Otázka 1. Aké uhly sa nazývajú susedné?
Odpoveď. Dva uhly sa nazývajú susedné, ak majú jednu stranu spoločnú a ostatné strany týchto uhlov sú doplnkové polpriamky.
Na obrázku 31 sú uhly (a 1 b) a (a 2 b) priľahlé. Majú spoločnú stranu b a strany a 1 a a 2 sú dodatočné polpriamky.

Otázka 2. Dokážte, že súčet susedných uhlov je 180°.
Odpoveď. Veta 2.1. Súčet susedných uhlov je 180°.
Dôkaz. Nech sú uhol (a 1 b) a uhol (a 2 b) dané susednými uhlami (pozri obr. 31). Lúč b prechádza medzi stranami a 1 a a 2 priameho uhla. Preto sa súčet uhlov (a 1 b) a (a 2 b) rovná rozvinutému uhlu, teda 180°. Q.E.D.

Otázka 3. Dokážte, že ak sú dva uhly rovnaké, potom sú rovnaké aj ich susedné uhly.
Odpoveď.

Z vety 2.1 Z toho vyplýva, že ak sú dva uhly rovnaké, ich susedné uhly sú rovnaké.
Povedzme, že uhly (a 1 b) a (c 1 d) sú rovnaké. Musíme dokázať, že uhly (a 2 b) a (c 2 d) sú tiež rovnaké.
Súčet susedných uhlov je 180°. Z toho vyplýva, že a 1 b + a 2 b = 180° a c 1 d + c 2 d = 180°. Preto a2b = 180° - a1b a c2d = 180° - c1d. Keďže uhly (a 1 b) a (c 1 d) sú rovnaké, dostaneme, že a 2 b = 180° - a 1 b = c 2 d. Z vlastnosti tranzitivity znamienka rovnosti vyplýva, že a 2 b = c 2 d. Q.E.D.

Otázka 4. Aký uhol sa nazýva pravý (akútny, tupý)?
Odpoveď. Uhol rovný 90° sa nazýva pravý uhol.
Uhol menší ako 90° sa nazýva ostrý uhol.
Uhol väčší ako 90° a menší ako 180° sa nazýva tupý.

Otázka 5. Dokážte, že uhol susediaci s pravým uhlom je pravý uhol.
Odpoveď. Z vety o súčte susedných uhlov vyplýva, že uhol susediaci s pravým uhlom je pravý uhol: x + 90° = 180°, x = 180° - 90°, x = 90°.

Otázka 6. Aké uhly sa nazývajú vertikálne?
Odpoveď. Dva uhly sa nazývajú zvislé, ak strany jedného uhla sú doplnkovými polpriamkami strán druhého uhla.

Otázka 7. Dokážte, že vertikálne uhly sú rovnaké.
Odpoveď. Veta 2.2. Vertikálne uhly sú rovnaké.
Dôkaz. Nech (a 1 b 1) a (a 2 b 2) sú dané vertikálne uhly (obr. 34). Uhol (a 1 b 2) susedí s uhlom (a 1 b 1) a s uhlom (a 2 b 2). Odtiaľto pomocou vety o súčte susedných uhlov usúdime, že každý z uhlov (a 1 b 1) a (a 2 b 2) dopĺňa uhol (a 1 b 2) na 180°, t.j. uhly (a 1 b 1) a (a 2 b 2) sú rovnaké. Q.E.D.

Otázka 8. Dokážte, že ak sa dve priamky pretínajú, jeden z uhlov je pravý, potom sú pravé aj ostatné tri uhly.
Odpoveď. Predpokladajme, že sa priamky AB a CD pretínajú v bode O. Predpokladajme, že uhol AOD je 90°. Keďže súčet susedných uhlov je 180°, dostaneme, že AOC = 180° - AOD = 180° - 90° = 90°. Uhol COB je zvislý na uhol AOD, takže sú rovnaké. To znamená, že uhol COB = 90°. Uhol COA je zvislý od uhla BSK, takže sú rovnaké. To znamená, že uhol BSK = 90°. Všetky uhly sa teda rovnajú 90°, to znamená, že všetky sú pravé. Q.E.D.

Otázka 9. Ktoré čiary sa nazývajú kolmé? Aké znamienko sa používa na označenie kolmosti čiar?
Odpoveď. Dve čiary sa nazývajú kolmé, ak sa pretínajú v pravom uhle.
Kolmosť čiar je označená znamienkom \(\perp\). Záznam \(a\perp b\) znie: "Priamka a je kolmá na čiaru b."

Otázka 10. Dokážte, že cez ktorýkoľvek bod na priamke môžete nakresliť priamku kolmú na ňu, a to iba jednu.
Odpoveď. Veta 2.3. Cez každú čiaru môžete nakresliť čiaru kolmú na ňu a iba jednu.
Dôkaz. Nech a je daná priamka a A daný bod na nej. Označme a 1 jednu z polpriamok priamky a s počiatočným bodom A (obr. 38). Od polpriamky a 1 odčítajme uhol (a 1 b 1) rovný 90°. Potom bude priamka obsahujúca lúč b 1 kolmá na priamku a.

Predpokladajme, že existuje ďalšia priamka, ktorá tiež prechádza bodom A a je kolmá na priamku a. Označme c 1 polpriamku tejto priamky ležiacej v rovnakej polrovine s lúčom b 1 .
Uhly (a 1 b 1) a (a 1 c 1), každý rovný 90°, sú položené v jednej polrovine od polpriamky a 1. Ale z polpriamky 1 možno do danej polroviny vložiť iba jeden uhol rovný 90°. Preto nemôže byť ďalšia priamka prechádzajúca bodom A a kolmá na priamku a. Veta bola dokázaná.

Otázka 11.Čo je kolmé na priamku?
Odpoveď. Kolmica na danú priamku je úsek priamky kolmý na danú priamku, ktorý má jeden zo svojich koncov v ich priesečníku. Tento koniec segmentu sa nazýva základ kolmý.

Otázka 12. Vysvetlite, z čoho pozostáva dôkaz protirečením.
Odpoveď. Metóda dôkazu, ktorú sme použili vo vete 2.3, sa nazýva dôkaz kontradikciou. Táto metóda dôkazu spočíva v tom, že najprv urobíme predpoklad opačný k tomu, čo hovorí veta. Potom uvažovaním, spoliehajúc sa na axiómy a dokázané vety, dospejeme k záveru, ktorý je v rozpore buď s podmienkami vety, alebo s jednou z axióm, alebo s predtým dokázanou vetou. Na základe toho sme dospeli k záveru, že náš predpoklad bol nesprávny, a preto je tvrdenie vety pravdivé.

Otázka 13. Aká je osnica uhla?
Odpoveď. Osa uhla je lúč, ktorý vychádza z vrcholu uhla, prechádza medzi jeho stranami a delí uhol na polovicu.

Video kurz „Získaj A“ obsahuje všetky témy potrebné na úspešné absolvovanie jednotnej štátnej skúšky z matematiky so 60-65 bodmi. Kompletne všetky úlohy 1-13 Profilovej jednotnej štátnej skúšky z matematiky. Vhodné aj na zloženie Základnej jednotnej štátnej skúšky z matematiky. Ak chcete zložiť jednotnú štátnu skúšku s 90-100 bodmi, musíte časť 1 vyriešiť za 30 minút a bezchybne!

Prípravný kurz na Jednotnú štátnu skúšku pre ročníky 10-11, ako aj pre učiteľov. Všetko, čo potrebujete na vyriešenie 1. časti Jednotnej štátnej skúšky z matematiky (prvých 12 úloh) a 13. úlohy (trigonometria). A to je na Jednotnej štátnej skúške viac ako 70 bodov a nezaobíde sa bez nich ani 100-bodový študent, ani študent humanitných vied.

Všetka potrebná teória. Rýchle riešenia, úskalia a tajomstvá Jednotnej štátnej skúšky. Všetky aktuálne úlohy 1. časti z FIPI Task Bank boli analyzované. Kurz plne vyhovuje požiadavkám Jednotnej štátnej skúšky 2018.

Kurz obsahuje 5 veľkých tém, každá po 2,5 hodiny. Každá téma je daná od začiatku, jednoducho a jasne.

Stovky úloh jednotnej štátnej skúšky. Slovné úlohy a teória pravdepodobnosti. Jednoduché a ľahko zapamätateľné algoritmy na riešenie problémov. Geometria. Teória, referenčný materiál, analýza všetkých typov úloh jednotnej štátnej skúšky. Stereometria. Záludné riešenia, užitočné cheat sheets, rozvoj priestorovej predstavivosti. Trigonometria od nuly k problému 13. Pochopenie namiesto napchávania sa. Jasné vysvetlenie zložitých pojmov. Algebra. Odmocniny, mocniny a logaritmy, funkcia a derivácia. Podklad pre riešenie zložitých problémov 2. časti jednotnej štátnej skúšky.

Každý uhol, v závislosti od jeho veľkosti, má svoj vlastný názov:

Typ uhla	Veľkosť v stupňoch	Príklad
Pikantné	Menej ako 90°
Rovno	Rovná sa 90°. Na výkrese je pravý uhol zvyčajne označený symbolom nakresleným z jednej strany uhla na druhú.
Tupý	Viac ako 90°, ale menej ako 180°
Rozšírené	Rovná sa 180° Priamy uhol sa rovná súčtu dvoch pravých uhlov a pravý uhol je polovica priameho uhla.
Konvexné	Viac ako 180°, ale menej ako 360°
Plný	Rovná sa 360°

Tieto dva uhly sa nazývajú priľahlé, ak majú jednu stranu spoločnú a ostatné dve strany tvoria priamku:

Uhly MOP A PON priľahlé, keďže lúč OP- spoločná strana a ďalšie dve strany - OM A ON vytvoriť rovnú čiaru.

Spoločná strana susedných uhlov sa nazýva šikmý až rovný, na ktorom ležia ďalšie dve strany, len v prípade, keď susedné uhly nie sú navzájom rovnaké. Ak sú susedné uhly rovnaké, ich spoločná strana bude rovnaká kolmý.

Súčet susedných uhlov je 180°.

Tieto dva uhly sa nazývajú vertikálne, ak strany jedného uhla dopĺňajú strany druhého uhla k rovným čiaram:

Uhly 1 a 3, ako aj uhly 2 a 4 sú vertikálne.

Vertikálne uhly sú rovnaké.

Ukážme, že vertikálne uhly sú rovnaké:

Súčet ∠1 a ∠2 je priamy uhol. A súčet ∠3 a ∠2 je priamy uhol. Takže tieto dve sumy sú rovnaké:

∠1 + ∠2 = ∠3 + ∠2.

V tejto rovnosti je vľavo a vpravo identický výraz - ∠2. Rovnosť nebude porušená, ak sa tento výraz vľavo a vpravo vynechá. Potom to dostaneme.

Znaky rovnobežnosti dvoch čiar

Veta 1. Ak sa dve priamky pretínajú sečnicou:

skrížené uhly sú rovnaké, príp

zodpovedajúce uhly sú rovnaké, príp

súčet jednostranných uhlov je potom 180°

čiary sú rovnobežné(obr. 1).

Dôkaz. Obmedzujeme sa na dokazovanie prípadu 1.

Nech sú pretínajúce sa priamky aab priečne a uhly AB sú rovnaké. Napríklad ∠ 4 = ∠ 6. Dokážme, že || b.

Predpokladajme, že priamky a a b nie sú rovnobežné. Potom sa pretínajú v určitom bode M, a preto jeden z uhlov 4 alebo 6 bude vonkajším uhlom trojuholníka ABM. Pre jednoznačnosť nech je ∠ 4 vonkajší uhol trojuholníka ABM a ∠ 6 vnútorný uhol. Z vety o vonkajšom uhle trojuholníka vyplýva, že ∠ 4 je väčšie ako ∠ 6, čo je v rozpore s podmienkou, čo znamená, že priamky a a 6 sa nemôžu pretínať, sú teda rovnobežné.

Dôsledok 1. Dve rôzne čiary v rovine kolmej na tú istú čiaru sú rovnobežné(obr. 2).

Komentujte. Spôsob, akým sme práve dokázali prípad 1 vety 1, sa nazýva metóda dôkazu kontradikciou alebo redukciou do absurdity. Táto metóda dostala svoje prvé meno, pretože na začiatku argumentu je vyslovený predpoklad, ktorý je v protiklade (opačný) k tomu, čo je potrebné dokázať. Vedúcim k absurdite sa nazýva preto, že uvažovaním na základe vysloveného predpokladu dospejeme k absurdnému záveru (k absurdite). Prijatie takéhoto záveru nás núti odmietnuť predpoklad vyslovený na začiatku a prijať ten, ktorý bolo potrebné dokázať.

Úloha 1. Zostrojte priamku prechádzajúcu daným bodom M a rovnobežnú s danou priamkou a, ktorá neprechádza bodom M.

Riešenie. Bodom M kolmo na priamku a vedieme priamku p (obr. 3).

Potom nakreslíme priamku b bodom M kolmým na priamku p. Priamka b je rovnobežná s priamkou a podľa následku vety 1.

Z uvažovaného problému vyplýva dôležitý záver:
cez bod, ktorý neleží na danej priamke, je vždy možné nakresliť priamku rovnobežnú s danou.

Hlavná vlastnosť rovnobežných čiar je nasledovná.

Axióma rovnobežných čiar. Cez daný bod, ktorý neleží na danej priamke, prechádza len jedna priamka rovnobežná s danou.

Uvažujme o niektorých vlastnostiach rovnobežných priamok, ktoré vyplývajú z tejto axiómy.

1) Ak priamka pretína jednu z dvoch rovnobežných priamok, potom pretína aj druhú (obr. 4).

2) Ak sú dve rôzne čiary rovnobežné s treťou čiarou, potom sú rovnobežné (obr. 5).

Nasledujúca veta je tiež pravdivá.

Veta 2. Ak dve rovnobežné priamky pretína priečka, potom:

priečne uhly sú rovnaké;

zodpovedajúce uhly sú rovnaké;

súčet jednostranných uhlov je 180°.

Dôsledok 2. Ak je čiara kolmá na jednu z dvoch rovnobežných čiar, potom je tiež kolmá na druhú(pozri obr. 2).

Komentujte. Veta 2 sa nazýva inverzná veta 1. Záver 1. vety je podmienkou vety 2. A podmienka 1. vety je záverom 2. vety. Nie každá veta má inverznú, teda ak je daná veta pravda, potom môže byť inverzná veta nepravdivá.

Vysvetlime si to na príklade vety o vertikálnych uhloch. Táto veta môže byť formulovaná nasledovne: ak sú dva uhly vertikálne, potom sú rovnaké. Opačná veta by bola: ak sú dva uhly rovnaké, potom sú vertikálne. A to, samozrejme, nie je pravda. Dva rovnaké uhly nemusia byť vertikálne.

Príklad 1 Dve rovnobežné čiary pretína tretia. Je známe, že rozdiel medzi dvoma vnútornými jednostrannými uhlami je 30°. Nájdite tieto uhly.

Riešenie. Nech obrázok 6 spĺňa podmienku.

Editoval Ivanitskaya V.P. - M.: Štátne vzdelávacie a pedagogické nakladateľstvo Ministerstva školstva RSFSR, 1959. - 272 s.
Stiahnuť ▼(priamy odkaz) : egnnsholaster1959.djvu Predchádzajúci 1 .. 11 > .. >> Ďalší

Ak sú susedné uhly rovnaké, potom sa každý z nich nazýva pravý uhol. Ich spoločná strana sa nazýva kolmá na čiaru tvorenú ďalšími dvoma stranami. Môžeme tiež povedať, že os reverzného uhla je kolmá na priamku tvorenú jeho stranami.

Veta. Ak sú uhly rovnaké, susedné uhly sú rovnaké.

Nech (h, k) = ^. (I, m) a nech ^ (h!, k) a ^ (/", t) sú zodpovedajúce susedné uhly (obr. 20). Ďalej nech / je pohyb, pri ktorom je ^ (h, k) zobrazené v (I, tri). Týmto pohybom sa rozšírené ^ (h, K) zmapuje na rozšírené (I, /"). Z toho vyplýva, že ^(h", k) bude mapované do ^(V, m), teda ^(h!, k) = ^(V, m).

Veta. Existuje osička akéhokoľvek uhla a navyše jedinečná.

Nech je ^(A, k) iné ako rozšírené a jeho vnútorná oblasť nech je konvexná. Nanesme na jeho strany od vrcholu O rovnaké úsečky OA a OB (Výkres 21, a) a spojíme body A a B. V rovnoramennom trojuholníku AOB A = ^B (§ 8). Spojením stredu C úsečky AB s bodom O získame trojuholníky L OS a BOC, ktoré sú rovnaké v prvom atribúte, teda AOC = BOC, a teda lúč OS je os (h, k).

Ak (h, k) nie je konvexné (na výkrese nie je jeho vnútorná oblasť vytieňovaná), potom podľa predchádzajúceho

6}
t^

Podľa vety je jeho stredom lúč m doplnkový k lúču /.

Z rovnosti trojuholníkov ACO a BCO tiež vyplýva, že ^ ACO = BCO1 t.j. lúč CO je osou obráteného uhla so stranami CA a CB.

Dostaňme teraz rozšírené ^(p,<7) (черт.21,6). Совершим движение, при котор ом р азвер нутый

ACB sa zobrazí v

(p, q). Lúč CO sa mapuje do lúča t. Keďže ^ (p, t) = ^lBCO , ^BCO= ^ACO a ^ACO= = (q, t), potom (p, t) = = ^(q, t), t. j. t-osektor (p, q ).

Nech / je osou

(A, A) a Г je ľubovoľný lúč vychádzajúci z vrcholu uhla a ležiaci v jeho vnútornej oblasti. Ak Γ leží vo vnútornej oblasti ^(A, /), potom ^(A, /")<^ (А, /) и ^ (А, Г) >^ (A, /). Preto ^(A, G)<^ (А, /"). Отсюда следует, что угол имеет единственную биссектрису. Теорема доказана.

Dôsledok 1. Na danú priamku je jedna a len jedna kolmica, ktorá vychádza z daného bodu na nej a leží v danej polrovine ohraničenej touto priamkou.

Dôsledok 2. Polovice rovnakých uhlov sú si navzájom rovné.

V skutočnosti, ak ^(A, A) = ^(A", A"), potom existuje pohyb / v ktorom je jeden z nich mapovaný do druhého. Podľa dokázanej vety by mali byť ich osi / a Γ pre daný pohyb tiež zmapované do seba. Preto ^(A, /) = ^(A", Г).

Keďže všetky priame uhly sú rovnaké, špeciálnym prípadom Dôsledku 2 je výrok: všetky pravé uhly sú si navzájom rovné.

Priamky a a A, ktoré pri pretínaní zvierajú pravé uhly, sa nazývajú kolmé (a ± b).

Odraz od priamky. Nech priamka a leží v rovine a. Polroviny vytvorené v tomto prípade označíme X a p. (Obrázok 22). Zoberme lúč A na priamke

vychádzajúc z bodu O. Vlastnosťou 6 pohybov (§ 7) vzniká jedinečný pohyb mapujúci lúč h do seba a polrovinu X do polroviny jx. Všetky body tohto lúča sú podľa vlastnosti 5 pohybov mapované do seba. Všetky body lúča k, komplementárne k priamemu lúču h, sú tiež mapované na seba.

Takže počas posudzovaného pohybu sú všetky body priamky a mapované na seba. Ďalej je ľahké to vidieť

Zoberme si teraz bod mimo čiary a.

Veta. Cez ktorýkoľvek bod, ktorý neleží na priamke, prechádza jedna priamka kolmá na danú priamku.

Dôkaz. Nech M je bod ležiaci mimo priamky a (obr. 23). Priamka a rozdeľuje rovinu definovanú touto priamkou a

bod M na dve polroviny: polrovinu X obsahujúcu bod M a polrovinu jx. Pri odraze od priamky a sa bod M zobrazí na bod M" polroviny jx. Keďže body M a M" ležia v rôznych polrovinách,

ah, potom rovno MM" a sakra 23

pretínajú na niektorých

bod M0, ktorý sa pri odraze zmapuje na seba. Z toho vyplýva, že priamka MM" je zobrazená sama na sebe, a preto uhly / a 2, ktoré zviera s priamkou a (pozri obr. 23), sú zobrazené do seba.

Polrovina jx je mapovaná do polroviny X.

Uvažovaný pohyb sa nazýva odraz od priamky a.

Z existencie osy spätného uhla vyplýva, že cez ktorýkoľvek bod ležiaci na priamke a je vždy možné nakresliť priamku b kolmú na priamku a.

To znamená, že tieto uhly sú rovnaké, a keďže sú navyše priľahlé, potom MM" ± a. Teraz nechajme nakresliť ďalšiu priamku cez M, pretínajúcu čiaru a v nejakom bode Af0. Tá bude mapovaná do čiary M "N0, a ^ MN0M0 sa zobrazí v M"N0M0. Takže, ^ 3 = ^i4. Ale na základe axiómy 1 (§ 2) body M1 N0 a M" neležia na tej istej priamke, a preto súčet uhlov 3 a 4, t.j. ^ MN0M", nie je obrátený uhol. Z toho vyplýva, že uhly 3 a 4 sa líšia od pravého uhla a priamka MN0 nebude kolmá na priamku a. Priama priamka MM“ je teda jediná priamka kolmá na a a prechádzajúca bodom M.