho bodu, potom tento bod nie je extrémnym bodom.

Pozrime sa na jeden z problémov. Nájdite extrémne body funkcie f (x) \u003d x 4 - 4x 3.

Riešenie.

1) Nájdite deriváciu: f "(x) \u003d 4x 3 - 12x 2 \u003d 4x 2 (x - 3).

2) Nájdite stacionárne body: 4x 2 (x - 3) \u003d 0, x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 3.

3) Pomocou intervalovej metódy zistíme, že derivácia f "(x) \u003d 4x 2 (x - 3) je kladná pre x\u003e 3, záporná pre x< 0 и при 0 < х < 3.

4) Keďže pri prechode bodom x 1 \u003d 0 sa znamienko derivácie nemení, tento bod nie je extrémnym bodom.

5) Pri prechode cez bod x 2 \u003d 3 derivácia zmení znamienko "-" na znamienko "+". Preto je x 2 \u003d 3 minimálny bod.

stránky, s úplným alebo čiastočným kopírovaním materiálu, je potrebný odkaz na zdroj.

Definície:

extrém pomenujte maximálnu alebo minimálnu hodnotu funkcie na danej množine.

extrémny bod je bod, v ktorom sa dosiahne maximálna alebo minimálna hodnota funkcie.

Maximálny bod je bod, v ktorom sa dosiahne maximálna hodnota funkcie.

Nízky bod je bod, v ktorom sa dosiahne minimálna hodnota funkcie.

Vysvetlenie.

Na obrázku v okolí bodu x = 3 funkcia dosahuje svoju maximálnu hodnotu (t. j. v okolí tohto konkrétneho bodu nie je vyšší bod). V okolí x = 8 má opäť maximálnu hodnotu (opäť si to ujasnime: práve v tomto okolí nie je bod nad). V týchto bodoch je nárast nahradený poklesom. Sú to maximálny počet bodov:

xmax = 3, xmax = 8.

V okolí bodu x = 5 je dosiahnutá minimálna hodnota funkcie (teda v okolí x = 5 nie je bod nižšie). V tomto bode je pokles nahradený nárastom. Ide o minimálny bod:

Maximálny a minimálny počet bodov je extrémnych bodov funkcie a hodnoty funkcie v týchto bodoch sú jej extrémy.

Kritické a stacionárne body funkcie:

Nevyhnutná podmienka pre extrém:

Dostatočná podmienka pre extrém:

Na segmente, funkcia r = f(X) môže dosiahnuť svoju minimálnu alebo maximálnu hodnotu buď v kritických bodoch alebo na koncoch segmentu.

Algoritmus na štúdium spojitej funkcier = f(X) pre monotónnosť a extrémy:

Nech je funkcia $z=f(x,y)$ definovaná v nejakom okolí bodu $(x_0,y_0)$. Hovorí sa, že $(x_0,y_0)$ je bod (lokálneho) maxima, ak pre všetky body $(x,y)$ v niektorom okolí $(x_0,y_0)$ je nerovnosť $f(x,y)< f(x_0,y_0)$. Если же для всех точек этой окрестности выполнено условие $f(x,y)>f(x_0,y_0)$, potom sa bod $(x_0,y_0)$ nazýva (lokálny) minimálny bod.

Vysoké a nízke body sa často označujú všeobecným termínom extrémne body.

Ak je $(x_0,y_0)$ maximálny bod, potom sa hodnota funkcie $f(x_0,y_0)$ v tomto bode nazýva maximum funkcie $z=f(x,y)$. Podľa toho sa hodnota funkcie v minimálnom bode nazýva minimum funkcie $z=f(x,y)$. Minimá a maximá funkcie spája spoločný pojem – extrémy funkcie.

Algoritmus na štúdium funkcie $z=f(x,y)$ pre extrém

1. Nájdite parciálne derivácie $\frac(\partial z)(\partial x)$ a $\frac(\partial z)(\partial y)$. Zostavte a vyriešte sústavu rovníc $ \left \( \begin(zarovnané) & \frac(\partial z)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial z)(\partial y)=0 \ end(zarovnané) \right.$ Body, ktorých súradnice spĺňajú špecifikovaný systém, sa nazývajú stacionárne.
2. Nájsť $\frac(\čiastočné^2z)(\čiastočné x^2)$, $\frac(\čiastočné^2z)(\čiastočné x\čiastočné y)$, $\frac(\čiastočné^2z)(\čiastočné y^2)$ a vypočítajte hodnotu $\Delta=\frac(\čiastočné^2z)(\čiastočné x^2)\cdot \frac(\čiastočné^2z)(\čiastočné y^2)-\left(\ frac (\partial^2z)(\partial x\partial y) \right)^2$ v každom stacionárnom bode. Potom použite nasledujúcu schému:
   1. Ak $\Delta > 0$ a $\frac(\partial^2z)(\partial x^2) > 0$ (alebo $\frac(\partial^2z)(\partial y^2) > 0$), potom v skúmanom bode je minimálny bod.
   2. Ak $\Delta > 0$ a $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)< 0$ (или $\frac{\partial^2z}{\partial y^2} < 0$), то в исследуемая точка есть точкой максимума.
   3. Ak $\Delta< 0$, то в расматриваемой стационарной точке экстремума нет.
   4. Ak $\Delta = 0$, potom nemožno povedať nič konkrétne o prítomnosti extrému; je potrebný ďalší výskum.

Poznámka (potrebné pre lepšie pochopenie textu): zobraziť\skryť

Ak $\Delta > 0$, potom $\frac(\partial^2z)(\čiastočné x^2)\cdot \frac(\čiastočné^2z)(\čiastočné y^2)-\left(\frac(\ čiastočné ^2z)(\čiastočné x\čiastočné y) \vpravo)^2 > 0$. A z toho vyplýva, že $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2) > \left(\frac(\partial^2z ) (\čiastočné x\čiastočné y) \vpravo)^2 ≥ 0$. Tie. $\frac(\čiastočné^2z)(\čiastočné x^2)\cdot \frac(\čiastočné^2z)(\čiastočné y^2) > 0$. Ak je súčin niektorých veličín väčší ako nula, potom majú tieto veličiny rovnaké znamienko. To znamená, že ak napríklad $\frac(\partial^2z)(\partial x^2) > 0$, potom $\frac(\partial^2z)(\partial y^2) > 0$. Stručne povedané, ak $\Delta > 0$, potom znamienka $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)$ a $\frac(\partial^2z)(\partial y^2)$ sú rovnaký.

Príklad #1

Preskúmajte funkciu $z=4x^2-6xy-34x+5y^2+42y+7$ pre extrém.

$$ \frac(\čiastočné z)(\čiastočné x)=8x-6y-34; \frac(\čiastočné z)(\čiastočné y)=-6x+10y+42. $$

$$ \vľavo \( \začiatok(zarovnané) & 8x-6y-34=0;\\ & -6x+10y+42=0. \end(zarovnané) \vpravo. $$

Znížime každú rovnicu tohto systému o $2$ a prenesieme čísla na pravú stranu rovníc:

$$ \vľavo \( \začiatok(zarovnané) & 4x-3y=17;\\ & -3x+5y=-21. \end(zarovnané) \vpravo. $$

Získali sme sústavu lineárnych algebraických rovníc. V tejto situácii sa mi javí ako najpohodlnejšia aplikácia Cramerovej metódy na vyriešenie výsledného systému.

$$ \začiatok(zarovnané) & \Delta=\vľavo| \začiatok(pole) (cc) 4 & -3\\ -3 & 5 \koniec(pole)\vpravo|=4\cdot 5-(-3)\cdot (-3)=20-9=11;\ \ & \Delta_x=\left| \začiatok(pole) (cc) 17 & -3\\ -21 & 5 \koniec (pole)\vpravo|=17\cdot 5-(-3)\cdot (-21)=85-63=22;\ \ & \Delta_y=\left| \začiatok(pole) (cc) 4 & 17\\ -3 & -21 \end(pole)\vpravo|=4\cdot (-21)-17\cdot (-3)=-84+51=-33 .\end(zarovnané) \\ x=\frac(\Delta_(x))(\Delta)=\frac(22)(11)=2; \; y=\frac(\Delta_(y))(\Delta)=\frac(-33)(11)=-3. $$

Hodnoty ​​$x=2$, $y=-3$ sú súradnice stacionárneho bodu $(2;-3)$.

$$ \frac(\čiastočné^2 z)(\čiastočné x^2)=8; \frac(\čiastočné^2 z)(\čiastočné y^2)=10; \frac(\čiastočné^2 z)(\čiastočné x \čiastočné y)=-6. $$

Vypočítajme hodnotu $\Delta$:

$$ \Delta=\frac(\čiastočné^2z)(\čiastočné x^2)\cdot \frac(\čiastočné^2z)(\čiastočné y^2)-\left(\frac(\čiastočné^2z)( \čiastočné x\čiastočné y) \vpravo)^2= 8\cbodka 10-(-6)^2=80-36=44. $$

Keďže $\Delta > 0$ a $\frac(\partial^2 z)(\partial x^2) > 0$, potom podľa bodu $(2;-3)$ je minimálny bod funkcie $ z$. Minimum funkcie $z$ nájdeme dosadením súradníc bodu $(2;-3)$ do danej funkcie:

$$ z_(min)=z(2;-3)=4\cdot 2^2-6\cdot 2 \cdot (-3)-34\cdot 2+5\cdot (-3)^2+42\ cdot(-3)+7=-90. $$

Odpoveď: $(2;-3)$ - minimálny bod; $z_(min)=-90$.

Príklad č. 2

Preskúmajte funkciu $z=x^3+3xy^2-15x-12y+1$ pre extrém.

Budeme postupovať podľa vyššie uvedeného. Najprv nájdime parciálne derivácie prvého rádu:

$$ \frac(\čiastočné z)(\čiastočné x)=3x^2+3y^2-15; \frac(\čiastočné z)(\čiastočné y)=6xy-12. $$

Zostavte sústavu rovníc $ \left \( \začiatok(zarovnané) & \frac(\čiastočné z)(\čiastočné x)=0;\\ & \frac(\čiastočné z)(\čiastočné y)=0. \ koniec (zarovnaný)\vpravo.$:

$$ \vľavo \( \začiatok(zarovnané) & 3x^2+3y^2-15=0;\\ & 6xy-12=0. \end(zarovnané) \vpravo. $$

Znížte prvú rovnicu o 3 a druhú o 6.

$$ \vľavo \( \začiatok(zarovnané) & x^2+y^2-5=0;\\ & xy-2=0. \end(zarovnané) \vpravo. $$

Ak $x=0$, potom nás druhá rovnica privedie k rozporu: $0\cdot y-2=0$, $-2=0$. Preto záver: $x\neq 0$. Potom z druhej rovnice máme: $xy=2$, $y=\frac(2)(x)$. Dosadením $y=\frac(2)(x)$ do prvej rovnice dostaneme:

$$ x^2+\left(\frac(2)(x) \right)^2-5=0;\\ x^2+\frac(4)(x^2)-5=0;\\ x^4-5x^2+4=0. $$

Dostali sme bikvadratickú rovnicu. Urobíme substitúciu $t=x^2$ (máme na pamäti, že $t > 0$):

$$ t^2-5t+4=0;\\ \začiatok(zarovnané) & D=(-5)^2-4\cdot 1 \cdot 4=9;\\ & t_1=\frac(-(- 5)-\sqrt(9))(2)=\frac(5-3)(2)=1;\\ & t_2=\frac(-(-5)+\sqrt(9))(2)= \frac(5+3)(2)=4.\end(zarovnané) $$

Ak $t=1$, potom $x^2=1$. Máme teda dve hodnoty $x$: $x_1=1$, $x_2=-1$. Ak $t=4$, potom $x^2=4$, t.j. $x_3=2$, $x_4=-2$. Pamätajúc si, že $y=\frac(2)(x)$, dostaneme:

\begin(zarovnané) & y_1=\frac(2)(x_1)=\frac(2)(1)=2;\\ & y_2=\frac(2)(x_2)=\frac(2)(-1 )=-2;\\ & y_3=\frac(2)(x_3)=\frac(2)(2)=1;\\ & y_4=\frac(2)(x_4)=\frac(2)( -2) = -1. \end (zarovnané)

Takže máme štyri stacionárne body: $M_1(1;2)$, $M_2(-1;-2)$, $M_3(2;1)$, $M_4(-2;-1)$. Tým sa dokončí prvý krok algoritmu.

Teraz prejdime k algoritmu. Nájdite parciálne derivácie druhého rádu:

$$ \frac(\čiastočné^2 z)(\čiastočné x^2)=6x; \frac(\čiastočné^2 z)(\čiastočné y^2)=6x; \frac(\čiastočné^2 z)(\čiastočné x \čiastočné y)=6y. $$

Nájsť $\Delta$:

$$ \Delta=\frac(\čiastočné^2z)(\čiastočné x^2)\cdot \frac(\čiastočné^2z)(\čiastočné y^2)-\left(\frac(\čiastočné^2z)( \čiastočné x\čiastočné y) \vpravo)^2= 6x\cdot 6x-(6y)^2=36x^2-36y^2=36(x^2-y^2). $$

Teraz vypočítame hodnotu $\Delta$ v každom z predtým nájdených stacionárnych bodov. Začnime od bodu $M_1(1;2)$. V tomto bode máme: $\Delta(M_1)=36(1^2-2^2)=-108$. Od $\Delta (M_1)< 0$, то согласно в точке $M_1$ экстремума нет.

Poďme preskúmať bod $M_2(-1;-2)$. V tomto bode máme: $\Delta(M_2)=36((-1)^2-(-2)^2)=-108$. Od $\Delta (M_2)< 0$, то согласно в точке $M_2$ экстремума нет.

Pozrime sa na bod $M_3(2;1)$. V tomto bode dostaneme:

$$ \Delta(M_3)=36(2^2-1^2)=108;\;\; \vľavo.\frac(\čiastočné^2 z)(\čiastočné x^2)\pravé|_(M_3)=6\cdot 2=12. $$

Keďže $\Delta(M_3) > 0$ a $\left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_3) > 0$, potom podľa $M_3(2; 1)$ je minimálny bod funkcie $z$. Minimum funkcie $z$ nájdeme dosadením súradníc bodu $M_3$ do danej funkcie:

$$ z_(min)=z(2;1)=2^3+3\cdot 2\cdot 1^2-15\cdot 2-12\cdot 1+1=-27. $$

Zostáva preskúmať bod $M_4(-2;-1)$. V tomto bode dostaneme:

$$ \Delta(M_4)=36((-2)^2-(-1)^2)=108;\;\; \vľavo.\frac(\čiastočné^2 z)(\čiastočné x^2)\pravé|_(M_4)=6\cdot (-2)=-12. $$

Keďže $\Delta(M_4) > 0$ a $\left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_4)< 0$, то согласно $M_4(-2;-1)$ есть точкой максимума функции $z$. Максимум функции $z$ найдём, подставив в заданную функцию координаты точки $M_4$:

$$ z_(max)=z(-2;-1)=(-2)^3+3\cdot (-2)\cdot (-1)^2-15\cdot (-2)-12\cdot (-1)+1=29. $$

Štúdia extrému je dokončená. Zostáva len zapísať odpoveď.

Odpoveď:

• $(2;1)$ - minimálny bod, $z_(min)=-27$;
• $(-2;-1)$ – maximálny bod, $z_(max)=29$.

Poznámka

Vo všeobecnom prípade nie je potrebné počítať hodnotu $\Delta$, pretože nás zaujíma iba znamienko a nie konkrétna hodnota tohto parametra. Napríklad pre príklad č. 2 uvažovaný vyššie v bode $M_3(2;1)$ máme $\Delta=36\cdot(2^2-1^2)$. Tu je zrejmé, že $\Delta > 0$ (keďže oba faktory $36$ a $(2^2-1^2)$ sú kladné) a nie je možné nájsť konkrétnu hodnotu $\Delta$. Je pravda, že táto poznámka je zbytočná pre typické výpočty - vyžadujú, aby sa výpočty dostali na číslo :)

Príklad č. 3

Preskúmajte funkciu $z=x^4+y^4-2x^2+4xy-2y^2+3$ pre extrém.

Budeme nasledovať. Najprv nájdime parciálne derivácie prvého rádu:

$$ \frac(\čiastočné z)(\čiastočné x)=4x^3-4x+4y; \frac(\čiastočné z)(\čiastočné y)=4y^3+4x-4y. $$

Zostavte sústavu rovníc $ \left \( \začiatok(zarovnané) & \frac(\čiastočné z)(\čiastočné x)=0;\\ & \frac(\čiastočné z)(\čiastočné y)=0. \ koniec (zarovnaný)\vpravo.$:

$$ \vľavo \( \začiatok(zarovnané) & 4x^3-4x+4y=0;\\ & 4y^3+4x-4y=0. \end(zarovnané) \vpravo. $$

Znížime obe rovnice o 4 $:

$$ \vľavo \( \začiatok(zarovnané) & x^3-x+y=0;\\ & y^3+x-y=0. \end(zarovnané) \vpravo. $$

Pridajme prvú rovnicu k druhej a vyjadrime $y$ v podmienkach $x$:

$$ y^3+x-y+(x^3-x+y)=0;\\ y^3+x^3=0; y^3=-x^3; y=-x. $$

Nahradením $y=-x$ do prvej rovnice systému dostaneme:

$$ x^3-x-x=0;\\ x^3-2x=0;\\ x(x^2-2)=0. $$

Z výslednej rovnice máme: $x=0$ alebo $x^2-2=0$. Z rovnice $x^2-2=0$ vyplýva, že $x=-\sqrt(2)$ alebo $x=\sqrt(2)$. Nájdeme teda tri hodnoty $x$, konkrétne: $x_1=0$, $x_2=-\sqrt(2)$, $x_3=\sqrt(2)$. Pretože $y=-x$, potom $y_1=-x_1=0$, $y_2=-x_2=\sqrt(2)$, $y_3=-x_3=-\sqrt(2)$.

Prvý krok riešenia je za nami. Máme tri stacionárne body: $M_1(0;0)$, $M_2(-\sqrt(2),\sqrt(2))$, $M_3(\sqrt(2),-\sqrt(2))$ .

Teraz prejdime k algoritmu. Nájdite parciálne derivácie druhého rádu:

$$ \frac(\čiastočné^2 z)(\čiastočné x^2)=12x^2-4; \frac(\čiastočné^2 z)(\čiastočné y^2)=12y^2-4; \frac(\čiastočné^2 z)(\čiastočné x \čiastočné y)=4. $$

Nájsť $\Delta$:

$$ \Delta=\frac(\čiastočné^2z)(\čiastočné x^2)\cdot \frac(\čiastočné^2z)(\čiastočné y^2)-\left(\frac(\čiastočné^2z)( \čiastočné x\čiastočné y) \vpravo)^2= (12x^2-4)(12y^2-4)-4^2=\\ =4(3x^2-1)\cdot 4(3y^2 -1)-16=16(3x^2-1)(3y^2-1)-16=16\cdot((3x^2-1)(3y^2-1)-1). $$

Teraz vypočítame hodnotu $\Delta$ v každom z predtým nájdených stacionárnych bodov. Začnime od bodu $M_1(0;0)$. V tomto bode máme: $\Delta(M_1)=16\cdot((3\cdot 0^2-1)(3\cdot 0^2-1)-1)=16\cdot 0=0$. Keďže $\Delta(M_1) = 0$, je potrebný ďalší výskum, pretože o prítomnosti extrému v uvažovanom bode nemožno povedať nič konkrétne. Tento bod nechajme zatiaľ tak a prejdime k iným bodom.

Pozrime sa na bod $M_2(-\sqrt(2),\sqrt(2))$. V tomto bode dostaneme:

\begin(zarovnané) & \Delta(M_2)=16\cdot((3\cdot (-\sqrt(2))^2-1)(3\cdot (\sqrt(2))^2-1)- 1)=16\cdot 24=384;\\ & \vľavo.\frac(\čiastočné^2 z)(\čiastočné x^2)\vpravo|_(M_2)=12\cdot (-\sqrt(2) )^2-4=24-4=20. \end (zarovnané)

Keďže $\Delta(M_2) > 0$ a $\vľavo.\frac(\čiastočné^2 z)(\čiastočné x^2)\pravé|_(M_2) > 0$, potom podľa $M_2(-\ sqrt(2),\sqrt(2))$ je minimálny bod funkcie $z$. Minimum funkcie $z$ nájdeme dosadením súradníc bodu $M_2$ do danej funkcie:

$$ z_(min)=z(-\sqrt(2),\sqrt(2))=(-\sqrt(2))^4+(\sqrt(2))^4-2(-\sqrt( 2))^2+4\cdot (-\sqrt(2))\sqrt(2)-2(\sqrt(2))^2+3=-5. $$

Podobne ako v predchádzajúcom bode preskúmame bod $M_3(\sqrt(2),-\sqrt(2))$. V tomto bode dostaneme:

\začiatok(zarovnané) & \Delta(M_3)=16\cdot((3\cdot (\sqrt(2))^2-1)(3\cdot (-\sqrt(2))^2-1)- 1)=16\cdot 24=384;\\ & \left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_3)=12\cdot (\sqrt(2)) ^2-4=24-4=20. \end (zarovnané)

Keďže $\Delta(M_3) > 0$ a $\left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_3) > 0$, potom podľa $M_3(\sqrt (2),-\sqrt(2))$ je minimálny bod funkcie $z$. Minimum funkcie $z$ nájdeme dosadením súradníc bodu $M_3$ do danej funkcie:

$$ z_(min)=z(\sqrt(2),-\sqrt(2))=(\sqrt(2))^4+(-\sqrt(2))^4-2(\sqrt(2) ))^2+4\cdot \sqrt(2)(-\sqrt(2))-2(-\sqrt(2))^2+3=-5. $$

Je čas vrátiť sa do bodu $M_1(0;0)$, kde $\Delta(M_1) = 0$. Vyžaduje sa ďalší výskum. Táto vyhýbavá fráza znamená „rob si, čo chceš“ :). Neexistuje všeobecný spôsob riešenia takýchto situácií – a je to pochopiteľné. Ak by takáto metóda existovala, potom by sa už dávno dostala do všetkých učebníc. Medzitým musíme hľadať špeciálny prístup ku každému bodu, v ktorom $\Delta = 0 $. Poďme teda preskúmať správanie funkcie v blízkosti bodu $M_1(0;0)$. Hneď si všimneme, že $z(M_1)=z(0;0)=3$. Predpokladajme, že $M_1(0;0)$ je minimálny bod. Potom pre ľubovoľný bod $M$ z nejakého okolia bodu $M_1(0;0)$ dostaneme $z(M) > z(M_1) $, t.j. $z(M) > 3$. Čo ak niektorá štvrť obsahuje body, kde $z(M)< 3$? Тогда в точке $M_1$ уж точно не будет минимума.

Uvažujme body, pre ktoré $y=0$, t.j. body tvaru $(x,0)$. V týchto bodoch funkcia $z$ nadobudne nasledujúce hodnoty:

$$ z(x,0)=x^4+0^4-2x^2+4x\cdot 0-2\cdot 0^2+3=x^4-2x^2+3=x^2(x ^2-2)+3. $$

Vo všetkých dostatočne malých štvrtiach $M_1(0;0)$ máme $x^2-2< 0$, посему $x^2(x^2-2) < 0$, откуда следует $x^2(x^2-2)+3 < 3$. Вывод: любая окрестность точки $M_1(0;0)$ содержит точки, в которых $z < 3$, посему точка $M_1(0;0)$ не может быть точкой минимума.

Ale možno je bod $M_1(0;0)$ maximálny bod? Ak je to tak, potom pre akýkoľvek bod $M$ z nejakého okolia bodu $M_1(0;0)$ dostaneme $z(M)< z(M_1) $, т.е. $z(M) < 3$. А вдруг любая окрестность содержит точки, в которых $z(M) >3 doláre? Potom určite nebude maximum v bode $M_1$.

Uvažujme body, pre ktoré $y=x$, t.j. body tvaru $(x,x)$. V týchto bodoch funkcia $z$ nadobudne nasledujúce hodnoty:

$$ z(x,x)=x^4+x^4-2x^2+4x\cdot x-2\cdot x^2+3=2x^4+3. $$

Keďže v ktoromkoľvek okolí bodu $M_1(0;0)$ máme $2x^4 > 0$, potom $2x^4+3 > 3$. Záver: každé okolie bodu $M_1(0;0)$ obsahuje body, kde $z > 3$, takže bod $M_1(0;0)$ nemôže byť maximálnym bodom.

Bod $M_1(0;0)$ nie je ani maximum, ani minimum. Záver: $M_1$ nie je vôbec extrémny bod.

Odpoveď: $(-\sqrt(2),\sqrt(2))$, $(\sqrt(2),-\sqrt(2))$ - minimálny počet bodov funkcie $z$. V oboch bodoch $z_(min)=-5$.