Úlohy, ktorých riešením je prevod logaritmických výrazov, pomerne často nájdený na skúške.

Na ich úspešné zvládnutie s minimálnym vynaložením času je okrem základných logaritmických identít potrebné poznať a správne používať aj ďalšie vzorce.

Toto je: a log a b = b, kde a, b > 0, a ≠ 1 (Vyplýva to priamo z definície logaritmu).

log a b = log c b / log c a alebo log a b = 1/log b a
kde a, b, c > 0; a, c ≠ 1.

log a m b n = (m/n) log |a| |b|
kde a, b > 0, a ≠ 1, m, n Є R, n ≠ 0.

a log c b = b log c a
kde a, b, c > 0 a a, b, c ≠ 1

Aby sme ukázali platnosť štvrtej rovnosti, zoberieme logaritmus ľavej a pravej strany v základe a. Dostaneme log a (a log c b) = log a (b log c a) alebo log c b = log c a log a b; log c b = log c a (log c b / log c a); log s b = log s b.

Dokázali sme rovnosť logaritmov, čo znamená, že aj výrazy pod logaritmami sú rovnaké. Formula 4 je osvedčená.

Príklad 1

Vypočítajte 81 log 27 5 log 5 4 .

rozhodnutie.

81 = 3 4 , 27 = 3 3 .

log 27 5 = 1/3 log 3 5, log 5 4 = log 3 4 / log 3 5.

log 27 5 log 5 4 = 1/3 log 3 5 (log 3 4 / log 3 5) = 1/3 log 3 4.

Potom 81 log 27 5 log 5 4 = (3 4) 1/3 log 3 4 = (3 log 3 4) 4/3 = (4) 4/3 = 4 3 √4.

Nasledujúcu úlohu môžete splniť sami.

Vypočítajte (8 log 2 3 + 3 1 / log 2 3) - log 0,2 5.

Ako tip, 0,2 = 1/5 = 5-1; log 0,25 = -1.

odpoveď: 5.

Príklad 2

Vypočítať (√11) log √3 9 log 121 81 .

rozhodnutie.

Nahradíme výrazy: 9 = 3 2 , √3 = 3 1/2 , log √3 9 = 4,

121 = 112, 81 = 34, log12181 = 2 log113 (bol použitý vzorec 3).

Potom (√11) log √3 9- log 121 81 = (11 1/2) 4-2 log 11 3 = (11) 2- log 11 3 = 11 2 / (11) log 11 3 = 11 2 / ( 11 log 11 3) = 121/3.

Príklad 3

Vypočítajte log 2 24 / log 96 2 - log 2 192 / log 12 2.

rozhodnutie.

Logaritmy obsiahnuté v príklade nahradíme logaritmami so základom 2.

log 96 2 = 1/log 2 96 = 1/log 2 (2 5 3) = 1/(log 2 2 5 + log 2 3) = 1/(5 + log 2 3);

log 2 192 = log 2 (2 6 3) = (log 2 2 6 + log 2 3) = (6 + log 2 3);

log 2 24 = log 2 (2 3 3) = (log 2 2 3 + log 2 3) = (3 + log 2 3);

log 12 2 = 1/log 2 12 = 1/log 2 (2 2 3) = 1/(log 2 2 2 + log 2 3) = 1/(2 + log 2 3).

Potom log 2 24 / log 96 2 – log 2 192 / log 12 2 = (3 + log 2 3) / (1/(5 + log 2 3)) – ((6 + log 2 3) / (1/( 2 + log 2 3)) =

= (3 + log 2 3) (5 + log 2 3) – (6 + log 2 3) (2 + log 2 3).

Po otvorení zátvoriek a zmenšení podobných výrazov dostaneme číslo 3. (Pri zjednodušení výrazu možno log 2 3 označiť n a výraz zjednodušiť

(3 + n) (5 + n) – (6 + n) (2 + n)).

odpoveď: 3.

Sami môžete urobiť nasledovné:

Vypočítať (log 3 4 + log 4 3 + 2) log 3 16 log 2 144 3.

Tu je potrebné urobiť prechod na logaritmy v základe 3 a rozklad na prvočiniteľa veľkých čísel.

Odpoveď: 1/2

Príklad 4

Sú uvedené tri čísla A \u003d 1 / (log 3 0,5), B \u003d 1 / (log 0,5 3), C \u003d log 0,5 12 - log 0,5 3. Usporiadajte ich vo vzostupnom poradí.

rozhodnutie.

Transformujme čísla A \u003d 1 / (log 3 0,5) \u003d log 0,5 3; C \u003d log 0,5 12 - log 0,5 3 \u003d log 0,5 12/3 \u003d log 0,5 4 \u003d -2.

Poďme si ich porovnať

log 0,5 3 > log 0,5 4 = -2 a log 0,5 3< -1 = log 0,5 2, так как функция у = log 0,5 х – убывающая.

Alebo 2< log 0,5 3 < -1. Тогда -1 < 1/(log 0,5 3) < -1/2.

Odpoveď. Preto poradie umiestnenia čísel: C; ALE; AT.

Príklad 5

Koľko celých čísel je v intervale (log 3 1 / 16 ; log 2 6 48).

rozhodnutie.

Určme, medzi akými mocnosťami čísla 3 je číslo 1/16. Dostaneme 1/27< 1 / 16 < 1 / 9 .

Pretože funkcia y \u003d log 3 x sa zvyšuje, potom log 3 (1 / 27)< log 3 (1 / 16) < log 3 (1 / 9); -3 < log 3 (1 / 16) < -2.

log 648 = log 6 (36 4 / 3) = log 6 36 + log 6 (4 / 3) = 2 + log 6 (4 / 3). Porovnajte log 6 (4/3) a 1/5 . A preto porovnávame čísla 4 / 3 a 6 1/5. Zvýšte obe čísla na 5. mocninu. Dostaneme (4 / 3) 5 = 1024 / 243 = 4 52 / 243< 6. Следовательно,

denník 6 (4/3)< 1 / 5 . 2 < log 6 48 < 2 1 / 5 . Числа, входящие в двойное неравенство, положительные. Их можно возводить в квадрат. Знаки неравенства при этом не изменятся. Тогда 4 < log 6 2 48 < 4 21 / 25.

Preto interval (log 3 1/16 ; log 6 48) zahŕňa interval [-2; 4] a sú na ňom umiestnené celé čísla -2; - jeden; 0; jeden; 2; 3; 4.

Odpoveď: 7 celých čísel.

Príklad 6

Vypočítajte 3 lglg 2/ lg 3 - lg20.

rozhodnutie.

3 lg lg 2/ lg 3 = (3 1/ lg3) lg lg 2 = (3 lg 3 10) lg lg 2 = 10 lg lg 2 = lg2.

Potom 3 lglg2/lg3 - lg 20 = lg 2 - lg 20 = lg 0,1 = -1.

odpoveď: -1.

Príklad 7

Je známe, že log 2 (√3 + 1) + log 2 (√6 - 2) = A. Nájdite log 2 (√3 -1) + log 2 (√6 + 2).

rozhodnutie.

Čísla (√3 + 1) a (√3 - 1); (√6 - 2) a (√6 + 2) sú konjugované.

Urobme nasledujúcu transformáciu výrazov

√3 – 1 = (√3 – 1) (√3 + 1)) / (√3 + 1) = 2/(√3 + 1);

√6 + 2 = (√6 + 2) (√6 - 2)) / (√6 - 2) = 2/(√6 - 2).

Potom log 2 (√3 – 1) + log 2 (√6 + 2) = log 2 (2/(√3 + 1)) + log 2 (2/(√6 – 2)) =

Log 2 2 – log 2 (√3 + 1) + log 2 2 – log 2 (√6 – 2) = 1 – log 2 (√3 + 1) + 1 – log 2 (√6 – 2) =

2 - log 2 (√3 + 1) - log 2 (√6 - 2) = 2 - A.

Odpoveď: 2 - A.

Príklad 8.

Zjednodušte a nájdite približnú hodnotu výrazu (log 3 2 log 4 3 log 5 4 log 6 5 ... log 10 9.

rozhodnutie.

Všetky logaritmy zredukujeme na spoločný základ 10.

(log 3 2 log 4 3 log 5 4 log 6 5 … log 10 9 = (log 2 / log 3) (log 3 / log 4) (log 4 / log 5) (log 5 / lg 6) ... . .. (lg 8 / lg 9) lg 9 \u003d lg 2 ≈ 0,3010 (Približnú hodnotu lg 2 možno nájsť pomocou tabuľky, logaritmického pravítka alebo kalkulačky).

Odpoveď: 0,3010.

Príklad 9.

Vypočítajte log a 2 b 3 √ (a 11 b -3), ak log √ a b 3 = 1. (V tomto príklade je a 2 b 3 základom logaritmu).

rozhodnutie.

Ak log √ a b 3 = 1, potom 3/(0,5 log a b = 1. A log a b = 1/6.

Potom log a 2 b 3√ (a 11 b -3) = 1/2 log a 2 b 3 (a 11 b -3) = log a (a 11 b -3) / (2log a (a 2 b 3) ) = (log a a 11 + log a b -3) / (2(log a a 2 + log a b 3)) = (11 - 3 log a b) / (2(2 + 3 log a b)), že log a b = 1/6 dostaneme (11 – 3 1/6) / (2(2 + 3 1/6)) = 10,5/5 = 2,1.

Odpoveď: 2.1.

Sami môžete urobiť nasledovné:

Vypočítajte log √3 6 √2,1, ak log 0,7 27 = a.

Odpoveď: (3 + a) / (3a).

Príklad 10

Vypočítajte 6,5 4/ log 3 169 3 1/ log 4 13 + log125.

rozhodnutie.

6,5 4/ log 3 169 3 1/ log 4 13 + log 125 = (13/2) 4/2 log 3 13 3 2/ log 2 13 + 2 log 5 5 3 = (13/2) 2 log 13 3 3 2 log 13 2 + 6 = (13 log 13 3 / 2 log 13 3) 2 (3 log 13 2) 2 + 6 = (3/2 log 13 3) 2 (3 log 13 2) 2 + 6 = (3 2 /(2 log 13 3) 2) (2 log 13 3) 2 + 6.

(2 log 13 3 = 3 log 13 2 (vzorec 4))

Dostaneme 9 + 6 = 15.

odpoveď: 15.

Máte nejaké otázky? Nie ste si istí, ako nájsť hodnotu logaritmického výrazu?
Ak chcete získať pomoc od tútora -.
Prvá lekcia je zadarmo!

blog.site, pri úplnom alebo čiastočnom skopírovaní materiálu je potrebný odkaz na zdroj.

Logaritmické výrazy, riešenie príkladov. V tomto článku sa budeme zaoberať problémami súvisiacimi s riešením logaritmov. Úlohy nastoľujú otázku hľadania hodnoty výrazu. Treba poznamenať, že koncept logaritmu sa používa v mnohých úlohách a je mimoriadne dôležité pochopiť jeho význam. Pokiaľ ide o USE, logaritmus sa používa pri riešení rovníc, v aplikovaných problémoch a tiež v úlohách súvisiacich so štúdiom funkcií.

Tu sú príklady na pochopenie samotného významu logaritmu:

Základná logaritmická identita:

Vlastnosti logaritmov, ktoré si musíte vždy zapamätať:

*Logaritmus súčinu sa rovná súčtu logaritmov faktorov.

* * *

* Logaritmus kvocientu (zlomku) sa rovná rozdielu logaritmov faktorov.

* * *

* Logaritmus stupňa sa rovná súčinu exponentu a logaritmu jeho základu.

* * *

*Prechod na novú základňu

* * *

Ďalšie vlastnosti:

* * *

Výpočet logaritmov úzko súvisí s využívaním vlastností exponentov.

Uvádzame niektoré z nich:

Podstatou tejto vlastnosti je, že pri prenose čitateľa do menovateľa a naopak sa znamienko exponentu zmení na opačné. Napríklad:

Dôsledok tejto vlastnosti:

* * *

Pri zvýšení mocniny na mocninu zostáva základ rovnaký, ale exponenty sa násobia.

* * *

Ako vidíte, samotný koncept logaritmu je jednoduchý. Hlavná vec je, že je potrebná dobrá prax, ktorá dáva určitú zručnosť. Znalosť vzorcov je určite povinná. Ak nie je vytvorená zručnosť v prevode elementárnych logaritmov, potom sa pri riešení jednoduchých úloh môžete ľahko pomýliť.

Cvičte, najskôr vyriešte najjednoduchšie príklady z kurzu matematiky, potom prejdite na zložitejšie. V budúcnosti určite ukážem, ako sa riešia „škaredé“ logaritmy, na skúške také nebudú, ale sú zaujímavé, nenechajte si to ujsť!

To je všetko! Veľa šťastia!

S pozdravom Alexander Krutitskikh

P.S: Bol by som vďačný, keby ste o stránke povedali na sociálnych sieťach.

Uvedené rovnosti pri prevode výrazov s logaritmami sa používajú sprava doľava aj zľava doprava.

Stojí za zmienku, že nie je potrebné zapamätať si dôsledky vlastností: pri vykonávaní transformácií si vystačíte so základnými vlastnosťami logaritmov a inými faktami (napríklad pre b≥0), z ktorých vyplývajú nasledujú následky. "Vedľajším efektom" tohto prístupu je len to, že riešenie bude trochu dlhšie. Napríklad, aby sme sa zaobišli bez následku, ktorý je vyjadrený vzorcom a počnúc iba základnými vlastnosťami logaritmov budete musieť vykonať reťaz transformácií v nasledujúcom tvare: .

To isté možno povedať o poslednej vlastnosti z vyššie uvedeného zoznamu, ktorá zodpovedá vzorcu , keďže to vyplýva aj zo základných vlastností logaritmov. Hlavná vec je pochopiť, že je vždy možné, aby stupeň kladného čísla s logaritmom v exponente zamenil základ stupňa a číslo pod znamienkom logaritmu. Pre spravodlivosť treba poznamenať, že príklady implementácie transformácií tohto druhu sú v praxi zriedkavé. Nižšie uvedieme niekoľko príkladov.

Prevod číselných výrazov pomocou logaritmov

Zapamätali sme si vlastnosti logaritmov, teraz je čas naučiť sa, ako ich uviesť do praxe pri transformácii výrazov. Je prirodzené začať s transformáciou číselných výrazov a nie výrazov s premennými, pretože je pohodlnejšie a ľahšie sa na nich naučiť základy. Takže to urobíme a začneme veľmi jednoduchými príkladmi, aby sme sa naučili, ako zvoliť požadovanú vlastnosť logaritmu, ale príklady budeme postupne komplikovať až do bodu, kedy bude potrebné použiť niekoľko vlastností v riadok, aby ste získali konečný výsledok.

Výber požadovanej vlastnosti logaritmov

Vlastností logaritmov nie je až tak málo a je jasné, že si z nich musíte vedieť vybrať tú vhodnú, ktorá v tomto konkrétnom prípade povedie k požadovanému výsledku. Zvyčajne to nie je ťažké urobiť porovnaním formy prevádzaného logaritmu alebo výrazu s typmi ľavej a pravej časti vzorcov vyjadrujúcich vlastnosti logaritmov. Ak sa ľavá alebo pravá strana jedného zo vzorcov zhoduje s daným logaritmom alebo výrazom, potom je s najväčšou pravdepodobnosťou táto vlastnosť použitá pri transformácii. Nasledujúce príklady to jasne dokazujú.

Začnime s príkladmi transformácie výrazov pomocou definície logaritmu, ktorý zodpovedá vzorcu a log a b =b , a>0 , a≠1 , b>0 .

Príklad.

Vypočítajte, ak je to možné: a) 5 log 5 4 , b) 10 log(1+2 π) , c) , d) 2 log2 (-7) , e) .

rozhodnutie.

V príklade písmeno a) jasne ukazuje štruktúru a log a b , kde a=5 , b=4 . Tieto čísla spĺňajú podmienky a>0 , a≠1 , b>0 , takže môžete pokojne použiť rovnosť a log a b =b . Máme 5 log 5 4=4 .

b) Tu sú splnené a=10, b=1+2 π, podmienky a>0, a≠1, b>0. V tomto prípade platí rovnosť 10 lg(1+2 π) =1+2 π.

c) A v tomto príklade máme do činenia so stupňom tvaru a log a b , kde a b=ln15 . Takže .

Napriek tomu, že patrí do rovnakého tvaru a log a b (tu a=2 , b=−7 ), výraz pod písmenom d) nemožno previesť vzorcom a log a b =b . Dôvodom je, že to nedáva zmysel, pretože obsahuje záporné číslo pod znamienkom logaritmu. Navyše, číslo b=−7 nespĺňa podmienku b>0 , čo znemožňuje použiť vzorec a log a b =b , pretože vyžaduje podmienky a>0 , a≠1, b>0 . Nemôžeme teda hovoriť o výpočte hodnoty 2 log 2 (−7) . V tomto prípade by zápis 2 log 2 (−7) = −7 bol chybou.

Podobne v príklade pod písmenom e) nie je možné uviesť riešenie tvaru , keďže pôvodný výraz nedáva zmysel.

odpoveď:

a) 5 log 5 4 =4, b) 10 log(1+2 π) =1+2 π, c) , d), e) výrazy nedávajú zmysel.

Často je užitočné previesť kladné číslo ako mocninu nejakého kladného nejednočísla s logaritmom v exponente. Je založený na rovnakej definícii logaritmu a log a b =b , a>0 , a≠1 , b>0 , ale vzorec je aplikovaný sprava doľava, teda v tvare b=a log a b . Napríklad 3=e ln3 alebo 5=5 log 5 5 .

Prejdime k používaniu vlastností logaritmov na transformáciu výrazov.

Príklad.

Nájdite hodnotu výrazu: a) log −2 1, b) log 1 1, c) log 0 1, d) log 7 1, e) ln1, f) lg1, g) log 3,75 1, h) log 5 π 7 1 .

rozhodnutie.

V príkladoch pod písmenami a), b) a c) sú uvedené výrazy log −2 1 , log 1 1 , log 0 1 , ktoré nedávajú zmysel, pretože základ logaritmu by nemal obsahovať záporné číslo. , nula alebo jedna, pretože logaritmus sme definovali len pre kladný a nejednotkový základ. Preto v príkladoch a) - c) nemôže byť reč o hľadaní hodnoty výrazu.

Vo všetkých ostatných úlohách samozrejme základy logaritmov obsahujú kladné a nejednotkové čísla 7 , e , 10 , 3,75 a 5 π 7 a jednotky sú všade pod znamienkami logaritmov. A poznáme vlastnosť logaritmu jednoty: log a 1=0 pre ľubovoľné a>0 , a≠1 . Hodnoty výrazov b) - f) sa teda rovnajú nule.

odpoveď:

a), b), c) výrazy nedávajú zmysel, d) log 7 1=0, e) ln1=0, f) log1=0, g) log 3,75 1=0, h) log 5 e 7 1 =0.

Príklad.

Vypočítajte: a) , b) lne , c) lg10 , d) log 5 π 3 −2 (5 π 3 −2), e) log −3 (−3) , f) log 1 1 .

rozhodnutie.

Je jasné, že musíme použiť vlastnosť logaritmu základu, ktorá zodpovedá vzorcu log a a=1 pre a>0 , a≠1 . V úlohách pod všetkými písmenami sa číslo pod znakom logaritmu zhoduje s jeho základňou. Chcem teda hneď povedať, že hodnota každého z uvedených výrazov je 1 . Neunáhlite sa však k záverom: v úlohách pod písmenami a) - d) sa hodnoty výrazov skutočne rovnajú jednej a v úlohách e) a f) pôvodné výrazy nedávajú zmysel, takže nemôže treba povedať, že hodnoty týchto výrazov sa rovnajú 1.

odpoveď:

a) , b) lne=1, c) lg10=1, d) log 5 π 3 −2 (5 π 3 −2)=1, e), f) výrazy nedávajú zmysel.

Príklad.

Nájdite hodnotu: a) log 3 3 11 , b) , c) , d) log -10 (-10) 6 .

rozhodnutie.

Je zrejmé, že pod znakmi logaritmov sú niektoré stupne základne. Na základe toho chápeme, že tu je užitočná vlastnosť stupňa bázy: log a a p =p, kde a>0, a≠1 a p je ľubovoľné reálne číslo. Vzhľadom na to máme tieto výsledky: a) log 3 3 11 =11 , b) , v) . Je možné napísať podobnú rovnosť pre príklad pod písmenom d) tvaru log −10 (−10) 6 =6? Nie, nemôžete, pretože log −10 (−10) 6 nedáva zmysel.

odpoveď:

a) log 3 3 11 = 11, b) , v) d) výraz nedáva zmysel.

Príklad.

Vyjadrite výraz ako súčet alebo rozdiel logaritmov v rovnakom základe: a) , b) , c) log((-5) (-12)) .

rozhodnutie.

a) Súčin je pod znamienkom logaritmu a poznáme vlastnosť logaritmu súčinu log a (x y)=log a x+log a y , a>0 , a≠1 , x>0 , y> 0 V našom prípade je číslo na báze logaritmu a čísla v súčine kladné, to znamená, že spĺňajú podmienky vybranej vlastnosti, preto ju môžeme bezpečne použiť: .

b) Tu použijeme vlastnosť logaritmu kvocientu , kde a>0 , a≠1 , x>0, y>0 . V našom prípade je základom logaritmu kladné číslo e, čitateľ a menovateľ π sú kladné, čo znamená, že spĺňajú podmienky vlastnosti, takže máme právo použiť zvolený vzorec: .

c) Najprv si všimnite, že výraz lg((−5) (−12)) dáva zmysel. Zároveň však nemáme právo použiť vzorec pre logaritmus súčinu log a (x y)=log a x+log a y , a>0 , a≠1 , x>0 , y>0 , keďže čísla −5 a −12 sú záporné a nespĺňajú podmienky x>0 , y>0 . To znamená, že nie je možné vykonať takúto transformáciu: log((−5)(−12))=log(−5)+log(−12). Ale čo robiť? V takýchto prípadoch je potrebné pôvodný výraz vopred transformovať, aby sa predišlo záporným číslam. Budeme podrobne hovoriť o podobných prípadoch prevodu výrazov so zápornými číslami pod znamienkom logaritmu v jednom z, ale zatiaľ uvedieme riešenie tohto príkladu, ktoré je jasné vopred a bez vysvetlenia: lg((−5)(−12))=lg(512)=lg5+lg12.

odpoveď:

a) , b) c) lg((-5) (-12))=lg5+lg12.

Príklad.

Zjednodušte výraz: a) log 3 0,25 + log 3 16 + log 3 0,5, b) .

rozhodnutie.

Tu nám pomôžu všetky rovnaké vlastnosti logaritmu súčinu a logaritmu kvocientu, ktoré sme použili v predchádzajúcich príkladoch, len ich teraz použijeme sprava doľava. To znamená, že prevedieme súčet logaritmov na logaritmus súčinu a rozdiel logaritmov na logaritmus kvocientu. Máme
a) log 3 0,25 + log 3 16 + log 3 0,5 = log 3 (0,25 16 0,5) = log 3 2.
b) .

odpoveď:

a) log 3 0,25+log 3 16+log 3 0,5=log 3 2, b) .

Príklad.

Zbavte sa stupňa pod znamienkom logaritmu: a) log 0,7 5 11, b) , c) log 3 (-5) 6 .

rozhodnutie.

Je ľahké vidieť, že máme do činenia s výrazmi ako log a b p . Zodpovedajúca vlastnosť logaritmu je log a b p = p log a b , kde a>0 , a≠1 , b>0 , p je ľubovoľné reálne číslo. To znamená, že za podmienok a>0 , a≠1 , b>0 z logaritmu stupňa log a b p môžeme prejsť k súčinu p·log a b . Vykonajte túto transformáciu s danými výrazmi.

a) V tomto prípade a = 0,7, b = 5 a p = 11. Takže log 0,7 5 11 = 11 log 0,7 5 .

b) Tu sú splnené podmienky a>0 , a≠1 , b>0. Takže

c) Výraz log 3 (−5) 6 má rovnakú štruktúru log a b p , a=3 , b=−5 , p=6 . Ale pre b nie je splnená podmienka b>0, čo znemožňuje použiť vzorec log a b p =p log a b . Tak prečo nemôžete dokončiť prácu? Je to možné, ale je potrebná predbežná transformácia výrazu, ktorej sa budeme podrobne venovať nižšie v odseku pod nadpisom . Riešenie bude takéto: log 3 (−5) 6 = log 3 5 6 = 6 log 3 5.

odpoveď:

a) log 0,7 5 11 = 11 log 0,7 5 ,
b)
c) log3 (-5)6 = 6 log35.

Pomerne často sa musí vzorec pre logaritmus stupňa pri vykonávaní transformácií aplikovať sprava doľava vo forme p log a b \u003d log a b p (to si vyžaduje rovnaké podmienky pre a, b a p). Napríklad 3 ln5 = ln5 3 a lg2 log 2 3 = log 2 3 lg2.

Príklad.

a) Vypočítajte hodnotu log 2 5, ak je známe, že lg2≈0,3010 a lg5≈0,6990. b) Napíšte zlomok ako logaritmus so základom 3.

rozhodnutie.

a) Vzorec na prechod na nový základ logaritmu nám umožňuje tento logaritmus znázorniť ako pomer desiatkových logaritmov, ktorých hodnoty sú nám známe: . Zostáva len vykonať výpočty, máme .

b) Tu stačí použiť vzorec na prechod na nový základ a aplikovať ho sprava doľava, teda v tvare . Dostaneme .

odpoveď:

a) log 2 5≈2,3223, b) .

V tejto fáze sme dosť dôsledne uvažovali o transformácii najjednoduchších výrazov pomocou základných vlastností logaritmov a definície logaritmu. V týchto príkladoch sme museli použiť jednu vlastnosť a nič iné. Teraz môžete s čistým svedomím prejsť na príklady, ktorých transformácia si vyžaduje použitie niekoľkých vlastností logaritmov a iných dodatočných transformácií. Budeme sa im venovať v nasledujúcom odseku. Ešte predtým sa však krátko zastavme pri príkladoch aplikácie dôsledkov zo základných vlastností logaritmov.

Príklad.

a) Zbavte sa koreňa pod znakom logaritmu. b) Preveďte zlomok na logaritmus so základom 5. c) Zbavte sa mocností pod znakom logaritmu a na jeho základni. d) Vypočítajte hodnotu výrazu . e) Výraz nahraďte mocninou základom 3.

rozhodnutie.

a) Ak si pripomenieme dôsledok z vlastnosti logaritmu stupňa , potom môžete okamžite odpovedať: .

b) Tu použijeme vzorec sprava doľava, máme .

c) V tomto prípade vzorec vedie k výsledku . Dostaneme .

d) A tu stačí použiť dôsledok, ktorému vzorec zodpovedá . Takže .

e) Vlastnosť logaritmu nám umožňuje dosiahnuť požadovaný výsledok: .

odpoveď:

a) . b) . v) . G) . e) .

Konzistentné používanie viacerých vlastností

Skutočné úlohy na transformáciu výrazov pomocou vlastností logaritmov sú zvyčajne zložitejšie ako tie, ktorým sme sa venovali v predchádzajúcom odseku. V nich sa výsledok spravidla nezíska v jednom kroku, ale riešenie už spočíva v postupnej aplikácii jednej vlastnosti za druhou spolu s ďalšími identickými transformáciami, ako je otváranie zátvoriek, zmenšovanie podobných členov, zmenšovanie zlomkov atď. . Poďme si teda priblížiť takéto príklady. V tom nie je nič zložité, hlavnou vecou je konať opatrne a dôsledne a dodržiavať poradie, v ktorom sa akcie vykonávajú.

Príklad.

Vypočítajte hodnotu výrazu (log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5.

rozhodnutie.

Rozdiel logaritmov v zátvorkách vlastnosťou logaritmu kvocientu možno nahradiť logaritmom log 3 (15:5) a potom vypočítať jeho hodnotu log 3 (15:5)=log 3 3=1 . A hodnota výrazu 7 log 7 5 podľa definície logaritmu je 5 . Nahradením týchto výsledkov do pôvodného výrazu dostaneme (log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =1 5=5.

Tu je riešenie bez vysvetlenia:
(log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 = log 3 (15:5) 5=
= log 3 3 5 = 1 5 = 5.

odpoveď:

(log 3 15−log 3 5) 7 log 7 5 =5.

Príklad.

Akú hodnotu má číselný výraz log 3 log 2 2 3 −1 ?

rozhodnutie.

Najprv transformujme logaritmus, ktorý je pod znamienkom logaritmu, podľa vzorca pre logaritmus stupňa: log 2 2 3 =3. Takže log 3 log 2 2 3 = log 3 3 a potom log 3 3 = 1 . Takže log 3 log 2 2 3 −1=1−1=0 .

odpoveď:

log 3 log 2 2 3 −1=0 .

Príklad.

Zjednodušte výraz.

rozhodnutie.

Vzorec na prevod na nový základ logaritmu umožňuje, aby bol pomer logaritmov k jednej báze vyjadrený ako log 3 5 . V tomto prípade bude mať pôvodný výraz tvar . Podľa definície logaritmu 3 log 3 5 = 5 , tj a hodnota výsledného výrazu sa na základe rovnakej definície logaritmu rovná dvom.

Tu je krátka verzia riešenia, ktorá sa zvyčajne uvádza: .

odpoveď:

.

Pre hladký prechod k informáciám z nasledujúceho odseku sa pozrime na výrazy 5 2+log 5 3 a lg0.01 . Ich štruktúra nezodpovedá žiadnej z vlastností logaritmov. Čo sa teda stane, ak ich nemožno previesť pomocou vlastností logaritmov? Je to možné, ak vykonáte predbežné transformácie, ktoré pripravia tieto výrazy na použitie vlastností logaritmov. Takže 5 2+log 5 3 =5 2 5 log 5 3 =25 3=75, a lg0,01=lg10-2 = -2. Ďalej podrobne pochopíme, ako sa takáto príprava výrazov vykonáva.

Príprava výrazov na použitie vlastností logaritmov

Logaritmy v konvertovanom výraze sa veľmi často líšia štruktúrou zápisu z ľavej a pravej časti vzorcov, ktoré zodpovedajú vlastnostiam logaritmov. Ale rovnako často transformácia týchto výrazov zahŕňa použitie vlastností logaritmov: ich použitie si vyžaduje iba predbežnú prípravu. A táto príprava spočíva vo vykonaní určitých identických transformácií, ktoré prinesú logaritmy do formy vhodnej na aplikáciu vlastností.

Aby sme boli spravodliví, poznamenávame, že takmer každá transformácia výrazov môže pôsobiť ako predbežná transformácia, od banálnej redukcie podobných výrazov až po použitie trigonometrických vzorcov. Je to pochopiteľné, pretože konvertované výrazy môžu obsahovať akékoľvek matematické objekty: zátvorky, moduly, zlomky, odmocniny, stupne atď. Preto musíme byť pripravení vykonať akúkoľvek požadovanú transformáciu, aby sme mohli ďalej využívať vlastnosti logaritmov.

Hneď si povedzme, že v tejto časti si nekladieme za úlohu klasifikovať a analyzovať všetky mysliteľné predbežné transformácie, ktoré nám umožňujú v budúcnosti aplikovať vlastnosti logaritmu alebo definíciu logaritmu. Tu sa zameriame len na štyri z nich, ktoré sú najcharakteristickejšie a v praxi sa s nimi najčastejšie stretávame.

A teraz podrobne o každom z nich, po ktorom v rámci našej témy zostáva len zaoberať sa transformáciou výrazov s premennými pod znakmi logaritmov.

Výber mocnín pod znakom logaritmu a v jeho základe

Začnime hneď príkladom. Urobme logaritmus. Je zrejmé, že v tejto forme jej štruktúra neprispieva k použitiu vlastností logaritmov. Je možné tento výraz nejako pretransformovať, aby sme ho zjednodušili, alebo ešte lepšie vypočítať jeho hodnotu? Aby sme na túto otázku odpovedali, pozrime sa bližšie na čísla 81 a 1/9 v kontexte nášho príkladu. Tu je ľahké vidieť, že tieto čísla môžu byť vyjadrené ako mocnina 3 , skutočne 81=3 4 a 1/9=3 −2 . V tomto prípade je pôvodný logaritmus prezentovaný vo formulári a je možné použiť vzorec . takze .

Analýza analyzovaného príkladu vedie k nasledujúcej myšlienke: ak je to možné, môžete sa pokúsiť zvýrazniť stupeň pod znamienkom logaritmu a na jeho základni, aby ste uplatnili vlastnosť logaritmu stupňa alebo jeho dôsledok. Zostáva len zistiť, ako tieto stupne vyčleniť. Dáme niekoľko odporúčaní k tejto otázke.

Niekedy je celkom zrejmé, že číslo pod znamienkom logaritmu a/alebo v jeho základni predstavuje nejakú celočíselnú mocninu, ako v príklade diskutovanom vyššie. Takmer neustále sa musíte vysporiadať s mocninami dvoch, ktoré sú dobre známe: 4=2 2 , 8=2 3 , 16=2 4 , 32=2 5 , 64=2 6 , 128=2 7 , 256=2 8 , 512 = 29, 1024 = 210. To isté možno povedať o stupňoch trojky: 9=3 2 , 27=3 3 , 81=3 4 , 243=3 5 , ... Vo všeobecnosti nezaškodí, ak existuje mocninná tabuľka prirodzených čísel do desiatich. Taktiež nie je ťažké pracovať s celočíselnými mocninami desať, sto, tisíc atď.

Príklad.

Vypočítajte hodnotu alebo zjednodušte výraz: a) log 6 216 , b) , c) log 0,000001 0,001 .

rozhodnutie.

a) Je zrejmé, že 216=63, takže log6216=log663=3.

b) Tabuľka mocnin prirodzených čísel nám umožňuje znázorniť čísla 343 a 1/243 ako mocniny 7 3 a 3 −4. Preto je možná nasledujúca transformácia daného logaritmu:

c) Pretože 0,000001 = 10 -6 a 0,001 = 10 -3, potom log 0,000001 0,001=log 10 −6 10 −3 =(−3)/(−6)=1/2.

odpoveď:

a) log 6 216=3, b) c) log 0,000001 0,001 = 1/2.

V zložitejších prípadoch sa musíte uchýliť k zvýrazneniu sily čísel.

Príklad.

Zmeňte výraz na jednoduchší tvar log 3 648 log 2 3 .

rozhodnutie.

Pozrime sa, aký je rozklad čísla 648 na prvočísla:

To znamená, 648=2 3 3 4 . teda denník 3 648 denník 2 3= denník 3 (2 3 3 4) denník 2 3.

Teraz prevedieme logaritmus súčinu na súčet logaritmov, po ktorých použijeme vlastnosti logaritmu stupňa:
log 3 (2 3 3 4) log 2 3=(log 3 2 3 + log 3 3 4) log 2 3=
=(3 log 3 2+4) log 2 3 .

Na základe následku vlastnosti logaritmu stupňa, ktorý zodpovedá vzorcu , súčin log32 log23 je súčin a je známe, že sa rovná jednej. Vzhľadom na to dostaneme 3 denník 3 2 denník 2 3+4 denník 2 3=3 1+4 denník 2 3=3+4 denník 2 3.

odpoveď:

log 3 648 log 2 3=3+4 log 2 3.

Pomerne často sú výrazy pod znamienkom logaritmu a v jeho základe súčinom alebo pomerom koreňov a / alebo mocnín niektorých čísel, napríklad , . Podobné výrazy môžu byť vyjadrené ako stupeň. Na tento účel sa vykoná prechod z koreňov na stupne a aplikujú sa. Tieto transformácie vám umožňujú vybrať stupne pod znamienkom logaritmu a v jeho základni a potom použiť vlastnosti logaritmu.

Príklad.

Vypočítajte: a) , b).

rozhodnutie.

a) Výraz v základe logaritmu je súčinom mocnín s rovnakými základmi podľa zodpovedajúcej vlastnosti mocnín, ktoré máme 5 2 5 −0,5 5 −1 =5 2−0,5−1 =5 0,5.

Teraz preveďme zlomok pod znamienko logaritmu: prejdime od koreňa k stupňu, po ktorom použijeme vlastnosť pomeru stupňov s rovnakými základmi: .

Zostáva nahradiť získané výsledky do pôvodného výrazu, použite vzorec a dokončite transformáciu:

b) Keďže 729=3 6 , a 1/9=3 −2 , pôvodný výraz možno prepísať ako .

Ďalej použite vlastnosť odmocniny exponentu, prejdite z odmocniny k exponentu a použite pomer mocnin na prevod základu logaritmu na mocninu: .

Ak vezmeme do úvahy posledný výsledok, máme .

odpoveď:

a) , b).

Je jasné, že vo všeobecnom prípade na získanie mocnín pod znamienkom logaritmu a v jeho základe môžu byť potrebné rôzne transformácie rôznych výrazov. Uveďme pár príkladov.

Príklad.

Akú hodnotu má výraz: a) , b) .

rozhodnutie.

Ďalej si všimneme, že daný výraz má tvar log A B p, kde A=2, B=x+1 a p=4. Číselné výrazy tohto druhu sme transformovali podľa vlastnosti logaritmu stupňa log a b p \u003d p log a b, preto s daným výrazom chcem urobiť to isté a ísť od log 2 (x + 1) 4 do 4 log 2 (x + 1) . A teraz vypočítajme hodnotu pôvodného výrazu a výrazu získaného po transformácii, napríklad s x=−2 . Máme log 2 (−2+1) 4 = log 2 1 = 0 a 4 log 2 (−2+1)=4 log 2 (−1)- nezmyselný výraz. To vyvoláva legitímnu otázku: „Čo sme urobili zle“?

A dôvod je nasledovný: vykonali sme transformáciu log 2 (x+1) 4 =4 log 2 (x+1) , na základe vzorca log a b p =p log a b , ale máme právo použiť iba tento vzorec ak sú splnené podmienky a >0 , a≠1 , b>0 , p - ľubovoľné reálne číslo. To znamená, že transformácia, ktorú sme vykonali, sa uskutoční, ak x+1>0 , čo je rovnaké x>−1 (pre A a p sú splnené podmienky). V našom prípade však ODZ premennej x pre pôvodný výraz pozostáva nielen z intervalu x> −1 , ale aj z intervalu x<−1 . Но для x<−1 мы не имели права осуществлять преобразование по выбранной формуле.

Potreba zohľadniť ODZ

Pokračujme v analýze transformácie nami zvoleného výrazu log 2 (x+1) 4 a teraz sa pozrime, čo sa stane s ODZ pri prechode na výraz 4 log 2 (x+1) . V predchádzajúcom odseku sme našli ODZ pôvodného výrazu - to je množina (−∞, −1)∪(−1, +∞) . Teraz nájdime oblasť prijateľných hodnôt premennej x pre výraz 4 log 2 (x+1) . Je určená podmienkou x+1>0 , ktorá zodpovedá množine (−1, +∞) . Je zrejmé, že pri prechode z log 2 (x+1) 4 na 4·log 2 (x+1) sa rozsah prípustných hodnôt zužuje. A dohodli sme sa, že sa vyhneme reformám, ktoré vedú k zúženiu ODZ, pretože to môže viesť k rôznym negatívnym dôsledkom.

Tu stojí za zmienku pre seba, že je užitočné kontrolovať ODZ v každom kroku transformácie a nedovoliť jej zúženie. A ak zrazu v niektorej fáze transformácie došlo k zúženiu ODZ, potom sa oplatí veľmi pozorne pozrieť, či je táto transformácia prípustná a či sme mali právo ju vykonať.

Spravodlivo hovoríme, že v praxi musíme zvyčajne pracovať s výrazmi, v ktorých je ODZ premenných taká, že nám umožňuje používať vlastnosti logaritmov bez obmedzení v nám už známej forme, a to zľava doprava aj z sprava doľava pri vykonávaní transformácií. Rýchlo si na to zvyknete a transformácie začnete vykonávať mechanicky bez toho, aby ste premýšľali o tom, či je možné ich vykonať. A v takých chvíľach, ako aj šťastie, prekĺznu zložitejšie príklady, v ktorých nepresná aplikácia vlastností logaritmov vedie k chybám. Treba byť teda stále v strehu a dbať na to, aby nedošlo k zúženiu ODZ.

Nie je na škodu osobitne zdôrazniť hlavné transformácie založené na vlastnostiach logaritmov, ktoré sa musia vykonávať veľmi opatrne, čo môže viesť k zúženiu ODZ a v dôsledku toho k chybám:

Niektoré transformácie výrazov podľa vlastností logaritmov môžu viesť aj k opaku - rozšíreniu ODZ. Napríklad prechod zo 4 log 2 (x+1) na log 2 (x+1) 4 rozširuje ODZ z množiny (−1, +∞) na (−∞, −1)∪(−1, +∞ ). Takéto transformácie sa uskutočnia, ak zostanete v rámci ODZ pre pôvodný výraz. Takže práve spomínaná transformácia 4 log 2 (x+1)=log 2 (x+1) 4 prebieha na premennej ODZ x pre pôvodný výraz 4 log 2 (x+1) , teda keď x+1> 0 , čo je rovnaké ako (−1, +∞) .

Teraz, keď sme diskutovali o nuansách, ktorým musíte venovať pozornosť pri prevode výrazov s premennými pomocou vlastností logaritmov, zostáva zistiť, ako by sa tieto prevody mali vykonávať správne.

X+2>0. Funguje to v našom prípade? Aby sme odpovedali na túto otázku, pozrime sa na DPV premennej x. Je určená systémom nerovností , čo je ekvivalent podmienky x+2>0 (v prípade potreby pozri článok riešenie sústav nerovníc). Môžeme teda bezpečne aplikovať vlastnosť logaritmu stupňa.

Máme
3 log(x+2) 7 −log(x+2)−5 log(x+2) 4 =
=3 7 log(x+2)−log(x+2)−5 4 log(x+2)=
=21 log(x+2)-log(x+2)-20 log(x+2)=
=(21-1-20)lg(x+2)=0.

Môžete konať inak, keďže vám to ODZ umožňuje, napríklad takto:

odpoveď:

3 log(x+2) 7 −log(x+2)−5 log(x+2) 4 =0.

A čo robiť, keď na ODZ nie sú splnené podmienky spojené s vlastnosťami logaritmov? Budeme sa tomu venovať na príkladoch.

Žiadame, aby sme zjednodušili výraz lg(x+2) 4 −lg(x+2) 2 . Transformácia tohto výrazu na rozdiel od výrazu z predchádzajúceho príkladu neumožňuje voľné použitie vlastnosti logaritmu stupňa. prečo? ODZ premennej x je v tomto prípade spojením dvoch intervalov x>−2 a x<−2 . При x>−2 môžeme bezpečne použiť vlastnosť logaritmu stupňa a postupovať ako v príklade vyššie: log(x+2) 4 −log(x+2) 2 = 4 log(x+2)−2 log(x+2)=2 log(x+2). Ale ODZ obsahuje ďalší interval x+2<0 , для которого последнее преобразование будет некорректно. Что же делать при x+2<0 ? В подобных случаях на помощь приходит . Определение модуля позволяет выражение x+2 при x+2<0 представить как −|x+2| . Тогда при x+2<0 от lg(x+2) 4 −lg(x+2) 2 переходим к log(−|x+2|) 4 −log(−|x+2|) 2 a ďalej v dôsledku energetických vlastností lg|x+2| 4−lg|x+2| 2. Výsledný výraz je možné transformovať podľa vlastnosti logaritmu stupňa, pretože |x+2|>0 pre ľubovoľné hodnoty premennej. Máme log|x+2| 4−lg|x+2| 2 =4 log|x+2|−2 log|x+2|=2 log|x+2|. Teraz sa môžete zbaviť modulu, pretože splnil svoju úlohu. Pretože transformujeme na x+2<0 , то 2·lg|x+2|=2·lg(−(x+2)) . Итак, можно считать, что мы справились с поставленной задачей. Ответ: . Полученный результат можно записать компактно с использованием модуля как .

Uvažujme ešte jeden príklad, aby sme si prácu s modulmi objasnili. Uvažujme z výrazu prejsť na súčet a rozdiel logaritmov lineárnych binómov x−1 , x−2 a x−3 . Najprv nájdeme ODZ:

Na intervale (3, +∞) sú hodnoty výrazov x−1 , x−2 a x−3 kladné, takže môžeme bezpečne aplikovať vlastnosti logaritmu súčtu a rozdielu:

A na intervale (1, 2) sú hodnoty výrazu x−1 kladné a hodnoty výrazov x−2 a x−3 sú záporné. Preto na uvažovanom intervale reprezentujeme x−2 a x−3 pomocou modulo ako −|x−2| a −|x−3| resp. V čom

Teraz môžeme aplikovať vlastnosti logaritmu súčinu a kvocientu, keďže na uvažovanom intervale (1, 2) sú hodnoty výrazov x−1 , |x−2| a |x−3| - pozitívny.

Máme

Získané výsledky je možné kombinovať:

Vo všeobecnosti podobné uvažovanie umožňuje na základe vzorcov pre logaritmus súčinu, pomeru a stupňa získať tri prakticky užitočné výsledky, ktoré je celkom vhodné použiť:

• Logaritmus súčinu dvoch ľubovoľných výrazov X a Y tvaru log a (X·Y) možno nahradiť súčtom logaritmov log a |X|+log a |Y| , a>0, a≠1.
• Špeciálny logaritmus log a (X:Y) možno nahradiť rozdielom logaritmov log a |X|−log a |Y| , a>0 , a≠1, X a Y sú ľubovoľné výrazy.
• Od logaritmu nejakého výrazu B k párnej mocnine p tvaru log a B p možno prejsť k výrazu p log a |B| , kde a>0 , a≠1 , p je párne číslo a B je ľubovoľný výraz.

Podobné výsledky uvádza napríklad návod na riešenie exponenciálnych a logaritmických rovníc v zbierke úloh z matematiky pre uchádzačov o štúdium na vysokých školách, ktorú pripravil M. I. Skanavi.

Príklad.

Zjednodušte výraz .

rozhodnutie.

Bolo by dobré použiť vlastnosti logaritmu stupňa, súčtu a rozdielu. Ale môžeme to urobiť tu? Na zodpovedanie tejto otázky potrebujeme poznať ODZ.

Poďme si to definovať:

Je celkom zrejmé, že výrazy x+4 , x−2 a (x+4) 13 na rozsahu možných hodnôt premennej x môžu nadobúdať kladné aj záporné hodnoty. Preto sa budeme musieť prepracovať cez moduly.

Vlastnosti modulu vám umožňujú prepísať ako , tak

Nič vám tiež nebráni použiť vlastnosť logaritmu stupňa a potom priniesť podobné výrazy:

Ďalšia postupnosť transformácií vedie k rovnakému výsledku:

a keďže výraz x−2 môže nadobudnúť kladné aj záporné hodnoty na ODZ, pri párnom exponente 14

Typ lekcie: lekcia zovšeobecňovania a systematizácie vedomostí

Ciele:

• aktualizovať vedomosti študentov o logaritmoch a ich vlastnostiach v rámci zovšeobecňujúceho opakovania a prípravy na skúšku;
• podporovať rozvoj duševnej činnosti študentov, zručnosti aplikácie teoretických vedomostí pri vykonávaní cvičení;
• podporovať rozvoj osobnostných kvalít žiakov, zručnosti sebakontroly a sebahodnotenia svojich činností; pestovať pracovitosť, trpezlivosť, vytrvalosť, samostatnosť.

Vybavenie: počítač, projektor, prezentácia (Dodatok 1), kartičky s domácimi úlohami (môžete priložiť súbor s úlohou v elektronickom diári).

Počas vyučovania

I. Organizačný moment. Dobrý deň, pripravte sa na lekciu.

II. Diskusia o domácich úlohách.

III. Správa o téme a účele lekcie. Motivácia.(Snímka 1) Prezentácia.

Pokračujeme v zovšeobecňujúcom opakovaní kurzu matematiky v príprave na skúšku. A dnes v lekcii budeme hovoriť o logaritmoch a ich vlastnostiach.

Úlohy na výpočet logaritmov a transformáciu logaritmických výrazov sú nevyhnutne prítomné v riadiacich a meracích materiáloch základnej aj profilovej úrovne. Účelom našej lekcie je preto obnoviť predstavy o význame pojmu „logaritmus“ a aktualizovať zručnosti pri prevode logaritmických výrazov. Zapíšte si tému hodiny do zošitov.

IV. Aktualizácia znalostí.

1. /Ústne/ Najprv si spomeňme na to, čo sa nazýva logaritmus. (Snímka 2)

(Logaritmus kladného čísla b na základ a (kde a > 0, a? 1) je exponent, na ktorý musíte zvýšiť číslo a, aby ste dostali číslo b)

Log a b = n<->a n \u003d b, (a> 0, a 1, b> 0)

Takže „LOGARIFM“ je „EXPONENTNÝ“!

(Snímka 3) Potom a n = b možno prepísať ako = b je hlavná logaritmická identita.

Ak je základ a \u003d 10, potom sa logaritmus nazýva desiatkový a označuje sa lgb.

Ak a \u003d e, potom sa logaritmus nazýva prirodzený a označuje sa lnb.

2. /Napísané/ (Snímka 4) Vyplňte medzery, aby ste získali správne rovnosti:

prihlásiť sa? x + Log a ? = Log ? (?y)

prihlásiť sa ? - Prihlásiť sa? y = Log ? (X/?)

Log x? = pLog ? (?)

Vyšetrenie:

jeden; jeden; a,y,x; x,a,a,y; p, a, x.

Toto sú vlastnosti logaritmov. A ďalšia skupina vlastností: (Snímka 5)

Vyšetrenie:

a,l,n,x; n, x, p, a; x,b,a,y; a,x,b; a,1,b.

V. Ústna práca

(Snímka 6) č. 1. Vypočítať:

a B C d) ; e) .

Odpovede a) 4; b) - 2; v 2; d) 7; e) 27.

(Snímka 7) č. 2. Nájsť X:

a) ; b) (Odpovede: a) 1/4; b) 9).

č. 3. Má zmysel uvažovať o takomto logaritmu:

a) ; b) ; v) ? (nie)

VI. Samostatná práca v skupinách, silní študenti – konzultanti. (Snímka 8)

#1 Vypočítajte: .

#2 Zjednodušte:

č.3. Nájdite hodnotu výrazu ak

#4 Zjednodušte výraz:

#5 Vypočítajte:

#6 Vypočítajte:

#7 Vypočítajte:

#8 Vypočítajte:

Po dokončení - overenie a diskusia o pripravenom riešení alebo pomocou dokumentovej kamery.

VII. Riešenie úlohy so zvýšenou zložitosťou(silný študent je na tabuli, zvyšok je v zošitoch) (Snímka 9)

Nájdite hodnotu výrazu:

VIII. Domáce úlohy (na kartičkách) sú diferencované.(Snímka 10)

č. 1. Vypočítať:

Poučenie

Zapíšte si daný logaritmický výraz. Ak výraz používa logaritmus 10, potom sa jeho zápis skráti a vyzerá takto: lg b je desiatkový logaritmus. Ak má logaritmus číslo e ako základ, potom sa výraz zapíše: ln b je prirodzený logaritmus. Rozumie sa, že výsledkom ľubovoľného je mocnina, na ktorú sa musí základné číslo zvýšiť, aby sa dostalo číslo b.

Pri hľadaní súčtu dvoch funkcií ich stačí odlíšiť jednu po druhej a pridať výsledky: (u+v)" = u"+v";

Pri hľadaní derivácie súčinu dvoch funkcií je potrebné vynásobiť deriváciu prvej funkcie druhou a pridať deriváciu druhej funkcie, vynásobenú prvou funkciou: (u*v)" = u"* v+v"*u;

Aby sme našli deriváciu kvocientu dvoch funkcií, je potrebné od súčinu derivácie deliteľa vynásobeného funkciou deliteľa odčítať súčin derivácie deliteľa vynásobeného funkciou deliteľa a rozdeliť to všetko pomocou funkcie deliteľa na druhú. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Ak je daná komplexná funkcia, potom je potrebné vynásobiť deriváciu vnútornej funkcie a deriváciu vonkajšej. Nech y=u(v(x)), potom y"(x)=y"(u)*v"(x).

Pomocou vyššie uvedeného môžete rozlíšiť takmer akúkoľvek funkciu. Pozrime sa teda na niekoľko príkladov:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2 *X));
Existujú aj úlohy na výpočet derivácie v bode. Nech je daná funkcia y=e^(x^2+6x+5), musíte nájsť hodnotu funkcie v bode x=1.
1) Nájdite deriváciu funkcie: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Vypočítajte hodnotu funkcie v danom bode y"(1)=8*e^0=8

Podobné videá

Užitočné rady

Naučte sa tabuľku základných derivácií. To ušetrí veľa času.

Zdroje:

• konštantná derivácia

Aký je teda rozdiel medzi iracionálnou a racionálnou rovnicou? Ak je neznáma premenná pod znamienkom druhej odmocniny, potom sa rovnica považuje za iracionálnu.

Poučenie

Hlavnou metódou riešenia takýchto rovníc je metóda zdvíhania oboch strán rovnice do štvorca. Avšak. je to prirodzené, prvým krokom je zbaviť sa znamienka. Technicky táto metóda nie je náročná, ale niekedy môže viesť k problémom. Napríklad rovnica v(2x-5)=v(4x-7). Umocnením oboch strán získate 2x-5=4x-7. Takúto rovnicu nie je ťažké vyriešiť; x=1. Ale číslo 1 nebude dané rovnice. prečo? Nahraďte v rovnici jednotku namiesto hodnoty x. A pravá a ľavá strana budú obsahovať výrazy, ktoré nedávajú zmysel, tzn. Takáto hodnota neplatí pre druhú odmocninu. Preto je 1 cudzí koreň, a preto táto rovnica nemá korene.

Iracionálna rovnica sa teda rieši metódou kvadratúry oboch jej častí. A po vyriešení rovnice je potrebné odrezať cudzie korene. Za týmto účelom nahraďte nájdené korene do pôvodnej rovnice.

Zvážte iný.
2x+vx-3=0
Samozrejme, že táto rovnica môže byť vyriešená pomocou rovnakej rovnice ako predchádzajúca. Transferové zlúčeniny rovnice, ktoré nemajú odmocninu, na pravú stranu a potom použite metódu odmocnenia. vyriešiť výslednú racionálnu rovnicu a korene. Ale iná, elegantnejšia. Zadajte novú premennú; vx=y. Podľa toho dostanete rovnicu ako 2y2+y-3=0. To je obvyklá kvadratická rovnica. Nájdite jeho korene; y1 = 1 a y2 = -3/2. Ďalej vyriešte dve rovnice vx=1; vx \u003d -3/2. Druhá rovnica nemá korene, z prvej zistíme, že x=1. Nezabudnite na potrebu kontroly koreňov.

Riešenie identít je celkom jednoduché. To si vyžaduje identické transformácie, kým sa nedosiahne cieľ. Úloha bude teda vyriešená pomocou najjednoduchších aritmetických operácií.

Budete potrebovať

• - papier;
• - pero.

Poučenie

Najjednoduchšie takéto transformácie sú algebraické skrátené násobenia (napríklad druhá mocnina súčtu (rozdiel), rozdiel druhých mocnín, súčet (rozdiel), druhá mocnina súčtu (rozdiel)). Okrem toho existuje veľa goniometrických vzorcov, ktoré sú v podstate rovnakými identitami.

Druhá mocnina súčtu dvoch členov sa skutočne rovná druhej mocnine prvého a dvojnásobku súčinu prvého a druhého plus druhej mocniny druhého, teda (a+b)^2= (a+b )(a+b)=a^2+ab +ba+b ^2=a^2+2ab+b^2.

Zjednodušte oboje

Všeobecné princípy riešenia

Opakujte z učebnice matematickej analýzy alebo vyššej matematiky, ktorá je určitým integrálom. Ako viete, riešením určitého integrálu je funkcia, ktorej derivácia dá integrand. Táto funkcia sa nazýva primitívna. Podľa tohto princípu sú zostrojené základné integrály.
Určte podľa tvaru integrandu, ktorý z tabuľkových integrálov je v tomto prípade vhodný. Nie vždy sa to dá okamžite určiť. Často sa tabuľková forma stane viditeľnou až po niekoľkých transformáciách, aby sa integrand zjednodušil.

Metóda variabilnej substitúcie

Ak je integrand goniometrická funkcia, ktorej argumentom je nejaký polynóm, skúste použiť metódu zmeny premenných. Ak to chcete urobiť, nahraďte polynóm v argumente integrandu nejakou novou premennou. Na základe pomeru medzi novou a starou premennou určte nové hranice integrácie. Odlíšením tohto výrazu nájdite nový diferenciál v . Získate tak nový tvar starého integrálu, blízky alebo dokonca zodpovedajúci ľubovoľnému tabuľkovému integrálu.

Riešenie integrálov druhého druhu

Ak je integrál integrálom druhého druhu, vektorovou formou integrandu, potom budete musieť použiť pravidlá na prechod z týchto integrálov na skalárne. Jedným z takýchto pravidiel je Ostrogradského-Gaussov pomer. Tento zákon umožňuje prejsť z rotorového toku nejakej vektorovej funkcie na trojitý integrál cez divergenciu daného vektorového poľa.

Nahradenie hraníc integrácie

Po nájdení primitívneho prvku je potrebné dosadiť hranice integrácie. Najprv dosaďte do výrazu pre primitívnu hodnotu hodnotu hornej hranice. Dostanete nejaké číslo. Potom od výsledného čísla odčítajte ďalšie číslo, výslednú dolnú hranicu primitívnej funkcie. Ak je jednou z integračných limít nekonečno, tak pri jej dosadení do primitívnej funkcie je potrebné ísť na limitu a nájsť, k čomu výraz smeruje.
Ak je integrál dvojrozmerný alebo trojrozmerný, potom budete musieť reprezentovať geometrické limity integrácie, aby ste pochopili, ako vypočítať integrál. V skutočnosti v prípade, povedzme, trojrozmerného integrálu, limity integrácie môžu byť celé roviny, ktoré obmedzujú objem, ktorý sa má integrovať.