Miestna de Moivre-Laplaceova veta. 0 a 1, potom pravdepodobnosť P t p toho, že udalosť A nastane m-krát v n nezávislých pokusoch pre dostatočne veľké číslo n, sa približne rovná

- Gaussova funkcia a

Čím väčší a tým presnejší je približný vzorec (2.7), tzv podľa miestneho vzorca Moivre-Laplace. Približné pravdepodobnosti R TPU dané lokálnym vzorcom (2.7) sa v praxi používajú ako presné pre pru rádovo dve a viac desiatok, t.j. vzhľadom na to pru > 20.

Pre zjednodušenie výpočtov spojených s použitím vzorca (2.7) bola zostavená tabuľka hodnôt funkcie /(x) (tabuľka I, uvedená v prílohách). Pri použití tejto tabuľky je potrebné mať na pamäti zrejmé vlastnosti funkcie f(x) (2.8).

• 1. Funkcia/(X) je párny, t.j. /(-x) = /(x).
• 2. Funkcia/(X) - monotónne klesajúce pre kladné hodnoty X, a pri x -> co /(x) -» 0.
• (V praxi môžeme predpokladať, že aj pre x > 4 /(x) « 0.)

[> Príklad 2.5. V niektorých oblastiach má 80 z každých 100 rodín chladničky. Nájdite pravdepodobnosť, že zo 400 rodín má 300 chladničky.

rozhodnutie. Pravdepodobnosť, že rodina má chladničku, je p = 80/100 = 0,8. Ako P= 100 je dostatočne veľké (podmienka pru= = 100 0,8(1-0,8) = 64 > 20 splnených), potom použijeme lokálny Moivre-Laplaceov vzorec.

Najprv definujeme pomocou vzorca (2.9)

Potom podľa vzorca (2.7)

(hodnota /(2,50) bola zistená z tabuľky I v prílohách). Pomerne malá hodnota pravdepodobnosti /300 400 by nemala byť pochybná, keďže okrem udalosti

„presne 300 rodín zo 400 má chladničky“ Je možných 400 ďalších udalostí: „0 zo 400“, „1 zo 400“,..., „400 zo 400“ s vlastnými pravdepodobnosťami. Tieto udalosti spolu tvoria ucelenú skupinu, čo znamená, že súčet ich pravdepodobností sa rovná jednej. ?

Nech v podmienkach príkladu 2.5 je potrebné nájsť pravdepodobnosť, že 300 až 360 rodín (vrátane) má chladničky. V tomto prípade, podľa vety o sčítaní, pravdepodobnosť požadovaného javu

V zásade možno každý výraz vypočítať pomocou miestneho vzorca Moivre-Laplace, ale veľký počet výrazov robí výpočet veľmi ťažkopádnym. V takýchto prípadoch sa používa nasledujúca veta.

Moivreova - Laplaceova integrálna veta. Ak je pravdepodobnosť p výskytu udalosti A v každom pokuse konštantná a odlišná od 0 a 1, potom pravdepodobnosť, že počet m výskytu udalosti A v n nezávislých pokusoch leží medzi a a b (vrátane), pre dostatočne veľké číslo sa n približne rovná

- funkciu(alebo integrál pravdepodobností) Laplace",

(Dôkaz vety je uvedený v časti 6.5.)

Vzorec (2.10) sa nazýva Moivre-Laplaceov integrálny vzorec. Viac P, tým presnejší vzorec. Keď je stav pru >> 20 integrálny vzorec (2.10), ako aj lokálny, dáva spravidla chybu vo výpočte pravdepodobností, ktorá je pre prax vyhovujúca.

Funkcia Φ(dg) je tabuľková (pozri tabuľku II v prílohách). Ak chcete použiť túto tabuľku, musíte poznať vlastnosti funkcie Ф(х).

1. Funkcia f(x) zvláštny, tie. F(-x) = -F(x).

? Zmeníme premennú? = -G. Potom (k =

= -(12. Hranice integrácie pre premennú 2 budú 0 a X. Získajte

keďže hodnota určitého integrálu nezávisí od označenia integračnej premennej. ?

2. Funkcia Ф(х) je monotónne rastúca, a pre x ->+co f(.g) -> 1 (v praxi môžeme predpokladať, že už pri x > 4 φ(x)~ 1).

Keďže derivácia integrálu vzhľadom na premennú hornú hranicu sa rovná integrandu pri hodnote hornej hranice, r.s.

, a je vždy kladné, potom Ф(х) rastie monotónne

pozdĺž celého číselného radu.

Urobíme zmenu premennej, potom sa hranice integrácie nemenia a

(keďže integrál párnej funkcie

Vzhľadom na to (Eulerov integrál - Jed), dostaneme

?

O Príklad 2.6. Pomocou údajov z príkladu 2.5 vypočítajte pravdepodobnosť, že 300 až 360 (vrátane) rodín zo 400 má chladničky.

rozhodnutie. Aplikujeme integrálnu vetu Moivre - Laplace (pr= 64 > 20). Najprv definujeme pomocou vzorcov (2.12)

Teraz podľa vzorca (2.10), berúc do úvahy vlastnosti Ф(.т), dostaneme

(podľa tabuľky II príloh?

Uvažujme o dôsledku integrálnej vety Moivre - Laplace. Dôsledok. Ak je pravdepodobnosť p výskytu udalosti A v každom pokuse konštantná a odlišná od 0 a I, potom pre dostatočne veľký počet n nezávislých pokusov, pravdepodobnosť, že:

a) počet m výskytov deja A sa líši od súčinu pr najviac o e > 0 (v absolútnej hodnote), tie.

b) frekvencia udalosti t / n A leží vo vnútri od a do r ( počítajúc do toho- s úctou, t.j.

v) frekvencia udalosti A sa nelíši od jej pravdepodobnosti p najviac o A > 0 (v absolútnej hodnote), t.j.

A) Nerovnosť |/?7-7?/?| je ekvivalentná dvojitej nerovnosti pr-e Preto pomocou integrálneho vzorca (2.10)

• b) Nerovnosť a je ekvivalentná nerovnosti a pri a = pa a b= /?r. Nahradenie množstiev vo vzorcoch (2.10), (2.12). a a b získané výrazy získame dokázateľné vzorce (2.14) a (2.15).
• c) Nerovnosť mjn-p je ekvivalentné nerovnosti t-pr Nahradenie vo vzorci (2.13) r = Ap, dostaneme vzorec (2.16), ktorý treba dokázať. ?

[> Príklad 2.7. Pomocou údajov v príklade 2.5 vypočítajte pravdepodobnosť, že 280 až 360 rodín zo 400 má chladničky.

rozhodnutie. Vypočítajte pravdepodobnosť Р 400 (280 t pr \u003d 320. Potom podľa vzorca (2.13)

[> Príklad 2.8. Podľa štatistík sa v priemere 87 % novorodencov dožíva 50 rokov.

• 1. Nájdite pravdepodobnosť, že z 1000 novorodencov bude podiel (frekvencia) tých, ktorí prežili 50 rokov: a) v rozmedzí od 0,9 do 0,95; b) sa bude líšiť od pravdepodobnosti tejto udalosti najviac o 0,04 (avšak v absolútnej hodnote).
• 2. Pri akom počte novorodencov so spoľahlivosťou 0,95 bude podiel tých, ktorí sa dožili 50 rokov, v medziach od 0,86 do 0,88?

rozhodnutie. 1a) Pravdepodobnosť Rže novorodenec sa dožije 50 rokov je 0,87. Ako P= 1000 veľké (stav prd=1000 0,87 0,13 = 113,1 > 20 splnené), potom použijeme dôsledok integrálnej vety Moivre - Laplace. Najprv definujeme pomocou vzorcov (2.15)

Teraz podľa vzorca (2.14)

1, b) Podľa vzorca (2.16)

Pretože nerovnosť je ekvivalentná nerovnosti

získaný výsledok znamená, že je prakticky isté, že 0,83 až 0,91 z počtu novorodencov z 1000 sa dožije 50 rokov. ?

2. Podľa podmienok alebo

Podľa vzorca (2.16) pri A = 0,01

Podľa tabuľky II aplikácie F(G) = 0,95 pri G = 1,96, preto

kde

tie. stav (*) možno garantovať pri výraznom zvýšení počtu uvažovaných novorodencov až P = 4345. ?

• Dôkaz vety je uvedený v časti 6.5. Pravdepodobný význam veličín pr, prs( je stanovený v odseku 4.1 (pozri poznámku na s. 130).
• Pravdepodobný význam hodnoty pf/n je stanovený v odseku 4.1.

tlak priamo pod konvexným povrchom kvapaliny je väčší ako tlak pod plochým povrchom kvapaliny a tlak pod konkávnym povrchom kvapaliny je menší ako tlak pod plochým povrchom.

Výpočet tlaku pod guľovým povrchom kvapaliny

Je to tenká vrstva vody, ktorá má dva ohraničujúce povrchy: vnútornú a vonkajšiu. Polomery zakrivenia týchto povrchov možno považovať za rovnaké, pretože hrúbka filmu je tisíckrát menšia ako polomer bubliny. Voda z tejto vrstvy postupne steká, vrstva sa stenčuje a nakoniec sa láme. Takže bubliny neplávajú na vode veľmi dlho: od zlomkov sekundy až po desať sekúnd. Treba poznamenať, že keď sa vodný film stáva tenším, veľkosť bublín sa prakticky nemení.

Vypočítajme pretlak v takejto bubline. Pre jednoduchosť uvažujme jednovrstvovú pologuľu s polomerom r, umiestnenú na vodorovnej ploche, budeme tiež predpokladať, že vonku nie je vzduch. Fólia drží na zatienenej ploche vplyvom navlhčenia (obr. 2.3). V tomto prípade, pozdĺž hranice kontaktu s povrchom, sila povrchového napätia rovná

kde je koeficient povrchového napätia kvapaliny,

Dĺžka rozhrania filmu a povrchu sa rovná .

To znamená, že máme:

.

Táto sila pôsobiaca na fóliu a cez ňu na vzduch smeruje kolmo na povrch (pozri obr. 2.3). Takže tlak vzduchu na povrchu a teda vo vnútri bubliny možno vypočítať takto:

Kde F je sila povrchového napätia rovná,

S - povrch: .

Dosadením hodnoty sily F a plochy S do vzorca na výpočet tlaku dostaneme:

a nakoniec.

V našom príklade so vzduchovou bublinou na hladine vody je film dvojitý, a preto je pretlak .

Obrázok 2.4 ukazuje príklady jednovrstvových guľových povrchov, ktoré sa môžu vytvárať na povrchu kvapaliny. Nad kvapalinou je plyn, ktorý má tlak.

Kapilarita (z latinského capillaris - vlasy), kapilárny efekt - fyzikálny jav spočívajúci v schopnosti kvapalín meniť hladinu v trubiciach, úzke kanály ľubovoľného tvaru, porézne telesá. K stúpaniu kvapaliny dochádza, keď sú kanály navlhčené kvapalinou, napríklad vodou v sklenených trubiciach, pieskom, pôdou atď. K poklesu kvapaliny dochádza v trubiciach a kanáloch, ktoré nie sú zvlhčené kvapalinou, napríklad ortuťou sklenená trubica.

Na základe vzlínavosti je založená životná činnosť zvierat a rastlín, chemické technológie a každodenné javy (napríklad dvíhanie petroleja pozdĺž knôtu v petrolejovej lampe, utieranie rúk uterákom). Kapilarita pôdy je určená rýchlosťou, ktorou voda stúpa v pôde a závisí od veľkosti medzier medzi časticami pôdy.

Laplaceov vzorec

Zvážte tenký tekutý film, ktorého hrúbku možno zanedbať. V snahe minimalizovať svoju voľnú energiu vytvára fólia tlakový rozdiel z rôznych strán. To vysvetľuje existenciu mydlových bublín: fólia sa stláča, kým tlak vo vnútri bubliny neprekročí atmosférický tlak o hodnotu dodatočného tlaku fólie. Dodatočný tlak v bode na povrchu závisí od priemerného zakrivenia v tomto bode a je daný Laplaceovým vzorcom:

Tu R 1,2 sú polomery hlavných zakrivení v bode. Majú rovnaké znamienko, ak zodpovedajúce stredy krivosti ležia v bode na rovnakej strane dotykovej roviny, a majú iné znamienko, ak ležia na opačnej strane. Napríklad v prípade gule sa stredy zakrivenia v akomkoľvek bode povrchu zhodujú so stredom gule, takže

Pre prípad povrchu kruhového valca s polomerom R máme

Je známe, že povrch kvapaliny v blízkosti stien nádoby je zakrivený. Voľný povrch kvapaliny zakrivený v blízkosti stien nádoby sa nazýva meniskus.(obr. 145).

Zvážte tenký tekutý film, ktorého hrúbku možno zanedbať. V snahe minimalizovať svoju voľnú energiu vytvára fólia tlakový rozdiel z rôznych strán. V dôsledku pôsobenia síl povrchového napätia v kvapkách kvapaliny a vnútri mydlových bublín, dodatočný tlak(fólia sa stláča, kým tlak vo vnútri bubliny neprekročí atmosférický tlak o hodnotu prídavného tlaku fólie).

Ryža. 146.

Uvažujme povrch kvapaliny spočívajúci na nejakom plochom obryse (obr. 146, a). Ak povrch kvapaliny nie je plochý, potom jej tendencia zmršťovať sa a povedie k vzniku tlaku, navyše k tlaku, ktorý zažíva kvapalina s plochým povrchom. V prípade konvexného povrchu je tento dodatočný tlak kladný (obr. 146, b), v prípade konkávneho povrchu - negatívne (obr. 146, v). V druhom prípade povrchová vrstva, ktorá sa snaží zmršťovať, napína kvapalinu.

Veľkosť dodatočného tlaku by sa mala samozrejme zvyšovať so zvyšujúcim sa koeficientom povrchového napätia a zakrivenia povrchu .

Ryža. 147.

Vypočítajme dodatočný tlak pre guľový povrch kvapaliny. Aby sme to urobili, rozrežme v duchu guľovú kvapku kvapaliny s diametrálnou rovinou na dve hemisféry (obr. 147). V dôsledku povrchového napätia sú obe hemisféry priťahované k sebe silou rovnajúcou sa:

.

Táto sila tlačí obe hemisféry k sebe pozdĺž povrchu, a preto spôsobuje ďalší tlak:

Zakrivenie guľovej plochy je všade rovnaké a je určené polomerom gule. Je zrejmé, že čím menšie, tým väčšie je zakrivenie guľového povrchu.

Pretlak vo vnútri mydlovej bubliny je dvojnásobný, pretože fólia má dva povrchy:

Dodatočný tlak spôsobuje zmenu hladiny kvapaliny v úzkych rúrkach (kapilároch), v dôsledku čoho sa niekedy nazýva kapilárny tlak.

Zakrivenie ľubovoľného povrchu je zvyčajne charakterizované takzvaným priemerným zakrivením, ktoré môže byť pre rôzne body povrchu rôzne.

Hodnota udáva zakrivenie gule. V geometrii je dokázané, že polovičný súčet vzájomných polomerov krivosti pre ľubovoľnú dvojicu vzájomne kolmých normálových rezov má rovnakú hodnotu:

. (1)

Táto hodnota je priemerné zakrivenie povrchu v danom bode. V tomto vzorci sú polomery algebraické veličiny. Ak je stred krivosti normálneho rezu pod daným povrchom, zodpovedajúci polomer krivosti je kladný; ak stred krivosti leží nad povrchom, polomer krivosti je záporný (obr. 148).

Ryža. 148.

Nerovinný povrch teda môže mať priemerné zakrivenie rovné nule. Na to je potrebné, aby polomery zakrivenia boli rovnaké vo veľkosti a opačné v znamienku.

Napríklad v prípade gule sa stredy zakrivenia v ktoromkoľvek bode povrchu zhodujú so stredom gule, a preto . Pre prípad povrchu kruhového valca s polomerom máme: , a .

Dá sa dokázať, že pre povrch akéhokoľvek tvaru platí vzťah:

Dosadením výrazu (1) do vzorca (2) získame vzorec pre prídavný tlak pod ľubovoľným povrchom, tzv Laplaceov vzorec(Obr. 148):

. (3)

Polomery a vo vzorci (3) sú algebraické veličiny. Ak je stred krivosti normálneho rezu pod daným povrchom, zodpovedajúci polomer krivosti je kladný; ak stred krivosti leží nad povrchom, polomer krivosti je záporný.

Príklad. Ak je v kvapaline plynová bublina, potom povrch bubliny, ktorá sa snaží zmenšiť, vyvinie ďalší tlak na plyn . Nájdite polomer bubliny vo vode, pri ktorej je dodatočný tlak 1 bankomat. .Koeficient povrchového napätia vody rovný . Preto sa získa nasledujúca hodnota: .

Pre dostatočne veľké poskytuje Bernoulliho vzorec ťažkopádne výpočty. Preto sa v takýchto prípadoch používa miestna Laplaceova veta.

Veta(miestny Laplaceov teorém). Ak je pravdepodobnosť p výskytu udalosti A v každom pokuse konštantná a odlišná od 0 a 1, potom pravdepodobnosť
skutočnosť, že udalosť A sa objaví presne k-krát v n nezávislých pokusoch, sa približne rovná hodnote funkcie:

,

.

Existujú tabuľky, ktoré obsahujú hodnoty funkcie
, pre kladné hodnoty x.

Všimnite si, že funkcia
dokonca.

Pravdepodobnosť, že sa udalosť A objaví presne k-krát v n pokusoch, je teda približne rovnaká

, kde
.

Príklad. Na pokusnom poli sa zasialo 1500 semien. Nájdite pravdepodobnosť, že sadenice vytvoria 1200 semien, ak pravdepodobnosť, že semeno vyklíči, je 0,9.

rozhodnutie.

Laplaceova integrálna veta

Pravdepodobnosť, že v n nezávislých pokusoch nastane udalosť A najmenej k1-krát a najviac k2-krát, je vypočítaná Laplaceovou integrálnou vetou.

Veta(Laplaceova integrálna veta). Ak je pravdepodobnosť p výskytu javu a v každom pokuse konštantná a odlišná od 0 a 1, potom pravdepodobnosť, že sa jav A v n pokusoch objaví aspoň k 1-krát a maximálne k 2-krát, sa približne rovná hodnote určitého integrálu:

.

Funkcia
sa nazýva Laplaceova integrálna funkcia, je nepárna a jej hodnota sa nachádza v tabuľke pre kladné hodnoty x.

Príklad. V laboratóriu sa z dávky semien s klíčivosťou 90% zasialo 600 semien, ktoré vyklíčili, nie menej ako 520 a nie viac ako 570.

rozhodnutie.

Poissonov vzorec

Ak sa vykoná n nezávislých pokusov, pravdepodobnosť výskytu udalosti A v každom pokuse je konštantná a rovná sa p. Ako sme už povedali, pravdepodobnosť výskytu udalosti A v n nezávislých pokusoch presne k-krát možno nájsť pomocou Bernoulliho vzorca. Pre dostatočne veľké n sa používa lokálna Laplaceova veta. Tento vzorec je však nevhodný, keď je pravdepodobnosť udalosti, ktorá sa vyskytne v každom pokuse, malá alebo blízka 1. A keď p=0 alebo p=1, nie je vôbec použiteľný. V takýchto prípadoch sa používa Poissonova veta.

Veta(Poissonova veta). Ak je pravdepodobnosť p výskytu udalosti A v každom pokuse konštantná a blízka 0 alebo 1 a počet pokusov je dostatočne veľký, potom pravdepodobnosť, že v n nezávislých pokusoch nastane udalosť A presne k-krát, zistíme vzorec:

.

Príklad. 1000-stranový strojopisný rukopis obsahuje 1000 typografických chýb. Nájdite pravdepodobnosť, že náhodne vybraná strana obsahuje aspoň jednu tlačovú chybu.

rozhodnutie.

Otázky pre osobný test

Formulujte klasickú definíciu pravdepodobnosti udalosti.

Formulujte vety o sčítaní a násobení pravdepodobností.

Definujte kompletnú skupinu udalostí.

Napíšte vzorec pre celkovú pravdepodobnosť.

Napíšte Bayesov vzorec.

Zapíšte si Bernoulliho vzorec.

Napíšte Poissonov vzorec.

Zapíšte si miestny Laplaceov vzorec.

Napíšte Laplaceov integrálny vzorec.

Téma 13. Náhodná veličina a jej číselné charakteristiky

Literatúra: ,,,,,.

Jedným zo základných pojmov v teórii pravdepodobnosti je pojem náhodnej premennej. Je teda zvykom volať premennú, ktorá nadobúda svoje hodnoty v závislosti od prípadu. Existujú dva typy náhodných premenných: diskrétne a spojité. Náhodné premenné sa zvyčajne označujú X,Y,Z.

Náhodná premenná X sa nazýva spojitá (diskrétna), ak môže nadobudnúť iba konečný alebo spočítateľný počet hodnôt. Diskrétna náhodná premenná X je definovaná, ak sú dané všetky jej možné hodnoty x 1 , x 2 , x 3 ,...x n (ktorých počet môže byť konečný alebo nekonečný) a zodpovedajúce pravdepodobnosti p 1 , p 2 , p 3 ,… p n.

Distribučný zákon diskrétnej náhodnej premennej X je zvyčajne daný tabuľkou:

Prvý riadok obsahuje možné hodnoty náhodnej premennej X a druhý riadok obsahuje pravdepodobnosti týchto hodnôt. Súčet pravdepodobností, s ktorými náhodná premenná X nadobudne všetky svoje hodnoty, sa rovná jednej, tj

p 1 + p 2 + p 3 + ... + p n \u003d 1.

Distribučný zákon diskrétnej náhodnej premennej X možno znázorniť graficky. Na tento účel sú body M 1 (x 1, p 1), M 2 (x 2, p 2), M 3 (x 3, p 3), ... M n (x n, p n) postavené v obdĺžniku súradnicový systém a spojte ich so segmentmi priamo. Výsledný obrazec sa nazýva distribučný polygón náhodnej premennej X.

Príklad. Diskrétna hodnota X je daná nasledujúcim distribučným zákonom:

Je potrebné vypočítať: a) matematické očakávanie M(X), b) rozptyl D(X), c) smerodajnú odchýlku σ.

rozhodnutie . a) Matematické očakávanie M(X), diskrétna náhodná premenná X je súčtom párových súčinov všetkých možných hodnôt náhodnej premennej a zodpovedajúcich pravdepodobností týchto možných hodnôt. Ak je diskrétna náhodná premenná X uvedená pomocou tabuľky (1), potom sa matematické očakávanie M(X) vypočíta podľa vzorca

М(Х)=х 1 ∙р 1 +х 2 ∙р 2 +х 3 ∙р 3 +…+х n ∙p n . (2)

Matematické očakávanie M(X) sa tiež nazýva priemerná hodnota náhodnej premennej X. Aplikovaním (2) dostaneme:

М(Х)=48∙0,2+53∙0,4+57∙0,3 +61∙0,1=54.

b) Ak je M(X) očakávaním náhodnej premennej X, potom sa rozdiel X-M(X) nazýva odchýlka náhodná premenná X z priemernej hodnoty. Tento rozdiel charakterizuje rozptyl náhodnej premennej.

disperzia(rozptyl) diskrétnej náhodnej premennej X je matematické očakávanie (stredná hodnota) štvorcovej odchýlky náhodnej premennej od jej matematického očakávania. Podľa definície teda máme:

D(X)=M2. (3)

Vypočítame všetky možné hodnoty štvorca odchýlky.

2 =(48-54) 2 =36

2 =(53-54) 2 =1

2 =(57-54) 2 =9

2 =(61-54) 2 =49

Na výpočet rozptylu D(X) zostavíme distribučný zákon druhej mocniny odchýlky a potom použijeme vzorec (2).

D(X)= 36∙0,2+1∙0,4+9∙0,3 +49∙0,1=15,2.

Treba poznamenať, že na výpočet rozptylu sa často používa nasledujúca vlastnosť: rozptyl D(X) sa rovná rozdielu medzi matematickým očakávaním druhej mocniny náhodnej premennej X a druhou mocninou jej matematického očakávania, tj.

D(X)-M(X2)-2. (4)

Na výpočet rozptylu pomocou vzorca (4) zostavíme distribučný zákon náhodnej premennej X 2:

Teraz nájdime matematické očakávanie M(X 2).

М(Х 2)= (48) 2 ∙0,2+(53) 2 ∙0,4+(57) 2 ∙0,3 +(61) 2 ∙0,1=

460,8+1123,6+974,7+372,1=2931,2.

Aplikovaním (4) dostaneme:

D(X)=2931,2-(54)2=2931,2-2916=15,2.

Ako vidíte, dostali sme rovnaký výsledok.

c) Rozmer rozptylu sa rovná druhej mocnine rozmeru náhodnej premennej. Preto na charakterizáciu rozptylu možných hodnôt náhodnej premennej okolo jej strednej hodnoty je vhodnejšie zvážiť hodnotu, ktorá sa rovná aritmetickej hodnote druhej odmocniny rozptylu, tj.
. Táto hodnota sa nazýva štandardná odchýlka náhodnej premennej X a označuje sa σ. Teda

σ=
. (5)

Aplikovaním (5) máme: σ=
.

Príklad. Náhodná premenná X je rozdelená podľa normálneho zákona. Matematické očakávanie М(Х)=5; rozptyl D(X)=0,64. Nájdite pravdepodobnosť, že v dôsledku testu X nadobudne hodnotu v intervale (4; 7).

rozhodnutie.Je známe, že ak je náhodná premenná X daná diferenciálnou funkciou f(x), tak pravdepodobnosť, že X nadobudne hodnotu patriacu do intervalu (α,β) vypočítame podľa vzorca

. (1)

Ak je hodnota X rozdelená podľa normálneho zákona, potom diferenciálna funkcia

,

kde a=M(X) a a=
. V tomto prípade získame z (1)

. (2)

Vzorec (2) je možné transformovať pomocou Laplaceovej funkcie.

Urobme náhradu. Nechať byť
. Potom
alebo dx=σ∙ dt.

Preto
, kde t 1 a t 2 sú zodpovedajúce limity pre premennú t.

Znížením o σ máme

Zo vstupnej substitúcie
z toho vyplýva
a
.

teda

(3)

Podľa stavu problému máme: a=5; σ=
= 0,8; a = 4; p=7. Nahradením týchto údajov do (3) dostaneme:

=F(2,5)-F(-1,25)=

\u003d F (2,5) + F (1,25) \u003d 0,4938 + 0,3944 \u003d 0,8882.

Príklad. Predpokladá sa, že odchýlka dĺžky vyrobených dielov od normy je náhodná premenná rozložená podľa normálneho zákona. Štandardná dĺžka (očakávanie) a = 40 cm, smerodajná odchýlka σ = 0,4 cm Nájdite pravdepodobnosť, že odchýlka dĺžky od štandardu nebude v absolútnej hodnote väčšia ako 0,6 cm.

rozhodnutie.Ak X je dĺžka súčiastky, tak podľa podmienky úlohy by táto hodnota mala byť v intervale (a-δ, a + δ), kde a=40 a δ=0,6.

Ak do vzorca (3) vložíme α= a-δ a β= a+δ, dostaneme

. (4)

Nahradením dostupných údajov do (4) získame:

Pravdepodobnosť, že dĺžka vyrobených dielov bude v rozmedzí od 39,4 do 40,6 cm je teda 0,8664.

Príklad. Priemer dielov vyrobených v závode je náhodná veličina rozložená podľa normálneho zákona. Dĺžka štandardného priemeru a = 2,5 cm, štandardná odchýlka σ=0,01. V akých medziach sa dá prakticky zaručiť dĺžka priemeru tejto časti, ak sa udalosť s pravdepodobnosťou 0,9973 považuje za spoľahlivú?

rozhodnutie. Podľa stavu problému máme:

a = 2,5; a = 0,01; .

Použitím vzorca (4) dostaneme rovnosť:

alebo
.

Podľa tabuľky 2 zistíme, že Laplaceova funkcia má takúto hodnotu pri x=3. teda
; kde σ=0,03.

Tak je možné zaručiť, že dĺžka priemeru sa bude pohybovať medzi 2,47 a 2,53 cm.

Uvažujme povrch kvapaliny spočívajúci na nejakom plochom obryse. Ak povrch kvapaliny nie je plochý, potom jej tendencia zmršťovania povedie k vzniku tlaku, navyše k tlaku, ktorý zažíva kvapalina s plochým povrchom. V prípade konvexného povrchu je tento dodatočný tlak kladný, v prípade konkávneho povrchu je záporný. V druhom prípade povrchová vrstva, ktorá sa snaží zmršťovať, napína kvapalinu. Pracujte ako lektor kurzu HR Records Management Moskva.

Veľkosť dodatočného tlaku by sa mala samozrejme zvyšovať so zvyšovaním koeficientu povrchového napätia a a zakrivenia povrchu. Vypočítajme dodatočný tlak pre guľový povrch kvapaliny. Za týmto účelom rozrežeme guľovú kvapku kvapaliny diametrálnou rovinou na dve pologule (obr. 5).

Prierez sférickou kvapkou kvapaliny.

V dôsledku povrchového napätia sú obe hemisféry priťahované k sebe silou rovnajúcou sa:

Táto sila tlačí obe hemisféry k sebe pozdĺž povrchu S=πR2, a preto spôsobuje ďalší tlak:

∆p=F/S=(2πRα)/ πR2=2α/R (4)

Zakrivenie guľovej plochy je všade rovnaké a je určené polomerom gule R. Je zrejmé, že čím menšie R, tým väčšie je zakrivenie guľovej plochy. Zakrivenie ľubovoľného povrchu je zvyčajne charakterizované takzvaným priemerným zakrivením, ktoré môže byť pre rôzne body povrchu rôzne.

Priemerné zakrivenie je určené zakrivením normálnych sekcií. Normálový rez povrchu v určitom bode je priesečník tohto povrchu s rovinou prechádzajúcou normálou k povrchu v uvažovanom bode. Pre guľu je akýkoľvek normálny rez kružnica s polomerom R (R je polomer gule). Hodnota H=1/R udáva zakrivenie gule. Vo všeobecnosti majú rôzne rezy nakreslené cez rovnaký bod rôzne zakrivenia. V geometrii je dokázané, že polovičný súčet vzájomných polomerov krivosti

H=0,5(1/R1+1/R2) (5)

pre ľubovoľnú dvojicu vzájomne kolmých normálových rezov má rovnakú hodnotu. Táto hodnota je priemerné zakrivenie povrchu v danom bode.

Polomery R1 a R2 vo vzorci (5) sú algebraické veličiny. Ak je stred krivosti normálneho rezu pod daným povrchom, príslušný polomer krivosti je kladný, ak stred krivosti leží nad povrchom, polomer krivosti je záporný.

Pre guľu R1=R2=R, teda podľa (5) H=1/R. Nahradením 1/R cez H v (4) dostaneme to

Laplace dokázal, že vzorec (6) platí pre povrch akéhokoľvek tvaru, ak pod H rozumieme priemerné zakrivenie povrchu v tomto bode, pod ktorým sa určuje prídavný tlak. Dosadením výrazu (5) pre priemerné zakrivenie do (6) dostaneme vzorec pre dodatočný tlak pod ľubovoľným povrchom:

∆p=α(1/R1+1/R2) (7)

Nazýva sa to Laplaceov vzorec.

Prídavný tlak (7) spôsobuje zmenu hladiny kvapaliny v kapiláre, v dôsledku čoho sa niekedy nazýva kapilárny tlak.

Existencia kontaktného uhla vedie k zakriveniu povrchu kvapaliny v blízkosti stien nádoby. V kapiláre alebo v úzkej medzere medzi dvoma stenami je celý povrch zakrivený. Ak kvapalina zmáča steny, povrch má konkávny tvar, ak nezmáča, je konvexný (obr. 4). Takéto zakrivené povrchy kvapaliny sa nazývajú menisky.

Ak je kapilára ponorená jedným koncom do kvapaliny naliatej do širokej nádoby, potom sa pod zakriveným povrchom v kapiláre bude tlak líšiť od tlaku pozdĺž plochého povrchu v širokej nádobe o hodnotu ∆p definovanú vzorcom (7 ). Výsledkom je, že keď je kapilára navlhčená, hladina kvapaliny v nej bude vyššia ako v nádobe, a keď nie je navlhčená, bude nižšia.