TÉMA 3 |
||
koncepcia distribučnej funkcie |
||
matematické očakávanie a rozptyl |
||
rovnomerné (pravouhlé) rozdelenie |
||
normálne (Gaussovo) rozdelenie |
||
Distribúcia |
||
t- Študentská distribúcia |
||
F- distribúcia |
||
rozdelenie súčtu dvoch náhodných nezávislých premenných |
||
príklad: rozdelenie súčtu dvoch nezávislých rovnomerne rozdelené množstvá |
||
náhodná premenná transformácia |
||
príklad: rozdelenie harmonickej vlny s náhodnou fázou |
||
centrálna limitná veta |
||
momenty náhodnej veličiny a ich vlastnosti |
||
ÚČEL CYKLU PREDNÁŠKY: | OZNAMTE ÚVODNÉ INFORMÁCIE O NAJDÔLEŽITEJŠÍCH FUNKCIÁCH DISTRIBÚCIE A ICH VLASTNOSTIACH |
|
DISTRIBUČNÉ FUNKCIE
Nechať byť x(k) je nejaká náhodná premenná. Potom pre akúkoľvek pevnú hodnotu x náhodná udalosť x(k) 
X definovaný ako súbor všetkých možných výsledkov k také že x(k) x. Z hľadiska pôvodnej miery pravdepodobnosti uvedenej na vzorovom priestore, distribučná funkciaP(x) definovaná ako pravdepodobnosť priradená množine bodov k x(k) x. Všimnite si, že množina bodov k uspokojenie nerovnosti x(k) x, je podmnožinou množiny bodov, ktoré spĺňajú nerovnosť x(k)
.
Formálne
To je zrejmé
Ak je rozsah hodnôt náhodnej premennej spojitý, čo sa predpokladá nižšie, potom hustota pravdepodobnosti(jednorozmerný) p(x) je určený diferenciálnym vzťahom
(4)
teda
(6)
Aby bolo možné uvažovať o diskrétnych prípadoch, je potrebné pripustiť prítomnosť delta funkcií v zložení hustoty pravdepodobnosti.
OČAKÁVANÁ HODNOTA
Nech náhodná premenná x(k) nadobúda hodnoty z rozsahu od - do + . Priemerná(inak, očakávaná hodnota alebo očakávaná hodnota) x(k) sa vypočíta pomocou zodpovedajúceho prechodu k limitu v súčte súčinov hodnôt x(k) o pravdepodobnosti výskytu týchto udalostí:
(8)
kde E- matematické očakávanie výrazu v hranatých zátvorkách podľa indexu k. Podobne je definované aj matematické očakávanie reálnej jednohodnotovej spojitej funkcie g(X) z náhodnej premennej x(k)
(9)
kde p(x)- hustota pravdepodobnosti náhodnej veličiny x(k). Najmä brať g(x)=x, dostaneme stredná hodnota štvorca x(k) :
(10)
Disperziax(k) definovaný ako stredná štvorec rozdielu x(k) a jeho priemerná hodnota,
teda v tomto prípade g(x)= 
a
A-priory, smerodajná odchýlka náhodná premenná x(k), označené , je kladná hodnota druhej odmocniny rozptylu. Smerodajná odchýlka sa meria v rovnakých jednotkách ako priemer.
NAJDÔLEŽITEJŠIE FUNKCIE DISTRIBÚCIE
ROVNOMERNÉ (OBDŽNÍKOVÉ) ROZDELENIE.
Predpokladajme, že experiment spočíva v náhodnom výbere bodu z intervalu [ a,b] vrátane jeho koncových bodov. V tomto príklade ako hodnota náhodnej premennej x(k) môžete prevziať číselnú hodnotu vybraného bodu. Príslušná distribučná funkcia má tvar
Preto je hustota pravdepodobnosti daná vzorcom
V tomto príklade poskytuje výpočet priemeru a rozptylu pomocou vzorcov (9) a (11).
NORMÁLNE (GAUSSIOVSKÉ) ROZDELENIE
, - aritmetický priemer, - RMS.
Hodnota z zodpovedajúca pravdepodobnosti P(z)=1-, t.j.
CHI - Štvorcové rozloženie
Nechať byť 
- n nezávislých náhodných premenných, z ktorých každá má normálne rozdelenie s nulovým priemerom a jednotkovým rozptylom.
Chí-kvadrát náhodná premenná s n stupňami voľnosti.
hustota pravdepodobnosti .
DF: 100 - percentuálne body - distribúcie sú označené , t.j.
priemer a rozptyl sú rovnaké
t - ROZDÁVKY ŠTUDENTOV
y, z sú nezávislé náhodné premenné; y - má - rozdelenie, z - normálne rozdelené s nulovým priemerom a jednotkovým rozptylom.
hodnota - má t- Študentovo rozdelenie s n stupňami voľnosti
DF: 100 - percentuálny bod t - je uvedené rozdelenie
Priemer a rozptyl sú rovnaké
F - DISTRIBÚCIA
Nezávislé náhodné premenné; má - rozdelenie so stupňami voľnosti; rozdelenie so stupňami voľnosti. Náhodná hodnota:
,
F je distribuovaná náhodná premenná so stupňami voľnosti.
,
DF: 100 - percentuálny bod:
Priemer a rozptyl sú rovnaké:
ROZDELENIE SUMY
DVE NÁHODNÉ PREMENNÉ
Nechať byť x(k) a y(k) sú náhodné premenné, ktoré majú spoločnú hustotu pravdepodobnosti p(x,y). Nájdite hustotu pravdepodobnosti súčtu náhodných premenných
Pri pevnom X máme y=z–x. Takže
Pri pevnom z hodnoty X spustite interval od – do +. Takže
(37)
z čoho je zrejmé, že na výpočet požadovanej hustoty súčtu je potrebné poznať pôvodnú hustotu spoločnej pravdepodobnosti. Ak x(k) a y(k) sú nezávislé náhodné premenné, ktoré majú hustoty a, v tomto poradí, potom a
(38)
PRÍKLAD: SÚČET DVOCH NEZÁVISLÝCH, ROVNOMERNE ROZLOŽENÝCH NÁHODNÝCH PREMENNÝCH.
Nech dve náhodné nezávislé premenné majú hustotu tvaru
V iných prípadoch 
Nájdite hustotu pravdepodobnosti p(z) ich súčtu z= x+ y.
Hustota pravdepodobnosti 
pre 
t.j. pre 
teda X menej ako z. Okrem toho sa nerovná nule pre Vzorec (38), zistíme, že
Ilustrácia:
Hustota pravdepodobnosti súčtu dvoch nezávislých, rovnomerne rozdelených náhodných premenných.
NÁHODNÁ KONVERZIA
HODNOTY
Nechať byť x(t)- náhodná veličina s hustotou pravdepodobnosti p(x), nechaj to tak g(x) je jednohodnotová skutočná spojitá funkcia X. Najprv zvážte prípad, keď inverzná funkcia x(g) je tiež jednohodnotová spojitá funkcia g. Hustota pravdepodobnosti p(g), zodpovedajúca náhodnej premennej g(x(k)) = g(k), možno určiť z hustoty pravdepodobnosti p(x) náhodná premenná x(k) a derivát dg/dx za predpokladu, že derivát existuje a je odlišný od nuly, konkrétne:
(12)
Preto v limite dg/dx#0
(13)
Pomocou tohto vzorca nasleduje na pravej strane namiesto premennej X nahradiť príslušnú hodnotu g.
Zvážte teraz prípad, keď inverzná funkcia x(g) je platné n-cenná funkcia g, kde n je celé číslo a všetkých n hodnôt je rovnako pravdepodobné. Potom
(14)
PRÍKLAD:
ROZDELENIE HARMONICKEJ FUNKCIE.
Harmonická funkcia s pevnou amplitúdou X a frekvenciu f bude náhodnou premennou, ak jej počiatočný fázový uhol = (k)- náhodná hodnota. Najmä nech t pevné a rovnaké t o, a harmonická náhodná premenná nech má tvar
Predstierajme to (k) má jednotnú hustotu pravdepodobnosti p( ) milý
Nájdite hustotu pravdepodobnosti p(x) náhodná premenná x(k).
V tomto príklade priama funkcia X( ) jednoznačne a inverzná funkcia (X) nejednoznačný.
V praxi sa často stáva nevyhnutnosťou nájsť distribučný zákon pre súčet náhodných premenných.
Nech existuje systém (X b X 2) dve súvislé s. v. a ich súčet
Nájdite distribučnú hustotu c. v. U. V súlade so všeobecným riešením z predchádzajúceho odseku nájdeme oblasť roviny, kde x + x 2 (obr. 9.4.1):
Diferencovaním tohto výrazu vzhľadom na y dostaneme ap. náhodná premenná Y \u003d X + X 2:
Pretože funkcia φ (x b x 2) = Xj + x 2 je symetrická vzhľadom na jej argumenty, potom
Ak s. v. X a X 2 sú nezávislé, potom vzorce (9.4.2) a (9.4.3) majú tvar:
V prípade, že nezávislá c. v. x x a X 2, hovoriť o zložení distribučných zákonov. Produkovať zloženie dva zákony rozdeľovania - to znamená nájsť zákon rozdeľovania pre súčet dvoch nezávislých c. c., distribuované podľa týchto zákonov. Symbolický zápis sa používa na označenie zloženia distribučných zákonov
ktorý sa v podstate označuje vzorcami (9.4.4) alebo (9.4.5).
Príklad 1. Uvažuje sa práca dvoch technických zariadení (TD). Po prvé, TU funguje po zaradení jej poruchy (poruchy) do prevádzky TU 2. Uptime TU TU TU 2 - x x a X 2 - sú nezávislé a rozdelené podľa exponenciálnych zákonov s parametrami A,1 a X 2. Preto ten čas Y bezporuchový chod TU, pozostávajúceho z TU! a TU 2 sa určí podľa vzorca
Je potrebné nájsť p.r. náhodná premenná Y, t.j. zloženie dvoch exponenciálnych zákonov s parametrami a X 2.
rozhodnutie. Vzorcom (9.4.4) dostaneme (y > 0)
Ak existuje zloženie dvoch exponenciálnych zákonov s rovnakými parametrami (?c = X 2 = Y), potom vo výraze (9.4.8) dostaneme neistotu typu 0/0, ktorej rozšírením dostaneme:
Porovnaním tohto výrazu s výrazom (6.4.8) sme presvedčení, že zloženie dvoch rovnakých exponenciálnych zákonov (?c = X 2 = X) je Erlangov zákon druhého rádu (9.4.9). Pri skladaní dvoch exponenciálnych zákonov s rôznymi parametrami x x a A-2 dostať zovšeobecnený Erlangov zákon druhého rádu (9.4.8). ?
Úloha 1. Zákon rozdelenia rozdielu dvoch s. v. Systém s. v. (X a X 2) má spoločnú r.p./(x x x 2). Nájsť p.r. ich rozdiely Y=X - X 2.
rozhodnutie. Pre systém s v. (X b - X 2) atď. bude / (x b - x 2), t.j. rozdiel sme nahradili súčtom. Preto a.r. náhodná premenná U bude mať tvar (pozri (9.4.2), (9.4.3)):
Ak s v. X x iX 2 teda nezávislá
Príklad 2. Nájdite f.r. rozdiel dvoch nezávislých exponenciálne rozdelených s. v. s parametrami x x a X 2.
rozhodnutie. Podľa vzorca (9.4.11) dostaneme
Ryža. 9.4.2 Ryža. 9.4.3
Obrázok 9.4.2 ukazuje p. g(y). Ak vezmeme do úvahy rozdiel dvoch nezávislých exponenciálne rozdelených s. v. s rovnakými nastaveniami (A-i= X 2 = ALE,), potom g(y) \u003d / 2 - už známe
Laplaceov zákon (obr. 9.4.3). ?
Príklad 3. Nájdite distribučný zákon pre súčet dvoch nezávislých c. v. X a X 2, distribuované podľa Poissonovho zákona s parametrami a x a a 2.
rozhodnutie. Nájdite pravdepodobnosť udalosti (X x + X 2 = t) (t = 0, 1,
Preto s. v. Y = X x + X 2 rozdelené podľa Poissonovho zákona s parametrom a x2) - a x + a 2. ?
Príklad 4. Nájdite distribučný zákon pre súčet dvoch nezávislých c. v. x x a X 2, rozdelené podľa binomických zákonov s parametrami p x ri p 2, str resp.
rozhodnutie. Predstavte si s. v. x x ako:
kde X 1) - indikátor udalosti ALE aká skúsenosť:
Distribučný rozsah s. v. X,- má tvar
Podobné zastúpenie urobíme aj pre s. v. X 2: kde X] 2) - indikátor udalosti ALE v y-tej skúsenosti:
teda
kde je X? 1)+(2), ak je indikátor udalosti ALE:
Tak sme to ukázali v. Svokrova suma (u + n 2) indikátory udalostí ALE, z čoho vyplýva, že s. v. ^rozdelené podľa binomického zákona s parametrami ( n x + n 2), str.
Všimnite si, že ak pravdepodobnosti R v rôznych sériách experimentov sú rôzne, potom v dôsledku pridania dvoch nezávislých s. c., rozdelené podľa binomických zákonov, vychádza c. c., distribuované nie podľa binomického zákona. ?
Príklady 3 a 4 sa dajú ľahko zovšeobecniť na ľubovoľný počet výrazov. Pri skladaní Poissonových zákonov s parametrami a b a 2, ..., a t S parametrom sa opäť získa Poissonov zákon a (t) \u003d a x + a 2 + ... + a t.
Pri skladaní binomických zákonov s parametrami (n r); (ja 2, R) , (n t, p) opäť dostaneme binomický zákon s parametrami („(“), R), kde n (t) \u003d u + n 2 + ... + atď.
Dokázali sme dôležité vlastnosti Poissonovho zákona a binomického zákona: "vlastnosť stability". Distribučný zákon je tzv udržateľný, ak zložením dvoch zákonov rovnakého druhu vznikne zákon rovnakého druhu (len parametre tohto zákona sa líšia). V pododdiele 9.7 ukážeme, že normálny zákon má rovnakú vlastnosť stability.
Mimoriadne dôležitým objektom teórie pravdepodobnosti je súčet nezávislých náhodných premenných. Práve štúdium rozdelenia súčtov nezávislých náhodných premenných položilo základ pre rozvoj analytických metód teórie pravdepodobnosti.
Rozdelenie súčtu nezávislých náhodných premenných
V tejto časti získame všeobecný vzorec, ktorý nám umožní vypočítať distribučnú funkciu súčtu nezávislých náhodných premenných a zvážime niekoľko príkladov.
Rozdelenie súčtu dvoch nezávislých náhodných premenných. Konvolučný vzorec
nezávislé náhodné premenné s distribučnými funkciami
resp
Potom distribučná funkcia F súčty náhodných premenných
možno vypočítať pomocou nasledujúceho vzorca ( konvolučný vzorec)
Aby sme to dokázali, používame Fubiniho vetu.
Druhá časť vzorca je dokázaná podobne.
Hustota distribúcie súčtu dvoch nezávislých náhodných premenných
Ak majú rozdelenia oboch náhodných premenných hustotu, potom hustotu súčtu týchto náhodných premenných možno vypočítať podľa vzorca
Ak má rozdelenie náhodnej premennej (alebo ) hustotu, potom hustotu súčtu týchto náhodných premenných možno vypočítať podľa vzorca
Na dôkaz týchto tvrdení stačí použiť definíciu hustoty.
Viacnásobné konvolúcie
Výpočet súčtu konečného počtu nezávislých náhodných premenných sa vykonáva pomocou sekvenčnej aplikácie konvolučného vzorca. Funkcia rozdelenia súčtu k nezávislé identicky rozdelené náhodné premenné s distribučnou funkciou F
volal k–násobná konvolúcia distribučnej funkcie F a označené
Príklady výpočtu rozdelenia súčtov nezávislých náhodných veličín
V tomto odseku sú uvedené príklady situácií, kedy pri sčítaní náhodných veličín je zachovaná forma rozdelenia. Dôkazom sú cvičenia na sčítanie a výpočet integrálov.
Súčty nezávislých náhodných premenných. Normálne rozdelenie
Súčty nezávislých náhodných veličín Binomické rozdelenie
Súčty nezávislých náhodných veličín.Poissonovo rozdelenie
Súčty nezávislých náhodných veličín.Gamma rozdelenie
Poissonov proces
sekvencia nezávislých identicky rozdelených náhodných premenných s exponenciálnym rozložením s parametrom
Náhodná postupnosť bodov
na nezápornej poloosi je tzv Poissonov (bodový) proces.
Vypočítajme rozdelenie počtu bodov
Poissonov proces v intervale (0,t)
ekvivalenty, takže
Ale rozdelenie náhodnej premennej
je Erlangovo rozdelenie rádu k, tak
Rozdelenie počtu bodov Poissonovho procesu v intervale (o,t) je teda Poissonovo rozdelenie s parametrom
Poissonov proces sa používa na simuláciu okamihov výskytu náhodných udalostí - proces rádioaktívneho rozpadu, okamihy hovorov na telefónnu ústredňu, okamihy objavenia sa zákazníkov v systéme služieb, okamihy zlyhania zariadenia.
Použime vyššie uvedenú všeobecnú metódu na vyriešenie jedného problému, konkrétne na nájdenie distribučného zákona pre súčet dvoch náhodných premenných. Existuje systém dvoch náhodných veličín (X,Y) s hustotou rozdelenia f(x,y).
Uvažujme súčet náhodných premenných X a Y: a nájdite zákon rozdelenia hodnoty Z. Aby sme to dosiahli, zostrojíme v rovine xOy priamku, ktorej rovnica 
(obr. 6.3.1). Toto je priama čiara oddeľujúca segmenty rovnajúce sa z na osiach. Rovno rozdeľuje rovinu xy na dve časti; vpravo a vyššie 
; vľavo a dole
Oblasť D je v tomto prípade ľavá dolná časť roviny xOy, vytieňovaná na obr. 6.3.1. Podľa vzorca (6.3.2) máme:
Toto je všeobecný vzorec pre hustotu distribúcie súčtu dvoch náhodných premenných.
Z dôvodov symetrie úlohy vzhľadom na X a Y môžeme napísať inú verziu toho istého vzorca:
Je potrebné vytvoriť zloženie týchto zákonov, t. j. nájsť zákon rozdelenia množstva: .
Aplikujeme všeobecný vzorec pre zloženie distribučných zákonov:
Nahradením týchto výrazov do vzorca sme sa už stretli
a to nie je nič iné ako normálny zákon s disperzným centrom
K rovnakému záveru možno oveľa jednoduchšie dospieť pomocou nasledujúcej kvalitatívnej úvahy.
Bez otvárania zátvoriek a bez vykonávania transformácií v integrande (6.3.3) okamžite dospejeme k záveru, že exponent je štvorcová trojčlenka vzhľadom na x tvaru
ak hodnota z nie je zahrnutá do koeficientu A vôbec, započítava sa do koeficientu B prvého stupňa a koeficient C sa započítava do štvorca. S ohľadom na to a použitím vzorca (6.3.4) sme dospeli k záveru, že g(z) je exponenciálna funkcia, ktorej exponent je štvorcová trojčlenka vzhľadom na z a hustotu rozdelenia; tohto druhu zodpovedá bežnému zákonu. Teda my; prichádzame k čisto kvalitatívnemu záveru: zákon rozdelenia z musí byť normálny. Ak chcete nájsť parametre tohto zákona - a 
- použiť vetu o sčítaní matematických očakávaní a vetu o sčítaní rozptylov. Podľa vety o sčítaní matematických očakávaní 
. Podľa vety o sčítaní rozptylu 
alebo 
odkiaľ nasleduje vzorec (6.3.7).
Prechodom od stredných odchýlok k pravdepodobným odchýlkam, ktoré sú im úmerné, dostaneme: 
.
Dospeli sme teda k nasledujúcemu pravidlu: keď sa skladajú normálne zákony, opäť sa získa normálny zákon a matematické očakávania a rozptyly (alebo druhá mocnina pravdepodobných odchýlok) sa spočítajú.
Pravidlo zloženia pre normálne zákony možno zovšeobecniť na prípad ľubovoľného počtu nezávislých náhodných premenných.
Ak existuje n nezávislých náhodných premenných: podliehajú normálnym zákonom s disperznými centrami a štandardnými odchýlkami, potom hodnota podlieha aj normálnemu zákonu s parametrami
Ak je systém náhodných veličín (X, Y) rozdelený podľa normálneho zákona, ale veličiny X, Y sú závislé, potom je ľahké dokázať, rovnako ako predtým, na základe všeobecného vzorca (6.3.1), že zákon rozdelenia množstva je tiež normálny zákon. Rozptylové centrá sa stále pridávajú algebraicky, ale pre štandardné odchýlky sa pravidlo stáva komplikovanejším: 
, kde r je korelačný koeficient hodnôt X a Y.
Pri sčítaní niekoľkých závislých náhodných premenných, ktoré sa ako celok riadia normálnym zákonom, sa zákon rozdelenia súčtu ukáže ako normálny aj s parametrami
kde je korelačný koeficient veličín X i , X j a súčet sa vzťahuje na všetky rôzne párové kombinácie veličín .
Videli sme veľmi dôležitú vlastnosť normálneho zákona: keď sa normálne zákony skombinujú, opäť dostaneme normálny zákon. Ide o takzvanú „vlastnosť stability“. O distribučnom zákone sa hovorí, že je stabilný, ak sa zložením dvoch zákonov tohto typu opäť získa zákon rovnakého typu. Vyššie sme ukázali, že normálny zákon je stabilný. Len veľmi málo distribučných zákonov má vlastnosť stability. Zákon rovnomernej hustoty je nestabilný: pri skladaní dvoch zákonov rovnomernej hustoty v sekciách od 0 do 1 sme dostali Simpsonov zákon.
Stabilita bežného zákona je jednou z podstatných podmienok jeho širokého uplatnenia v praxi. Vlastnosť stability však okrem normálnej majú aj niektoré ďalšie distribučné zákony. Charakteristickým rysom normálneho zákona je, že keď sa vytvorí dostatočne veľký počet prakticky ľubovoľných distribučných zákonov, celkový zákon sa ukáže byť ľubovoľne blízky normálnemu, bez ohľadu na to, aké boli distribučné zákony pojmov. Dá sa to znázorniť napríklad zložením troch zákonov rovnomernej hustoty v úsekoch od 0 do 1. Výsledný zákon rozdelenia g(z) je znázornený na obr. 6.3.1. Ako vidno z nákresu, graf funkcie g(z) je veľmi podobný grafu normálneho zákona.
Nech existuje systém dvoch náhodných premenných X a Y, ktorých spoločné rozdelenie je známe. Úlohou je nájsť rozdelenie náhodnej premennej . Ako príklady SV Z môžete priniesť zisk z dvoch podnikov; počet voličov, ktorí hlasovali určitým spôsobom z dvoch rôznych okrskov; súčet bodov na dvoch kockách.
1. Prípad dvoch DSV. Bez ohľadu na hodnoty, ktoré majú diskrétne CV (vo forme konečného desatinného zlomku s rôznymi krokmi), situácia sa dá takmer vždy zredukovať na nasledujúci špeciálny prípad. množstvá X a Y môže nadobúdať iba celočíselné hodnoty, t.j. 
kde 
. Ak to boli pôvodne desatinné zlomky, potom ich možno vytvoriť ako celé čísla vynásobením 10 k. A chýbajúcim hodnotám medzi maximami a minimami možno priradiť nulovú pravdepodobnosť. Nech je známe spoločné rozdelenie pravdepodobnosti. Potom, ak očíslujeme riadky a stĺpce matice podľa pravidiel: , potom pravdepodobnosť súčtu je:
Prvky matice sa pridávajú pozdĺž jednej z uhlopriečok.
2. Prípad dvoch NSW. Nech je známa hustota rozloženia spoja. Potom hustota distribúcie súčtu:
Ak X a Y nezávislý, t.j. , potom
Príklad 1 X, Y– nezávislý, rovnomerne distribuovaný SW:
Nájdite hustotu distribúcie náhodnej premennej .
To je zrejmé 
,
SW Z môže nadobúdať hodnoty v intervale ( c+d; a+b), ale nie pre všetkých X. mimo tohto intervalu. Na súradnicovej rovine ( X, z) rozsah možných hodnôt množstva z je rovnobežník so stranami X=s; X=a; z=x+d; z=x+b. Vo vzorci pre hranice integrácie bude c a a. Avšak vzhľadom na to, že v nahrad y=z-x, pre niektoré hodnoty z funkcia . Napríklad, ak c 
pre všetkých X a z. Urobíme to pre špeciálny prípad, kedy a+d< b+c
. Uvažujme tri rôzne oblasti zmeny množstva z a pre každú z nich nájdeme .
1) c+d ≤ z ≤ a+d. Potom 
2) a+d ≤ z ≤ b+c. Potom 
3) b+c ≤ z ≤ a+b. Potom 
Toto rozdelenie sa nazýva Simpsonov zákon. Obrázky 8, 9 znázorňujú grafy hustoty distribúcie SW pri s=0, d=0.
