Znaky spolupatričnosti sú dobre známe z kurzu planimetrie. Našou úlohou je uvažovať ich vo vzťahu k priemetom geometrických objektov.

Bod patrí do roviny, ak patrí do priamky ležiacej v tejto rovine.

Príslušnosť k priamej rovine je určená jedným z dvoch znakov:

a) priamka prechádza dvoma bodmi ležiacimi v tejto rovine;

b) bodom prechádza priamka a je rovnobežná s priamkami ležiacimi v tejto rovine.

Pomocou týchto vlastností vyriešime problém ako príklad. Nech je rovina daná trojuholníkom ABC. Je potrebné vybudovať chýbajúcu projekciu D 1 bod D patriace do tejto roviny. Postupnosť konštrukcií je nasledovná (obr. 2.5).

Ryža. 2.5. Ku konštrukcii priemetov bodu patriaceho do roviny

Cez bodku D 2 vykonáme premietanie priamky d ležať v lietadle  ABC pretínajúca jednu zo strán trojuholníka a bod ALE 2. Potom bod 1 2 patrí k čiaram ALE 2 D 2 a C 2 AT 2. Preto je možné získať jeho horizontálny priemet 11 na C 1 AT 1 na komunikačnej linke. Spojením bodov 1 1 a ALE 1 dostaneme vodorovnú projekciu d jeden . Je jasné, že pointa D 1 patrí k nej a leží na línii projekčného spojenia s bodom D 2 .

Je celkom jednoduché vyriešiť úlohy na určenie, či bod alebo priamka patrí k rovine. Na obr. 2.6 ukazuje priebeh riešenia takýchto problémov. Pre prehľadnosť prezentácie problému je rovina nastavená trojuholníkom.

Ryža. 2.6. Úlohy na určenie príslušnosti bodu a priamej roviny.

Na určenie, či bod patrí E lietadlo  ABC, nakreslite priamku cez jej čelný priemet E 2 a 2. Za predpokladu, že priamka a patrí rovine  ABC, zostrojte jeho vodorovný priemet a 1 v priesečníkoch 1 a 2. Ako vidíte (obr. 2.6, a), priamka a 1 neprechádza cez bod E jeden . Preto pointa E ABC.

V probléme príslušnosti k línii v trojuholníková rovina ABC(obr. 2.6, b), stačí na jeden z priemetov priamky v 2 postaviť ďalší v 1 * vzhľadom na to v ABC. Ako vidíme, v 1* a v 1 sa nezhodujú. Preto rovná čiara v   ABC.

2.4. Čiary rovinnej úrovne

Definícia úrovňových čiar bola uvedená skôr. Úrovňové čiary patriace do danej roviny sa nazývajú Hlavná . Tieto čiary (priamky) zohrávajú podstatnú úlohu pri riešení množstva problémov v deskriptívnej geometrii.

Uvažujme konštrukciu nivelačných čiar v rovine určenej trojuholníkom (obr. 2.7).

Ryža. 2.7. Konštrukcia hlavných čiar roviny definovanej trojuholníkom

Rovinný obrys  ABC začneme nakreslením jeho čelnej projekcie h 2, o ktorom je známe, že je rovnobežný s osou OH. Keďže táto vodorovná čiara patrí do danej roviny, prechádza dvoma bodmi roviny  ABC, konkrétne body ALE a 1. majú ich čelné projekcie ALE 2 a 1 2, pozdĺž komunikačnej línie dostaneme horizontálne projekcie ( ALE 1 už existuje) 1 1 . Spojením bodiek ALE 1 a 11 máme vodorovnú projekciu h 1 horizontálna rovina  ABC. Projekcia profilu h 3 rovinné obrysy  ABC bude rovnobežná s osou OH a-priorstvo.

Predná časť lietadla  ABC je konštruovaná podobne (obr. 2.7) len s tým rozdielom, že jej kreslenie začína vodorovným priemetom f 1, pretože je známe, že je rovnobežná s osou OX. Projekcia profilu f 3 čelá by mali byť rovnobežné s osou OZ a prechádzať cez výstupky S 3 , 2 3 rovnaké body S a 2.

Rovinná profilová línia  ABC má horizontálu R 1 a spredu R 2 výstupky rovnobežné s osami OY a oz a projekcia profilu R 3 je možné pristupovať spredu pomocou priesečníkov AT a 3 s  ABC.

Pri konštrukcii hlavných línií roviny si treba zapamätať iba jedno pravidlo: na vyriešenie úlohy je potrebné získať vždy dva priesečníky s danou rovinou. Konštrukcia hlavných línií ležiacich v rovine zadanej iným spôsobom nie je o nič ťažšia ako tá, o ktorej sme hovorili vyššie. Na obr. 2.8 je znázornená konštrukcia horizontály a čela roviny daná dvoma pretínajúcimi sa čiarami a a v.

Ryža. 2.8. Konštrukcia hlavných čiar roviny daná pretínajúcimi sa priamkami.

Bod a čiara sú hlavné geometrické útvary v rovine.

Definícia bodu a priamky nie je v geometrii zavedená, tieto pojmy sa zvažujú na intuitívnej koncepčnej úrovni.

Body sú označené veľkými (veľkými, veľkými) latinskými písmenami: A, B, C, D, ...

Rovné čiary sú označené jedným malým (malým) latinským písmenom, napr.

- priamka a.

Priamka pozostáva z nekonečného počtu bodov a nemá začiatok ani koniec. Obrázok zobrazuje iba časť priamky, ale rozumie sa, že sa tiahne nekonečne ďaleko v priestore a pokračuje donekonečna v oboch smeroch.

O bodoch, ktoré ležia na priamke, sa hovorí, že sú na tejto priamke. Členstvo je označené znakom ∈. O bodoch mimo čiary sa hovorí, že do tejto čiary nepatria. Znak „nepatrí“ je ∉.

Napríklad bod B patrí do čiary a (napísané: B∈a),

bod F nepatrí do priamky a, (píšu: F∉a).

Hlavné vlastnosti príslušnosti bodov a čiar v rovine:

Bez ohľadu na čiaru existujú body, ktoré patria k tejto čiare, a body, ktoré do nej nepatria.

Je možné nakresliť priamku cez ľubovoľné dva body a iba jeden.

Čiary sú tiež označené dvoma veľkými latinskými písmenami, podľa názvov bodov, ktoré ležia na čiare.

- priamka AB.

- tento riadok sa môže nazývať MK alebo MN alebo NK.

Dve čiary sa môžu, ale nemusia pretínať. Ak sa čiary nepretínajú, nemajú spoločné body. Ak sa priamky pretínajú, majú jeden spoločný bod. Značka prechodu - ∩ .

Napríklad priamky a a b sa pretínajú v bode O

(napísať ∩ b=O).

Priamky c a d sa tiež pretínajú, hoci ich priesečník nie je na obrázku znázornený.

Ryža. 3.2Vzájomné usporiadanie liniek

Čiary v priestore môžu voči sebe zaberať jednu z troch pozícií:

1) byť paralelné;

2) pretínajú sa;

3) krížiť sa.

Paralelnénazývané priame čiary, ktoré ležia v rovnakej rovine a nemajú spoločné body.

Ak sú čiary navzájom rovnobežné, potom sú rovnobežné aj ich projekcie rovnakého mena na CC (pozri odsek 1.2).

pretínajúci sanazývané priamky ležiace v rovnakej rovine a majúce jeden spoločný bod.

Pri pretínajúcich sa čiarach na CC sa priemety rovnakého mena pretínajú v priemetoch bodu ALE. Okrem toho by čelné () a horizontálne () projekcie tohto bodu mali byť na rovnakej komunikačnej línii.

kríženienazývané priamky ležiace v rovnobežných rovinách a nemajúce žiadne spoločné body.

Ak sa priamky pretínajú, tak na CC sa ich projekcie s rovnakým názvom môžu pretínať, ale priesečníky rovnomenných projekcií nebudú ležať na tej istej komunikačnej línii.

Na obr. 3,4 bodu S patrí do línie b a pointa D- rovný a. Tieto body sú v rovnakej vzdialenosti od roviny čelnej projekcie. Podobne bodky E a F patria k rôznym čiaram, ale sú v rovnakej vzdialenosti od horizontálnej projekčnej roviny. Preto sa ich čelné projekcie zhodujú na CC.

Existujú dva prípady, keď je bod umiestnený vzhľadom na rovinu: bod môže alebo nemusí patriť do roviny (obr. 3.5).

Znak príslušnosti bodu a priamej roviny:

Bod patrí rovine, ak patrí k priamke ležiacej v tejto rovine.

Čiara patrí rovine, ak má s ňou dva spoločné body alebo má s ňou jeden spoločný bod a je rovnobežná s inou priamkou ležiacou v tejto rovine.

Na obr. 3.5 znázorňuje rovinu a body D a E. Bodka D patrí do roviny, keďže patrí do línie l, ktorá má s touto rovinou dva spoločné body - 1 a ALE. Bodka E nepatrí do lietadla, lebo Nie je možné cez ňu nakresliť priamku, ktorá leží v danej rovine.

Na obr. 3.6 znázorňuje rovinu a priamku t ležať v tejto rovine, pretože má s tým spoločný bod 1 a rovnobežne s čiarou a.

Na karteziánsky súčin , kde M je množina bodov, zavedieme 3-miestny vzťah d. Ak do tohto vzťahu patrí usporiadaná trojica bodov (A, B, C), potom povieme, že bod B leží medzi bodmi A a C a použijeme označenie: A-B-C. Zavedený vzťah musí spĺňať nasledujúce axiómy:

Ak bod B leží medzi bodmi A a C, potom A, B, C sú tri rôzne body na tej istej priamke a B leží medzi C a A.

Nech sú body A a B akékoľvek, existuje aspoň jeden bod C taký, že B leží medzi A a C.

Medzi ľubovoľnými tromi bodmi na priamke je najviac jeden, ktorý leží medzi ostatnými dvoma.

Na sformulovanie poslednej, štvrtej axiómy druhej skupiny je vhodné zaviesť nasledujúci pojem.

Definícia 3.1. Úsečkou (podľa Hilberta) rozumieme dvojicu bodov AB. Body A a B sa budú nazývať konce úsečky, body ležiace medzi jej koncami - vnútorné body úsečky alebo jednoducho body úsečky a body úsečky AB, ktoré neležia medzi koncami A. a B - vonkajšie body segmentu.

. (Pašova axióma) Nech A, B a C sú tri body, ktoré neležia na tej istej priamke, a nech l je priamka roviny ABC, ktorá týmito bodmi neprechádza. Potom, ak priamka l prechádza bodom úsečky AB, potom obsahuje buď bod úsečky AC alebo bod úsečky BC.

Z axióm prvej a druhej skupiny vyplýva pomerne veľa geometrických vlastností bodov, čiar a úsečiek. Dá sa dokázať, že každý úsečka má aspoň jeden vnútorný bod, medzi tromi bodmi priamky je vždy jeden a len jeden leží medzi ďalšími dvoma, medzi dvoma bodmi priamky je vždy nekonečne veľa bodov, čo znamená, je nekonečne veľa bodov na priamke. Dá sa tiež dokázať, že výrok Paschovej axiómy platí aj pre body ležiace na tej istej priamke: ak body A, B a C patria tej istej priamke, priamka l týmito bodmi neprechádza a pretína jeden z segmenty, napríklad AB vo vnútornom bode, potom pretína vo vnútornom bode buď segment AC alebo segment BC. Všimnite si tiež, že z axióm prvej a druhej skupiny nevyplýva, že množina bodov priamky je nespočetná. Dôkazy týchto tvrdení nepredložíme. Čitateľ sa s nimi môže zoznámiť v príručkách, a. Zastavme sa podrobnejšie pri základných geometrických pojmoch, a to lúč, polrovina a polpriestor, ktoré sú zavedené pomocou axióm príslušnosti a poriadku.

Nasledujúce tvrdenie je pravdivé:

Bod O priamky l rozdeľuje množinu ostatných bodov tejto priamky na dve neprázdne podmnožiny tak, že pre ľubovoľné dva body A a B patriace tej istej podmnožine je bod O vonkajším bodom úsečky AB a pre akékoľvek dva body C a D patriace do rôznych podmnožín je bod O vnútorným bodom segmentu CD.

Každá z týchto podmnožín je tzv lúč priamka l s počiatkom v bode O. Lúče budú označené h, l, k, …OA, OB, OC,…, kde O je začiatok lúča a A, B a C sú body lúča. lúč. Dôkaz tohto tvrdenia bude uvedený neskôr, v časti 7, ale s použitím inej axiomatiky trojrozmerného euklidovského priestoru. Pojem lúč nám umožňuje definovať najdôležitejší geometrický objekt - uhol.

Definícia 3.2.Uhlom (podľa Hilberta) rozumieme dvojicu lúčov h a k, ktoré majú spoločný pôvod O a neležia na jednej priamke.

Bod O sa nazýva vrchol uhla a lúče h a k sú jeho strany. Pre uhly budeme používať označenie . Zvážte najdôležitejší koncept elementárnej geometrie - koncept polroviny.

Veta 3.1.Priamka a ležiaca v rovine a rozdeľuje svoju množinu bodov, ktoré nepatria do priamky, na dve neprázdne podmnožiny, takže ak body A a B patria do tej istej podmnožiny, potom úsečka AB nemá žiadne spoločné body s priamku l, a ak body A a B B patria do rôznych podmnožín, potom úsečka AB pretína priamku l v jej vnútornom bode.

Dôkaz. Pri dôkaze použijeme nasledujúcu vlastnosť vzťahu ekvivalencie. Ak sa na nejakej množine zavedie binárna relácia, ktorá je reláciou ekvivalencie, t.j. spĺňa podmienky reflexivity, symetrie a tranzitivity, potom sa celá množina rozdelí na nepretínajúce sa podmnožiny – triedy ekvivalencie a do tej istej triedy patria ľubovoľné dva prvky práve vtedy, ak sú ekvivalentné.

Uvažujme množinu bodov v rovine, ktoré nepatria do priamky a. Budeme predpokladať, že dva body A a B sú v binárnom vzťahu d: AdB práve vtedy, ak na úsečke AB nie sú žiadne vnútorné body, ktoré patria do priamky a. Tiež zvážime Povedzme, že každý bod je v binárnom vzťahu d sám so sebou. Ukážme, že pre každý bod A, ktorý nepatrí do priamky a, existujú body odlišné od A, ktoré sú s ním aj nie sú v binárnom vzťahu. Zvolíme ľubovoľný bod P priamky a (pozri obr. 6). Potom podľa axiómy existuje bod B priamky AP taký, že P-A-B. Priamka AB pretína a v bode P, ktorý nie je medzi bodmi A a B, takže body A a B sú vo vzťahu k d. Podľa rovnakej axiómy existuje bod C taký, že A-P-C. Preto bod P leží medzi A a C, body A a C nie sú vo vzťahu k d.

Dokážme, že relácia d je relácia ekvivalencie. Podmienka reflexivity je evidentne splnená na základe definície binárneho vzťahu d: AdA. Nech sú body A a B vo vzťahu k d. Potom na úsečke AB nie sú žiadne body priamky a. Z toho vyplýva, že na úsečke BA nie sú žiadne body priamky a, teda BdA, vzťah symetrie je splnený. Dajme nakoniec tri body A, B a C také, že AdB a BdC. Ukážme, že body A a C sú v binárnom vzťahu d. Predpokladajme opak, na úsečke AC je bod P priamky a (obr. 7). Potom na základe axiómy , Pašovej axiómy, priamka a pretína buď úsečku BC, alebo úsečku AB (na obr. 7 priamka a pretína úsečku BC). Dospeli sme k rozporu, keďže z podmienok AdB a BdC vyplýva, že priamka a tieto úseky nepretína. Vzťah d je teda vzťahom ekvivalencie a rozdeľuje množinu bodov roviny, ktoré nepatria do priamky a, do tried ekvivalencie.

Skontrolujte, či existujú presne dve takéto triedy ekvivalencie. Na to stačí dokázať, že ak body A a C a B a C nie sú ekvivalentné, potom sú body A a B navzájom ekvivalentné. Keďže body A a C a B a C nie sú vo vzťahu ekvivalencie d, priamka a pretína úsečky AC a BC v bodoch P a Q (pozri obr. 7). Ale potom, na základe Pašovej axiómy, táto čiara nemôže pretínať segment AB. Preto sú body A a B navzájom ekvivalentné. Veta bola dokázaná.

Každá z tried ekvivalencie definovaných vo vete 3.2 sa nazýva polorovina. Akákoľvek priamka roviny ju teda rozdeľuje na dve polroviny, na ktoré slúži hranica.

Podobne ako pri koncepte polroviny sa zavádza aj pojem polopriestor. Je dokázaná veta, ktorá hovorí, že akákoľvek rovina a priestoru rozdeľuje body priestoru na dve množiny. Úsečka, ktorej konce sú bodmi jednej množiny, nemá s rovinou a žiadne spoločné body. Ak koncové body segmentu patria do rôznych množín, potom takýto segment má ako vnútorný bod roviny a. Dôkaz tohto tvrdenia je podobný dôkazu vety 3.2, nebudeme ho tu uvádzať.

Definujme pojem vnútorného bodu uhla. Nech je daný uhol. Uvažujme priamku OA obsahujúcu lúč OA, stranu tohto uhla. Je zrejmé, že body lúča OB patria do rovnakej polroviny a vzhľadom na priamku OA. Podobne body lúča OA, strany daného uhla, patria do tej istej polroviny b, ktorej hranica je priamy OB (obr. 8). Body patriace priesečníku polrovín a a b sa nazývajú vnútorné body uhol. Na obrázku 8 je bod M vnútorný bod. Množina všetkých vnútorných bodov uhla sa nazýva jeho vnútorný región. Lúč, ktorého vrchol sa zhoduje s vrcholom uhla a ktorého všetky body sú vnútorné, sa nazýva vnútorný nosník uhol. Obrázok 8 zobrazuje vnútorný lúč h uhla AOB.

Nasledujúce tvrdenia sú pravdivé.

desať . Ak lúč s počiatkom vo vrchole uhla obsahuje aspoň jeden zo svojich vnútorných bodov, potom ide o vnútorný lúč tohto uhla.

20. Ak sú konce segmentu umiestnené na dvoch rôznych stranách uhla, potom akýkoľvek vnútorný bod segmentu je vnútorným bodom uhla.

tridsať . Akýkoľvek vnútorný lúč uhla pretína segment, ktorého konce sú po stranách uhla.

Dôkazom týchto tvrdení sa budeme zaoberať neskôr, v časti 5. Pomocou axióm druhej skupiny definujeme pojmy prerušovaná čiara, trojuholník, mnohouholník, pojem vnútrajška jednoduchého mnohouholníka a dokážeme, že jednoduchý polygón rozdeľuje rovinu na dve oblasti, vnútornú a vonkajšiu vzhľadom na ňu.

Treťou skupinou Hilbertových axióm trojrozmerného euklidovského priestoru sú takzvané axiómy kongruencie. Nech S je množina úsečiek, A množina uhlov. Na karteziánskych súčinoch a zavedieme binárne vzťahy, ktoré budeme nazývať vzťah kongruencie.

Všimnite si, že takto zavedený vzťah nie je vzťahom hlavných predmetov uvažovanej axiomatiky, t.j. body priamok a rovín. Tretiu skupinu axióm je možné zaviesť až vtedy, keď sú definované pojmy segment a uhol, t.j. uvádza sa prvá a druhá skupina Hilbertových axióm.

Súhlasíme tiež s tým, že budeme zhodné úsečky alebo uhly nazývať aj geometricky rovnaké alebo jednoducho rovnaké úsečky alebo uhly, výraz „zhodné“ sa v prípade, že to nevedie k nedorozumeniam, nahradí výrazom „rovnaké“ a označí sa symbolom "=".