Takže služby na riešenie matríc online:

Maticová služba umožňuje vykonávať elementárne transformácie matíc.
Ak máte za úlohu vykonať zložitejšiu transformáciu, potom by sa táto služba mala použiť ako konštruktor.

Príklad. Maticové údaje A a B, treba nájsť C = A -1 * B + B T ,

1. Najprv by ste mali nájsť inverzná maticaA1 = A-1 pomocou služby na nájdenie inverznej matice;
2. Ďalej po nájdení matrice A1 urob to násobenie maticeA2 = A1 * B, pomocou služby pre maticové násobenie;
3. Poďme na to maticová transpozíciaA3 = B T (služba na nájdenie transponovanej matice);
4. A posledný - nájdite súčet matíc S = A2 + A3(služba na výpočet súčtu matíc) - a dostaneme odpoveď s najpodrobnejším riešením!;

Súčin matríc

Toto je online služba dva kroky:

• Zadajte maticu prvého faktora A
• Zadajte maticu druhého faktora alebo stĺpcový vektor B

Násobenie matice vektorom

Násobenie matice vektorom možno nájsť pomocou služby Maticové násobenie
(Prvým faktorom bude daná matica, druhým faktorom bude stĺpec pozostávajúci z prvkov daného vektora)

Toto je online služba dva kroky:

• Zadajte maticu A, pre ktorý musíte nájsť inverznú maticu
• Získajte odpoveď s podrobným riešením na nájdenie inverznej matice

Maticový determinant

Toto je online služba jeden krok:

• Zadajte maticu A, pre ktorý potrebujete nájsť determinant matice

Maticová transpozícia

Tu môžete sledovať algoritmus transpozície matice a naučiť sa, ako takéto problémy vyriešiť sami.
Toto je online služba jeden krok:

• Zadajte maticu A, ktorý je potrebné transponovať

Poradie matice

Toto je online služba jeden krok:

• Zadajte maticu A, pre ktoré je potrebné nájsť hodnosť

Vlastné hodnoty matice a vlastné vektory matice

Toto je online služba jeden krok:

• Zadajte maticu A, pre ktorý musíte nájsť vlastné vektory a vlastné hodnoty (vlastné hodnoty)

Umocňovanie matice

Toto je online služba dva kroky:

• Zadajte maticu A, ktorý bude pozdvihnutý k moci
• Zadajte celé číslo q- stupeň

Pridelenie služby. Maticová kalkulačka je určená na riešenie sústav lineárnych rovníc maticovým spôsobom (pozri príklad riešenia podobných úloh).

Poučenie. Pre online riešenie musíte vybrať typ rovnice a nastaviť rozmer zodpovedajúcich matíc.

Typ rovnice: A X = B X A = B A X B = C
Rozmer matice A
Rozmer matice B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Rozmer matice C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

kde A, B, C sú dané matice, X je požadovaná matica. Maticové rovnice tvaru (1), (2) a (3) sú riešené cez inverznú maticu A -1 . Ak je daný výraz A X - B = C, tak je potrebné najprv sčítať matice C + B a nájsť riešenie pre výraz A X = D , kde D = C + B (). Ak je daný výraz A*X = B 2, tak maticu B treba najskôr odmocniť. Odporúča sa tiež oboznámiť sa so základnými operáciami s maticami.

Príklad č. 1. Cvičenie. Nájdite riešenie maticovej rovnice
rozhodnutie. Označiť:
Potom bude maticová rovnica napísaná v tvare: A·X·B = C.
Determinant matice A je detA=-1
Pretože A je nesingulárna matica, existuje inverzná matica A-1. Vynásobte obe strany rovnice vľavo A -1: Vynásobte obe strany tejto rovnice vľavo A -1 a vpravo B -1: A -1 A X B B -1 = A -1 C B -1 . Pretože A A -1 = B B -1 = E a E X = X E = X, potom X = A -1 C B -1

Inverzná matica A -1:
Nájdite inverznú maticu B -1 .
Transponovaná matica B T:
Inverzná matica B -1:
Maticu X hľadáme podľa vzorca: X = A -1 C B -1

odpoveď:

Príklad č. 2. Cvičenie. Vyriešte maticovú rovnicu
rozhodnutie. Označiť:
Potom bude maticová rovnica napísaná v tvare: A X = B.
Determinant matice A je detA=0
Keďže A je degenerovaná matica (determinant je 0), rovnica nemá riešenie.

Príklad č. 3. Cvičenie. Nájdite riešenie maticovej rovnice
rozhodnutie. Označiť:
Potom bude maticová rovnica napísaná v tvare: X·A = B.
Determinant matice A je detA=-60
Pretože A je nesingulárna matica, existuje inverzná matica A-1. Vynásobte vpravo obe strany rovnice A -1: X A A -1 = B A -1 , z čoho zistíme, že X = B A -1
Nájdite inverznú maticu A -1 .
Transponovaná matica A T:
Inverzná matica A -1:
Maticu X hľadáme podľa vzorca: X = B A -1


Odpoveď: >

Inverzná matica- taký matice A −1 , po vynásobení čím, pôvodná matica A dáva ako výsledok matica identity E:

štvorcovú maticu je invertibilný vtedy a len vtedy, ak je nedegenerovaný, teda jeho determinant sa nerovná nule. Pre neštvorcové matice a degenerované matrice inverzné matice neexistujú. Je však možné tento pojem zovšeobecniť a zaviesť pseudoinverzné matice, podobne ako inverzné v mnohých vlastnostiach.

Riešenie maticových rovníc

Maticové rovnice môžu vyzerať takto:

AX = B, XA = B, AXB = C,

kde A, B, C sú dané matice, X je požadovaná matica.

Maticové rovnice sa riešia vynásobením rovnice inverznými maticami.

Napríklad, ak chcete nájsť maticu z rovnice, musíte túto rovnicu vynásobiť vľavo.

Preto, aby ste našli riešenie rovnice, musíte nájsť inverznú maticu a vynásobiť ju maticou na pravej strane rovnice.

Ostatné rovnice sú riešené podobne.

Príklad 2

Vyriešte rovnicu AX = B, ak

rozhodnutie: Pretože inverzia matice sa rovná (pozri príklad 1)

Lineárne priestory

Definícia lineárneho priestoru

Nechať byť V- neprázdna množina (jej prvky budeme nazývať vektory a označovať ...), v ktorej sú stanovené pravidlá:

1) ľubovoľné dva prvky zodpovedajú tretiemu prvku nazývanému súčet prvkov (vnútorná operácia);

2) každý zodpovedá určitému prvku (externá operácia).

Kopa V sa nazýva skutočný lineárny (vektorový) priestor, ak platia tieto axiómy:

ja

III. (nulový prvok, napr ).

IV. (prvok opačný k prvku ), taký, že

v.

VIII. Komplexný lineárny priestor je definovaný podobne (namiesto R zvážiť C).

Podpriestor lineárneho priestoru

Množina sa nazýva podpriestor lineárneho priestoru V, ak:

1)

Lineárny priestorový vektorový systém L formulárov základ v L ak je tento systém vektorov usporiadaný, lineárne nezávislý a ľubovoľný vektor z L je lineárne vyjadrená pomocou vektorov systému.

Inými slovami, lineárne nezávislý usporiadaný systém vektorov e 1 , ..., e n tvorí základ L ak nejaký vektor X od L môžu byť prezentované vo forme

X= C1 e 1 + C 2 e 2 + ... + C n · e n .

Základ možno definovať rôzne.

Akýkoľvek usporiadaný lineárne nezávislý systém e 1 , ..., e n vektory n- rozmerný lineárny priestor L n tvorí základ tohto priestoru.

Pokiaľ ide o n, vesmírny rozmer L n je maximálny počet lineárne nezávislých priestorových vektorov, potom sústava vektorov X,e 1 , ..., e n lineárne závislé, a teda vektor X lineárne vyjadrené pomocou vektorov e 1 , ..., e n :

X = X jeden · e 1 + X 2 e 2 + ...+ X n · e n .

Takýto rozklad vektora z hľadiska základu iba.

Veta 1. (O počte vektorov v lineárne nezávislých a generujúcich sústavách vektorov.) Počet vektorov v ľubovoľnej lineárne nezávislej sústave vektorov nepresahuje počet vektorov v žiadnej generujúcej sústave vektorov tej istej vektor priestor.

Dôkaz. Nech je ľubovoľný lineárne nezávislý systém vektorov ľubovoľný generujúci systém. Predpokladajme, že .

Pretože generujúci systém, potom predstavuje ľubovoľný vektor priestoru vrátane vektora . Pridajme to do tohto systému. Dostaneme lineárne závislý a generujúci systém vektorov: . Potom je tu vektor tohto systému, ktorý je lineárne vyjadrený v podmienkach predchádzajúcich vektorov tohto systému a na základe lemy ho možno zo systému odstrániť a zvyšný systém vektorov sa bude stále generovať.

Zostávajúci systém vektorov prečíslujeme: . Pretože tento systém generuje, potom predstavuje vektor a jeho pripojením k tomuto systému opäť získame lineárne závislý a generujúci systém: .

Potom sa všetko opakuje. V tomto systéme existuje vektor, ktorý je lineárne vyjadrený v podmienkach predchádzajúcich, a toto nemôže byť vektor, pretože pôvodný systém je lineárne nezávislý a vektor nie je vyjadrený lineárne v podmienkach vektora. Takže to môže byť len jeden z vektorov . Jeho odstránením zo systému získame po prečíslovaní systém , ktorý bude generujúcim systémom. Pokračujúc v tomto procese, po krokoch získame generujúci systém vektorov: , kde , pretože podľa nášho odhadu. To znamená, že tento systém ako generátor predstavuje aj vektor , čo je v rozpore s podmienkou lineárnej nezávislosti systému .

Veta 1 je dokázaná.

Veta 2. (O počte vektorov v báze.) V ľubovoľnej báze vektora priestor obsahuje rovnaký počet vektorov.

Dôkaz. Dovoliť a byť dve ľubovoľné základne vektorového priestoru. Akýkoľvek základ je lineárne nezávislý a generujúci systém vektorov.

Pretože prvý systém je lineárne nezávislý a druhý generuje podľa vety 1, .

Podobne je druhý systém lineárne nezávislý a prvý generuje, potom . Z toho vyplýva, že p.t.d.

Veta 2 je dokázaná.

Toto teorém nám umožňuje zaviesť nasledujúcu definíciu.

Definícia. Rozmer vektorového priestoru V nad poľom K je počet vektorov v jeho báze.

Označenie: alebo .

Vektorové súradnice sú koeficienty jediné možné lineárna kombinácia základné vektory vo vybranom súradnicový systém rovná danému vektoru.

Matica je matematický objekt napísaný ako obdĺžniková tabuľka čísel a umožňujúci algebraické operácie (sčítanie, odčítanie, násobenie atď.) medzi ním a inými podobnými objektmi. Pravidlá vykonávania operácií na matriciach sú stanovené takto:

aby bolo pohodlné písať sústavy lineárnych rovníc. Zvyčajne je matica označená veľkým písmenom latinskej abecedy a je odlíšená okrúhlymi zátvorkami "(...)" (tiež sa nachádza

zvýraznenie hranatými zátvorkami “[…]”, dvojité rovné čiary “||…||”) A čísla tvoriace maticu (prvky matice) sú označené rovnakým písmenom ako samotná matica, ale sú malé. každý prvok matice má 2 dolné indexy (a ij ) - prvé "i" znamená

číslo riadku, v ktorom sa prvok nachádza, a druhé „j“ je číslo stĺpca.

Maticové operácie

Násobenie matice A číslom

B , ktorej prvky sa získajú vynásobením každého prvku matice A týmto číslom, to znamená, že každý prvok matice B je

b ij = λ a ij

Pridanie matice A

prvok matice C je

c ij= a ij+ b ij

Odčítanie matice A

c ij= a ij- b ij

A+Θ=A

Maticové násobenie(zápis: AB , zriedkavo so znamienkom násobenia) - existuje operácia na výpočet matice C , ktorej prvky sa rovnajú súčtu súčinov prvkov v zodpovedajúcom riadku prvého faktora a stĺpci druhého.

c ij= ∑ a ikb kj

Prvý multiplikátor musí mať toľko stĺpcov, koľko je riadkov v druhom. Ak má matica A rozmer B -, potom rozmer ich súčinu AB = C

tam je . Maticové násobenie nie je komutatívne. Vidno to aspoň z toho, že ak matice nie sú štvorcové, tak sa dá násobiť len jedna druhou, ale nie naopak. Pre

štvorcových matíc, výsledok násobenia závisí od poradia faktorov.

Iba štvorcové matice môžu byť umocnené.

Matica identity

Pre štvorcové matice existuje matica identity E také, že akékoľvek násobenie

matice na nej nemá vplyv na výsledok, a to

EA=AE=A

Matica identity má jednotky iba v

uhlopriečky, ostatné prvky sú rovné nule

Pre niektoré štvorcové matice možno nájsť tzvinverzná matica.

Inverzná matica A - 1 je taká, že ak ňou maticu vynásobíte, dostanete maticu identity

AA − 1 = E

Inverzná matica nie vždy existuje. Matice, pre ktoré existuje inverzná metóda, sa nazývajú

nedegenerované, a pre ktoré nie je - degenerované. Matica je nedegenerovaná, ak sú všetky jej riadky (stĺpce) lineárne nezávislé ako vektory. Maximálny počet lineárne nezávislých riadkov

(stĺpce) sa nazýva hodnosť matice. Determinant (determinant) matice je normalizovaná šikmo symetrická lineárna funkcia na riadkoch matice. Matrix

je degenerovaný práve vtedy, ak je jeho determinant nulový.

Vlastnosti matice

1. A + (B + C ) = (A + B) + C

2.A+B=B+A

3. A (BC) = (AB)C

4.A(B+C)=AB+AC

5. (B + C) A = BA + CA

9. Symetrická matica A je kladne určité (A > 0), ak sú hodnoty všetkých jeho hlavných uhlov menšie A k > 0

10. Symetrická matica A je záporne určité (A< 0), если матрица (−A )

je kladne určitý, to znamená, ak pre ľubovoľné k má hlavná minor k-tého rádu A k znamienko (− 1)k

Sústavy lineárnych rovníc

Sústava m rovníc s n neznámymi

a11 x1 +a12 x2 +…+a1n xn =b1 a21 x1 +a22 x2 +…+a2n xn =b2

am x1 +am x2 +...+am xn = bm

môžu byť reprezentované v maticovej forme

a potom sa dá celý systém zapísať takto: AX =B

Maticové operácie

Nech a ij sú prvky matice A a b ij je matica B.

Násobenie matice A číslomλ (zápis: λA ) je zostrojiť maticu

B , ktorej prvky sa získajú vynásobením každého prvku matice A týmto číslom, to znamená, že každý prvok matice B je b ij = λa ij

Napíšeme maticu A

Vynásobte prvý prvok matice A číslom 2

Pridanie matice A+ B je operácia hľadania matice C , ktorej všetky prvky sú rovnaké v párovom súčte všetkých zodpovedajúcich prvkov matíc A a B , teda každý

prvok matice C je

c ij= a ij+ b ij

А+В Napíšme matice А a В

Vykonajte sčítanie prvých prvkov matíc

Roztiahnite hodnoty, najprv horizontálne a potom vertikálne (môžete aj naopak)

Odčítanie matice A− B je definované podobne ako sčítanie, je to operácia nájdenia matice C, ktorej prvky

c ij= a ij- b ij

Sčítanie a odčítanie je povolené len pre matice rovnakej veľkosti.

Existuje nulová matica Θ taká, že jej pridaním k inej matici A sa A nezmení, t.j.

A+Θ=A

Všetky prvky nulovej matice sa rovnajú nule.

Táto téma je medzi študentmi jedna z najnenávidenejších. Horšie asi len determinanty.

Trik je v tom, že samotný koncept inverzného prvku (a nehovorím teraz len o maticiach) nás odkazuje na operáciu násobenia. Aj v školských osnovách sa násobenie považuje za zložitú operáciu a násobenie matíc je vo všeobecnosti samostatnou témou, ktorej je venovaný celý odstavec a video lekcia.

Dnes sa nebudeme venovať podrobnostiam maticových výpočtov. Len si pamätajte: ako sa označujú matice, ako sa násobia a čo z toho vyplýva.

Recenzia: Maticové násobenie

V prvom rade sa dohodneme na notácii. Matica $A$ veľkosti $\left[ m\times n \right]$ je jednoducho tabuľka čísel s presne $m$ riadkami a $n$ stĺpcami:

\=\underbrace(\left[ \begin(matica) ((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) \\ (( a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((a)_(m1)) & ((a)_(m2)) & ... & ((a)_(mn)) \\\koniec (matica) \vpravo])_(n)\]

Aby ste si miestami náhodou nepoplietli riadky a stĺpce (verte mi, na skúške si môžete jeden pomýliť s dvojkou - čo by sme tam mohli povedať o niektorých riadkoch), stačí sa pozrieť na obrázok:

Stanovenie indexov pre bunky matrice

Čo sa deje? Ak do ľavého horného rohu umiestnime štandardný súradnicový systém $OXY$ a osi nasmerujeme tak, aby pokrývali celú maticu, tak každá bunka tejto matice môže byť jednoznačne spojená so súradnicami $\left(x;y \right) $ - toto bude číslo riadku a číslo stĺpca.

Prečo je súradnicový systém umiestnený presne v ľavom hornom rohu? Áno, pretože odtiaľ začíname čítať akékoľvek texty. Je veľmi ľahké si to zapamätať.

Prečo os $x$ smeruje nadol a nie doprava? Všetko je opäť jednoduché: zoberte štandardný súradnicový systém (os $x$ ide doprava, os $y$ ide hore) a otočte ho tak, aby obklopoval maticu. Ide o otočenie o 90 stupňov v smere hodinových ručičiek – jeho výsledok vidíme na obrázku.

Vo všeobecnosti sme prišli na to, ako určiť indexy prvkov matice. Teraz sa poďme zaoberať násobením.

Definícia. Matice $A=\left[ m\krát n \right]$ a $B=\left[ n\krát k \right]$, keď sa počet stĺpcov v prvom zhoduje s počtom riadkov v druhom, sú nazývaný konzistentný.

Je to v tomto poradí. Niekto môže byť nejednoznačný a povedať, že matice $A$ a $B$ tvoria usporiadaný pár $\left(A;B \right)$: ak sú konzistentné v tomto poradí, potom nie je vôbec potrebné, aby $B $ a $A$, tie. pár $\left(B;A \right)$ je tiež konzistentný.

Násobiť možno iba konzistentné matice.

Definícia. Súčin konzistentných matíc $A=\left[ m\krát n \right]$ a $B=\left[ n\krát k \right]$ je nová matica $C=\left[ m\krát k \right ]$ , ktorého prvky $((c)_(ij))$ sa vypočítajú podľa vzorca:

\[((c)_(ij))=\sum\limits_(k=1)^(n)(((a)_(ik)))\cdot ((b)_(kj))\]

Inými slovami: ak chcete získať prvok $((c)_(ij))$ matice $C=A\cdot B$, musíte vziať $i$-riadok prvej matice, $j$ -tý stĺpec druhej matice a potom vynásobte prvky z tohto riadku a stĺpca. Sčítajte výsledky.

Áno, to je krutá definícia. Z toho vyplýva hneď niekoľko faktov:

1. Maticové násobenie je, všeobecne povedané, nekomutatívne: $A\cdot B\ne B\cdot A$;
2. Násobenie je však asociatívne: $\left(A\cdot B \right)\cdot C=A\cdot \left(B\cdot C \right)$;
3. A dokonca distributívne: $\left(A+B \right)\cdot C=A\cdot C+B\cdot C$;
4. A opäť distributívne: $A\cdot \left(B+C \right)=A\cdot B+A\cdot C$.

Distributivita násobenia musela byť opísaná oddelene pre ľavý a pravý súčet násobiteľa práve z dôvodu nekomutatívnosti operácie násobenia.

Ak sa napriek tomu ukáže, že $A\cdot B=B\cdot A$, takéto matice sa nazývajú permutabilné.

Medzi všetkými maticami, ktoré sú tam niečím vynásobené, sú špeciálne - tie, ktoré po vynásobení akoukoľvek maticou $A$ opäť dávajú $A$:

Definícia. Matica $E$ sa nazýva identita, ak $A\cdot E=A$ alebo $E\cdot A=A$. V prípade štvorcovej matice $A$ môžeme písať:

Matica identity je častým hosťom pri riešení maticových rovníc. A vôbec, častý hosť vo svete matrík. :)

A kvôli tomuto $E$ niekto vymyslel celú hru, ktorá bude napísaná ďalej.

Čo je inverzná matica

Keďže násobenie matice je veľmi časovo náročná operácia (musíte vynásobiť veľa riadkov a stĺpcov), koncept inverznej matice tiež nie je najtriviálnejší. A chce to nejaké vysvetlenie.

Kľúčová definícia

No je načase poznať pravdu.

Definícia. Matica $B$ sa nazýva inverzná k matici $A$ if

Inverzná matica je označená $((A)^(-1))$ (nezamieňať so stupňom!), takže definíciu možno prepísať takto:

Zdalo by sa, že všetko je veľmi jednoduché a jasné. Pri analýze takejto definície sa však okamžite vynára niekoľko otázok:

1. Existuje vždy inverzná matica? A ak nie vždy, ako určiť: kedy existuje a kedy nie?
2. A kto povedal, že takáto matica je presne jedna? Čo ak pre nejakú pôvodnú maticu $A$ existuje celý zástup inverzných hodnôt?
3. Ako vyzerajú všetky tieto „obrátky“? A ako ich vlastne rátate?

Čo sa týka výpočtových algoritmov - o tom budeme hovoriť o niečo neskôr. Na ostatné otázky však odpovieme už teraz. Usporiadajme si ich do podoby samostatných tvrdení-lém.

Základné vlastnosti

Začnime tým, ako by mala matica $A$ vyzerať, aby mala $((A)^(-1))$. Teraz sa presvedčíme, že obe tieto matice musia byť štvorcové a rovnakej veľkosti: $\left[ n\times n \right]$.

Lema 1. Daná je matica $A$ a jej inverzná hodnota $((A)^(-1))$. Potom sú obe tieto matice štvorcové a majú rovnaké poradie $n$.

Dôkaz. Všetko je jednoduché. Nech je matica $A=\vľavo[ ​​m\krát n \vpravo]$, $((A)^(-1))=\vľavo[ ​​a\krát b \vpravo]$. Keďže produkt $A\cdot ((A)^(-1))=E$ podľa definície existuje, matice $A$ a $((A)^(-1))$ sú konzistentné v tomto poradí:

\[\začiatok(zarovnanie) & \left[ m\times n \right]\cdot \left[ a\times b \right]=\left[ m\times b \right] \\ & n=a \end( zarovnať)\]

Toto je priamy dôsledok algoritmu násobenia matice: koeficienty $n$ a $a$ sú „tranzitné“ a musia sa rovnať.

Zároveň je definované aj inverzné násobenie: $((A)^(-1))\cdot A=E$, teda matice $((A)^(-1))$ a $A$ sú konzistentné aj v tomto poradí:

\[\začiatok(zarovnanie) & \left[ a\times b \right]\cdot \left[ m\times n \right]=\left[ a\times n \right] \\ & b=m \end( zarovnať)\]

Bez straty všeobecnosti teda môžeme predpokladať, že $A=\vľavo[ ​​m\krát n \vpravo]$, $((A)^(-1))=\vľavo[ ​​n\krát m \vpravo]$. Avšak podľa definície $A\cdot ((A)^(-1))=((A)^(-1))\cdot A$, takže rozmery matíc sú úplne rovnaké:

\[\začiatok(zarovnanie) & \ľavo[ ​​m\krát n \vpravo]=\vľavo[ ​​n\krát m \vpravo] \\ & m=n \koniec (zarovnanie)\]

Ukazuje sa teda, že všetky tri matice – $A$, $((A)^(-1))$ a $E$ – sú štvorcové vo veľkosti $\left[ n\krát n \right]$. Lema je dokázaná.

No to je už dobré. Vidíme, že iba štvorcové matice sú invertibilné. Teraz sa uistite, že inverzná matica je vždy rovnaká.

Lema 2. Daná je matica $A$ a jej inverzná hodnota $((A)^(-1))$. Potom je táto inverzná matica jedinečná.

Dôkaz. Začnime naopak: nech má matica $A$ aspoň dve inverzie — $B$ a $C$. Potom podľa definície platia nasledujúce rovnosti:

\[\begin(align) & A\cdot B=B\cdot A=E; \\ & A\cdot C=C\cdot A=E. \\ \end(zarovnať)\]

Z Lemy 1 usudzujeme, že všetky štyri matice $A$, $B$, $C$ a $E$ sú štvorce rovnakého poriadku: $\left[ n\times n \right]$. Preto je produkt definovaný:

Keďže násobenie matice je asociatívne (ale nie komutatívne!), môžeme písať:

\[\začiatok(zarovnanie) & B\cdot A\cdot C=\vľavo(B\cdot A \vpravo)\cdot C=E\cdot C=C; \\ & B\cdot A\cdot C=B\cdot \left(A\cdot C \right)=B\cdot E=B; \\ & B\cdot A\cdot C=C=B\šípka doprava B=C. \\ \end(zarovnať)\]

Dostali sme jedinú možnú možnosť: dve kópie inverznej matice sú rovnaké. Lema je dokázaná.

Vyššie uvedená úvaha takmer doslovne opakuje dôkaz jedinečnosti inverzného prvku pre všetky reálne čísla $b\ne 0$. Jediným významným doplnkom je zohľadnenie rozmeru matíc.

Stále však nevieme nič o tom, či je nejaká štvorcová matica invertovateľná. Tu nám prichádza na pomoc determinant - to je kľúčová charakteristika všetkých štvorcových matíc.

Lema 3. Daná matica $A$. Ak existuje matica $((A)^(-1))$ inverzná k nej, potom je determinant pôvodnej matice nenulový:

\[\left| A \vpravo|\ne 0\]

Dôkaz. Už vieme, že $A$ a $((A)^(-1))$ sú štvorcové matice veľkosti $\left[ n\krát n \right]$. Pre každý z nich je teda možné vypočítať determinant: $\left| A \vpravo|$ a $\vľavo| ((A)^(-1)) \vpravo|$. Avšak determinant súčinu sa rovná súčinu determinantov:

\[\left| A\cdot B \right|=\left| A \right|\cdot \left| B \vpravo|\Šípka vpravo \vľavo| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| A \right|\cdot \left| ((A)^(-1)) \vpravo|\]

Ale podľa definície $A\cdot ((A)^(-1))=E$ a determinant $E$ je vždy rovný 1, takže

\[\begin(align) & A\cdot ((A)^(-1))=E; \\ & \left| A\cdot ((A)^(-1)) \right|=\left| E\right|; \\ & \left| A \right|\cdot \left| ((A)^(-1)) \vpravo|=1. \\ \end(zarovnať)\]

Súčin dvoch čísel sa rovná jednej iba vtedy, ak sa každé z týchto čísel líši od nuly:

\[\left| A \right|\ne 0;\quad \left| ((A)^(-1)) \vpravo|\ne 0.\]

Takže sa ukázalo, že $\left| A \vpravo|\ne 0$. Lema je dokázaná.

V skutočnosti je táto požiadavka celkom logická. Teraz budeme analyzovať algoritmus na nájdenie inverznej matice - a bude úplne jasné, prečo v zásade nemôže existovať žiadna inverzná matica s nulovým determinantom.

Najprv však sformulujme „pomocnú“ definíciu:

Definícia. Degenerovaná matica je štvorcová matica veľkosti $\left[ n\krát n \right]$, ktorej determinant je nula.

Môžeme teda tvrdiť, že akákoľvek invertibilná matica je nedegenerovaná.

Ako nájsť inverznú maticu

Teraz zvážime univerzálny algoritmus na hľadanie inverzných matíc. Vo všeobecnosti existujú dva všeobecne akceptované algoritmy a dnes zvážime aj druhý.

Ten, ktorý teraz zvážime, je veľmi účinný pre matice veľkosti $\left[ 2\krát 2 \right]$ a - čiastočne - veľkosti $\left[ 3\krát 3 \right]$. Ale od veľkosti $\left[ 4\krát 4 \right]$ je lepšie ho nepoužívať. Prečo - teraz všetko pochopíte.

Algebraické sčítania

Pripraviť sa. Teraz bude bolesť. Nie, nebojte sa: krásna sestrička v sukni, pančuchách s čipkou k vám nepríde a nedá vám injekciu do zadku. Všetko je oveľa prozaickejšie: prichádzajú k vám algebraické doplnky a Jej Veličenstvo „Union Matrix“.

Začnime tým hlavným. Nech existuje štvorcová matica veľkosti $A=\left[ n\krát n \right]$, ktorej prvky sú pomenované $((a)_(ij))$. Potom je možné pre každý takýto prvok definovať algebraický doplnok:

Definícia. Algebraický doplnok $((A)_(ij))$ k prvku $((a)_(ij))$ v $i$-tom riadku a $j$-tom stĺpci matice $A=\left [ n \times n \right]$ je konštrukcia formulára

\[((A)_(ij))=((\left(-1 \right))^(i+j))\cdot M_(ij)^(*)\]

Kde $M_(ij)^(*)$ je determinant matice získanej z pôvodného $A$ odstránením rovnakého $i$-tého riadku a $j$-tého stĺpca.

Opäť. Algebraický doplnok k prvku matice so súradnicami $\left(i;j \right)$ sa označí ako $((A)_(ij))$ a vypočíta sa podľa schémy:

1. Najprv vymažeme $i$-riadok a $j$-tý stĺpec z pôvodnej matice. Dostaneme novú štvorcovú maticu a jej determinant označíme ako $M_(ij)^(*)$.
2. Potom tento determinant vynásobíme $((\left(-1 \right))^(i+j))$ - na prvý pohľad sa tento výraz môže zdať ohromujúci, ale v skutočnosti len zistíme znamienko pred $ M_(ij)^(*) $.
3. Počítame – dostaneme konkrétne číslo. Tie. algebraické sčítanie je len číslo, nie nejaká nová matica atď.

Samotná matica $M_(ij)^(*)$ sa nazýva doplnková vedľajšia k prvku $((a)_(ij))$. A v tomto zmysle je vyššie uvedená definícia algebraického doplnku špeciálnym prípadom zložitejšej definície - tej, ktorú sme uvažovali v lekcii o determinante.

Dôležitá poznámka. V skutočnosti v matematike pre dospelých sú algebraické sčítania definované takto:

1. Zoberieme $k$ riadkov a $k$ stĺpcov v štvorcovej matici. Na ich priesečníku dostaneme maticu veľkosti $\left[ k\times k \right]$ — jej determinant sa nazýva moll rádu $k$ a označuje sa $((M)_(k))$.
2. Potom tieto "vybrané" $k$ riadky a $k$ stĺpce prečiarkneme. Opäť dostaneme štvorcovú maticu - jej determinant sa nazýva komplementárny minor a značí sa $M_(k)^(*)$.
3. Vynásobte $M_(k)^(*)$ $((\left(-1 \right))^(t))$, kde $t$ je (teraz pozor!) súčet čísel všetkých vybratých riadkov a stĺpce . Toto bude algebraické sčítanie.

Pozrite sa na tretí krok: v skutočnosti ide o sumu 2 000 $! Ďalšia vec je, že pre $k=1$ dostaneme len 2 členy - budú to rovnaké $i+j$ - "súradnice" prvku $((a)_(ij))$, pre ktoré sme hľadá algebraický doplnok.

Dnes teda používame trochu zjednodušenú definíciu. Ako však neskôr uvidíme, bude toho viac než dosť. Oveľa dôležitejšie je nasledovné:

Definícia. Zjednocovacia matica $S$ so štvorcovou maticou $A=\left[ n\krát n \right]$ je nová matica veľkosti $\left[ n\times n \right]$, ktorá sa získa z $A$ nahradením $(( a)_(ij))$ algebraickými doplnkami $((A)_(ij))$:

\\Šípka doprava S=\doľava[ \začiatok(matica) ((A)_(11)) & ((A)_(12)) & ... & (A)_(1n)) \\ (( A)_(21)) & ((A)_(22)) & ... & ((A)_(2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((A)_(n1)) & ((A)_(n2)) & ... & ((A)_(nn)) \\\koniec (matica) \vpravo]\]

Prvá myšlienka, ktorá vyvstane v momente uvedomenia si tejto definície, je „toľko musíte celkovo počítať!“ Relax: musíte počítať, ale nie toľko. :)

To všetko je veľmi pekné, ale prečo je to potrebné? Ale prečo.

Hlavná veta

Vráťme sa trochu späť. Pamätajte, že lemma 3 uviedla, že invertibilná matica $A$ je vždy nesingulárna (to znamená, že jej determinant je nenulový: $\left| A \right|\ne 0$).

Takže platí aj opak: ak matica $A$ nie je degenerovaná, potom je vždy invertibilná. A dokonca existuje aj vyhľadávacia schéma $((A)^(-1))$. Skontrolovať to:

Veta o inverznej matici. Nech je daná štvorcová matica $A=\left[ n\krát n \right]$ a jej determinant je nenulový: $\left| A \vpravo|\ne 0$. Potom existuje inverzná matica $((A)^(-1))$ a vypočíta sa podľa vzorca:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\vľavo| A \vpravo|)\cdot ((S)^(T))\]

A teraz - všetko to isté, ale čitateľným rukopisom. Ak chcete nájsť inverznú maticu, potrebujete:

1. Vypočítajte determinant $\left| A \vpravo|$ a uistite sa, že je nenulové.
2. Zostavte zjednocovaciu maticu $S$, t.j. spočítajte 100500 algebraických sčítaní $((A)_(ij))$ a vložte ich na miesto $((a)_(ij))$.
3. Transponujte túto maticu $S$ a potom ju vynásobte nejakým číslom $q=(1)/(\left| A \right|)\;$.

A je to! Nájdená inverzná matica $((A)^(-1))$. Pozrime sa na príklady:

\[\left[ \začiatok(matica) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\koniec (matica) \right]\]

rozhodnutie. Skontrolujeme reverzibilitu. Vypočítajme determinant:

\[\left| A \vpravo|=\vľavo| \začiatok(matica) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\koniec (matica) \right|=3\cdot 2-1\cdot 5=6-5=1\]

Determinant je odlišný od nuly. Matica je teda invertovateľná. Vytvorme zjednocovaciu maticu:

Vypočítajme algebraické sčítania:

\[\begin(align) & ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| 2\vpravo|=2; \\ & ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| 5\vpravo|=-5; \\ & ((A)_(21))=((\left(-1 \right))^(2+1))\cdot \left| 1 \vpravo|=-1; \\ & ((A)_(22))=((\left(-1 \right))^(2+2))\cdot \left| 3\vpravo|=3. \\ \end(zarovnať)\]

Venujte pozornosť: determinantom |2|, |5|, |1| a |3| sú determinanty matíc veľkosti $\left[ 1\krát 1 \right]$, nie modulov. Tie. ak boli v determinantoch záporné čísla, nie je potrebné odstraňovať "mínus".

Celkovo naša matica spojenia vyzerá takto:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(\vľavo| A \vpravo|)\cdot ((S)^(T))=\frac(1)(1)\cdot ( (\left[ \begin(pole)(*(35)(r)) 2 & -5 \\ -1 & 3 \\\end(pole) \right])^(T))=\left[ \begin (pole)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\koniec (pole) \vpravo]\]

To je všetko. Problém je vyriešený.

Odpoveď. $\left[ \begin(pole)(*(35)(r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\end(pole) \right]$

Úloha. Nájdite inverznú maticu:

\[\left[ \begin(pole)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\end(pole) \right] \]

rozhodnutie. Opäť zvážime determinant:

\[\začiatok(zarovnanie) & \left| \začiatok(pole)(*(35)(r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\koniec (pole) \right|=\začiatok (matica ) \left(1\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot \left(-1 \right)\cdot 1+2\cdot 0\cdot 0 \right)- \\ -\left (2\cdot 2\cdot 1+\left(-1 \right)\cdot 0\cdot 1+1\cdot \left(-1 \right)\cdot 0 \right) \\\end(matica)= \ \ & =\left(2+1+0 \right)-\left(4+0+0 \right)=-1\ne 0. \\ \end(align)\]

Determinant sa líši od nuly - matica je invertovateľná. Ale teraz to bude najplechovejšie: musíte napočítať až 9 (deväť, sakra!) algebraických sčítaní. A každý z nich bude obsahovať kvalifikátor $\left[ 2\krát 2 \right]$. Let:

\[\begin(matica) ((A)_(11))=((\left(-1 \right))^(1+1))\cdot \left| \začiatok(matica) 2 & -1 \\ 0 & 1 \\\koniec (matica) \vpravo|=2; \\ ((A)_(12))=((\left(-1 \right))^(1+2))\cdot \left| \začiatok(matica) 0 & -1 \\ 1 & 1 \\\koniec (matica) \vpravo|=-1; \\ ((A)_(13))=((\left(-1 \right))^(1+3))\cdot \left| \začiatok(matica) 0 & 2 \\ 1 & 0 \\\koniec (matica) \vpravo|=-2; \\ ... \\ ((A)_(33))=((\left(-1 \right))^(3+3))\cdot \left| \začiatok(matica) 1 & -1 \\ 0 & 2 \\\koniec (matica) \vpravo|=2; \\ \end(matica)\]

Stručne povedané, zjednocovacia matica bude vyzerať takto:

Preto inverzná matica bude:

\[((A)^(-1))=\frac(1)(-1)\cdot \left[ \begin(matica) 2 & -1 & -2 \\ 1 & -1 & -1 \\ -3 & 1 & 2 \\\koniec (matica) \vpravo]=\ľavý[ \začiatok(pole)(*(35)(r))-2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \ \ 2 & 1 & -2 \\\koniec (pole) \vpravo]\]

No to je všetko. Tu je odpoveď.

Odpoveď. $\left[ \begin(pole)(*(35)(r)) -2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\\end(pole) \right ]$

Ako vidíte, na konci každého príkladu sme vykonali kontrolu. V tejto súvislosti dôležitá poznámka:

Nebuďte leniví na kontrolu. Vynásobte pôvodnú maticu nájdenou inverznou hodnotou - mali by ste dostať $E$.

Vykonať túto kontrolu je oveľa jednoduchšie a rýchlejšie, ako hľadať chybu v ďalších výpočtoch, keď napríklad riešite maticovú rovnicu.

Alternatívny spôsob

Ako som povedal, veta o inverznej matici funguje dobre pre veľkosti $\left[ 2\krát 2 \right]$ a $\left[ 3\krát 3 \right]$ (v druhom prípade to nie je také „skvelé“ už). “), no pre veľké matriky začína smútok.

Ale nebojte sa: existuje alternatívny algoritmus, ktorý možno použiť na pokojné nájdenie inverznej hodnoty aj pre maticu $\left[ 10\krát 10 \right]$. Ale, ako to často býva, na zváženie tohto algoritmu potrebujeme trochu teoretického základu.

Elementárne transformácie

Medzi rôznymi transformáciami matice existuje niekoľko špeciálnych - nazývajú sa elementárne. Existujú presne tri takéto transformácie:

1. Násobenie. Môžete vziať $i$-tý riadok (stĺpec) a vynásobiť ho ľubovoľným číslom $k\ne 0$;
2. Doplnenie. Pridajte do $i$-tého riadku (stĺpca) akýkoľvek iný $j$-tý riadok (stĺpec) vynásobený ľubovoľným číslom $k\ne 0$ (samozrejme, je možné aj $k=0$, ale načo to je z toho? „Nič sa však nezmení).
3. Permutácia. Vezmite $i$-tý a $j$-tý riadok (stĺpce) a vymeňte ich.

Prečo sa tieto transformácie nazývajú elementárne (pre veľké matice nevyzerajú až tak elementárne) a prečo sú len tri – tieto otázky sú nad rámec dnešnej hodiny. Nebudeme preto zachádzať do podrobností.

Ďalšia vec je dôležitá: všetky tieto zvrátenosti musíme vykonať na pridruženej matrici. Áno, áno, počuli ste dobre. Teraz bude ešte jedna definícia – posledná v dnešnej lekcii.

Priložená matica

Určite ste v škole riešili sústavy rovníc metódou sčítania. Nuž, odčítajte ďalší od jedného riadku, vynásobte nejaký riadok číslom - to je všetko.

Takže: teraz bude všetko rovnaké, ale už „dospelým spôsobom“. pripravený?

Definícia. Nech je daná matica $A=\left[ n\krát n \right]$ a matica identity $E$ rovnakej veľkosti $n$. Potom priradená matica $\left[ A\left| E\vpravo. \right]$ je nová $\left[ n\krát 2n \right]$ matica, ktorá vyzerá takto:

\[\left[ A\left| E\vpravo. \right]=\left[ \begin(pole)(rrrr|rrrr)((a)_(11)) & ((a)_(12)) & ... & ((a)_(1n)) & 1 & 0 & ... & 0 \\((a)_(21)) & ((a)_(22)) & ... & ((a)_(2n)) & 0 & 1 & ... & 0 \\... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\((a)_(n1)) & ((a)_(n2)) & ... & ((a)_(nn)) & 0 & 0 & ... & 1 \\\end(pole) \right]\]

Skrátka vezmeme maticu $A$, vpravo k nej priradíme maticu identity $E$ požadovanej veľkosti, pre krásu ich oddelíme zvislou čiarou - tu máte priloženú. :)

v čom je háčik? A tu je čo:

Veta. Nech je matica $A$ invertibilná. Uvažujme adjungovanú maticu $\left[ A\left| E\vpravo. \right]$. Ak používate elementárne reťazcové transformácie uveďte ho do tvaru $\left[ E\left| B\vpravo. \right]$, t.j. vynásobením, odčítaním a preskupením riadkov získate z $A$ maticu $E$ vpravo, potom matica $B$ získaná vľavo je inverzná k $A$:

\[\left[ A\left| E\vpravo. \vpravo]\do \doľava[ E\doľava| B\vpravo. \vpravo]\Šípka doprava B=((A)^(-1))\]

Je to také jednoduché! Stručne povedané, algoritmus na nájdenie inverznej matice vyzerá takto:

1. Napíšte pridruženú maticu $\left[ A\left| E\vpravo. \right]$;
2. Vykonávajte základné konverzie reťazcov, kým sa vpravo namiesto $A$ nezobrazí $E$;
3. Samozrejme, že sa niečo objaví aj vľavo – istá matica $B$. Toto bude naopak;
4. ZISK! :)

Samozrejme, oveľa ľahšie sa to povie, ako urobí. Pozrime sa teda na pár príkladov: pre veľkosti $\left[ 3\krát 3 \right]$ a $\left[ 4\krát 4 \right]$.

Úloha. Nájdite inverznú maticu:

\[\left[ \begin(pole)(*(35)(r)) 1 & 5 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 6 & -2 & 1 \\\end(pole) \right]\ ]

rozhodnutie. Zostavíme priloženú maticu:

\[\left[ \begin(pole)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & -2 & 1 & 0 & 0 a 1 \\\koniec (pole) \vpravo]\]

Keďže posledný stĺpec pôvodnej matice je vyplnený jednotkami, odpočítajte prvý riadok od zvyšku:

\[\begin(align) & \left[ \begin(pole)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & - 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\koniec (pole) \vpravo]\začiatok (matica) \dole \\ -1 \\ -1 \\\koniec (matica)\do \\ & \do \vľavo [ \begin(pole)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\koniec (pole) \vpravo] \\ \koniec (zarovnanie)\]

Neexistujú žiadne ďalšie jednotky, okrem prvého riadku. Ale nedotýkame sa ho, inak sa novo odstránené jednotky začnú "množiť" v treťom stĺpci.

Ale môžeme odpočítať druhý riadok dvakrát od posledného - dostaneme jednotku v ľavom dolnom rohu:

\[\begin(align) & \left[ \begin(pole)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\koniec (pole) \vpravo]\začiatok (matica) \ \\ \šípka nadol \\ -2 \\\koniec (matica)\do \\ & \vľavo [ \begin(pole)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\koniec (pole) \vpravo] \\ \koniec (zarovnanie)\]

Teraz môžeme odpočítať posledný riadok od prvého a dvakrát od druhého - týmto spôsobom „vynulujeme“ prvý stĺpec:

\[\begin(align) & \left[ \begin(pole)(rrr|rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\koniec (matica) \vpravo]\začiatok (matica) -1 \\ -2 \\ \hore \\\koniec (matica)\do \\ & \ do \left[ \begin(pole)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\koniec (pole) \vpravo] \\ \koniec (zarovnanie)\]

Vynásobte druhý riadok −1 a potom ho 6-krát odpočítajte od prvého a pripočítajte 1-krát k poslednému:

\[\begin(align) & \left[ \begin(pole)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \ \ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\koniec (pole) \vpravo]\začiatok (matica) \ \\ \ľavý| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \ \\\koniec (matica)\do \\ & \do \vľavo[ ​​\začiatok(pole)(rrr|rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\koniec (pole) \vpravo]\začiatok (matica) -6 \\ \nahoru nadol \\ +1 \\\koniec (matica)\do \\ & \do \vľavo[ ​​\začiatok(pole)(rrr|rrr) 0 & 0 & 1 & -18 & 32 & -13 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\\koniec (pole) \vpravo] \\ \koniec (zarovnanie)\]

Zostáva len vymeniť riadky 1 a 3:

\[\left[ \begin(pole)(rrr|rrr) 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 18 & 32 & -13 \\\koniec (pole) \vpravo]\]

Pripravený! Na pravej strane je požadovaná inverzná matica.

Odpoveď. $\left[ \začiatok(pole)(*(35)(r))4 & -7 & 3 \\ 3 & -5 & 2 \\ -18 & 32 & -13 \\\koniec (pole) \vpravo ]$

Úloha. Nájdite inverznú maticu:

\[\left[ \začiatok(matica) 1 & 4 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & -10 & -2 & -5 \\\koniec (matica) \vpravo]\]

rozhodnutie. Opäť skladáme priložený:

\[\left[ \begin(pole)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \ \ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\koniec (pole) \vpravo]\]

Poďme si trochu požičať, postarať sa o to, koľko musíme teraz počítať ... a začnime počítať. Na začiatok „vynulujeme“ prvý stĺpec odčítaním riadku 1 od riadkov 2 a 3:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\end (pole) \vpravo]\začiatok (matica) \šípka nadol \\ -1 \\ -1 \\ \ \\\koniec (matica)\do \\ & \do \vľavo[ ​​\začiatok(pole)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\koniec (pole) \vpravo] \\ \koniec (zarovnanie)\]

V riadkoch 2-4 pozorujeme príliš veľa „mínusov“. Vynásobte všetky tri riadky −1 a potom vypaľte tretí stĺpec odčítaním riadku 3 od zvyšku:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end(pole) \right]\begin(matica) \ \\ \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \vľavo| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ \vľavo| \cdot \left(-1 \right) \right. \\\koniec (matica)\do \\ & \do \doľava[ \začiatok(pole)(rrrr|rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 1 & 5 & ​​​​1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 10 & 2 & 5 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ \koniec (matica) \vpravo]\začiatok (matica) -2 \\ -1 \\ \šipka nadol \\ -2 \\\koniec (matica)\do \\ & \do \vľavo[ ​​\začiatok(pole)( rrrr| rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(pole) \right] \\ \end(align)\]

Teraz je čas „vysmažiť“ posledný stĺpec pôvodnej matice: odpočítajte riadok 4 od zvyšku:

\[\begin(align) & \left[ \begin(array)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end(pole ) \vpravo]\začiatok(matica) +1 \\ -3 \\ -2 \\ \nahoru \\\koniec (matica)\do \\ & \do \vľavo[ ​​\začiatok(pole)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\koniec (pole) \vpravo] \\ \koniec (zarovnanie)\]

Záverečný hod: „vypálite“ druhý stĺpec odčítaním riadku 2 od riadku 1 a 3:

\[\begin(align) & \left[ \begin(pole)(rrrr|rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\end( pole) \vpravo]\začiatok(matica) 6 \\ \hore nadol \\ -5 \\ \ \\\koniec (matica)\do \\ & \do \doľava[ \začiatok(pole)(rrrr|rrrr) 1 & 0 & 0 & 0 & 33 & -6 & -26 & -17 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -25 & 5 & 20 & -13 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\koniec (pole) \vpravo] \\ \koniec (zarovnanie)\]

A opäť matica identity vľavo, takže inverzná vpravo. :)

Odpoveď. $\left[ \begin(matica) 33 & -6 & -26 & 17 \\ 6 & -1 & -5 & 3 \\ -25 & 5 & 20 & -13 \\ -2 & 0 & 2 & - 1 \\\koniec(matica) \vpravo]$