Riešenie nerovností online

Pred riešením nerovníc je potrebné dobre pochopiť, ako sa rovnice riešia.

Nezáleží na tom, či je nerovnosť prísna () alebo neprísna (≤, ≥), prvým krokom je vyriešiť rovnicu nahradením znamienka nerovnosti rovnosťou (=).

Vysvetlite, čo znamená vyriešiť nerovnosť?

Po preštudovaní rovníc má študent v hlave nasledujúci obrázok: musíte nájsť také hodnoty premennej, pre ktoré majú obe časti rovnice rovnaké hodnoty. Inými slovami, nájdite všetky body, kde platí rovnosť. Všetko je správne!

Keď hovoríme o nerovnostiach, znamená to hľadanie intervalov (segmentov), ​​na ktorých nerovnosť platí. Ak sú v nerovnosti dve premenné, tak riešením už nebudú intervaly, ale nejaké plochy v rovine. Hádajte, aké bude riešenie nerovnosti v troch premenných?

Ako vyriešiť nerovnosti?

Metóda intervalov (alias metóda intervalov) sa považuje za univerzálny spôsob riešenia nerovností, ktorý spočíva v určení všetkých intervalov, v rámci ktorých bude daná nerovnosť splnená.

Bez toho, aby sme prešli do typu nerovnosti, v tomto prípade to nie je podstata, je potrebné vyriešiť zodpovedajúcu rovnicu a určiť jej korene, po čom nasleduje označenie týchto riešení na číselnej osi.

Ako správne napísať riešenie nerovnice?

Keď máte určené intervaly riešenia nerovnosti, musíte správne zapísať samotné riešenie. Existuje dôležitá nuansa - sú hranice intervalov zahrnuté v riešení?

Všetko je tu jednoduché. Ak riešenie rovnice vyhovuje ODZ a nerovnosť nie je striktná, potom je hranica intervalu zahrnutá do riešenia nerovnosti. Inak nie.

Vzhľadom na každý interval môže byť riešením nerovnosti samotný interval alebo polovičný interval (keď jedna z jeho hraníc vyhovuje nerovnosti), alebo segment - interval spolu s jeho hranicami.

Dôležitý bod

Nemyslite si, že len intervaly, polovičné intervaly a segmenty môžu byť riešením nerovnosti. Nie, do riešenia je možné zahrnúť aj jednotlivé body.

Napríklad nerovnosť |x|≤0 má len jedno riešenie - bod 0.

A nerovnosť |x|

Na čo slúži kalkulačka nerovností?

Kalkulačka nerovností dáva správnu konečnú odpoveď. V tomto prípade sa vo väčšine prípadov uvádza znázornenie číselnej osi alebo roviny. Môžete vidieť, či sú hranice intervalov zahrnuté v riešení alebo nie - body sú zobrazené vyplnené alebo prepichnuté.

Vďaka online kalkulačke nerovností si môžete skontrolovať, či ste správne našli korene rovnice, označili ich na číselnej osi a skontrolovali podmienky nerovností na intervaloch (a hraniciach)?

Ak sa vaša odpoveď líši od odpovede kalkulačky, určite musíte svoje riešenie ešte raz skontrolovať a identifikovať chybu.

Dnes priatelia nebudú žiadne sople a sentiment. Namiesto toho vás bez ďalších otázok pošlem do boja s jedným z najhrozivejších protivníkov v kurze algebry pre 8. – 9. ročník.

Áno, všetko ste pochopili správne: hovoríme o nerovnostiach s modulom. Pozrieme sa na štyri základné techniky, pomocou ktorých sa naučíte riešiť približne 90 % týchto problémov. A čo zvyšných 10%? No, povieme si o nich v samostatnej lekcii. :)

Pred analýzou akýchkoľvek trikov by som však rád pripomenul dva fakty, ktoré už potrebujete vedieť. V opačnom prípade riskujete, že látku dnešnej lekcie vôbec nepochopíte.

Čo už potrebujete vedieť

Captain Evidence, ako to bolo, naznačuje, že na vyriešenie nerovností pomocou modulu potrebujete vedieť dve veci:

1. Ako sa riešia nerovnosti?
2. Čo je modul.

Začnime druhým bodom.

Definícia modulu

Všetko je tu jednoduché. Existujú dve definície: algebraická a grafická. Začnime s algebrou:

Definícia. Modul čísla $x$ je buď samotné číslo, ak je nezáporné, alebo opačné číslo, ak pôvodné $x$ je stále záporné.

Píše sa to takto:

\[\left| x \vpravo|=\vľavo\( \začiatok(zarovnanie) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\koniec (zarovnanie) \vpravo.\]

Jednoducho povedané, modul je „číslo bez mínusu“. A práve v tejto dualite (niekde nemusíte robiť nič s pôvodným číslom, ale niekde tam musíte odstrániť nejaké mínus) a všetky ťažkosti pre začínajúcich študentov spočívajú.

Existuje aj geometrická definícia. Je tiež užitočné ho poznať, ale budeme sa naň odvolávať iba v zložitých a niektorých špeciálnych prípadoch, kde je geometrický prístup vhodnejší ako algebraický (spoiler: dnes nie).

Definícia. Nech je bod $a$ označený na skutočnej čiare. Potom modul $\left| x-a \vpravo|$ je vzdialenosť od bodu $x$ k bodu $a$ na tejto priamke.

Ak nakreslíte obrázok, dostanete niečo takéto:

Definícia grafického modulu

Tak či onak, jeho kľúčová vlastnosť okamžite vyplýva z definície modulu: modul čísla je vždy nezáporná hodnota. Tento fakt sa bude ťahať ako červená niť celým naším dnešným príbehom.

Riešenie nerovností. Metóda rozstupu

Teraz sa poďme zaoberať nerovnosťami. Je ich veľmi veľa, ale našou úlohou je teraz vedieť vyriešiť aspoň tie najjednoduchšie z nich. Tie, ktoré sú redukované na lineárne nerovnosti, ako aj na metódu intervalov.

Na túto tému mám dva veľké návody (mimochodom veľmi, VEĽMI užitočné - odporúčam naštudovať):

1. Intervalová metóda pre nerovnosti (najmä sledujte video);
2. Zlomkové racionálne nerovnosti sú veľmi objemnou lekciou, no po nej vám nezostanú vôbec žiadne otázky.

Ak toto všetko viete, ak veta „prejdime od nerovnosti k rovnici“ vo vás nevyvoláva túžbu zabiť sa o stenu, potom ste pripravení: vitajte v pekle pri hlavnej téme hodiny. :)

1. Nerovnosti tvaru "Modul menší ako funkcia"

Toto je jedna z najčastejšie sa vyskytujúcich úloh s modulmi. Je potrebné vyriešiť nerovnosť formulára:

\[\left| f\vpravo| \ltg\]

Čokoľvek môže fungovať ako funkcie $f$ a $g$, ale zvyčajne sú to polynómy. Príklady takýchto nerovností:

\[\začiatok(zarovnanie) & \left| 2x+3\vpravo| \ltx+7; \\ & \left| ((x)^(2))+2x-3 \vpravo|+3\vľavo(x+1 \vpravo) \lt 0; \\ & \left| ((x)^(2))-2\left| x \vpravo|-3 \vpravo| \lt 2. \\\end(zarovnať)\]

Všetky sú vyriešené doslova v jednom riadku podľa schémy:

\[\left| f\vpravo| \lt g\Šípka doprava -g \lt f \lt g\quad \left(\Šípka doprava \doľava\( \začiatok(zarovnanie) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\koniec (zarovnanie) \vpravo.\vpravo)\]

Je ľahké vidieť, že sa zbavíme modulu, ale namiesto toho dostaneme dvojitú nerovnosť (alebo, čo je to isté, systém dvoch nerovností). Tento prechod však zohľadňuje absolútne všetky možné problémy: ak je číslo pod modulom kladné, metóda funguje; ak je negatívny, stále funguje; a dokonca aj s najnevhodnejšou funkciou namiesto $f$ alebo $g$ bude metóda stále fungovať.

Prirodzene vyvstáva otázka: nie je to jednoduchšie? Žiaľ, nemôžete. Toto je celý zmysel modulu.

Ale dosť bolo filozofovania. Poďme vyriešiť pár problémov:

Úloha. Vyriešte nerovnosť:

\[\left| 2x+3\vpravo| \ltx+7\]

rozhodnutie. Máme teda klasickú nerovnosť tvaru „modul je menší ako“ – dokonca nie je čo transformovať. Pracujeme podľa algoritmu:

\[\začiatok(zarovnanie) & \left| f\vpravo| \lt g\Šípka doprava -g \lt f \lt g; \\ & \left| 2x+3\vpravo| \lt x+7\Šípka doprava -\doľava(x+7 \doprava) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\koniec (zarovnanie)\]

Neponáhľajte sa s otváraním zátvoriek, ktorým predchádza „mínus“: je celkom možné, že kvôli zhonu urobíte útočnú chybu.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\left\( \začiatok(zarovnanie) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(zarovnanie) \vpravo.\]

\[\left\( \začiatok(zarovnanie) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(zarovnanie) \vpravo.\]

\[\left\( \začiatok(zarovnanie) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(zarovnanie) \vpravo.\]

Problém sa zredukoval na dve základné nerovnosti. Zaznamenávame ich riešenia na paralelných skutočných čiarach:

Priesečník mnohých

Priesečník týchto množín bude odpoveďou.

Odpoveď: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

Úloha. Vyriešte nerovnosť:

\[\left| ((x)^(2))+2x-3 \vpravo|+3\vľavo(x+1 \vpravo) \lt 0\]

rozhodnutie. Táto úloha je trochu náročnejšia. Na začiatok izolujeme modul posunutím druhého výrazu doprava:

\[\left| ((x)^(2))+2x-3 \vpravo| \lt -3\left(x+1 \right)\]

Je zrejmé, že opäť máme nerovnosť tvaru „modul je menej“, takže sa modulu zbavíme podľa už známeho algoritmu:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \right)\]

Teraz pozor: niekto povie, že som trochu perverzný so všetkými týmito zátvorkami. Ale ešte raz vám pripomínam, že naším kľúčovým cieľom je správne vyriešte nerovnosť a získajte odpoveď. Neskôr, keď dokonale zvládnete všetko, čo je popísané v tejto lekcii, môžete sa zvrhnúť, ako chcete: otvárať zátvorky, pridávať mínusy atď.

A na začiatok sa zbavíme dvojitého mínus vľavo:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\left(x+1\right)\]

Teraz otvorme všetky zátvorky v dvojitej nerovnosti:

Prejdime k dvojitej nerovnosti. Tentoraz budú výpočty serióznejšie:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(zarovnať) \vpravo.\]

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( zarovnať)\vpravo.\]

Obe nerovnosti sú štvorcové a riešia sa intervalovou metódou (preto hovorím: ak neviete čo to je, radšej si moduly ešte nebrať). Prejdeme k rovnici v prvej nerovnosti:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\left(x+5 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\end(zarovnať)\]

Ako vidíte, výstupom sa ukázala neúplná kvadratická rovnica, ktorá je elementárne vyriešená. Teraz sa poďme zaoberať druhou nerovnosťou systému. Tam musíte použiť Vietovu vetu:

\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\end(zarovnať)\]

Získané čísla označíme na dvoch rovnobežných čiarach (oddelené pre prvú nerovnosť a oddelené pre druhú):

Opäť, keďže riešime sústavu nerovníc, zaujíma nás priesečník tieňovaných množín: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Toto je odpoveď.

Odpoveď: $x\in \left(-5;-2 \right)$

Myslím, že po týchto príkladoch je schéma riešenia veľmi jasná:

1. Izolujte modul presunutím všetkých ostatných členov na opačnú stranu nerovnosti. Tak dostaneme nerovnosť v tvare $\left| f\vpravo| \ltg$.
2. Vyriešte túto nerovnosť odstránením modulu, ako je opísané vyššie. V istom momente bude potrebné prejsť od dvojitej nerovnosti k systému dvoch nezávislých výrazov, z ktorých každý sa už dá riešiť samostatne.
3. Nakoniec zostáva len skrížiť riešenia týchto dvoch nezávislých výrazov - a je to, dostaneme konečnú odpoveď.

Podobný algoritmus existuje pre nerovnosti nasledujúceho typu, keď je modul väčší ako funkcia. Je tu však pár vážnych „ale“. O týchto „ale“ sa teraz porozprávame.

2. Nerovnosti tvaru "Modul je väčší ako funkcia"

Vyzerajú takto:

\[\left| f\vpravo| \gt g\]

Podobné ako predchádzajúce? Zdá sa, že áno. Napriek tomu sa takéto úlohy riešia úplne iným spôsobom. Formálne je schéma nasledovná:

\[\left| f\vpravo| \gt g\Šípka doprava \doľava[ \začiatok(zarovnanie) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\koniec (zarovnanie) \doprava.\]

Inými slovami, uvažujeme o dvoch prípadoch:

1. Najprv jednoducho ignorujeme modul - riešime obvyklú nerovnosť;
2. Potom v skutočnosti otvoríme modul so znamienkom mínus a potom obe časti nerovnosti vynásobíme −1 so znamienkom.

V tomto prípade sú možnosti kombinované s hranatou zátvorkou, t.j. Máme kombináciu dvoch požiadaviek.

Venujte pozornosť znova: pred nami nie je systém, ale agregát v odpovedi sa množiny spájajú, nepretínajú sa. Toto je zásadný rozdiel oproti predchádzajúcemu odseku!

Vo všeobecnosti má veľa študentov veľa zmätku s odbormi a križovatkami, takže sa na túto otázku pozrime raz a navždy:

• "∪" je znak zreťazenia. V skutočnosti ide o štylizované písmeno „U“, ktoré k nám prišlo z anglického jazyka a je skratkou pre „Union“, t.j. "Asociácie".
• „∩“ je značka križovatky. Toto svinstvo neprišlo odnikiaľ, ale len sa objavilo ako opozícia voči "∪".

Aby ste si to ešte ľahšie zapamätali, pridajte k týmto znakom nohy a vytvorte okuliare (len ma teraz neobviňujte z propagácie drogovej závislosti a alkoholizmu: ak vážne študujete túto lekciu, potom ste už drogovo závislý):

Rozdiel medzi priesečníkom a zjednotením množín

V preklade do ruštiny to znamená nasledovné: zväzok (kolekcia) obsahuje prvky z oboch súborov, teda nie menej ako každý z nich; ale priesečník (systém) zahŕňa len tie prvky, ktoré sú aj v prvej množine aj v druhej. Preto priesečník množín nie je nikdy väčší ako zdrojové množiny.

Takže to bolo jasnejšie? To je skvelé. Prejdime k praxi.

Úloha. Vyriešte nerovnosť:

\[\left| 3x+1 \vpravo| \gt 5-4x\]

rozhodnutie. Postupujeme podľa schémy:

\[\left| 3x+1 \vpravo| \gt 5-4x\šípka doprava \vľavo[ ​​\začiatok(zarovnanie) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\vľavo(5-4x \vpravo) \\\koniec (zarovnanie) \ správny.\]

Riešime každú populačnú nerovnosť:

\[\left[ \začiatok(zarovnanie) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(zarovnanie) \vpravo.\]

\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \začiatok(zarovnanie) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(zarovnanie) \vpravo.\]

Každú výslednú množinu označíme na číselnej osi a potom ich spojíme:

Spojenie množín

Odpoveď je očividne $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Odpoveď: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Úloha. Vyriešte nerovnosť:

\[\left| ((x)^(2))+2x-3 \vpravo| \gtx\]

rozhodnutie. dobre? Nie, všetko je to isté. Od nerovnosti s modulom prejdeme k množine dvoch nerovností:

\[\left| ((x)^(2))+2x-3 \vpravo| \gt x\Šípka doprava \doľava[ \začiatok(zarovnanie) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\koniec (zarovnať) \vpravo.\]

Riešime každú nerovnosť. Bohužiaľ, korene tam nebudú veľmi dobré:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\ &D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\end(zarovnať)\]

V druhej nerovnosti je aj trochu hry:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\ &D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\end(zarovnať)\]

Teraz musíme tieto čísla označiť na dvoch osiach – jedna os pre každú nerovnosť. Musíte však označiť body v správnom poradí: čím väčšie číslo, tým viac sa bod posunie doprava.

A tu čakáme na nastavenie. Ak je všetko jasné s číslami $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (výrazy v čitateli prvého zlomky sú menšie ako členy v čitateli druhého , takže súčet je tiež menší, s číslami $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt (21))(2)$ tiež nebudú žiadne ťažkosti (kladné číslo je samozrejme negatívnejšie), ale s posledným párom nie je všetko také jednoduché. Čo je väčšie: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ alebo $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? Od odpovede na túto otázku bude závisieť usporiadanie bodov na číselných osách a vlastne aj odpoveď.

Tak porovnajme:

\[\začiatok(matica) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matica)\]

Izolovali sme koreň, dostali nezáporné čísla na oboch stranách nerovnosti, takže máme právo odmocniť obe strany:

\[\začiatok(matica) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\koniec (matica)\]

Myslím si, že je zbytočné, že $4\sqrt(13) \gt 3$, takže $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2) $, nakoniec budú body na osiach usporiadané takto:

Prípad škaredých koreňov

Pripomínam, že riešime množinu, takže odpoveďou bude únia, a nie priesečník tieňovaných množín.

Odpoveď: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty\vpravo)$

Ako môžete vidieť, naša schéma funguje skvele pre jednoduché aj veľmi ťažké úlohy. Jediným „slabým miestom“ tohto prístupu je, že musíte správne porovnávať iracionálne čísla (a verte mi: toto nie sú len korene). Ale otázkam porovnávania bude venovaná samostatná (a veľmi vážna lekcia). A ideme ďalej.

3. Nerovnosti s nezápornými „chvostmi“

Tak sme sa dostali k tomu najzaujímavejšiemu. Toto sú tvarové nerovnosti:

\[\left| f\vpravo| \gt\left| g\vpravo|\]

Všeobecne povedané, algoritmus, o ktorom budeme teraz hovoriť, platí len pre modul. Funguje pri všetkých nerovnostiach, kde sú vľavo a vpravo zaručené nezáporné výrazy:

Čo robiť s týmito úlohami? Len si pamätaj:

V nerovnostiach s nezápornými chvostmi môžu byť obe strany povýšené na akúkoľvek prirodzenú silu. Nebudú žiadne ďalšie obmedzenia.

V prvom rade nás bude zaujímať kvadratúra - spaľuje moduly a korene:

\[\začiatok(zarovnať) & ((\vľavo(\vľavo| f \vpravo| \vpravo))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\\end(zarovnať)\]

Len si to nemýľte s prevzatím odmocniny zo štvorca:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\left| f \vpravo|\ne f\]

Keď študent zabudol nainštalovať modul, urobil sa nespočetne veľa chýb! Ale toto je úplne iný príbeh (sú to akoby iracionálne rovnice), takže sa tomu teraz nebudeme venovať. Poďme radšej vyriešiť pár problémov:

Úloha. Vyriešte nerovnosť:

\[\left| x+2 \vpravo|\ge \ľavo| 1-2x \vpravo|\]

rozhodnutie. Hneď si všimneme dve veci:

1. Toto je neprísna nerovnosť. Body na číselnej osi budú vyrazené.
2. Obe strany nerovnosti sú zjavne nezáporné (toto je vlastnosť modulu: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

Preto môžeme odmocniť obe strany nerovnosti, aby sme sa zbavili modulu a vyriešili problém pomocou obvyklej intervalovej metódy:

\[\začiatok(zarovnanie) & ((\vľavo(\vľavo| x+2 \vpravo| \vpravo))^(2))\ge ((\vľavo(\vľavo| 1-2x \vpravo| \vpravo) )^(2)); \\ & ((\left(x+2 \right))^(2))\ge ((\left(2x-1 \right))^(2)). \\\end(zarovnať)\]

V poslednom kroku som trochu podvádzal: zmenil som postupnosť členov pomocou parity modulu (v skutočnosti som výraz $1-2x$ vynásobil -1).

\[\začiatok(zarovnať) & ((\vľavo(2x-1 \vpravo))^(2))-((\vľavo(x+2 \vpravo))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ vpravo)\vpravo)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Riešime intervalovou metódou. Prejdime od nerovnosti k rovnici:

\[\začiatok(zarovnanie) & \ľavý(x-3 \vpravo)\ľavý(3x+1 \vpravo)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\end(zarovnať)\]

Nájdené korene označíme na číselnej osi. Ešte raz: všetky body sú zatienené, pretože pôvodná nerovnosť nie je striktná!

Zbavenie sa znaku modulu

Dovoľte mi pripomenúť pre obzvlášť tvrdohlavých: berieme znamienka z poslednej nerovnosti, ktorá bola zapísaná pred prechodom na rovnicu. A natrieme požadované oblasti v rovnakej nerovnosti. V našom prípade je to $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.

To je všetko. Problém je vyriešený.

Odpoveď: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

Úloha. Vyriešte nerovnosť:

\[\left| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \vpravo|\]

rozhodnutie. Všetko robíme rovnako. Nebudem to komentovať - ​​stačí sa pozrieť na postupnosť akcií.

Urobme to na druhú:

\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le (\left(\left | ((x)^(2))+3x+4 \right| \right))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \right))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))-((\left(((x)^(2))+3x+4 \ vpravo))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \vpravo)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Metóda medzier:

\[\začiatok(zarovnanie) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Šípka vpravo x=-1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\šípka doprava D=16-40 \lt 0\šípka doprava \varnothing . \\\end(zarovnať)\]

Na číselnej osi je iba jeden koreň:

Odpoveďou je celý rad

Odpoveď: $x\in \left[ -1.5;+\infty \right)$.

Malá poznámka k poslednej úlohe. Ako presne poznamenal jeden z mojich študentov, oba výrazy podmodulov v tejto nerovnosti sú zjavne kladné, takže znamienko modulu možno bez ujmy na zdraví vynechať.

Ale to je už úplne iná úroveň myslenia a iný prístup - možno to podmienečne nazvať metódou dôsledkov. O ňom - ​​v samostatnej lekcii. A teraz prejdime k poslednej časti dnešnej lekcie a pouvažujme nad univerzálnym algoritmom, ktorý vždy funguje. Aj keď všetky predchádzajúce prístupy boli bezmocné. :)

4. Spôsob enumerácie možností

Čo ak všetky tieto triky nefungujú? Ak sa nerovnosť nezredukuje na nezáporné chvosty, ak nie je možné izolovať modul, ak vôbec bolesť-smútok-túžba?

Potom na scénu vstupuje „ťažké delostrelectvo“ všetkej matematiky – metóda enumerácie. Čo sa týka nerovností s modulom, vyzerá to takto:

1. Napíšte všetky výrazy podmodulov a prirovnajte ich k nule;
2. Vyriešte výsledné rovnice a označte nájdené korene na jednej číselnej osi;
3. Priamka bude rozdelená na niekoľko úsekov, v rámci ktorých má každý modul pevné znamienko a teda sa jednoznačne rozširuje;
4. Vyriešte nerovnosť na každom takomto úseku (môžete samostatne zvážiť hraničné korene získané v odseku 2 - kvôli spoľahlivosti). Skombinujte výsledky - toto bude odpoveď. :)

No, ako? slabý? Jednoducho! Len na dlho. Pozrime sa v praxi:

Úloha. Vyriešte nerovnosť:

\[\left| x+2 \vpravo| \lt\left| x-1 \vpravo|+x-\frac(3)(2)\]

rozhodnutie. Toto svinstvo sa nezredukuje na nerovnosti ako $\left| f\vpravo| \lt g$, $\left| f\vpravo| \gt g$ alebo $\left| f\vpravo| \lt\left| g \right|$, tak poďme ďalej.

Vypíšeme výrazy podmodulov, prirovnáme ich k nule a nájdeme korene:

\[\začiatok(zarovnanie) & x+2=0\šípka doprava x=-2; \\ & x-1=0\Šípka doprava x=1. \\\end(zarovnať)\]

Celkovo máme dva korene, ktoré rozdeľujú číselnú os na tri časti, v ktorých je každý modul odhalený jedinečne:

Rozdelenie číselného radu nulami submodulárnych funkcií

Pozrime sa na každú časť samostatne.

1. Nech $x \lt -2$. Potom sú oba výrazy submodulu záporné a pôvodná nerovnosť sa prepíše takto:

\[\začiatok(zarovnanie) & -\vľavo(x+2 \vpravo) \lt -\vľavo(x-1 \vpravo)+x-1,5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x-1,5 \\ & x \gt 1,5 \\\end(align)\]

Máme pomerne jednoduché obmedzenie. Preložme to s pôvodným predpokladom, že $x \lt -2$:

\[\vľavo\( \začiatok(zarovnanie) & x \lt -2 \\ & x \gt 1,5 \\\koniec (zarovnanie) \vpravo.\Šípka doprava x\v \varnothing \]

Je zrejmé, že premenná $x$ nemôže byť súčasne menšia ako -2, ale väčšia ako 1,5. V tejto oblasti neexistujú žiadne riešenia.

1.1. Uvažujme osobitne o hraničnom prípade: $x=-2$. Dosadíme toto číslo do pôvodnej nerovnosti a skontrolujeme: platí?

\[\začiatok(zarovnať) & ((\vľavo. \vľavo| x+2 \vpravo| \lt \vľavo| x-1 \vpravo|+x-1,5 \vpravo|)_(x=-2) ) \\ & 0 \lt \left| -3 \vpravo|-2-1,5; \\ & 0 \lt 3-3,5; \\ & 0 \lt -0,5\šípka doprava \varnothing . \\\end(zarovnať)\]

Je zrejmé, že reťazec výpočtov nás priviedol k nesprávnej nerovnosti. Pôvodná nerovnosť je teda tiež nepravdivá a $x=-2$ nie je zahrnuté v odpovedi.

2. Teraz nech $-2 \lt x \lt 1$. Ľavý modul sa už otvorí s „pluskom“, ale pravý je stále s „mínusom“. Máme:

\[\začiatok(zarovnanie) & x+2 \lt -\vľavo(x-1 \vpravo)+x-1,5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1,5 \\& x \lt - 2,5 \\\koniec (zarovnanie)\]

Opäť sa stretávame s pôvodnou požiadavkou:

\[\vľavo\( \začiatok(zarovnanie) & x \lt -2,5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\koniec (zarovnanie) \vpravo.\Šípka doprava x\v \varnothing \]

A opäť prázdna množina riešení, pretože neexistujú čísla, ktoré by boli menšie ako -2,5 a zároveň väčšie ako -2.

2.1. A opäť špeciálny prípad: $x=1$. Do pôvodnej nerovnosti dosadíme:

\[\začiatok(zarovnať) & ((\vľavo. \vľavo| x+2 \vpravo| \lt \vľavo| x-1 \vpravo|+x-1,5 \vpravo|)_(x=1)) \\ & \left| 3\vpravo| \lt\left| 0 \vpravo|+1-1,5; \\ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0,5\Šípka doprava \varnothing . \\\end(zarovnať)\]

Podobne ako v predchádzajúcom „zvláštnom prípade“ v odpovedi zjavne nie je zahrnuté číslo $x=1$.

3. Posledný kus riadku: $x \gt 1$. Tu sú všetky moduly rozšírené o znamienko plus:

\[\začiatok(zarovnanie) & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x \gt 4,5 \\ \koniec (zarovnanie)\ ]

A opäť pretíname nájdenú množinu s pôvodným obmedzením:

\[\vľavo\( \začiatok(zarovnanie) & x \gt 4,5 \\ & x \gt 1 \\\koniec (zarovnanie) \vpravo.\Šípka doprava x\in \left(4,5;+\infty \správny)\]

Konečne! Našli sme interval, ktorý bude odpoveďou.

Odpoveď: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

Na záver jedna poznámka, ktorá vás môže zachrániť pred hlúpymi chybami pri riešení skutočných problémov:

Riešenia nerovností modulmi sú zvyčajne súvislé množiny na číselnej osi – intervaly a segmenty. Izolované body sú oveľa zriedkavejšie. A ešte zriedkavejšie sa stáva, že hranice riešenia (koniec segmentu) sa zhodujú s hranicou posudzovaného rozsahu.

V dôsledku toho, ak hranice (tie isté „špeciálne prípady“) nie sú zahrnuté v odpovedi, potom oblasti naľavo-vpravo od týchto hraníc takmer určite nebudú zahrnuté do odpovede. A naopak: hranica vstúpila ako odpoveď, čo znamená, že niektoré oblasti okolo nej budú tiež odpoveďami.

Majte to na pamäti, keď budete kontrolovať svoje riešenia.

Lineárne nerovnosti sú tzv ktorých ľavá a pravá časť sú lineárne funkcie vzhľadom na neznámu hodnotu. Patria sem napríklad nerovnosti:

2x-1-x+3; 7x0;

5 >4 - 6x 9- X< x + 5 .

1) Prísne nerovnosti: ax+b>0 alebo sekera+b<0

2) Neprísne nerovnosti: ax+b≤0 alebo sekera+b≫ 0

Zoberme si túto úlohu. Jedna strana rovnobežníka má 7 cm. Aká by mala byť dĺžka druhej strany, aby obvod rovnobežníka bol väčší ako 44 cm?

Nech je požadovaná strana X pozri V tomto prípade bude obvod rovnobežníka reprezentovaný (14 + 2x) pozri Nerovnosť 14 + 2x > 44 je matematický model úlohy obvodu rovnobežníka. Ak v tejto nerovnosti nahradíme premennú X napríklad na čísle 16, potom dostaneme správnu číselnú nerovnosť 14 + 32\u003e 44. V tomto prípade hovoríme, že číslo 16 je riešením nerovnosti 14 + 2x\u003e 44.

Riešenie nerovnosti pomenujte hodnotu premennej, ktorá ju zmení na skutočnú číselnú nerovnosť.

Preto každé z čísel 15.1; 20;73 funguje ako riešenie nerovnice 14 + 2x > 44 a napríklad číslo 10 nie je jej riešením.

Vyriešte nerovnosť znamená stanoviť všetky svoje riešenia alebo dokázať, že riešenia neexistujú.

Formulácia riešenia nerovnice je podobná formulácii koreňa rovnice. A predsa nie je zvykom označovať „koreň nerovnosti“.

Vlastnosti číselných rovníc nám pomohli vyriešiť rovnice. Podobne aj vlastnosti numerických nerovností pomôžu pri riešení nerovností.

Riešením rovnice ju zmeníme na inú, jednoduchšiu rovnicu, ale ekvivalentnú danej rovnici. Podobným spôsobom sa nájde odpoveď aj na nerovnosti. Pri zmene rovnice na rovnicu jej ekvivalentnú využívajú vetu o prenose členov z jednej časti rovnice do opačnej a o násobení oboch častí rovnice rovnakým nenulovým číslom. Pri riešení nerovnice je medzi ňou a rovnicou podstatný rozdiel, ktorý spočíva v tom, že akékoľvek riešenie rovnice je možné skontrolovať jednoduchým dosadením do pôvodnej rovnice. V nerovniciach takáto metóda neexistuje, keďže do pôvodnej nerovnosti nie je možné dosadiť nekonečné množstvo riešení. Preto existuje dôležitý koncept, tieto šípky<=>je znak ekvivalentných alebo ekvivalentných transformácií. Transformácia sa nazýva ekvivalent alebo ekvivalent ak nezmenia súbor rozhodnutí.

Podobné pravidlá pre riešenie nerovností.

Ak sa ktorýkoľvek člen presunie z jednej časti nerovnosti do druhej, pričom jeho znamienko nahradíme opačným, dostaneme nerovnosť ekvivalentnú danému.

Ak sú obe časti nerovnosti vynásobené (delené) rovnakým kladným číslom, potom dostaneme nerovnosť ekvivalentnú danej.

Ak sa obe časti nerovnosti vynásobia (vydelia) rovnakým záporným číslom, pričom znamienko nerovnosti nahradíme opačným, dostaneme nerovnosť ekvivalentnú danému.

Pomocou týchto predpisov vypočítame nasledujúce nerovnosti.

1) Poďme analyzovať nerovnosť 2x - 5 > 9.

Toto je lineárna nerovnosť nájdite jeho riešenie a diskutujte o základných pojmoch.

2x - 5 > 9<=>2x > 14(5 bola presunutá na ľavú stranu s opačným znamienkom), potom sme všetko vydelili 2 a máme x > 7. Na os aplikujeme sadu riešení X

Získali sme kladne nasmerovaný lúč. Množinu riešení zaznamenáme buď vo forme nerovnosti x > 7, alebo ako interval x(7; ∞). A aké je konkrétne riešenie tejto nerovnosti? Napríklad, x=10 je konkrétnym riešením tejto nerovnosti, x=12 je tiež konkrétnym riešením tejto nerovnosti.

Existuje veľa konkrétnych riešení, ale našou úlohou je nájsť všetky riešenia. A riešení je zvyčajne nekonečne veľa.

Poďme analyzovať príklad 2:

2) Vyriešte nerovnosť 4a - 11 > a + 13.

Poďme to vyriešiť: a presunúť na jednu stranu 11 presunúť na druhú stranu, dostaneme 3a< 24, и в результате после деления обеих частей на 3 nerovnosť má formu a<8 .

4a - 11 > a + 13<=>3a< 24 <=>a< 8 .

Zostavu aj vystavíme a< 8 , ale už na osoh a.

Odpoveď je buď napísaná ako nerovnica a< 8, либо a(-∞;8), 8 sa nezapne.

Nerovnosť je výraz s, ≤ alebo ≥. Napríklad 3x - 5 Vyriešiť nerovnosť znamená nájsť všetky hodnoty premenných, pre ktoré táto nerovnosť platí. Každé z týchto čísel je riešením nerovnosti a množina všetkých takýchto riešení je jeho veľa riešení. Nerovnice, ktoré majú rovnakú množinu riešení, sa nazývajú ekvivalentné nerovnosti.

Lineárne nerovnosti

Princípy riešenia nerovníc sú podobné princípom riešenia rovníc.

Zásady riešenia nerovností
Pre akékoľvek reálne čísla a, b a c:
Princíp sčítania nerovností: Ak Princíp násobenia nerovností: Ak je a 0 pravda, potom ac Ak je pravda aj a bc.
Podobné tvrdenia platia aj pre a ≤ b.

Keď sa obe strany nerovnosti vynásobia záporným číslom, znamienko nerovnosti je potrebné obrátiť.
Nerovnosti prvej úrovne, ako v príklade 1 (nižšie), sa nazývajú lineárne nerovnosti.

Príklad 1 Vyriešte každú z nasledujúcich nerovností. Potom nakreslite sadu riešení.
a) 3x - 5 b) 13 - 7x ≥ 10x - 4
rozhodnutie
Akékoľvek číslo menšie ako 11/5 je riešením.
Množina riešení je (x|x
Na kontrolu môžeme vyniesť y 1 = 3x - 5 a y 2 = 6 - 2x. Potom je odtiaľto vidieť, že pre x
Súbor riešení je (x|x ≤ 1) alebo (-∞, 1]. Graf súboru riešení je uvedený nižšie.

Dvojité nerovnosti

Keď sú dve nerovnosti spojené slovom a, alebo, potom sa vytvorí dvojitá nerovnosť. Dvojitá nerovnosť ako
-3 a 2x + 5 ≤ 7
volal pripojený pretože používa a. Záznam -3 Dvojité nerovnosti je možné riešiť pomocou princípov sčítania a násobenia nerovností.

Príklad 2 Riešiť -3 rozhodnutie Máme

Súbor riešení (x|x ≤ -1 alebo x > 3). Riešenie môžeme zapísať aj pomocou zápisu medzier a symbolu pre združenia alebo inklúzie oboch množín: (-∞ -1] (3, ∞) Graf množiny riešení je uvedený nižšie.

Ak chcete otestovať, nakreslite y 1 = 2x - 5, y 2 = -7 a y 3 = 1. Všimnite si, že pre (x|x ≤ -1 alebo x > 3), y1 ≤ y2 alebo y1 > y3.

Nerovnosti s absolútnou hodnotou (modul)

Nerovnosti niekedy obsahujú moduly. Na ich riešenie sa používajú nasledujúce vlastnosti.
Pre a > 0 a algebraický výraz x:
|x| |x| > a je ekvivalentné x alebo x > a.
Podobné tvrdenia pre |x| ≤ a a |x| ≥ a.

Napríklad,
|x| |y| ≥ 1 je ekvivalentné y ≤ -1 alebo y > 1;
a |2x + 3| ≤ 4 je ekvivalentné -4 ≤ 2x + 3 ≤ 4.

Príklad 4 Vyriešte každú z nasledujúcich nerovností. Nakreslite súbor riešení.
a) |3x + 2| b) |5 - 2x| ≥ 1

rozhodnutie
a) |3x + 2|

Sada riešení je (x|-7/3
b) |5 - 2x| ≥ 1
Množina riešení je (x|x ≤ 2 alebo x ≥ 3), alebo (-∞, 2] )