Samostatná práca študenta 1. ročníka na tému Stupne s platným ukazovateľom. Vlastnosti stupňov so skutočným exponentom (6 hodín)
Preštudujte si teoretický materiál a robte si poznámky (2 hodiny)
Vyriešte krížovku (2 hodiny)
Urobte si domácu úlohu (2 hodiny)
Referenčný a didaktický materiál je uvedený nižšie.
K pojmu stupeň s racionálnym exponentom
Niektoré z najviacbežné
Typy transcendentálnych funkcií predtým
Úplne orientačný, otvorený prístup k
Veľa štúdií.
L. Eiler
Z praxe riešenia čoraz zložitejších algebraických problémov a práce s mocninami sa stalo nevyhnutné zovšeobecniť pojem stupňa a rozšíriť ho zavedením nuly, záporných a zlomkových čísel ako exponentov.
Rovnosť a 0 = 1 (pre ) sa používala v jeho spisoch na začiatku 15. storočia. Samarkandský vedec al-Kashi. Bez ohľadu na neho nulový ukazovateľ zaviedol N. Shuke v 15. storočí. Ten tiež zaviedol záporné exponenty. Myšlienku zlomkových ukazovateľov obsahuje francúzsky matematik N. Orem (XIV. storočie) vo svojom
práca "Algorizmus proporcií". Namiesto nášho znaku napísal , namiesto toho napísal 4. Orem verbálne formuluje pravidlá pre akcie so stupňami, napríklad (v modernej notácii):, 
atď.
Neskôr sa zlomkové, ako aj záporné exponenty nachádzajú v „Úplnej aritmetike“ (1544) od nemeckého matematika M. Stiefela a S. Stevina. Ten druhý píše, že koreň stupňa P z čísla a možno počítať ako titul a so zlomkom.
Účelnosť zavedenia nulových, záporných a zlomkových ukazovateľov a moderných symbolov prvýkrát podrobne napísal v roku 1665 anglický matematik John Vallis. Jeho dielo zavŕšil I. Newton, ktorý začal systematicky aplikovať nové symboly, po ktorých sa dostali do bežného používania.
Zavedenie stupňa s racionálnym exponentom je jedným z mnohých príkladov zovšeobecnenia pojmu matematický úkon. Stupeň s nulovým, záporným a zlomkovým exponentom je definovaný tak, že preň platia rovnaké pravidlá pôsobenia ako pre stupeň s prirodzeným exponentom, t.j. aby boli zachované základné vlastnosti pôvodne definovaného pojmu stupňa. , menovite:
Nová definícia stupňa s racionálnym exponentom nie je v rozpore so starou definíciou stupňa s prirodzeným exponentom, t. j. význam novej definície stupňa s racionálnym exponentom je zachovaný pre konkrétny prípad stupňa s prirodzený exponent. Tento princíp, pozorovaný pri zovšeobecňovaní matematických pojmov, sa nazýva princíp stálosti (zachovania, stálosti). V nedokonalej forme ho vyjadril v roku 1830 anglický matematik J. Peacock a úplne a jasne ho stanovil nemecký matematik G. Hankel v roku 1867. Princíp stálosti sa dodržiava aj pri zovšeobecňovaní pojmu číslo a rozširovaní k pojmu reálne číslo a ešte predtým k zavedeniu pojmu násobenie zlomkom atď.
Funkcia napájania agrafickýriešenie rovníc anerovnosti
Vďaka objavu metódy súradníc a analytickej geometrie sa začalo v 17. storočí. umožnilo sa všeobecne použiteľné grafické štúdium funkcií a grafické riešenie rovníc.
Moc funkcia je funkciou formy
kde α je konštantné reálne číslo. Spočiatku sa však obmedzujeme na racionálne hodnoty α a namiesto rovnosti (1) píšeme:
kde - racionálne číslo. Pre a podľa definície máme:
pri=1, y = x.
harmonogram prvá z týchto funkcií v rovine je priamka rovnobežná s osou oh, a druhý je osou 1. a 3. súradnicového uhla.
Keď je funkčný graf parabola . Descartes, ktorý prvý neznámy označil o z, druhý - cez y, tretí - cez X:, napísal rovnicu paraboly takto: ( z- úsečka). Na riešenie rovníc často používal parabolu. Riešiť napríklad rovnicu 4. stupňa
Descartes prostredníctvom substitúcie
dostal kvadratickú rovnicu s dvoma neznámymi:
zobrazujúci kruh umiestnený v jednej rovine (zx) s parabola (4). Descartes teda predstavuje druhú neznámu (X), rozdeľuje rovnicu (3) na dve rovnice (4) a (5), z ktorých každá predstavuje určité miesto v bode. Súradnice ich priesečníkov dávajú korene rovnice (3).
„Jedného dňa sa kráľ rozhodol vybrať si svojho prvého pomocníka spomedzi svojich dvoranov. Všetkých zaviedol do obrovského hradu. "Kto ho otvorí prvý, bude prvým pomocníkom." Nikto sa hradu ani nedotkol. Len jeden vezír prišiel a zatlačil na zámok, ktorý sa otvoril. Nebolo zamknuté.
Potom kráľ povedal: „Dostanete túto pozíciu, pretože sa nespoliehate len na to, čo vidíte a počujete, ale spoliehate sa aj na svoju silu a nebojíte sa to skúsiť.
A dnes sa pokúsime, pokúsime sa dospieť k správnemu rozhodnutiu.
1. S akým matematickým pojmom sa spájajú slová:
Základňa
Indikátor (stupeň)
Aké slová môžu kombinovať slová:
racionálne číslo
Celé číslo
Prirodzené číslo
Iracionálne číslo (skutočné číslo)
Formulujte tému lekcie. (Mocnica so skutočným exponentom)
- zopakujte vlastnosti stupňa
– zvážiť použitie stupňových vlastností pri výpočtoch a zjednodušení výrazov
- rozvoj výpočtových schopností.
Takže a p, kde p je reálne číslo.
Uveďte príklady (vyberte si z výrazov 5–2, , 43, ) stupňov
- s prirodzeným indikátorom
- s celočíselnou hodnotou
- s racionálnym ukazovateľom
- s iracionálnym ukazovateľom
Pre aké hodnoty a má výraz zmysel?
a n , kde n (a je ľubovoľné)
a m , kde m (a nerovná sa 0) Ako prejsť zo záporného exponentu na kladný?
kde p, q (a > 0)
Aké úkony (matematické operácie) možno vykonávať s titulmi?
Nastaviť zhodu:
|
Pri násobení mocnín s rovnakými základmi |
Základy sa vynásobia, ale exponent zostáva rovnaký |
|
Pri delení mocnín s rovnakými základmi |
Základy sú rozdelené, ale exponent zostáva rovnaký |
Potom, čo bolo stanovené stupeň, je logické o tom hovoriť stupňa vlastnosti. V tomto článku uvedieme základné vlastnosti stupňa čísla, pričom sa dotkneme všetkých možných exponentov. Tu uvedieme dôkazy o všetkých vlastnostiach stupňa a tiež ukážeme, ako sa tieto vlastnosti uplatňujú pri riešení príkladov.
Navigácia na stránke.
Vlastnosti stupňov s prirodzenými ukazovateľmi
Autor: určenie stupňa prirodzeným ukazovateľom mocnina a n je súčinom n faktorov, z ktorých každý sa rovná a . Na základe tejto definície a používania vlastnosti násobenia reálnych čísel, môžeme získať a zdôvodniť nasledovné vlastnosti stupňa s prirodzeným exponentom:
- hlavná vlastnosť stupňa a m ·a n =a m+n, jej zovšeobecnenie ;
- vlastnosť čiastkových mocnín s rovnakými základmi a m:a n =a m−n ;
- produkt stupeň vlastnosť (a b) n =a n b n , jeho rozšírenie ;
- podielová vlastnosť v naturáliách (a:b) n =a n:b n ;
- umocnenie (a m) n =a m n, jeho zovšeobecnenie (((a n 1) n 2) ...) n k =a n 1 n 2 ... n k;
- porovnanie stupňa s nulou:
- ak a>0 , potom a n >0 pre ľubovoľné prirodzené n ;
- ak a=0, potom an=0;
- Ak<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 ak a<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то a 2·m−1 <0 ;
- ak a a b sú kladné čísla a a
- ak m a n sú prirodzené čísla také, že m>n , potom pri 0
- ak m a n sú prirodzené čísla také, že m>n , potom pri 0
Okamžite si všimneme, že všetky písomné rovnosti sú identické za stanovených podmienok a ich pravú a ľavú časť možno zameniť. Napríklad hlavná vlastnosť zlomku a m a n = a m + n s zjednodušenie výrazovčasto používané v tvare a m+n = a m a n .
Teraz sa pozrime na každý z nich podrobne.
Začnime vlastnosťou súčinu dvoch mocnín s rovnakými základmi, ktorá je tzv hlavná vlastnosť stupňa: pre ľubovoľné reálne číslo a a akékoľvek prirodzené čísla m a n platí rovnosť a m ·a n =a m+n.
Dokážme hlavnú vlastnosť stupňa. Definíciou stupňa s prirodzeným exponentom možno súčin mocnín s rovnakými základmi tvaru a m ·a n zapísať ako súčin. Vďaka vlastnostiam násobenia možno výsledný výraz zapísať ako 
a tento súčin je mocninou a s prirodzeným exponentom m+n , teda a m+n . Tým je dôkaz hotový.
Uveďme príklad, ktorý potvrdzuje hlavnú vlastnosť stupňa. Zoberme stupne s rovnakými základmi 2 a prirodzenými mocnosťami 2 a 3, podľa hlavnej vlastnosti stupňa môžeme napísať rovnosť 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 . Skontrolujeme jeho platnosť, pre ktorú vypočítame hodnoty výrazov 2 2 ·2 3 a 2 5 . Napĺňanie umocňovanie, máme 2 2 2 3 =(2 2) (2 2 2)=4 8=32 a 2 5 \u003d 2 2 2 2 2 \u003d 32, keďže sa získajú rovnaké hodnoty, potom je rovnosť 2 2 2 3 \u003d 2 5 správna a potvrdzuje hlavnú vlastnosť stupňa.
Hlavná vlastnosť stupňa založená na vlastnostiach násobenia sa dá zovšeobecniť na súčin troch alebo viacerých mocnín s rovnakými základmi a prirodzenými exponentmi. Takže pre ľubovoľný počet k prirodzených čísel n 1 , n 2 , …, n k je rovnosť a n 1 a n 2 a n k =a n 1 + n 2 +…+n k.
Napríklad, (2,1) 3 (2,1) 3 (2,1) 4 (2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .
Môžete prejsť na ďalšiu vlastnosť stupňov s prirodzeným indikátorom - vlastnosť čiastkových právomocí s rovnakými základmi: pre ľubovoľné nenulové reálne číslo a a ľubovoľné prirodzené čísla m a n spĺňajúce podmienku m>n platí rovnosť a m:a n =a m−n.
Predtým, ako poskytneme dôkaz o tejto vlastnosti, diskutujme o význame dodatočných podmienok vo vyhlásení. Podmienka a≠0 je nevyhnutná, aby sme sa vyhli deleniu nulou, keďže 0 n = 0, a keď sme sa s delením zoznámili, zhodli sme sa, že nulou sa deliť nedá. Podmienka m>n je zavedená preto, aby sme neprekročili prirodzené exponenty. V skutočnosti pre m>n je exponent a m−n prirodzené číslo, inak bude buď nula (čo platí pre m−n ) alebo záporné číslo (čo platí pre m Dôkaz. Hlavná vlastnosť zlomku nám umožňuje zapísať rovnosť a m−n a n =a (m−n)+n =a m. Zo získanej rovnosti a m−n ·a n =a m az nej vyplýva, že a m−n je podiel mocnín a m a a n . To dokazuje vlastnosť čiastkových mocnín s rovnakými základmi. Vezmime si príklad. Vezmime si dva stupne s rovnakými základňami π a prirodzenými exponentmi 5 a 2, uvažovaná vlastnosť stupňa zodpovedá rovnosti π 5: π 2 = π 5−3 = π 3. Teraz zvážte vlastnosť stupňa produktu: prirodzený stupeň n súčinu ľubovoľných dvoch reálnych čísel a a b sa rovná súčinu stupňov a n a b n , teda (a b) n =a n b n . Podľa definície stupňa s prirodzeným exponentom máme Tu je príklad: Táto vlastnosť sa rozširuje na stupeň súčinu troch alebo viacerých faktorov. To znamená, že prirodzená mocninná vlastnosť n súčinu k faktorov sa zapíše ako (a 1 a 2 ... a k) n =a 1 n a 2 n ... a k n. Pre názornosť si túto vlastnosť ukážeme na príklade. Pre súčin troch faktorov s mocninou 7 máme . Ďalšou vlastnosťou je prírodná vlastnosť: podiel reálnych čísel a a b , b≠0 k prirodzenej mocnine n sa rovná podielu mocnín a n a b n , teda (a:b) n =a n:b n . Dôkaz je možné vykonať pomocou predchádzajúcej vlastnosti. Takže (a:b) nb n = ((a:b) b) n = a n a rovnosť (a:b) n b n = a n znamená, že (a:b) n je podiel a n delený b n . Napíšme túto vlastnosť pomocou príkladu konkrétnych čísel: Teraz poďme na hlas vlastnosť umocnenia: pre ľubovoľné reálne číslo a a akékoľvek prirodzené čísla m a n sa mocnina a m na n rovná mocnine a s exponentom m·n , teda (a m) n =a m·n . Napríklad (5 2) 3 = 5 2 3 = 5 6 . Dôkazom mocenskej vlastnosti v určitom stupni je nasledujúci reťazec rovnosti: Uvažovaná vlastnosť môže byť rozšírená na stupeň v rámci stupňa v rámci stupňa atď. Napríklad pre akékoľvek prirodzené čísla p, q, r a s je to rovnosť Zostáva sa pozastaviť nad vlastnosťami porovnávania stupňov s prirodzeným exponentom. Začneme dôkazom porovnávacej vlastnosti nuly a mocniny s prirodzeným exponentom. Najprv zdôvodnime, že a n >0 pre ľubovoľné a>0 . Súčin dvoch kladných čísel je kladné číslo, ako vyplýva z definície násobenia. Táto skutočnosť a vlastnosti násobenia nám umožňujú tvrdiť, že výsledkom násobenia ľubovoľného počtu kladných čísel bude aj kladné číslo. A mocnosť a s prirodzeným exponentom n je podľa definície súčinom n faktorov, z ktorých každý sa rovná a. Tieto argumenty nám umožňujú tvrdiť, že pre akúkoľvek kladnú bázu a je stupeň a n kladné číslo. Na základe preukázanej vlastnosti 3 5 >0 , (0,00201) 2 >0 a Je celkom zrejmé, že pre každé prirodzené n s a=0 je stupeň a n nulový. Skutočne, 0 n = 0 · 0 · ... · 0 = 0. Napríklad 0 3 = 0 a 0 762 = 0 . Prejdime k negatívnym základom. Začnime prípadom, keď je exponent párne číslo, označme ho ako 2 m , kde m je prirodzené číslo. Potom Nakoniec, keď základ a je záporné číslo a exponent je nepárne číslo 2 m−1, potom Obrátime sa na vlastnosť porovnávania stupňov s rovnakými prirodzenými exponentmi, ktorá má nasledujúcu formuláciu: dvoch stupňov s rovnakými prirodzenými exponentmi je n menšie ako ten, ktorého základ je menší, a viac ako ten, ktorého základ je väčší. Poďme to dokázať. Nerovnosť a n vlastnosti nerovností dokazuje sa nerovnosť tvaru a n (2,2) 7 a Zostáva dokázať poslednú z uvedených vlastností mocnín s prirodzenými exponentmi. Poďme to sformulovať. Z dvoch stupňov s prirodzenými ukazovateľmi a rovnakými kladnými základňami menšími ako jeden je stupeň väčší, ktorého ukazovateľ je menší; a dvoch stupňov s prirodzenými ukazovateľmi a rovnakými základňami väčšími ako jedna, stupeň je väčší, ktorého ukazovateľ je väčší. Obraciame sa na dôkaz tejto vlastnosti. Dokážme, že pre m>n a 0 Zostáva preukázať druhú časť majetku. Dokážme, že pre m>n a a>1 platí a m >a n. Rozdiel a m −a n po vybratí a n zo zátvoriek nadobúda tvar a n ·(a m−n −1) . Tento súčin je kladný, pretože pre a>1 je stupeň a n kladné číslo a rozdiel a m−n −1 je kladné číslo, keďže m−n>0 v dôsledku počiatočnej podmienky a pre a>1, stupeň a m−n je väčší ako jedna . Preto a m − a n >0 a a m >a n , čo sa malo dokázať. Túto vlastnosť ilustruje nerovnosť 3 7 >3 2 .
. Posledný súčin, založený na vlastnostiach násobenia, možno prepísať ako 
, čo sa rovná a n b n .
.
.
.
. Pre lepšiu prehľadnosť uvádzame príklad s konkrétnymi číslami: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10
.
.
. Pre každý zo súčinov tvaru a·a sa rovná súčinu modulov čísel a a a je teda kladné číslo. Preto bude produkt tiež pozitívny. 
a stupeň a 2 m . Tu sú príklady: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 a .
. Všetky súčiny a·a sú kladné čísla, súčin týchto kladných čísel je tiež kladný a jeho vynásobením zvyšným záporným číslom a vznikne záporné číslo. Vďaka tejto vlastnosti (−5) 3<0
, (−0,003) 17 <0
и 
.
.
Vlastnosti stupňov s celočíselnými exponentmi
Keďže kladné celé čísla sú prirodzené čísla, potom sa všetky vlastnosti mocnín s kladnými celočíselnými exponentmi presne zhodujú s vlastnosťami mocnín s prirodzenými exponentmi uvedenými a dokázanými v predchádzajúcom odseku.
Stupeň s celočíselným záporným exponentom, ako aj stupeň s nulovým exponentom sme definovali tak, že všetky vlastnosti stupňov s prirodzenými exponentmi vyjadrené rovnosťami zostávajú v platnosti. Preto všetky tieto vlastnosti platia ako pre nulové, tak aj pre záporné exponenty, pričom samozrejme základy stupňov sú nenulové.
Takže pre všetky reálne a nenulové čísla a a b, ako aj pre všetky celé čísla m a n, platí nasledovné vlastnosti stupňov s celočíselnými exponentmi:
- a m a n \u003d a m + n;
- a m: a n = a m−n ;
- (a b) n = a n b n;
- (a:b)n=an:bn;
- (a m) n = a m n;
- ak n je kladné celé číslo, aab sú kladné čísla a a b-n;
- ak m a n sú celé čísla a m>n , potom je 0
Pre a=0 majú mocniny a m a a n zmysel len vtedy, keď m aj n sú kladné celé čísla, teda prirodzené čísla. Práve napísané vlastnosti teda platia aj pre prípady, keď a=0 a čísla m a n sú kladné celé čísla.
Nie je ťažké dokázať každú z týchto vlastností, na to stačí použiť definície stupňa s prirodzeným a celočíselným exponentom, ako aj vlastnosti akcií s reálnymi číslami. Ako príklad ukážme, že mocnina platí pre kladné aj záporné celé čísla. Aby sme to dosiahli, musíme ukázať, že ak p je nula alebo prirodzené číslo a q je nula alebo prirodzené číslo, potom rovnosti (a p) q =a p q, (a − p) q =a (−p) q , (a p ) −q =a p (−q) a (a−p)−q =a (−p) (−q). Poďme na to.
Pre kladné p a q bola v predchádzajúcej podkapitole dokázaná rovnosť (a p) q =a p·q. Ak p=0 , potom máme (a 0) q =1 q =1 a a 0 q =a 0 =1 , odkiaľ (a 0) q =a 0 q . Podobne, ak q=0, potom (a p) 0 = 1 a a p 0 = a 0 = 1, odkiaľ (a p) 0 = a p 0 . Ak p=0 aj q=0, potom (a 0) 0 = 1 0 = 1 a a 0 0 = a 0 = 1 , odkiaľ (a 0) 0 = a 0 0 .
Dokážme teraz, že (a −p) q =a (−p) q . Podľa definície stupňa so záporným exponentom celého čísla potom 
. Vlastnosťou kvocientu v stupňoch máme 
. Pretože 1 p =1·1·…·1=1 a , potom . Posledným výrazom je podľa definície mocnina tvaru a −(p q) , ktorú možno na základe pravidiel násobenia zapísať ako a (−p) q .
Podobne 
.
A 
.
Rovnakým princípom je možné dokázať všetky ostatné vlastnosti stupňa s celočíselným exponentom, zapísaným vo forme rovnosti.
V predposlednej z napísaných vlastností sa oplatí pozastaviť sa nad dôkazom nerovnosti a −n >b −n , čo platí pre akékoľvek záporné celé číslo −n a každé kladné číslo a a b, pre ktoré platí podmienka a . Keďže podľa podmienky a 0 Súčin a n ·b n je tiež kladný ako súčin kladných čísel a n a b n . Potom je výsledný zlomok kladný ako podiel kladných čísel b n − a n a a n b n . Odkiaľ teda a −n >b −n , ktoré sa malo dokázať.
Posledná vlastnosť stupňov s celočíselnými exponentmi sa dokazuje rovnakým spôsobom ako analogická vlastnosť stupňov s prirodzenými exponentmi.
Vlastnosti mocnin s racionálnymi exponentmi
Stupeň so zlomkovým exponentom určili sme rozšírením vlastností stupňa s celočíselným exponentom. Inými slovami, stupne so zlomkovými exponentmi majú rovnaké vlastnosti ako stupne s celočíselnými exponentmi. menovite:
Dôkaz vlastností stupňov s zlomkovým exponentom je založený na definícii stupňa s zlomkovým exponentom, na vlastnostiach stupňa s celočíselným exponentom. Dajme dôkaz.
Podľa definície stupňa so zlomkovým exponentom a potom 
. Vlastnosti aritmetického koreňa nám umožňujú zapísať nasledujúce rovnosti. Ďalej pomocou vlastnosti stupňa s celočíselným exponentom dostaneme , z čoho podľa definície stupňa so zlomkovým exponentom máme 
, pričom exponent získaného stupňa možno previesť takto: . Tým je dôkaz hotový.
Druhá vlastnosť mocnín so zlomkovými exponentmi sa dokazuje presne tým istým spôsobom: 
Ostatné rovnosti sú dokázané podobnými princípmi: 
Obraciame sa na dôkaz ďalšej vlastnosti. Dokážme, že pre každé kladné a a b platí a b p . Racionálne číslo p zapíšeme ako m/n , kde m je celé číslo a n je prirodzené číslo. Podmienky p<0 и p>0 bude v tomto prípade ekvivalentná podmienkam m<0 и m>0 resp. Pre m>0 a a
Podobne pre m<0 имеем a m >b m , odkiaľ , teda a p >b p .
Zostáva preukázať poslednú z uvedených vlastností. Dokážme, že pre racionálne čísla p a q platí p>q pre 0 
a 
. A definícia stupňa s racionálnym exponentom nám umožňuje prejsť k nerovnostiam, resp. Z toho vyvodíme konečný záver: pre p>q a 0
Vlastnosti stupňov s iracionálnymi exponentmi
Z toho, ako je to definované stupňa s iracionálnym exponentom, môžeme konštatovať, že má všetky vlastnosti mocnín s racionálnymi exponentmi. Takže pre ľubovoľné a>0, b>0 a iracionálne čísla p a q platí nasledovné vlastnosti stupňov s iracionálnymi exponentmi:
- a p a q = a p + q;
- a p:a q = a p−q;
- (a b) p = a p b p;
- (a:b)p=ap:bp;
- (a p) q = a p q;
- pre všetky kladné čísla a a b , a 0 nerovnosť a p bp;
- pre iracionálne čísla p a q je p>q 0
Z toho môžeme usúdiť, že mocniny s ľubovoľnými reálnymi exponentmi p a q pre a>0 majú rovnaké vlastnosti.
Bibliografia.
- Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartburd S.I. Učebnica matematiky Zh pre 5 buniek. vzdelávacie inštitúcie.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: učebnica pre 7 buniek. vzdelávacie inštitúcie.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: učebnica pre 8 buniek. vzdelávacie inštitúcie.
- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: učebnica pre 9 buniek. vzdelávacie inštitúcie.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. a iné Algebra a začiatky analýzy: Učebnica pre 10. – 11. ročník všeobecných vzdelávacích inštitúcií.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (príručka pre uchádzačov o štúdium na technických školách).
Pripomíname, že v tejto lekcii rozumieme stupňa vlastnosti s prirodzenými ukazovateľmi a nulou. O stupňoch s racionálnymi ukazovateľmi a ich vlastnostiach sa bude diskutovať na hodinách pre 8. ročník.
Exponent s prirodzeným exponentom má niekoľko dôležitých vlastností, ktoré vám umožňujú zjednodušiť výpočty v príkladoch exponentov.
Nehnuteľnosť #1
Súčin síl
Pamätajte!
Pri násobení mocnín s rovnakým základom zostáva základ nezmenený a exponenty sa sčítavajú.
a m a n \u003d a m + n, kde "a"- ľubovoľné číslo a"m", "n"- ľubovoľné prirodzené číslo.
Táto vlastnosť mocnín ovplyvňuje aj súčin troch alebo viacerých mocnín.
- Zjednodušte výraz.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15 - Prezentujte ako diplom.
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17 - Prezentujte ako diplom.
(0,8) 3 (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15
Dôležité!
Upozorňujeme, že v uvedenej vlastnosti išlo len o násobenie síl s rovnaké dôvody . Nevzťahuje sa na ich sčítanie.
Súčet (3 3 + 3 2) nemôžete nahradiť 3 5 . To je pochopiteľné, ak
vypočítať (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 a 3 5 = 243
Nehnuteľnosť č. 2
Súkromné tituly
Pamätajte!
Pri delení mocnín s rovnakým základom zostáva základ nezmenený a od exponentu deliteľa sa odpočítava exponent deliteľa.
= 11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 4438: t = 34
T = 3 8 − 4
Odpoveď: t = 3 4 = 81Pomocou vlastností č. 1 a č. 2 môžete jednoducho zjednodušiť výrazy a vykonávať výpočty.
- Príklad. Zjednodušte výraz.
4 5 m + 6 4 m + 2: 4 4 m + 3 = 4 5 m + 6 + m + 2: 4 4 m + 3 = 4 6 m + 8 − 4 m − 3 = 4 2 m + 5 - Príklad. Nájdite hodnotu výrazu pomocou stupňov vlastností.
= = =
=2 9 + 2 2 5
= 2 11 − 5 = 2 6 = 642 11 2 5 Dôležité!
Upozorňujeme, že majetok 2 sa zaoberal iba rozdelením právomocí s rovnakými základmi.
Rozdiel (4 3 −4 2) nemôžete nahradiť 4 1 . Je to pochopiteľné, ak zvážime (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 a 41 = 4
Buď opatrný!
Nehnuteľnosť č. 3
UmocňovaniePamätajte!
Pri zvýšení mocniny na mocninu zostáva základ moci nezmenený a exponenty sa násobia.
(a n) m \u003d a n m, kde „a“ je ľubovoľné číslo a „m“, „n“ sú ľubovoľné prirodzené čísla.
Vlastnosti 4
Stupeň produktuPamätajte!
Pri zvyšovaní výkonu produktu sa zvyšuje výkon každého z faktorov. Výsledky sa potom znásobia.
(a b) n \u003d a n b n, kde „a“, „b“ sú akékoľvek racionálne čísla; "n" - akékoľvek prirodzené číslo.
- Príklad 1
(6 a 2 b 3 c) 2 = 6 2 a 2 2 b 3 2 s 1 2 = 36 a 4 b 6 s 2 - Príklad 2
(−x 2 y) 6 = ((−1) 6 x 2 6 y 1 6) = x 12 y 6
Dôležité!
Upozorňujeme, že vlastnosť č. 4, podobne ako ostatné vlastnosti stupňov, sa aplikuje aj v opačnom poradí.
(a n b n) = (a b) nTo znamená, že ak chcete vynásobiť mocniny s rovnakými exponentmi, môžete vynásobiť základy a ponechať exponent nezmenený.
- Príklad. Vypočítajte.
2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10 000 - Príklad. Vypočítajte.
0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1
V zložitejších príkladoch môžu nastať prípady, keď násobenie a delenie treba vykonať na mocninách s rôznymi základňami a rôznymi exponentmi. V tomto prípade vám odporúčame urobiť nasledovné.
Napríklad, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216
Príklad umocnenia desatinného zlomku.
4 21 (−0,25) 20 = 4 4 20 (−0,25) 20 = 4 (4 (−0,25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = 4Vlastnosti 5
Mocnosť kvocientu (zlomky)Pamätajte!
Ak chcete zvýšiť podiel na mocninu, môžete zvýšiť dividendu a deliteľa oddelene na túto mocninu a vydeliť prvý výsledok druhým.
(a: b) n \u003d a n: b n, kde „a“, „b“ sú ľubovoľné racionálne čísla, b ≠ 0, n je ľubovoľné prirodzené číslo.
- Príklad. Vyjadrite výraz ako čiastkové mocniny.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12
Pripomíname, že kvocient môže byť reprezentovaný ako zlomok. Preto sa téme zvyšovania moci zlomku podrobnejšie venujeme na ďalšej strane.
- Príklad 1
Táto lekcia je súčasťou témy „Prevody výrazov obsahujúcich mocniny a odmocniny“.
Zhrnutie je podrobný vývoj lekcie o vlastnostiach titulu s racionálnym a skutočným ukazovateľom. Využívajú sa počítačové, skupinové a herné vzdelávacie technológie.
Stiahnuť ▼:
Náhľad:
Metodické vypracovanie lekcie z algebry
učiteľka matematiky GAU KO PO KST
Pekhová Nadežda Jurjevna
na tému: "Vlastnosti stupňa s racionálnym a reálnym exponentom."
Ciele lekcie:
- vzdelávacie: upevnenie a prehĺbenie vedomostí o vlastnostiach titulu s racionálnym ukazovateľom a ich aplikácia v cvičeniach; zlepšenie vedomostí o histórii vývoja titulov;
- rozvoj: rozvoj zručnosti sebaovládania a vzájomnej kontroly; rozvoj intelektuálnych schopností, myslenia,
- výchovné: výchova kognitívneho záujmu o predmet, výchova k zodpovednosti za vykonanú prácu, podporovať vytváranie atmosféry aktívnej tvorivej práce.
Typ lekcie: Lekcie na zlepšenie vedomostí, zručností a schopností.
Spôsoby vedenia: verbálne - vizuálne.
Pedagogické technológie: počítačové, skupinové a herné vzdelávacie technológie.
Vybavenie hodiny: premietacia technika, počítač, prezentácia na hodinu, prac
notebooky, učebnice, kartičky s textom krížovky a reflexného testu.
Trvanie lekcie: 1 hodina 20 minút.
Hlavné fázy lekcie:
1. Organizačný moment. Témy správ, ciele lekcie.
2. Aktualizácia základných poznatkov. Opakovanie vlastností stupňa s racionálnym exponentom.
3. Matematický diktát o vlastnostiach stupňa s racionálnym exponentom.
4. Správy žiakov pomocou počítačovej prezentácie.
5. Pracujte v skupinách.
6. Riešenie krížovky.
7. Zhrnutie, známkovanie. Reflexia.
8. Domáce úlohy.
Počas tried:
1. Org. moment. Správa o téme, cieľoch hodiny, pláne hodiny. Snímky 1, 2.
2. Aktualizácia základných vedomostí.
1) Zopakovanie vlastností stupňa s racionálnym ukazovateľom: študenti musia pokračovať v písomných vlastnostiach - frontálny prieskum. Snímka 3.
2) Žiaci pri tabuli - rozbor úloh z učebnice (Alimov Sh.A.): a) č.74, b) č.77.
82-a, b, c.
č. 74: a) = = a;
B) + =;
B) : = = = b.
č. 77: a) = =;
B) = = = b.
č. 82: a) = = =;
B) = = y;
B) () () = .
3. Matematický diktát so vzájomným overovaním. Študenti zdieľajú svoju prácu, porovnávajú odpovede a dávajú známky.
Snímky 4 – 5
4. Posolstvá študentov niektorých historických faktov k skúmanej téme.
Snímky 6 – 12:
Prvý študent: Snímka 6
Pojem stupňa s prirodzeným ukazovateľom sa vytvoril aj medzi starovekými národmi. štvorec a kockačísla sa použili na výpočet plôch a objemov. Mocniny niektorých čísel používali pri riešení určitých problémov vedci starovekého Egypta a Babylonu.
V 3. storočí vyšla kniha gréckeho učenca Diofanta„Aritmetika“, v ktorej sa začalo so zavedením abecedných symbolov. Diophantus predstavuje symboly pre prvých šesť síl neznáma a ich vzájomné protiklady. V tejto knihe je štvorec označený znakom a indexom; napríklad kocka je znak k s indexom r atď.
Druhý študent: Snímka 7
Veľký prínos k rozvoju koncepcie stupňa urobil starogrécky vedec Pythagoras. Mal celú školu a všetci jeho žiaci sa volali Pytagorejci. Prišli s nápadom, že každé číslo môže byť znázornené vo forme figúrok. Napríklad čísla 4, 9 a 16 reprezentovali ako štvorce.
Prvý študent: Snímky 8-9
Snímka 8
Snímka 9
XVI storočia. V tomto storočí sa pojem stupňa rozšíril: začal sa pripisovať nielen konkrétnemu číslu, ale aj premennej. Ako povedali "k číslam všeobecne" anglický matematik S. Stevin vytvoril zápis na označenie stupňa: zápis 3(3)+5(2)–4 označoval taký moderný zápis 3 3 + 5 2 – 4.
Druhý študent: Snímka 10
Neskôr sa zlomkové a záporné exponenty nachádzajú v knihe „Complete Arithmetic“ (1544) od nemeckého matematika M. Stiefela a S. Stevina.
S. Stevin navrhol mieniť podľa stupňa s ukazovateľom formy koreň, t.j. .
Prvý študent: Snímka 11
Na konci šestnásteho storočia Francois Vietzaviedli písmená na označenie nielen premenných, ale aj ich koeficientov. Používal skratky: N, Q, C - pre prvý, druhý a tretí stupeň.
Ale moderné označenia (ako napr, ) zaviedol René Descartes v 17. storočí.
Druhý študent: Snímka 12
Moderné definíciea zápis stupňa s nulou, záporným a zlomkovým exponentom pochádza z diel anglických matematikov John Wallis (1616-1703) a Isaaca Newtona.
5. Riešenie krížovky.
Žiaci dostanú krížovky. Riešte vo dvojiciach. Dvojica, ktorá sa rozhodne ako prvá, dostane skóre. Snímky 13-15.
6. Skupinová práca. snímka 16.
Žiaci vykonávajú samostatnú prácu, pracujú v skupinách po 4, navzájom si radia. Práca sa následne odošle na posúdenie.
7. Zhrnutie, hodnotenie.
Reflexia.
Žiaci absolvujú reflexný test. Označte „+“, ak súhlasíte, a „-“ v opačnom prípade.
Reflexný test:
1. Naučil som sa veľa nových vecí.
2. Bude sa mi to hodiť v budúcnosti.
3. Na hodine bolo o čom premýšľať.
4. Dostal som (a) odpovede na všetky otázky, ktoré vyvstali počas hodiny.
5. Na hodine som svedomito pracoval a dosiahol ciele hodiny.
8. Domáca úloha: Snímka 17.
1) № 76 (1; 3); № 70 (1; 2)
2) Nepovinné: vytvorte krížovku s hlavnými pojmami preberanej témy.
Referencie:
- Alimov Sh.A. algebra a začiatok analýzy ročníky 10-11, učebnica - M .: Vzdelávanie, 2010.
- Algebra a začiatok analýzy 10. ročník. Didaktické materiály. Osvietenie, 2012.
Internetové zdroje:
- Vzdelávacia stránka - RusCopyBook.Com - Elektronické učebnice a GDZ
- Stránka Vzdelávacie zdroje internetu - pre školákov a študentov. http://www.alleng.ru/edu/educ.htm
- Webová stránka portálu pre učiteľov – http://www.uchportal.ru/
