Prednáška 6

matice

6.1. Základné pojmy

Definícia 1.Matica je obdĺžniková tabuľka čísel.

Na označenie matice sa používajú zátvorky alebo dvojité zvislé čiary:

Čísla, ktoré tvoria maticu, sa nazývajú jej prvkov, prvok matice nachádza sa v nej -tý riadok a -tý stĺpec.

čísla a (počet riadkov a stĺpcov matice) sa nazývajú jej poradia.

Aj to hovoria - veľkosť matrice
.

Ak
, matica volal námestie.

Pre krátky zápis sa používa aj zápis
(alebo
) a potom je uvedené v akom rozsahu a , Napríklad,
,
,
. (Zápis znie takto: matrix s prvkami ,zmeny z predtým ,- od predtým .)

Medzi štvorcovými maticami poznamenávame diagonálne matice, pre ktoré sú všetky prvky s nerovnakými indexmi (
) sa rovnajú nule:

.

Povieme, že prvky
umiestnený na hlavnej diagonále.

Matica diagonálneho pohľadu

volal slobodný matice.

Ďalej budú uvedené matice formulára

a
,

ktoré sa nazývajú trojuholníkový matice, ako aj matice pozostávajúce z jedného stĺpca:

a jeden riadok:

(matrica-stĺpec a matrica-riadok).

Volá sa matica, v ktorej sú všetky prvky rovné nule nulový.

6.2. Poradové determinanty n

Nech je štvorcová matica poriadku :

. (6.1)

Vytvárajme všelijaké veci prvky matice umiestnené v rôznych riadkoch a rôznych stĺpcoch, t.j. produkty formulára

. (6.2)

Počet produktov formulára (6.2) je (akceptujeme túto skutočnosť bez dôkazu).

Všetky tieto produkty budeme považovať za členov determinantu objednávky zodpovedajúce matici (6.1).

Druhé indexy faktorov v (6.2) tvoria permutáciu prvého prirodzené čísla
.

Hovoria čísla a v permutácii sú inverzia, ak
a v permutácii nachádzajúce sa predtým .

Príklad 1 V permutácii šiestich čísel,
, čísla a ,a ,a ,a ,a tvoria inverzie.

Permutácia je tzv dokonca, ak je počet inverzií v ňom párny, a zvláštny ak je počet inverzií v ňom nepárny.

Príklad 2 permutácia
- nepárne a permutácia
- dokonca ( inverzie).

Definícia 2.Determinant poradia ,zodpovedajúce matrici(6.1), sa nazýva algebraický súčet členov,zložený nasledovne:členy determinantu sú všetky možné produkty maticové prvky,jeden z každého riadku a každého stĺpca,kde sa výraz berie so znamienkom"+",ak je množina druhých indexov párnou permutáciou čísel
,a so znakom"–",ak nepárne.

Maticový determinant (6.1) je označený takto:

.

Komentujte. Definícia 2 pre
a
vedie k už známym determinantom 2. a 3. rádu:

,

transpozícia okolo hlavnej uhlopriečky matice sa nazýva prechod do matice
, pre ktoré riadky matice sú stĺpce a stĺpce sú riadky:

.

Povieme, že determinant
získané transpozíciou determinantu .

Vlastnosti determinantu poradia n:

1.
(determinant sa pri transponovaní okolo hlavnej diagonály nemení).

2. Ak jeden z riadkov determinantu pozostáva z núl, determinant sa rovná nule.

3. Z permutácie dvoch reťazcov determinant zmení iba znamienko.

4. Determinant obsahujúci dva rovnaké reťazce sa rovná nule.

5. Ak sú všetky prvky niektorého riadku determinantu vynásobené číslom , determinant sa vynásobí .

6. Determinant obsahujúci dva proporcionálne riadky sa rovná nule.

7. Ak všetky prvky -tý riadok determinantu je uvedený ako súčet
, potom sa determinant rovná súčtu dvoch determinantov, pre ktoré sú všetky riadky okrem -th, sú rovnaké ako v pôvodnom determinante, a -tý riadok v jednom determinante pozostáva z , a v druhom - od .

Definícia 3.-tý riadok determinantu sa nazýva lineárna kombinácia jeho zostávajúcich riadkov,ak taký,že násobením -tý riadok na ,a potom spočítajte všetky riadky,Okrem toho th,dostaneme -tý riadok.

8. Ak je jeden z riadkov determinantu lineárnou kombináciou zvyšku jeho riadkov, determinant sa rovná nule.

9. Determinant sa nezmení, ak sa prvky jedného z jeho riadkov doplnia zodpovedajúcimi prvkami iného, ​​vynásobené rovnakým číslom.

Komentujte. Sformulovali sme vlastnosti determinantu pre reťazce. Kvôli majetku 1 (
) platia aj pre stĺpce.

Všetky vyššie uvedené vlastnosti boli overené na praktických hodinách pre
; za svojvoľné prijať ich bez dôkazu.

Ak v determinante objednať vybrať prvok a prečiarknite stĺpec a riadok, na ktorého priesečníku sa nachádza , zostávajúce riadky a stĺpce tvoria determinant poradia
, ktorá sa volá maloletý determinant zodpovedajúce prvku .

Príklad 3 V determinante

vedľajší prvok
je determinant
.

Definícia 4.Algebraické sčítanie prvok determinant zavolal jeho maloletý,vynásobeny
,kde - poradové číslo, - číslo stĺpca,v ktorom sa nachádza vybraný prvok .

Príklad 4 V determinante

algebraické sčítanie
.

Veta 1 (o expanzii reťazca).Determinant sa rovná súčtu súčinov všetkých prvkov ľubovoľného riadku a ich algebraických doplnkov.

Veta 1 nám umožňuje zredukovať výpočet determinantu poriadku k výpočtu determinanty poriadku
.

Príklad 5. Vypočítajte determinant štvrtého rádu:

.

Použime vetu 1 a rozviňme determinant na 4. riadku:

Komentujte. Najprv je možné determinant zjednodušiť použitím vlastnosti 9 a potom použiť vetu 1. Potom výpočet determinantu rádu znižuje na výpočet len jeden determinant poradia
.

Príklad 6 Vypočítajte

.

Pridajme prvý stĺpec k druhému a prvý stĺpec vynásobený (
), do tretice, ako výsledok dostaneme

.

Teraz použijeme vetu 1 a rozvinieme posledný riadok:

,

výpočet determinantu 4. rádu sa zredukoval na výpočet len ​​jedného determinantu 3. rádu.

,

výpočet determinantu tretieho rádu sa zredukoval na výpočet iba jedného determinantu druhého rádu.

Príklad 7 Vypočítajte determinant objednávky :

.

Prvý riadok pridáme k druhému, tretiemu atď. -tý riadok. Príďte k determinantu

.

Získa sa trojuholníkový determinant.

Použiteľné
krát Veta 1 (rozviňte v prvom stĺpci) a získajte

.

Komentujte. Trojuholníkový determinant sa rovná súčinu prvkov hlavnej diagonály.

6.3. Základné operácie s maticami

Definícia 5.Dve matrice
,
,
,a
,
,
,sa bude nazývať rovný, ak
.

Stručný záznam:
.

Dve matice sa teda považujú za rovnaké, ak majú rovnaké poradie a ich zodpovedajúce prvky sú rovnaké.

Definícia 6.Súčet dvoch matíc
,
,
,a
,
,
,taká matica sa nazýva
,
,
,čo
.

Inými slovami, možno pridávať iba matice rovnakého rádu a pridávanie sa vykonáva prvok po prvku.

Príklad 8 Nájdite súčet matíc

a
.

V súlade s definíciou 6 zisťujeme

.

Pravidlo sčítania matice platí pre súčet ľubovoľného konečného počtu členov.

Definícia 7.Matrixový produkt
,
,
,na skutočné číslo taká matica sa nazýva
,
,
,pre ktoré
.

Inými slovami, ak chcete vynásobiť maticu číslom, musíte vynásobiť všetky jej prvky týmto číslom a výsledné produkty nechať na pôvodných miestach.

Príklad 9 Nájdite lineárnu kombináciu
matice

a
.

Pomocou definície 7 dostaneme

,
,

.

Vlastnosti operácií sčítania matice

a násobenie číslom:

1. Sčítanie je komutatívne:
.

2. Sčítanie je asociatívne:.

3. Existuje nulová matica
, splnenie podmienky
pre všetkých ALE.

4. Pre akúkoľvek maticu ALE existuje opačná matica AT, splnenie podmienky
.

Pre akékoľvek matrice ALE a AT a akékoľvek reálne čísla
dochádza k rovnosti:

5.
.

6.
.

7.
.

8.
.

Skontrolujte vlastnosť 1. Označte
,
. Nechať byť
,

,
. Máme

a keďže je dokázaná rovnosť pre ľubovoľný prvok, v súlade s definíciou 5
. Vlastnosť 1 je preukázaná.

Vlastnosť 2 sa dokazuje podobne.

Ako matica vziať maticu objednávok
, ktorého všetky prvky sú rovné nule.

Po zložení s akoukoľvek matricou podľa pravidla uvedeného v definícii 6 máme maticu nemenia a vlastnosť 3 je pravdivá.

Skontrolujeme vlastnosť 4. Nech
. Položme
. Potom
, teda vlastnosť 4 je pravdivá.

Kontrolu vlastností 5 - 8 vynecháme.

Definícia 8.Matrixový produkt
,
,
,do matice
,
,
,nazývaná matica
,
,
,s prvkami
.

Stručný záznam:
.

Príklad 10 Nájdite súčin matíc

a
.

V súlade s definíciou 8 zisťujeme

Príklad 11. Násobiť matice

a
.

Poznámka 1. Počet prvkov v riadku matice sa rovná počtu prvkov v stĺpci matice (počet stĺpcov matice sa rovná počtu riadkov matice ).

Poznámka 2. V matici
toľko riadkov ako v matici , a tam je toľko stĺpcov ako v .

Poznámka 3. Všeobecne povedané,
(maticové násobenie je nekomutatívne).

Na odôvodnenie poznámky 3 stačí uviesť aspoň jeden príklad.

Príklad 12. Násobte v opačnom poradí matíc a z príkladu 10.

tak vo všeobecnosti
.

Všimnite si, že v konkrétnom prípade rovnosť
prípadne.

matice a , pre ktoré platí rovnosť
, sa volajú permutácia, alebo dochádzanie.

Cvičenia.

1. Nájdite všetky matice komutujúce s danou:

a)
; b)
.

2. Nájdite všetky matice druhého rádu, ktorých druhé mocniny sa rovnajú nulovej matici.

3. Dokážte to
.

Vlastnosti násobenia matice:

Násobenie je distribučné.

Druhý rád je číslo, ktoré sa rovná rozdielu medzi súčinom čísel tvoriacich hlavnú uhlopriečku a súčinom čísel na vedľajšej uhlopriečke, môžete nájsť tieto označenia determinantu: ; ; ; detA(determinant).

.

Príklad:
.

Determinant matice tretieho rádu volá sa číslo alebo matematický výraz vypočítaný podľa nasledujúceho pravidla

Najjednoduchší spôsob, ako vypočítať determinant tretieho rádu, je pridať determinant prvých dvoch riadkov zdola.

Vo vytvorenej tabuľke čísel sa prvky na hlavnej uhlopriečke a na uhlopriečkach rovnobežných s hlavnou uhlopriečkou násobia, znamienko výsledku súčinu sa nemení. Ďalšou fázou výpočtov je podobné násobenie prvkov na sekundárnej diagonále a na tých, ktoré sú s ňou rovnobežné. Znaky výsledkov produktu sú obrátené. Potom pridajte výsledných šesť výrazov.

Príklad:

Rozklad determinantu prvkami niektorého riadku (stĺpca).

Menší M ij prvok a ijštvorcovú maticu ALE nazývaný determinant, zložený z prvkov matice ALE, zostávajúce po odstránení ja- oh riadok a j-tý stĺpec.

Napríklad neplnoletý prvok 21 matice tretieho rádu
bude tam determinant
.

Povieme, že prvok a ij zaujíma párnu pozíciu, ak i+j(súčet čísel riadkov a stĺpcov, na priesečníku ktorých sa tento prvok nachádza) - párne číslo, nepárne miesto, ak i+j- nepárne číslo.

Algebraické sčítanie A ij prvok a ijštvorcovú maticu ALE nazývaný výraz (alebo hodnotu zodpovedajúcej vedľajšej hodnoty, ktorá sa berie so znamienkom „+“, ak prvok matice zaberá párne miesto, a so znamienkom „-“, ak je prvok na nepárnom mieste).

Príklad:

23= 4;

- algebraický doplnok prvku 22= 1.

Laplaceova veta. Determinant sa rovná súčtu súčinov prvkov niektorého riadku (stĺpca) a im zodpovedajúcich algebraických sčítaní.

Ukážme si to na príklade determinantu tretieho rádu. Determinant tretieho rádu môžete vypočítať rozbalením prvého riadku nasledovne

Podobne môžete vypočítať determinant tretieho rádu rozšírením cez ľubovoľný riadok alebo stĺpec. Je vhodné rozšíriť determinant pozdĺž riadku (alebo stĺpca), ktorý obsahuje viac núl.

Príklad:

Výpočet determinantu 3. rádu je teda zredukovaný na výpočet 3 determinantov druhého rádu. Vo všeobecnom prípade je možné vypočítať determinant štvorcovej matice n-tého rádu, redukujúc ho na výpočet n determinanty ( n-1) poradie

Komentujte. Neexistujú žiadne jednoduché spôsoby výpočtu determinantov vyššieho rádu, podobne ako metódy na výpočet determinantov 2. a 3. rádu. Preto na výpočet determinantov nad tretím rádom možno použiť iba metódu rozkladu.

Príklad. Vypočítajte determinant štvrtého rádu.

Rozšírte determinant o prvky tretieho riadku

Vlastnosti determinantov:

1. Determinant sa nezmení, ak sú jeho riadky nahradené stĺpcami a naopak.

2. Pri permutácii dvoch susedných riadkov (stĺpcov) zmení determinant znamienko na opačné.

3. Determinant s dvoma rovnakými riadkami (stĺpcami) je 0.

4. Zo znamienka determinantu možno vyňať spoločný činiteľ všetkých prvkov niektorého riadku (stĺpca) determinantu.

5. Determinant sa nezmení, ak sa zodpovedajúce prvky ktoréhokoľvek iného stĺpca (riadku) vynásobené nejakým číslom pripočítajú k prvkom jedného z jeho stĺpcov (riadkov).

Determinanty štvrtého a vyššieho rádu je možné počítať podľa zjednodušených schém, ktoré spočívajú v rozšírení o prvky riadkov alebo stĺpcov alebo zmenšení do trojuholníkového tvaru. Obidve metódy budú diskutované kvôli prehľadnosti. matice 4. rádu.

Metóda rozkladu riadkov alebo stĺpcov

Prvý príklad zvážime s podrobnými vysvetleniami všetkých medziľahlých akcií.

Príklad 1 Vypočítajte determinant expanznou metódou.

rozhodnutie. Pre zjednodušenie výpočtov rozširujeme determinant štvrtého rádu o prvky prvého riadku (obsahuje nulový prvok). Vznikajú vynásobením prvkov ich zodpovedajúcimi sčítaniami (vymazanie riadkov a stĺpcov sa vytvorí na priesečníku prvku, pre ktorý sa počítajú - zvýraznené červenou farbou)

V dôsledku toho sa výpočty zredukujú na hľadanie troch determinantov tretieho rádu, ktoré nájdeme podľa pravidla trojuholníkov

Nájdené hodnoty sa nahradia do výstupného determinantu

Výsledok sa dá ľahko skontrolovať pomocou maticovej kalkulačky YukhymCALC. Ak to chcete urobiť, vyberte v kalkulačke položku Matrix-Matrix Determinant, nastavte veľkosť matice na 4 * 4.

Výsledky sú rovnaké, takže výpočty sú správne.

Príklad 2 Vypočítajte determinant matice štvrtého rádu.

Rovnako ako v predchádzajúcej úlohe vykonáme výpočty dekompozičnou metódou. Ak to chcete urobiť, vyberte prvky prvého stĺpca. Zjednodušene možno determinant zadať súčtom štyroch determinantov tretieho rádu vo formulári

Výpočty nie sú príliš zložité, hlavnou vecou nie je zamieňať sa so znakmi a trojuholníkmi. Nájdené hodnoty dosadíme do hlavného determinantu a zhrnieme

Rovná sa súčtu súčinov prvkov niektorého riadku alebo stĺpca a ich algebraických doplnkov, t.j. , kde i 0 je pevné.
Výraz (*) sa nazýva rozklad determinantu D z hľadiska prvkov riadku s číslom i 0 .

Pridelenie služby. Táto služba je určená na online vyhľadávanie determinantu matice s vykonaním celého riešenia vo formáte Word. Okrem toho sa v Exceli vytvorí šablóna riešenia.

Poučenie. Vyberte rozmer matice a kliknite na Ďalej.

Maticový rozmer 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Existujú dva spôsoby výpočtu determinantu: a-priorstvo a rozklad po riadkoch alebo stĺpcoch. Ak chcete nájsť determinant vytvorením núl v jednom z riadkov alebo stĺpcov, môžete použiť túto kalkulačku.

Algoritmus na nájdenie determinantu

1. Pre matice rádu n=2 sa determinant vypočíta podľa vzorca: Δ=a 11 *a 22 -a 12 *a 21
2. Pre matice rádu n=3 sa determinant vypočíta cez algebraické sčítania resp Sarrusova metóda.
3. Matica s rozmerom väčším ako tri sa rozloží na algebraické sčítania, pre ktoré sa vypočítajú ich determinanty (vedľajšie). Napríklad, Maticový determinant 4. rádu sa nachádza prostredníctvom rozšírenia v riadkoch alebo stĺpcoch (pozri príklad).

Na výpočet determinantu obsahujúceho funkcie v matici sa používajú štandardné metódy. Napríklad vypočítajte determinant matice 3. rádu:

Využime rozšírenie prvého riadku.
Δ = sin(x)× + 1× = 2sin(x)cos(x)-2cos(x) = sin(2x)-2cos(x)

Metódy výpočtu determinantov

Nájdenie determinantu pomocou algebraických sčítaní je bežná metóda. Jeho zjednodušenou verziou je výpočet determinantu Sarrusovým pravidlom. Pri veľkom rozmere matice sa však používajú tieto metódy:

1. výpočet determinantu znížením objednávky
2. výpočet determinantu Gaussovou metódou (redukovaním matice do trojuholníkového tvaru).

V Exceli sa na výpočet determinantu používa funkcia = MOPRED (rozsah buniek).

Aplikované použitie determinantov

Determinanty sa počítajú spravidla pre konkrétny systém a sú uvedené vo forme štvorcovej matice. Zvážte niektoré typy úloh nález maticového determinantu. Niekedy je potrebné nájsť neznámy parameter a, pre ktorý by sa determinant rovnal nule. Na tento účel je potrebné zostaviť rovnicu pre determinant (napríklad podľa trojuholníkové pravidlo) a prirovnaním k 0 vypočítajte parameter a .
rozklad podľa stĺpcov (podľa prvého stĺpca):
Vedľajšie pre (1,1): Odstráňte prvý riadok a prvý stĺpec z matice.
Poďme nájsť determinant pre túto maloletú. ∆ 1,1 \u003d (2 (-2) -2 1) \u003d -6.

Určme vedľajšiu hodnotu pre (2,1): aby sme to urobili, vymažeme z matice druhý riadok a prvý stĺpec.

Poďme nájsť determinant pre túto maloletú. ∆ 2,1 = (0 (-2)-2 (-2)) = 4 . Vedľajšie pre (3,1): Vymažte 3. riadok a 1. stĺpec z matice.
Poďme nájsť determinant pre túto maloletú. ∆ 3,1 = (0 1-2 (-2)) = 4
Hlavný determinant je: ∆ = (1 (-6)-3 4+1 4) = -14

Nájdite determinant pomocou rozšírenia o riadky (o prvý riadok):
Vedľajšie pre (1,1): Odstráňte prvý riadok a prvý stĺpec z matice.

Poďme nájsť determinant pre túto maloletú. ∆ 1,1 \u003d (2 (-2) -2 1) \u003d -6. Vedľajšie pre (1,2): Odstráňte 1. riadok a 2. stĺpec z matice. Vypočítajme determinant pre túto minoritu. ∆ 1,2 \u003d (3 (-2) -1 1) \u003d -7. Aby sme našli vedľajšiu hodnotu pre (1,3), vymažeme z matice prvý riadok a tretí stĺpec. Poďme nájsť determinant pre túto maloletú. ∆ 1,3 = (3 2-1 2) = 4
Nájdeme hlavný determinant: ∆ \u003d (1 (-6) -0 (-7) + (-2 4)) \u003d -14

Pojem determinantu je jedným z hlavných v kurze lineárnej algebry. Tento koncept je súčasťou LEN Štvorcových MATIC a tento článok je venovaný tomuto konceptu. Tu budeme hovoriť o determinantoch matíc, ktorých prvkami sú reálne (alebo komplexné) čísla. V tomto prípade je determinantom reálne (alebo komplexné) číslo. Všetky ďalšie prezentácie budú odpoveďou na otázky, ako vypočítať determinant a aké vlastnosti má.

Najprv uvedieme definíciu determinantu štvorcovej matice rádu n x n ako súčet súčinov permutácií prvkov matice. Na základe tejto definície napíšeme vzorce na výpočet determinantov matíc prvého, druhého a tretieho rádu a podrobne rozoberieme riešenia niekoľkých príkladov.

Ďalej prejdeme k vlastnostiam determinantu, ktoré sformulujeme vo forme viet bez dôkazu. Tu bude spôsob výpočtu determinantu získaný jeho rozšírením na prvky riadku alebo stĺpca. Táto metóda redukuje výpočet determinantu matice rádu n na n na výpočet determinantov matíc rádu 3 na 3 alebo menej. Nezabudnite ukázať riešenia na niekoľkých príkladoch.

Na záver sa zastavíme pri výpočte determinantu Gaussovou metódou. Táto metóda je dobrá na nájdenie determinantov matíc rádu väčších ako 3 x 3, pretože vyžaduje menšie výpočtové úsilie. Rozoberieme si aj riešenie príkladov.

Navigácia na stránke.

Definícia maticového determinantu, výpočet maticového determinantu podľa definície.

Pripomíname niekoľko pomocných pojmov.

Definícia.

Permutácia rádu č sa nazýva usporiadaná množina čísel, pozostávajúca z n prvkov.

Pre množinu obsahujúcu n prvkov existuje n! (n faktoriál) permutácií rádu n. Permutácie sa od seba líšia iba v poradí prvkov.

Uvažujme napríklad množinu pozostávajúcu z troch čísel: . Zapíšeme si všetky permutácie (celkovo ich je šesť, pretože ):

Definícia.

Inverzia v permutácii rádu n nazýva sa ľubovoľný pár indexov p a q, pre ktorý je p-tý prvok permutácie väčší ako q-tý.

V predchádzajúcom príklade je inverzia permutácie 4 , 9 , 7 p=2 , q=3 , pretože druhý prvok permutácie je 9 a je väčší ako tretí prvok, ktorý je 7 . Inverzia permutácie 9, 7, 4 budú tri páry: p=1, q=2 (9>7); p=1, q=3 (9>4) a p=2, q=3 (7>4).

Viac nás bude zaujímať počet inverzií v permutácii, než samotná inverzia.

Nech je štvorcová matica rádu n x n nad poľom reálnych (alebo komplexných) čísel. Dovoliť je množina všetkých permutácií rádu n množiny . Sada obsahuje n! permutácií. Označme k-tu permutáciu množiny ako a počet inverzií v k-tej permutácii ako .

Definícia.

Maticový determinant A existuje číslo, ktoré sa rovná .

Opíšme tento vzorec slovami. Determinant štvorcovej matice rádu n x n je súčet obsahujúci n! podmienky. Každý člen je súčinom n prvkov matice a každý súčin obsahuje prvok z každého riadku a z každého stĺpca matice A. Koeficient (-1) sa objaví pred k-tým členom, ak sú prvky matice A v súčine zoradené podľa čísla riadku a počet inverzií v k-tej permutácii množiny čísel stĺpcov je nepárny.

Determinant matice A sa zvyčajne označuje ako a používa sa aj det(A). Môžete tiež počuť, že determinant sa nazýva determinant.

takze .

To ukazuje, že determinant matice prvého rádu je prvkom tejto matice.

Výpočet determinantu štvorcovej matice druhého rádu - vzorec a príklad.

vo všeobecnosti asi 2 krát 2.

V tomto prípade n=2, teda n!=2!=2.

.

Máme

Takto sme dostali vzorec na výpočet determinantu matice rádu 2 x 2, má tvar .

Príklad.

objednať.

rozhodnutie.

V našom príklade. Aplikujeme výsledný vzorec :

Výpočet determinantu štvorcovej matice tretieho rádu - vzorec a príklad.

Nájdite determinant štvorcovej matice vo všeobecnosti asi 3 krát 3.

V tomto prípade n=3, teda n!=3!=6.

Usporiadajme vo forme tabuľky potrebné údaje na aplikáciu vzorca .

Máme

Takto sme dostali vzorec na výpočet determinantu matice rádu 3 x 3, má tvar

Podobne možno získať vzorce na výpočet determinantov matíc rádu 4 x 4, 5 x 5 a vyššie. Budú pôsobiť veľmi objemne.

Príklad.

Vypočítajte determinant štvorcovej matice asi 3 na 3.

rozhodnutie.

V našom príklade

Výsledný vzorec použijeme na výpočet determinantu matice tretieho rádu:

Vzorce na výpočet determinantov štvorcových matíc druhého a tretieho rádu sú veľmi často používané, preto odporúčame zapamätať si ich.

Vlastnosti maticového determinantu, výpočet maticového determinantu pomocou vlastností.

Na základe vyššie uvedenej definície platí nasledovné. vlastnosti determinantu matrice.

Determinant matice A sa rovná determinantu transponovanej matice A T , teda .

Príklad.

Uistite sa, že determinant matice sa rovná determinantu transponovanej matice.

rozhodnutie.

Použime vzorec na výpočet determinantu matice rádu 3 x 3:



Transponujeme maticu A:


Vypočítajte determinant transponovanej matice:



V skutočnosti sa determinant transponovanej matice rovná determinantu pôvodnej matice.

Ak sú v štvorcovej matici všetky prvky aspoň jedného z riadkov (jednoho zo stĺpcov) nulové, determinant takejto matice sa rovná nule.

Príklad.

Skontrolujte, či je determinant matice poradie 3 x 3 je nula.

rozhodnutie.




Skutočne, determinant matice s nulovým stĺpcom je nula.

Ak prehodíte ľubovoľné dva riadky (stĺpce) v štvorcovej matici, tak determinant výslednej matice bude opačný ako pôvodný (teda znamienko sa zmení).

Príklad.

Dané dve štvorcové matice rádu 3 x 3 a . Ukážte, že ich determinanty sú opačné.

rozhodnutie.

Matrix B sa získa z matice A tak, že sa tretí riadok nahradí prvým a prvý tretím. Podľa uvažovanej vlastnosti sa musia determinanty takýchto matíc líšiť znamienkom. Overme si to výpočtom determinantov pomocou dobre známeho vzorca.



Naozaj,.

Ak sú aspoň dva riadky (dva stĺpce) rovnaké v štvorcovej matici, potom sa jej determinant rovná nule.

Príklad.

Ukážte, že maticový determinant rovná sa nule.

rozhodnutie.

V tejto matici sú druhý a tretí stĺpec rovnaké, takže podľa uvažovanej vlastnosti sa jej determinant musí rovnať nule. Poďme si to overiť.



V skutočnosti je determinant matice s dvoma rovnakými stĺpcami nula.

Ak sú v štvorcovej matici všetky prvky ľubovoľného riadku (stĺpca) vynásobené nejakým číslom k, potom sa determinant výslednej matice bude rovnať determinantu pôvodnej matice vynásobenému k. Napríklad,



Príklad.

Dokážte, že maticový determinant sa rovná trojnásobku determinantu matice .

rozhodnutie.

Prvky prvého stĺpca matice B sa získajú zo zodpovedajúcich prvkov prvého stĺpca matice A vynásobením číslom 3. Potom by na základe uvažovanej vlastnosti mala platiť rovnosť. Overme si to výpočtom determinantov matíc A a B.



Preto, , čo sa malo dokázať.

POZNÁMKA.

Nezamieňajte a nezamieňajte pojmy matica a determinant! Uvažovaná vlastnosť determinantu matice a operácia násobenia matice číslom nie sú ani zďaleka to isté.
, ale .

Ak sú všetky prvky ľubovoľného riadku (stĺpca) štvorcovej matice súčtom s členov (s je prirodzené číslo väčšie ako jedna), potom sa determinant takejto matice bude rovnať súčtu s determinantov získaných matíc. z pôvodného, ​​ak ako prvky riadku (stĺpca) opúšťajú po jednom výraze. Napríklad,


Príklad.

Dokážte, že determinant matice sa rovná súčtu determinantov matíc .

rozhodnutie.

V našom príklade , teda vzhľadom na uvažovanú vlastnosť maticového determinantu, rovnosť . Skontrolujeme to výpočtom zodpovedajúcich determinantov matíc rádu 2 x 2 pomocou vzorca .


Zo získaných výsledkov je vidieť, že . Tým je dôkaz hotový.

Ak k prvkom určitého riadku (stĺpca) matice pripočítame zodpovedajúce prvky ďalšieho riadku (stĺpca) vynásobené ľubovoľným číslom k, potom sa determinant výslednej matice bude rovnať determinantu pôvodnej matice.

Príklad.

Uistite sa, že ak prvky tretieho stĺpca matice pridajte zodpovedajúce prvky druhého stĺpca tejto matice vynásobené (-2) a pridajte zodpovedajúce prvky prvého stĺpca matice vynásobené ľubovoľným reálnym číslom, potom sa determinant výslednej matice bude rovnať determinant pôvodnej matice.

rozhodnutie.

Ak vychádzame z uvažovanej vlastnosti determinantu, potom sa determinant matice získaný po všetkých transformáciách uvedených v úlohe bude rovnať determinantu matice A.

Najprv vypočítame determinant pôvodnej matice A:



Teraz vykonajte potrebné transformácie matice A.

Pridajme k prvkom tretieho stĺpca matice zodpovedajúce prvky druhého stĺpca matice, ktoré sme predtým vynásobili (-2) . Potom bude matica vyzerať takto:


K prvkom tretieho stĺpca výslednej matice pridáme zodpovedajúce prvky prvého stĺpca, vynásobené:


Vypočítajte determinant výslednej matice a uistite sa, že sa rovná determinantu matice A, teda -24:



Determinant štvorcovej matice je súčet súčinov prvkov ktoréhokoľvek riadka (stĺpca) podľa ich algebraické sčítania.



Tu je algebraický doplnok maticového prvku , .

Táto vlastnosť umožňuje vypočítať determinanty rádových matíc vyšších ako 3 x 3 ich redukciou na súčet niekoľkých determinantov rádových matíc o jeden nižší. Inými slovami, toto je opakujúci sa vzorec na výpočet determinantu štvorcovej matice ľubovoľného rádu. Odporúčame si ho zapamätať pre jeho pomerne častú použiteľnosť.

Pozrime sa na pár príkladov.

Príklad.

poradie 4 x 4, čím sa rozšíri

• podľa prvkov 3. riadku,
• prvkami 2. stĺpca.

rozhodnutie.

Použijeme vzorec na rozšírenie determinantu o prvky 3. riadku



Máme



Takže problém nájsť determinant matice rádu 4 x 4 bol zredukovaný na výpočet troch determinantov matíc rádu 3 x 3:



Nahradením získaných hodnôt dospejeme k výsledku:


Použijeme vzorec na rozšírenie determinantu o prvky 2. stĺpca


a my konáme rovnakým spôsobom.

Výpočet determinantov matíc tretieho rádu nebudeme podrobne popisovať.



Príklad.

Determinant vypočítanej matice asi 4 krát 4.

rozhodnutie.

Maticový determinant môžete rozložiť na prvky ľubovoľného stĺpca alebo akéhokoľvek riadku, ale výhodnejšie je vybrať riadok alebo stĺpec, ktorý obsahuje najväčší počet nulových prvkov, pretože to pomôže vyhnúť sa zbytočným výpočtom. Rozšírme determinant o prvky prvého riadku:



Získané determinanty matíc rádu 3 x 3 vypočítame podľa nám známeho vzorca:



Nahradime výsledky a získame požadovanú hodnotu


Príklad.

Determinant vypočítanej matice asi 5 krát 5.

rozhodnutie.

Štvrtý riadok matice má spomedzi všetkých riadkov a stĺpcov najväčší počet nulových prvkov, preto je vhodné rozšíriť determinant matice presne o prvky štvrtého riadku, pretože v tomto prípade potrebujeme menej výpočtov.



Získané determinanty matíc rádu 4 x 4 sme našli v predchádzajúcich príkladoch, takže použijeme hotové výsledky:



Príklad.

Determinant vypočítanej matice asi 7 krát 7.

rozhodnutie.

Nemali by ste sa okamžite ponáhľať, aby ste rozložili determinant pomocou prvkov akéhokoľvek riadku alebo stĺpca. Ak sa pozriete pozorne na maticu, všimnete si, že prvky šiesteho riadku matice možno získať vynásobením zodpovedajúcich prvkov druhého riadku dvoma. To znamená, že ak k prvkom šiesteho riadku pridáme zodpovedajúce prvky druhého riadku vynásobené (-2), determinant sa vďaka siedmej vlastnosti nezmení a šiesty riadok výslednej matice bude pozostávať z nuly. Determinant takejto matice sa druhou vlastnosťou rovná nule.

odpoveď:

Treba poznamenať, že uvažovaná vlastnosť umožňuje vypočítať determinanty matíc ľubovoľného rádu, je však potrebné vykonať veľa výpočtových operácií. Vo väčšine prípadov je výhodnejšie nájsť determinant matíc rádu vyšších ako tretí Gaussovou metódou, ktorú budeme uvažovať nižšie.

Súčet súčinov prvkov ľubovoľného riadku (stĺpca) štvorcovej matice a algebraických doplnkov zodpovedajúcich prvkov iného riadku (stĺpca) je rovný nule.


Príklad.

Ukážte, že súčet súčinov prvkov tretieho stĺpca matice na algebraických doplnkoch zodpovedajúcich prvkov prvého stĺpca sa rovná nule.

rozhodnutie.




Determinant súčinu štvorcových matíc rovnakého rádu sa rovná súčinu ich determinantov, tj. , kde m je prirodzené číslo väčšie ako jedna, A k , k=1,2,…,m sú štvorcové matice rovnakého rádu.

Príklad.

Uistite sa, že determinant súčinu dvoch matíc a rovná sa súčinu ich determinantov.

rozhodnutie.

Najprv nájdime súčin determinantov matíc A a B:


Teraz vykonajte násobenie matice a vypočítajte determinant výslednej matice:



teda , ktorý sa mal ukázať.

Výpočet maticového determinantu Gaussovou metódou.

Poďme si popísať podstatu tejto metódy. Pomocou elementárnych transformácií sa matica A zredukuje do takého tvaru, že všetky prvky v prvom stĺpci okrem nich sa stanú nulovými (to je možné vždy, ak je determinant matice A nenulový). Tento postup popíšeme trochu neskôr, ale teraz vysvetlíme, prečo sa to robí. Nulové prvky sa získajú, aby sa získalo čo najjednoduchšie rozšírenie determinantu na prvky prvého stĺpca. Po takejto transformácii matice A s prihliadnutím na ôsmu vlastnosť a získame

kde - vedľajší (n-1)-tý rád, získaný z matice A vymazaním prvkov jej prvého riadku a prvého stĺpca.

S maticou, ktorej zodpovedá minorita, sa vykoná rovnaký postup na získanie nulových prvkov v prvom stĺpci. A tak ďalej až do konečného výpočtu determinantu.

Teraz zostáva odpovedať na otázku: "Ako získať nulové prvky v prvom stĺpci"?

Poďme popísať algoritmus akcií.

Ak , potom sa prvky prvého riadku matice pridajú k príslušným prvkom k-tého riadku, v ktorom . (Ak sú bez výnimky všetky prvky prvého stĺpca matice A nulové, potom je jej determinant podľa druhej vlastnosti nulový a nie je potrebná žiadna Gaussova metóda). Po takejto transformácii sa "nový" prvok bude líšiť od nuly. Determinant "novej" matice sa bude vďaka siedmej vlastnosti rovnať determinantu pôvodnej matice.

Teraz máme maticu, ktorá má . Keď k prvkom druhého riadku pridáme zodpovedajúce prvky prvého riadku, vynásobené , k prvkom tretieho riadku, zodpovedajúce prvky prvého riadku, vynásobené . Atď. Na záver, k prvkom n-tého riadku pridáme zodpovedajúce prvky prvého riadku, vynásobené . Takže získame transformovanú maticu A, ktorej všetky prvky prvého stĺpca, okrem , budú nulové. Determinant výslednej matice sa bude vďaka siedmej vlastnosti rovnať determinantu pôvodnej matice.

Rozoberme si metódu pri riešení príkladu, aby to bolo jasnejšie.

Príklad.

Vypočítajte determinant matice rádu 5 krát 5 .

rozhodnutie.

Využime Gaussovu metódu. Transformujme maticu A tak, aby všetky prvky jej prvého stĺpca, okrem , boli nulové.

Keďže prvok je spočiatku , potom k prvkom prvého riadku matice pridáme zodpovedajúce prvky, napríklad druhý riadok, pretože:

Znak "~" znamená rovnocennosť.

Teraz pridáme k prvkom druhého radu zodpovedajúce prvky prvého radu, vynásobené , na prvky tretieho riadku - zodpovedajúce prvky prvého radu, vynásobené a postupujte podobne až po šiesty riadok:

Dostaneme

s matricou vykonáme rovnaký postup na získanie nulových prvkov v prvom stĺpci:

teda

Teraz vykonáme transformácie s maticou :

Komentujte.

V určitom štádiu transformácie matice Gaussovou metódou môže nastať situácia, keď sa všetky prvky niekoľkých posledných riadkov matice stanú nulovými. Toto bude hovoriť o rovnosti determinantu na nulu.

Zhrnúť.

Determinantom štvorcovej matice, ktorej prvkami sú čísla, je číslo. Zvažovali sme tri spôsoby výpočtu determinantu:

1. prostredníctvom súčtu súčinov kombinácií prvkov matrice;
2. prostredníctvom rozšírenia determinantu o prvky riadka alebo stĺpca matice;
3. metóda zmenšenia matice na hornú trojuholníkovú (Gaussovou metódou).

Získali sa vzorce na výpočet determinantov matíc rádu 2 x 2 a 3 x 3 .

Analyzovali sme vlastnosti maticového determinantu. Niektoré z nich vám umožňujú rýchlo pochopiť, že determinant je nula.

Pri výpočte determinantov matíc rádu vyšších ako 3 x 3 je vhodné použiť Gaussovu metódu: vykonať elementárne transformácie matice a priviesť ju k hornej trojuholníkovej. Determinant takejto matice sa rovná súčinu všetkých prvkov na hlavnej diagonále.