Vieme, že pri priamočiarom pohybe sa smer vektora rýchlosti vždy zhoduje so smerom pohybu. Čo možno povedať o smere rýchlosti a posunu pri krivočiarom pohybe? Na zodpovedanie tejto otázky použijeme rovnakú techniku, ktorá bola použitá v predchádzajúcej kapitole pri štúdiu okamžitej rýchlosti priamočiareho pohybu.

Obrázok 56 ukazuje nejakú krivočiaru trajektóriu. Predpokladajme, že sa po nej teleso pohybuje z bodu A do bodu B.

V tomto prípade je dráha, ktorou telo prechádza, oblúk A B a jeho posunutie je vektor. Samozrejme, nemožno predpokladať, že rýchlosť telesa počas pohybu smeruje pozdĺž vektora posunutia. Nakreslime sériu tetiv medzi bodmi A a B (obr. 57) a predstavme si, že pohyb telesa prebieha práve pozdĺž týchto tetiv. Na každom z nich sa teleso pohybuje priamočiaro a vektor rýchlosti smeruje pozdĺž tetivy.

Teraz skrátime naše rovné úseky (tetivy) (obr. 58). Rovnako ako predtým, na každom z nich je vektor rýchlosti nasmerovaný pozdĺž tetivy. Ale je vidieť, že prerušovaná čiara na obrázku 58 už vyzerá skôr ako hladká krivka.

Je teda jasné, že pokračovaním v zmenšovaní dĺžky rovných úsekov ich akoby zmrštíme do bodov a prerušovaná čiara sa zmení na hladkú krivku. Rýchlosť v každom bode tejto krivky bude smerovať, ale dotyčnica ku krivke v tomto bode (obr. 59).

Rýchlosť telesa v ktoromkoľvek bode krivočiarej trajektórie smeruje tangenciálne k trajektórii v tomto bode.

O tom, že rýchlosť bodu pri krivočiarom pohybe skutočne smeruje po dotyčnici, sa presvedčíme napríklad pozorovaním práce gochnla (obr. 60). Ak pritlačíte konce oceľovej tyče k rotujúcemu brúsnemu kameňu, horúce častice vychádzajúce z kameňa budú viditeľné vo forme iskier. Tieto častice sa pohybujú rovnakou rýchlosťou ako

vlastnili v momente oddelenia od kameňa. Je jasne vidieť, že smer iskier sa vždy zhoduje s dotyčnicou ku kruhu v bode, kde sa tyč dotýka kameňa. Sprej z kolies šmykľavého auta sa tiež pohybuje tangenciálne ku kruhu (obr. 61).

Okamžitá rýchlosť telesa v rôznych bodoch krivočiarej trajektórie má teda rôzne smery, ako je znázornené na obrázku 62. Modul rýchlosti môže byť rovnaký vo všetkých bodoch trajektórie (pozri obrázok 62) alebo sa môže meniť z bodu do bodu. z jedného časového bodu do druhého (obr. 63).

Pri krivočiarom pohybe sa mení smer vektora rýchlosti. V tomto prípade sa môže zmeniť aj jeho modul, teda dĺžka. V tomto prípade sa vektor zrýchlenia rozloží na dve zložky: dotyčnicu k trajektórii a kolmú na trajektóriu (obr. 10). Komponent sa nazýva tangenciálny(tangenciálne) zrýchlenie, komponent - normálne(dostredivé) zrýchlenie.

Krivkové zrýchlenie

Tangenciálne zrýchlenie charakterizuje rýchlosť zmeny lineárnej rýchlosti a normálové zrýchlenie charakterizuje rýchlosť zmeny smeru pohybu.

Celkové zrýchlenie sa rovná vektorovému súčtu tangenciálneho a normálového zrýchlenia:

(15)

Celkový modul zrýchlenia je:

.

Zvážte rovnomerný pohyb bodu po kružnici. V čom a . Bod nech je v uvažovanom čase t v polohe 1 (obr. 11). Po čase Δt bude bod po prejdení dráhy v polohe 2 Δs, rovná oblúku 1-2. V tomto prípade sa rýchlosť bodu v zvýši Δv, v dôsledku čoho sa vektor rýchlosti, ktorý zostáva nezmenený, otočí o uhol Δφ , ktorý sa svojou veľkosťou zhoduje so stredovým uhlom na základe oblúka dĺžky Δs:

(16)

kde R je polomer kružnice, po ktorej sa bod pohybuje. Nájdeme prírastok vektora rýchlosti Aby sme to dosiahli, posunieme vektor aby sa jeho začiatok zhodoval so začiatkom vektora . Potom bude vektor reprezentovaný segmentom nakresleným od konca vektora po koniec vektora . Tento segment slúži ako základňa rovnoramenného trojuholníka so stranami a a uhol Δφ v hornej časti. Ak je uhol Δφ malý (čo platí pre malé Δt), pre strany tohto trojuholníka môžeme približne písať:

.

Dosadením Δφ z (16) získame výraz pre modul vektora:

.

Vydelením oboch častí rovnice Δt a vykonaním limitného prechodu dostaneme hodnotu dostredivého zrýchlenia:

Tu sú množstvá v a R sú konštantné, takže ich možno vyňať z medzného znaku. Limitom pomeru je rýchlostný modul Nazýva sa tiež lineárna rýchlosť.

Polomer zakrivenia

Polomer kruhu R sa nazýva polomer zakrivenia trajektórie. Prevrátená hodnota R sa nazýva zakrivenie dráhy:

.

kde R je polomer príslušného kruhu. Ak α je stredový uhol zodpovedajúci oblúku kružnice s, potom, ako je známe, medzi R, α a s platí nasledujúci vzťah:

s = Ra. (18)

Pojem polomer zakrivenia platí nielen pre kruh, ale pre akúkoľvek zakrivenú čiaru. Polomer zakrivenia (alebo jeho recipročné - zakrivenie) charakterizuje mieru zakrivenia čiary. Čím menší je polomer zakrivenia (resp. čím je zakrivenie väčšie), tým viac je čiara ohnutá. Pozrime sa na tento koncept podrobnejšie.

Kružnica zakrivenia rovinnej čiary v niektorom bode A je hraničnou polohou kružnice prechádzajúcej bodom A a dvoma ďalšími bodmi B 1 a B 2, keď sa nekonečne približujú k bodu A (na obr. 12 je krivka nakreslená plná čiara a kružnica zakrivenia je prerušovaná). Polomer kružnice zakrivenia udáva polomer zakrivenia príslušnej krivky v bode A a stred tejto kružnice je stredom zakrivenia krivky pre rovnaký bod A.

Nakreslite v bodoch B 1 a B 2 dotyčnice B 1 D a B 2 E ku kružnici prechádzajúcej bodmi B 1 , A a B 2 . Normály týchto dotyčníc B 1 C a B 2 C budú polomery R kružnice a pretínajú sa v jej strede C. Zaveďme uhol Δα medzi normály B1C a B 2 C; je zrejmé, že sa rovná uhlu medzi dotyčnicami B 1 D a B 2 E. Označme úsek krivky medzi bodmi B 1 a B 2 ako Δs. Potom podľa vzorca (18):

.

Kruh zakrivenia plochej zakrivenej čiary

Určenie zakrivenia rovinnej krivky v rôznych bodoch

Na obr. 13 znázorňuje kruhy zakrivenia rovnej čiary v rôznych bodoch. V bode Ai, kde je krivka plochejšia, je polomer zakrivenia väčší ako v bode A2, respektíve zakrivenie priamky v bode Ai bude menšie ako v bode A2. V bode A 3 je krivka ešte plochejšia ako v bodoch A 1 a A 2, takže polomer zakrivenia v tomto bode bude väčší a zakrivenie menšie. Okrem toho kružnica zakrivenia v bode A 3 leží na druhej strane krivky. Preto je veľkosti zakrivenia v tomto bode priradené znamienko opačné k znamienku zakrivenia v bodoch A 1 a A 2: ak sa zakrivenie v bodoch A 1 a A 2 považuje za kladné, potom bude zakrivenie v bode A 3 negatívne.

Pojmy rýchlosť a zrýchlenie sú prirodzene zovšeobecnené na prípad pohybu hmotného bodu pozdĺž krivočiara trajektória. Poloha pohybujúceho sa bodu na trajektórii je daná vektorom polomeru r pritiahnutý do tohto bodu z nejakého pevného bodu O, napríklad pôvod (obr. 1.2). Nechajte v tejto chvíli t hmotný bod je na svojom mieste M s polomerovým vektorom r = r (t). Po krátkom čase D t, presunie sa do polohy M 1 s polomerom - vektor r 1 = r (t+ D t). Polomer - vektor hmotného bodu dostane prírastok určený geometrickým rozdielom D r = r 1 - r . Priemerná rýchlosť v priebehu času D t sa nazýva množstvo

Smer priemernej rýchlosti V St zápasy so smerom vektora D r .

Priemerná povolená rýchlosť na D t® 0, teda derivácia polomeru - vektora r časom

(1.9)

volal pravda alebo okamžite bodová rýchlosť materiálu. Vektor V riadený tangenciálne na trajektóriu pohybujúceho sa bodu.

zrýchlenie a sa nazýva vektor rovný prvej derivácii vektora rýchlosti V alebo druhá derivácia polomeru - vektor r časom:

(1.10)

(1.11)

Všimnite si nasledujúcu formálnu analógiu medzi rýchlosťou a zrýchlením. Z ľubovoľného pevného bodu O 1 nakreslíme vektor rýchlosti V pohyblivý bod vo všetkých možných časoch (obr. 1.3).

Koniec vektora V volal rýchlostný bod. Miestom rýchlostných bodov je krivka tzv rýchlostný hodograf. Keď hmotný bod opisuje trajektóriu, rýchlostný bod, ktorý mu zodpovedá, sa pohybuje pozdĺž hodografu.

Ryža. 1.2 sa líši od obr. 1.3 len podľa označení. Polomer - vektor r nahradený vektorom rýchlosti V , hmotný bod - do rýchlostného bodu, trajektória - do hodografu. Matematické operácie na vektore r pri zisťovaní rýchlosti a nad vektorom V pri zisťovaní zrýchlenia sú úplne identické.

Rýchlosť V nasmerovaný po dotyčnicovej dráhe. Takže zrýchleniea bude smerovať tangenciálne k hodografu rýchlosti. Dá sa to povedať zrýchlenie je rýchlosť pohybu vysokorýchlostného bodu pozdĺž hodografu. teda

Dobre viete, že v závislosti od tvaru trajektórie sa pohyb delí na priamočiary a krivočiary. V predchádzajúcich lekciách sme sa naučili pracovať s priamočiarym pohybom, konkrétne vyriešiť hlavný problém mechaniky pre tento typ pohybu.

Je však jasné, že v reálnom svete máme najčastejšie dočinenia s krivočiarym pohybom, kedy je trajektóriou zakrivená čiara. Príklady takéhoto pohybu sú trajektória telesa hodeného pod uhlom k horizontu, pohyb Zeme okolo Slnka a dokonca aj trajektória vašich očí, ktoré teraz sledujú tento abstrakt.

Táto lekcia bude venovaná otázke, ako sa rieši hlavný problém mechaniky v prípade krivočiareho pohybu.

Na začiatok si určme, aké zásadné rozdiely má krivočiary pohyb (obr. 1) voči priamočiaremu a k čomu tieto rozdiely vedú.

Ryža. 1. Trajektória krivočiareho pohybu

Povedzme si, ako je vhodné opísať pohyb telesa pri krivočiarom pohybe.

Pohyb môžete rozdeliť na samostatné úseky, z ktorých každý môže byť pohyb považovaný za priamočiary (obr. 2).

Ryža. 2. Rozdelenie krivočiareho pohybu na segmenty priamočiareho pohybu

Nasledujúci prístup je však pohodlnejší. Tento pohyb budeme reprezentovať ako súbor niekoľkých pohybov po oblúkoch kružníc (obr. 3). Všimnite si, že takýchto priečok je menej ako v predchádzajúcom prípade, navyše pohyb po kružnici je krivočiary. Okrem toho sú príklady pohybu v kruhu v prírode veľmi časté. Z toho môžeme vyvodiť záver:

Aby bolo možné opísať krivočiary pohyb, musíme sa naučiť opísať pohyb pozdĺž kruhu a potom reprezentovať ľubovoľný pohyb ako súbor pohybov pozdĺž oblúkov kruhov.

Ryža. 3. Rozdelenie krivočiareho pohybu na pohyby po oblúkoch kružníc

Začnime teda štúdium krivočiareho pohybu štúdiom rovnomerného pohybu v kruhu. Pozrime sa, aké sú zásadné rozdiely medzi krivočiarym a priamočiarym pohybom. Na začiatok si pripomeňme, že v deviatom ročníku sme sa učili, že rýchlosť telesa pri pohybe po kružnici smeruje tangenciálne k trajektórii (obr. 4). Mimochodom, túto skutočnosť môžete pozorovať v praxi, ak sa pozriete na to, ako sa pri použití brúsneho kameňa pohybujú iskry.

Uvažujme pohyb telesa po kruhovom oblúku (obr. 5).

Ryža. 5. Rýchlosť telesa pri pohybe v kruhu

Upozorňujeme, že v tomto prípade sa modul rýchlosti telesa v bode rovná modulu rýchlosti telesa v bode:

Vektor sa však nerovná vektoru . Máme teda vektor rozdielu rýchlosti (obr. 6):

Ryža. 6. Vektor rozdielu rýchlosti

Navyše k zmene rýchlosti došlo až po chvíli. Dostaneme teda známu kombináciu:

Nejde o nič iné ako o zmenu rýchlosti v priebehu času alebo o zrýchlenie telesa. Môžeme vyvodiť veľmi dôležitý záver:

Pohyb po zakrivenej dráhe je zrýchlený. Podstatou tohto zrýchlenia je plynulá zmena smeru vektora rýchlosti.

Ešte raz si všimneme, že aj keď sa hovorí, že sa teleso pohybuje rovnomerne po kruhu, znamená to, že modul rýchlosti telesa sa nemení. Takýto pohyb je však vždy zrýchlený, pretože sa mení smer rýchlosti.

V deviatom ročníku ste sa učili, čo je toto zrýchlenie a ako je smerované (obr. 7). Dostredivé zrýchlenie smeruje vždy do stredu kružnice, po ktorej sa teleso pohybuje.

Ryža. 7. Dostredivé zrýchlenie

Modul dostredivého zrýchlenia možno vypočítať pomocou vzorca:

Obrátime sa na popis rovnomerného pohybu tela v kruhu. Zhodneme sa, že rýchlosť, ktorú ste použili pri popise translačného pohybu, sa teraz bude nazývať lineárna rýchlosť. A lineárnou rýchlosťou budeme rozumieť okamžitú rýchlosť v bode trajektórie rotujúceho telesa.

Ryža. 8. Pohyb bodov disku

Predstavte si disk, ktorý sa pre istotu otáča v smere hodinových ručičiek. Na jeho polomere označíme dva body a (obr. 8). Zvážte ich pohyb. Po určitú dobu sa tieto body budú pohybovať po oblúkoch kruhu a stanú sa bodmi a . Je zrejmé, že bod sa posunul viac ako bod. Z toho môžeme usúdiť, že čím je bod ďalej od osi rotácie, tým väčšia je lineárna rýchlosť, ktorou sa pohybuje.

Ak sa však pozorne pozrieme na body a , môžeme povedať, že uhol, o ktorý sa otočili vzhľadom na os otáčania, zostal nezmenený. Sú to uhlové charakteristiky, ktoré budeme používať na opis pohybu v kruhu. Všimnite si, že na opis pohybu v kruhu môžeme použiť rohu vlastnosti.

Úvahu o pohybe v kruhu začnime najjednoduchším prípadom – rovnomerným pohybom v kruhu. Pripomeňme, že rovnomerný translačný pohyb je pohyb, pri ktorom teleso vykonáva rovnaké posuny v ľubovoľných rovnakých časových intervaloch. Analogicky môžeme definovať rovnomerný pohyb v kruhu.

Rovnomerný pohyb v kruhu je pohyb, pri ktorom sa teleso otáča v rovnakých uhloch počas ľubovoľných rovnakých časových intervalov.

Podobne ako pojem lineárna rýchlosť sa zavádza aj pojem uhlová rýchlosť.

Uhlová rýchlosť rovnomerného pohybu ( nazývaná fyzikálna veličina rovnajúca sa pomeru uhla, o ktorý sa teleso otočilo, k času, počas ktorého k tomuto obratu došlo.

Vo fyzike sa najčastejšie používa radiánová miera uhla. Napríklad uhol at sa rovná radiánom. Uhlová rýchlosť sa meria v radiánoch za sekundu:

Nájdite vzťah medzi uhlovou rýchlosťou bodu a lineárnou rýchlosťou tohto bodu.

Ryža. 9. Vzťah medzi uhlovou a lineárnou rýchlosťou

Bod prechádza počas otáčania oblúkom dĺžky, pričom sa otáča pod uhlom. Z definície radiánovej miery uhla môžeme napísať:

Ľavú a pravú časť rovnosti vydelíme časovým intervalom, pre ktorý bol pohyb vykonaný, potom použijeme definíciu uhlových a lineárnych rýchlostí:

Všimnite si, že čím ďalej je bod od osi otáčania, tým vyššia je jeho lineárna rýchlosť. A body umiestnené na samotnej osi rotácie sú pevné. Príkladom toho je kolotoč: čím bližšie ste k stredu kolotoča, tým ľahšie sa na ňom udržíte.

Táto závislosť lineárnych a uhlových rýchlostí sa využíva v geostacionárnych satelitoch (satelity, ktoré sú vždy nad tým istým bodom zemského povrchu). Vďaka takýmto satelitom sme schopní prijímať televízny signál.

Pripomeňme, že predtým sme zaviedli pojmy perióda a frekvencia rotácie.

Obdobie rotácie je doba jednej kompletnej rotácie. Obdobie rotácie je označené písmenom a meria sa v sekundách v SI:

Frekvencia otáčania je fyzikálna veličina rovnajúca sa počtu otáčok, ktoré telo vykoná za jednotku času.

Frekvencia je označená písmenom a meria sa v recipročných sekundách:

Súvisia s nimi:

Existuje vzťah medzi uhlovou rýchlosťou a frekvenciou otáčania telesa. Ak si pamätáme, že úplná otáčka je , je ľahké vidieť, že uhlová rýchlosť je:

Nahradením týchto výrazov do závislosti medzi uhlovou a lineárnou rýchlosťou je možné získať závislosť lineárnej rýchlosti od periódy alebo frekvencie:

Zapíšme si tiež vzťah medzi dostredivým zrýchlením a týmito veličinami:

Poznáme teda vzťah medzi všetkými charakteristikami rovnomerného pohybu v kruhu.

Poďme si to zhrnúť. V tejto lekcii sme začali popisovať krivočiary pohyb. Pochopili sme, ako spojiť krivočiary pohyb s kruhovým pohybom. Kruhový pohyb je vždy zrýchlený a prítomnosť zrýchlenia spôsobuje, že rýchlosť vždy mení svoj smer. Takéto zrýchlenie sa nazýva dostredivé. Nakoniec sme si zapamätali niektoré charakteristiky pohybu v kruhu (lineárna rýchlosť, uhlová rýchlosť, perióda a frekvencia rotácie) a našli sme medzi nimi vzťah.

Bibliografia

1. G.Ya. Myakishev, B.B. Bukhovtsev, N.N. Sotsky. Fyzika 10. - M .: Vzdelávanie, 2008.
2. A.P. Rymkevič. fyzika. Kniha problémov 10-11. - M.: Drop, 2006.
3. O.Ya Savčenková. Problémy vo fyzike. - M.: Nauka, 1988.
4. A.V. Peryshkin, V.V. Krauklis. Kurz fyziky. T. 1. - M .: Štát. uch.-ped. vyd. min. školstvo RSFSR, 1957.

1. Ayp.ru ().
2. Wikipedia ().

Domáca úloha

Vyriešením úloh na túto hodinu sa budete môcť pripraviť na otázky 1 GIA a otázky A1, A2 Jednotnej štátnej skúšky.

1. Úlohy 92, 94, 98, 106, 110 - so. úlohy A.P. Rymkevič, vyd. desať
2. Vypočítajte uhlovú rýchlosť minútovej, sekundovej a hodinovej ručičky hodín. Vypočítajte dostredivé zrýchlenie pôsobiace na hroty týchto šípok, ak je polomer každej z nich jeden meter.

Kinematika študuje pohyb bez identifikácie príčin, ktoré tento pohyb spôsobujú. Kinematika je odvetvie mechaniky. Hlavnou úlohou kinematiky je matematické určenie polohy a charakteristiky pohybu bodov alebo telies v čase.

Základné kinematické veličiny:

- Move() - vektor spájajúci počiatočný a koncový bod.

r je vektor polomeru, určuje polohu MT v priestore.

- Rýchlosť je pomer cesty k času .

- Cesta je množina bodov, ktorými telo prešlo.

- zrýchlenie - rýchlosť zmeny sadzby, teda prvá derivácia sadzby.

2. Krivkové zrýchlenie: normálne a tangenciálne zrýchlenie. Ploché otáčanie. Uhlová rýchlosť, zrýchlenie.

Krivočiary pohyb je pohyb, ktorého trajektóriou je zakrivená čiara. Príkladom krivočiareho pohybu je pohyb planét, koniec ručičky hodín na ciferníku atď.

Krivočiary pohyb Je to vždy rýchle tempo. To znamená, že zrýchlenie pri krivočiarom pohybe je vždy prítomné, aj keď sa nemení modul rýchlosti, ale mení sa iba smer rýchlosti.

Zmena hodnoty rýchlosti za jednotku času - je tangenciálne zrýchlenie:

Kde 𝛖 τ , 𝛖 0 sú rýchlosti v čase t0 + Δt a t0. Tangenciálne zrýchlenie v danom bode trajektórie sa smer zhoduje so smerom rýchlosti telesa alebo je mu opačný.

Normálne zrýchlenie je zmena rýchlosti v smere za jednotku času:

Normálne zrýchlenie smerované pozdĺž polomeru zakrivenia trajektórie (smerom k osi rotácie). Normálne zrýchlenie je kolmé na smer rýchlosti.

Plné zrýchlenie s rovnako premenlivým krivočiarym pohybom tela sa rovná:

-uhlová rýchlosť ukazuje, pod akým uhlom sa bod otáča pri rovnomernom pohybe po kruhu za jednotku času. Jednotkou SI je rad/s.

Ploché otáčanie je rotácia všetkých rýchlostných vektorov bodov telesa v jednej rovine.

3. Spojenie medzi vektormi rýchlosti a uhlovou rýchlosťou hmotného bodu. Normálne, tangenciálne a plné zrýchlenie.

Tangenciálne (tangenciálne) zrýchlenie je zložka vektora zrýchlenia nasmerovaná pozdĺž dotyčnice k trajektórii v danom bode trajektórie. Tangenciálne zrýchlenie charakterizuje zmenu rýchlostného modulu počas krivočiareho pohybu.

Normálne (centripetálne) zrýchlenie je zložka vektora zrýchlenia smerujúca pozdĺž normály k trajektórii pohybu v danom bode trajektórie pohybu telesa. To znamená, že vektor normálového zrýchlenia je kolmý na lineárnu rýchlosť pohybu (pozri obr. 1.10). Normálne zrýchlenie charakterizuje zmenu rýchlosti v smere a označuje sa písmenom n. Normálny vektor zrýchlenia smeruje pozdĺž polomeru zakrivenia trajektórie.

Plné zrýchlenie pri krivočiarom pohybe je zložený z tangenciálneho a normálového zrýchlenia podľa pravidla sčítania vektora a je určený vzorcom.