கணிதத்தில், பல இருபடிச் சமன்பாடுகளை மிக விரைவாகவும் எந்த பாகுபாடும் இல்லாமல் தீர்க்கக்கூடிய சிறப்பு நுட்பங்கள் உள்ளன. மேலும், சரியான பயிற்சியுடன், பலர் இருபடி சமன்பாடுகளை வாய்வழியாக தீர்க்கத் தொடங்குகிறார்கள், அதாவது "முதல் பார்வையில்."

துரதிர்ஷ்டவசமாக, பள்ளி கணிதத்தின் நவீன பாடத்திட்டத்தில், அத்தகைய தொழில்நுட்பங்கள் கிட்டத்தட்ட படிக்கப்படவில்லை. ஆனால் நீங்கள் தெரிந்து கொள்ள வேண்டும்! இன்று நாம் இந்த நுட்பங்களில் ஒன்றைப் பார்ப்போம் - வியட்டாவின் தேற்றம். முதலில், ஒரு புதிய வரையறையை அறிமுகப்படுத்துவோம்.

x 2 + bx + c = 0 வடிவத்தின் இருபடிச் சமன்பாடு குறைக்கப்பட்டதாக அழைக்கப்படுகிறது. x 2க்கான குணகம் 1 என்பதை நினைவில் கொள்ளவும். குணகங்களில் வேறு எந்த கட்டுப்பாடுகளும் இல்லை.

1. x 2 + 7x + 12 = 0 என்பது குறைக்கப்பட்ட இருபடிச் சமன்பாடு;
2. x 2 - 5x + 6 = 0 - மேலும் குறைக்கப்பட்டது;
3. 2x 2 - 6x + 8 = 0 - ஆனால் x 2 இன் குணகம் 2 க்கு சமமாக இருப்பதால் இது வழங்கப்படவில்லை.

நிச்சயமாக, கோடாரி 2 + bx + c = 0 வடிவத்தின் எந்த இருபடிச் சமன்பாட்டையும் குறைக்கலாம் - அனைத்து குணகங்களையும் a என்ற எண்ணால் வகுத்தால் போதும். ஒரு இருபடிச் சமன்பாட்டின் வரையறையானது ≠ 0 என்பதைக் குறிக்கிறது என்பதால், நாம் எப்போதும் இதைச் செய்யலாம்.

உண்மை, இந்த மாற்றங்கள் வேர்களைக் கண்டறிய எப்போதும் பயனுள்ளதாக இருக்காது. சதுரத்தால் கொடுக்கப்பட்ட இறுதி சமன்பாட்டில் அனைத்து குணகங்களும் முழு எண்ணாக இருக்கும்போது மட்டுமே இதைச் செய்ய வேண்டும் என்பதை கீழே உறுதி செய்வோம். இப்போதைக்கு, எளிமையான உதாரணங்களைப் பார்ப்போம்:

பணி. இருபடி சமன்பாட்டை குறைக்கப்பட்ட சமன்பாட்டிற்கு மாற்றவும்:

1. 3x 2 - 12x + 18 = 0;
2. −4x 2 + 32x + 16 = 0;
3. 1.5x 2 + 7.5x + 3 = 0;
4. 2x 2 + 7x - 11 = 0.

ஒவ்வொரு சமன்பாட்டையும் x 2 என்ற மாறியின் குணகத்தால் வகுக்கலாம். நாங்கள் பெறுகிறோம்:

1. 3x 2 - 12x + 18 = 0 ⇒ x 2 - 4x + 6 = 0 - அனைத்தையும் 3 ஆல் வகுக்கவும்;
2. −4x 2 + 32x + 16 = 0 ⇒ x 2 - 8x - 4 = 0 - −4 ஆல் வகுக்கப்பட்டது;
3. 1.5x 2 + 7.5x + 3 = 0 ⇒ x 2 + 5x + 2 = 0 - 1.5 ஆல் வகுத்தால், அனைத்து குணகங்களும் முழு எண்களாக மாறியது;
4. 2x 2 + 7x - 11 = 0 ⇒ x 2 + 3.5x - 5.5 = 0 - 2 ஆல் வகுக்கப்படுகிறது. இந்த வழக்கில், பகுதியளவு குணகங்கள் தோன்றின.

நீங்கள் பார்க்கிறபடி, அசல் சமன்பாட்டில் பின்னங்கள் இருந்தாலும் மேலே உள்ள இருபடி சமன்பாடுகள் முழு எண் குணகங்களைக் கொண்டிருக்கலாம்.

இப்போது முக்கிய தேற்றத்தை உருவாக்குவோம், உண்மையில், குறைக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாட்டின் கருத்து அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது:

வியட்டாவின் தேற்றம். x 2 + bx + c = 0 வடிவத்தின் குறைக்கப்பட்ட இருபடிச் சமன்பாட்டைக் கவனியுங்கள். இந்த வழக்கில், பின்வரும் அறிக்கைகள் உண்மை:

1. x 1 + x 2 = −b. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், கொடுக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களின் கூட்டுத்தொகை x மாறியின் குணகத்திற்கு சமமாக இருக்கும், இது எதிர் அடையாளத்துடன் எடுக்கப்படுகிறது;
2. x 1 x 2 = c. இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களின் பலன் இலவச குணகத்திற்குச் சமம்.

எடுத்துக்காட்டுகள். எளிமைக்காக, கூடுதல் மாற்றங்கள் தேவையில்லாத மேற்கூறிய இருபடி சமன்பாடுகளை மட்டுமே நாங்கள் கருத்தில் கொள்வோம்:

1. x 2 - 9x + 20 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = - (−9) = 9; x 1 x 2 = 20; வேர்கள்: x 1 = 4; x 2 = 5;
2. x 2 + 2x - 15 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = -2; x 1 x 2 = -15; வேர்கள்: x 1 = 3; x 2 = −5;
3. x 2 + 5x + 4 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 = 4; வேர்கள்: x 1 = -1; x 2 = -4.

வியட்டாவின் தேற்றம் இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களைப் பற்றிய கூடுதல் தகவல்களை நமக்கு வழங்குகிறது. முதல் பார்வையில், இது கடினமாகத் தோன்றலாம், ஆனால் குறைந்தபட்ச பயிற்சியுடன் கூட நீங்கள் வேர்களை "பார்க்க" கற்றுக்கொள்வீர்கள், மேலும் சில நொடிகளில் அவற்றை யூகிக்க முடியும்.

பணி. இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்:

1. x 2 - 9x + 14 = 0;
2. x 2 - 12x + 27 = 0;
3. 3x 2 + 33x + 30 = 0;
4. −7x 2 + 77x - 210 = 0.

வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி குணகங்களை எழுத முயற்சிப்போம் மற்றும் வேர்களை "யூகிக்க":

1. x 2 - 9x + 14 = 0 என்பது குறைக்கப்பட்ட இருபடிச் சமன்பாடு.
   வியட்டாவின் தேற்றத்தின்படி நம்மிடம் உள்ளது: x 1 + x 2 = -(-9) = 9; x 1 · x 2 = 14. வேர்கள் எண்கள் 2 மற்றும் 7 என்பதைக் காண்பது எளிது;
2. x 2 - 12x + 27 = 0 - மேலும் குறைக்கப்பட்டது.
   வியட்டாவின் தேற்றத்தால்: x 1 + x 2 = -(-12) = 12; x 1 x 2 = 27. எனவே வேர்கள்: 3 மற்றும் 9;
3. 3x 2 + 33x + 30 = 0 - இந்த சமன்பாடு குறைக்கப்படவில்லை. ஆனால் சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் a = 3 என்ற குணகத்தால் வகுப்பதன் மூலம் இதை சரிசெய்வோம். நாம் பெறுவது: x 2 + 11x + 10 = 0.
   வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி தீர்க்கிறோம்: x 1 + x 2 = −11; x 1 x 2 = 10 ⇒ வேர்கள்: −10 மற்றும் −1;
4. −7x 2 + 77x - 210 = 0 - மீண்டும் x 2 க்கான குணகம் 1 க்கு சமமாக இல்லை, அதாவது. சமன்பாடு கொடுக்கப்படவில்லை. எல்லாவற்றையும் a = -7 என்ற எண்ணால் வகுக்கிறோம். நாம் பெறுகிறோம்: x 2 - 11x + 30 = 0.
   வியட்டாவின் தேற்றத்தால்: x 1 + x 2 = -(-11) = 11; x 1 x 2 = 30; இந்த சமன்பாடுகளிலிருந்து வேர்களை யூகிப்பது எளிது: 5 மற்றும் 6.

மேற்கூறிய காரணத்திலிருந்து வியட்டாவின் தேற்றம் இருபடிச் சமன்பாடுகளின் தீர்வை எவ்வாறு எளிதாக்குகிறது என்பது தெளிவாகிறது. சிக்கலான கணக்கீடுகள் இல்லை, எண்கணித வேர்கள் அல்லது பின்னங்கள் இல்லை. எங்களுக்கு ஒரு பாகுபாடு கூட தேவையில்லை ("இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது" என்ற பாடத்தைப் பார்க்கவும்).

நிச்சயமாக, எங்கள் பிரதிபலிப்புகள் அனைத்திலும் நாங்கள் இரண்டு முக்கியமான அனுமானங்களிலிருந்து முன்னேறினோம், பொதுவாகப் பேசுவது, உண்மையான பிரச்சனைகளில் எப்போதும் சந்திக்கப்படுவதில்லை:

1. இருபடி சமன்பாடு குறைக்கப்பட்டது, அதாவது. x 2க்கான குணகம் 1;
2. சமன்பாடு இரண்டு வெவ்வேறு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது. ஒரு இயற்கணிதக் கண்ணோட்டத்தில், இந்த விஷயத்தில் பாகுபாடு D > 0 - உண்மையில், இந்த சமத்துவமின்மை உண்மை என்று நாம் ஆரம்பத்தில் கருதுகிறோம்.

இருப்பினும், வழக்கமான கணித சிக்கல்களில் இந்த நிபந்தனைகள் பூர்த்தி செய்யப்படுகின்றன. கணக்கீடு "மோசமான" இருபடிச் சமன்பாட்டில் விளைந்தால் (x 2 இன் குணகம் 1 இலிருந்து வேறுபட்டது), இதை எளிதாக சரிசெய்யலாம் - பாடத்தின் தொடக்கத்தில் உள்ள எடுத்துக்காட்டுகளைப் பாருங்கள். நான் பொதுவாக வேர்களைப் பற்றி மௌனமாக இருக்கிறேன்: இது என்ன மாதிரியான பிரச்சனைக்கு பதில் இல்லை? நிச்சயமாக வேர்கள் இருக்கும்.

எனவே, வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான பொதுவான திட்டம் பின்வருமாறு:

1. சிக்கல் அறிக்கையில் இது ஏற்கனவே செய்யப்படவில்லை என்றால், கொடுக்கப்பட்ட ஒன்றிற்கு இருபடி சமன்பாட்டைக் குறைக்கவும்;
2. மேற்கூறிய இருபடி சமன்பாட்டில் உள்ள குணகங்கள் பின்னமாக இருந்தால், பாகுபாட்டைப் பயன்படுத்தி தீர்க்கிறோம். நீங்கள் இன்னும் "கையளவு" எண்களுடன் வேலை செய்ய அசல் சமன்பாட்டிற்குச் செல்லலாம்;
3. முழு எண் குணகங்களின் விஷயத்தில், வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி சமன்பாட்டைத் தீர்க்கிறோம்;
4. சில நொடிகளில் வேர்களை யூகிக்க முடியாவிட்டால், வியட்டாவின் தேற்றத்தை மறந்துவிட்டு, பாகுபாட்டைப் பயன்படுத்தி தீர்க்கவும்.

பணி. சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்: 5x 2 - 35x + 50 = 0.

எனவே, குறைக்கப்படாத ஒரு சமன்பாடு நம் முன் உள்ளது, ஏனெனில் குணகம் a = 5. எல்லாவற்றையும் 5 ஆல் வகுத்தால், நமக்குக் கிடைக்கும்: x 2 - 7x + 10 = 0.

ஒரு இருபடி சமன்பாட்டின் அனைத்து குணகங்களும் முழு எண் - வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி அதைத் தீர்க்க முயற்சிப்போம். எங்களிடம் உள்ளது: x 1 + x 2 = -(-7) = 7; x 1 · x 2 = 10. இந்த வழக்கில், வேர்கள் யூகிக்க எளிதானது - அவை 2 மற்றும் 5. பாகுபாடுகளைப் பயன்படுத்தி எண்ண வேண்டிய அவசியமில்லை.

பணி. சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்: −5x 2 + 8x - 2.4 = 0.

பார்ப்போம்: −5x 2 + 8x - 2.4 = 0 - இந்த சமன்பாடு குறைக்கப்படவில்லை, இரு பக்கங்களையும் குணகம் a = -5 மூலம் வகுக்க வேண்டும். நாம் பெறுகிறோம்: x 2 - 1.6x + 0.48 = 0 - பின்ன குணகங்களைக் கொண்ட ஒரு சமன்பாடு.

அசல் சமன்பாட்டிற்குத் திரும்பி, பாகுபாடு மூலம் எண்ணுவது நல்லது: −5x 2 + 8x - 2.4 = 0 ⇒ D = 8 2 - 4 · (−5) · (−2.4) = 16 ⇒ ... ⇒ x 1 = 1.2; x 2 = 0.4.

பணி. சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்: 2x 2 + 10x - 600 = 0.

முதலில், a = 2 என்ற குணகத்தால் எல்லாவற்றையும் வகுக்க வேண்டும். x 2 + 5x - 300 = 0 சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்.

இது குறைக்கப்பட்ட சமன்பாடு ஆகும், வியட்டாவின் தேற்றத்தின்படி நம்மிடம் உள்ளது: x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 = −300. இந்த வழக்கில் இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களை யூகிப்பது கடினம் - தனிப்பட்ட முறையில், இந்த சிக்கலை தீர்க்கும் போது நான் தீவிரமாக சிக்கிக்கொண்டேன்.

நீங்கள் பாகுபாடு மூலம் வேர்களைத் தேட வேண்டும்: D = 5 2 - 4 · 1 · (−300) = 1225 = 35 2 . பாகுபாடு காண்பவரின் வேர் உங்களுக்கு நினைவில் இல்லை என்றால், நான் 1225: 25 = 49 என்பதைக் கவனிக்கிறேன். எனவே, 1225 = 25 49 = 5 2 7 2 = 35 2.

இப்போது பாகுபாட்டின் வேர் அறியப்பட்டதால், சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது கடினம் அல்ல. நாம் பெறுகிறோம்: x 1 = 15; x 2 = −20.

இந்த விரிவுரையில் ஒரு இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கும் அதன் குணகங்களுக்கும் இடையிலான ஆர்வமுள்ள உறவுகளை நாம் அறிந்து கொள்வோம். இந்த உறவுகளை முதன்முதலில் பிரெஞ்சு கணிதவியலாளர் பிரான்சுவா வியேட் (1540-1603) கண்டுபிடித்தார்.

எடுத்துக்காட்டாக, 3x 2 - 8x - 6 = 0 என்ற சமன்பாட்டிற்கு, அதன் வேர்களைக் கண்டறியாமல், வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி, வேர்களின் கூட்டுத்தொகை சமம் என்றும், வேர்களின் பலன் சமம் என்றும் உடனடியாகக் கூறலாம்.
அதாவது - 2. மேலும் x 2 - 6x + 8 = 0 சமன்பாட்டிற்கு நாம் முடிவு செய்கிறோம்: வேர்களின் கூட்டுத்தொகை 6, வேர்களின் பெருக்கல் 8; மூலம், வேர்கள் என்ன சமமாக இருக்கும் என்று யூகிப்பது கடினம் அல்ல: 4 மற்றும் 2.
வியட்டாவின் தேற்றத்தின் ஆதாரம். கோடாரி 2 + bx + c = 0 என்ற இருபடிச் சமன்பாட்டின் x 1 மற்றும் x 2 ஆகிய வேர்கள் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி காணப்படுகின்றன.

D = b 2 - 4ac என்பது சமன்பாட்டின் பாகுபாடு ஆகும். இந்த வேர்களை ஒன்றாக இணைத்து,
நாம் பெறுகிறோம்

இப்போது x 1 மற்றும் x 2 ஆகிய வேர்களின் பலனைக் கணக்கிடுவோம். நம்மிடம் உள்ளது

இரண்டாவது உறவு நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது:
கருத்து. இருபடிச் சமன்பாடு ஒரு மூலத்தைக் கொண்டிருக்கும் போது (அதாவது, D = 0) வியட்டாவின் தேற்றம் செல்லுபடியாகும்.
குறைக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாட்டிற்கான நிரூபிக்கப்பட்ட உறவுகள் x 2 + px + q = 0 இந்த வழக்கில், நாம் பெறுகிறோம்:

x 1 = x 2 = -p, x 1 x 2 =q
அந்த. குறைக்கப்பட்ட இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களின் கூட்டுத்தொகை எதிரெதிர் அடையாளத்துடன் எடுக்கப்பட்ட இரண்டாவது குணகத்திற்குச் சமம், மேலும் வேர்களின் பலன் இலவசச் சொல்லுக்குச் சமம்.
வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி, இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்கள் மற்றும் குணகங்களுக்கு இடையே உள்ள பிற உறவுகளைப் பெறலாம். எடுத்துக்காட்டாக, x 1 மற்றும் x 2 ஆகியவை குறைக்கப்பட்ட இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களாக இருக்கட்டும் x 2 + px + q = 0. பிறகு

இருப்பினும், வியட்டாவின் தேற்றத்தின் முக்கிய நோக்கம் அது ஒரு இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்கள் மற்றும் குணகங்களுக்கு இடையிலான சில உறவுகளை வெளிப்படுத்துவதாக இல்லை. மிக முக்கியமானது என்னவென்றால், வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி, ஒரு இருபடி முக்கோணத்தை காரணியாக்குவதற்கான சூத்திரம் பெறப்பட்டது, இது எதிர்காலத்தில் இல்லாமல் நாம் செய்ய முடியாது.

ஆதாரம். எங்களிடம் உள்ளது

எடுத்துக்காட்டு 1. இருபடி முக்கோணம் 3x 2 - 10x + 3 காரணி.
தீர்வு. 3x 2 - 10x + 3 = 0 சமன்பாட்டைத் தீர்த்த பிறகு, 3x 2 - 10x + 3: x 1 = 3, x2 = சதுர முக்கோணத்தின் வேர்களைக் காண்கிறோம்.
தேற்றம் 2 ஐப் பயன்படுத்தி, நாம் பெறுகிறோம்

அதற்குப் பதிலாக 3x - 1 என்று எழுதுவது அர்த்தமுள்ளதாக இருக்கும்.
கொடுக்கப்பட்ட இருபடி முக்கோணத்தை, தேற்றம் 2 ஐப் பயன்படுத்தாமல், தொகுத்தல் முறையைப் பயன்படுத்தி காரணியாக்க முடியும் என்பதை நினைவில் கொள்ளவும்:

3x 2 - 10x + 3 = 3x 2 - 9x - x + 3 =
= 3x (x - 3) - (x - 3) = (x - 3) (3x - 1).

ஆனால், நீங்கள் பார்க்கிறபடி, இந்த முறையின் வெற்றியானது ஒரு வெற்றிகரமான குழுவைக் கண்டுபிடிக்க முடியுமா இல்லையா என்பதைப் பொறுத்தது, அதேசமயம் முதல் முறையின் வெற்றி உறுதி.
எடுத்துக்காட்டு 1. பகுதியைக் குறைக்கவும்

தீர்வு. 2x 2 + 5x + 2 = 0 சமன்பாட்டிலிருந்து x 1 = - 2,

x2 - 4x - 12 = 0 சமன்பாட்டிலிருந்து x 1 = 6, x 2 = -2 ஐக் காணலாம். அதனால் தான்
x 2 - 4x - 12 = (x - 6) (x - (- 2)) = (x - 6) (x + 2).
இப்போது கொடுக்கப்பட்ட பகுதியைக் குறைப்போம்:

எடுத்துக்காட்டு 3. வெளிப்பாடுகள் காரணி:
a)x4 + 5x 2 +6; b)2x+-3
தீர்வு a) y = x 2 என்ற புதிய மாறியை அறிமுகப்படுத்துவோம். y மாறியைப் பொறுத்து, கொடுக்கப்பட்ட வெளிப்பாட்டை இருபடி முக்கோண வடிவில், அதாவது y 2 + bу + 6 வடிவத்தில் மீண்டும் எழுத இது உங்களை அனுமதிக்கும்.
சமன்பாடு y 2 + bу + 6 = 0 ஐத் தீர்த்த பிறகு, y 2 + 5у + 6: y 1 = - 2, y 2 = -3 ஆகிய இருபடி முக்கோணத்தின் வேர்களைக் காண்கிறோம். இப்போது தேற்றம் 2 ஐப் பயன்படுத்துவோம்; நாம் பெறுகிறோம்

y 2 + 5y + 6 = (y + 2) (y + 3).
y = x 2 என்பதை நினைவில் கொள்ள வேண்டும், அதாவது கொடுக்கப்பட்ட வெளிப்பாட்டிற்கு திரும்பவும். அதனால்,
x 4 + 5x 2 + 6 = (x 2 + 2)(x 2 + 3).
b) y = என்ற புதிய மாறியை அறிமுகப்படுத்துவோம். y மாறியைப் பொறுத்து கொடுக்கப்பட்ட வெளிப்பாட்டை இருபடி முக்கோண வடிவில், அதாவது 2y 2 + y - 3 வடிவத்தில் மீண்டும் எழுத இது உங்களை அனுமதிக்கும். சமன்பாட்டைத் தீர்த்து
2y 2 + y - 3 = 0, சதுர முக்கோணத்தின் வேர்களைக் கண்டறியவும் 2y 2 + y - 3:
y 1 = 1, y 2 = . அடுத்து, தேற்றம் 2 ஐப் பயன்படுத்தி, நாம் பெறுகிறோம்:

y = என்பதை நினைவில் கொள்ள வேண்டும், அதாவது கொடுக்கப்பட்ட வெளிப்பாட்டிற்கு திரும்பவும். அதனால்,

பிரிவின் முடிவில் - சில பகுத்தறிவு, மீண்டும் வியட்டாவின் தேற்றத்துடன் தொடர்புடையது, அல்லது மாறாக, உரையாடல் அறிக்கையுடன்:
x 1, x 2 எண்கள் x 1 + x 2 = - p, x 1 x 2 = q என இருந்தால், இந்த எண்கள் சமன்பாட்டின் வேர்கள்
இந்த அறிக்கையைப் பயன்படுத்தி, சிக்கலான வேர் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தாமல், நீங்கள் பல இருபடி சமன்பாடுகளை வாய்வழியாக தீர்க்கலாம், மேலும் கொடுக்கப்பட்ட வேர்களுடன் இருபடி சமன்பாடுகளையும் உருவாக்கலாம். எடுத்துக்காட்டுகளைத் தருவோம்.

1) x 2 - 11x + 24 = 0. இங்கே x 1 + x 2 = 11, x 1 x 2 = 24. x 1 = 8, x 2 = 3 என்று யூகிப்பது எளிது.

2) x 2 + 11x + 30 = 0. இங்கே x 1 + x 2 = -11, x 1 x 2 = 30. x 1 = -5, x 2 = -6 என்று யூகிக்க எளிதானது.
சமன்பாட்டின் போலி சொல் நேர்மறை எண்ணாக இருந்தால், இரண்டு வேர்களும் நேர்மறை அல்லது எதிர்மறையாக இருக்கும் என்பதை நினைவில் கொள்க; வேர்களைத் தேர்ந்தெடுக்கும்போது இதைக் கருத்தில் கொள்வது அவசியம்.

3) x 2 + x - 12 = 0. இங்கே x 1 + x 2 = -1, x 1 x 2 = -12. x 1 = 3, x2 = -4 என்று யூகிக்க எளிதானது.
தயவுசெய்து கவனிக்கவும்: சமன்பாட்டின் இலவச சொல் எதிர்மறை எண்ணாக இருந்தால், வேர்கள் வெவ்வேறு அறிகுறிகளைக் கொண்டுள்ளன; வேர்களைத் தேர்ந்தெடுக்கும்போது இதைக் கருத்தில் கொள்வது அவசியம்.

4) 5x 2 + 17x - 22 = 0. சமன்பாட்டை x = 1 திருப்திப்படுத்துவதைப் பார்ப்பது எளிது, அதாவது. x 1 = 1 என்பது சமன்பாட்டின் வேர். x 1 x 2 = -, மற்றும் x 1 = 1 என்பதால், x 2 = - என்று பெறுகிறோம்.

5) x 2 - 293x + 2830 = 0. இங்கே x 1 + x 2 = 293, x 1 x 2 = 2830. நீங்கள் கவனம் செலுத்தினால் 2830 = 283. 10, மற்றும் 293 = 283 + 10, பின்னர் x 1 = 283, x 2 = 10 என்பது தெளிவாகிறது (இப்போது நிலையான சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி இந்த இருபடி சமன்பாட்டைத் தீர்க்க என்ன கணக்கீடுகள் செய்யப்பட வேண்டும் என்று கற்பனை செய்து பாருங்கள்).

6) ஒரு இருபடி சமன்பாட்டை உருவாக்குவோம், அதன் வேர்கள் எண்கள் x 1 = 8, x 2 = - 4. பொதுவாக இதுபோன்ற சமயங்களில் நாம் குறைக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாட்டை x 2 + px + q = 0 ஐ உருவாக்குகிறோம்.
எங்களிடம் x 1 + x 2 = -p உள்ளது, எனவே 8 - 4 = -p, அதாவது p = -4. அடுத்து, x 1 x 2 = q, அதாவது. 8 «(-4) = q, எங்கிருந்து q = -32 கிடைக்கும். எனவே, p = -4, q = -32, அதாவது தேவையான இருபடி சமன்பாடு x 2 -4x-32 = 0 வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது.

எந்த முழு இருபடி சமன்பாடு கோடாரி 2 + bx + c = 0மனதில் கொண்டு வர முடியும் x 2 + (b/a)x + (c/a) = 0, நீங்கள் முதலில் ஒவ்வொரு சொல்லையும் ஒரு முன் குணகத்தால் வகுத்தால் x 2. நாம் புதிய குறியீடுகளை அறிமுகப்படுத்தினால் (b/a) = pமற்றும் (c/a) = q, பிறகு சமன்பாடு இருக்கும் x 2 + px + q = 0, இது கணிதத்தில் அழைக்கப்படுகிறது இருபடி சமன்பாடு கொடுக்கப்பட்டது.

குறைக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாடு மற்றும் குணகங்களின் வேர்கள் பமற்றும் கேஒன்றோடொன்று இணைக்கப்பட்டுள்ளது. அது உறுதியானது வியட்டாவின் தேற்றம், 16 ஆம் நூற்றாண்டின் இறுதியில் வாழ்ந்த பிரெஞ்சு கணிதவியலாளர் ஃபிராங்கோயிஸ் வியட்டாவின் பெயரால் பெயரிடப்பட்டது.

தேற்றம். குறைக்கப்பட்ட இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களின் கூட்டுத்தொகை x 2 + px + q = 0இரண்டாவது குணகத்திற்கு சமம் ப, எதிர் அடையாளத்துடன் எடுக்கப்பட்டது, மற்றும் வேர்களின் தயாரிப்பு - இலவச காலத்திற்கு கே.

இந்த உறவுகளை பின்வரும் வடிவத்தில் எழுதுவோம்:

விடுங்கள் x 1மற்றும் x 2கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டின் வெவ்வேறு வேர்கள் x 2 + px + q = 0. வியட்டாவின் தேற்றத்தின்படி x 1 + x 2 = -pமற்றும் x 1 x 2 = q.

இதை நிரூபிக்க, x 1 மற்றும் x 2 ஆகிய ஒவ்வொரு வேர்களையும் சமன்பாட்டில் மாற்றுவோம். நாம் இரண்டு உண்மையான சமத்துவங்களைப் பெறுகிறோம்:

x 1 2 + px 1 + q = 0

x 2 2 + px 2 + q = 0

முதல் சமத்துவத்திலிருந்து இரண்டாவதாக கழிப்போம். நாங்கள் பெறுகிறோம்:

x 1 2 – x 2 2 + p(x 1 – x 2) = 0

சதுர சூத்திரத்தின் வேறுபாட்டைப் பயன்படுத்தி முதல் இரண்டு சொற்களை விரிவுபடுத்துகிறோம்:

(x 1 – x 2)(x 1 – x 2) + p(x 1 – x 2) = 0

நிபந்தனையின்படி, வேர்கள் x 1 மற்றும் x 2 வேறுபட்டவை. எனவே, சமத்துவத்தை (x 1 – x 2) ≠ 0 ஆகவும் எக்ஸ்பிரஸ் p ஆகவும் குறைக்கலாம்.

(x 1 + x 2) + p = 0;

(x 1 + x 2) = -p.

முதல் சமத்துவம் நிரூபிக்கப்பட்டுள்ளது.

இரண்டாவது சமத்துவத்தை நிரூபிக்க, முதல் சமன்பாட்டில் மாற்றுவோம்

x 1 2 + px 1 + q = 0 குணகம் p க்கு பதிலாக, சம எண் (x 1 + x 2):

x 1 2 – (x 1 + x 2) x 1 + q = 0

சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தை மாற்றுவதன் மூலம், நாம் பெறுகிறோம்:

x 1 2 – x 2 2 – x 1 x 2 + q = 0;

x 1 x 2 = q, இது நிரூபிக்கப்பட வேண்டும்.

வியட்டாவின் தேற்றம் நன்றாக இருப்பதால் ஒரு இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்கள் தெரியாமல் கூட, அவற்றின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் உற்பத்தியைக் கணக்கிடலாம் .

கொடுக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாட்டின் முழு எண் வேர்களைத் தீர்மானிக்க வியட்டாவின் தேற்றம் உதவுகிறது. ஆனால் பல மாணவர்களுக்கு இது ஒரு தெளிவான வழிமுறையை அறியாததால் சிரமங்களை ஏற்படுத்துகிறது, குறிப்பாக சமன்பாட்டின் வேர்கள் வெவ்வேறு அறிகுறிகளைக் கொண்டிருந்தால்.

எனவே, மேலே உள்ள இருபடிச் சமன்பாடு x 2 + px + q = 0 வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளது, இங்கு x 1 மற்றும் x 2 ஆகியவை அதன் வேர்களாகும். வியட்டாவின் தேற்றத்தின்படி, x 1 + x 2 = -p மற்றும் x 1 x 2 = q.

பின்வரும் முடிவை எடுக்க முடியும்.

சமன்பாட்டின் கடைசி சொல் ஒரு கழித்தல் குறிக்கு முன்னால் இருந்தால், x 1 மற்றும் x 2 வேர்கள் வெவ்வேறு அடையாளங்களைக் கொண்டுள்ளன. கூடுதலாக, சிறிய மூலத்தின் அடையாளம் சமன்பாட்டில் இரண்டாவது குணகத்தின் அடையாளத்துடன் ஒத்துப்போகிறது.

வெவ்வேறு அறிகுறிகளுடன் எண்களைச் சேர்க்கும்போது, ​​அவற்றின் மாடுலிகள் கழிக்கப்படுகின்றன, இதன் விளைவாக பெரிய மாடுலோ எண்ணின் அடையாளத்திற்கு முன்னால், நீங்கள் பின்வருமாறு தொடர வேண்டும்:

1. எண் q இன் காரணிகளைத் தீர்மானிக்கவும், அவற்றின் வேறுபாடு p எண்ணுக்கு சமமாக இருக்கும்;
2. சமன்பாட்டின் இரண்டாவது குணகத்தின் அடையாளத்தை பெறப்பட்ட எண்களில் சிறியவற்றுக்கு முன்னால் வைக்கவும்; இரண்டாவது ரூட் எதிர் அடையாளம் கொண்டிருக்கும்.

சில உதாரணங்களைப் பார்ப்போம்.

எடுத்துக்காட்டு 1.

x 2 – 2x – 15 = 0 சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்.

தீர்வு.

மேலே முன்மொழியப்பட்ட விதிகளைப் பயன்படுத்தி இந்த சமன்பாட்டைத் தீர்க்க முயற்சிப்போம். இந்த சமன்பாடு இரண்டு வெவ்வேறு வேர்களைக் கொண்டிருக்கும் என்று நாம் உறுதியாகச் சொல்லலாம், ஏனென்றால் D = b 2 – 4ac = 4 – 4 · (-15) = 64 > 0.

இப்போது, ​​எண் 15 (1 மற்றும் 15, 3 மற்றும் 5) அனைத்து காரணிகளிலிருந்தும், 2 வேறுபாடு உள்ளவர்களைத் தேர்ந்தெடுக்கிறோம். இவை எண்கள் 3 மற்றும் 5 ஆக இருக்கும். சிறிய எண்ணுக்கு முன்னால் ஒரு கழித்தல் அடையாளத்தை வைக்கிறோம், அதாவது. சமன்பாட்டின் இரண்டாவது குணகத்தின் அடையாளம். இவ்வாறு, x 1 = -3 மற்றும் x 2 = 5 சமன்பாட்டின் வேர்களைப் பெறுகிறோம்.

பதில். x 1 = -3 மற்றும் x 2 = 5.

எடுத்துக்காட்டு 2.

x 2 + 5x – 6 = 0 சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்.

தீர்வு.

இந்த சமன்பாட்டிற்கு வேர்கள் உள்ளதா என்று பார்க்கலாம். இதைச் செய்ய, நாங்கள் ஒரு பாகுபாட்டைக் காண்கிறோம்:

D = b 2 – 4ac = 25 + 24 = 49 > 0. சமன்பாடு இரண்டு வெவ்வேறு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது.

எண் 6 இன் சாத்தியமான காரணிகள் 2 மற்றும் 3, 6 மற்றும் 1 ஆகும். 6 மற்றும் 1 ஜோடிக்கு வித்தியாசம் 5 ஆகும். இந்த எடுத்துக்காட்டில், இரண்டாவது காலத்தின் குணகம் ஒரு கூட்டல் குறியைக் கொண்டுள்ளது, எனவே சிறிய எண்ணில் அதே குறி இருக்கும். . ஆனால் இரண்டாவது எண்ணுக்கு முன் ஒரு மைனஸ் அடையாளம் இருக்கும்.

பதில்: x 1 = -6 மற்றும் x 2 = 1.

வியட்டாவின் தேற்றத்தை ஒரு முழுமையான இருபடிச் சமன்பாட்டிற்கும் எழுதலாம். எனவே, இருபடி சமன்பாடு என்றால் கோடாரி 2 + bx + c = 0 x 1 மற்றும் x 2 வேர்களைக் கொண்டுள்ளது, பின்னர் அவற்றுக்கான சமத்துவங்கள் உள்ளன

x 1 + x 2 = -(b/a)மற்றும் x 1 x 2 = (c/a). இருப்பினும், இந்த தேற்றத்தை ஒரு முழுமையான இருபடி சமன்பாட்டில் பயன்படுத்துவது மிகவும் சிக்கலானது, ஏனெனில் வேர்கள் இருந்தால், அவற்றில் குறைந்தபட்சம் ஒரு பகுதி எண். பின்னங்களைத் தேர்ந்தெடுப்பதில் வேலை செய்வது மிகவும் கடினம். ஆனால் இன்னும் ஒரு வழி இருக்கிறது.

கோடாரி 2 + bx + c = 0 முழு இருபடிச் சமன்பாட்டைக் கவனியுங்கள். அதன் இடது மற்றும் வலது பக்கங்களை குணகம் a மூலம் பெருக்கவும். சமன்பாடு (ax) 2 + b(ax) + ac = 0 வடிவத்தை எடுக்கும். இப்போது ஒரு புதிய மாறியை அறிமுகப்படுத்துவோம், எடுத்துக்காட்டாக t = ax.

இந்த வழக்கில், விளைவான சமன்பாடு t 2 + bt + ac = 0 வடிவத்தின் குறைக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாடாக மாறும், இதன் வேர்கள் t 1 மற்றும் t 2 (ஏதேனும் இருந்தால்) வியட்டாவின் தேற்றத்தால் தீர்மானிக்கப்படும்.

இந்த வழக்கில், அசல் இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்கள் இருக்கும்

x 1 = (t 1 / a) மற்றும் x 2 = (t 2 / a).

எடுத்துக்காட்டு 3.

15x 2 – 11x + 2 = 0 சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்.

தீர்வு.

ஒரு துணை சமன்பாட்டை உருவாக்குவோம். சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு காலத்தையும் 15 ஆல் பெருக்குவோம்:

15 2 x 2 – 11 15x + 15 2 = 0.

நாங்கள் மாற்றாக t = 15x செய்கிறோம். எங்களிடம் உள்ளது:

t 2 – 11t + 30 = 0.

வியட்டாவின் தேற்றத்தின்படி, இந்த சமன்பாட்டின் வேர்கள் t 1 = 5 மற்றும் t 2 = 6 ஆக இருக்கும்.

நாங்கள் t = 15x க்கு திரும்புகிறோம்:

5 = 15x அல்லது 6 = 15x. எனவே x 1 = 5/15 மற்றும் x 2 = 6/15. நாங்கள் குறைத்து இறுதிப் பதிலைப் பெறுகிறோம்: x 1 = 1/3 மற்றும் x 2 = 2/5.

பதில். x 1 = 1/3 மற்றும் x 2 = 2/5.

வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதில் தேர்ச்சி பெற, மாணவர்கள் முடிந்தவரை பயிற்சி செய்ய வேண்டும். இதுவே வெற்றியின் ரகசியம்.

இணையதளத்தில், உள்ளடக்கத்தை முழுமையாகவோ அல்லது பகுதியாகவோ நகலெடுக்கும்போது, ​​மூலத்திற்கான இணைப்பு தேவை.

2.5 உயர் பட்டங்களின் பல்லுறுப்புக்கோவைகளுக்கான (சமன்பாடுகள்) வியட்டா சூத்திரம்

இருபடிச் சமன்பாடுகளுக்கு Viète ஆல் பெறப்பட்ட சூத்திரங்கள் உயர் டிகிரிகளின் பல்லுறுப்புக்கோவைகளுக்கும் உண்மையாக இருக்கும்.

பல்லுறுப்புக்கோவையை விடுங்கள்

P(x) = a 0 x n + a 1 x n -1 + … +a n

n வெவ்வேறு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது x 1, x 2..., x n.

இந்த வழக்கில், இது படிவத்தின் காரணியாக்கத்தைக் கொண்டுள்ளது:

a 0 x n + a 1 x n-1 +…+ a n = a 0 (x – x 1)(x – x 2)…(x – x n)

இந்த சமத்துவத்தின் இரு பக்கங்களையும் 0 ≠ 0 ஆல் பிரித்து முதல் பகுதியில் அடைப்புக்குறிகளைத் திறப்போம். நாம் சமத்துவத்தைப் பெறுகிறோம்:

x n + ()x n -1 + … + () = x n – (x 1 + x 2 + ... + x n) x n -1 + (x 1 x 2 + x 2 x 3 + ... + x n -1 x n)x n - 2 + … +(-1) n x 1 x 2 … x n

ஆனால் ஒரே சக்திகளின் குணகங்கள் சமமாக இருந்தால் மட்டுமே இரண்டு பல்லுறுப்புக்கோவைகள் சமமாக இருக்கும். அதைத் தொடர்ந்து சமத்துவம்

x 1 + x 2 + ... + x n = -

x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n -1 x n =

x 1 x 2 … x n = (-1) n

எடுத்துக்காட்டாக, மூன்றாம் பட்டத்தின் பல்லுறுப்புக்கோவைகளுக்கு

a 0 x³ + a 1 x² + a 2 x + a 3

எங்களுக்கு அடையாளங்கள் உள்ளன

x 1 + x 2 + x 3 = -

x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 =

x 1 x 2 x 3 = -

இருபடி சமன்பாடுகளைப் போலவே, இந்த சூத்திரம் வியட்டாவின் சூத்திரம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. இந்த சூத்திரங்களின் இடது பக்கங்கள் இந்த சமன்பாட்டின் x 1, x 2 ..., x n வேர்களிலிருந்து சமச்சீர் பல்லுறுப்புக்கோவைகளாகும், மேலும் வலது பக்கங்கள் பல்லுறுப்புக்கோவையின் குணகம் மூலம் வெளிப்படுத்தப்படுகின்றன.

2.6 சமன்பாடுகள் இருபடி (இருகோடி)

நான்காவது பட்டத்தின் சமன்பாடுகள் இருபடி சமன்பாடுகளாக குறைக்கப்படுகின்றன:

கோடாரி 4 + bx 2 + c = 0,

இருகோடி என்று அழைக்கப்படுகிறது, மற்றும் ஒரு ≠ 0.

இந்த சமன்பாட்டில் x 2 = y ஐ வைத்தால் போதும்.

ay² + by + c = 0

இதன் விளைவாக வரும் இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டுபிடிப்போம்

y 1,2 =

x 1, x 2, x 3, x 4 என்ற வேர்களை உடனடியாகக் கண்டுபிடிக்க, y ஐ x ஆல் மாற்றவும் மற்றும் பெறவும்

x² =

x 1,2,3,4 = .

நான்காவது டிகிரி சமன்பாட்டில் x 1 இருந்தால், அது ரூட் x 2 = -x 1,

x 3 இருந்தால், x 4 = - x 3. அத்தகைய சமன்பாட்டின் வேர்களின் கூட்டுத்தொகை பூஜ்ஜியமாகும்.

2x 4 - 9x² + 4 = 0

இருபடி சமன்பாடுகளின் வேர்களுக்கான சூத்திரத்தில் சமன்பாட்டை மாற்றுவோம்:

x 1,2,3,4 = ,

x 1 = -x 2, மற்றும் x 3 = -x 4 என்பதை அறிந்து, பின்:

x 3.4 =

பதில்: x 1.2 = ± 2; x 1.2 =

2.7 இருபடி சமன்பாடுகளின் ஆய்வு

இருவகைச் சமன்பாட்டை எடுத்துக் கொள்வோம்

கோடாரி 4 + bx 2 + c = 0,

இதில் a, b, c ஆகியவை உண்மையான எண்கள் மற்றும் a > 0. துணை அறியப்படாத y = x² ஐ அறிமுகப்படுத்துவதன் மூலம், இந்த சமன்பாட்டின் வேர்களை ஆராய்ந்து முடிவுகளை அட்டவணையில் உள்ளிடுவோம் (பின் இணைப்பு எண் 1 ஐப் பார்க்கவும்)

2.8 கார்டானோ சூத்திரம்

நாம் நவீன குறியீட்டைப் பயன்படுத்தினால், கார்டானோ சூத்திரத்தின் வழித்தோன்றல் இப்படி இருக்கும்:

x =

இந்த சூத்திரம் பொதுவான மூன்றாம் நிலை சமன்பாட்டின் வேர்களை தீர்மானிக்கிறது:

கோடாரி 3 + 3bx 2 + 3cx + d = 0.

இந்த சூத்திரம் மிகவும் சிக்கலானது மற்றும் சிக்கலானது (இது பல சிக்கலான தீவிரவாதிகளைக் கொண்டுள்ளது). இது எப்போதும் பொருந்தாது, ஏனென்றால்... நிரப்ப மிகவும் கடினம்.

F ¢(xо) = 0, >0 (<0), то точка xоявляется точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же =0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные. На отрезке функция y = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка . Пример 3.22. Найти экстремумы функции f(x) ...

2-3 உரைகளிலிருந்து மிகவும் சுவாரஸ்யமான இடங்களைப் பட்டியலிடுங்கள் அல்லது தேர்ந்தெடுக்கவும். எனவே, தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட படிப்புகளை உருவாக்குவதற்கும் நடத்துவதற்கும் பொதுவான விதிகளை நாங்கள் ஆய்வு செய்துள்ளோம், இது 9 ஆம் வகுப்புக்கான இயற்கணிதத்தில் தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட பாடத்தை உருவாக்கும் போது கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளப்படும் "அளவுருவுடன் இருபடி சமன்பாடுகள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகள்." அத்தியாயம் II. "ஒரு அளவுருவுடன் இருபடி சமன்பாடுகள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகள்" என்ற தேர்வு பாடத்தை நடத்துவதற்கான வழிமுறை 1.1. பொதுவானவை...

எண் கணக்கீட்டு முறைகளிலிருந்து தீர்வுகள். ஒரு சமன்பாட்டின் வேர்களைத் தீர்மானிக்க, ஏபெல், கலோயிஸ், லை, முதலிய குழுக்களின் கோட்பாடுகளின் அறிவு மற்றும் சிறப்பு கணித சொற்களைப் பயன்படுத்துதல்: மோதிரங்கள், புலங்கள், இலட்சியங்கள், ஐசோமார்பிஸங்கள் போன்றவை தேவையில்லை. n வது பட்டத்தின் இயற்கணித சமன்பாட்டைத் தீர்க்க, இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும் திறன் மற்றும் சிக்கலான எண்ணிலிருந்து வேர்களைப் பிரித்தெடுக்கும் திறன் மட்டுமே உங்களுக்குத் தேவை. வேர்களை தீர்மானிக்க முடியும் ...

MathCAD அமைப்பில் உடல் அளவுகளை அளவிடுவதற்கான அலகுகளுடன்? 11. உரை, வரைகலை மற்றும் கணிதத் தொகுதிகளை விரிவாக விவரிக்கவும். விரிவுரை எண் 2. நேரியல் இயற்கணிதம் சிக்கல்கள் மற்றும் MathCAD சூழலில் வேறுபட்ட சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது நேரியல் இயற்கணிதம் சிக்கல்களில், மெட்ரிக்குகளுடன் பல்வேறு செயல்பாடுகளைச் செய்ய வேண்டிய அவசியம் எப்போதும் இருக்கும். மெட்ரிக்குகள் கொண்ட ஆபரேட்டர் பேனல் கணித பேனலில் அமைந்துள்ளது. ...

வியட்டாவின் தேற்றம் (இன்னும் துல்லியமாக, வியட்டாவின் தேற்றத்திற்கு நேர்மாறான தேற்றம்) இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான நேரத்தைக் குறைக்க உங்களை அனுமதிக்கிறது. அதை எப்படி பயன்படுத்துவது என்பதை நீங்கள் தெரிந்து கொள்ள வேண்டும். வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி இருபடிச் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க கற்றுக்கொள்வது எப்படி? கொஞ்சம் யோசித்தால் சிரமம் இல்லை.

இப்போது நாம் வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி குறைக்கப்பட்ட இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது பற்றி மட்டுமே பேசுவோம். வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி வழங்கப்படாத இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கவும் முடியும், ஆனால் குறைந்தபட்சம் ஒரு வேர் முழு எண் அல்ல. அவர்கள் யூகிக்க கடினமாக உள்ளது.

வியட்டாவின் தேற்றத்தின் தலைகீழ் தேற்றம் கூறுகிறது: எண்கள் x1 மற்றும் x2 என்றால்

பின்னர் x1 மற்றும் x2 இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்கள்

வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும்போது, ​​4 விருப்பங்கள் மட்டுமே சாத்தியமாகும். பகுத்தறிவு வரியை நீங்கள் நினைவில் வைத்திருந்தால், முழு வேர்களையும் மிக விரைவாக கண்டுபிடிக்க கற்றுக்கொள்ளலாம்.

I. q என்பது நேர்மறை எண்ணாக இருந்தால்,

இதன் பொருள் x1 மற்றும் x2 ஆகிய வேர்கள் ஒரே அடையாளத்தின் எண்கள் (ஒரே அடையாளங்களைக் கொண்ட எண்களைப் பெருக்கினால் மட்டுமே நேர்மறை எண் கிடைக்கும்).

ஐ.ஏ. -p என்பது நேர்மறை எண்ணாக இருந்தால், (முறையே, ப<0), то оба корня x1 и x2 — положительные числа (поскольку складывали числа одного знака и получили положительное число).

ஐ.பி. -p என்பது எதிர்மறை எண்ணாக இருந்தால், (முறையே, p>0), பின்னர் இரண்டு வேர்களும் எதிர்மறை எண்கள் (நாங்கள் ஒரே அடையாளத்தின் எண்களைச் சேர்த்தோம் மற்றும் எதிர்மறை எண்ணைப் பெற்றோம்).

II. q என்பது எதிர்மறை எண்ணாக இருந்தால்,

இதன் பொருள் x1 மற்றும் x2 வேர்கள் வெவ்வேறு அறிகுறிகளைக் கொண்டுள்ளன (எண்களைப் பெருக்கும் போது, ​​காரணிகளின் அறிகுறிகள் வேறுபட்டால் மட்டுமே எதிர்மறை எண் பெறப்படுகிறது). இந்த வழக்கில், x1+x2 இனி ஒரு தொகை அல்ல, ஆனால் ஒரு வித்தியாசம் (எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, வெவ்வேறு அடையாளங்களுடன் எண்களைச் சேர்க்கும்போது, ​​முழுமையான மதிப்பில் பெரியதிலிருந்து சிறியதைக் கழிக்கிறோம்). எனவே, x1+x2 வேர்கள் x1 மற்றும் x2 எவ்வளவு வேறுபடுகின்றன, அதாவது ஒரு ரூட் மற்றதை விட எவ்வளவு பெரியது (முழுமையான மதிப்பில்).

II.a -p என்பது நேர்மறை எண்ணாக இருந்தால், (அதாவது, ப<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.

II.b. -p என்பது எதிர்மறை எண்ணாக இருந்தால், (p>0), பிறகு பெரிய (மாடுலோ) ரூட் என்பது எதிர்மறை எண்ணாகும்.

எடுத்துக்காட்டுகளைப் பயன்படுத்தி வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி கொடுக்கப்பட்ட இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்:

இங்கே q=12>0, எனவே x1 மற்றும் x2 வேர்கள் ஒரே அடையாளத்தின் எண்கள். அவற்றின் கூட்டுத்தொகை -p=7>0, எனவே இரண்டு வேர்களும் நேர்மறை எண்கள். 12 க்கு சமமான முழு எண்களை நாங்கள் தேர்ந்தெடுக்கிறோம். இவை 1 மற்றும் 12, 2 மற்றும் 6, 3 மற்றும் 4 ஆகும். 3 மற்றும் 4 ஜோடிக்கான கூட்டுத்தொகை 7 ஆகும். இதன் பொருள் 3 மற்றும் 4 சமன்பாட்டின் வேர்கள்.

இந்த எடுத்துக்காட்டில், q=16>0, அதாவது x1 மற்றும் x2 ஆகிய வேர்கள் ஒரே அடையாளத்தின் எண்கள். அவற்றின் கூட்டுத்தொகை -p=-10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.

இங்கே q=-15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0, பின்னர் பெரிய எண் நேர்மறை. எனவே வேர்கள் 5 மற்றும் -3 ஆகும்.

q=-36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.