Úsek mechaniky, v ktorom sa skúmajú podmienky pre rovnováhu telies, sa nazýva statika. Z druhého Newtonovho zákona vyplýva, že ak je vektorový súčet všetkých síl pôsobiacich na teleso nulový, potom si teleso zachováva svoju rýchlosť nezmenenú. Najmä ak je počiatočná rýchlosť nulová, teleso zostáva v pokoji. Stav nemennosti rýchlosti telesa možno zapísať ako:

alebo v projekciách na súradnicových osiach:

.

Je zrejmé, že teleso môže byť v pokoji iba vzhľadom na jeden konkrétny súradnicový systém. V statike sa práve v takomto systéme študujú rovnovážne pomery telies. Nevyhnutnú podmienku rovnováhy možno získať aj uvažovaním pohybu ťažiska sústavy hmotných bodov. Vnútorné sily neovplyvňujú pohyb ťažiska. Zrýchlenie ťažiska je určené vektorovým súčtom vonkajších síl. Ak sa však tento súčet rovná nule, potom zrýchlenie ťažiska a následne aj rýchlosť ťažiska. Ak v počiatočnom okamihu , potom ťažisko tela zostáva v pokoji.

Prvá podmienka rovnováhy telies je teda formulovaná nasledovne: rýchlosť telesa sa nemení, ak súčet vonkajších síl pôsobiacich v každom bode je nulový. Výsledná pokojová podmienka pre ťažisko je nevyhnutnou (nie však postačujúcou) podmienkou pre rovnováhu tuhého telesa.

Príklad

Môže sa stať, že všetky sily pôsobiace na telo sú v rovnováhe, no telo sa zrýchli. Napríklad, ak aplikujete dve rovnaké a opačne smerujúce sily (nazývajú sa dvojica síl) na ťažisko kolesa, potom bude koleso v pokoji, ak jeho počiatočná rýchlosť bola nula. Ak tieto sily pôsobia na rôzne body, potom sa koleso začne otáčať (obr. 4.5). Teleso je totiž v rovnováhe, keď súčet všetkých síl v každom bode telesa je nulový. Ak sa však súčet vonkajších síl rovná nule a súčet všetkých síl pôsobiacich na každý prvok telesa nie je rovný nule, teleso nebude v rovnováhe, pravdepodobne (ako v uvažovanom príklade) rotačný pohyb. . Ak sa teda teleso môže otáčať okolo nejakej osi, tak pre jeho rovnováhu nestačí, aby výslednica všetkých síl bola rovná nule.

Na získanie druhej podmienky rovnováhy použijeme rovnicu rotačného pohybu , kde je súčet momentov vonkajších síl okolo osi rotácie. Keď , potom b = 0, čo znamená, že uhlová rýchlosť telesa sa nemení. Ak v počiatočnom momente w = 0, potom sa teleso nebude ďalej otáčať. V dôsledku toho je druhou podmienkou mechanickej rovnováhy požiadavka, aby sa algebraický súčet momentov všetkých vonkajších síl okolo osi rotácie rovnal nule:

Vo všeobecnom prípade ľubovoľného počtu vonkajších síl môžu byť podmienky rovnováhy reprezentované nasledovne:

,

.

Tieto podmienky sú nevyhnutné a postačujúce.

Príklad

Rovnováha je stabilná, nestabilná a ľahostajná. Rovnováha je stabilná, ak pri malých posunoch telesa z rovnovážnej polohy naň pôsobiace sily a momenty síl majú tendenciu vrátiť teleso do rovnovážnej polohy (obr. 4.6a). Rovnováha je nestabilná, ak pôsobiace sily súčasne posúvajú teleso ešte ďalej z rovnovážnej polohy (obr. 4.6b). Ak sú pri malých posunoch telesa pôsobiace sily ešte vyrovnané, potom je rovnováha indiferentná (obr. 4.6c). Lopta ležiaca na rovnom vodorovnom povrchu je v stave indiferentnej rovnováhy. Guľa umiestnená na vrchole guľovej rímsy je príkladom nestabilnej rovnováhy. Nakoniec je guľa na dne guľovej dutiny v stave stabilnej rovnováhy.

Zaujímavým príkladom rovnováhy telesa na podpere je šikmá veža v talianskom meste Pisa, ktorú podľa legendy používal Galileo pri štúdiu zákonov voľného pádu telies. Veža má tvar valca s polomerom 7 m Vrch veže je odklonený od vertikály o 4,5 m.

Šikmá veža v Pise je známa svojim strmým svahom. Veža padá. Výška veže je 55,86 metra od zeme na najnižšej strane a 56,70 metra na najvyššej strane. Jeho hmotnosť sa odhaduje na 14 700 ton. Súčasný sklon je asi 5,5°. Zvislá čiara vedená cez ťažisko veže pretína základňu približne 2,3 m od jej stredu. Veža je teda v rovnovážnom stave. Rovnováha sa naruší a veža spadne, keď odchýlka jej vrcholu od kolmice dosiahne 14 m. Zrejme sa to tak skoro nestane.

Verilo sa, že zakrivenie veže pôvodne navrhli architekti - aby demonštrovali svoje vynikajúce schopnosti. Oveľa pravdepodobnejšie je však niečo iné: architekti vedeli, že stavajú na mimoriadne nespoľahlivom základe, a preto do návrhu kládli možnosť miernej odchýlky.

Keď už reálne hrozilo zrútenie veže, chopili sa toho moderní inžinieri. Bol vtiahnutý do oceľového korzetu z 18 káblov, základ bol zaťažený olovenými blokmi a zároveň bola zemina spevnená čerpaním betónu pod zem. Pomocou všetkých týchto opatrení sa podarilo zmenšiť uhol sklonu padajúcej veže o pol stupňa. Odborníci tvrdia, že teraz bude môcť stáť ešte najmenej 300 rokov. Z hľadiska fyziky prijaté opatrenia znamenajú, že rovnovážne podmienky veže sa stali spoľahlivejšie.

Pre teleso s pevnou osou otáčania sú možné všetky tri typy rovnováhy. Ľahostajná rovnováha nastáva, keď os rotácie prechádza ťažiskom. V stabilnej a nestabilnej rovnováhe je ťažisko na zvislej čiare prechádzajúcej osou rotácie. V tomto prípade, ak je ťažisko pod osou rotácie, je rovnovážny stav stabilný (obr. 4.7a). Ak sa ťažisko nachádza nad osou, rovnovážny stav je nestabilný (obr. 4.7b).

Špeciálnym prípadom rovnováhy je rovnováha telesa na podložke. V tomto prípade sa elastická sila podpery neaplikuje na jeden bod, ale je rozdelená na základňu tela. Teleso je v rovnováhe, ak vertikálna čiara vedená cez ťažisko tela prechádza cez oblasť podpory, to znamená vo vnútri obrysu tvoreného čiarami spájajúcimi body podpory. Ak táto čiara neprekročí oblasť podpory, telo sa prevráti.

V rovnovážnom stave je teleso v kľude (vektor rýchlosti sa rovná nule) vo zvolenej vzťažnej sústave, buď sa pohybuje rovnomerne priamočiaro, alebo rotuje bez tangenciálneho zrýchlenia.

Definícia prostredníctvom energie systému[ | ]

Keďže energia a sily sú spojené základnými závislosťami, táto definícia je ekvivalentná prvej. Definíciu z hľadiska energie však možno rozšíriť, aby sme získali informácie o stabilite rovnovážnej polohy.

Druhy rovnováhy [ | ]

Existujú tri typy rovnováhy tiel: stabilná, nestabilná a ľahostajná. Rovnováha sa nazýva stabilná, ak sa po malých vonkajších vplyvoch teleso vráti do pôvodného rovnovážneho stavu. Rovnováha sa nazýva nestabilná, ak pri miernom vychýlení telesa z rovnovážnej polohy je výslednica síl naň pôsobiacich nenulová a smeruje z rovnovážnej polohy. Rovnováha sa nazýva indiferentná, ak pri malom posunutí telesa z rovnovážnej polohy je výslednica síl, ktoré na ňu pôsobia, rovná nule.

Uveďme príklad pre systém s jedným stupňom voľnosti. V tomto prípade postačujúcou podmienkou pre rovnovážnu polohu bude prítomnosť lokálneho extrému potenciálnej energie v skúmanom bode. Ako je známe, podmienkou pre lokálny extrém diferencovateľnej funkcie je rovnosť nuly jej prvej derivácie. Na určenie, kedy je tento bod minimom alebo maximom, je potrebné analyzovať jeho druhú deriváciu. Stabilita rovnovážnej polohy je charakterizovaná nasledujúcimi možnosťami:

• nestabilná rovnováha;
• stabilná rovnováha;
• ľahostajná rovnováha.

Nestabilná rovnováha[ | ]

V prípade, že je druhá derivácia záporná, potenciálna energia systému je v stave lokálneho maxima. To znamená, že rovnovážna poloha nestabilná. Ak sa systém posunie o malú vzdialenosť, bude pokračovať vo svojom pohybe v dôsledku síl pôsobiacich na systém. To znamená, že keď je telo vyvedené z rovnováhy, nevráti sa do pôvodnej polohy.

udržateľná rovnováha[ | ]

Druhá derivácia > 0: potenciálna energia pri lokálnom minime, rovnovážna poloha stabilne(pozri Lagrangeovu vetu o stabilite rovnováhy). Ak sa systém posunie o malú vzdialenosť, vráti sa späť do stavu rovnováhy. Rovnováha je stabilná, ak ťažisko tela zaujíma najnižšiu polohu v porovnaní so všetkými možnými susednými polohami. S takouto rovnováhou sa nevyrovnané telo vráti na svoje pôvodné miesto.

Ľahostajná rovnováha[ | ]

Druhá derivácia = 0: v tejto oblasti sa energia nemení a rovnovážna poloha je ľahostajný. Ak sa systém posunie o malú vzdialenosť, zostane v novej polohe. Ak telo vychýlite alebo pohnete, zostane v rovnováhe.

Stabilita v systémoch s veľkým počtom stupňov voľnosti[ | ]

Ak má systém niekoľko stupňov voľnosti, potom sa môže ukázať, že s odchýlkami v určitom smere je rovnováha stabilná, ale ak je rovnováha nestabilná aspoň v jednom smere, potom je nestabilná aj vo všeobecnosti. Najjednoduchším príkladom takejto situácie je rovnovážny bod typu „sedlo“ alebo „priechod“.

Rovnováha sústavy s niekoľkými stupňami voľnosti bude stabilná len vtedy, ak bude stabilná vo všetkých smeroch.

Všetky sily pôsobiace na teleso okolo ľubovoľnej osi rotácie sú tiež rovné nule.

V rovnovážnom stave je teleso v pokoji (vektor rýchlosti sa rovná nule) vo zvolenej vzťažnej sústave sa buď pohybuje rovnomerne priamočiaro, alebo rotuje bez tangenciálneho zrýchlenia.

Encyklopedický YouTube

1 / 3

✪ Fyzika. Statika: Podmienky pre rovnováhu telesa. Foxfordské online vzdelávacie centrum

✪ ROVNOVÁHA STAV TELA 10. stupeň Romanov

✪ Lekcia 70. Druhy rovnováhy. Rovnovážny stav telesa bez rotácie.

titulky

Definícia prostredníctvom energie systému

Keďže energia a sily sú spojené základnými závislosťami, táto definícia je ekvivalentná prvej. Definíciu z hľadiska energie však možno rozšíriť, aby sme získali informácie o stabilite rovnovážnej polohy.

Druhy rovnováhy

Uveďme príklad pre systém s jedným stupňom voľnosti. V tomto prípade postačujúcou podmienkou pre rovnovážnu polohu bude prítomnosť lokálneho extrému v skúmanom bode. Ako je známe, podmienkou pre lokálny extrém diferencovateľnej funkcie je rovnosť nuly jej prvej derivácie. Na určenie, kedy je tento bod minimom alebo maximom, je potrebné analyzovať jeho druhú deriváciu. Stabilita rovnovážnej polohy je charakterizovaná nasledujúcimi možnosťami:

• nestabilná rovnováha;
• stabilná rovnováha;
• ľahostajná rovnováha.

V prípade, že je druhá derivácia záporná, potenciálna energia systému je v stave lokálneho maxima. To znamená, že rovnovážna poloha nestabilná. Ak sa systém posunie o malú vzdialenosť, bude pokračovať vo svojom pohybe v dôsledku síl pôsobiacich na systém. To znamená, že keď je telo vyvedené z rovnováhy, nevráti sa do pôvodnej polohy.

udržateľná rovnováha

Druhá derivácia > 0: potenciálna energia pri lokálnom minime, rovnovážna poloha stabilne(pozri Lagrangeovu vetu o stabilite rovnováhy). Ak sa systém posunie o malú vzdialenosť, vráti sa späť do stavu rovnováhy. Rovnováha je stabilná, ak ťažisko tela zaujíma najnižšiu polohu v porovnaní so všetkými možnými susednými polohami. S takouto rovnováhou sa nevyrovnané telo vráti na svoje pôvodné miesto.

Ľahostajná rovnováha

Druhá derivácia = 0: v tejto oblasti sa energia nemení a rovnovážna poloha je ľahostajný. Ak sa systém posunie o malú vzdialenosť, zostane v novej polohe. Ak telo vychýlite alebo pohnete, zostane v rovnováhe.

• Typy udržateľnosti

Rovnováha je stav sústavy, v ktorom sú sily pôsobiace na sústavu navzájom vyvážené. Rovnováha môže byť stabilná, nestabilná alebo indiferentná.

Pojem rovnováhy je jedným z najuniverzálnejších v prírodných vedách. Vzťahuje sa na akýkoľvek systém, či už ide o systém planét pohybujúcich sa po stacionárnych dráhach okolo hviezdy alebo populáciu tropických rýb v lagúne na atole. Ale najjednoduchší spôsob, ako pochopiť koncept rovnovážneho stavu systému, je na príklade mechanických systémov. V mechanike sa predpokladá, že systém je v rovnováhe, ak sú všetky sily, ktoré naň pôsobia, navzájom úplne vyvážené, to znamená, že sa navzájom rušia. Ak napríklad čítate túto knihu, keď sedíte na stoličke, potom ste práve v stave rovnováhy, pretože sila gravitácie, ktorá vás ťahá dole, je úplne kompenzovaná tlakom stoličky na vaše telo, ktorý pôsobí od zdola nahor. Nespadnete a nevzlietnete práve preto, že ste v stave rovnováhy.

Existujú tri typy rovnováhy zodpovedajúce trom fyzikálnym situáciám.

udržateľná rovnováha

To je to, čo väčšina ľudí zvyčajne chápe pod pojmom "rovnováha". Predstavte si guľu na dne guľovej misky. V pokoji sa nachádza presne v strede misky, kde je pôsobenie gravitačnej sily Zeme vyvážené reakčnou silou podpery smerujúcou striktne nahor a loptička tam spočíva presne tak, ako vy. vaša stolička. Ak posuniete loptičku preč od stredu, otáčate ju bokom a nahor smerom k okraju misky, potom, akonáhle ju pustíte, okamžite sa ponáhľa späť do najhlbšieho bodu v strede misky - v smere polohu stabilnej rovnováhy.

Vy, čo sedíte na stoličke, ste v kľude vďaka tomu, že systém pozostávajúci z vášho tela a stoličky je v stave stabilnej rovnováhy. Preto, keď sa niektoré parametre tohto systému zmenia – napríklad keď zvýšite svoju hmotnosť, ak vám povedzme dieťa sedí na kolenách – stolička ako hmotný predmet zmení svoju konfiguráciu tak, že sila opory sa zvýši - a vy zostanete v stabilnej polohe (najviac sa môže stať, že vankúš pod vami klesne o niečo hlbšie).

V prírode existuje veľa príkladov stabilnej rovnováhy v rôznych systémoch (a nielen mechanických). Uvažujme napríklad o vzťahu predátor – korisť v ekosystéme. Pomer počtov uzavretých populácií dravcov a ich koristi sa rýchlo dostáva do rovnovážneho stavu – toľko zajacov v lese z roka na rok stabilne pripadá na toľko líšok, relatívne povedané. Ak sa z nejakého dôvodu dramaticky zmení populácia koristi (napríklad v dôsledku nárastu pôrodnosti zajacov), ekologická rovnováha sa veľmi skoro obnoví v dôsledku rýchleho nárastu počtu predátorov, ktorí začnú vyhubiť zajace zrýchleným tempom, kým sa počet zajacov nevráti do normálu a nezačnú sami umierať od hladu, čím sa ich vlastné hospodárske zvieratá vrátia do normálu, v dôsledku čoho sa populácia zajacov a líšok vráti do normálu. norma, ktorá bola pozorovaná pred prudkým nárastom pôrodnosti zajacov. To znamená, že v stabilnom ekosystéme pôsobia aj vnútorné sily (hoci nie vo fyzikálnom zmysle slova), ktoré sa snažia vrátiť systém do stavu stabilnej rovnováhy v prípade, že sa systém od nej odchýli.

Podobné efekty možno pozorovať v ekonomických systémoch. Prudký pokles ceny tovaru vedie k prudkému nárastu dopytu zo strany lovcov výhodných ponúk, následnému zníženiu zásob a v dôsledku toho k zvýšeniu ceny a poklesu dopytu po tovare – a tak ďalej, kým sa systém nevráti. do stavu stabilnej cenovej rovnováhy ponuky a dopytu. (Prirodzene, v reálnych systémoch, ekologických aj ekonomických, môžu existovať vonkajšie faktory, ktoré systém vychyľujú z rovnovážneho stavu - napríklad sezónny odstrel líšok a/alebo zajacov alebo štátna cenová regulácia a/alebo kvóty spotreby. Takýto zásah vedie k rovnováhe predpätia, ktorej analógom v mechanike by bola napríklad deformácia alebo sklon misy.)

Nestabilná rovnováha

Nie každá rovnováha je však stabilná. Predstavte si guľu balansujúcu na čepeli noža. Gravitačná sila smerujúca striktne nadol je v tomto prípade samozrejme tiež úplne vyvážená silou reakcie podpery smerujúcej nahor. Ale akonáhle sa stred loptičky odkloní od bodu odpočinku, aspoň o zlomok milimetra na línii čepele (a na to stačí slabý silový efekt), rovnováha sa okamžite naruší a gravitačná sila začne loptičku ťahať ďalej a ďalej od nej.

Príkladom nestabilnej prirodzenej rovnováhy je tepelná bilancia Zeme, keď obdobia globálneho otepľovania vystriedajú nové doby ľadové a naopak ( cm. Milankovičove cykly). Priemerná ročná povrchová teplota našej planéty je určená energetickou bilanciou medzi celkovým slnečným žiarením dopadajúcim na povrch a celkovým tepelným žiarením Zeme do vesmíru. Táto tepelná rovnováha sa stáva nestabilnou nasledovne. V niektorých zimách napadne viac snehu ako zvyčajne. Nasledujúce leto nie je dostatok tepla na roztopenie prebytočného snehu a leto je navyše chladnejšie ako zvyčajne, pretože povrch Zeme v dôsledku prebytku snehu odráža späť do vesmíru väčší podiel slnečné lúče ako predtým. Z tohto dôvodu sa nasledujúca zima ukáže byť ešte snežnejšia a chladnejšia ako predchádzajúca a nasledujúce leto zostane na povrchu ešte viac snehu a ľadu, čo odráža slnečnú energiu do vesmíru... Je ľahké vidieť, že čím viac sa takýto globálny klimatický systém odchyľuje od východiskového bodu tepelnej rovnováhy, tým rýchlejšie rastú procesy, ktoré klímu ešte viac vzďaľujú. V konečnom dôsledku sa na povrchu Zeme v polárnych oblastiach za dlhé roky globálneho ochladzovania vytvárajú mnohokilometrové vrstvy ľadovcov, ktoré sa neúprosne posúvajú k stále nižším zemepisným šírkam a prinášajú so sebou na planétu ďalšiu dobu ľadovú. Je teda ťažké predstaviť si neistejšiu rovnováhu, než je globálna klíma.

Osobitnú zmienku si zaslúži akási nestabilná rovnováha tzv metastabilný alebo kvázi stabilná rovnováha. Predstavte si loptičku v úzkom a plytkom žliabku – napríklad na čepeli krasokorčule otočenú naopak. Mierna - o milimeter alebo dva - odchýlka od rovnovážneho bodu povedie k vzniku síl, ktoré vrátia guľu do rovnovážneho stavu v strede drážky. Na vyvedenie loptičky zo zóny metastabilnej rovnováhy však už stačí trochu viac sily a tá spadne z čepele korčule. Metastabilné systémy majú spravidla tú vlastnosť, že určitý čas zostanú v rovnovážnom stave, po ktorom sa z neho v dôsledku určitého kolísania vonkajších vplyvov „vylomia“ a „upadnú“ do nezvratného procesu charakteristického pre nestabilné systémy. systémov.

Typický príklad kvázi stabilnej rovnováhy pozorujeme v atómoch pracovnej látky niektorých typov laserových systémov. Elektróny v atómoch pracovného tela lasera obsadzujú metastabilné atómové dráhy a zostanú na nich až do prechodu prvého svetelného kvanta, ktoré ich „zrazí“ z metastabilnej dráhy na nižšiu stabilnú, pričom vyžaruje nové svetelné kvantum. , koherentný s prechádzajúcim, ktorý naopak zrazí elektrón nasledujúceho atómu z metastabilnej dráhy atď. V dôsledku toho sa spustí lavínovitá reakcia emisie koherentných fotónov tvoriacich laserový lúč, ktorá v skutočnosti je základom fungovania akéhokoľvek lasera.

Ľahostajná rovnováha

Medziprípadom medzi stabilnou a nestabilnou rovnováhou je takzvaná indiferentná rovnováha, v ktorej je bodom rovnováhy ktorýkoľvek bod systému a odchýlka systému od počiatočného bodu pokoja nič nemení na rovnováhe síl vo vnútri. to. Predstavte si guľu na dokonale hladkom vodorovnom stole – nech ju posuniete kamkoľvek, zostane v rovnovážnom stave.

Odvetvie mechaniky, v ktorom sa skúmajú podmienky rovnováhy telies, sa nazýva statika. Najjednoduchšie je uvažovať s podmienkami rovnováhy pre absolútne tuhé teleso, teda také teleso, ktorého rozmery a tvar možno považovať za nezmenené. Pojem absolútne tuhého telesa je abstrakcia, pretože všetky skutočné telesá sa pod vplyvom síl, ktoré na ne pôsobia, do tej či onej miery deformujú, to znamená, že menia svoj tvar a veľkosť. Veľkosť deformácií závisí jednak od síl pôsobiacich na teleso, jednak od vlastností samotného telesa – jeho tvaru a vlastností materiálu, z ktorého je vyrobené. V mnohých prakticky dôležitých prípadoch sú deformácie malé a použitie koncepcií absolútne tuhého tela je opodstatnené.

Model dokonale tuhého tela. Drobnosť deformácií však nie je vždy dostatočnou podmienkou na to, aby bolo teleso považované za absolútne tuhé. Aby ste to objasnili, zvážte nasledujúci príklad. Dosku uloženú na dvoch podperách (obr. 140a) možno považovať za absolútne tuhé teleso, napriek tomu, že sa vplyvom gravitácie mierne prehýba. V tomto prípade podmienky mechanickej rovnováhy skutočne umožňujú určiť reakčné sily podpier bez zohľadnenia deformácie dosky.

Ak však tá istá doska leží na rovnakých podperách (obr. 1406), potom je myšlienka absolútne tuhého tela nepoužiteľná. Skutočne, nech sú extrémne podpery na rovnakej horizontálnej línii a stredná o niečo nižšia. Ak je doska absolútne pevná, to znamená, že sa vôbec neprehýba, tak vôbec netlačí na strednú podperu, ak sa doska prehne, tak tlačí na strednú podperu a čím silnejšia, tým väčšia deformácia. Podmienky

Rovnováha absolútne tuhého telesa v tomto prípade neumožňuje určiť reakčné sily podpier, pretože vedú k dvom rovniciam pre tri neznáme veličiny.

Ryža. 140. Reakčné sily pôsobiace na dosku ležiacu na dvoch (a) a troch (b) podperách

Takéto systémy sa nazývajú staticky neurčité. Na ich výpočet je potrebné vziať do úvahy elastické vlastnosti telies.

Uvedený príklad ukazuje, že použiteľnosť modelu absolútne tuhého telesa v statike nie je daná ani tak vlastnosťami samotného telesa, ale podmienkami, v ktorých sa nachádza. Takže v uvažovanom príklade možno aj tenkú slamku považovať za absolútne pevné teleso, ak leží na dvoch podperách. Ale ani veľmi tuhý nosník nemožno považovať za absolútne tuhé telo, ak spočíva na troch podperách.

Rovnovážne podmienky. Rovnovážne podmienky pre absolútne tuhé teleso sú špeciálnym prípadom dynamických rovníc, keď nedochádza k zrýchleniu, hoci historicky statika vznikla z potrieb stavebných zariadení takmer o dve tisícročia skôr ako dynamika. V inerciálnej vzťažnej sústave je tuhé teleso v rovnováhe, ak vektorový súčet všetkých vonkajších síl pôsobiacich na teleso a vektorový súčet momentov týchto síl je rovný nule. Keď je splnená prvá podmienka, zrýchlenie ťažiska telesa je rovné nule. Keď je splnená druhá podmienka, nedochádza k uhlovému zrýchleniu rotácie. Preto, ak bolo telo v počiatočnom momente v pokoji, zostane v pokoji aj ďalej.

V nasledujúcom texte sa obmedzíme na štúdium relatívne jednoduchých systémov, v ktorých všetky pôsobiace sily ležia v rovnakej rovine. V tomto prípade vektorová podmienka

redukuje na dva skaláre:

ak sú umiestnené osi roviny pôsobenia síl. Niektoré z vonkajších síl obsiahnutých v podmienkach rovnováhy (1) pôsobiace na teleso môžu byť dané, t.j. ich moduly a smery sú známe. Pokiaľ ide o reakčné sily väzieb alebo podpier, ktoré obmedzujú možný pohyb tela, spravidla nie sú vopred určené a samotné podliehajú určeniu. Pri absencii trenia sú reakčné sily kolmé na kontaktnú plochu telies.

Ryža. 141. Určiť smer reakčných síl

reakčné sily. Niekedy vznikajú pochybnosti pri určovaní smeru reakčnej sily väzby, ako napríklad na obr. 141, na ktorom je znázornená tyčinka spočívajúca v bode A na hladkom konkávnom povrchu pohára a v bode B na ostrom okraji pohára.

Ak chcete určiť smer reakčných síl v tomto prípade, môžete mentálne trochu pohnúť tyčou bez toho, aby ste narušili jej kontakt s pohárom. Reakčná sila bude smerovať kolmo na povrch, po ktorom sa kontaktný bod kĺže. Takže v bode A je reakčná sila pôsobiaca na tyč kolmá na povrch misky a v bode B je kolmá na tyč.

Moment sily. Moment M sily vo vzťahu k nejakému bodu

O sa nazýva vektorový súčin vektora polomeru nakresleného z O do bodu pôsobenia sily vektorom sily

Vektor M momentu sily je kolmý na rovinu, v ktorej vektory ležia

Momentová rovnica. Ak na teleso pôsobí viacero síl, potom sa druhá podmienka rovnováhy spojená s momentmi síl zapíše ako

V tomto prípade musí byť bod O, z ktorého sa vektory polomerov kreslia, zvolený spoločný pre všetky pôsobiace sily.

Pre plochú sústavu síl vektory momentov všetkých síl smerujú kolmo na rovinu, v ktorej sily ležia, ak momenty uvažujeme vzhľadom na bod ležiaci v tej istej rovine. Preto sa vektorová podmienka (4) pre momenty redukuje na jednu skalárnu: v rovnovážnej polohe je algebraický súčet momentov všetkých vonkajších pôsobiacich síl rovný nule. Modul momentu sily vzhľadom na bod O sa rovná súčinu modulu

sily vo vzdialenosti od bodu O k priamke, pozdĺž ktorej sila pôsobí.V tomto prípade momenty, ktoré majú tendenciu otáčať telo v smere hodinových ručičiek, sa berú s jedným znamienkom, proti smeru hodinových ručičiek - s opačným. Voľba bodu, ku ktorému sa berú do úvahy momenty síl, sa robí výlučne z dôvodov pohodlia: rovnica momentov bude tým jednoduchšia, čím viac síl bude mať momenty rovné nule.

Príklad bilancie. Na ilustráciu aplikácie podmienok rovnováhy pre dokonale tuhé teleso zvážte nasledujúci príklad. Ľahký rebrík sa skladá z dvoch rovnakých častí, ktoré sú hore zavesené a na základni zviazané lanom (obr. 142). Určme, aká je napínacia sila lana, akými silami interagujú polovice rebríka v závese a akými silami tlačia na podlahu, ak v strede jedného z nich stojí osoba s hmotnosťou P. .

Uvažovaný systém pozostáva z dvoch tuhých telies - rebríkových polovíc a podmienky rovnováhy možno aplikovať ako na systém ako celok, tak aj na jeho časti. Aplikovaním podmienok rovnováhy na celý systém ako celok možno nájsť reakčné sily podlahy a (obr. 142). Pri absencii trenia sú tieto sily smerované zvisle nahor a podmienka, že vektorový súčet vonkajších síl (1) je rovný nule, nadobúda tvar

Podmienka rovnováhy pre momenty vonkajších síl vzhľadom na bod A je napísaná takto:

kde - dĺžka schodov, uhol, ktorý zvierajú schody s podlahou. Riešením sústavy rovníc (5) a (6) nájdeme

Ryža. 142. Vektorový súčet vonkajších síl a súčet momentov vonkajších síl v rovnováhe je nulový.

Samozrejme, namiesto rovnice momentov (6) vzhľadom na bod A by sa dala napísať rovnica momentov vzhľadom na bod B (alebo akýkoľvek iný bod). Výsledkom by bola sústava rovníc ekvivalentná použitej sústave (5) a (6).

Napínacia sila lana a interakčná sila v závese pre uvažovaný fyzikálny systém sú vnútorné, a preto ich nemožno určiť z podmienok rovnováhy celého systému ako celku. Na určenie týchto síl je potrebné zvážiť podmienky pre rovnováhu jednotlivých častí systému. V čom

Dobrou voľbou bodu, voči ktorému sa zostavuje rovnica momentov síl, je možné dosiahnuť zjednodušenie algebraického systému rovníc. Takže napríklad v tomto systéme je možné uvažovať o rovnovážnom stave pre momenty síl pôsobiacich na ľavú polovicu rebríka vzhľadom na bod C, kde sa nachádza záves.

Pri tejto voľbe bodu C sa sily pôsobiace v závese nedostanú do tohto stavu a okamžite zistíme napínaciu silu lana T:

odkiaľ, vzhľadom na to, že dostaneme

Podmienka (7) znamená, že výslednica síl T a prechádza bodom C, t.j. smeruje po schodoch. Preto je rovnováha tejto polovice rebríka možná len vtedy, ak sila pôsobiaca na ňu v závese smeruje aj pozdĺž rebríka (obr. 143), a jej modul sa rovná modulu výsledných síl T a

Ryža. 143. Čiary pôsobenia všetkých troch síl pôsobiacich na ľavú polovicu schodiska prechádzajú jedným bodom

Absolútna hodnota sily pôsobiacej v závese na druhej polovici schodiska na základe tretieho Newtonovho zákona je rovná a jej smer je opačný ako smer vektora Smer sily by sa dal určiť priamo z obr. . 143, vzhľadom na to, že keď je teleso v rovnováhe pri pôsobení troch síl, čiary, pozdĺž ktorých tieto sily pôsobia, sa pretínajú v jednom bode. Skutočne, zvážte priesečník línií pôsobenia dvoch z týchto troch síl a zostavte rovnicu momentov okolo tohto bodu. Momenty prvých dvoch síl okolo tohto bodu sú rovné nule; preto aj moment tretej sily musí byť rovný nule, čo je podľa (3) možné len vtedy, ak čiara jej pôsobenia prechádza aj týmto bodom.

Zlaté pravidlo mechaniky. Niekedy je možné problém statiky vyriešiť bez toho, aby sme vôbec brali do úvahy rovnovážne podmienky, ale pomocou zákona zachovania energie vo vzťahu k mechanizmom bez trenia: žiadny mechanizmus neprináša zisk z práce. Tento zákon

nazývané zlaté pravidlo mechaniky. Na ilustráciu tohto prístupu uvažujme nasledujúci príklad: ťažké bremeno s hmotnosťou P je zavesené na beztiažovom závese s tromi článkami (obr. 144). Aké napätie musí udržiavať spojovacie body závitu A a B?

Ryža. 144. K určeniu napínacej sily závitu v trojčlánkovom závese nesúcom zaťaženie o hmotnosti P.

Skúsme pomocou tohto mechanizmu zdvihnúť bremeno P. Po odviazaní nite v bode A ju vytiahneme tak, aby sa bod B pomaly zdvíhal o vzdialenosť. Táto vzdialenosť je obmedzená tým, že napínacia sila nite T musí zostať nezmenená. počas pohybu. V tomto prípade, ako bude zrejmé z odpovede, sila T vôbec nezávisí od toho, ako veľmi je pánt stlačený alebo natiahnutý. Dobre odvedená práca. Výsledkom je, že zaťaženie P stúpa do výšky, ktorá sa, ako je zrejmé z geometrických úvah, rovná. Keďže pri absencii trenia nedochádza k žiadnym stratám energie, možno tvrdiť, že zmena potenciálnej energie zaťaženia sa rovná to je určené prácou vykonanou pri zdvíhaní. Takže

Je zrejmé, že pre záves obsahujúci ľubovoľný počet identických článkov,

Nie je ťažké nájsť napínaciu silu nite a v prípade, keď je potrebné vziať do úvahy hmotnosť samotného závesu, práca vykonaná pri zdvíhaní by sa mala rovnať súčtu zmien potenciálnych energií závesu. záťaž a záves. Pre záves identických článkov jeho ťažisko stúpa na Preto

Formulovaný princíp („zlaté pravidlo mechaniky“) je použiteľný aj vtedy, keď nedochádza k zmene potenciálnej energie v procese posunu a mechanizmus sa používa na transformáciu sily. Reduktory, prevody, brány, systémy pák a blokov - vo všetkých takýchto systémoch možno transformovanú silu určiť porovnaním práce transformovanej a aplikovanej sily. Inými slovami, pri absencii trenia je pomer týchto síl určený iba geometriou zariadenia.

Z tohto hľadiska zvážte vyššie uvedený príklad s rebríkom. Samozrejme, že nie je vhodné použiť rebrík ako zdvíhací mechanizmus, t. j. na zdvíhanie osoby priložením polovíc rebríka k sebe. To nám však nemôže zabrániť použiť opísanú metódu na zistenie napätia v lane. Prirovnanie vykonanej práce, keď sa časti rebríka priblížia k zmene potenciálnej energie osoby na rebríku a spojenie pohybu spodného konca rebríka so zmenou výšky nákladu z geometrických úvah (obr. . 145), dostaneme podľa očakávania výsledok uvedený vyššie:

Ako už bolo uvedené, posunutie by sa malo zvoliť tak, aby sa pôsobiaca sila mohla počas jej procesu považovať za konštantnú. Je ľahké vidieť, že v príklade so závesom táto podmienka neobmedzuje pohyb, pretože napätie závitu nezávisí od uhla (obr. 144). Na druhej strane, pri probléme s rebríkom by sa malo posunutie zvoliť malé, pretože napätie lana závisí od uhla a.

Stabilita rovnováhy. Rovnováha je stabilná, nestabilná a ľahostajná. Rovnováha je stabilná (obr. 146a), ak pri malých posunoch telesa z rovnovážnej polohy pôsobiace sily majú tendenciu vrátiť ho späť, a nestabilná (obr. 1466), ak ho sily unášajú ďalej z rovnovážnej polohy.

Ryža. 145. Pohyb spodných koncov rebríka a pohyb nákladu, keď sa polovice rebríka k sebe priblížia

Ryža. 146. Stabilná (a), nestabilná (b) a indiferentná (c) rovnováha

Ak sú pri malých posunoch sily pôsobiace na teleso a ich momenty ešte vyrovnané, potom je rovnováha indiferentná (obr. 146c). Pri indiferentnej rovnováhe sú v rovnováhe aj susedné polohy tela.

Uvažujme o príkladoch štúdia rovnovážnej stability.

1. Stabilná rovnováha zodpovedá minimálnej potenciálnej energii tela vo vzťahu k jej hodnotám v susedných polohách tela. Často je vhodné použiť túto vlastnosť pri hľadaní rovnovážnej polohy a pri štúdiu povahy rovnováhy.

Ryža. 147. Stabilita rovnováhy tela a poloha ťažiska

Vertikálny voľne stojaci stĺp je v stabilnej rovnováhe, pretože jeho ťažisko stúpa pri malých sklonoch. Deje sa tak dovtedy, kým vertikálny priemet ťažiska neprekročí podpernú oblasť, t.j. uhol odchýlky od vertikály nepresiahne určitú maximálnu hodnotu. Inými slovami, oblasť stability siaha od minima potenciálnej energie (vo vertikálnej polohe) po maximum, ktoré je k nej najbližšie (obr. 147). Keď je ťažisko umiestnené presne nad hranicou oblasti podpory, stĺp je tiež v rovnováhe, ale je nestabilný. Vodorovne ležiaci stĺp zodpovedá oveľa širšej oblasti stability.

2. Sú dve okrúhle ceruzky s polomermi a Jedna z nich je umiestnená vodorovne, druhá je na nej vyvážená vo vodorovnej polohe tak, aby osi ceruziek boli navzájom kolmé (obr. 148a). V akom pomere medzi polomermi je rovnováha stabilná? V akom maximálnom uhle sa môže horná ceruzka odkloniť od horizontály? Koeficient trenia ceruziek proti sebe sa rovná

Na prvý pohľad sa môže zdať, že rovnováha hornej ceruzky je vo všeobecnosti nestabilná, pretože ťažisko hornej ceruzky leží nad osou, okolo ktorej sa môže otáčať. Tu však poloha osi otáčania nezostáva nezmenená, takže tento prípad si vyžaduje špeciálnu štúdiu. Keďže horná ceruzka je vyvážená v horizontálnej polohe, ťažiská ceruziek ležia na tejto vertikále (obr. ).

Odchýľte hornú ceruzku pod určitým uhlom od horizontály. Pri absencii statického trenia by okamžite skĺzol. Aby sme nateraz nemysleli na prípadný sklz, budeme predpokladať, že trenie je dostatočne veľké. V tomto prípade sa horná ceruzka "kotúľa" pozdĺž spodnej bez skĺznutia. Oporný bod z polohy A sa presunie do novej polohy C a bod, v ktorom horná ceruzka spočívala na spodnej pred odchýlkou

sa presunie do polohy B. Keďže nedochádza k sklzu, dĺžka oblúka sa rovná dĺžke segmentu

Ryža. 148. Horná ceruzka je vyvážená vo vodorovnej polohe na spodnej ceruzke (a); na štúdium rovnovážnej stability (b)

Ťažisko hornej ceruzky sa presunie do polohy . Ak vertikála prechádzajúca cez nový bod otáčania C prechádza doľava, potom gravitácia má tendenciu vrátiť hornú ceruzku do jej rovnovážnej polohy.

Vyjadrime túto podmienku matematicky. Ak nakreslíme zvislú čiaru cez bod B, vidíme, že podmienka musí byť splnená

Odvtedy z podmienky (8) dostávame

Pretože gravitácia bude mať tendenciu vrátiť hornú ceruzku do rovnovážnej polohy iba pri Preto stabilná rovnováha hornej ceruzky na spodnej je možná len vtedy, keď je jej polomer menší ako polomer spodnej ceruzky.

Úloha trenia. Na zodpovedanie druhej otázky je potrebné zistiť, aké dôvody obmedzujú prípustný uhol vychýlenia. Po prvé, pri veľkých uhloch vychýlenia môže vertikála vedená cez ťažisko hornej ceruzky prejsť doprava od podperného bodu C. Z podmienky (9) je vidieť, že pre daný pomer polomerov ceruzky je max. uhol vychýlenia

Sú podmienky rovnováhy tuhého telesa vždy dostatočné na určenie reakčných síl?

Ako sa dá prakticky určiť smer reakčných síl pri absencii trenia?

Ako možno použiť zlaté pravidlo mechaniky pri analýze podmienok rovnováhy?

Ak je v závese znázornenom na obr. 144, so závitom na spojenie nie bodov A a B, ale bodov L a C, aká bude potom jeho napínacia sila?

Ako súvisí stabilita rovnováhy systému s jeho potenciálnou energiou?

Aké podmienky určujú maximálny uhol vychýlenia telesa ležiaceho na rovine v troch bodoch tak, aby sa nestratila jeho stabilita?