Tento článok obsahuje materiál na tému " riešenie štvorcových nerovností". Najprv je ukázané, čo sú to kvadratické nerovnosti s jednou premennou, je daný ich všeobecný tvar. A potom sa podrobne rozoberá, ako riešiť kvadratické nerovnosti. Sú znázornené hlavné prístupy k riešeniu: grafická metóda, metóda intervalov a zvýraznením štvorca binomu na ľavej strane nerovnosti. Uvádzajú sa riešenia typických príkladov.

Navigácia na stránke.

Čo je to kvadratická nerovnosť?

Prirodzene, skôr ako budeme hovoriť o riešení kvadratických nerovností, musíme jasne pochopiť, čo je to kvadratická nerovnosť. Inými slovami, musíte vedieť rozlíšiť štvorcové nerovnosti od nerovností iných typov podľa typu záznamu.

Definícia.

Štvorcová nerovnosť je nerovnosť tvaru a x 2 +b x+c<0 (вместо знака >môže existovať akýkoľvek iný znak nerovnosti ≤, >, ≥), kde a, b a c sú nejaké čísla a a≠0 a x je premenná (premennú možno označiť ľubovoľným iným písmenom).

Okamžite dajme iný názov pre kvadratické nerovnosti - nerovnosť druhého stupňa. Tento názov sa vysvetľuje tým, že na ľavej strane nerovností a x 2 +b x+c<0 находится второй степени - квадратный трехчлен. Термин «неравенства второй степени» используется в учебниках алгебры Ю. Н. Макарычева, а Мордкович А. Г. придерживается названия «квадратные неравенства».

Niekedy tiež môžete počuť, že kvadratické nerovnosti sa nazývajú kvadratické nerovnosti. Nie je to celkom správne: definícia „kvadratického“ sa vzťahuje na funkcie dané rovnicami v tvare y=a x 2 +b x+c . Takže existujú kvadratické nerovnosti a kvadratické funkcie, ale nie kvadratické nerovnosti.

Ukážme si niekoľko príkladov štvorcových nerovností: 5 x 2 −3 x+1>0 , tu a=5 , b=−3 a c=1 ; −2,2 z 2 −0,5 z−11≤0, koeficienty tejto kvadratickej nerovnosti sú a=−2,2 , b=−0,5 a c=−11 ; , v tomto prípade .

Všimnite si, že v definícii kvadratickej nerovnosti sa koeficient a v x 2 považuje za nenulový. Je to pochopiteľné, rovnosť koeficientu a až nula vlastne „odstráni“ druhú mocninu a budeme sa zaoberať lineárnou nerovnosťou tvaru b x + c>0 bez druhej mocniny premennej. Koeficienty b a c sa však môžu rovnať nule, a to samostatne aj súčasne. Tu sú príklady takýchto štvorcových nerovností: x 2 −5≥0 , tu je koeficient b pre premennú x rovný nule; −3 x 2 −0,6 x<0 , здесь c=0 ; наконец, в квадратном неравенстве вида 5·z 2 >0 a b a c sú nula.

Ako vyriešiť kvadratické nerovnosti?

Teraz si môžete lámať hlavu nad otázkou, ako vyriešiť kvadratické nerovnosti. V zásade sa na riešenie používajú tri hlavné metódy:

• grafická metóda (alebo, ako v A.G. Mordkovich, funkčno-grafická),
• intervalová metóda,
• a riešenie kvadratických nerovností zvýraznením štvorca binomu na ľavej strane.

Graficky

Urobme si hneď výhradu, že spôsob riešenia kvadratických nerovníc, o ktorom začíname uvažovať, sa v školských učebniciach algebry nenazýva grafickým. V podstate však taký je. Navyše prvé zoznámenie s grafický spôsob riešenia nerovností zvyčajne začína, keď vyvstane otázka, ako vyriešiť kvadratické nerovnosti.

Grafický spôsob riešenia kvadratických nerovností a x 2 +b x+c<0 (≤, >, ≥) je analyzovať graf kvadratickej funkcie y=a x 2 +b x+c, aby sa našli intervaly, v ktorých špecifikovaná funkcia nadobúda záporné, kladné, záporné alebo nezáporné hodnoty. Tieto intervaly tvoria riešenia kvadratických nerovníc a x 2 +b x+c<0 , a·x 2 +b·x+c>0, ax2+bx+c≤0 a ax2+bx+c>0.

intervalová metóda

Na riešenie štvorcových nerovností jednou premennou je okrem grafickej celkom pohodlná aj intervalová metóda, ktorá je sama o sebe veľmi všestranná a hodí sa na riešenie rôznych nielen štvorcových nerovností. Jeho teoretická stránka leží mimo kurzu algebry ročníkov 8, 9, keď sa učia riešiť kvadratické nerovnice. Preto sa tu nebudeme venovať teoretickému zdôvodneniu intervalovej metódy, ale zameriame sa na to, ako sa pomocou nej riešia kvadratické nerovnice.

Podstata intervalovej metódy, vo vzťahu k riešeniu štvorcových nerovníc a x 2 +b x + c<0 (≤, >, ≥), spočíva v určení znamienok, ktoré majú hodnoty štvorcovej trojčlenky a x 2 + b x + c na intervaloch, na ktoré je súradnicová os rozdelená nulami tejto trojčlenky (ak existujú). Medzery so znamienkom mínus tvoria riešenia kvadratickej nerovnosti a x 2 +b x+c<0 , со знаками плюс – неравенства a·x 2 +b·x+c>0 a pri riešení neprísnych nerovníc sa k uvedeným intervalom pripočítavajú body zodpovedajúce nulám trojčlenky.

Môžete sa zoznámiť so všetkými podrobnosťami tejto metódy, jej algoritmom, pravidlami pre umiestňovanie značiek na intervaloch a zvážiť hotové riešenia pre typické príklady s ilustráciami uvedenými v materiáli článku, ktorý rieši kvadratické nerovnice podľa intervalu. metóda.

Izoláciou štvorca dvojčlenu

Okrem grafickej metódy a intervalovej metódy existujú aj iné prístupy, ktoré umožňujú riešiť kvadratické nerovnice. A dostávame sa k jednej z nich, ktorá vychádza z kvadratúra dvojčlenky na ľavej strane kvadratickej nerovnosti.

Princípom tejto metódy riešenia kvadratických nerovníc je vykonávať ekvivalentné transformácie nerovnosti , čo umožňuje prejsť k riešeniu ekvivalentnej nerovnosti tvaru (x−p) 2 , ≥), kde p a q sú nejaké čísla.

A ako prebieha prechod k nerovnosti (x−p) 2 , ≥) a ako to riešiť, materiál článku vysvetľuje riešenie kvadratických nerovníc zvýraznením druhej mocniny dvojčlenu. Sú tam aj príklady riešenia kvadratických nerovníc týmto spôsobom a sú uvedené potrebné grafické ilustrácie.

Kvadratické nerovnosti

V praxi sa veľmi často musíme vysporiadať s nerovnicami, ktoré sa dajú redukovať pomocou ekvivalentných transformácií na kvadratické nerovnosti v tvare a x 2 +b x + c<0 (знаки, естественно, могут быть и другими). Их можно назвать неравенствами, сводящимися к квадратным неравенствам.

Začnime s príkladmi najjednoduchších nerovností, ktoré sa dajú zredukovať na štvorcové. Niekedy na prechod ku kvadratickej nerovnosti stačí preusporiadať členy v tejto nerovnosti alebo ich preniesť z jednej časti do druhej. Napríklad, ak prenesieme všetky členy z pravej strany nerovnosti 5≤2 x−3 x 2 na ľavú stranu, dostaneme kvadratickú nerovnosť vo vyššie uvedenom tvare 3 x 2 −2 x+5≤0 . Ďalší príklad: preusporiadanie nerovnosti 5+0,6 x 2 −x na ľavej strane<0 слагаемые по убыванию степени переменной, придем к равносильному квадратному неравенству в привычной форме 0,6·x 2 −x+5<0 .

V škole, na hodinách algebry, keď sa učia riešiť kvadratické nerovnice, sa súčasne zaoberajú riešenie racionálnych nerovností, zmenšenie na štvorec. Ich riešenie zahŕňa presun všetkých členov na ľavú stranu s následnou transformáciou tam vytvoreného výrazu do tvaru a x 2 +b x + c vykonaním . Zvážte príklad.

Príklad.

Nájdite súbor riešení nerovnosti 3 (x-1) (x+1)<(x−2) 2 +x 2 +5 .iracionálna nerovnosť je ekvivalentná kvadratickej nerovnosti x 2 −6 x−9<0 , а logaritmická nerovnosť – nerovnosť x 2 +x−2≥0 .

Bibliografia.

• algebra: učebnica pre 8 buniek. všeobecné vzdelanie inštitúcie / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; vyd. S. A. Teljakovskij. - 16. vyd. - M. : Vzdelávanie, 2008. - 271 s. : chorý. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• algebra: 9. ročník: učebnica. pre všeobecné vzdelanie inštitúcie / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; vyd. S. A. Teljakovskij. - 16. vyd. - M. : Vzdelávanie, 2009. - 271 s. : chorý. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Mordkovič A.G. Algebra. 8. trieda. O 14:00 1. časť Učebnica pre študentov vzdelávacích inštitúcií / A. G. Mordkovich. - 11. vyd., vymazané. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 s.: chor. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Mordkovič A.G. Algebra. 9. ročník O 14.00 h Časť 1. Učebnica pre študentov vzdelávacích inštitúcií / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13. vydanie, Sr. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 s.: chor. ISBN 978-5-346-01752-3.
• Mordkovič A.G. Algebra a začiatok matematickej analýzy. 11. ročník O 14. hodine 1. časť. Učebnica pre študentov vzdelávacích inštitúcií (profilová úroveň) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2. vyd., vymazané. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 s.: chor. ISBN 978-5-346-01027-2.

Než na to prídete ako vyriešiť kvadratickú nerovnosť, uvažujme, čo sa nerovnosť nazýva štvorec.

Pamätajte!

Nerovnosť je tzv námestie, ak sa najvyššia (najväčšia) mocnina neznámeho "x" rovná dvom.

Precvičme si určovanie typu nerovnosti na príkladoch.

Ako vyriešiť kvadratickú nerovnosť

V predchádzajúcich lekciách sme diskutovali o tom, ako riešiť lineárne nerovnosti. No na rozdiel od lineárnych nerovností sú štvorcové nerovnosti riešené úplne iným spôsobom.

Dôležité!

Nie je možné vyriešiť kvadratickú nerovnosť rovnakým spôsobom ako lineárnu!

Na riešenie kvadratickej nerovnosti sa používa špeciálna metóda, ktorá je tzv intervalová metóda.

Čo je intervalová metóda

intervalová metóda nazývaný špeciálny spôsob riešenia kvadratických nerovností. Nižšie vysvetlíme, ako túto metódu používať a prečo je tak pomenovaná.

Pamätajte!

Ak chcete vyriešiť kvadratickú nerovnosť pomocou intervalovej metódy, potrebujete:

Chápeme, že pravidlá opísané vyššie je ťažké vnímať iba teoreticky, takže okamžite zvážime príklad riešenia kvadratickej nerovnosti pomocou vyššie uvedeného algoritmu.

Je potrebné vyriešiť kvadratickú nerovnosť.

Teraz, ako je uvedené v, nakreslite „oblúky“ cez intervaly medzi označenými bodmi.

Umiestnime znaky do intervalov. Sprava doľava, striedavo, počnúc "+", zaznamenávame znaky.

Musíme len vykonať , to znamená vybrať požadované intervaly a zapísať ich ako odpoveď. Vráťme sa k našej nerovnosti.

Keďže v našej nerovnosti x 2 + x − 12 ", takže potrebujeme záporné intervaly. Vytieňme všetky negatívne oblasti na číselnej osi a vypíšeme ich do odpovede.

Iba jeden interval sa ukázal ako záporný, ktorý je medzi číslami „−3“ a „4“, preto ho zapíšeme ako odpoveď ako dvojitú nerovnosť
"-3".

Zapíšme si odpoveď kvadratickej nerovnosti.

odpoveď: -3

Mimochodom, práve preto, že pri riešení kvadratickej nerovnosti uvažujeme o intervaloch medzi číslami, dostala metóda intervalov svoj názov.

Po prijatí odpovede má zmysel ju skontrolovať, aby ste sa uistili, že riešenie je správne.

Vyberme ľubovoľné číslo, ktoré je v tieňovanej oblasti prijatej odpovede " −3" a nahraďte ho namiesto "x" v pôvodnej nerovnosti. Ak dostaneme správnu nerovnosť, potom sme zistili, že odpoveď na kvadratickú nerovnosť je správna.

Vezmite si napríklad číslo „0“ z intervalu. Dosaďte ju do pôvodnej nerovnosti "x 2 + x − 12".

X 2 + x - 12
0 2 + 0 − 12 −12 (správne)

Správnu nerovnicu sme dostali pri dosadení čísla z oblasti riešenia, čo znamená, že odpoveď bola nájdená správne.

Stručný zápis riešenia metódou intervalov

Skrátený záznam riešenia kvadratickej nerovnosti " x 2 + x − 12 ” metóda intervalov bude vyzerať takto:

X 2 + x - 12
x2 + x − 12 = 0

x 1 = 1+ 7 2

x 2 = 1 − 7 2

x 1 = 8 2

x 2 = x 1 = 1+ 1 4 x 2 = 1 − 1 4 x 1 = 2 4 x 2 = 0 4 x 1 = 1 2 x2 = 0 Odpoveď: x ≤ 0 ; x ≥ 1 2 Uvažujme o príklade, kde je záporný koeficient pred "x 2" v štvorcovej nerovnosti. V tejto časti sme zhromaždili informácie o kvadratických nerovnostiach a hlavných prístupoch k ich riešeniu. Materiál skonsolidujeme rozborom príkladov. Čo je to kvadratická nerovnosť Pozrime sa, ako rozlišovať medzi rôznymi typmi nerovností podľa typu záznamu a vybrať medzi nimi štvorcové. Definícia 1 Štvorcová nerovnosť je nerovnosť, ktorá vyzerá ako a x 2 + b x + c< 0 , kde a , b a c sú nejaké čísla a a nerovná sa nule. x je premenná a namiesto znamienka < môže byť akýkoľvek iný znak nerovnosti. Druhý názov kvadratických rovníc je názov „nerovnosť druhého stupňa“. Existenciu druhého mena možno vysvetliť nasledovne. Na ľavej strane nerovnosti je polynóm druhého stupňa - štvorcový trinóm. Aplikácia termínu „kvadratické nerovnosti“ na kvadratické nerovnosti je nesprávna, keďže kvadratické funkcie sú dané rovnicami tvaru y = a x 2 + b x + c. Tu je príklad kvadratickej nerovnosti: Príklad 1 Vezmime 5 x 2 − 3 x + 1 > 0. V tomto prípade a = 5 , b = − 3 a c = 1. Alebo táto nerovnosť: Príklad 2 − 2 , 2 z 2 − 0 , 5 z − 11 ≤ 0, kde a = − 2 , 2 , b = − 0 , 5 a c = - 11. Ukážme si niekoľko príkladov kvadratických nerovností: Príklad 3 Osobitná pozornosť by sa mala venovať skutočnosti, že koeficient x2 považovaný za nulový. Vysvetľuje sa to tým, že inak dostaneme lineárnu nerovnosť formy b x + c > 0, pretože kvadratická premenná sa po vynásobení nulou sama rovná nule. Zároveň koeficienty b a c sa môže rovnať nule spolu aj oddelene. Príklad 4 Príklad takejto nerovnosti x 2 − 5 ≥ 0. Spôsoby riešenia kvadratických nerovností Existujú tri hlavné metódy: Definícia 2 grafický; intervalová metóda; výberom štvorca binomu na ľavej strane. Grafická metóda Metóda zahŕňa konštrukciu a analýzu grafu kvadratickej funkcie y = a x 2 + b x + c pre štvorcové nerovnosti a x 2 + b x + c< 0 (≤ , >, ≥). Riešením kvadratickej nerovnosti sú intervaly alebo intervaly, v ktorých zadaná funkcia nadobúda kladné a záporné hodnoty. Metóda rozstupu Pomocou intervalovej metódy môžete vyriešiť kvadratickú nerovnosť s jednou premennou. Metóda je použiteľná na riešenie akýchkoľvek nerovností, nielen štvorcových. Podstatou metódy je určiť znamienka intervalov, na ktoré sa delí súradnicová os nulami trojčlenky. a x 2 + b x + c Ak je k dispozícii. Pre nerovnosť a x 2 + b x + c< 0 riešenia sú intervaly so znamienkom mínus pre nerovnosť a x 2 + b x + c > 0, intervaly so znamienkom plus. Ak máme do činenia s neprísnymi nerovnosťami, potom sa riešením stáva interval, ktorý obsahuje body, ktoré zodpovedajú nulám trojčlenky. Výber štvorca dvojčlenu Princípom výberu druhej mocniny binomu na ľavej strane kvadratickej nerovnosti je vykonať ekvivalentné transformácie, ktoré nám umožnia prejsť k riešeniu ekvivalentnej nerovnosti tvaru (x − p) 2< q (≤ , >, ≥) , kde p a q- nejaké čísla. Ku kvadratickým nerovnostiam je možné prísť pomocou ekvivalentných transformácií z nerovností iných typov. Dá sa to urobiť rôznymi spôsobmi. Napríklad preskupením pojmov v danej nerovnosti alebo prenesením pojmov z jednej časti do druhej. Vezmime si príklad. Zvážte ekvivalentnú transformáciu nerovnosti 5 ≤ 2 x − 3 x2. Ak prenesieme všetky členy z pravej strany na ľavú, dostaneme kvadratickú nerovnosť tvaru 3 x 2 − 2 x + 5 ≤ 0. Príklad 5 Je potrebné nájsť množinu riešení nerovnosti 3 (x − 1) (x + 1)< (x − 2) 2 + x 2 + 5 . rozhodnutie Na vyriešenie úlohy používame vzorce skráteného násobenia. Aby sme to dosiahli, zhromaždíme všetky výrazy na ľavej strane nerovnosti, otvoríme zátvorky a uvedieme podobné výrazy: 3 (x − 1) (x + 1) − (x − 2) 2 − x 2 − 5< 0 , 3 · (x 2 − 1) − (x 2 − 4 · x + 4) − x 2 − 5 < 0 , 3 · x 2 − 3 − x 2 + 4 · x − 4 − x 2 − 5 < 0 , x 2 + 4 · x − 12 < 0 . Získali sme ekvivalentnú kvadratickú nerovnosť, ktorú je možné graficky vyriešiť určením diskriminačného a priesečníka. D ’ = 2 2 − 1 ( − 12) = 16 , x 1 = − 6 , x 2 = 2 Po zostavení grafu vidíme, že množinou riešení je interval (− 6 , 2) . odpoveď: (− 6 , 2) . Iracionálne a logaritmické nerovnosti sú príkladom nerovností, ktoré sa často zmenšujú na štvorce. Takže napríklad nerovnosť 2 x 2 + 5< x 2 + 6 · x + 14 je ekvivalentná kvadratickej nerovnosti x 2 − 6 x − 9< 0 a logaritmická nerovnosť log 3 (x 2 + x + 7) ≥ 2 k nerovnosti x 2 + x − 2 ≥ 0. Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter V tejto lekcii budeme pokračovať v úvahách o racionálnych nerovnicách a ich systémoch, konkrétne: o systéme lineárnych a kvadratických nerovností. Najprv si pripomeňme, čo je to systém dvoch lineárnych nerovností s jednou premennou. Ďalej uvažujeme o systéme kvadratických nerovníc a metóde ich riešenia na príklade konkrétnych problémov. Pozrime sa bližšie na takzvanú strešnú metódu. Rozoberieme typické riešenia sústav a na konci hodiny zvážime riešenie sústavy s lineárnymi a kvadratickými nerovnosťami. 2. Elektronický vzdelávací a metodický komplex na prípravu ročníkov 10-11 na prijímacie skúšky z informatiky, matematiky, ruského jazyka (). 3. Vzdelávacie centrum "Technológia vzdelávania" (). 4. Časť College.ru o matematike (). 1. Mordkovich A.G. a kol Algebra 9. ročník: Zošit úloh pre študentov vzdelávacích inštitúcií / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina a kol - 4. vydanie. - M .: Mnemosyne, 2002.-143 s.: chor. Č. 58 (a, c); 62; 63. Definícia kvadratickej nerovnosti Poznámka 1 Štvorcová nerovnosť sa nazýva preto. premenná je umocnená na druhú. Tiež sa nazývajú kvadratické nerovnosti nerovnosti druhého stupňa. Príklad 1 Príklad. $7x^2-18x+3 0$, $11z^2+8 \le 0$ sú kvadratické nerovnosti. Ako vidno z príkladu, nie sú prítomné všetky prvky nerovnosti tvaru $ax^2+bx+c > 0$. Napríklad v nerovnosti $\frac(5)(11) y^2+\sqrt(11) y>0$ nie je voľný termín (termín $c$), ale v nerovnosti $11z^2+8 \le 0$ neexistuje pojem s koeficientom $b$. Takéto nerovnosti sú tiež štvorcové nerovnosti, ale sú aj tzv neúplné kvadratické nerovnosti. Znamená to len, že koeficienty $b$ alebo $c$ sa rovnajú nule. Metódy riešenia kvadratických nerovníc Pri riešení kvadratických nerovníc sa používajú tieto základné metódy: grafický; intervalová metóda; výber štvorca dvojčlenu. Grafický spôsob Poznámka 2 Grafický spôsob riešenia štvorcových nerovností $ax^2+bx+c > 0$ (alebo so znakom $ Tieto intervaly sú riešenie kvadratickej nerovnosti. Metóda rozstupu Poznámka 3 Intervalová metóda na riešenie štvorcových nerovností v tvare $ax^2+bx+c > 0$ (znak nerovnosti môže byť aj $ Riešenia kvadratickej nerovnosti so znamienkom $""$ - kladné intervaly, so znamienkami $"≤"$ a $"≥"$ - záporné a kladné intervaly (v tomto poradí), vrátane bodov, ktoré zodpovedajú nulám trojčlenky. Výber štvorca dvojčlenu Metóda riešenia kvadratickej nerovnosti výberom druhej mocniny binomu je prejsť na ekvivalentnú nerovnosť v tvare $(x-n)^2 > m$ (alebo so znamienkom $ Nerovnosti, ktoré sa znížia na štvorec Poznámka 4 Často je potrebné pri riešení nerovností ich zredukovať na kvadratické nerovnosti v tvare $ax^2+bx+c > 0$ (znak nerovnosti môžu byť aj nerovnosti $, ktoré sa redukujú na štvorcové. Poznámka 5 Najjednoduchším spôsobom, ako zmenšiť nerovnosti na štvorcové, môže byť preusporiadanie pojmov v pôvodnej nerovnosti alebo ich prenesenie napríklad z pravej strany na ľavú. Napríklad pri prenose všetkých členov nerovnosti $7x > 6-3x^2$ z pravej strany na ľavú sa získa kvadratická nerovnosť v tvare $3x^2+7x-6 > 0$. Ak preusporiadame členy na ľavej strane nerovnosti $1,5y-2+5,3x^2 \ge 0$ v zostupnom poradí podľa stupňa premennej $y$, potom to povedie k ekvivalentnej kvadratickej nerovnosti tvaru $5,3x^2+1,5y-2 \ge $0. Pri riešení racionálnych nerovností sa často využíva ich redukcia na kvadratické nerovnosti. V tomto prípade je potrebné preniesť všetky členy na ľavú stranu a výsledný výraz previesť do tvaru štvorcového trojčlenu. Príklad 2 Príklad. Druhá mocnina nerovnosti $7 \cdot (x+0,5) \cdot x > (3+4x)^2-10x^2+10$. rozhodnutie. Všetky výrazy prenesieme na ľavú stranu nerovnosti: $7 \cdot (x+0,5) \cdot x-(3+4x)^2+10x^2-10 > 0$. Použitím skrátených vzorcov na násobenie a rozšírením zátvoriek zjednodušíme výraz na ľavej strane nerovnosti: $7x^2+3,5x-9-24x-16x^2+10x^2-10 > 0 $; $x^2-21,5x-19 > 0 $. Odpoveď: $x^2-21,5x-19 > 0 $. SÚVISIACE ČLÁNKY Spätná väzba mapa stránok O stránke