Mathcad ஐப் பயன்படுத்தி முக்கோணவியல் ஃபோரியர் தொடர்.
வேலையின் குறிக்கோள்
Mathcad ஐப் பயன்படுத்தி காலமுறை செயல்பாடுகளை முக்கோணவியல் ஃபோரியர் தொடராக விரிவுபடுத்தவும், ஃபோரியர் தொடரின் பகுதித் தொகைகளின் வரைபடங்களை உருவாக்கவும் கற்றுக்கொள்ளுங்கள்.
உபகரணங்கள்
MathCAD மென்பொருள் தொகுப்பு.
முன்னேற்றம்
விருப்பம்
1) செயல்பாட்டை முக்கோணவியல் ஃபோரியர் தொடராக விரிவுபடுத்தவும்
2) கோசைன்களில் ஒரு முக்கோணவியல் ஃபோரியர் தொடராக செயல்பாட்டை விரிவாக்கவும்
3) சைன்களின் அடிப்படையில் செயல்பாட்டை முக்கோணவியல் ஃபோரியர் தொடராக விரிவுபடுத்தவும்
வேலை செய்ய அனுமதி
3.2.1 ஒரு செயல்பாட்டின் முக்கோணவியல் ஃபோரியர் தொடர் வடிவத்தின் செயல்பாட்டுத் தொடர் ஆகும்
3.2.4 ஃபோரியர் குணகங்கள் f(x) செயல்பாட்டிற்காக கணக்கிடப்பட்டன (கோசைன்களில் விரிவாக்கப்படும் போது)
a 1 = 5, a 2 = 6, a 3 = 7
முக்கோணவியல் ஃபோரியர் தொடரை எழுதவும்
3.2.5 f(x) சார்பு சைன்களின் (ஒற்றைப்படை) அடிப்படையில் ஒரு ஃபோரியர் தொடராக விரிவாக்கப்படுகிறது, பின்னர்
| தாள் |
| ஆவணம் எண். |
| கையெழுத்து |
| தாள் |
| ஆவண எண். |
| கையெழுத்து |
| தேதி |
| தாள் |
3.1.2. சீரற்ற மாறி x இன் எண் பண்புகளைக் கண்டறியவும் (x என்பது ஒரு லாட்டரி சீட்டின் உரிமையாளரின் வெற்றிகள்).
____ டிக்கெட்டுகள் லாட்டரியில் எடுக்கப்படுகின்றன.
இவற்றில், அவர்கள் ஒவ்வொன்றும் ____ ரூபிள் வென்றனர்
இவற்றில், அவர்கள் ஒவ்வொன்றும் ____ ரூபிள் வென்றனர்.
3.1.3. சீரற்ற மாறி “x” இன் எண் பண்புகளைக் கண்டறியவும்
A). 0.15 b) -0.35 c) 0.35 d) 0.25 e) தீர்மானிக்க முடியாது.
3.2.3 லாட்டரியில் 200 டிக்கெட்டுகள் உள்ளன. 30 வெற்றிச் சீட்டுகள் உள்ளன. அந்தச் சீட்டு வெற்றிபெறாத நிகழ்தகவு என்ன?
A). 1.7 b) 0.7 c) 0.17 d) 0.85 d) 0.15
3.2.4 தனித்த சீரற்ற மாறியின் மாறுபாட்டைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரத்தை எழுதவும்.
3.2.5 தனித்த சீரற்ற மாறியின் நிலையான விலகலைக் கணக்கிடுவதற்கான சூத்திரத்தை எழுதவும்.
________________________________________________________________________________
3.2.6. D (y) = 25. நிலையான விலகல் என்றால் என்ன?
A). ± 5 b) 5 c) -5 d) தீர்மானிக்க முடியாது.
3.2.7 MathCAD இல் ஒரு சமன்பாட்டை எவ்வாறு தீர்க்கலாம்
______________________________________________________________________________
______________ வேலை செய்ய அனுமதிக்கப்படுகிறது
வேலை முடிவுகள்
4.1 M(x) = ____________ D(x) = ____________ σ (x) = ____________
| தாள் |
| ஆவண எண். |
| கையெழுத்து |
| தேதி |
| தாள் |
| PR.140448.00.00 |
புள்ளி மற்றும் இடைவெளி மதிப்பீடுகளைக் கண்டறிதல்
எக்செல் இல் அறியப்படாத விநியோக அளவுருக்கள்
1. வேலையின் நோக்கம்
கொடுக்கப்பட்ட மாதிரியைப் பயன்படுத்தி, மாதிரியின் எண்ணியல் பண்புகளைத் தீர்மானிக்கவும், பொது மக்கள்தொகையின் அறியப்படாத அளவுருக்களை மதிப்பிடவும் கற்றுக்கொள்ளவும், மேலும் கொடுக்கப்பட்ட நம்பிக்கை நிகழ்தகவுடன் பொது மக்களின் கணித எதிர்பார்ப்பை மதிப்பிடவும்.
2. உபகரணங்கள்:
IBM PC, Microsoft Excel ஷெல்.
முன்னேற்றம்
3. 1 விருப்பம்
கொடுக்கப்பட்ட நம்பக நிகழ்தகவுடன் மதிப்பீடு γ = கொடுக்கப்பட்ட மாதிரிக்கான பொது மக்களின் கணித எதிர்பார்ப்பு
_____________________________________________________________________________________
3.2 வேலை செய்ய அனுமதி
1. மாதிரி சராசரி எவ்வாறு கணக்கிடப்படுகிறது?
2. மாதிரி மாறுபாடு எவ்வாறு கணக்கிடப்படுகிறது?
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
3. நிலையான விலகல் எவ்வாறு கணக்கிடப்படுகிறது?
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
4. சரி செய்யப்பட்ட மாதிரி மாறுபாடு எவ்வாறு கணக்கிடப்படுகிறது?
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
5. அறியப்படாத விநியோக அளவுருவின் புள்ளி மதிப்பீடு இடைவெளி மதிப்பீட்டிலிருந்து எவ்வாறு வேறுபடுகிறது?
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
6. மக்கள்தொகையின் கணித எதிர்பார்ப்பை மதிப்பிடுவதற்கு இடைவெளி எவ்வாறு கணக்கிடப்படுகிறது?
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
7. மாணவர் குணகம் என்ன?
| மாற்றவும் |
| தாள் |
| ஆவண எண். |
| கையெழுத்து |
| தேதி |
| தாள் |
| PR.140448.00.00 |
8. மாணவர் குணகத்தின் மதிப்பு எதைச் சார்ந்தது?
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
பின்வருபவை வேலை செய்ய அனுமதிக்கப்படுகின்றன:________________________________________________
வேலை முடிவுகள்
σ in = S in = t γ =
முடிவுரை
இந்த வேலையின் போது, புள்ளி மற்றும் இடைவெளி மதிப்பீடுகளுக்கான சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தினேன்____________________________________________________________
_________________________________________________________________
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
பி
குளுஷாச் வி.எஸ். UIT-44
MathCad இல் வேலையில் தேர்ச்சி பெறுதல். சிக்னல்களின் ஸ்பெக்ட்ரல் கூறுகளை பகுப்பாய்வு செய்ய லாப்லேஸ் டிரான்ஸ்ஃபார்மைப் பயன்படுத்துவதில் திறன்களைப் பெறுதல். நேரத் தொடர் மற்றும் ஃபோரியர் உருமாற்றத்தின் நேரம் மற்றும் அதிர்வெண் அளவுகள் பற்றிய ஆய்வு.
1. மூன்று சைனூசாய்டுகளின் நேரத் தொடரை உருவாக்கவும். புள்ளிகளின் எண்ணிக்கை 2^n ஆக இருக்க வேண்டும்
2. சராசரி மற்றும் மாறுபாட்டைத் தீர்மானிக்கவும்.
3. நேரடி மற்றும் தலைகீழ் மாற்றத்தை எஃப் செய்கிறோம். அசல் நேரத் தொடரின் வரைபடத்தில் இருமுறை மாற்றப்பட்ட சிக்னலை மிகைப்படுத்துகிறோம்.
4. நேர அச்சில் நேரத் தொடர் அளவுகோலுக்கும் அதிர்வெண் அச்சில் ஃபோரியர் உருமாற்றத்துக்கும் இடையே உள்ள தொடர்பைக் கண்டறியவும்.
1. nl:= 2 k படிவத்தில் நேரத் தனித்தன்மை dt மற்றும் நேரத் தொடரில் உள்ள புள்ளிகளின் எண்ணிக்கையைத் தேர்ந்தெடுக்கவும்
K:= 9 nl:= 2 k nl=512 மாதிரி நீளம் T:=512
ஷ 
ag by Or, கொடுக்கப்பட்ட nl-1
நேரம் தோராயமாக nl க்கு சமம் பிறகு i:=0..nl-l t. := i*dt
2. மூன்று ஹார்மோனிக் சிக்னல்களின் கூட்டுத்தொகையாக உள்ளீட்டு சிக்னல் x ஐ உருவாக்கி அதன் அடிப்படை புள்ளிவிவரங்களைத் தீர்மானிக்கிறோம்.
А1:= 1 f1:= 0.05 xl i:= Al-sin/2*3.14*fl*t i) srl:= mean(xl) srl = 0.012 s1:=stdev(x1) s1=0.706
A2:= 0.5 f2:= 0.1 x2 i:= A2-sin/2*3.14*f2*t i) sr2:= சராசரி(x2) sr2 = 3.792x10 -4 s2:=stdev(x2) s2=0.353
A3:= 0.25 f3:= 0.4 x3 i:= A3-sin/2*3.14*f3*t i) sr3:= சராசரி(x3) sr3 = 3.362x10 -4 s3:=stdev(x3) s3=0.177
x i:= xl i + x2 i + x3 i sry:= சராசரி(x) sry = 0.013 sy:= stdev(x) sy = 0.809
1. MathCad F இல் நேரடி ஃபோரியர் மாற்றம்:= fft(x)
ஒரு நேரத் தொடரில் இருக்கக்கூடிய ஹார்மோனிக் கூறுகளின் அதிகபட்ச காலம் மாதிரி நீளத்திற்கு சமம். இந்த ஹார்மோனிக் கூறு ஃபோரியர் டிரான்ஸ்ஃபார்ம் ஃப்ரீக்வென்சி ஸ்கேல் ஃப்ரின்னின் குறைந்தபட்ச சாத்தியமான அதிர்வெண்ணுடன் ஒத்திருக்கிறது, அதன்படி, ஃபோரியர் டிரான்ஸ்ஃபார்ம் ஃப்ரீக்வென்சி அச்சு df.
Tmax:= Tfrnin:= 
df:= frnin df = 1.953 x 10 -3
எனவே, ஃபோரியர் மாற்றத்தின் குறைந்தபட்ச அதிர்வெண் மற்றும் அதிர்வெண் படி frnin = df = 1/T க்கு சமம்.
ஃபோரியர் டிரான்ஸ்ஃபார்ம் பல அதிர்வெண் ஆர்டினேட்டுகளைக் கொண்டுள்ளது, இது நேரத் தொடர் ஆர்டினேட்டுகளின் எண்ணிக்கையில் பாதி பெரியது நேரத்தில் n2=nl/2 அல்லது, பூஜ்ஜிய புள்ளி உட்பட (ஃபோரியர் உருமாற்றம் வரையறுக்கப்படவில்லை)
n2:= 1 + 2 k -1 n2 = 257 j:= l..n2
தற்போதைய அதிர்வெண் குறியீடு j=l இலிருந்து j=n2 ஆக மாறுகிறது
இந்த வழக்கில், அதிர்வெண் fmin =df= 1/T அதிகபட்ச அதிர்வெண் finax:= n2*df fmax = 0.502 இலிருந்து மாறுபடும்.
frnax=n2*df வரை தற்போதைய அதிர்வெண் f i:= i*df
f 1 = 1.953 x 10 -3 f 257 = 0.502
பற்றி 
ஃபோரியர் உருமாற்றமானது f=finin இலிருந்து f=fmax வரையிலான அதிர்வெண்களுக்கு மட்டுமே வரையறுக்கப்படுகிறது என்பதை நினைவில் கொள்ளவும்.
இந்த வழக்கில், ஃபோரியர் ஸ்பெக்ட்ரம் வரைபடத்தில் உள்ள சிகரங்கள் அசல் சைனூசாய்டுகளின் அதிர்வெண்களுடன் ஒத்திருக்கும், அதாவது, ஃபோரியர் மாற்றம் சமிக்ஞையின் அதிர்வெண் கூறுகளை தனிமைப்படுத்த உங்களை அனுமதிக்கிறது. ஆனால் இப்போது ஹார்மோனிக் கூறுகளின் வீச்சுகள் அசல் நேரத் தொடரின் கூறுகளின் வீச்சுகளைப் பிரதிபலிக்காது (இங்கு A1=1, A2=0.5, A3=0.25)
dt = 1 இல் ஃபோரியர் உருமாற்றத்தின் ஸ்பெக்ட்ரமில் அதிகபட்ச அதிர்வெண் frnax = 0.5 அலைவுகள் ஒரு யூனிட் நேர அளவுகோல் என்பதையும் கவனத்தில் கொள்வோம். dt = 1 நொடியில் இது fmax = 0.5 Hz க்கு ஒத்திருக்கும். இந்த வழக்கில், அதிகபட்ச அதிர்வெண் காலம் Tfmax=1/0.5=2 ஆகும். இதன் பொருள் அதிகபட்ச அதிர்வெண்ணின் ஒரு காலத்திற்கு நேரத் தொடரின் இரண்டு தேர்வுகள் உள்ளன. இது கோட்டல்னிகோவின் தேற்றத்திற்கு ஒத்திருக்கிறது, அதன்படி ஒரு குறிப்பிட்ட காலத்திற்கு தகவல்களை இழக்காமல் ஒரு தனித்துவமான ஒன்றிலிருந்து தொடர்ச்சியான தொடர்ச்சியான சமிக்ஞையை மீட்டமைக்க, குறைந்தபட்சம் இரண்டு மாதிரிகள் சரியான நேரத்தில் இருக்க வேண்டும்.
3. இரட்டை ஃபோரியர் மாற்றத்திற்கு முன்னும் பின்னும் நேரத் தொடரின் தற்செயல் நிகழ்வைச் சரிபார்ப்போம். இதைச் செய்ய, இதன் விளைவாக வரும் நேரடி மாற்றத்திலிருந்து தலைகீழ் ஃபோரியர் உருமாற்றத்தைப் பெறுகிறோம். இது அசல் நேரத் தொடருடன் ஒத்துப்போக வேண்டும், இது பின்வரும் வரைபடம் FF மூலம் உறுதிப்படுத்தப்படுகிறது:= ifft(F)
வேகமான தனித்த ஃபோரியர் டிரான்ஸ்ஃபார்ம் (FFT) மற்றும் அதன் தலைகீழ் செயல்பாட்டிற்கான செயல்பாடுகளை Mathcad கொண்டுள்ளது. Mathcad PLUS ஆனது ஒரு பரிமாண தனித்த அலை மாற்றம் மற்றும் அதன் தலைகீழ் மாற்றத்தையும் வழங்குகிறது. இந்த செயல்பாடுகள் அனைத்தும் வெக்டர் வாதங்களைக் கொண்டுள்ளன. திசையன் தீர்மானிக்கும் போது vஅலை உருமாற்றம் அல்லது ஃபோரியர் உருமாற்றத்தைக் கண்டறிய, திசையனின் முதல் உறுப்பு குறியீட்டு பூஜ்ஜியத்தைக் கொண்டுள்ளது என்பதை உறுதிப்படுத்தவும்: v 0 . v 0 வரையறுக்கப்படவில்லை என்றால், Mathcad தானாகவே அதை 0 ஆக அமைக்கிறது. இது வளைந்த முடிவுகளை ஏற்படுத்தலாம்.
டிஸ்க்ரீட் ஃபோரியர் டிரான்ஸ்ஃபார்ம் அறிமுகம்
Mathcad இரண்டு வகையான தனித்த ஃபோரியர் உருமாற்ற செயல்பாடுகளை உள்ளடக்கியது: fft/ifftமற்றும் cfft /icfft . இந்த செயல்பாடுகள் தனித்தன்மை வாய்ந்தவை: அவை திசையன்கள் மற்றும் மெட்ரிக்குகளை வாதங்களாக எடுத்து அவற்றைத் திருப்பித் தருகின்றன. மற்ற செயல்பாடுகளுடன் அவற்றைப் பயன்படுத்த முடியாது. செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்தவும் அடிமற்றும் ifft , பின்வரும் இரண்டு நிபந்தனைகள் பூர்த்தி செய்யப்பட்டால்:- வாதங்கள் உண்மையானவை, மற்றும்
- தரவு திசையன் 2 மீ கூறுகளைக் கொண்டுள்ளது.
அம்சங்களைப் பயன்படுத்தவும் cfftமற்றும் icfftமற்ற எல்லா நிகழ்வுகளிலும்.
செயல்பாடுகள் என்பதால் முதல் நிபந்தனை அவசியம் fft/ifftஉண்மையான தரவுகளுக்கு ஃபோரியர் உருமாற்றத்தின் இரண்டாம் பாதியானது முதல்வற்றின் சிக்கலான இணைப்பாகும். மேட்கேட் முடிவு திசையனின் இரண்டாம் பாதியை நிராகரிக்கிறது. இது கணக்கீடுகளின் போது நேரத்தையும் நினைவகத்தையும் சேமிக்கிறது.
ஜோடி செயல்பாடுகள் cfft/icfftஉருமாற்றத்தில் சமச்சீர் பயன்படுத்துவதில்லை. இந்த காரணத்திற்காக, சிக்கலான தரவுகளுக்கு அவற்றைப் பயன்படுத்துவது அவசியம். உண்மையான எண்கள் சிக்கலான எண்களின் துணைக்குழு என்பதால், நீங்கள் ஜோடியையும் பயன்படுத்தலாம் cfft/icfftஉண்மையான எண்களுக்கு.
செயல்பாடுகளின் ஜோடி என்பதால் இரண்டாவது நிபந்தனை தேவைப்படுகிறது fft/ifftமிகவும் திறமையான வேகமான ஃபோரியர் டிரான்ஸ்ஃபார்ம் அல்காரிதத்தைப் பயன்படுத்துகிறது. இதைச் செய்ய, உடன் பயன்படுத்தப்படும் வாதத்தின் திசையன் அடி, 2 மீ உறுப்புகள் இருக்க வேண்டும். செயல்பாடுகளில் сfft/icfftமெட்ரிக்குகள் மற்றும் தன்னிச்சையான அளவு திசையன்கள் இரண்டையும் வாதங்களாக ஏற்றுக்கொள்ளும் ஒரு வழிமுறை பயன்படுத்தப்படுகிறது. இந்த ஜோடி செயல்பாடுகளை மேட்ரிக்ஸுடன் வாதமாகப் பயன்படுத்தும்போது, இரு பரிமாண ஃபோரியர் உருமாற்றம் கணக்கிடப்படுகிறது.
செயல்பாடு பயன்படுத்தப்பட்டால் என்பதை நினைவில் கொள்க அடிநேரடி மாற்றத்திற்கு, நீங்கள் செயல்பாட்டைப் பயன்படுத்த வேண்டும் ifftஎதிர்க்கு. இதேபோல், நீங்கள் நேரடி மாற்றத்திற்கு பயன்படுத்தினால் cfft, பின்னர் தலைகீழாக பயன்படுத்த வேண்டியது அவசியம் icfft.
ஃபோரியர் உருமாற்றத்தின் வரையறையின் வெவ்வேறு சூத்திரங்கள், முன்னோக்கி மற்றும் தலைகீழ் உருமாற்றங்களின் அதிவேகத்தில் கற்பனை அலகு அடையாளம் பற்றிய வெவ்வேறு இயல்பாக்குதல் குணகங்கள் மற்றும் மரபுகளைப் பயன்படுத்துகின்றன. செயல்பாடுகள் fft, ifft, cfftமற்றும் icfft 1/ஐ இயல்பாக்கும் காரணியாகவும், நேர் மாற்றத்தில் நேர்மறை அடுக்குகளாகவும் பயன்படுத்தவும். செயல்பாடுகள் FFT , IFFT , CFFT மற்றும் ஐ.சி.எஃப்.எஃப்.டி 1/N ஐ இயல்பாக்கும் காரணியாகவும், நேரடி மாற்றத்தில் எதிர்மறை அடுக்குகளாகவும் பயன்படுத்தவும். இந்த செயல்பாடுகள் ஜோடியாக பயன்படுத்தப்பட வேண்டும். உதாரணமாக, நீங்கள் பயன்படுத்தினால் CFFTநேரடி மாற்றத்தில், தேவையானபயன்படுத்த ஐ.சி.எஃப்.எஃப்.டிஎதிர்.
உண்மையான டொமைனில் ஃபோரியர் மாற்றம்
2 மீ உறுப்புகள் கொண்ட உண்மையான மதிப்புள்ள திசையன்களுக்கு, நீங்கள் இரண்டு செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்தலாம் fft/ifft. இந்த செயல்பாடுகளை கணக்கிடுவதற்கான அல்காரிதம் உண்மையான தரவுகளுக்கு மட்டுமே இருக்கும் சமச்சீர்மையைப் பயன்படுத்திக் கொள்கிறது. இது கணக்கீடுகளுக்கு தேவையான நேரத்தையும் நினைவகத்தையும் சேமிக்கிறது. திசையன் v 2 மீ உறுப்புகள் இருக்க வேண்டும். இதன் விளைவாக 1+2 m-1 பரிமாணத்தின் சிக்கலான மதிப்புள்ள திசையன் உள்ளது. என்றால் v 2 மீ தவிர வேறு பரிமாணம் உள்ளது, Mathcad பிழை செய்தியைக் காட்டுகிறது " தவறான திசையன் அளவு”.திசையன் கூறுகள் திரும்பியது fft,சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகிறது
வெக்டரில் உள்ள கூறுகள் செயல்பாட்டின் மூலம் திரும்பியது அடி, வெவ்வேறு அதிர்வெண்களுக்கு ஒத்திருக்கும். உண்மையான அதிர்வெண்ணை மீட்டெடுக்க, அசல் சமிக்ஞையின் அளவீட்டு அதிர்வெண்ணை அறிந்து கொள்வது அவசியம். என்றால் vஅங்கு உள்ளது n-பரிமாண திசையன் செயல்பாட்டிற்கு அனுப்பப்பட்டது அடி, மற்றும் அசல் சமிக்ஞையின் அளவீட்டு அதிர்வெண் - fs, பின்னர் தொடர்புடைய அதிர்வெண் சமமாக இருக்கும்
அசல் சிக்னலின் அளவீட்டு அதிர்வெண்ணைக் காட்டிலும் அதிகமான அதிர்வெண்களைக் கண்டறிய இது சாத்தியமற்றது என்பதை நினைவில் கொள்க. இது Mathcad மூலம் விதிக்கப்பட்ட வரம்பு அல்ல, ஆனால் பிரச்சனையின் சாராம்சத்தால் விதிக்கப்பட்டது. அதன் ஃபோரியர் மாற்றத்திலிருந்து ஒரு சிக்னலைச் சரியாகப் புனரமைக்க, அசல் சிக்னலை அலைவரிசையின் இரண்டு மடங்கு அதிர்வெண்ணில் அளவிடுவது அவசியம். இந்த நிகழ்வின் முழு விவாதம் இந்த கையேட்டின் எல்லைக்கு அப்பாற்பட்டது, ஆனால் எந்த டிஜிட்டல் சிக்னல் செயலாக்க பாடப்புத்தகத்திலும் காணலாம்.
திசையன் v 1+ 2 மீ உறுப்புகள் இருக்க வேண்டும் மீ-முழுவதும். இதன் விளைவாக 2 மீ+1 பரிமாணத்தின் சிக்கலான மதிப்புள்ள திசையன் உள்ளது. என்றால் v 1+ 2 மீ தவிர வேறு பரிமாணம் உள்ளது, Mathcad பிழை செய்தியைக் காட்டுகிறது " தவறான திசையன் அளவு".வாதம் v- செயல்பாட்டால் உருவாக்கப்பட்டதைப் போன்ற ஒரு திசையன் அடிமுடிவைக் கணக்கிட, Mathcad முதலில் ஒரு புதிய வெக்டரை உருவாக்குகிறது டபிள்யூ, சிக்கலான இணைவு v, மற்றும் அதை வெக்டருடன் இணைக்கிறது v. Mathcad பின்னர் திசையன் கணக்கிடுகிறது ஈ, அதன் கூறுகள் சூத்திரத்தால் கணக்கிடப்படுகின்றன:
சிக்கலான களத்தில் ஃபோரியர் மாற்றம்
உருமாற்ற ஜோடிகளைப் பயன்படுத்த முடியாததற்கு இரண்டு காரணங்கள் உள்ளன fft/ift,முந்தைய பகுதியில் விவாதிக்கப்பட்டது:- தரவு சிக்கலான மதிப்புடையதாக இருக்கலாம். உண்மையான வழக்கில் நிகழும் சமச்சீர்மையை Mathcad இனி பயன்படுத்த முடியாது என்பதே இதன் பொருள்.
- தரவு திசையன் 2 மீ தவிர வேறு பரிமாணத்தைக் கொண்டிருக்கலாம். இந்த ஜோடி பயன்படுத்தும் மிகவும் திறமையான FFT அல்காரிதத்தை Mathcad பயன்படுத்த முடியாது. fft/ifft.
படம் 3: Mathcad இல் Fast Fourier Transforms ஐப் பயன்படுத்துதல்.
ஒன்றிரண்டு மாற்றங்கள் cfft/icfftஎந்த அளவு வரிசைகளிலும் வேலை செய்யலாம். இருப்பினும், வரிசைகள் மற்றும் நெடுவரிசைகளின் எண்ணிக்கையை அதிக எண்ணிக்கையிலான சிறிய காரணிகளின் விளைபொருளாகக் குறிப்பிடும்போது அவை மிக வேகமாக செயல்படும். எடுத்துக்காட்டாக, 2 மீ நீளம் கொண்ட திசையன்கள் இந்த வகுப்பில் உள்ளன, அதே போல் 100 அல்லது 120 நீளம் கொண்ட திசையன்களும் உள்ளன. மறுபுறம், ஒரு பெரிய பிரதான எண்ணின் நீளம் கொண்ட ஒரு திசையன் ஃபோரியர் உருமாற்றத்தின் கணக்கீட்டை மெதுவாக்கும்.
செயல்பாடுகள் cfftமற்றும் icfft- ஒன்றுக்கொன்று நேர்மாறானது. அதாவது, icfft(cfft(v))=v. படம் 3, Mathcad இல் ஃபோரியர் உருமாற்றத்தைப் பயன்படுத்துவதற்கான எடுத்துக்காட்டுகளைக் காட்டுகிறது.
ஒரு வாதமாக போது cfftமேட்ரிக்ஸ் பயன்படுத்தப்படுகிறது, இதன் விளைவாக அசல் மேட்ரிக்ஸின் இரு பரிமாண ஃபோரியர் மாற்றமாகும்.
ஃபோரியர் உருமாற்றத்தின் மாற்று வடிவங்கள்
மேலே விவாதிக்கப்பட்ட ஃபோரியர் மாற்றத்தின் வரையறைகள் மட்டுமே சாத்தியமானவை அல்ல. எடுத்துக்காட்டாக, தனித்த ஃபோரியர் உருமாற்றம் மற்றும் அதன் தலைகீழ் மாற்றத்திற்கான பின்வரும் வரையறைகளை ரொனால்ட் பிரேஸ்வெல்ஸ் புத்தகத்தில் காணலாம், ஃபோரியர் மாற்றம் மற்றும் அதன் பயன்பாடுகள்(மெக்ரா-ஹில், 1986):
இந்த வரையறைகள் தொழில்நுட்ப இலக்கியத்தில் மிகவும் பொதுவானவை. முந்தைய பிரிவில் விவாதிக்கப்பட்டவற்றுக்குப் பதிலாக இந்த வரையறைகளைப் பயன்படுத்த, செயல்பாடுகளைப் பயன்படுத்தவும் FFT, IFFT, CFFTமற்றும் ஐ.சி.எஃப்.எஃப்.டி. அவை பின்வருமாறு வேறுபடுகின்றன: செயல்பாடுகள் FFT, IFFT, CFFTமற்றும் ஐ.சி.எஃப்.எஃப்.டிமுந்தைய பிரிவில் விவாதிக்கப்பட்ட செயல்பாடுகளைப் போலவே பயன்படுத்தப்படுகின்றன.
அலை மாற்றம்
ஒரு Mathcad PLUS ஆனது இரண்டு அலை உருமாற்ற செயல்பாடுகளை உள்ளடக்கியது: ஒரு நேரடியான ஒரு பரிமாண தனித்த அலை மாற்றம் மற்றும் அதன் தலைகீழ். நான்கு குணகம் Daubechi அலை அடிப்படையில் மாற்றம் செய்யப்படுகிறது.பகுதி 3. Mathcad இல் சாதாரண வேறுபாடு சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது
தன்னிச்சையான பிரிவில் ஃபோரியர் தொடர்
பகுதி 2. ஃபோரியர் தொடரில் செயல்பாடுகளின் விரிவாக்கம்
சிக்கலான எண்களைக் கொண்ட செயல்கள்
பகுதி 1. Mathcad இல் கலப்பு எண்களைக் கொண்ட கணக்கீடுகள்
விரிவுரை எண் 5
பொருள்: « சிக்கலான மாறிகள். ஃபோரியர் தொடரில் செயல்பாடுகளின் விரிவாக்கம். வேறுபட்ட சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது»
Mathcad இல், கற்பனை அலகு i வரையறுக்கப்படுகிறது: எனவே, சிக்கலான எண்கள் மற்றும் அவற்றுடனான செயல்பாடுகள் வரையறுக்கப்படுகின்றன.
Z=a+bi- சிக்கலான எண்ணை எழுதும் இயற்கணித வடிவம்.
a - உண்மையான பகுதி, b - கற்பனை பகுதி
ஒரு கலப்பு எண்ணை எழுதும் அதிவேக (அதிவேக) வடிவம்,
A – தொகுதி, φ – வாதம் (கட்டம்)
ஒரு கலப்பு எண்ணை எழுதும் முக்கோணவியல் வடிவம்.
அளவுகளுக்கு இடையிலான உறவு: a=A cos φ b=A sin φ
Z1=a1+j b1, Z2=a2+j b2
a) கூட்டல் (கழித்தல்) Z3=Z1±Z2=(a1±a2)+j·(b1±b2)
b) பெருக்கல் c·Z1=a·c+j·b·c
Z3=Z1·Z2=(a1·a2-b1·b2)+j·(a1·b2+a2·b1)=A1A2ej(φ1+φ2)
c) பிரிவு
ஈ) சக்தியை உயர்த்துதல் (இயற்கை)
இ) ரூட் பிரித்தெடுத்தல்: , k =0,1,2…n-1
இயந்திரம் ரேடியன்களை மட்டுமே ஏற்றுக்கொள்கிறது!!! ரேடியன்=பட்டம் பட்டம்=ரேடியன்
எடுத்துக்காட்டுகள்:
ஒரு ஒருங்கிணைப்பு இருந்தால், f(x) செயல்பாடு [-p;p] இடைவெளியில் முற்றிலும் ஒருங்கிணைக்கக்கூடியது. ஒவ்வொரு முற்றிலும் ஒருங்கிணைக்கக்கூடிய செயல்பாடு f(x) இடைவெளியில் [-p;p] அதன் முக்கோணவியல் ஃபோரியர் தொடருடன் தொடர்புடையது:
முக்கோணவியல் ஃபோரியர் தொடரின் குணகங்கள் ஃபோரியர் குணகங்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன மற்றும் யூலர்-ஃபோரியர் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகின்றன: ,
[-p;p] இடைவெளியில் ஒரு துண்டு துண்டாக மென்மையான செயல்பாடு f(x) ஃபோரியர் தொடரின் nவது பகுதித் தொகையைக் குறிப்போம். நிலையான விலகல் சூத்திரத்தால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது:
[-p;p] இல் ஒருங்கிணைக்கக்கூடிய எந்த வரம்புக்குட்பட்ட செயல்பாட்டிற்கும், அதன் ஃபோரியர் தொடரின் பகுதித் தொகையானது nவது பட்டத்தின் சிறந்த தோராயமான முக்கோணவியல் பல்லுறுப்புக்கோவை ஆகும்.
உதாரணமாக:
ஃபோரியர் தொடரின் பகுதித் தொகைகள் எவ்வாறு ஒன்றிணைகின்றன என்பதை வரைபடங்கள் காட்டுகின்றன. f(x) செயல்பாட்டின் தொடர்ச்சியின் புள்ளிகளுக்கு அருகில், x புள்ளியில் உள்ள செயல்பாட்டின் மதிப்புக்கும் இந்த கட்டத்தில் தொடரின் பகுதித் தொகையின் மதிப்புக்கும் இடையே உள்ள வேறுபாடு n®¥ ஆக பூஜ்ஜியமாக இருக்கும், அதாவது இந்த விஷயத்தில் இருந்து முற்றிலும் கோட்பாட்டுடன் ஒத்துப்போகிறது. செயல்பாட்டின் இடைநிறுத்தப் புள்ளிகளில் இருந்து புள்ளி x அமைந்தால், வேறுபாடு பூஜ்ஜியமாக மாறுவதைக் காணலாம்.
உதாரணமாக:
F(x) செயல்பாட்டின் [-L;L] இடைவெளியில் ஒரு துண்டு துண்டாக மென்மையான செயல்பாட்டிற்கு, நேரியல் மாற்றீடு மூலம் ஃபோரியர் தொடரை இடைவெளியில் [-L;L] விரிவாக்குவதில் உள்ள சிக்கல் செயல்பாட்டை விரிவாக்குவதில் சிக்கலாகக் குறைக்கப்படுகிறது. இடைவெளியில் [-p;p]:
பல்வேறு சமச்சீர் நிலைகளின் கீழ் ஃபோரியர் தொடரின் எளிமைப்படுத்தல்களைக் கருத்தில் கொள்வோம்:
சூத்திரம் (1) சூத்திரம் (2)
சமன்பாட்டிற்கு தீர்வு காண்பது அவசியமாக இருக்கட்டும்
ஆரம்ப நிலையுடன். இந்த பணி அழைக்கப்படுகிறது காச்சி பிரச்சனை . விரும்பிய செயல்பாட்டை புள்ளிக்கு அருகில் ஒரு தொடராக விரிவுபடுத்தி, விரிவாக்கத்தின் முதல் இரண்டு சொற்களுக்கு நம்மை வரம்பிடுவோம். சமன்பாடு (1) கணக்கில் எடுத்து அதைக் குறிப்பதால், இந்த சூத்திரத்தை பல முறை பயன்படுத்தலாம், மேலும் மேலும் புதிய புள்ளிகளில் செயல்பாட்டின் மதிப்புகளைக் கண்டறியலாம்.
சாதாரண வேறுபாடு சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும் இந்த முறை அழைக்கப்படுகிறது ஆய்லரின் முறை . வடிவியல் ரீதியாக, ஆய்லரின் முறை என்பது ஒவ்வொரு படியிலும் இடைவெளியின் தொடக்கத்தில் உள்ள தீர்வு வரைபடத்திற்கு வரையப்பட்ட ஒரு தொடுகோடு பிரிவின் மூலம் தீர்வை (ஒருங்கிணைந்த வளைவு) தோராயமாக மதிப்பிடுகிறோம். முறையின் துல்லியம் குறைவாக உள்ளது மற்றும் வரிசையில் உள்ளது ம. ஆய்லரின் முறையானது முதல்-வரிசை முறை, அதாவது, படி குறைவதால் அதன் துல்லியம் நேர்கோட்டில் அதிகரிக்கிறது என்று அவர்கள் கூறுகிறார்கள். ம.
ஆய்லரின் முறையின் துல்லியத்தை அதிகரிக்க பல்வேறு மாற்றங்கள் உள்ளன. அவை அனைத்தும் இடைவெளியின் தொடக்கத்தில் கணக்கிடப்பட்ட வழித்தோன்றல் இந்த இடைவெளியில் வழித்தோன்றலின் சராசரி மதிப்பால் மாற்றப்படும் என்ற உண்மையை அடிப்படையாகக் கொண்டது.
மோட்(x, y) - x ஐ y ஆல் வகுத்த மீதமுள்ளவை. முடிவு x போன்ற அதே அடையாளத்தைக் கொண்டுள்ளது; கோணம்(x, y) - XY விமானத்தில் நேர்மறை x-அச்சு மற்றும் திசையன் (x, y) ஆகியவற்றுக்கு இடையே உள்ள கோணம் (ரேடியன்களில்). வாதங்கள் உண்மையாக இருக்க வேண்டும். 0 மற்றும் 2πக்கு இடைப்பட்ட மதிப்பை வழங்கும். ceil(3.25) = 4 floor(3.25) = 3 mantissa (x) := x - floor(x) mantissa (3.45) = 0.45 பாரம்பரிய ரவுண்டிங்: roundoff (x) := if(mantissa (x)< 0.5, floor(x) , ceil(x)) roundoff (3.46) = 3 roundoff (3.56) = 4 Рис. 14. Создание функций округления На рис. 14 показано, как из этих функций могут быть сформированы функции округления. 4.4. Дискретное преобразование Фурье В Mathcad входят два типа функций для дискретного прямого и об- ратного преобразования Фурье: fft/ifft и cfft/icfft. Эти функции дискрет- ны: они берут в качестве аргументов и возвращают векторы и матрицы. Они не могут быть использованы с другими функциями. Используйте функции fft и ifft, если выполнены два следующих ус- ловия: аргументы вещественны, и вектор данных имеет 2m элементов. Первое условие необходимо, потому что функции fft/ifft используют тот факт, что для вещественных данных вторая половина преобразова- ния Фурье является комплексно сопряженной с первой. Mathcad отбра- сывает вторую половину вектора-результата. Это сохраняет время и память при вычислениях. Пара функций cfft/icfft не использует симметрию в преобразова- нии. По этой причине необходимо использовать их для комплексных данных. 41 Второе условие требуется, потому что пара функций fft/ifft исполь- зует высоко эффективный алгоритм быстрого преобразования Фурье. Для этого вектор аргумента, используемого с fft, должен иметь 2m эле- ментов. В функциях cfft/icfft использован алгоритм, который допускает в качестве аргументов как матрицы, так и векторы произвольного раз- мера. Когда эта пара функций используется с матрицей в качестве аргу- мента, вычисляется двумерное преобразование Фурье. Следует иметь в виду, что если для прямого преобразования исполь- зована функция fft, то для обратного преобразования необходимо ис- пользовать функцию ifft. Аналогично используются функции cfft/icfft. 4.5. Преобразование Фурье в вещественной области Для вещественных векторов с 2m элементами предпочтительно ис- пользовать функции fft/ifft. Функция fft(v) возвращает дискретное пре- образование Фурье, векторный аргумент которой можно интерпретиро- вать как результат измерений через равные промежутки времени некоторого сигнала. Вектор v должен содержать 2m элементов. Резуль- тат – комплекснозначный вектор размерности 1 + 2m–1. Если v имеет размерность, отличную от 2m, Mathcad выдает сообщение об ошибке "неверный размер вектора". Элементы вектора, возвращаемого fft, вычисляются по формуле n −1 ∑ vk e 2 πi (j n) k . 1 Cj = n k =0 В этой формуле n – число элементов в v, i – мнимая единица. Эле- менты в векторе, возвращенном функцией fft, соответствуют различ- ным частотам. Чтобы восстановить фактическую частоту, необходимо знать частоту измерения исходного сигнала. Если v есть n-мерный век- тор, переданный функции fft, и частота измерения исходного сигнала – fs, то частота, соответствующая Ck k fk = fs. n Обратите внимание, что это делает невозможным обнаружить часто- ты выше частоты измерения исходного сигнала. Это ограничение, нала- гаемое не Mathcad, а самой сутью проблемы. Чтобы правильно восста- новить сигнал по его преобразованию Фурье, необходимо произвести 42 i:= 0 .. 63 xi:= sin π⋅ + rnd (1) − 0.5 i Формирование сигнала: 10 Применяется комплексное преобразование Фурье: c:= fft(x) N:= last (c) N = 32 Обращение преобразования Фурье: z:= ifft(c) N2:= last (z) N2 = 63 j:= 0 .. N k:= 0 .. N2 Графическое представление сигнала zk = xj = 2 –0.499 –0.499 2.34·10 –3 2.34·10–3 0.673 0.673 xi 0 0.659 0.659 1.274 1.274 0.674 0.674 –2 0 20 40 60 80 1.162 1.162 i 0.613 0.613 Фурье-образ 0.179 0.179 4 –0.044 –0.044 0.489 0.489 –0.69 –0.69 cj 2 –1.079 –1.079 –0.777 –0.777 –0.849 –0.849 –1.334 –1.334 0 0 10 20 30 40 j Рис. 15. Быстрые пр6еобразования Фурье в Mathcad 43 измерения исходного сигнала с частотой, по крайней мере, вдвое боль- шей, чем ширина полосы частот. Подробное обсуждение этой пробле- мы содержится в специальных курсах. Функция ifft(v) возвращает обратное дискретное преобразование Фурье. Вектор v должен иметь 1 + 2m элементов, где m – целое. Резуль- тат есть вектор размерности 2m+1. Аргумент v – вектор, подобный созданному функцией fft. Чтобы вы- числить результат, Mathcad сначала создает новый вектор w, комплекс- но сопряженный v, и присоединяет его к вектору v. Затем Mathcad вы- числяет вектор d, элементы которого вычисляются по формуле n −1 ∑ wk e−2πi(j n)k . 1 dj = n k =0 Это та же самая формула, что и для fft, кроме знака минус в функции экспоненты. Функции fft и ifft – точные обращения. Для всех веще- ственных v справедливо ifft(fft(v)) = v. Пример использования прямого и обратного преобразований Фурье приведен на рис. 15. 4.6. Альтернативные формы преобразования Фурье Определения преобразования Фурье, рассмотренные выше, не явля- ются единственно возможными. Например, часто используются следу- ющие определения прямого и обратного преобразований Фурье: n n ∑ f (τ)e−2πi(ν n)τ ; f (τ) = ∑ F (ν) e () . 1 2 πi τ / n ν F (ν) = n τ=1 v =1 Эти определения реализованы во встроенных функциях FFT/IFFT и ICFFT. Они отличаются от быстрого преобразования Фурье следующим: вместо коэффициента 1 n перед обеими формулами стоит коэф- фициент 1/n и коэффициент 1 в обратном преобразовании; знак минус появляется в показателе экспоненты прямого преобразо- вания и исчезает в формуле обратного. 4.7. Кусочно-непрерывные функции Кусочно-непрерывные функции полезны для управления ветвлени- ями и остановками вычислительных процессов. Имеются пять функций 44 Использование условных операторов 2 x:= −2 , − 1.8 .. 2 f (x) := x − 1 g (x) := if(f (x) >0 , f (x) , 0) g(x) f(x) க்கு சமம் f(x) > 0, இல்லையெனில் 0 4 4 2 f (x) g(x) 2 0 2 0 2 0 2 2 0 2 x x h (x) := if(x ≥ 1 , f (x) , − f (x)) இல்லையெனில் –f(x) 5 h(x) 0 நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்யும் வரை கணக்கீடுகளை தொடரவும் 5 2 0 2 2 quess - அ< err x −2 N:= 100 i:= 0 .. N a:= 1000 quess 0:= 10 err:= 10 quess i + a quess i quess i+ 1:= until (quess i) − a − err , 2 2 N2:= last (quess) − 1 j:= 0 .. N2 j= quess j = (quess j)2 = 0 10 100 Число итераций N2 = 5 1 55 3.025·10 3 answer:= quess N2 2 36.591 1.339·10 3 3 31.96 1.021·10 3 answer = 31.623 4 31.625 1·10 3 5 31.623 1·10 3 Рис. 16. Условные выражения в Mathcad 45 Mathcad, относящихся к этому классу. Функция if полезна для выбора одного из двух значений, определяемого условием. Ступенчатая функ- ция Хевисайда Ф(х) и символ Кронекера δ(m, n) во многом аналогичны функции if. Функция until используется, чтобы управлять процессом итераций. Функция if(cond, tval, fval) возвращает значение tval, если cond отли- чен от 0 (истина) и возвращает fval, если cond равен 0 (ложь). Обычно в качестве аргумента cond выбирается булево выражение вида w = z, x >y, x< y, x ≥ y, x ≤ y, w ≠ z. Можно объединять булевы операторы, чтобы записать более сложные условия. Например, условие (x < 1) ⋅ (x >0) தருக்க "மற்றும்" போல் செயல்படுகிறது, இது x 0 மற்றும் 1 க்கு இடையில் இருந்தால் மட்டுமே 1 ஐ வழங்கும். இதேபோல், வெளிப்பாடு (x > 1) + (x< 0) действует подобно логическому "или", возвращающему 1, если x >1, அல்லது x< 0, и 0, если x заключено между 0 и 1. Функция until (x, z) возвращает z, пока выражение x не становится отрицательным; должно содержать дискретный аргумент. Функция until позволяет останавливать вычисления для последовательных значений дискретного аргумента. Функция until полезна в итеративных процес- сах с определенным условием сходимости. На рис. 16 приведены примеры использования функций if и until. Функция Хевисайда эквивалентна следующей функции: Ф (x) := if (x < 0,0,1) Символ Кронекера δ(m, n) возвращает 1, если m = n; иначе 0. Оба аргумента должны быть целочисленными. Символ Кронекера эквива- лентен функции δ (m, n) := if (m = n,1,0) Ступенчатая функция Хевисайда может быть использована для со- здания импульса шириной w: pulse (x, w) := Ф (x) − Ф (x − w) Можно определить также две полезные функции lowpass и highpass. Они обе являются фильтрами – умножение на них какого-либо сигнала 46 вырезает из этого сигнала кусок вокруг точки x, имеющий ширину 2w. Разница состоит в том, что lowpass оставляет только вырезанный ку- сок, highpass – все, кроме вырезанного куска. lowpass (x, w) := pulse (x+w, 2 ⋅ w) highpass (x, w) := 1 − pulse (x+w, 2 ⋅ w) 4.8. Статистические функции Для вычисления статистических оценок случайных совокупностей чисел в Mathcad могут использоваться следующие функции: mean(A) – возвращает среднее значение элементов массива А раз- мерности m × n по формуле m −1 n −1 ∑ ∑ Aij ; 1 mean(A) = mn i =0 j =0 var(A) – возвращает дисперсию элементов массива А размерности m × n согласно формуле m −1 n −1 ∑ ∑ Aij − mean(A) 1 2 var(A) = ; mn i =0 j =0 stdev(A) - возвращает среднеквадратичное отклонение (квадратный корень из дисперсии) элементов m × n массива А stdev(A) = var(A). 4.9. Плотности распределения вероятности Эти функции показывают отношение вероятности того, что случай- ная величина попадает в малый диапазон значений с центром в задан- ной точке, к величине этого диапазона. В Mathcad имеются функции семнадцати плотностей вероятностей. Отметим только некоторые из них: dnorm(x, µ, σ) – возвращает плотность вероятности нормального рас- пределения 1 (x − µ) 2 dnorm(x, µ, σ) = exp − , 2πσ 2σ 2 47 в котором µ и σ есть среднее значение и среднеквадратичное отклоне- ние, σ >0; dunif(x, a, b) - ஒரு சீரான விநியோகத்தின் நிகழ்தகவு அடர்த்தியைக் கணக்கிடுகிறது 1, x ∈ , dunif(x, a, b) = b - a 0, x ∉ இதில் a மற்றும் b ஆகியவை எல்லையாக இருக்கும் புள்ளி இடைவெளி, a< b. 4.10. Функции распределения Эти функции возвращают вероятность того, что случайная величи- на меньше или равна определенному значению. Функция распределе- ния вероятности – это функция плотности вероятности, проинтегриро- ванная от минус бесконечности до определенного значения. Приведем две из них: pnorm(x, µ, σ) – возвращает функцию нормального распределения со средним µ и среднеквадратическим отклонением σ (σ >0); punif(x, a, b) - சீரான விநியோக செயல்பாட்டை வழங்குகிறது. a மற்றும் b ஆகியவை இடைவெளியின் எல்லை மதிப்புகள் (a< b). Mathcad имеет ряд функций для генерирования случайных чисел, имеющих разнообразные распределения вероятностей. Приведем две из них: rnorm(m, µ, σ) – возвращает вектор m случайных чисел, имеющих нормальное распределение (σ >0); runif(m, a, b) - ஒரு சீரான பரவலைக் கொண்ட m சீரற்ற எண்களின் வெக்டரை வழங்குகிறது, இதில் a மற்றும் b ஆகியவை இடைவெளியின் எல்லைப் புள்ளிகள் (a< b). Остальные встроенные статистические функции и их описания мож- но посмотреть, выбрав команду Функция из меню Вставка. 4.11. Интерполяция и функции предсказания Интерполяция заключается в использовании значений некоторой функции, заданных в ряде точек, чтобы предсказать значения между ними. В Mathcad можно или соединять точки данных прямыми линия- ми (линейная интерполяция) или соединять их отрезками кубического полинома (кубическая сплайн-интерполяция). 48 В отличие от функций регрессии, обсуждаемых в следующем разде- ле, функции интерполяции определяют кривую, точно проходящую че- рез заданные точки. Из-за этого результат очень чувствителен к ошиб- кам данных. Если данные зашумлены, следует рассмотреть возможность использования регрессии вместо интерполяции. Для линейной интерполяции используется функция linterp(vx, vy, x), которая по векторным данным vx и vy возвращает линейно интерполи- руемое значение y, соответствующее третьему аргументу x. Аргументы vx и vy должны быть векторами одинаковой длины. Вектор vx должен содержать вещественные значения, расположенные в порядке возраста- ния. Эта функция соединяет точки данных отрезками прямых, созда- вая, таким образом, ломаную линию. Интерполируемое значение для конкретного x есть ордината y соответствующей точки ломаной. Пример линейной интерполяции показан на рис. 17. Кубическая сплайн-интерполяция позволяет провести кривую через набор точек таким образом, что первые и вторые производные кривой непрерывны в каждой точке. Эта кривая образуется путем создания ряда кубических полиномов, проходящих через наборы из трех смежных то- чек. Кубические полиномы состыковываются друг с другом, чтобы об- разовать одну кривую. Чтобы провести кубический сплайн через набор точек: создайте векторы vx и vy, содержащие координаты x и y, через кото- рые нужно провести кубичный сплайн. Элементы vx должны быть рас- положены в порядке возрастания; вычислите вектор vs:=cspline(vx, vy). Вектор vs содержит вторые про- изводные интерполяционной кривой в рассматриваемых точках. Чтобы найти интерполируемое значение в произвольной точке, ска- жем х0, вычислите interp(vs, vx, vy, x0), где vs, vx и vy – векторы, опи- санные ранее. Обратите внимание, что можно сделать то же самое, вычисляя interp(cspline(vx, vy),vx,vy, x0). Пример использования кубической сплайн-интерполяции приведен на рис. 17 внизу. 49 Линейная интерполяция i:= 0 .. 5 VXi:=i VYi:=vd(1) VXi = VYi = –3 linterp(VX, VY, 1.5) = 0.389 0 1.268·10 1 0.193 linterp(VX, VY, 3.75) = 0.705 2 0.585 linterp(VX, VY, 4.1) = 0.758 3 0.35 4 0.823 x:= 0 , 0.1.. 5 5 0.174 1 linterp(VX , VY , x) 0.5 VYi 0 0 2 4 6 x , VX i Кубическая сплайн-интерполяция i:= 0 .. 5 VXi:= i VYi:= rnd (1) VS:= lspline (VX, VY) interp (VS, VX, VY, 1.5) = 0.188 interp (VS, VX, VY, 3.75) = 0.868 interp (VS, VX, VY, 4.1) = 0.989 1 VYi = 0.71 interp(VS , VX , VY , x) 0.304 0.5 VYi 0.091 0.147 0.989 0 0 2 4 6 0.119 x , VX i Рис. 17. Примеры интерполяции 50
