வரையறை. இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாட்டின் எக்ஸ்ட்ரீம் புள்ளிகள் இந்த செயல்பாட்டின் குறைந்தபட்ச மற்றும் அதிகபட்ச புள்ளிகள் அழைக்கப்படுகின்றன. தீவிர புள்ளிகளில் செயல்பாட்டின் மதிப்புகள் அழைக்கப்படுகின்றன இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாட்டின் தீவிரம் .

வரையறை. புள்ளி பி(எக்ஸ்0 , ஒய் 0 ) அழைக்கப்பட்டது z = z(எக்ஸ், ஒய்) , இந்த கட்டத்தில் செயல்பாட்டின் மதிப்பு அதன் அருகிலுள்ள புள்ளிகளை விட அதிகமாக இருந்தால். அதிகபட்ச புள்ளியில் செயல்பாட்டின் மதிப்பு அழைக்கப்படுகிறது இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாடு அதிகபட்சம் .

வரையறை. புள்ளி பி(எக்ஸ்0 , ஒய் 0 ) அழைக்கப்பட்டது இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாட்டின் அதிகபட்ச புள்ளி z = z(எக்ஸ், ஒய்) , இந்த கட்டத்தில் செயல்பாட்டின் மதிப்பு அதன் அருகிலுள்ள புள்ளிகளை விட அதிகமாக இருந்தால். அதிகபட்ச புள்ளியில் செயல்பாட்டு மதிப்பு இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாட்டின் அதிகபட்சம் என்று அழைக்கப்படுகிறது .

தேற்றம் (இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாட்டின் தீவிரத்தின் அவசியமான அடையாளம்). புள்ளி என்றால் பி(எக்ஸ்0 , ஒய் 0 ) - இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாட்டின் உச்ச புள்ளி z = z(எக்ஸ், ஒய்) , பின்னர் முதல் பகுதி வழித்தோன்றல்கள்இந்த கட்டத்தில் செயல்பாடுகள் ("X" மற்றும் "Y" மூலம்) பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம் அல்லது இல்லை:

வரையறை. இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாட்டின் முதல் பகுதி வழித்தோன்றல்கள் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும் புள்ளிகள் அழைக்கப்படுகின்றன நிலையான புள்ளிகள் .

வரையறை. இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாட்டின் முதல் பகுதி வழித்தோன்றல்கள் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம் அல்லது இல்லாத புள்ளிகள் எனப்படும் முக்கியமான புள்ளிகள் .

ஒரு மாறியின் செயல்பாட்டின் விஷயத்தைப் போலவே, இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாட்டின் உச்சநிலை இருப்பதற்கான தேவையான நிபந்தனை போதுமானதாக இல்லை. செயல்பாட்டின் முதல் பகுதி வழித்தோன்றல் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும் அல்லது இல்லாத சந்தர்ப்பங்களில் பல செயல்பாடுகள் உள்ளன, ஆனால் தொடர்புடைய புள்ளிகளில் தீவிரம் இல்லை. ஒவ்வொரு தீவிர புள்ளியும் ஒரு முக்கியமான புள்ளி, ஆனால் ஒவ்வொரு முக்கிய புள்ளியும் ஒரு தீவிர புள்ளி அல்ல .

இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாட்டின் உச்சநிலை இருப்பதற்கான போதுமான அறிகுறி. புள்ளியில் பிஇந்த புள்ளிக்கு அருகில் இருந்தால் இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாட்டின் உச்சநிலை உள்ளது முழு செயல்பாடு அதிகரிப்புஅடையாளத்தை மாற்றாது. முக்கியமான கட்டத்தில் முதல் முழுமையான வேறுபாடு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருப்பதால், செயல்பாட்டின் அதிகரிப்பு இரண்டாவது முழுமையான வேறுபாட்டை தீர்மானிக்கிறது

இந்த பாடத்தின் இரண்டாவது புள்ளியைப் பின்பற்றும் இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாட்டின் தீவிரத்தைக் கண்டறிவதற்கான வழிமுறையின் 3 மற்றும் 4 படிகளைப் படித்து பயிற்சி செய்வதன் மூலம் மொத்த வேறுபாட்டின் பயன்பாட்டைப் பற்றிய சிறந்த புரிதல் கிடைக்கும்.

இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாட்டின் தீவிரத்தின் உள்ளூர் இயல்பு. செயல்பாட்டின் வரையறையின் டொமைனின் எந்தப் பகுதியிலும் இரண்டு மாறிகளின் அதிகபட்ச செயல்பாடு முழுமையிலும் அதிகபட்சமாக இருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை. வரையறையின் களம், எந்தப் பகுதியிலும் குறைந்தபட்சம் என்பது வரையறையின் முழு களத்திலும் குறைந்தபட்சம் அல்ல. கடலின் கரையோரப் பகுதியின் ஒரு பகுதியில் அலைகளின் உயரத்தைக் கருத்தில் கொள்வோம் (பிரிவு பகுதியை விட சிறியது). இந்த பகுதியில் நாம் அதிக அலை உயரத்தை (குறைந்தபட்சம் பார்வைக்கு) பதிவு செய்யலாம். ஆனால் மற்றொரு பகுதியில், காற்று அதிக அலை உயரத்தை ஏற்படுத்தும் இடத்தில், குறைந்தபட்ச அலை உயரத்தை பதிவு செய்கிறோம். அதாவது முதல் பிரிவில் அதிகபட்ச அலை உயரம் இரண்டாவது பிரிவில் உள்ள குறைந்தபட்ச அலை உயரத்தை விட குறைவாக இருக்கலாம். எனவே, ஒரு மாறியின் செயல்பாட்டின் தீவிரத்தைப் போலவே, இந்த கருத்தை தெளிவுபடுத்துவதும், இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாட்டின் உள்ளூர் எக்ஸ்ட்ரீமாவைப் பற்றி பேசுவதும் அவசியம்.

இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாட்டின் தீவிரத்தைக் கண்டறிவதற்கான அல்காரிதம் மற்றும் தீர்வுகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்

இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாட்டின் தீவிரத்தை கண்டுபிடிப்பதற்கான வழிமுறை மிகவும் ஆர்வமாக உள்ளது, ஏனெனில், முதலில், இது ஒரு மாறியின் செயல்பாட்டின் தீவிரத்தை கண்டுபிடிப்பதற்கான வழிமுறையிலிருந்து வேறுபடுகிறது, இரண்டாவதாக, அதனுடன் ஒப்புமை மூலம், ஒரு அல்காரிதம் மூன்று மாறிகளின் செயல்பாட்டை உருவாக்க முடியும். குறிப்பாக, கணக்கிட வேண்டியது அவசியம் தகுதி பெற்றவர்கள் .

எனவே, இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாட்டின் தீவிரத்தைக் கண்டறிவதற்கான அல்காரிதம்.

இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாடு கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

படி 2.இந்த வழித்தோன்றல்களின் சமத்துவத்திலிருந்து பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன்பாடுகளின் அமைப்பை நாங்கள் உருவாக்குகிறோம் (பூஜ்ஜியத்திற்கு அவற்றின் சமத்துவம் ஒரு தீவிரத்தின் இருப்புக்கான தேவையான அறிகுறியாகும்):

இந்த சமன்பாடுகளின் அமைப்புக்கான தீர்வுகள் சாத்தியமான தீவிர புள்ளிகள் - முக்கியமான புள்ளிகள்.

படி 3.படி 2 இல் காணப்படும் முக்கியமான புள்ளியாக இருக்கட்டும். அதில் இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாட்டின் உச்சம் இருப்பதை உறுதிசெய்ய, நாம் கண்டுபிடிக்கிறோம் இரண்டாம் வரிசை பகுதி வழித்தோன்றல்கள்

படி 1 இல் காணப்படும் முதல் வரிசை பகுதி வழித்தோன்றல்களின் பகுதி வழித்தோன்றல்கள்.

படி 4.படி 3 இல் காணப்படும் இரண்டாம் வரிசை பகுதி வழித்தோன்றல்களுக்கு கடிதப் பெயர்களை நாங்கள் ஒதுக்குகிறோம்:

படி 4.தீர்மானிப்பதைக் காண்கிறோம்:

, அதாவது கண்டுபிடிக்கப்பட்ட முக்கியமான புள்ளியில் உச்சநிலை இல்லை,

மற்றும் , அதாவது கண்டுபிடிக்கப்பட்ட முக்கியமான புள்ளியில் குறைந்தபட்சம் இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாடு உள்ளது,

மற்றும், அதாவது கண்டுபிடிக்கப்பட்ட முக்கியமான புள்ளியில் இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாடு அதிகபட்சமாக உள்ளது.

வரையறை 1. புள்ளி M(x 0 ; y 0) z = f(x; y) செயல்பாட்டின் அதிகபட்ச (குறைந்தபட்ச) புள்ளி என்று அழைக்கப்படுகிறது, இதிலிருந்து அனைத்து புள்ளிகளுக்கும் (x; y) M புள்ளியின் அருகில் இருந்தால் சுற்றுப்புறத்தில் பின்வரும் சமத்துவமின்மை உள்ளது:

f(x 0 ; y 0)  f(x; y), .

தேற்றம் 1 (ஒரு முனையின் இருப்புக்கு அவசியமான நிபந்தனை) . ஒரு வேறுபடுத்தக்கூடிய செயல்பாடு z = f(x; y) M(x 0; y 0) என்ற புள்ளியில் ஒரு உச்சநிலையை அடைந்தால், இந்த கட்டத்தில் அதன் முதல்-வரிசை பகுதி வழித்தோன்றல்கள் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும், அதாவது.
;

பகுதி வழித்தோன்றல்கள் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும் புள்ளிகள் அழைக்கப்படுகின்றன நிலையானஅல்லது முக்கியமான புள்ளிகள்.

தேற்றம் 2 (ஒரு முனையின் இருப்புக்கு போதுமான நிபந்தனை)

செயல்பாடு z = f(x; y):

அ) புள்ளியின் ஒரு குறிப்பிட்ட சுற்றுப்புறத்தில் வரையறுக்கப்படுகிறது (x 0 ; y 0), இதில்
மற்றும்
;

b) இந்த கட்டத்தில் இரண்டாவது வரிசையின் தொடர்ச்சியான பகுதி வழித்தோன்றல்களைக் கொண்டுள்ளது

;

பிறகு,  = AC  B 2 > 0 எனில், புள்ளியில் (x 0 ; y 0) செயல்பாடு z = f(x; y) ஒரு உச்சநிலையைக் கொண்டுள்ளது, மேலும் A என்றால்< 0 (или С < 0) – максимум, если А >0 (அல்லது C > 0) - குறைந்தபட்சம். வழக்கில்  = AC  B 2< 0, функция z = f(x; y) экстремума не имеет. Если  = AC  B 2 = 0, то требуется дальнейшее исследование (сомнительный случай).

எடுத்துக்காட்டு 1. z = x 2 + xy + y 2  3x  6y செயல்பாட்டின் உச்சநிலையைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு. முதல் வரிசையின் பகுதி வழித்தோன்றல்களைக் கண்டுபிடிப்போம்:

ஒரு உச்சநிலையின் இருப்புக்கு தேவையான நிபந்தனையைப் பயன்படுத்துவோம்:

சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்பதன் மூலம், நிலையான புள்ளிகளின் x மற்றும் y ஆயத்தொலைவுகளைக் காண்கிறோம்: x = 0; y = 3, அதாவது M(0; 3).

இரண்டாம் வரிசை பகுதி வழித்தோன்றல்களைக் கணக்கிட்டு அவற்றின் மதிப்புகளை புள்ளி M இல் கண்டுபிடிப்போம்.

ஏ =
= 2; சி =
= 2;

பி =
.

பாகுபாட்டை உருவாக்குவோம்  = AC  B 2 = 2  2  1 > 0, A = 2 > 0. எனவே, M(0; 3) புள்ளியில் கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாடு குறைந்தபட்சம் உள்ளது. இந்த கட்டத்தில் செயல்பாட்டின் மதிப்பு z நிமிடம் = 9.

செயல்பாடுகளின் தீவிரத்தைக் கண்டறியவும்

322. z = x 2 + y 2 + xy  4x  5y 323. z = y 3  x 3  3xy

324. z = x 2  2xy + 4y 3 325. z =
 y 2  x + 6y

326. z = x y (1  x  y) 327. z = 2xy  4x  2y

328. z = e  x/2 (x + y 2) 329. z = x 3 + 8y 3  6xy + 1

330. z = 3x 2 y  x 3  y 4 331. z = 3x + 6y  x 2  xy + y 2

மூடிய டொமைனில் இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாட்டின் மிகப்பெரிய மற்றும் சிறிய மதிப்புகள்

கண்டுபிடிக்கும் பொருட்டு மிகப்பெரியமற்றும் குறைந்ததுஒரு மூடிய பகுதியில் செயல்பாட்டின் மதிப்புகள், நீங்கள் செய்ய வேண்டியது:

1) கொடுக்கப்பட்ட பகுதியில் அமைந்துள்ள முக்கியமான புள்ளிகளைக் கண்டறிந்து, இந்த புள்ளிகளில் செயல்பாட்டு மதிப்புகளைக் கணக்கிடுங்கள்;

2) பிராந்தியத்தின் எல்லையில் முக்கியமான புள்ளிகளைக் கண்டறிந்து, அவற்றில் உள்ள செயல்பாடுகளின் மிகப்பெரிய மற்றும் சிறிய மதிப்புகளைக் கணக்கிடுங்கள்;

3) காணப்படும் அனைத்து மதிப்புகளிலிருந்தும், மிகப்பெரிய மற்றும் சிறியதைத் தேர்ந்தெடுக்கவும்.

உதாரணம் 2. z = செயல்பாட்டின் மிகப்பெரிய மற்றும் சிறிய மதிப்புகளைக் கண்டறியவும்
ஒரு வட்டத்தில் x 2 + y 2  1.

தீர்வு. பரிசீலனையில் உள்ள பகுதிக்குள் அமைந்துள்ள முக்கியமான புள்ளிகளின் ஆயத்தொலைவுகளைக் கண்டுபிடிப்போம், அதற்காக z செயல்பாட்டின் முதல்-வரிசை பகுதி வழித்தோன்றல்களைக் கணக்கிட்டு அவற்றை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன் செய்வோம்.

எங்கிருந்து x = 0, y = 0 மற்றும், எனவே, M(0; 0) ஒரு முக்கியமான புள்ளியாகும்.

z செயல்பாட்டின் மதிப்பை M(0; 0) புள்ளியில் கணக்கிடுவோம்: z(0; 0) = 2.

பிராந்தியத்தின் எல்லையில் உள்ள முக்கியமான புள்ளிகளைக் கண்டுபிடிப்போம் - x 2 + y 2 = 1 சமன்பாட்டால் வரையறுக்கப்பட்ட ஒரு வட்டம். y 2 = 1 - x 2 செயல்பாட்டிற்குப் பதிலாக z = z (x; y), நாங்கள் ஒரு செயல்பாட்டைப் பெறுகிறோம். ஒரு மாறியின்

z =
;

எங்கே x[1; 1].

வழித்தோன்றலைக் கணக்கிட்டு
மற்றும் அதை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன் செய்தால், x 1 = 0, x 2 = பிராந்தியத்தின் எல்லையில் முக்கியமான புள்ளிகளைப் பெறுகிறோம். , x 3 =

z(x) = செயல்பாட்டின் மதிப்பைக் கண்டுபிடிப்போம்
முக்கியமான புள்ளிகளில் மற்றும் பிரிவின் முனைகளில் [1; 1]: z(0) = ;
=;
; z(1) = ; z(1) =

வட்டத்தின் உள்ளேயும் எல்லையிலும் அமைந்துள்ள முக்கியமான புள்ளிகளில் z செயல்பாட்டின் மதிப்புகளில் மிகப்பெரிய மற்றும் சிறியதைத் தேர்ந்தெடுப்போம்.

எனவே, z அதிகபட்சம். = z(0; 0) = 2

செயல்பாட்டின் உச்சநிலை புள்ளி என்பது செயல்பாட்டின் வரையறையின் களத்தில் உள்ள புள்ளியாகும், இதில் செயல்பாட்டின் மதிப்பு குறைந்தபட்ச அல்லது அதிகபட்ச மதிப்பை எடுக்கும். இந்த புள்ளிகளில் உள்ள செயல்பாட்டின் மதிப்புகள் செயல்பாட்டின் தீவிர (குறைந்தபட்சம் மற்றும் அதிகபட்சம்) என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

வரையறை. புள்ளி எக்ஸ்1 செயல்பாட்டு களம் f(எக்ஸ்) என்று அழைக்கப்படுகிறது செயல்பாட்டின் அதிகபட்ச புள்ளி , இந்த கட்டத்தில் செயல்பாட்டின் மதிப்பு, அதன் வலது மற்றும் இடதுபுறத்தில் அமைந்துள்ள, அதற்கு போதுமான நெருக்கமான புள்ளிகளில் உள்ள செயல்பாட்டின் மதிப்புகளை விட அதிகமாக இருந்தால் (அதாவது, சமத்துவமின்மை உள்ளது. f(எக்ஸ்0 ) > f(எக்ஸ் 0 + Δ எக்ஸ்) எக்ஸ்1 அதிகபட்சம்.

வரையறை. புள்ளி எக்ஸ்2 செயல்பாட்டு களம் f(எக்ஸ்) என்று அழைக்கப்படுகிறது செயல்பாட்டின் குறைந்தபட்ச புள்ளி, இந்த கட்டத்தில் செயல்பாட்டின் மதிப்பு, அதன் வலது மற்றும் இடதுபுறத்தில் அமைந்துள்ள, அதற்கு போதுமான நெருக்கமான புள்ளிகளில் செயல்பாட்டின் மதிப்புகளை விட குறைவாக இருந்தால் (அதாவது, சமத்துவமின்மை உள்ளது. f(எக்ஸ்0 ) < f(எக்ஸ் 0 + Δ எக்ஸ்) ) இந்த வழக்கில் செயல்பாடு புள்ளியில் உள்ளது என்று கூறுகிறோம் எக்ஸ்2 குறைந்தபட்சம்.

புள்ளி என்று சொல்லலாம் எக்ஸ்1 - செயல்பாட்டின் அதிகபட்ச புள்ளி f(எக்ஸ்) . பின்னர் வரை இடைவெளியில் எக்ஸ்1 செயல்பாடு அதிகரிக்கிறது, எனவே செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாக உள்ளது ( f "(எக்ஸ்) > 0 ), மற்றும் பின் இடைவெளியில் எக்ஸ்1 செயல்பாடு குறைகிறது, எனவே, ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல்பூஜ்ஜியத்தை விட குறைவாக ( f "(எக்ஸ்) < 0 ). Тогда в точке எக்ஸ்1

புள்ளி என்றும் வைத்துக்கொள்வோம் எக்ஸ்2 - செயல்பாட்டின் குறைந்தபட்ச புள்ளி f(எக்ஸ்) . பின்னர் வரை இடைவெளியில் எக்ஸ்2 செயல்பாடு குறைந்து வருகிறது, மேலும் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் பூஜ்ஜியத்தை விட குறைவாக உள்ளது ( f "(எக்ஸ்) < 0 ), а в интервале после எக்ஸ்2 செயல்பாடு அதிகரித்து வருகிறது, மேலும் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாக உள்ளது ( f "(எக்ஸ்) > 0 ). இந்த விஷயத்திலும் புள்ளி எக்ஸ்2 செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் பூஜ்யம் அல்லது இல்லை.

ஃபெர்மாட்டின் தேற்றம் (ஒரு செயல்பாட்டின் உச்சநிலை இருப்பதற்கான அவசியமான அடையாளம்). புள்ளி என்றால் எக்ஸ்0 - செயல்பாட்டின் உச்ச புள்ளி f(எக்ஸ்) பின்னர் இந்த கட்டத்தில் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம் ( f "(எக்ஸ்) = 0 ) அல்லது இல்லை.

வரையறை. ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும் அல்லது இல்லாத புள்ளிகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன முக்கியமான புள்ளிகள் .

எடுத்துக்காட்டு 1.செயல்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

புள்ளியில் எக்ஸ்= 0 செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் பூஜ்ஜியமாகும், எனவே புள்ளி எக்ஸ்= 0 என்பது முக்கியமான புள்ளி. இருப்பினும், செயல்பாட்டின் வரைபடத்தில் காணக்கூடியது, இது வரையறையின் முழு டொமைன் முழுவதும் அதிகரிக்கிறது, எனவே புள்ளி எக்ஸ்= 0 என்பது இந்தச் செயல்பாட்டின் உச்ச புள்ளி அல்ல.

எனவே, ஒரு கட்டத்தில் ஒரு செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம் அல்லது இல்லை என்ற நிபந்தனைகள் ஒரு உச்சநிலைக்கு தேவையான நிபந்தனைகள், ஆனால் போதுமானதாக இல்லை, ஏனெனில் இந்த நிபந்தனைகளை பூர்த்தி செய்யும் செயல்பாடுகளின் பிற எடுத்துக்காட்டுகள் கொடுக்கப்படலாம், ஆனால் செயல்பாடு தொடர்புடைய புள்ளியில் ஒரு தீவிரம் இல்லை. அதனால் தான் போதுமான ஆதாரம் இருக்க வேண்டும், ஒரு குறிப்பிட்ட முக்கியமான கட்டத்தில் ஒரு உச்சநிலை இருக்கிறதா மற்றும் அது எந்த வகையான உச்சநிலை - அதிகபட்சம் அல்லது குறைந்தபட்சம் என்பதை தீர்மானிக்க அனுமதிக்கிறது.

தேற்றம் (ஒரு செயல்பாட்டின் உச்சநிலை இருப்பதற்கான முதல் போதுமான அறிகுறி).முக்கியமான புள்ளி எக்ஸ்0 f(எக்ஸ்) இந்தப் புள்ளியைக் கடக்கும்போது, ​​செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் குறியை மாற்றினால், மற்றும் அடையாளம் “பிளஸ்” இலிருந்து “மைனஸ்” ஆக மாறினால், அது அதிகபட்ச புள்ளியாகும், மேலும் “மைனஸ்” இலிருந்து “பிளஸ்” ஆக இருந்தால், பிறகு இது ஒரு குறைந்தபட்ச புள்ளி.

புள்ளிக்கு அருகில் இருந்தால் எக்ஸ்0 , அதன் இடது மற்றும் வலதுபுறத்தில், வழித்தோன்றல் அதன் அடையாளத்தைத் தக்க வைத்துக் கொள்கிறது, இதன் பொருள் புள்ளியின் ஒரு குறிப்பிட்ட பகுதியில் மட்டுமே செயல்பாடு குறைகிறது அல்லது அதிகரிக்கிறது எக்ஸ்0 . இந்த வழக்கில், புள்ளியில் எக்ஸ்0 தீவிரம் இல்லை.

அதனால், செயல்பாட்டின் தீவிர புள்ளிகளைத் தீர்மானிக்க, நீங்கள் பின்வருவனவற்றைச் செய்ய வேண்டும் :

1. செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும்.
2. வழித்தோன்றலை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன் செய்து முக்கியமான புள்ளிகளைத் தீர்மானிக்கவும்.
3. மனரீதியாக அல்லது காகிதத்தில், எண் கோட்டில் முக்கியமான புள்ளிகளைக் குறிக்கவும், அதன் விளைவாக வரும் இடைவெளிகளில் செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலின் அறிகுறிகளை தீர்மானிக்கவும். வழித்தோன்றலின் அடையாளம் “பிளஸ்” இலிருந்து “மைனஸ்” ஆக மாறினால், முக்கியமான புள்ளி அதிகபட்ச புள்ளியாகவும், “மைனஸ்” இலிருந்து “பிளஸ்” ஆகவும் இருந்தால், குறைந்தபட்ச புள்ளி.
4. தீவிர புள்ளிகளில் செயல்பாட்டின் மதிப்பைக் கணக்கிடுங்கள்.

உதாரணம் 2.செயல்பாட்டின் தீவிரத்தைக் கண்டறியவும் .

தீர்வு. செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்போம்:

முக்கியமான புள்ளிகளைக் கண்டறிய, வழித்தோன்றலை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன் செய்வோம்:

.

"x" இன் எந்த மதிப்புகளுக்கும் வகுத்தல் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லை என்பதால், நாங்கள் எண்களை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன் செய்கிறோம்:

ஒரு முக்கியமான புள்ளி கிடைத்தது எக்ஸ்= 3 இந்த புள்ளியால் பிரிக்கப்பட்ட இடைவெளிகளில் வழித்தோன்றலின் அடையாளத்தை தீர்மானிப்போம்:

மைனஸ் இன்ஃபினிட்டி முதல் 3 வரையிலான வரம்பில் - ஒரு கழித்தல் அடையாளம், அதாவது செயல்பாடு குறைகிறது,

3 முதல் பிளஸ் முடிவிலி வரையிலான இடைவெளியில் ஒரு கூட்டல் அடையாளம் உள்ளது, அதாவது செயல்பாடு அதிகரிக்கிறது.

அதாவது காலம் எக்ஸ்= 3 என்பது குறைந்தபட்ச புள்ளியாகும்.

செயல்பாட்டின் மதிப்பை குறைந்தபட்ச புள்ளியில் கண்டுபிடிப்போம்:

இவ்வாறு, செயல்பாட்டின் உச்சநிலை புள்ளி காணப்படுகிறது: (3; 0), மேலும் இது குறைந்தபட்ச புள்ளியாகும்.

தேற்றம் (ஒரு செயல்பாட்டின் உச்சநிலை இருப்பதற்கான இரண்டாவது போதுமான அடையாளம்).முக்கியமான புள்ளி எக்ஸ்0 செயல்பாட்டின் உச்ச புள்ளி f(எக்ஸ்) இந்த கட்டத்தில் செயல்பாட்டின் இரண்டாவது வழித்தோன்றல் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இல்லாவிட்டால் ( f ""(எக்ஸ்) ≠ 0 ), மற்றும் இரண்டாவது வழித்தோன்றல் பூஜ்ஜியத்தை விட அதிகமாக இருந்தால் ( f ""(எக்ஸ்) > 0 ), பின்னர் அதிகபட்ச புள்ளி, மற்றும் இரண்டாவது வழித்தோன்றல் பூஜ்ஜியத்தை விட குறைவாக இருந்தால் ( f ""(எக்ஸ்) < 0 ), то точкой минимума.

குறிப்பு 1. புள்ளியில் இருந்தால் எக்ஸ்0 முதல் மற்றும் இரண்டாவது வழித்தோன்றல்கள் மறைந்துவிட்டால், இந்த கட்டத்தில் இரண்டாவது போதுமான அளவுகோலின் அடிப்படையில் ஒரு தீவிரத்தின் இருப்பை தீர்மானிக்க முடியாது. இந்த வழக்கில், ஒரு செயல்பாட்டின் உச்சநிலைக்கு நீங்கள் முதல் போதுமான அளவுகோலைப் பயன்படுத்த வேண்டும்.

குறிப்பு 2. ஒரு செயல்பாட்டின் உச்சநிலைக்கான இரண்டாவது போதுமான அளவுகோல், முதல் வழித்தோன்றல் ஒரு நிலையான புள்ளியில் இல்லாதபோதும் பொருந்தாது (பின்னர் இரண்டாவது வழித்தோன்றலும் இல்லை). இந்த வழக்கில், ஒரு செயல்பாட்டின் தீவிரத்தின் முதல் போதுமான அடையாளத்தையும் நீங்கள் பயன்படுத்த வேண்டும்.

செயல்பாட்டின் தீவிரத்தின் உள்ளூர் இயல்பு

மேலே உள்ள வரையறைகளிலிருந்து, செயல்பாட்டின் உச்சநிலையானது உள்ளூர் இயல்புடையது - இது அருகிலுள்ள மதிப்புகளுடன் ஒப்பிடும்போது செயல்பாட்டின் மிகப்பெரிய மற்றும் சிறிய மதிப்பாகும்.

ஒரு வருடத்தில் உங்கள் வருமானத்தைப் பார்க்கிறீர்கள் என்று வைத்துக்கொள்வோம். மே மாதத்தில் நீங்கள் 45,000 ரூபிள் சம்பாதித்திருந்தால், ஏப்ரல் மாதத்தில் 42,000 ரூபிள் மற்றும் ஜூன் மாதத்தில் 39,000 ரூபிள் சம்பாதித்திருந்தால், அருகிலுள்ள மதிப்புகளுடன் ஒப்பிடும்போது மே வருவாய் அதிகபட்ச வருவாய் செயல்பாடு ஆகும். ஆனால் அக்டோபரில் நீங்கள் 71,000 ரூபிள், செப்டம்பரில் 75,000 ரூபிள் மற்றும் நவம்பர் மாதம் 74,000 ரூபிள் சம்பாதித்தீர்கள், எனவே அக்டோபர் வருவாய் அருகிலுள்ள மதிப்புகளுடன் ஒப்பிடும்போது குறைந்தபட்ச வருவாய் செயல்பாடு ஆகும். ஏப்ரல்-மே-ஜூன் மதிப்புகளில் அதிகபட்சம் செப்டம்பர்-அக்டோபர்-நவம்பர் மாதங்களின் குறைந்தபட்ச மதிப்பை விட குறைவாக இருப்பதை நீங்கள் எளிதாகக் காணலாம்.

பொதுவாக, ஒரு இடைவெளியில் ஒரு செயல்பாடு பல தீவிரங்களைக் கொண்டிருக்கலாம், மேலும் சில குறைந்தபட்ச செயல்பாடு எந்த அதிகபட்சத்தையும் விட அதிகமாக இருக்கும். எனவே, மேலே உள்ள படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள செயல்பாட்டிற்கு, .

அதாவது, ஒரு செயல்பாட்டின் அதிகபட்சம் மற்றும் குறைந்தபட்சம் முறையே, பரிசீலனையில் உள்ள முழு பிரிவிலும் அதன் மிகப்பெரிய மற்றும் சிறிய மதிப்புகள் என்று ஒருவர் நினைக்கக்கூடாது. அதிகபட்ச புள்ளியில், செயல்பாடு அனைத்து புள்ளிகளிலும் அதிகபட்ச புள்ளிக்கு நெருக்கமாக இருக்கும் அந்த மதிப்புகளுடன் ஒப்பிடுகையில் மட்டுமே மிகப்பெரிய மதிப்பைக் கொண்டுள்ளது, மேலும் குறைந்தபட்ச புள்ளியில் அந்த மதிப்புகளுடன் ஒப்பிடுகையில் மட்டுமே சிறிய மதிப்பைக் கொண்டுள்ளது. அது அனைத்து புள்ளிகளிலும் குறைந்தபட்ச புள்ளிக்கு போதுமான அளவு நெருக்கமாக உள்ளது.

எனவே, ஒரு செயல்பாட்டின் உச்சநிலை புள்ளிகளின் மேற்கூறிய கருத்தை நாம் தெளிவுபடுத்தலாம் மற்றும் குறைந்தபட்ச புள்ளிகளை உள்ளூர் குறைந்தபட்ச புள்ளிகள் மற்றும் அதிகபட்ச புள்ளிகள் உள்ளூர் அதிகபட்ச புள்ளிகள் என்று அழைக்கலாம்.

நாங்கள் ஒன்றாக செயல்பாட்டின் தீவிரத்தை தேடுகிறோம்

எடுத்துக்காட்டு 3.

தீர்வு: செயல்பாடு வரையறுக்கப்பட்டு முழு எண் கோட்டிலும் தொடர்கிறது. அதன் வழித்தோன்றல் முழு எண் கோட்டிலும் உள்ளது. எனவே, இந்த விஷயத்தில், முக்கியமான புள்ளிகள் மட்டுமே உள்ளன, அதாவது. , எங்கிருந்து மற்றும் . முக்கியமான புள்ளிகள் மற்றும் செயல்பாட்டின் வரையறையின் முழு டொமைனையும் மோனோடோனிசிட்டியின் மூன்று இடைவெளிகளாகப் பிரிக்கவும்: . ஒவ்வொன்றிலும் ஒரு கட்டுப்பாட்டுப் புள்ளியைத் தேர்ந்தெடுத்து, இந்த கட்டத்தில் வழித்தோன்றலின் அடையாளத்தைக் கண்டுபிடிப்போம்.

இடைவெளிக்கு, கட்டுப்பாட்டு புள்ளியாக இருக்கலாம்: கண்டுபிடி. இடைவெளியில் ஒரு புள்ளியை எடுத்துக் கொண்டால், நாம் பெறுகிறோம், இடைவெளியில் ஒரு புள்ளியை எடுத்துக்கொள்கிறோம். எனவே, இடைவெளிகளில் மற்றும் , மற்றும் இடைவெளியில் . ஒரு உச்சநிலைக்கான முதல் போதுமான அளவுகோலின்படி, புள்ளியில் உச்சநிலை இல்லை (வழித்தோன்றல் இடைவெளியில் அதன் அடையாளத்தைத் தக்கவைத்துக்கொள்வதால்), மற்றும் புள்ளியில் செயல்பாடு குறைந்தபட்சம் (வழித்தோன்றல் மாற்றங்களின் அடையாளம் கடந்து செல்லும் போது மைனஸிலிருந்து பிளஸ் வரை) இந்த புள்ளி மூலம்). செயல்பாட்டின் தொடர்புடைய மதிப்புகளைக் கண்டுபிடிப்போம்: , a . இடைவெளியில் செயல்பாடு குறைகிறது, ஏனெனில் இந்த இடைவெளியில் , மற்றும் இடைவெளியில் அது அதிகரிக்கிறது, ஏனெனில் இந்த இடைவெளியில் .

வரைபடத்தின் கட்டுமானத்தை தெளிவுபடுத்த, ஒருங்கிணைப்பு அச்சுகளுடன் அதை வெட்டும் புள்ளிகளைக் காண்கிறோம். நாம் ஒரு சமன்பாட்டைப் பெறும்போது, ​​அதன் வேர்கள் மற்றும் , அதாவது, செயல்பாட்டின் வரைபடத்தின் இரண்டு புள்ளிகள் (0; 0) மற்றும் (4; 0) காணப்படுகின்றன. பெறப்பட்ட அனைத்து தகவல்களையும் பயன்படுத்தி, நாங்கள் ஒரு வரைபடத்தை உருவாக்குகிறோம் (எடுத்துக்காட்டின் தொடக்கத்தைப் பார்க்கவும்).

கணக்கீடுகளின் போது சுய சரிபார்ப்புக்கு, நீங்கள் பயன்படுத்தலாம் ஆன்லைன் வழித்தோன்றல் கால்குலேட்டர் .

எடுத்துக்காட்டு 4.செயல்பாட்டின் தீவிரத்தைக் கண்டறிந்து அதன் வரைபடத்தை உருவாக்கவும்.

ஒரு செயல்பாட்டின் வரையறையின் டொமைன் என்பது புள்ளியைத் தவிர, முழு எண் கோட்டாகும், அதாவது. .

ஆய்வைக் குறைக்க, இந்த செயல்பாடு சமமாக உள்ளது என்ற உண்மையைப் பயன்படுத்தலாம் . எனவே, அதன் வரைபடம் அச்சைப் பற்றிய சமச்சீராக உள்ளது ஓமற்றும் படிப்பை இடைவெளிக்கு மட்டுமே செய்ய முடியும்.

வழித்தோன்றலைக் கண்டறிதல் மற்றும் செயல்பாட்டின் முக்கிய புள்ளிகள்:

1) ;

2) ,

ஆனால் செயல்பாடு இந்த கட்டத்தில் ஒரு இடைநிறுத்தத்தை பாதிக்கிறது, எனவே அது ஒரு தீவிர புள்ளியாக இருக்க முடியாது.

எனவே, கொடுக்கப்பட்ட செயல்பாடு இரண்டு முக்கியமான புள்ளிகளைக் கொண்டுள்ளது: மற்றும் . செயல்பாட்டின் சமநிலையை கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டு, ஒரு தீவிரத்திற்கான இரண்டாவது போதுமான அளவுகோலைப் பயன்படுத்தி புள்ளியை மட்டும் சரிபார்ப்போம். இதைச் செய்ய, இரண்டாவது வழித்தோன்றலைக் காண்கிறோம் மற்றும் அதன் அடையாளத்தை இதில் தீர்மானிக்கவும்: நாம் பெறுகிறோம் . இருந்து மற்றும் , இது செயல்பாட்டின் குறைந்தபட்ச புள்ளி, மற்றும் .

ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடத்தின் முழுமையான படத்தைப் பெற, வரையறையின் டொமைனின் எல்லையில் அதன் நடத்தையைக் கண்டுபிடிப்போம்:

(இங்கே சின்னம் ஆசையைக் குறிக்கிறது எக்ஸ்வலதுபுறத்தில் இருந்து பூஜ்ஜியத்திற்கு, மற்றும் எக்ஸ்நேர்மறையாக உள்ளது; அதே போல ஆசை என்று பொருள் எக்ஸ்இடமிருந்து பூஜ்ஜியத்திற்கு, மற்றும் எக்ஸ்எதிர்மறையாக உள்ளது). எனவே, என்றால், பின்னர் . அடுத்து, நாம் கண்டுபிடிக்கிறோம்

,

அந்த. என்றால் , பிறகு .

ஒரு செயல்பாட்டின் வரைபடத்தில் அச்சுகளுடன் வெட்டுப்புள்ளிகள் இல்லை. படம் எடுத்துக்காட்டின் தொடக்கத்தில் உள்ளது.

கணக்கீடுகளின் போது சுய சரிபார்ப்புக்கு, நீங்கள் பயன்படுத்தலாம் ஆன்லைன் வழித்தோன்றல் கால்குலேட்டர் .

நாங்கள் ஒன்றாக செயல்பாட்டின் தீவிரத்தைத் தேடுகிறோம்

எடுத்துக்காட்டு 8.செயல்பாட்டின் தீவிரத்தைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு. செயல்பாட்டின் வரையறையின் டொமைனைக் கண்டுபிடிப்போம். சமத்துவமின்மை திருப்திப்படுத்தப்பட வேண்டும் என்பதால், நாங்கள் பெறுகிறோம்.

செயல்பாட்டின் முதல் வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடிப்போம்.

தீவிரத்தை கண்டுபிடிப்பதற்கான எளிய வழிமுறை..

• செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றலைக் கண்டறிதல்
• இந்த வழித்தோன்றலை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன் செய்கிறோம்
• விளைந்த வெளிப்பாட்டின் மாறியின் மதிப்புகளைக் காண்கிறோம் (வழித்தோன்றல் பூஜ்ஜியமாக மாற்றப்படும் மாறியின் மதிப்புகள்)
• இந்த மதிப்புகளைப் பயன்படுத்தி, ஆயக் கோட்டை இடைவெளிகளாகப் பிரிக்கிறோம் (பிரேக் புள்ளிகளைப் பற்றி மறந்துவிடாதீர்கள், அவை வரியில் திட்டமிடப்பட வேண்டும்), இந்த புள்ளிகள் அனைத்தும் உச்சநிலைக்கு "சந்தேகத்திற்குரிய" புள்ளிகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.
• இந்த இடைவெளிகளில் எந்த வழித்தோன்றல் நேர்மறையாகவும் எதிர்மறையாகவும் இருக்கும் என்பதை நாங்கள் கணக்கிடுகிறோம். இதைச் செய்ய, நீங்கள் இடைவெளியிலிருந்து வழித்தோன்றலுக்கு மதிப்பை மாற்ற வேண்டும்.

உச்சநிலைக்கு சந்தேகத்திற்குரிய புள்ளிகளில், கண்டுபிடிக்க வேண்டியது அவசியம். இதைச் செய்ய, ஒருங்கிணைப்பு வரிசையில் எங்கள் இடைவெளிகளைப் பார்க்கிறோம். சில புள்ளிகளைக் கடக்கும்போது, ​​வழித்தோன்றலின் அடையாளம் கூட்டல் இருந்து கழித்தல் என மாறினால், இந்தப் புள்ளி அதிகபட்சம், மற்றும் மைனஸ் முதல் பிளஸ் வரை இருந்தால், பிறகு குறைந்தபட்சம்.

ஒரு செயல்பாட்டின் மிகப்பெரிய மற்றும் சிறிய மதிப்புகளைக் கண்டறிய, நீங்கள் பிரிவின் முனைகளிலும் உச்ச புள்ளிகளிலும் செயல்பாட்டின் மதிப்பைக் கணக்கிட வேண்டும். பின்னர் மிகப்பெரிய மற்றும் சிறிய மதிப்பைத் தேர்ந்தெடுக்கவும்.

ஒரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்
வழித்தோன்றலைக் கண்டுபிடித்து அதை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமன் செய்கிறோம்:

ஆயக் கோட்டில் மாறிகளின் பெறப்பட்ட மதிப்புகளைத் திட்டமிடுகிறோம் மற்றும் ஒவ்வொரு இடைவெளியிலும் வழித்தோன்றலின் அடையாளத்தைக் கணக்கிடுகிறோம். சரி, எடுத்துக்காட்டாக, முதல் ஒன்றை எடுத்துக்கொள்வோம்-2 , பின்னர் வழித்தோன்றல் சமமாக இருக்கும்-0,24 , இரண்டாவது நாம் எடுப்போம்0 , பின்னர் வழித்தோன்றல் இருக்கும்2 , மற்றும் மூன்றாவது நாம் எடுத்து2 , பின்னர் வழித்தோன்றல் இருக்கும்-0.24. தகுந்த அடையாளங்களை கீழே வைக்கிறோம்.

புள்ளி -1 ஐக் கடக்கும்போது, ​​வழித்தோன்றல் குறியீடானது மைனஸிலிருந்து பிளஸுக்கு மாறுகிறது, அதாவது இது குறைந்தபட்ச புள்ளியாக இருக்கும், மேலும் 1 ஐக் கடக்கும்போது, ​​அது முறையே கூட்டிலிருந்து கழித்தலுக்கு அடையாளமாக மாறும், இது அதிகபட்ச புள்ளி.

அறிமுகம்

அறிவியலின் பல பகுதிகளிலும், நடைமுறைச் செயல்பாடுகளிலும், ஒரு செயல்பாட்டின் உச்சநிலையைக் கண்டறிவதில் ஒருவர் அடிக்கடி சிக்கலைச் சமாளிக்க வேண்டும். உண்மை என்னவென்றால், பல தொழில்நுட்ப, பொருளாதாரம் போன்றவை. செயல்முறைகள் ஒரு செயல்பாடு அல்லது மாறிகள் சார்ந்த பல செயல்பாடுகளால் வடிவமைக்கப்படுகின்றன - மாதிரியாக இருக்கும் நிகழ்வின் நிலையை பாதிக்கும் காரணிகள். உகந்த (பகுத்தறிவு) நிலை மற்றும் செயல்முறைக் கட்டுப்பாட்டைத் தீர்மானிக்க, அத்தகைய செயல்பாடுகளின் தீவிரத்தைக் கண்டறிவது அவசியம். எனவே பொருளாதாரத்தில், செலவுகளைக் குறைப்பது அல்லது லாபத்தை அதிகரிப்பது போன்ற பிரச்சனைகள் பெரும்பாலும் தீர்க்கப்படுகின்றன - நிறுவனத்தின் நுண்பொருளாதார பிரச்சனை. இந்த வேலையில், மாடலிங் சிக்கல்களைக் கருத்தில் கொள்ள மாட்டோம், ஆனால் எளிமையான பதிப்பில் செயல்பாடுகளின் தீவிரத்தைத் தேடுவதற்கான வழிமுறைகளை மட்டுமே கருத்தில் கொள்கிறோம், மாறிகள் (நிபந்தனையற்ற தேர்வுமுறை) மீது எந்த கட்டுப்பாடுகளும் விதிக்கப்படவில்லை, மேலும் ஒரு புறநிலை செயல்பாட்டிற்கு மட்டுமே தீவிரம் தேடப்படுகிறது.

செயல்பாட்டின் தீவிரம்

தொடர்ச்சியான செயல்பாட்டின் வரைபடத்தைக் கவனியுங்கள் y=f(x)படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளது. ஒரு புள்ளியில் செயல்பாட்டு மதிப்பு எக்ஸ்இடது மற்றும் வலதுபுறம் உள்ள அனைத்து அண்டை புள்ளிகளிலும் செயல்பாட்டு மதிப்புகளை விட 1 அதிகமாக இருக்கும் எக்ஸ் 1 . இந்த வழக்கில் செயல்பாடு புள்ளியில் உள்ளது என்று கூறுகிறோம் எக்ஸ் 1 அதிகபட்சம். புள்ளியில் எக்ஸ்செயல்பாடு 3 வெளிப்படையாக அதிகபட்சம் உள்ளது. நாம் புள்ளியை கருத்தில் கொண்டால் எக்ஸ் 2, பின்னர் அதில் செயல்பாட்டு மதிப்பு அனைத்து அண்டை மதிப்புகளை விட குறைவாக உள்ளது. இந்த வழக்கில் செயல்பாடு புள்ளியில் உள்ளது என்று கூறுகிறோம் எக்ஸ் 2 குறைந்தபட்சம். அதுபோலவே விஷயத்திற்கும் எக்ஸ் 4 .

செயல்பாடு y=f(x)புள்ளியில் எக்ஸ் 0 உள்ளது அதிகபட்சம், இந்த புள்ளியில் செயல்பாட்டின் மதிப்பு அதன் மதிப்புகளை விட அதிகமாக இருந்தால், புள்ளியைக் கொண்ட சில இடைவெளியின் அனைத்து புள்ளிகளிலும் எக்ஸ் 0, அதாவது ஒரு புள்ளியின் அத்தகைய சுற்றுப்புறம் இருந்தால் எக்ஸ் 0, இது அனைவருக்கும் உள்ளது எக்ஸ்≠எக்ஸ் 0 , இந்த சுற்றுப்புறத்தைச் சேர்ந்தது, சமத்துவமின்மை உள்ளது f(x)<f(x 0 ) .

செயல்பாடு y=f(x)அது உள்ளது குறைந்தபட்சம்புள்ளியில் எக்ஸ் 0 , ஒரு புள்ளியின் அத்தகைய சுற்றுப்புறம் இருந்தால் எக்ஸ் 0 , அது அனைவருக்கும் எக்ஸ்≠எக்ஸ் 0 இந்த சுற்றுப்புறத்தைச் சேர்ந்தது, சமத்துவமின்மை உள்ளது f(x)>f(x 0.

செயல்பாடு அதன் அதிகபட்ச மற்றும் குறைந்தபட்சத்தை அடையும் புள்ளிகள் தீவிர புள்ளிகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன, மேலும் இந்த புள்ளிகளில் உள்ள செயல்பாட்டின் மதிப்புகள் செயல்பாட்டின் தீவிரம் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

ஒரு பிரிவில் வரையறுக்கப்பட்ட செயல்பாடு, பரிசீலனையில் உள்ள பிரிவில் உள்ள புள்ளிகளில் மட்டுமே அதன் அதிகபட்ச மற்றும் குறைந்தபட்சத்தை அடைய முடியும் என்பதில் கவனம் செலுத்துவோம்.

ஒரு கட்டத்தில் ஒரு செயல்பாடு அதிகபட்சமாக இருந்தால், அந்த நேரத்தில் செயல்பாடு வரையறையின் முழு டொமைனிலும் மிகப்பெரிய மதிப்பைக் கொண்டுள்ளது என்று அர்த்தமல்ல. மேலே விவாதிக்கப்பட்ட படத்தில், புள்ளியில் செயல்பாடு எக்ஸ் 1 அதிகபட்சமாக உள்ளது, இருப்பினும் செயல்பாட்டு மதிப்புகள் புள்ளியை விட அதிகமாக இருக்கும் புள்ளிகள் உள்ளன எக்ஸ் 1 . குறிப்பாக, f(எக்ஸ் 1) < f(எக்ஸ் 4) அதாவது ஒரு செயல்பாட்டின் குறைந்தபட்சம் அதிகபட்சத்தை விட அதிகமாக உள்ளது. அதிகபட்ச வரையறையில் இருந்து, இது அதிகபட்ச புள்ளிக்கு போதுமான அளவு நெருக்கமான புள்ளிகளில் செயல்பாட்டின் மிகப்பெரிய மதிப்பாகும்.

தேற்றம் 1. (ஒரு முனையின் இருப்புக்கு அவசியமான நிபந்தனை.) வேறுபடுத்தக்கூடிய செயல்பாடு என்றால் y=f(x)புள்ளியில் உள்ளது x=x 0 தீவிரம், இந்த கட்டத்தில் அதன் வழித்தோன்றல் பூஜ்ஜியமாக மாறும்.

ஆதாரம். நாம், திட்டவட்டமாக, புள்ளியில் எக்ஸ் 0 செயல்பாடு அதிகபட்சம். பின்னர், போதுமான சிறிய அதிகரிப்புகளுக்கு Δ எக்ஸ்எங்களிடம் உள்ளது f(x 0 + Δ எக்ஸ்) 0 ) , அதாவது

ஆனால் பின்னர்

Δ இல் வரம்பிற்கு இந்த ஏற்றத்தாழ்வுகளை கடந்து செல்லுதல் எக்ஸ்→ 0 மற்றும் வழித்தோன்றல் என்பதை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்வது f "(எக்ஸ் 0) உள்ளது, எனவே இடதுபுறத்தில் உள்ள வரம்பு எப்படி Δ என்பதைப் பொறுத்தது அல்ல எக்ஸ்→ 0, நாம் பெறுகிறோம்: Δ இல் எக்ஸ் → 0 – 0 f"(எக்ஸ் 0) Δ இல் ≥ 0 a எக்ஸ் → 0 + 0 f"(எக்ஸ் 0) ≤ 0. முதல் f"(எக்ஸ் 0) ஒரு எண்ணை வரையறுக்கிறது, பின்னர் இந்த இரண்டு ஏற்றத்தாழ்வுகளும் இணக்கமாக இருந்தால் மட்டுமே f"(எக்ஸ் 0) = 0.

நிரூபிக்கப்பட்ட தேற்றம், வழித்தோன்றல் பூஜ்ஜியமாக மாறும் வாதத்தின் மதிப்புகளில் மட்டுமே அதிகபட்ச மற்றும் குறைந்தபட்ச புள்ளிகள் இருக்க முடியும் என்று கூறுகிறது.

ஒரு குறிப்பிட்ட பிரிவின் அனைத்துப் புள்ளிகளிலும் ஒரு சார்பு ஒரு வழித்தோன்றலைக் கொண்டிருக்கும் போது நாங்கள் வழக்கைக் கருத்தில் கொண்டோம். வழித்தோன்றல் இல்லாத சந்தர்ப்பங்களில் நிலைமை என்ன? உதாரணங்களைப் பார்ப்போம்.

ஒய்=|எக்ஸ்|.

செயல்பாட்டிற்கு புள்ளியில் வழித்தோன்றல் இல்லை எக்ஸ்=0 (இந்த கட்டத்தில் செயல்பாட்டின் வரைபடம் வரையறுக்கப்பட்ட தொடுகோடு இல்லை), ஆனால் இந்த கட்டத்தில் செயல்பாடு குறைந்தபட்சம் உள்ளது, ஏனெனில் ஒய்(0)=0, மற்றும் அனைவருக்கும் எக்ஸ்≠ 0ஒய் > 0.

இல் வழித்தோன்றல் இல்லை எக்ஸ்=0, அது முடிவிலிக்கு செல்லும் என்பதால் எக்ஸ்=0. ஆனால் இந்த கட்டத்தில் செயல்பாடு அதிகபட்சமாக உள்ளது. இல் வழித்தோன்றல் இல்லை எக்ஸ்=0, எப்போதிலிருந்து எக்ஸ்→0. இந்த கட்டத்தில் செயல்பாடு அதிகபட்சம் அல்லது குறைந்தபட்சம் இல்லை. உண்மையில், f(x)=0 மற்றும் மணிக்கு எக்ஸ்<0f(x)<0, а при எக்ஸ்>0f(x)>0.

இவ்வாறு, கொடுக்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகள் மற்றும் உருவாக்கப்பட்ட தேற்றம் ஆகியவற்றிலிருந்து, ஒரு செயல்பாடு இரண்டு நிகழ்வுகளில் மட்டுமே உச்சநிலையைக் கொண்டிருக்க முடியும் என்பது தெளிவாகிறது: 1) வழித்தோன்றல் இருக்கும் மற்றும் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமான புள்ளிகளில்; 2) வழித்தோன்றல் இல்லாத இடத்தில்.

இருப்பினும், ஒரு கட்டத்தில் இருந்தால் எக்ஸ் 0 அது எங்களுக்குத் தெரியும் f "(x 0 ) =0, பின்னர் இதிலிருந்து அந்த புள்ளியில் முடிவு செய்ய முடியாது எக்ஸ் 0 செயல்பாடு ஒரு உச்சநிலையைக் கொண்டுள்ளது.

உதாரணத்திற்கு.

.

ஆனால் காலம் எக்ஸ்=0 ஒரு தீவிர புள்ளி அல்ல, ஏனெனில் இந்த புள்ளியின் இடதுபுறத்தில் செயல்பாட்டு மதிப்புகள் அச்சுக்கு கீழே அமைந்துள்ளன எருது, மற்றும் மேலே வலதுபுறம்.

செயல்பாட்டின் வழித்தோன்றல் மறைந்துவிடும் அல்லது இல்லாத செயல்பாட்டின் டொமைனில் இருந்து ஒரு வாதத்தின் மதிப்புகள் அழைக்கப்படுகின்றன முக்கியமான புள்ளிகள்.

மேலே உள்ள எல்லாவற்றிலிருந்தும் செயல்பாட்டின் தீவிர புள்ளிகள் முக்கியமான புள்ளிகளில் உள்ளன, இருப்பினும், ஒவ்வொரு முக்கியமான புள்ளியும் ஒரு தீவிர புள்ளி அல்ல. எனவே, ஒரு செயல்பாட்டின் உச்சநிலையைக் கண்டறிய, நீங்கள் செயல்பாட்டின் அனைத்து முக்கிய புள்ளிகளையும் கண்டறிய வேண்டும், பின்னர் இந்த புள்ளிகள் ஒவ்வொன்றையும் தனித்தனியாக அதிகபட்சம் மற்றும் குறைந்தபட்சமாக ஆராய வேண்டும். பின்வரும் தேற்றம் இந்த நோக்கத்திற்காக உதவுகிறது.

தேற்றம் 2. (ஒரு முனையின் இருப்புக்கான போதுமான நிபந்தனை.) முக்கியமான புள்ளியைக் கொண்ட சில இடைவெளியில் செயல்பாடு தொடர்ச்சியாக இருக்கட்டும். எக்ஸ் 0, மற்றும் இந்த இடைவெளியின் எல்லாப் புள்ளிகளிலும் வேறுபடக்கூடியது (ஒருவேளை, புள்ளியைத் தவிர எக்ஸ் 0) இந்தப் புள்ளியின் வழியாக இடமிருந்து வலமாக நகரும் போது, ​​வழித்தோன்றல் குறியை கூட்டலில் இருந்து கழித்தால், புள்ளியில் எக்ஸ் = எக்ஸ் 0 செயல்பாடு அதிகபட்சம். என்றால், கடந்து செல்லும் போது எக்ஸ் 0 இடமிருந்து வலமாக, வழித்தோன்றல் மைனஸில் இருந்து கூட்டலுக்கு அடையாளத்தை மாற்றுகிறது, பின்னர் செயல்பாடு இந்த கட்டத்தில் குறைந்தபட்சம் உள்ளது.

இவ்வாறு, என்றால்

f "(x)>0 மணிக்கு எக்ஸ்<எக்ஸ் 0 மற்றும் f "(x)< 0 மணிக்கு x>x 0, பின்னர் எக்ஸ் 0 - அதிகபட்ச புள்ளி;

மணிக்கு எக்ஸ்<எக்ஸ் 0 மற்றும் f "(x)> 0 மணிக்கு x>x 0, பின்னர் எக்ஸ் 0 - குறைந்தபட்ச புள்ளி.

ஆதாரம். முதலில் கடந்து செல்லும் போது என்று வைத்துக்கொள்வோம் எக்ஸ் 0 வழித்தோன்றல் கூட்டல் இருந்து கழித்தல் அடையாளம், அதாவது. அனைவருக்கும் முன்னால் எக்ஸ், புள்ளிக்கு அருகில் எக்ஸ் 0 f "(x)> 0 க்கு எக்ஸ்< x 0 , f "(x)< 0 க்கு x>x 0 . வித்தியாசத்திற்கு லாக்ரேஞ்ச் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துவோம் f(x) - f(x 0 ) = f "(c)(x- x 0), எங்கே cஇடையே உள்ளது எக்ஸ்மற்றும் எக்ஸ் 0 .

விடுங்கள் எக்ஸ்< x 0 . பிறகு c< x 0 மற்றும் f "(c)> 0. அதனால் தான் f "(c)(x- x 0)< 0 மற்றும் எனவே

f(x) - f(x 0 )< 0, அதாவது f(x)< f(x 0 ).

விடுங்கள் x > x 0 . பிறகு c>x 0 மற்றும் f "(c)< 0. பொருள் f "(c)(x- x 0)< 0. அதனால் தான் f(x) - f(x 0 ) <0,т.е.f(x)< f(x 0 ) .

இவ்வாறு, அனைத்து மதிப்புகளுக்கும் எக்ஸ்போதுமான அருகில் எக்ஸ் 0 f(x)< f(x 0 ) . இந்த புள்ளியில் என்று அர்த்தம் எக்ஸ் 0 செயல்பாடு அதிகபட்சமாக உள்ளது.

குறைந்தபட்ச தேற்றத்தின் இரண்டாம் பகுதி இதேபோல் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

இந்த தேற்றத்தின் அர்த்தத்தை படத்தில் விளக்குவோம். விடுங்கள் f "(x 1 ) =0 மற்றும் எதற்கும் எக்ஸ்,போதுமான அருகில் எக்ஸ் 1, ஏற்றத்தாழ்வுகள் திருப்திகரமாக உள்ளன

f "(x)< 0 மணிக்கு எக்ஸ்< x 1 , f "(x)> 0 மணிக்கு x>x 1 .

பின்னர் புள்ளியின் இடதுபுறம் எக்ஸ் 1 செயல்பாடு வலதுபுறத்தில் அதிகரிக்கிறது மற்றும் குறைகிறது, எனவே, எப்போது எக்ஸ் = எக்ஸ் 1 செயல்பாடு அதிகரிப்பிலிருந்து குறைகிறது, அதாவது அதிகபட்சம்.

இதேபோல், நாம் புள்ளிகளைக் கருத்தில் கொள்ளலாம் எக்ஸ் 2 மற்றும் எக்ஸ் 3 .

மேலே உள்ள அனைத்தையும் படத்தில் திட்டவட்டமாக சித்தரிக்கலாம்:

எக்ஸ்ட்ரம்மிற்கான y=f(x) செயல்பாட்டைப் படிப்பதற்கான விதி

ஒரு செயல்பாட்டின் டொமைனைக் கண்டறியவும் f(x)

ஒரு செயல்பாட்டின் முதல் வழித்தோன்றலைக் கண்டறியவும் f "(x).

இதற்கான முக்கியமான புள்ளிகளைத் தீர்மானிக்கவும்:

சமன்பாட்டின் உண்மையான வேர்களைக் கண்டறியவும் f "(x)=0;

அனைத்து மதிப்புகளையும் கண்டறியவும் எக்ஸ்அதற்கான வழித்தோன்றல் f "(x)இல்லை.

முக்கியமான புள்ளியின் இடது மற்றும் வலதுபுறத்தில் வழித்தோன்றலின் அடையாளத்தைத் தீர்மானிக்கவும். வழித்தோன்றலின் அடையாளம் இரண்டு முக்கியமான புள்ளிகளுக்கு இடையில் மாறாமல் இருப்பதால், முக்கிய புள்ளியின் இடதுபுறத்தில் ஒரு புள்ளியிலும் வலதுபுறத்தில் ஒரு புள்ளியிலும் வழித்தோன்றலின் அடையாளத்தைத் தீர்மானிப்பது போதுமானது.

தீவிர புள்ளிகளில் செயல்பாட்டின் மதிப்பைக் கணக்கிடுங்கள்.