Kinetická energia rotujúceho telesa sa rovná súčtu kinetických energií všetkých častíc telesa:

Hmotnosť akejkoľvek častice, jej lineárna (obvodová) rýchlosť, úmerná vzdialenosti tejto častice od osi rotácie. Ak do tohto výrazu dosadíme a vyberieme zo znamienka súčtu uhlovú rýchlosť o spoločnú pre všetky častice, zistíme:

Tento vzorec pre kinetickú energiu rotujúceho telesa môžeme zredukovať do podoby podobnej výrazu pre kinetickú energiu translačného pohybu, ak zavedieme hodnotu takzvaného momentu zotrvačnosti telesa. Moment zotrvačnosti hmotného bodu je súčinom hmotnosti bodu a druhej mocniny jeho vzdialenosti od osi rotácie. Moment zotrvačnosti telesa je súčtom momentov zotrvačnosti všetkých hmotných bodov telesa:

Kinetická energia rotujúceho telesa je teda určená nasledujúcim vzorcom:

Vzorec (2) sa líši od vzorca, ktorý určuje kinetickú energiu telesa pri translačnom pohybe v tom, že namiesto hmotnosti telesa sem vstupuje moment zotrvačnosti I a namiesto rýchlosti skupinová rýchlosť.

Veľká kinetická energia rotujúceho zotrvačníka sa v technike využíva na udržanie rovnomernosti stroja pri náhle sa meniacom zaťažení. Na uvedenie zotrvačníka s veľkým momentom zotrvačnosti do rotácie si stroj najprv vyžaduje značnú prácu, ale pri náhlom zapnutí veľkej záťaže sa stroj nezastaví a pracuje vďaka rezerve kinetickej energie zotrvačníka.

Obzvlášť masívne zotrvačníky sa používajú vo valcovniach poháňaných elektromotorom. Tu je popis jedného z týchto kolies: „Koleso má priemer 3,5 m a váži Pri normálnej rýchlosti 600 otáčok za minútu je kinetická energia kolesa taká, že v čase odvaľovania kolesa dáva mlynu výkon. 20 000 litrov. s Trenie v ložiskách je rozprávkovo pod tlakom udržiavané na minime a aby nedochádzalo k škodlivému pôsobeniu odstredivých zotrvačných síl, koleso je vyvážené tak, aby ho zaťaženie umiestnené na obvode kolesa vyviedlo z pokoja.

Uvádzame (bez vykonania výpočtov) hodnoty momentov zotrvačnosti niektorých telies (predpokladá sa, že každé z týchto telies má rovnakú hustotu vo všetkých svojich sekciách).

Moment zotrvačnosti tenkého prstenca okolo osi prechádzajúcej jeho stredom a kolmej na jeho rovinu (obr. 55):

Moment zotrvačnosti kruhového disku (alebo valca) okolo osi prechádzajúcej jeho stredom a kolmej na jeho rovinu (polárny moment zotrvačnosti disku; obr. 56):

Moment zotrvačnosti tenkého kruhového kotúča okolo osi zhodnej s jeho priemerom (ekvatoriálny moment zotrvačnosti kotúča; obr. 57):

Moment zotrvačnosti lopty okolo osi prechádzajúcej stredom lopty:

Moment zotrvačnosti tenkej guľovej vrstvy s polomerom okolo osi prechádzajúcej stredom:

Moment zotrvačnosti hrubej guľovej vrstvy (dutá guľa s polomerom vonkajšieho povrchu a polomerom dutiny) okolo osi prechádzajúcej stredom:

Výpočet momentov zotrvačnosti telies sa vykonáva pomocou integrálneho počtu. Pre predstavu o priebehu takýchto výpočtov nájdeme moment zotrvačnosti tyče vzhľadom na os, ktorá je na ňu kolmá (obr. 58). Nech existuje časť tyče, hustota. Vyčleníme elementárne malú časť tyče, ktorá má dĺžku a nachádza sa vo vzdialenosti x od osi otáčania. Potom jeho hmotnosť Pretože je vo vzdialenosti x od osi rotácie, potom jeho moment zotrvačnosti Integrujeme od nuly do I:

Moment zotrvačnosti pravouhlého rovnobežnostena okolo osi súmernosti (obr. 59)

Moment zotrvačnosti prstencového torusu (obr. 60)

Uvažujme, ako súvisí energia rotácie telesa valiaceho sa (bez kĺzania) po rovine s energiou translačného pohybu tohto telesa,

Energia translačného pohybu valivého telesa je , kde je hmotnosť telesa a rýchlosť translačného pohybu. Označme uhlovú rýchlosť otáčania valivého telesa a polomer telesa. Je ľahké pochopiť, že rýchlosť translačného pohybu telesa valiaceho sa bez kĺzania sa rovná obvodovej rýchlosti telesa v bodoch dotyku telesa s rovinou (v čase, keď teleso vykoná jednu otáčku, ťažisko tela sa pohybuje na vzdialenosť, preto,

teda

Rotačná energia

teda,

Ak tu nahradíme vyššie uvedené hodnoty momentov zotrvačnosti, zistíme, že:

a) energia rotačného pohybu rolovacej obruče sa rovná energii jej translačného pohybu;

b) energia rotácie valivého homogénneho disku sa rovná polovici energie translačného pohybu;

c) energia rotácie valiacej sa homogénnej gule je energiou translačného pohybu.

Závislosť momentu zotrvačnosti od polohy osi otáčania. Tyč (obr. 61) s ťažiskom v bode C necháme otáčať uhlovou rýchlosťou (o okolo osi O, kolmej na rovinu kresby. Predpokladajme, že za určitý čas sa presunula z polohy A B do a ťažisko opísalo oblúk. Túto pohybovú tyč možno považovať za takú, ako keby sa tyč najprv translačne (to znamená, že zostala rovnobežná so sebou) presunula do polohy a potom sa otočila okolo C do polohy Označme (vzdialenosť stredu gravitácia od osi rotácie) o a, a uhol o Keď sa tyč pohybuje z polohy A V polohe, posunutie každej jej častice je rovnaké ako posunutie ťažiska, t.j. rovná sa alebo To získať skutočný pohyb tyče, môžeme predpokladať, že oba tieto pohyby sa vykonávajú súčasne.okolo osi prechádzajúcej cez O možno rozložiť na dve časti.

Určme kinetickú energiu tuhého telesa otáčajúceho sa okolo pevnej osi. Rozdeľme toto teleso na n hmotných bodov. Každý bod sa pohybuje lineárnou rýchlosťou υ i =ωr i, potom kinetická energia bodu

alebo

Celková kinetická energia rotujúceho tuhého telesa sa rovná súčtu kinetických energií všetkých jeho hmotných bodov:

(3.22)

(J - moment zotrvačnosti telesa okolo osi rotácie)

Ak trajektórie všetkých bodov ležia v rovnobežných rovinách (ako valec kotúľajúci sa po naklonenej rovine, každý bod sa pohybuje vo svojej vlastnej rovine obr), je to plochý pohyb. Rovinný pohyb možno podľa Eulerovho princípu vždy nekonečným množstvom spôsobov rozložiť na pohyb translačný a rotačný. Ak loptička padá alebo kĺže po naklonenej rovine, pohybuje sa iba dopredu; keď sa gulička kotúľa, tak sa aj otáča.

Ak teleso vykonáva translačný a rotačný pohyb súčasne, potom sa jeho celková kinetická energia rovná

(3.23)

Z porovnania vzorcov pre kinetickú energiu pre translačné a rotačné pohyby je vidieť, že mierou zotrvačnosti pri rotačnom pohybe je moment zotrvačnosti telesa.

§ 3.6 Práca vonkajších síl pri otáčaní tuhého telesa

Keď sa tuhé teleso otáča, jeho potenciálna energia sa nemení, preto sa elementárna práca vonkajších síl rovná prírastku kinetickej energie telesa:

dA = dE alebo

Ak vezmeme do úvahy, že Jβ = M, ωdr = dφ, máme α telesa v konečnom uhle φ rovné

(3.25)

Keď sa tuhé teleso otáča okolo pevnej osi, práca vonkajších síl je určená pôsobením momentu týchto síl okolo danej osi. Ak je moment síl okolo osi rovný nule, potom tieto sily nevytvárajú prácu.

Príklady riešenia problémov

Príklad 2.1. hmotnosť zotrvačníkam= 5 kg a polomerr= 0,2 m sa otáča okolo horizontálnej osi s frekvenciouν 0 = 720 min -1 a zastaví sa pri brzdenít= 20 s. Pred zastavením zistite brzdný moment a počet otáčok.

Na určenie brzdného momentu aplikujeme základnú rovnicu pre dynamiku rotačného pohybu

kde I=mr 2 je moment zotrvačnosti disku; Δω \u003d ω - ω 0 a ω \u003d 0 je konečná uhlová rýchlosť, ω 0 \u003d 2πν 0 je počiatočná. M je brzdný moment síl pôsobiacich na kotúč.

So znalosťou všetkých veličín je možné určiť brzdný moment

Pán 2 2πν 0 = МΔt (1)

(2)

Z kinematiky rotačného pohybu sa dá pomocou vzorca určiť uhol natočenia počas otáčania disku po zastavenie

(3)

kde β je uhlové zrýchlenie.

Podľa podmienky úlohy: ω = ω 0 - βΔt, keďže ω=0, ω 0 = βΔt

Potom výraz (2) možno zapísať ako:

Príklad 2.2. Dva zotrvačníky vo forme kotúčov s rovnakými polomermi a hmotnosťou boli roztočené až na rýchlosť otáčanian= 480 otáčok za minútu a ponechané pre seba. Pod pôsobením trecích síl hriadeľov na ložiská sa prvý zastavil pot\u003d 80 s a druhý ánoN= 240 otáčok na zastavenie. V ktorom zotrvačníku bol moment trecích síl hriadeľov na ložiskách väčší a koľkokrát.

Moment síl tŕňov M 1 prvého zotrvačníka zistíme pomocou základnej rovnice dynamiky rotačného pohybu

M 1 Δt \u003d Iω 2 - Iω 1

kde Δt je čas pôsobenia momentu trecích síl, I \u003d mr 2 - moment zotrvačnosti zotrvačníka, ω 1 \u003d 2πν a ω 2 \u003d 0 sú počiatočné a konečné uhlové rýchlosti zotrvačníkov

Potom

Moment trecích síl M 2 druhého zotrvačníka je vyjadrený vzťahom medzi prácou A trecích síl a zmenou jeho kinetickej energie ΔE k:

kde Δφ = 2πN je uhol natočenia, N je počet otáčok zotrvačníka.

Potom kde

O pomer bude

Trecí moment druhého zotrvačníka je 1,33-krát väčší.

Príklad 2.3. Hmotnosť homogénneho pevného disku m, hmotnosti bremien m 1 a m 2 (obr.15). Nedochádza k preklzávaniu a treniu závitu v osi valca. Nájdite zrýchlenie hmôt a pomer napätí nitív procese pohybu.

Nedochádza k preklzávaniu závitu, preto keď m 1 a m 2 budú vykonávať translačný pohyb, valec sa bude otáčať okolo osi prechádzajúcej bodom O. Pre istotu predpokladajme, že m 2 > m 1.

Potom sa zaťaženie m 2 zníži a valec sa otáča v smere hodinových ručičiek. Zapíšme si pohybové rovnice telies zaradených do sústavy

Prvé dve rovnice sú napísané pre telesá s hmotnosťou m 1 a m 2 vykonávajúce translačný pohyb a tretia rovnica je pre rotujúci valec. V tretej rovnici je vľavo celkový moment síl pôsobiacich na valec (moment sily T 1 sa berie so znamienkom mínus, pretože sila T 1 má tendenciu otáčať valec proti smeru hodinových ručičiek). Vpravo je I moment zotrvačnosti valca okolo osi O, ktorý sa rovná

kde R je polomer valca; β je uhlové zrýchlenie valca.

Keďže nedochádza k preklzu nite,
. Ak vezmeme do úvahy výrazy pre I a β, dostaneme:

Sčítaním rovníc systému sa dostaneme k rovnici

Odtiaľto nájdeme zrýchlenie a nákladu

Z výslednej rovnice je vidieť, že napätia nití budú rovnaké, t.j. = 1, ak je hmotnosť valca oveľa menšia ako hmotnosť závaží.

Príklad 2.4. Dutá guľa s hmotnosťou m = 0,5 kg má vonkajší polomer R = 0,08 m a vnútorný polomer r = 0,06 m. Lopta sa otáča okolo osi prechádzajúcej jej stredom. V určitom momente začne na loptičku pôsobiť sila, v dôsledku čoho sa mení uhol natočenia loptičky podľa zákona
. Určte moment pôsobiacej sily.

Úlohu riešime pomocou základnej rovnice dynamiky rotačného pohybu
. Hlavným problémom je určiť moment zotrvačnosti dutej gule a uhlové zrýchlenie β sa zistí ako
. Moment zotrvačnosti I dutej gule sa rovná rozdielu momentov zotrvačnosti gule s polomerom R a gule s polomerom r:

kde ρ je hustota materiálu gule. Zisťujeme hustotu, pričom poznáme hmotnosť dutej gule

Odtiaľ určujeme hustotu materiálu gule

Pre moment sily M dostaneme nasledujúci výraz:

Príklad 2.5. Tenká tyč s hmotnosťou 300 g a dĺžkou 50 cm sa otáča uhlovou rýchlosťou 10 s -1 vo vodorovnej rovine okolo zvislej osi prechádzajúcej stredom tyče. Nájdite uhlovú rýchlosť, ak sa počas otáčania v rovnakej rovine tyč pohybuje tak, že os otáčania prechádza koncom tyče.

Používame zákon zachovania momentu hybnosti

(1)

(J i - moment zotrvačnosti tyče vzhľadom na os otáčania).

Pre izolovanú sústavu telies zostáva vektorový súčet momentu hybnosti konštantný. Vzhľadom na to, že sa mení rozloženie hmotnosti tyče vzhľadom na os otáčania, mení sa aj moment zotrvačnosti tyče v súlade s (1):

J0coi = J2co2. (2)

Je známe, že moment zotrvačnosti tyče okolo osi prechádzajúcej ťažiskom a kolmej na tyč je rovný

J 0 \u003d mℓ 2/12. (3)

Podľa Steinerovej vety

J = Jo + m a 2

(J je moment zotrvačnosti tyče okolo ľubovoľnej osi rotácie; J 0 je moment zotrvačnosti okolo rovnobežnej osi prechádzajúcej cez ťažisko; a- vzdialenosť od ťažiska k zvolenej osi otáčania).

Nájdite moment zotrvačnosti okolo osi prechádzajúcej jej koncom a kolmej na tyč:

J 2 \u003d J 0 + m a 2, J2 = mℓ2/12 + m(ℓ/2)2 = mℓ2/3. (4)

Nahraďte vzorce (3) a (4) za (2):

mℓ 2 ω 1 /12 = mℓ 2 ω 2 /3

ω 2 \u003d ω 1 /4 ω 2 \u003d 10s-1/4 \u003d 2,5s-1

Príklad 2.6 . masový človekm= 60 kg, stojaci na okraji plošiny s hmotnosťou M = 120 kg, otáčajúci sa zotrvačnosťou okolo pevnej vertikálnej osi s frekvenciou ν 1 = 12 min -1 , ide do jeho stredu. Berúc do úvahy platformu ako okrúhly homogénny disk a osobu ako hmotu bodu, určite, s akou frekvenciou ν 2 plošina sa potom bude otáčať.

Vzhľadom na to: m = 60 kg, M = 120 kg, ν 1 = 12 min -1 = 0,2 s -1 .

Nájsť: v 1

rozhodnutie: Podľa stavu problému sa plošina s človekom otáča zotrvačnosťou, t.j. výsledný moment všetkých síl pôsobiacich na rotačný systém je nulový. Preto je pre systém „platforma-človek“ splnený zákon zachovania hybnosti

I 1 ω 1 = I 2 ω 2

kde
- moment zotrvačnosti systému, keď človek stojí na okraji nástupišťa (vzali sme do úvahy, že moment zotrvačnosti nástupišťa je rovný (R je polomer p
nástupište), moment zotrvačnosti osoby na okraji nástupišťa je mR 2).

- moment zotrvačnosti systému, keď osoba stojí v strede plošiny (vzali sme do úvahy, že moment osoby stojacej v strede plošiny je rovný nule). Uhlová rýchlosť ω 1 = 2π ν 1 a ω 1 = 2π ν 2 .

Dosadením písaných výrazov do vzorca (1) dostaneme

odkiaľ je požadovaná rýchlosť otáčania

Odpoveď: v2 = 24 min-1.

Začnime uvažovaním rotácie telesa okolo pevnej osi, ktorú budeme nazývať os z (obr. 41.1). Lineárna rýchlosť elementárnej hmoty je kde je vzdialenosť hmoty od osi. Preto sa pre kinetickú energiu elementárnej hmoty získa výraz

Kinetická energia telesa sa skladá z kinetických energií jeho častí:

Súčet na pravej strane tohto pomeru je moment zotrvačnosti telesa 1 okolo osi otáčania. Kinetická energia telesa rotujúceho okolo pevnej osi je teda

Nech na hmotu pôsobí vnútorná sila a vonkajšia sila (pozri obr. 41.1). Podľa (20.5) budú tieto sily v danom čase konať

Uskutočnením cyklickej permutácie faktorov v zmiešaných produktoch vektorov (pozri (2.34)) dostaneme:

kde N je moment vnútornej sily vo vzťahu k bodu O, N je analogický moment vonkajšej sily.

Sumárnym vyjadrením (41.2) cez všetky elementárne hmotnosti dostaneme elementárnu prácu vykonanú na telese za čas dt:

Súčet momentov vnútorných síl sa rovná nule (pozri (29.12)). Označením celkového momentu vonkajších síl cez N sa teda dostaneme k výrazu

(použili sme vzorec (2.21)).

Nakoniec, ak vezmeme do úvahy, že existuje uhol, cez ktorý sa telo otáča v čase, dostaneme:

Znamienko diela závisí od znamienka, t.j. od znamienka priemetu vektora N na smer vektora.

Takže keď sa teleso otáča, vnútorné sily nevykonávajú prácu, zatiaľ čo práca vonkajších síl je určená vzorcom (41.4).

K vzorcu (41.4) môžeme dospieť tak, že práca vykonaná všetkými silami pôsobiacimi na teleso vedie k zvýšeniu jeho kinetickej energie (pozri (19.11)). Ak vezmeme diferenciál oboch strán rovnosti (41.1), dostaneme sa k vzťahu

Podľa rovnice (38.8) teda nahradením cez prídeme na vzorec (41.4).

Tabuľka 41.1

V tabuľke. 41.1 sa porovnávajú vzorce mechaniky rotačných pohybov s podobnými vzorcami mechaniky translačného pohybu (mechanika bodu). Z tohto porovnania je ľahké usúdiť, že vo všetkých prípadoch zohráva úlohu hmoty moment zotrvačnosti, úlohu sily moment sily, úlohu hybnosti zohráva moment hybnosti atď.

Vzorec. (41.1) sme dostali pre prípad, keď sa teleso otáča okolo pevnej osi upevnenej v telese. Teraz predpokladajme, že teleso sa ľubovoľne otáča okolo pevného bodu, ktorý sa zhoduje s jeho ťažiskom.

Pevne spojme karteziánsky súradnicový systém s telesom, ktorého počiatok bude umiestnený v ťažisku telesa. Rýchlosť i-tej elementárnej hmoty je Preto pre kinetickú energiu telesa môžeme napísať výraz

kde je uhol medzi vektormi Nahradením priechodu a zohľadnením toho, čo dostaneme:

Skalárne produkty zapisujeme z hľadiska projekcií vektorov na osi súradnicového systému spojeného s telesom:

Nakoniec spojením členov s rovnakými súčinmi zložiek uhlovej rýchlosti a vyňatím týchto súčinov zo znamienok súčtov dostaneme: takže vzorec (41.7) nadobudne tvar (porovnaj s (41.1)). Keď sa ľubovoľné teleso otáča okolo jednej z hlavných osí zotrvačnosti, povedzme, že osi a vzorec (41.7) prechádza do (41.10.

Teda. kinetická energia rotujúceho telesa sa rovná polovici súčinu momentu zotrvačnosti a druhej mocniny uhlovej rýchlosti v troch prípadoch: 1) pre teleso rotujúce okolo pevnej osi; 2) pre teleso rotujúce okolo jednej z hlavných osí zotrvačnosti; 3) na plesový top. V ostatných prípadoch sa kinetická energia určuje podľa zložitejších vzorcov (41.5) alebo (41.7).

Uvažujme najprv tuhé teleso rotujúce okolo pevnej osi OZ uhlovou rýchlosťou ω (obr.5.6). Rozložme telo na elementárne hmoty. Lineárna rýchlosť elementárnej hmoty je , kde je jej vzdialenosť od osi rotácie. Kinetická energia i-že elementárna hmotnosť sa bude rovnať

.

Kinetická energia celého tela je teda tvorená kinetickými energiami jeho častí

.

Vzhľadom na to, že súčet na pravej strane tohto vzťahu predstavuje moment zotrvačnosti telesa okolo osi rotácie, nakoniec dostaneme

. (5.30)

Vzorce pre kinetickú energiu rotujúceho telesa (5.30) sú podobné ako zodpovedajúce vzorce pre kinetickú energiu translačného pohybu telesa. Získavajú sa z nich formálnou substitúciou .

Vo všeobecnom prípade možno pohyb tuhého telesa znázorniť ako súčet pohybov - translačný s rýchlosťou rovnajúcu sa rýchlosti ťažiska telesa a rotácia s uhlovou rýchlosťou okolo okamžitej osi prechádzajúcej ťažisko. V tomto prípade má výraz pre kinetickú energiu telesa formu

.

Nájdime teraz prácu vykonanú momentom vonkajších síl pri rotácii tuhého telesa. Elementárna práca vonkajších síl v čase dt sa bude rovnať zmene kinetickej energie telesa

Ak vezmeme diferenciál z kinetickej energie rotačného pohybu, zistíme jeho prírastok

.

V súlade so základnou rovnicou dynamiky pre rotačný pohyb

Berúc do úvahy tieto vzťahy, redukujeme výraz pre elementárnu prácu na formu

kde je priemet výsledného momentu vonkajších síl na smer osi otáčania OZ, je uhol natočenia telesa za uvažované časové obdobie.

Integrovaním (5.31) získame vzorec pre prácu vonkajších síl pôsobiacich na rotujúce teleso

Ak , potom je vzorec zjednodušený

Práca vonkajších síl pri otáčaní tuhého telesa okolo pevnej osi je teda určená pôsobením priemetu momentu týchto síl na danú os.

Gyroskop

Gyroskop je rýchlo rotujúce symetrické teleso, ktorého os rotácie môže meniť svoj smer v priestore. Aby sa os gyroskopu mohla voľne otáčať v priestore, je gyroskop umiestnený v takzvanom kardanovom závese (obr. 5.13). Zotrvačník gyroskopu sa otáča vo vnútornej prstencovej klietke okolo osi C 1 C 2 prechádzajúcej jeho ťažiskom. Vnútorná klietka sa zase môže otáčať vo vonkajšej klietke okolo osi B1B2 kolmej na C1C2. Nakoniec sa vonkajší krúžok môže voľne otáčať v ložiskách vzpery okolo osi A 1 A 2 kolmej na osi C 1 C 2 a B 1 B 2 . Všetky tri osi sa pretínajú v určitom pevnom bode O, ktorý sa nazýva stred zavesenia alebo otočný bod gyroskopu. Gyroskop v gimbale má tri stupne voľnosti, a preto môže robiť akúkoľvek rotáciu okolo stredu gimbalu. Ak sa stred zavesenia gyroskopu zhoduje s jeho ťažiskom, potom sa výsledný moment tiaže všetkých častí gyroskopu vzhľadom na stred zavesenia rovná nule. Takýto gyroskop sa nazýva vyvážený.

Uvažujme teraz o najdôležitejších vlastnostiach gyroskopu, ktoré preň našli široké uplatnenie v rôznych oblastiach.

1) Udržateľnosť.

Pri akomkoľvek otáčaní stojana vyváženého gyroskopu zostáva jeho os otáčania rovnaký smer vzhľadom na referenčný rámec laboratória. Je to spôsobené tým, že moment všetkých vonkajších síl, rovný momentu trecích síl, je veľmi malý a prakticky nespôsobuje zmenu momentu hybnosti gyroskopu, t.j.

Pretože moment hybnosti smeruje pozdĺž osi rotácie gyroskopu, jeho orientácia musí zostať nezmenená.

Ak vonkajšia sila pôsobí krátko, potom integrál, ktorý určuje prírastok momentu hybnosti, bude malý

. (5.34)

To znamená, že pri krátkodobých vplyvoch aj veľkých síl sa pohyb vyváženého gyroskopu mení len málo. Gyroskop akosi odoláva všetkým pokusom zmeniť veľkosť a smer svojho momentu hybnosti. S tým je spojená pozoruhodná stabilita, ktorú pohyb gyroskopu získava po jeho uvedení do rýchlej rotácie. Táto vlastnosť gyroskopu je široko používaná na automatické riadenie pohybu lietadiel, lodí, rakiet a iných vozidiel.

Ak však na gyroskop dlhodobo pôsobí v smere konštantný moment vonkajších síl, potom sa os gyroskopu napokon nastaví v smere momentu vonkajších síl. Tento jav sa využíva v gyrokompase. Toto zariadenie je gyroskop, ktorého os sa môže voľne otáčať v horizontálnej rovine. Vplyvom dennej rotácie Zeme a pôsobením momentu odstredivých síl sa os gyroskopu otáča tak, že uhol medzi a sa stáva minimálnym (obr. 5.14). To zodpovedá polohe osi gyroskopu v rovine poludníka.

2). Gyroskopický efekt.

Ak na rotačný gyroskop pôsobí dvojica síl a má tendenciu otáčať ho okolo osi kolmej na os otáčania, potom sa bude otáčať okolo tretej osi, kolmej na prvé dve (obr. 5.15). Toto neobvyklé správanie gyroskopu sa nazýva gyroskopický efekt. Vysvetľuje sa to tým, že moment dvojice síl smeruje pozdĺž osi O 1 O 1 a zmena vektora o hodnotu v čase bude mať rovnaký smer. V dôsledku toho sa nový vektor bude otáčať okolo osi O202. Zdanlivo neprirodzené správanie gyroskopu teda plne zodpovedá zákonom dynamiky rotačného pohybu

3). Gyroskopická precesia.

Precesia gyroskopu je kužeľový pohyb jeho osi. Vyskytuje sa vtedy, keď sa moment vonkajších síl, ktorý má konštantnú veľkosť, otáča súčasne s osou gyroskopu, pričom s ním neustále zviera pravý uhol. Na demonštráciu precesie môže poslúžiť koleso bicykla s predĺženou osou, ktorá sa rýchlo otáča (obr. 5.16).

Ak je koleso zavesené na predĺženom konci nápravy, potom sa jeho náprava začne pretláčať okolo zvislej osi vlastnou hmotnosťou. Ako ukážka precesie môže poslúžiť aj rýchlo sa otáčajúci vrch.

Zistite dôvody precesie gyroskopu. Uvažujme nevyvážený gyroskop, ktorého os sa môže voľne otáčať okolo určitého bodu O (obr. 5.16). Moment gravitácie aplikovaný na gyroskop má rovnakú veľkosť

kde je hmotnosť gyroskopu, je vzdialenosť od bodu O k ťažisku gyroskopu, je uhol, ktorý zviera os gyroskopu s vertikálou. Vektor je nasmerovaný kolmo na vertikálnu rovinu prechádzajúcu osou gyroskopu.

Pôsobením tohto momentu sa moment hybnosti gyroskopu (jeho začiatok je umiestnený v bode O) v čase zvýši a vertikálna rovina prechádzajúca osou gyroskopu sa otočí o uhol. Vektor je vždy kolmý na , preto bez zmeny veľkosti vektor mení iba smer. V tomto prípade bude po chvíli relatívna poloha vektorov a rovnaká ako v počiatočnom okamihu. V dôsledku toho sa os gyroskopu bude neustále otáčať okolo vertikály a opisuje kužeľ. Tento pohyb sa nazýva precesia.

Určme uhlovú rýchlosť precesie. Podľa obr.5.16 je uhol natočenia roviny prechádzajúcej osou kužeľa a osou gyroskopu rovný

kde je moment hybnosti gyroskopu a jeho prírastok v čase.

Vydelením , berúc do úvahy vyššie uvedené vzťahy a transformácie, dostaneme uhlovú rýchlosť precesie

. (5.35)

Pre gyroskopy používané v technológii je uhlová rýchlosť precesie miliónkrát menšia ako rýchlosť otáčania gyroskopu.

Na záver poznamenávame, že fenomén precesie sa pozoruje aj v atómoch v dôsledku orbitálneho pohybu elektrónov.

Príklady aplikácie zákonov dynamiky

Pri otáčaní

1. Zvážte niekoľko príkladov zákona zachovania momentu hybnosti, ktorý možno implementovať pomocou Zhukovského lavice. V najjednoduchšom prípade je Žukovského lavica diskovitá plošina (stolička), ktorá sa môže voľne otáčať okolo zvislej osi na guľôčkových ložiskách (obr. 5.17). Demonštrant sedí alebo stojí na lavičke, potom sa uvedie do rotačného pohybu. Vzhľadom na to, že trecie sily spôsobené použitím ložísk sú veľmi malé, moment hybnosti systému pozostávajúceho zo stola a demonštrátora sa vzhľadom na os otáčania nemôže meniť v čase, ak je systém ponechaný sám na seba. . Ak demonštrant drží v rukách ťažké činky a rozpaží ruky do strán, tak zvýši moment zotrvačnosti sústavy, a preto musí uhlová rýchlosť rotácie klesnúť, aby moment hybnosti zostal nezmenený.

Podľa zákona zachovania momentu hybnosti zostavíme pre tento prípad rovnicu

kde je moment zotrvačnosti osoby a lavice a je moment zotrvačnosti činiek v prvej a druhej polohe a sú uhlové rýchlosti systému.

Uhlová rýchlosť otáčania systému pri chove činiek na stranu sa bude rovnať

.

Práca vykonaná osobou pri pohybe činiek môže byť určená zmenou kinetickej energie systému

2. Dajme ešte jeden pokus so Žukovského lavicou. Demonštrant sedí alebo stojí na lavičke a dostane rýchlo sa otáčajúce koleso s vertikálne orientovanou osou (obr. 5.18). Demonštrátor potom otočí koleso o 180°. V tomto prípade sa zmena momentu hybnosti kolesa úplne prenesie na lavicu a demonštrátor. V dôsledku toho sa lavica spolu s demonštrátorom dostane do rotácie s uhlovou rýchlosťou určenou na základe zákona zachovania momentu hybnosti.

Moment hybnosti systému v počiatočnom stave je určený iba momentom hybnosti kolesa a rovná sa

kde je moment zotrvačnosti kolesa, je uhlová rýchlosť jeho otáčania.

Po otočení kolesa pod uhlom 180 0 bude moment hybnosti sústavy už určený súčtom momentu hybnosti lavice s človekom a momentu hybnosti kolesa. Ak vezmeme do úvahy skutočnosť, že vektor hybnosti kolesa zmenil svoj smer na opačný a jeho priemet na vertikálnu os sa stal negatívnym, dostaneme

,

kde je moment zotrvačnosti systému "človek-platforma", je uhlová rýchlosť otáčania lavice s osobou.

Podľa zákona zachovania momentu hybnosti

a .

V dôsledku toho zistíme rýchlosť otáčania lavice

3. Tenká tyčová hmota m a dĺžka l sa otáča uhlovou rýchlosťou ω=10 s -1 vo vodorovnej rovine okolo zvislej osi prechádzajúcej stredom tyče. Pokračujúc v otáčaní v rovnakej rovine sa tyč pohybuje tak, že os otáčania teraz prechádza koncom tyče. Nájdite uhlovú rýchlosť v druhom prípade.

Pri tomto probléme sa v dôsledku toho, že sa mení rozloženie hmoty tyče vzhľadom na os otáčania, mení aj moment zotrvačnosti tyče. V súlade so zákonom zachovania momentu hybnosti izolovanej sústavy máme

Tu - moment zotrvačnosti tyče okolo osi prechádzajúcej stredom tyče; - moment zotrvačnosti tyče okolo osi prechádzajúcej jej koncom a zistený Steinerovou vetou.

Dosadením týchto výrazov do zákona zachovania momentu hybnosti dostaneme

,

.

4. Dĺžka tyče L= 1,5 m a hmotnosť m 1=10 kg je zavesený na hornom konci. Guľka zasiahne stred tyče hmotou m2=10 g, letí horizontálne rýchlosťou =500 m/s a zasekne sa v tyči. O aký uhol sa tyč po dopade vychýli?

Predstavme si na obr. 5.19. systém interagujúcich telies "tyč-guľa". Momenty vonkajších síl (gravitácia, osová reakcia) v momente dopadu sú rovné nule, takže môžeme použiť zákon zachovania momentu hybnosti

Moment hybnosti systému pred nárazom sa rovná momentu hybnosti strely vzhľadom na bod zavesenia

Moment hybnosti systému po nepružnom náraze je určený vzorcom

,

kde je moment zotrvačnosti tyče vzhľadom k bodu zavesenia, je moment zotrvačnosti strely, je uhlová rýchlosť tyče s strelou bezprostredne po dopade.

Vyriešením výslednej rovnice po dosadení nájdeme

.

Využime teraz zákon zachovania mechanickej energie. Porovnajme kinetickú energiu tyče po dopade guľky s jej potenciálnou energiou v najvyššom bode stúpania:

,

kde je výška ťažiska daného systému.

Po vykonaní potrebných transformácií získame

Uhol vychýlenia tyče súvisí s hodnotou pomerom

.

Po vykonaní výpočtov dostaneme =0,1p=18 0 .

5. Určte zrýchlenie telies a napätie nite na stroji Atwood za predpokladu, že (obr. 5.20). Moment zotrvačnosti bloku okolo osi otáčania je ja, polomer bloku r. Ignorujte hmotnosť vlákna.

Usporiadajme všetky sily pôsobiace na zaťaženia a blok a zostavme pre ne dynamické rovnice

Ak nedochádza k preklzávaniu závitu pozdĺž bloku, potom lineárne a uhlové zrýchlenie súvisí vzťahom

Vyriešením týchto rovníc dostaneme

Potom nájdeme T 1 a T 2 .

6. Na kladke Oberbeckovho kríža (obr. 5.21) je pripevnená niť, na ktorú sa naváža bremeno hm. M= 0,5 kg. Určte, ako dlho trvá pád bremena z výšky h= 1 m do spodnej polohy. Polomer kladky r\u003d 3 cm. Štyri závažia m= 250 g každý na diaľku R= 30 cm od svojej osi. Zanedbajte moment zotrvačnosti samotného kríža a kladky oproti momentu zotrvačnosti závaží.

Kinetická energia je aditívna veličina. Preto sa kinetická energia tela pohybujúceho sa ľubovoľným spôsobom rovná súčtu kinetických energií všetkých n hmotných bodov, na ktoré možno toto teleso mentálne rozdeliť:

Ak sa teleso otáča okolo pevnej osi z uhlovou rýchlosťou , potom lineárna rýchlosť i-tého bodu , Ri je vzdialenosť k osi otáčania. teda

Porovnaním je možné vidieť, že moment zotrvačnosti telesa I je mierou zotrvačnosti počas rotačného pohybu, rovnako ako hmotnosť m je mierou zotrvačnosti počas translačného pohybu.

Vo všeobecnom prípade možno pohyb tuhého telesa znázorniť ako súčet dvoch pohybov - translačného s rýchlosťou vc a rotačného s uhlovou rýchlosťou ω okolo okamžitej osi prechádzajúcej stredom zotrvačnosti. Potom celková kinetická energia tohto telesa

Tu Ic je moment zotrvačnosti okolo okamžitej osi rotácie prechádzajúcej stredom zotrvačnosti.

Základný zákon dynamiky rotačného pohybu.

Rotačná dynamika

Základný zákon dynamiky rotačného pohybu:

alebo M=Je, kde M je moment sily M = [ r F ] , J - moment zotrvačnosti je moment hybnosti telesa.

ak M(vonkajšia)=0 - zákon zachovania momentu hybnosti. - kinetická energia rotujúceho telesa.

rotačná práca.

Zákon zachovania momentu hybnosti.

Moment hybnosti (hybnosť) hmotného bodu A vzhľadom na pevný bod O je fyzikálna veličina určená vektorovým súčinom:

kde r je vektor polomeru nakreslený z bodu O do bodu A, p=mv je hybnosť hmotného bodu (obr. 1); L je pseudovektor, ktorého smer sa zhoduje so smerom translačného pohybu pravej skrutky pri jej rotácii z r na p.

Modul vektora hybnosti

kde α je uhol medzi vektormi r a p, l je rameno vektora p vzhľadom na bod O.

Moment hybnosti vo vzťahu k pevnej osi z je skalárna hodnota Lz, ktorá sa rovná priemetu vektora momentu hybnosti na túto os, definovaného vzhľadom na ľubovoľný bod O tejto osi. Moment hybnosti Lz nezávisí od polohy bodu O na osi z.

Keď sa absolútne tuhé teleso otáča okolo pevnej osi z, každý bod telesa sa pohybuje po kružnici s konštantným polomerom ri rýchlosťou vi. Rýchlosť vi a hybnosť mivi sú kolmé na tento polomer, t. j. polomer je ramenom vektora mivi . Môžeme teda napísať, že moment hybnosti jednotlivej častice je

a smeruje pozdĺž osi v smere určenom pravidlom pravej skrutky.

Hybnosť tuhého telesa vzhľadom na os je súčtom hybnosti jednotlivých častíc:

Pomocou vzorca vi = ωri dostaneme

Moment hybnosti tuhého telesa okolo osi sa teda rovná momentu zotrvačnosti telesa okolo tej istej osi vynásobenému uhlovou rýchlosťou. Rozlišujme rovnicu (2) vzhľadom na čas:

Tento vzorec je ďalšou formou rovnice dynamiky rotačného pohybu tuhého telesa okolo pevnej osi: derivácia momentu hybnosti tuhého telesa okolo osi sa rovná momentu síl okolo tej istej osi.

Dá sa ukázať, že vektorová rovnosť platí

V uzavretom systéme je moment vonkajších síl M = 0 a odkiaľ

Výraz (4) je zákon zachovania momentu hybnosti: moment hybnosti uzavretého systému je zachovaný, t.j. v čase sa nemení.

Zákon zachovania momentu hybnosti ako aj zákon zachovania energie je základným prírodným zákonom. Je spojená so symetrickou vlastnosťou priestoru - jeho izotropiou, t.j. s invariantnosťou fyzikálnych zákonov vzhľadom na voľbu smeru súradnicových osí referenčného systému (vzhľadom na rotáciu uzavretého systému v priestore o akýkoľvek uhol).

Tu si ukážeme zákon zachovania momentu hybnosti pomocou Žukovského lavice. Osoba sediaca na lavičke, rotujúca okolo zvislej osi a držiaca činky vo vystretých rukách (obr. 2), je otáčaná vonkajším mechanizmom s uhlovou rýchlosťou ω1. Ak človek pritlačí činky k telu, zníži sa moment zotrvačnosti systému. Moment vonkajších síl je však rovný nule, moment hybnosti sústavy je zachovaný a uhlová rýchlosť otáčania ω2 sa zvyšuje. Podobne gymnasta pri preskakovaní hlavy pritiahne ruky a nohy k telu, aby znížil moment zotrvačnosti a tým zvýšil uhlovú rýchlosť otáčania.

Tlak v kvapaline a plyne.

Molekuly plynu, ktoré vykonávajú chaotický, chaotický pohyb, nie sú viazané alebo skôr slabo viazané interakčnými silami, preto sa pohybujú takmer voľne a v dôsledku zrážok sa rozptyľujú na všetky strany, pričom vyplňujú celý objem, ktorý im je poskytnutý. t.j. objem plynu je určený objemom nádoby obsadenej plynom.

A kvapalina, ktorá má určitý objem, má formu nádoby, v ktorej je uzavretá. Ale na rozdiel od plynov v kvapalinách, priemerná vzdialenosť medzi molekulami zostáva v priemere konštantná, takže kvapalina má takmer konštantný objem.

Vlastnosti kvapalín a plynov sú v mnohých smeroch veľmi odlišné, ale vo viacerých mechanických javoch sú ich vlastnosti určené rovnakými parametrami a rovnakými rovnicami. Z tohto dôvodu je hydroaeromechanika odvetvím mechaniky, ktoré študuje rovnováhu a pohyb plynov a kvapalín, interakciu medzi nimi a medzi nimi obtekajúcimi tuhými telesami, t.j. uplatňuje sa jednotný prístup k štúdiu kvapalín a plynov.

Kvapaliny a plyny sa v mechanike považujú s vysokou presnosťou za spojité, súvisle rozložené v časti priestoru, ktorú zaberajú. V plynoch hustota výrazne závisí od tlaku. Založené zo skúseností. že stlačiteľnosť kvapaliny a plynu možno často zanedbať a je vhodné použiť jednotný pojem - nestlačiteľnosť kvapaliny - kvapaliny všade s rovnakou hustotou, ktorá sa v čase nemení.

Umiestnime ho do tenkej dosky v pokoji, v dôsledku čoho budú časti kvapaliny umiestnené na opačných stranách dosky pôsobiť na každý z jej prvkov ΔS silami ΔF, ktoré budú rovnaké v absolútnej hodnote a budú smerovať kolmo na miesto. ΔS, bez ohľadu na orientáciu miesta, inak by prítomnosť tangenciálnych síl uviedla častice kvapaliny do pohybu (obr. 1)

Fyzikálna veličina určená normálovou silou pôsobiacou zo strany kvapaliny (alebo plynu) na jednotku plochy sa nazýva tlak p / kvapalina (alebo plyn): p=ΔF / ΔS.

Jednotkou tlaku je pascal (Pa): 1 Pa sa rovná tlaku vytvorenému silou 1 N, ktorá je rovnomerne rozložená po ploche 1 m2, ktorá je k nej kolmá (1 Pa = 1 N/m2).

Rovnovážny tlak kvapalín (plynov) sa riadi Pascalovým zákonom: tlak v ktoromkoľvek mieste kvapaliny v pokoji je rovnaký vo všetkých smeroch a tlak sa prenáša rovnomerne do celého objemu, ktorý kvapalina v pokoji zaberá.

Preskúmajme vplyv hmotnosti tekutiny na rozloženie tlaku vo vnútri stacionárnej nestlačiteľnej tekutiny. Keď je kvapalina v rovnováhe, tlak pozdĺž akejkoľvek horizontálnej čiary je vždy rovnaký, inak by rovnováha nebola. To znamená, že voľný povrch tekutiny v pokoji je vždy vodorovný (neberieme do úvahy príťažlivosť tekutiny stenami nádoby). Ak je tekutina nestlačiteľná, potom je hustota tekutiny nezávislá od tlaku. Potom pri priereze S stĺpca kvapaliny, jeho výške h a hustote ρ je hmotnosť P=ρgSh, pričom tlak na spodnú základňu je: p=P/S=ρgSh/S=ρgh, (1)

t.j. tlak sa mení lineárne s nadmorskou výškou. Tlak ρgh sa nazýva hydrostatický tlak.

Podľa vzorca (1) bude tlaková sila na spodné vrstvy kvapaliny väčšia ako na horné, preto na teleso ponorené do kvapaliny (plynu) pôsobí sila určená Archimedovým zákonom: vznášajúce sa smerom hore sila rovnajúca sa hmotnosti kvapaliny (plynu) vytlačenej telesom: FA = ρgV, kde ρ je hustota kvapaliny, V je objem telesa ponoreného do kvapaliny.