odvodené z jeho definície. A teda logaritmus čísla b podľa rozumu a definovaný ako exponent, na ktorý sa musí číslo zvýšiť a získať číslo b(logaritmus existuje len pre kladné čísla).

Z tejto formulácie vyplýva, že výpočet x=log a b, je ekvivalentné riešeniu rovnice ax=b. Napríklad, log 2 8 = 3 pretože 8 = 2 3 . Formulácia logaritmu umožňuje zdôvodniť, že ak b = a c, potom logaritmus čísla b podľa rozumu a rovná sa s. Je tiež zrejmé, že téma logaritmu úzko súvisí s témou sily čísla.

S logaritmami, ako s akýmikoľvek číslami, môžete vykonávať operácie sčítania, odčítania a transformovať všetkými možnými spôsobmi. Ale vzhľadom na to, že logaritmy nie sú celkom bežné čísla, platia tu ich vlastné špeciálne pravidlá, tzv. základné vlastnosti.

Sčítanie a odčítanie logaritmov.

Vezmite dva logaritmy s rovnakým základom: log x a prihlásiť sa y. Potom je možné vykonať operácie sčítania a odčítania:

log a x+ log a y= log a (x y);

log a x - log a y = log a (x:y).

log a(X 1 . X 2 . X 3 ... x k) = log x 1 + log x 2 + log x 3 + ... + log a x k.

Od kvocientové logaritmické vety možno získať ešte jednu vlastnosť logaritmu. Je dobre známe, že log a 1 = 0, teda

log a 1 /b= log a 1 - log a b= -log a b.

Existuje teda rovnosť:

log a 1 / b = - log a b.

Logaritmy dvoch vzájomne recipročných čísel na rovnakom základe sa budú od seba líšiť iba znakom. Takže:

Log 3 9= - log 3 1/9 ; log 5 1/125 = -log 5 125.

Logaritmické výrazy, riešenie príkladov. V tomto článku sa budeme zaoberať problémami súvisiacimi s riešením logaritmov. Úlohy nastoľujú otázku hľadania hodnoty výrazu. Treba poznamenať, že koncept logaritmu sa používa v mnohých úlohách a je mimoriadne dôležité pochopiť jeho význam. Pokiaľ ide o USE, logaritmus sa používa pri riešení rovníc, v aplikovaných problémoch a tiež v úlohách súvisiacich so štúdiom funkcií.

Tu sú príklady na pochopenie samotného významu logaritmu:

Základná logaritmická identita:

Vlastnosti logaritmov, ktoré si musíte vždy zapamätať:

*Logaritmus súčinu sa rovná súčtu logaritmov faktorov.

* * *

* Logaritmus kvocientu (zlomku) sa rovná rozdielu logaritmov faktorov.

* * *

* Logaritmus stupňa sa rovná súčinu exponentu a logaritmu jeho základu.

* * *

*Prechod na novú základňu

* * *

Ďalšie vlastnosti:

* * *

Výpočet logaritmov úzko súvisí s využívaním vlastností exponentov.

Uvádzame niektoré z nich:

Podstatou tejto vlastnosti je, že pri prenose čitateľa do menovateľa a naopak sa znamienko exponentu zmení na opačné. Napríklad:

Dôsledok tejto vlastnosti:

* * *

Pri zvýšení mocniny na mocninu zostáva základ rovnaký, ale exponenty sa násobia.

* * *

Ako vidíte, samotný koncept logaritmu je jednoduchý. Hlavná vec je, že je potrebná dobrá prax, ktorá dáva určitú zručnosť. Znalosť vzorcov je určite povinná. Ak nie je vytvorená zručnosť v prevode elementárnych logaritmov, potom sa pri riešení jednoduchých úloh môžete ľahko pomýliť.

Cvičte, najskôr vyriešte najjednoduchšie príklady z kurzu matematiky, potom prejdite na zložitejšie. V budúcnosti určite ukážem, ako sa riešia „škaredé“ logaritmy, na skúške také nebudú, ale sú zaujímavé, nenechajte si to ujsť!

To je všetko! Veľa šťastia!

S pozdravom Alexander Krutitskikh

P.S: Bol by som vďačný, keby ste o stránke povedali na sociálnych sieťach.

A logaritmus spolu úzko súvisí. A v skutočnosti je to matematický zápis definície logaritmus. Pozrime sa podrobne na to, čo je logaritmus, odkiaľ pochádza.

Zvážte algebraickú akciu - výpočet exponentu X podľa daných konkrétnych hodnôt stupňa b a nadácie a. Táto úloha je v podstate riešenie rovnice a x = b, kde a a b sú nejaké dané hodnoty, X - neznáma hodnota. Upozorňujeme, že tento problém nemá vždy riešenia.

Keď sa napríklad v rovnici a x = b čísloa kladné a číslo b negatívne, potom táto rovnica nemá korene. Ale keby len a a b sú kladné a ≠ 1, potom má určite len jeden unikát koreň. Je pomerne známym faktom, že graf exponenciálnej funkcie y = a x určite sa prelína s rovno y = b a to len v jednom bode. Abscisa priesečníka a vôle koreň rovnice.

Označiť koreň rovnice a x = b je zvykom používať log a b (hovoríme: logaritmus čísla b k základu a).

Logaritmusčísla b podľa rozumu a Toto exponent, na ktoré chcete zvýšiť číslo a získať číslo b a a > 0, a ≠ 1, b > 0.

Na základe definície dostaneme základná logaritmická identita :

Príklady:

Dôsledok základná logaritmická identita je nasledujúci pravidlo.

Z rovnosti dvoch skutočné logaritmy dostaneme rovnosť logaritmický výrazov.

Skutočne, keď log a b = log a c, potom , kde, b = c.

Zvážte prečo logaritmická identita obmedzenia a > 0, a ≠ 1, b > 0 .

Prvá podmienka a ≠ 1.

Je dobre známe, že jednotka v akomkoľvek stupňa bude jednota a rovnosť x = log a b môže existovať len pre b = 1, ale v rovnakom čase denník 11 bude akýkoľvek Reálne číslo. Aby sa predišlo tejto nejednoznačnosti, je akceptované a ≠ 1.

Zdôvodnite nevyhnutnosť podmienky a > 0.

o a = 0 na definícia logaritmu môže existovať len vtedy b = 0. A preto potom log 0 0 môže byť čokoľvek iné ako nula Reálne číslo, keďže nula k akejkoľvek mocnine inej ako nula je nula. Aby sa predišlo tejto nejednoznačnosti, podmienka a ≠ 0. A kedy a< 0 museli by sme opustiť analýzu racionálny a iracionálny logaritmické hodnoty, od r stupňa s racionálnym a iracionálny ukazovateľ definované len z pozitívnych dôvodov. Práve z tohto dôvodu je podmienka a > 0.

A konečný stav b > 0 je dôsledkom nerovnosti a > 0, keďže x = log a b, a hodnota stupňa s kladným základom a vždy pozitívny.

Jedným z prvkov algebry primitívnych úrovní je logaritmus. Názov pochádza z gréckeho jazyka zo slova „číslo“ alebo „stupeň“ a znamená stupeň, o ktorý je potrebné zvýšiť číslo v základni, aby sa zistilo konečné číslo.

Typy logaritmov

• log a b je logaritmus čísla b k základu a (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
• lg b - desiatkový logaritmus (základ logaritmu 10, a = 10);
• ln b - prirodzený logaritmus (základ logaritmu e, a = e).

Ako vyriešiť logaritmy?

Logaritmus čísla b k základu a je exponent, ktorý vyžaduje, aby základ a bol zvýšený na číslo b. Výsledok sa vyslovuje takto: „logaritmus b k základu a“. Riešením logaritmických problémov je, že daný stupeň musíte určiť číslami podľa zadaných čísel. Existuje niekoľko základných pravidiel na určenie alebo riešenie logaritmu, ako aj na transformáciu samotného zápisu. Pomocou nich sa riešia logaritmické rovnice, nachádzajú sa derivácie, riešia sa integrály a vykonáva sa mnoho ďalších operácií. V zásade je riešením samotného logaritmu jeho zjednodušený zápis. Nižšie sú uvedené hlavné vzorce a vlastnosti:

Pre akékoľvek a ; a > 0; a ≠ 1 a pre ľubovoľné x; y > 0.

• a log a b = b je základná logaritmická identita
• log a 1 = 0
• log a a = 1
• log a (x y ) = log a x + log a y
• log a x/ y = log a x – log a y
• log a 1/x = -log a x
• log a x p = p log a x
• log a k x = 1/k log a x, pre k ≠ 0
• log a x = log a c x c
• log a x \u003d log b x / log b a - vzorec pre prechod na nový základ
• log a x = 1/log x a

Ako riešiť logaritmy - pokyny na riešenie krok za krokom

• Najprv si zapíšte požadovanú rovnicu.

Poznámka: ak je základný logaritmus 10, záznam sa skráti a získa sa desiatkový logaritmus. Ak existuje prirodzené číslo e, zapíšeme ho a zredukujeme na prirodzený logaritmus. Znamená to, že výsledkom všetkých logaritmov je mocnina, na ktorú sa základné číslo zvýši, aby sa získalo číslo b.

Priamo riešenie spočíva vo výpočte tohto stupňa. Pred riešením výrazu s logaritmom je potrebné ho zjednodušiť podľa pravidla, teda pomocou vzorcov. Hlavné identity nájdete tak, že sa v článku vrátite trochu späť.

Pri sčítaní a odčítaní logaritmov s dvoma rôznymi číslami, ale s rovnakým základom, nahraďte jediným logaritmom súčin alebo delenie čísel b a c. V tomto prípade môžete použiť vzorec prechodu na iný základ (pozri vyššie).

Ak používate výrazy na zjednodušenie logaritmu, existujú určité obmedzenia, o ktorých si musíte uvedomiť. A to je: základ logaritmu a je iba kladné číslo, ale nie je rovné jednej. Číslo b, podobne ako a, musí byť väčšie ako nula.

Existujú prípady, keď po zjednodušení výrazu nebudete môcť vypočítať logaritmus v číselnej forme. Stáva sa, že takýto výraz nedáva zmysel, pretože mnohé stupne sú iracionálne čísla. Za tejto podmienky ponechajte mocninu čísla ako logaritmus.

Uvádzajú sa hlavné vlastnosti logaritmu, graf logaritmu, oblasť definície, množina hodnôt, základné vzorce, nárast a pokles. Zvažuje sa nájdenie derivácie logaritmu. Rovnako ako integrál, rozširovanie mocninných radov a reprezentácia pomocou komplexných čísel.

Definícia logaritmu

Logaritmus so základom a je funkcia y (x) = log x, inverzná k exponenciálnej funkcii so základom a: x (y) = a y.

Desatinný logaritmus je logaritmus k základu čísla 10 : log x ≡ log 10 x.

prirodzený logaritmus je logaritmus k základu e: ln x ≡ log e x.

2,718281828459045... ;
.

Graf logaritmu sa získa z grafu exponenciálnej funkcie zrkadlovým odrazom okolo priamky y \u003d x. Vľavo sú grafy funkcie y (x) = log x pre štyri hodnoty základy logaritmu:a= 2 , a = 8 , a = 1/2 a = 1/8 . Graf ukazuje, že pre > 1 logaritmus sa monotónne zvyšuje. Keď sa x zvyšuje, rast sa výrazne spomalí. o 0 < a < 1 logaritmus je monotónne klesajúci.

Vlastnosti logaritmu

Doména, množina hodnôt, vzostupná, zostupná

Logaritmus je monotónna funkcia, takže nemá žiadne extrémy. Hlavné vlastnosti logaritmu sú uvedené v tabuľke.

doména	0 < x < + ∞	0 < x < + ∞
Rozsah hodnôt	- ∞ < y < + ∞	- ∞ < y < + ∞
Monotónne	zvyšuje monotónne	klesá monotónne
Nuly, y= 0	x= 1	x= 1
Priesečníky s osou y, x = 0	nie	nie
	+ ∞	- ∞
	- ∞	+ ∞

Súkromné ​​hodnoty

Volá sa základný 10 logaritmus desiatkový logaritmus a je označený takto:

základný logaritmus e volal prirodzený logaritmus:

Základné logaritmické vzorce

Vlastnosti logaritmu vyplývajúce z definície inverznej funkcie:

Hlavná vlastnosť logaritmov a jej dôsledky

Vzorec na nahradenie bázy

Logaritmus je matematická operácia logaritmu. Pri logaritmovaní sa súčin faktorov prevedie na súčty členov.

Potencovanie je matematická operácia inverzná k logaritmu. Pri potenciácii sa daný základ pozdvihne na silu výrazu, na ktorom sa potenciácia vykonáva. V tomto prípade sa súčty členov prevedú na súčin faktorov.

Dôkaz základných vzorcov pre logaritmy

Vzorce súvisiace s logaritmami vyplývajú zo vzorcov pre exponenciálne funkcie az definície inverznej funkcie.

Zvážte vlastnosť exponenciálnej funkcie
.
Potom
.
Použite vlastnosť exponenciálnej funkcie
:
.

Dokážme vzorec zmeny bázy.
;
.
Pri nastavení c = b máme:

Inverzná funkcia

Prevrátená hodnota logaritmu základu a je exponenciálna funkcia s exponentom a.

Ak potom

Ak potom

Derivácia logaritmu

Derivácia logaritmu modulo x :
.
Derivát n-tého rádu:
.
Odvodenie vzorcov > > >

Ak chcete nájsť deriváciu logaritmu, musíte ho zredukovať na základňu e.
;
.

Integrálne

Integrál logaritmu sa vypočíta integráciou po častiach : .
takze

Výrazy v komplexných číslach

Zvážte funkciu komplexných čísel z:
.
Vyjadrime komplexné číslo z cez modul r a argument φ :
.
Potom pomocou vlastností logaritmu máme:
.
Alebo

Avšak, argument φ nie je jasne definovaný. Ak dáme
, kde n je celé číslo,
potom to bude rovnaké číslo pre rôzne n.

Preto logaritmus ako funkcia komplexnej premennej nie je funkciou s jednou hodnotou.

Rozšírenie výkonového radu

Pre , rozšírenie prebieha:

Referencie:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Príručka matematiky pre inžinierov a študentov vysokých škôl, Lan, 2009.