Prvá úroveň

Derivácia funkcie. Komplexný sprievodca (2019)

Predstavte si rovnú cestu vedúcu cez kopcovitú oblasť. To znamená, že ide hore a dole, ale nezatáča doprava ani doľava. Ak je os nasmerovaná horizontálne pozdĺž cesty a vertikálne, potom bude čiara cesty veľmi podobná grafu nejakej súvislej funkcie:

Os je určitá úroveň nulovej výšky, v živote ako to používame hladinu mora.

Po takejto ceste vpred sa pohybujeme aj nahor alebo nadol. Môžeme tiež povedať: keď sa argument zmení (pohyb pozdĺž osi x), zmení sa hodnota funkcie (pohyb pozdĺž osi y). Teraz sa zamyslime nad tým, ako určiť „strmosť“ našej cesty? Aká by mohla byť táto hodnota? Veľmi jednoduché: ako veľmi sa zmení výška pri pohybe dopredu o určitú vzdialenosť. Skutočne, na rôznych úsekoch cesty, keď sa posunieme vpred (pozdĺž úsečky) o jeden kilometer, budeme stúpať alebo klesať o iný počet metrov v porovnaní s hladinou mora (pozdĺž ordináty).

Označujeme postup vpred (čítaj "delta x").

Grécke písmeno (delta) sa bežne používa v matematike ako predpona s významom „zmena“. To je - to je zmena veľkosti, - zmena; čo je potom? Presne tak, zmena veľkosti.

Dôležité: výraz je jedna entita, jedna premenná. Nikdy by ste nemali odtrhávať "delta" od "x" alebo akéhokoľvek iného písmena! To je napríklad .

Takže sme sa posunuli vpred, horizontálne, ďalej. Ak porovnáme čiaru cesty s grafom funkcie, ako potom označíme stúpanie? Určite,. To znamená, že keď sa pohybujeme vpred, stúpame vyššie.

Je ľahké vypočítať hodnotu: ak sme na začiatku boli vo výške a po presune sme boli vo výške, potom. Ak sa ukáže, že koncový bod je nižší ako počiatočný bod, bude záporný - to znamená, že nestúpame, ale klesáme.

Späť na "strmosť": toto je hodnota, ktorá udáva, o koľko (strmé) sa výška zväčší pri pohybe dopredu na jednotku vzdialenosti:

Predpokladajme, že na niektorom úseku cesty pri postupovaní o km stúpa cesta o km. Potom je strmosť v tomto mieste rovnaká. A ak cesta pri postupe o m klesla o km? Potom je sklon rovnaký.

Teraz zvážte vrchol kopca. Ak vezmete začiatok úseku pol kilometra na vrchol a koniec - pol kilometra za ním, môžete vidieť, že výška je takmer rovnaká.

To znamená, že podľa našej logiky sa ukazuje, že sklon je tu takmer rovný nule, čo zjavne nie je pravda. Len pár kilometrov odtiaľto sa môže veľa zmeniť. Pre adekvátnejší a presnejší odhad strmosti je potrebné zvážiť menšie plochy. Ak napríklad zmeriate zmenu výšky pri pohybe o jeden meter, výsledok bude oveľa presnejší. Ale ani táto presnosť nám nemusí stačiť – veď ak je v strede cesty stĺp, môžeme sa cez neho jednoducho prešmyknúť. Akú vzdialenosť by sme teda mali zvoliť? Centimeter? Milimeter? Menej je lepšie!

V reálnom živote je meranie vzdialenosti s presnosťou na milimeter viac než dostatočné. Ale matematici sa vždy snažia o dokonalosť. Preto bol koncept nekonečne malý, to znamená, že hodnota modulo je menšia ako akékoľvek číslo, ktoré vieme pomenovať. Napríklad poviete: jeden bilión! O koľko menej? A toto číslo vydelíte - a bude ešte menej. A tak ďalej. Ak chceme napísať, že hodnota je nekonečne malá, napíšeme takto: (čítame „x inklinuje k nule“). Je veľmi dôležité pochopiť že toto číslo sa nerovná nule! Ale veľmi blízko k tomu. To znamená, že sa dá rozdeliť na.

Pojem opačný k nekonečne malému je nekonečne veľký (). Pravdepodobne ste sa s tým už stretli, keď ste pracovali na nerovnostiach: toto číslo je v module väčšie ako akékoľvek číslo, ktoré si dokážete predstaviť. Ak vám vyjde čo najväčšie číslo, stačí ho vynásobiť dvomi a dostanete ešte viac. A nekonečno je ešte viac ako to, čo sa deje. V skutočnosti sú nekonečne veľké a nekonečne malé navzájom inverzné, teda at, a naopak: at.

Teraz späť k našej ceste. Ideálne vypočítaný sklon je sklon vypočítaný pre nekonečne malý úsek cesty, to znamená:

Podotýkam, že pri nekonečne malom posunutí bude aj zmena výšky nekonečne malá. Ale pripomínam, že nekonečne malý neznamená rovný nule. Ak medzi sebou delíte nekonečne malé čísla, dostanete napríklad úplne obyčajné číslo. To znamená, že jedna malá hodnota môže byť presne dvakrát väčšia ako druhá.

Prečo toto všetko? Cesta, strmosť ... Nejdeme na rely, ale učíme sa matematiku. A v matematike je všetko úplne rovnaké, len sa inak volá.

Pojem derivát

Derivácia funkcie je pomer prírastku funkcie k prírastku argumentu pri infinitezimálnom prírastku argumentu.

Prírastok v matematike sa nazýva zmena. Ako veľmi sa zmenil argument () pri pohybe pozdĺž osi, sa nazýva prírastok argumentov a označuje sa ako veľmi sa zmenila funkcia (výška) pri pohybe vpred pozdĺž osi o vzdialenosť tzv. prírastok funkcie a je označený.

Derivácia funkcie je teda vzťah k tomu, kedy. Deriváciu označujeme rovnakým písmenom ako funkciu, len ťahom vpravo hore: alebo jednoducho. Takže napíšme odvodený vzorec pomocou týchto zápisov:

Rovnako ako v analógii s cestou, aj tu, keď sa funkcia zvyšuje, derivácia je kladná, a keď klesá, je záporná.

Ale rovná sa derivácia nule? určite. Napríklad, ak ideme po rovnej vodorovnej ceste, strmosť je nulová. V skutočnosti sa výška vôbec nemení. Takže s deriváciou: derivácia konštantnej funkcie (konštanta) sa rovná nule:

keďže prírastok takejto funkcie je nulový pre ľubovoľnú.

Vezmime si príklad z kopca. Ukázalo sa, že je možné usporiadať konce segmentu na opačných stranách vrcholu tak, aby výška na koncoch bola rovnaká, to znamená, že segment bol rovnobežný s osou:

Ale veľké segmenty sú znakom nepresného merania. Zdvihneme náš segment nahor rovnobežne so sebou, potom sa jeho dĺžka zníži.

Nakoniec, keď sme nekonečne blízko vrcholu, dĺžka segmentu bude nekonečne malá. Zároveň však zostal rovnobežný s osou, to znamená, že výškový rozdiel na jej koncoch sa rovná nule (nemá tendenciu, ale je rovný). Takže derivát

Dá sa to chápať takto: keď stojíme na samom vrchole, malý posun doľava alebo doprava zmení našu výšku zanedbateľne.

Existuje aj čisto algebraické vysvetlenie: vľavo od vrchu sa funkcia zvyšuje a vpravo klesá. Ako sme už skôr zistili, keď funkcia rastie, derivácia je kladná, a keď klesá, je záporná. Mení sa ale plynulo, bez skokov (pretože cesta nikde prudko nemení sklon). Preto musia existovať záporné a kladné hodnoty. Bude to tam, kde sa funkcia ani nezväčšuje, ani neznižuje – v bode vrcholu.

To isté platí pre údolie (oblasť, kde funkcia vľavo klesá a vpravo rastie):

Trochu viac o prírastkoch.

Takže zmeníme argument na hodnotu. Z akej hodnoty sa meníme? Čím sa stal (argument) teraz? Môžeme si vybrať ľubovoľný bod a teraz z neho budeme tancovať.

Zvážte bod so súradnicou. Hodnota funkcie v ňom je rovnaká. Potom urobíme rovnaký prírastok: zvýšime súradnicu o. Aký je teraz argument? Veľmi ľahké: . Akú hodnotu má funkcia teraz? Kam ide argument, tam ide funkcia: . A čo prírastok funkcie? Nič nové: toto je stále suma, o ktorú sa funkcia zmenila:

Precvičte si nájdenie prírastkov:

1. Nájdite prírastok funkcie v bode s prírastkom argumentu rovným.
2. To isté pre funkciu v bode.

Riešenia:

V rôznych bodoch, s rovnakým prírastkom argumentu, bude prírastok funkcie odlišný. To znamená, že derivácia v každom bode má svoj vlastný (to sme rozoberali úplne na začiatku – strmosť cesty v rôznych bodoch je rôzna). Preto, keď píšeme derivát, musíme uviesť, v ktorom bode:

Funkcia napájania.

Mocninná funkcia sa nazýva funkcia, kde je argument do určitej miery (logický, však?).

A - v akomkoľvek rozsahu: .

Najjednoduchší prípad je, keď je exponent:

Nájdite jeho derivát v bode. Pamätajte na definíciu derivátu:

Takže argument sa mení z na. Aký je prírastok funkcie?

Prírastok je. Ale funkcia v ktoromkoľvek bode sa rovná jej argumentu. Preto:

Derivát je:

Derivát je:

b) Teraz zvážte kvadratickú funkciu (): .

Teraz si to pripomeňme. To znamená, že hodnotu prírastku možno zanedbať, pretože je nekonečne malá, a preto na pozadí iného výrazu nevýznamná:

Takže máme ďalšie pravidlo:

c) Pokračujeme v logickom rade: .

Tento výraz je možné zjednodušiť rôznymi spôsobmi: otvorte prvú zátvorku pomocou vzorca na skrátené násobenie kocky súčtu alebo celý výraz rozložte na faktory pomocou vzorca pre rozdiel kociek. Skúste to urobiť sami niektorým z navrhovaných spôsobov.

Takže som dostal nasledovné:

A pripomeňme si to ešte raz. To znamená, že môžeme zanedbať všetky výrazy obsahujúce:

Dostaneme: .

d) Podobné pravidlá možno získať pre veľké právomoci:

e) Ukazuje sa, že toto pravidlo možno zovšeobecniť pre mocninnú funkciu s ľubovoľným exponentom, dokonca ani nie celým číslom:

(2)

Pravidlo môžete formulovať slovami: „stupeň sa posunie dopredu ako koeficient a potom sa zníži o“.

Toto pravidlo si preukážeme neskôr (takmer na samom konci). Teraz sa pozrime na niekoľko príkladov. Nájdite deriváciu funkcií:

1. (dvoma spôsobmi: vzorcom a pomocou definície derivácie - počítaním prírastku funkcie);

1. . Verte či nie, toto je mocenská funkcia. Ak máte otázky typu „Ako sa máš? A kde je titul? “, Pamätajte na tému„ “!
   Áno, áno, koreň je tiež stupeň, len zlomkový:.
   Takže naša druhá odmocnina je len mocnina s exponentom:
   .
   Hľadáme derivát pomocou nedávno naučeného vzorca:

   Ak to v tomto bode bude opäť nejasné, zopakujte tému "" !!! (asi stupeň so záporným ukazovateľom)

2. . Teraz exponent:

   A teraz cez definíciu (ešte ste zabudli?):
   ;
   .
   Teraz, ako obvykle, zanedbávame výraz obsahujúci:
   .

3. . Kombinácia predchádzajúcich prípadov: .

goniometrické funkcie.

Tu použijeme jeden fakt z vyššej matematiky:

Keď výraz.

Dôkaz sa naučíte v prvom ročníku inštitútu (a aby ste sa tam dostali, musíte dobre zložiť skúšku). Teraz to ukážem graficky:

Vidíme, že keď funkcia neexistuje - bod na grafe je prerazený. Ale čím bližšie k hodnote, tým bližšie je funkcia.

Toto pravidlo môžete navyše skontrolovať pomocou kalkulačky. Áno, áno, nehanbite sa, vezmite si kalkulačku, ešte nie sme na skúške.

Tak skúsme: ;

Nezabudnite prepnúť kalkulačku do režimu Radians!

atď. Vidíme, že čím je menší, tým je hodnota pomeru bližšie.

a) Uvažujme funkciu. Ako obvykle nájdeme jeho prírastok:

Premeňme rozdiel sínusov na produkt. Na tento účel používame vzorec (zapamätajte si tému ""):.

Teraz derivát:

Urobme náhradu: . Potom je pre nekonečne malý aj nekonečne malý: . Výraz pre má tvar:

A teraz si to pamätáme s výrazom. A tiež, čo ak sa dá v súčte (teda at) zanedbať nekonečne malá hodnota.

Takže dostaneme nasledujúce pravidlo: derivácia sínusu sa rovná kosínusu:

Ide o základné („tabuľkové“) deriváty. Tu sú v jednom zozname:

Neskôr k nim pridáme niekoľko ďalších, no tieto sú najdôležitejšie, keďže sa používajú najčastejšie.

Cvičenie:

1. Nájdite deriváciu funkcie v bode;
2. Nájdite deriváciu funkcie.

Riešenia:

1. Najprv nájdeme derivát vo všeobecnom tvare a potom namiesto neho dosadíme jeho hodnotu:
   ;
   .
2. Tu máme niečo podobné ako výkonová funkcia. Skúsme ju priviesť
   normálny pohľad:
   .
   Dobre, teraz môžete použiť vzorec:
   .
   .
3. . Eeeeeee.... Čo to je????

Dobre, máte pravdu, stále nevieme, ako takéto deriváty nájsť. Tu máme kombináciu niekoľkých typov funkcií. Ak chcete s nimi pracovať, musíte sa naučiť niekoľko ďalších pravidiel:

Exponent a prirodzený logaritmus.

V matematike existuje taká funkcia, ktorej derivácia pre ľubovoľnú sa rovná hodnote samotnej funkcie pre to isté. Nazýva sa „exponent“ a je to exponenciálna funkcia

Základom tejto funkcie – konštanta – je nekonečný desatinný zlomok, teda iracionálne číslo (ako napr.). Nazýva sa „Eulerovo číslo“, preto sa označuje písmenom.

Pravidlo teda znie:

Je veľmi ľahké si to zapamätať.

No nepôjdeme ďaleko, hneď zvážime inverznú funkciu. Čo je inverzná funkcia exponenciálnej funkcie? Logaritmus:

V našom prípade je základom číslo:

Takýto logaritmus (teda logaritmus so základom) sa nazýva „prirodzený“ a používame preň špeciálny zápis: namiesto toho píšeme.

čo sa rovná? Samozrejme, .

Derivácia prirodzeného logaritmu je tiež veľmi jednoduchá:

Príklady:

1. Nájdite deriváciu funkcie.
2. Aká je derivácia funkcie?

Odpovede: Exponent a prirodzený logaritmus sú funkcie, ktoré sú z hľadiska derivácie jedinečne jednoduché. Exponenciálne a logaritmické funkcie s akoukoľvek inou bázou budú mať inú deriváciu, ktorú budeme analyzovať neskôr, keď si prejdeme pravidlá diferenciácie.

Pravidlá diferenciácie

aké pravidlá? Opäť nový termín?!...

Diferenciácia je proces hľadania derivátu.

Len a všetko. Aké je iné slovo pre tento proces? Nie proizvodnovanie... Diferenciál matematiky sa nazýva samotný prírastok funkcie at. Tento výraz pochádza z latinského differentia – rozdiel. Tu.

Pri odvodzovaní všetkých týchto pravidiel použijeme dve funkcie, napríklad a. Budeme tiež potrebovať vzorce pre ich prírastky:

Celkovo existuje 5 pravidiel.

Konštanta je vyňatá zo znamienka derivácie.

Ak - nejaké konštantné číslo (konštanta), potom.

Je zrejmé, že toto pravidlo funguje aj pre rozdiel: .

Poďme to dokázať. Nechajte, alebo jednoduchšie.

Príklady.

Nájdite deriváty funkcií:

1. v bode;
2. v bode;
3. v bode;
4. v bode.

Riešenia:

1. (derivácia je vo všetkých bodoch rovnaká, keďže je to lineárna funkcia, pamätáte?);

Derivát produktu

Všetko je tu podobné: predstavujeme novú funkciu a nájdeme jej prírastok:

odvodený:

Príklady:

1. Nájdite deriváty funkcií a;
2. Nájdite deriváciu funkcie v bode.

Riešenia:

Derivácia exponenciálnej funkcie

Teraz sú vaše znalosti dostatočné na to, aby ste sa naučili nájsť deriváciu akejkoľvek exponenciálnej funkcie, a nielen exponentu (zabudli ste už, čo to je?).

Tak kde je nejaké číslo.

Deriváciu funkcie už poznáme, takže skúsme preniesť našu funkciu na nový základ:

Na to používame jednoduché pravidlo: . potom:

No podarilo sa. Teraz skúste nájsť deriváciu a nezabudnite, že táto funkcia je zložitá.

Stalo?

Tu sa presvedčte:

Ukázalo sa, že vzorec je veľmi podobný derivátu exponentu: ako to bolo, zostalo, objavil sa iba faktor, ktorý je len číslom, ale nie premennou.

Príklady:
Nájdite deriváty funkcií:

Odpovede:

Toto je len číslo, ktoré sa nedá vypočítať bez kalkulačky, teda nedá sa napísať v jednoduchšej forme. Preto je v odpovedi ponechaná v tejto podobe.

Derivácia logaritmickej funkcie

Tu je to podobné: deriváciu prirodzeného logaritmu už poznáte:

Preto nájsť ľubovoľný z logaritmu s iným základom, napríklad:

Tento logaritmus musíme preniesť na základňu. Ako zmeníte základ logaritmu? Dúfam, že si pamätáte tento vzorec:

Len teraz namiesto napíšeme:

Ukázalo sa, že menovateľ je len konštanta (stále číslo, bez premennej). Derivát je veľmi jednoduchý:

Deriváty exponenciálnych a logaritmických funkcií sa v skúške takmer nikdy nenachádzajú, ale nebude zbytočné ich poznať.

Derivácia komplexnej funkcie.

Čo je to „komplexná funkcia“? Nie, toto nie je logaritmus ani arkus tangens. Tieto funkcie môžu byť ťažko pochopiteľné (hoci ak sa vám logaritmus zdá ťažký, prečítajte si tému „Logaritmy“ a všetko bude fungovať), ale z hľadiska matematiky slovo „zložitý“ neznamená „ťažký“.

Predstavte si malý dopravník: dvaja ľudia sedia a robia nejaké akcie s nejakými predmetmi. Napríklad prvý zabalí čokoládovú tyčinku do obalu a druhý ju previaže stuhou. Ukazuje sa taký zložený objekt: čokoládová tyčinka zabalená a zviazaná stuhou. Ak chcete jesť čokoládovú tyčinku, musíte urobiť opačné kroky v opačnom poradí.

Vytvorme podobný matematický reťazec: najprv nájdeme kosínus čísla a potom výsledné číslo odmocníme. Takže nám dajú číslo (čokoládu), ja nájdem jeho kosínus (obal) a potom zarovnáte, čo som dostal (previažte to stuhou). Čo sa stalo? Funkcia. Toto je príklad komplexnej funkcie: keď, aby sme našli jej hodnotu, vykonáme prvú akciu priamo s premennou a potom ďalšiu druhú akciu s tým, čo sa stalo ako výsledok prvej.

Môžeme urobiť tie isté akcie v opačnom poradí: najprv odmocni a potom hľadám kosínus výsledného čísla:. Je ľahké uhádnuť, že výsledok bude takmer vždy iný. Dôležitá vlastnosť komplexných funkcií: keď sa zmení poradie akcií, funkcia sa zmení.

Inými slovami, Komplexná funkcia je funkcia, ktorej argumentom je iná funkcia: .

Pre prvý príklad, .

Druhý príklad: (rovnaký). .

Posledná akcia, ktorú vykonáme, bude tzv „vonkajšiu“ funkciu, a úkon vykonaný ako prvý – resp „vnútorná“ funkcia(sú to neformálne názvy, používam ich len na vysvetlenie látky jednoduchým jazykom).

Skúste sami určiť, ktorá funkcia je vonkajšia a ktorá vnútorná:

Odpovede: Oddelenie vnútorných a vonkajších funkcií je veľmi podobné zmene premenných: napríklad vo funkcii

1. Aké kroky podnikneme ako prvé? Najprv vypočítame sínus a až potom ho zdvihneme na kocku. Ide teda o vnútornú funkciu, nie vonkajšiu.
   A pôvodnou funkciou je ich zloženie: .
2. Vnútorné: ; vonkajší: .
   Vyšetrenie: .
3. Vnútorné: ; vonkajší: .
   Vyšetrenie: .
4. Vnútorné: ; vonkajší: .
   Vyšetrenie: .
5. Vnútorné: ; vonkajší: .
   Vyšetrenie: .

zmeníme premenné a dostaneme funkciu.

Teraz vytiahneme našu čokoládu - hľadajte derivát. Postup je vždy opačný: najprv hľadáme deriváciu vonkajšej funkcie, potom výsledok vynásobíme deriváciou vnútornej funkcie. Pre pôvodný príklad to vyzerá takto:

Ďalší príklad:

Takže konečne sformulujme oficiálne pravidlo:

Algoritmus na nájdenie derivácie komplexnej funkcie:

Všetko sa zdá byť jednoduché, však?

Pozrime sa na príklady:

Riešenia:

1) Interné: ;

Vonkajšie: ;

2) Interné: ;

(len sa teraz nepokúšajte znížiť! Spod kosínusu sa nič nevyberá, pamätáte?)

3) Interné: ;

Vonkajšie: ;

Okamžite je jasné, že tu existuje trojúrovňová komplexná funkcia: koniec koncov, toto je už sama o sebe komplexná funkcia a stále z nej extrahujeme koreň, to znamená, že vykonávame tretiu akciu (vložiť čokoládu do obalu a so stuhou v kufríku). Nie je však dôvod na strach: každopádne túto funkciu „rozbalíme“ v rovnakom poradí ako obvykle: od konca.

To znamená, že najprv diferencujeme koreň, potom kosínus a až potom výraz v zátvorkách. A potom to všetko vynásobíme.

V takýchto prípadoch je vhodné akcie očíslovať. To znamená, predstavme si, čo vieme. V akom poradí vykonáme akcie na výpočet hodnoty tohto výrazu? Pozrime sa na príklad:

Čím neskôr sa akcia vykoná, tým „externejšia“ bude príslušná funkcia. Postupnosť akcií - ako predtým:

Tu je hniezdenie vo všeobecnosti 4-úrovňové. Stanovme si postup.

1. Radikálne vyjadrenie. .

2. Koreň. .

3. Sínus. .

4. Štvorec. .

5. Daj to všetko dokopy:

DERIVÁT. STRUČNE O HLAVNOM

Derivácia funkcie- pomer prírastku funkcie k prírastku argumentu s nekonečne malým prírastkom argumentu:

Základné deriváty:

Pravidlá diferenciácie:

Konštanta je vyňatá zo znamienka derivácie:

Derivát súčtu:

odvodený produkt:

Derivát kvocientu:

Derivácia komplexnej funkcie:

Algoritmus na nájdenie derivácie komplexnej funkcie:

1. Definujeme „internú“ funkciu, nájdeme jej deriváciu.
2. Definujeme „vonkajšiu“ funkciu, nájdeme jej deriváciu.
3. Výsledky prvého a druhého bodu vynásobíme.

Výpočet derivácie je jednou z najdôležitejších operácií v diferenciálnom počte. Nižšie je uvedená tabuľka na nájdenie derivátov jednoduchých funkcií. Pre komplexnejšie pravidlá diferenciácie si pozrite ďalšie lekcie:

• Tabuľka derivácií exponenciálnych a logaritmických funkcií

Použite uvedené vzorce ako referenčné hodnoty. Pomôžu pri riešení diferenciálnych rovníc a úloh. Na obrázku je v tabuľke derivátov jednoduchých funkcií „cheat sheet“ hlavných prípadov nájdenia derivátu v podobe zrozumiteľnej pre použitie, vedľa sú vysvetlivky ku každému prípadu.

Deriváty jednoduchých funkcií

1. Derivácia čísla je nula
с' = 0
Príklad:
5' = 0

Vysvetlenie:
Derivácia ukazuje rýchlosť, akou sa mení hodnota funkcie pri zmene argumentu. Keďže sa číslo za žiadnych podmienok nijako nemení, rýchlosť jeho zmeny je vždy nulová.

2. Derivát premennej rovný jednej
x' = 1

Vysvetlenie:
S každým zvýšením argumentu (x) o jeden sa hodnota funkcie (výsledok výpočtu) zvýši o rovnakú hodnotu. Rýchlosť zmeny hodnoty funkcie y = x sa teda presne rovná rýchlosti zmeny hodnoty argumentu.

3. Derivácia premennej a faktora sa rovná tomuto faktoru
сx´ = с
Príklad:
(3x)' = 3
(2x)' = 2
Vysvetlenie:
V tomto prípade zakaždým argument funkcie ( X) jeho hodnota (y) rastie v s raz. Rýchlosť zmeny hodnoty funkcie vzhľadom na rýchlosť zmeny argumentu sa teda presne rovná hodnote s.

Odkiaľ z toho vyplýva
(cx + b)" = c
to znamená, že diferenciál lineárnej funkcie y=kx+b sa rovná sklonu priamky (k).

4. Modulová derivácia premennej sa rovná podielu tejto premennej k jej modulu
|x|"= x / |x| za predpokladu, že x ≠ 0
Vysvetlenie:
Keďže derivácia premennej (pozri vzorec 2) je rovná jednej, derivácia modulu sa líši len tým, že hodnota rýchlosti zmeny funkcie sa pri prekročení počiatočného bodu zmení na opačnú (skúste nakresliť graf funkcie y = |x| a presvedčte sa sami. Toto je presne hodnota a vráti výraz x / |x| Keď x< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - jedna. To znamená, že pri záporných hodnotách premennej x sa pri každom zvýšení zmeny v argumente hodnota funkcie znižuje presne o rovnakú hodnotu a pri kladných hodnotách naopak rastie, ale presne o rovnakú hodnotu.

5. Mocninná derivácia premennej sa rovná súčinu počtu tejto mocniny a premennej v mocnine, zníženej o jednu
(x c)"= cx c-1 za predpokladu, že x c ​​a cx c-1 sú definované a c ≠ 0
Príklad:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
Na zapamätanie vzorca:
Vezmite exponent premennej "nadol" ako násobiteľ a potom znížte samotný exponent o jeden. Napríklad pre x 2 - dva boli pred x a potom nám znížený výkon (2-1 = 1) dal 2x. To isté sa stalo pre x 3 - trojku znížime, zmenšíme o jednotku a namiesto kocky máme štvorec, teda 3x 2 . Trochu "nevedecké", ale veľmi ľahko zapamätateľné.

6.Derivát frakcie 1/x
(1/x)" = - 1 / x 2
Príklad:
Pretože zlomok môže byť reprezentovaný ako zvýšenie na zápornú mocninu
(1/x)" = (x -1)", potom môžete použiť vzorec z pravidla 5 v tabuľke derivátov
(x -1)" = -1x -2 = -1 / x 2

7. Derivát frakcie s premennou ľubovoľného stupňa v menovateli
(1/x c)" = - c / x c + 1
Príklad:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3

8. koreňový derivát(derivát premennej pod druhou odmocninou)
(√x)" = 1 / (2√x) alebo 1/2 x -1/2
Príklad:
(√x)" = (x 1/2)", takže môžete použiť vzorec z pravidla 5
(x 1/2)" \u003d 1/2 x -1/2 \u003d 1 / (2√x)

9. Derivácia premennej pod odmocninou ľubovoľného stupňa
(n √ x)" = 1 / (n n √ x n-1)

Ak budeme postupovať podľa definície, potom derivácia funkcie v bode je limita pomeru prírastku funkcie Δ r na prírastok argumentu Δ X:

Zdá sa, že všetko je jasné. Ale skúste vypočítať podľa tohto vzorca, povedzme, deriváciu funkcie f(X) = X 2 + (2X+ 3) · e X hriech X. Ak robíte všetko podľa definície, potom po niekoľkých stránkach výpočtov jednoducho zaspíte. Preto existujú jednoduchšie a efektívnejšie spôsoby.

Na začiatok si všimneme, že takzvané elementárne funkcie možno odlíšiť od celej škály funkcií. Ide o pomerne jednoduché výrazy, ktorých deriváty sú už dávno vypočítané a zapísané do tabuľky. Takéto funkcie sa dajú ľahko zapamätať spolu s ich derivátmi.

Deriváty elementárnych funkcií

Všetky základné funkcie sú uvedené nižšie. Deriváty týchto funkcií musia byť známe naspamäť. Navyše nie je ťažké si ich zapamätať – preto sú elementárne.

Takže deriváty elementárnych funkcií:

názov	Funkcia	Derivát
Neustále	f(X) = C, C ∈ R	0 (áno, áno, nula!)
Stupeň s racionálnym exponentom	f(X) = X n	n · X n − 1
Sinus	f(X) = hriech X	cos X
Kosínus	f(X) = cos X	− hriech X(mínus sinus)
Tangenta	f(X) = tg X	1/cos 2 X
Kotangens	f(X) = ctg X	− 1/sin2 X
prirodzený logaritmus	f(X) = log X	1/X
Ľubovoľný logaritmus	f(X) = log a X	1/(X ln a)
Exponenciálna funkcia	f(X) = e X	e X(nič sa nezmenilo)

Ak sa elementárna funkcia vynásobí ľubovoľnou konštantou, potom sa derivácia novej funkcie tiež ľahko vypočíta:

(C · f)’ = C · f ’.

Vo všeobecnosti možno zo znamienka derivácie vyňať konštanty. Napríklad:

(2X 3)' = 2 ( X 3) = 2 3 X 2 = 6X 2 .

Je zrejmé, že elementárne funkcie možno navzájom sčítať, násobiť, deliť a mnoho ďalšieho. Takto sa objavia nové funkcie, už nie veľmi elementárne, ale aj diferencovateľné podľa určitých pravidiel. Tieto pravidlá sú uvedené nižšie.

Derivácia súčtu a rozdielu

Nechajte funkcie f(X) A g(X), ktorých deriváty sú nám známe. Môžete si napríklad vziať základné funkcie diskutované vyššie. Potom môžete nájsť deriváciu súčtu a rozdielu týchto funkcií:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Takže derivácia súčtu (rozdielu) dvoch funkcií sa rovná súčtu (rozdielu) derivácií. Termínov môže byť viac. Napríklad, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Presne povedané, v algebre neexistuje koncept „odčítania“. Existuje pojem „negatívny prvok“. Preto ten rozdiel f − g možno prepísať ako súčet f+ (-1) g, a potom zostane len jeden vzorec - derivácia súčtu.

f(X) = X 2 + sinx; g(X) = X 4 + 2X 2 − 3.

Funkcia f(X) je súčet dvoch základných funkcií, takže:

f ’(X) = (X 2+ hriech X)’ = (X 2) + (hriech X)’ = 2X+ cosx;

Podobne argumentujeme aj pri funkcii g(X). Len už existujú tri pojmy (z hľadiska algebry):

g ’(X) = (X 4 + 2X 2 − 3)’ = (X 4 + 2X 2 + (−3))’ = (X 4)’ + (2X 2)’ + (−3)’ = 4X 3 + 4X + 0 = 4X · ( X 2 + 1).

odpoveď:
f ’(X) = 2X+ cosx;
g ’(X) = 4X · ( X 2 + 1).

Derivát produktu

Matematika je logická veda, takže veľa ľudí verí, že ak sa derivácia súčtu rovná súčtu derivácií, potom derivácia súčinu štrajk"\u003e sa rovná súčinu derivátov. Ale pre vás! Derivát súčinu sa vypočíta pomocou úplne iného vzorca. Konkrétne:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Vzorec je jednoduchý, ale často zabudnutý. A to nielen školákov, ale aj študentov. Výsledkom sú nesprávne vyriešené problémy.

Úloha. Nájdite deriváty funkcií: f(X) = X 3 cosx; g(X) = (X 2 + 7X− 7) · e X .

Funkcia f(X) je produktom dvoch základných funkcií, takže všetko je jednoduché:

f ’(X) = (X 3 kos X)’ = (X 3)' cos X + X 3 (kos X)’ = 3X 2 kos X + X 3 (- hriech X) = X 2 (3 cos X − X hriech X)

Funkcia g(X) prvý multiplikátor je trochu komplikovanejší, ale všeobecná schéma sa od toho nemení. Je zrejmé, že prvý multiplikátor funkcie g(X) je polynóm a jeho derivácia je deriváciou súčtu. Máme:

g ’(X) = ((X 2 + 7X− 7) · e X)’ = (X 2 + 7X− 7)' · e X + (X 2 + 7X− 7) ( e X)’ = (2X+ 7) · e X + (X 2 + 7X− 7) · e X = e X(2 X + 7 + X 2 + 7X −7) = (X 2 + 9X) · e X = X(X+ 9) · e X .

odpoveď:
f ’(X) = X 2 (3 cos X − X hriech X);
g ’(X) = X(X+ 9) · e X .

Všimnite si, že v poslednom kroku sa derivácia faktorizuje. Formálne to nie je potrebné, ale väčšina derivátov sa nevypočítava sama o sebe, ale na preskúmanie funkcie. To znamená, že derivácia sa bude ďalej rovnať nule, zistia sa jej znamienka atď. Pre takýto prípad je lepšie mať výraz rozložený na faktory.

Ak existujú dve funkcie f(X) A g(X), a g(X) ≠ 0 na množine, ktorá nás zaujíma, môžeme definovať novú funkciu h(X) = f(X)/g(X). Pre takúto funkciu môžete nájsť aj deriváciu:

Nie slabé, však? Kde sa vzalo mínus? Prečo? g 2? A takto! Toto je jeden z najkomplexnejších vzorcov - bez fľaše to nezistíte. Preto je lepšie si to naštudovať na konkrétnych príkladoch.

Úloha. Nájdite deriváty funkcií:

V čitateli a menovateli každého zlomku sú elementárne funkcie, takže všetko, čo potrebujeme, je vzorec pre deriváciu kvocientu:

Podľa tradície započítavame čitateľa do faktorov - to výrazne zjednoduší odpoveď:

Komplexná funkcia nie je nevyhnutne vzorec dlhý pol kilometra. Napríklad stačí prevziať funkciu f(X) = hriech X a nahradiť premennú X povedzme ďalej X 2+ln X. Ukázalo sa f(X) = hriech ( X 2+ln X) je komplexná funkcia. Má tiež derivát, ale nebude fungovať nájsť ho podľa vyššie uvedených pravidiel.

Ako byť? V takýchto prípadoch pomôže nahradenie premennej a vzorec pre deriváciu komplexnej funkcie:

f ’(X) = f ’(t) · t', Ak X sa nahrádza t(X).

Spravidla je situácia s chápaním tohto vzorca ešte smutnejšia ako s deriváciou kvocientu. Preto je tiež lepšie vysvetliť to na konkrétnych príkladoch, s podrobným popisom každého kroku.

Úloha. Nájdite deriváty funkcií: f(X) = e 2X + 3 ; g(X) = hriech ( X 2+ln X)

Všimnite si, že ak vo funkcii f(X) namiesto výrazu 2 X+ 3 bude ľahké X, potom dostaneme elementárnu funkciu f(X) = e X. Preto urobíme substitúciu: nech 2 X + 3 = t, f(X) = f(t) = e t. Hľadáme deriváciu komplexnej funkcie podľa vzorca:

f ’(X) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

A teraz - pozor! Vykonanie spätnej substitúcie: t = 2X+ 3. Dostaneme:

f ’(X) = e t · t ’ = e 2X+ 3 (2 X + 3)’ = e 2X+ 3 2 = 2 e 2X + 3

Teraz sa pozrime na funkciu g(X). Očividne treba vymeniť. X 2+ln X = t. Máme:

g ’(X) = g ’(t) · t' = (hriech t)’ · t' = cos t · t ’

Spätná výmena: t = X 2+ln X. potom:

g ’(X) = cos ( X 2+ln X) · ( X 2+ln X)' = cos ( X 2+ln X) · (2 X + 1/X).

To je všetko! Ako vidno z posledného výrazu, celý problém sa zredukoval na výpočet derivácie súčtu.

odpoveď:
f ’(X) = 2 e 2X + 3 ;
g ’(X) = (2X + 1/X) čos( X 2+ln X).

Veľmi často na svojich hodinách namiesto výrazu „derivát“ používam slovo „mŕtvica“. Napríklad zdvih súčtu sa rovná súčtu zdvihov. Je to jasnejšie? No to je dobre.

Výpočet derivátu teda vedie k zbaveniu sa práve týchto ťahov podľa vyššie uvedených pravidiel. Ako posledný príklad sa vráťme k derivačnej mocnine s racionálnym exponentom:

(X n)’ = n · X n − 1

Málokto to vie v úlohe n môže byť aj zlomkové číslo. Napríklad koreň je X 0,5. Ale čo ak je pod koreňom niečo zložité? Opäť sa ukáže komplexná funkcia - radi dávajú takéto konštrukcie v testoch a skúškach.

Úloha. Nájdite deriváciu funkcie:

Najprv prepíšme odmocninu s racionálnym exponentom:

f(X) = (X 2 + 8X − 7) 0,5 .

Teraz urobíme náhradu: nech X 2 + 8X − 7 = t. Deriváciu nájdeme podľa vzorca:

f ’(X) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)' t' = 0,5 t−0,5 t ’.

Urobíme opačnú substitúciu: t = X 2 + 8X− 7. Máme:

f ’(X) = 0,5 ( X 2 + 8X− 7) −0,5 ( X 2 + 8X− 7)' = 0,5 (2 X+ 8) ( X 2 + 8X − 7) −0,5 .

Nakoniec späť ku koreňom:

1- Derivácia, význam v rôznych úlohách a vlastnostiach

1.1. Pojem derivát

Nechajte funkciu pri– f(X) definované na intervale D. Vezmite nejakú hodnotu X0 D a zvážte prírastok ∆ X: x0 +∆x D. Ak existuje limit na pomer zmeny (prírastku) funkcie k zodpovedajúcemu prírastku argumentu, keď ten má tendenciu Komu nula, potom sa volá derivačná funkcia pri= f(X) v bode x = x0:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image003_45.jpg" width="331" height="39 src=">

Proces hľadania derivátov je tzv diferenciácie .

Ak f"(X) je konečný pre každého X D, potom funkciu pri= f(X) volal diferencovateľné V D. Presná formulácia diferencovateľnosti funkcie a kritérium diferencovateľnosti funkcie bude uvedené v časti 1.5.

Pomocou definície derivácie získame niektoré pravidlá diferenciácie a derivácie hlavných elementárnych funkcií, ktoré následne zhrnieme do tabuliek.

10. Derivácia konštanty je nula:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image006_35.jpg" width="236" height="27">

naozaj,

najmä

30 . Pre funkciu y = x2 derivát y' = 2x.

Na odvodenie tohto vzorca nájdeme prírastok funkcie:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image011_23.jpg" width="72" height="35">.jpg" width="104 height=33" height="33">Pomocou vzorec binomický Newton, možno ukázať, že pre mocninovú funkciu

1.2. Koncept jednostranného derivátu

V základoch počtu pre funkciu pri=f x) zaviedli sa pojmy ľavého a pravého limitu v určitom bode A:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image015_18.jpg" width="358" height="37 src=">

pravostranný derivát -

Pripomeňme si, že pre existenciu konečnej limity funkcie pri= f(X) v bode x = a je potrebné a postačujúce, aby ľavá a pravá hranica funkcie v tomto bode bola konečná a rovnaká:

(X - 0) = f’(X + 0).

1.3. Koncept derivátov vyššieho rádu

Nechajte pre funkciu pri= f(X) definované na súprave D, existuje derivát v"= f"(X) pri každom X D,T. e. derivácia je funkcia a pre ňu možno položiť otázku existencie derivácie. Derivát prvého derivátu, ak existuje - druhá derivácia tejto funkcie alebo derivát druhého rádu

https://pandia.ru/text/78/516/images/image019_12.jpg" width="127" height="46 src=">

derivát n-tého rádu

0, y"" = 0,...y(n) = 0. Pre funkciu y = x2 derivát ty= 2x. Potom v"= 2, v ""= 0,.., y(n) = 0.

1.4. Geometrická a mechanická interpretácia derivácie

1.4.1. Mechanický význam derivátu. Problém rýchlosti a zrýchlenia nerovnomerného pohybu

Nech je závislosť dráhy prejdenej telom v čase t, je popísaná funkciou s = s(t), a rýchlosť pohybu a zrýchlenie podľa funkcií v = v(t), a = a(t). Ak sa teleso pohybuje rovnomerne, potom, ako je známe z fyziky, s = vּt, t.j. v = s/ t. Ak sa teleso pohybuje rovnomerným zrýchlením a vo= 0, potom zrýchlenie a = v/ t.

Ak pohyb nie je rovnomerný a rovnomerne zrýchlený, potom priemerná hodnota rýchlosti a zrýchlenia za určité časové obdobie Δ t sú zjavne rovnocenné, resp.

Nechaj v(t)- rýchlosť pohybu, a(t)- zrýchlenie v čase t.

Potom takto,

Za predpokladu, že existujú posledné limity.

Mechanický význam derivátu: derivácia cestys = s(t) ččastje okamžitá rýchlosť hmotného bodu, t.j.v(t)= s"(t). Druhá derivácia cesty vzhľadom na čas- zrýchlenie, t.j.s""(t)= v"(t)=a(t).

Zavedením pojmu derivácia funkcie sa podľa F. Engelsa dostal do matematiky pohyb, keďže derivácia znamená rýchlosť zmeny akéhokoľvek procesu, napr.: proces ohrevu alebo ochladzovania telesa, rýchlosť chemickej alebo jadrovej reakcie atď.

Príklad 1.1. Množstvo elektriny (v coulombách) pretekajúcej vodičom určuje zákon Q = 2 t2 + 3 t + 4 . Nájdite prúd na konci tretej sekundy.

Riešenie. Súčasná sila ja = Q" = 4 t+3. O t = 3 ja=15 k/s=15 A.

1.4.2.3 Problém dotyčnice. Geometrický význam derivácie

Nechajte funkciu pri= f(X) definované a súvislé v bode X= x0 av nejakom okolí tohto bodu. Poďme zistiť geometrický význam derivácie funkcie.

Pri riešení tohto problému postupujeme nasledovne. Vezmite bod na grafe funkcie (obr. 1.1) М(х0 + Δх, y0 + Δу) a nakreslite sečnicu M0M. Poďme k veci M do bodu M0, teda Δ x → 0. bod M() je pevná, takže sečna v limite zaujme polohu dotyčnice TO.

Tangenta ku grafu funkcie y= f(X) ebodM0 sa nazýva medzná poloha sečny M0M za predpokladu, že bod M smeruje k bodu M0 pozdĺž krivky Gf- funkčná grafikar = f(X).

Potom sklon sečnice M0M

v limite sa rovná sklonu dotyčnice:

{ X0 ) = tga, kde α je uhol medzi dotyčnicou a kladným smerom osi Ox(pozri obr. 1.1).

Ako je známe z analytickej geometrie, rovnica priamky prechádzajúcej bodom ( x0, y0) a majú sklon k bude

y - y0 =k(x-x0).

Potom, berúc do úvahy geometrický význam derivátu, dotyčnicová rovnica (TO) do grafu funkcie pri= f(X) v bode (x0, y0) má formu

(K) y =f(X0 ) + f"(X0 )(X- X0 ).

Normálna rovnica (N) - kolmá na dotyčnicu v bode dotyku:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image028_9.jpg" width="500" height="41 src=">

(och)- O-malé z Δx).

Veta. Aby bola funkcia pri= f(x) bolo diferencovateľné v bode x D), je potrebné a postačujúce, že v tomto bode má konečnú deriváciu y' =f"(X).

Dôkaz . Nevyhnutnosť. Nechajte funkciu r= f(X) diferencovateľné na x D, teda platí vzťah (1.1). Potom podľa definície derivátu, berúc do úvahy (1.1)

https://pandia.ru/text/78/516/images/image030_9.jpg" width="130" height="45 src=">

Potom na základe vety o spojení medzi funkciou, jej limitou a nekonečne malým množstvom

https://pandia.ru/text/78/516/images/image032_8.jpg" width="221" height="28 src=">

možno reprezentovať ako súčet dvoch členov, z ktorých prvý je úmerný prírastku argumentu Δх s faktorom proporcionality f'(X), a druhý je nekonečne malý vyšší rád ako Δх, teda platí (1.1), a tak je funkcia v bode diferencovateľná X D.

Všimnite si, že pomer

https://pandia.ru/text/78/516/images/image034_10.jpg" width="170" height="64 src=">

https://pandia.ru/text/78/516/images/image036_10.jpg" width="232" height="52">(-0 )=-1 , y"(+0)=1, ale funkcia je spojitá pre X= 0.

1.6. Pravidlá diferenciácie

1. Diferenciácia algebraického súčtu funkcií. Algebraický súčet konečného počtu diferencovateľných funkcií je diferencovateľná funkcia a derivácia algebraického súčtu funkcií sa rovná algebraickému súčtu derivácií. Napríklad: pre dve funkcie

https://pandia.ru/text/78/516/images/image039_8.jpg" width="280" height="91 src=">

Zvážte zmenu funkcie a ±v pri zmene argumentu Δ X:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image041_9.jpg" width="260" height="55 src=">

Keďže limita každého člena existuje a je konečná podľa podmienky, limita algebraického súčtu sa rovná algebraickému súčtu limitov. t.j. funkcia (a ±v) diferencovateľné v ľubovoľnom bode X A (u± v)" = u’ ± v’ . Tvrdenie bolo dokázané.

2° Diferenciácia súčinu funkcií . Súčin dvoch diferencovateľných funkcií je diferencovateľná funkcia, pričom derivácia produktu sa rovná súčinu derivácie prvého faktora druhým bez zmeny plus prvý faktor vynásobený deriváciou druhého:

(Av) = a"v + uv".

Vyššie uvedené pravidlo možno ľahko zovšeobecniť napríklad na súčin akéhokoľvek konečného počtu diferencovateľných funkcií.

Dôkaz. Podľa podmienok v ľubovoľnom bode X D

Pri zmene Δ X zmena funkcie

reprezentovať vo forme

https://pandia.ru/text/78/516/images/image046_7.jpg" width="501" height="95">

Keďže z dôvodu diferenciácie, a

lim Δ v = 0 kvôli spojitosti funkcie, potom podľa vlastností limít

Δх→ O

(uv)" = u"v + uv".

V dôsledku pravidla pre diferenciáciu súčinu funkcií vyzývame čitateľov, aby získali deriváciu mocninnej funkcie un,n N :

(An)’ = mníška-1 a'

3° Dôsledok 2°. Konštantný faktor možno zo znamienka vyňať

derivát:

https://pandia.ru/text/78/516/images/image048_6.jpg" width="136" height="58 src=">

Dôkaz. Pri zmene Δ X zvážiť zmeny v diferencovateľných funkciách u = u(x),v= v(x) ≠ 0:

Δ u = [u(x+ Δх) - ich)],Δ v = [ v(X+ Δх) - v(X)].

Upravené hodnoty funkcií budú: a + aw, v + Av,

https://pandia.ru/text/78/516/images/image050_7.jpg" width="416" height="67 src=">

Funkcie A= w(x),v = v(x) ≠ 0 sú diferencovateľné podmienkou a teda aj spojité, t.j.

Podľa vlastností limitov

https://pandia.ru/text/78/516/images/image054_6.jpg" width="160" height="58 src=">

6 . Diferenciácia komplexných funkcií . Nechajte funkciu pri= f(A) je rozlíšiteľné vzhľadom na X, funkcia A= ich) diferencovateľné vzhľadom na X. Potom komplexná funkcia pri= f(u(X)) diferencovateľné vzhľadom na X, A

y"=f"(u)∙ u"

Dôkaz . Kvôli diferencovateľnosti funkcií f(u), u(X) a limitné vlastnosti

F(u)-u"(v)"v"(x).

70. Inverzná diferenciácia funkcií . Nechajte funkciu y=f(X) diferencovateľné vzhľadom na X A y "x ≠ 0. Potom inverzná funkcia x =g(pri) je rozlíšiteľné vzhľadom na pri A x "y \u003d 1 / y" x

Dôkaz. naozaj,

Pre jednoduchosť používania uvádzame v tabuľke 1 základné pravidlá diferenciácie.

stôl 1

Pravidlá diferenciácie

Číslo vzorca
	c =const, c" = 0.
	(u± v)" =u"± v", A= ich),v = v(X).
	(u ∙ v)= c ∙ v" + u ∙ v".
	(c ∙ v)" = c ∙ v",s = konšt.
	y = f(u), u = u(x)=>y" = f"(u) ∙ u.
	y= f(x\ x = g(y)=>x"pri =
	(uv)"=vuv-1u"+uv ln u ∙ v"

1.7.

Pomocou definície derivácie funkcie a pravidiel diferenciácie nájdeme derivácie základných elementárnych funkcií, ktoré sú uvedené v tabuľke 2 nižšie.

tabuľka 2

Deriváty základných elementárnych funkcií

	Jednoduché funkcie	Komplexné funkcie

Definícia. Nech je funkcia \(y = f(x) \) definovaná v nejakom intervale obsahujúcom bod \(x_0 \) vo vnútri. Zväčšíme \(\Delta x \) na argument, aby sme neopustili tento interval. Nájdite zodpovedajúci prírastok funkcie \(\Delta y \) (pri prechode z bodu \(x_0 \) do bodu \(x_0 + \Delta x \)) a zostavte vzťah \(\frac(\Delta y )(\Delta x) \). Ak existuje limita tohto vzťahu v \(\Delta x \rightarrow 0 \), potom sa zadaná limita nazýva derivačná funkcia\(y=f(x) \) v bode \(x_0 \) a označte \(f"(x_0) \).

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Symbol y sa často používa na označenie derivácie. Všimnite si, že y" = f(x) je nová funkcia, ale prirodzene spojená s funkciou y = f(x), definovanou vo všetkých bodoch x, v ktorých existuje vyššie uvedená limita. Táto funkcia sa volá takto: derivácia funkcie y \u003d f (x).

Geometrický význam derivácie pozostáva z nasledujúceho. Ak je možné nakresliť dotyčnicu, ktorá nie je rovnobežná s osou y, ku grafu funkcie y \u003d f (x) v bode s os x \u003d a, potom f (a) vyjadruje sklon dotyčnice:
\(k = f"(a)\)

Keďže \(k = tg(a) \), platí rovnosť \(f"(a) = tg(a) \).

A teraz interpretujeme definíciu derivátu z hľadiska približných rovnosti. Nech funkcia \(y = f(x) \) má deriváciu v určitom bode \(x \):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
To znamená, že v blízkosti bodu x je približná rovnosť \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \približne f"(x)\), t.j. \(\Delta y \približne f"(x) \cdot \Deltax\). Zmysluplný význam získanej približnej rovnosti je nasledovný: prírastok funkcie je „takmer úmerný“ prírastku argumentu a koeficient úmernosti je hodnota derivácie v danom bode x. Napríklad pre funkciu \(y = x^2 \) platí približná rovnosť \(\Delta y \cca 2x \cdot \Delta x \). Ak dôkladne analyzujeme definíciu derivátu, zistíme, že obsahuje algoritmus na jeho nájdenie.

Poďme to sformulovať.

Ako nájsť deriváciu funkcie y \u003d f (x) ?

1. Opravte hodnotu \(x \), nájdite \(f(x) \)
2. Zvýšte \(x \) argument \(\Delta x \), presuňte sa do nového bodu \(x+ \Delta x \), nájdite \(f(x+ \Delta x) \)
3. Nájdite prírastok funkcie: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Zostavte vzťah \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Vypočítajte $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Táto limita je deriváciou funkcie v x.

Ak funkcia y = f(x) má deriváciu v bode x, potom sa nazýva diferencovateľná v bode x. Zavolá sa postup na nájdenie derivácie funkcie y \u003d f (x). diferenciácie funkcie y = f(x).

Poďme diskutovať o nasledujúcej otázke: ako súvisí spojitosť a diferencovateľnosť funkcie v bode?

Nech je funkcia y = f(x) diferencovateľná v bode x. Potom je možné nakresliť dotyčnicu ku grafu funkcie v bode M (x; f (x)) a, pripomíname, sklon dotyčnice sa rovná f "(x). Takýto graf sa nemôže "zlomiť" v bod M, t.j. funkcia musí byť spojitá v x.

Bolo to uvažovanie „na prstoch“. Uveďme prísnejší argument. Ak je funkcia y = f(x) diferencovateľná v bode x, potom platí približná rovnosť \(\Delta y \cca f"(x) \cdot \Delta x \) nula, potom \(\Delta y \ ) bude mať tiež tendenciu k nule, a to je podmienka spojitosti funkcie v bode.

takže, ak je funkcia diferencovateľná v bode x, potom je v tomto bode aj spojitá.

Opak nie je pravdou. Napríklad: funkcia y = |x| je všade spojitá, najmä v bode x = 0, ale dotyčnica ku grafu funkcie v „spoločnom bode“ (0; 0) neexistuje. Ak v určitom bode nie je možné nakresliť tangens ku grafu funkcie, potom v tomto bode neexistuje žiadna derivácia.

Ešte jeden príklad. Funkcia \(y=\sqrt(x) \) je spojitá na celej číselnej osi, vrátane bodu x = 0. A dotyčnica ku grafu funkcie existuje v akomkoľvek bode, vrátane bodu x = 0 Ale v tomto bode sa dotyčnica zhoduje s osou y, to znamená, že je kolmá na os x, jej rovnica má tvar x \u003d 0. Pre takúto priamku neexistuje žiadny sklon, čo znamená, že \ ( f "(0) \) tiež neexistuje

Zoznámili sme sa teda s novou vlastnosťou funkcie – diferencovateľnosťou. Ako môžete zistiť, či je funkcia diferencovateľná od grafu funkcie?

Odpoveď je vlastne uvedená vyššie. Ak sa v určitom bode dá nakresliť dotyčnica ku grafu funkcie, ktorá nie je kolmá na os x, potom je funkcia v tomto bode diferencovateľná. Ak v určitom bode dotyčnica ku grafu funkcie neexistuje alebo je kolmá na os x, potom v tomto bode funkcia nie je diferencovateľná.

Pravidlá diferenciácie

Operácia nájdenia derivátu sa nazýva diferenciácie. Pri vykonávaní tejto operácie musíte často pracovať s kvocientmi, súčtami, súčinmi funkcií, ako aj s „funkciami funkcií“, teda komplexnými funkciami. Na základe definície derivátu vieme odvodiť pravidlá diferenciácie, ktoré túto prácu uľahčujú. Ak je C konštantné číslo a f=f(x), g=g(x) sú niektoré diferencovateľné funkcie, potom platí nasledovné pravidlá diferenciácie:

$$ C"=0 $$ $$ x"=1 $$ $$ (f+g)"=f"+g" $$ $$ (fg)"=f"g + fg" $$ $$ ( Cf)"=Cf" $$ $$ \left(\frac(f)(g) \right) " = \frac(f"g-fg")(g^2) $$ $$ \left(\frac (C)(g) \right) " = -\frac(Cg")(g^2) $$ Derivácia zloženej funkcie:
$$ f"_x(g(x)) = f"_g \cdot g"_x $$

Tabuľka derivácií niektorých funkcií

$$ \left(\frac(1)(x) \right) " = -\frac(1)(x^2) $$ $$ (\sqrt(x)) " = \frac(1)(2\ sqrt(x)) $$ $$ \left(x^a \right) " = a x^(a-1) $$ $$ \left(a^x \right) " = a^x \cdot \ln a $$ $$ \left(e^x \right) " = e^x $$ $$ (\ln x)" = \frac(1)(x) $$ $$ (\log_a x)" = \frac (1)(x\ln a) $$ $$ (\sin x)" = \cos x $$ $$ (\cos x)" = -\sin x $$ $$ (\text(tg) x) " = \frac(1)(\cos^2 x) $$ $$ (\text(ctg) x)" = -\frac(1)(\sin^2 x) $$ $$ (\arcsin x) " = \frac(1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\arccos x)" = \frac(-1)(\sqrt(1-x^2)) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(1)(1+x^2) $$ $$ (\text(arctg) x)" = \frac(-1)(1+x^2) $ $