இரண்டு அறியப்படாத சமன்பாடுகளுடன் கூடிய நேரியல் அல்லாத சமன்பாடுகள்

வரையறை 1. A சிலவாக இருக்கட்டும் ஜோடி எண்களின் தொகுப்பு (எக்ஸ்; ஒய்) . செட் A கொடுக்கப்பட்டதாக சொல்கிறார்கள் எண் செயல்பாடு z இரண்டு மாறிகள் இருந்து x மற்றும் y , ஒரு விதியின் உதவியுடன் குறிப்பிடப்பட்டால், A தொகுப்பிலிருந்து ஒவ்வொரு ஜோடி எண்களும் ஒரு குறிப்பிட்ட எண்ணுடன் தொடர்புடையதாக இருக்கும்.

x மற்றும் y ஆகிய இரண்டு மாறிகளின் எண் சார்பு z ஐக் குறிப்பிடுவது பெரும்பாலும் குறிக்கின்றனஅதனால்:

எங்கே f (எக்ஸ் , ஒய்) - ஒரு செயல்பாடு தவிர வேறு எந்த செயல்பாடு

f (எக்ஸ் , ஒய்) = கோடாரி+மூலம்+சி ,

இதில் a, b, c எண்கள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன.

வரையறை 3. சமன்பாடு தீர்க்கும் (2)ஒரு ஜோடி எண்களை அழைக்கவும் ( எக்ஸ்; ஒய்), எந்த சூத்திரம் (2) ஒரு உண்மையான சமத்துவம்.

எடுத்துக்காட்டு 1. சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்

எந்த எண்ணின் வர்க்கமும் எதிர்மறையாக இல்லாததால், சூத்திரம் (4) இல் இருந்து அறியப்படாத x மற்றும் y சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் திருப்திப்படுத்துகிறது.

ஒரு ஜோடி எண்களின் தீர்வு (6; 3).

பதில்: (6; 3)

எடுத்துக்காட்டு 2. சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்

எனவே, சமன்பாட்டிற்கான தீர்வு (6) ஆகும் எண்ணற்ற ஜோடி எண்கள்கருணை

(1 + ஒய் ; ஒய்) ,

y என்பது எந்த எண்.

நேரியல்

வரையறை 4. சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்ப்பது

ஒரு ஜோடி எண்களை அழைக்கவும் ( எக்ஸ்; ஒய்), இந்த அமைப்பின் ஒவ்வொரு சமன்பாடுகளிலும் அவற்றை மாற்றும் போது, ​​சரியான சமத்துவம் பெறப்படுகிறது.

இரண்டு சமன்பாடுகளின் அமைப்புகள், அவற்றில் ஒன்று நேரியல், வடிவம் கொண்டது

g(எக்ஸ் , ஒய்)

எடுத்துக்காட்டு 4. சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்கவும்

தீர்வு . அறியப்படாத y ஐ கணினியின் முதல் சமன்பாட்டிலிருந்து (7) தெரியாத x மூலம் வெளிப்படுத்துவோம் மற்றும் அதன் விளைவாக வரும் வெளிப்பாட்டை கணினியின் இரண்டாவது சமன்பாட்டில் மாற்றுவோம்:

சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பது

எக்ஸ் 1 = - 1 , எக்ஸ் 2 = 9 .

எனவே,

ஒய் 1 = 8 - எக்ஸ் 1 = 9 ,
ஒய் 2 = 8 - எக்ஸ் 2 = - 1 .

இரண்டு சமன்பாடுகளின் அமைப்புகள், அவற்றில் ஒன்று ஒரே மாதிரியானது

இரண்டு சமன்பாடுகளின் அமைப்புகள், அவற்றில் ஒன்று ஒரே மாதிரியானது, வடிவம் கொண்டது

இதில் a, b, c எண்கள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன, மற்றும் g(எக்ஸ் , ஒய்) - x மற்றும் y ஆகிய இரண்டு மாறிகளின் செயல்பாடு.

எடுத்துக்காட்டு 6. சமன்பாடுகளின் அமைப்பைத் தீர்க்கவும்

தீர்வு . ஒரே மாதிரியான சமன்பாட்டைத் தீர்ப்போம்

3எக்ஸ் 2 + 2xy - ஒய் 2 = 0 ,

3எக்ஸ் 2 + 17xy + 10ஒய் 2 = 0 ,

அறியப்படாத x ஐப் பொறுத்து இருபடிச் சமன்பாடு எனக் கருதுதல்:

.

ஒரு வேளை எக்ஸ் = - 5ஒய், அமைப்பின் இரண்டாவது சமன்பாட்டிலிருந்து (11) நாம் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்

5ஒய் 2 = - 20 ,

வேர்கள் இல்லாதது.

ஒரு வேளை

அமைப்பின் இரண்டாவது சமன்பாட்டிலிருந்து (11) நாம் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம்

,

அதன் வேர்கள் எண்கள் ஒய் 1 = 3 , ஒய் 2 = - 3 . இந்த ஒவ்வொரு மதிப்புக்கும் y தொடர்புடைய மதிப்பு x ஐக் கண்டறிந்து, கணினிக்கு இரண்டு தீர்வுகளைப் பெறுகிறோம்: (- 2 ; 3) , (2 ; - 3) .

பதில்: (- 2 ; 3), (2 ; - 3)

மற்ற வகைகளின் சமன்பாடுகளின் தீர்வு அமைப்புகளின் எடுத்துக்காட்டுகள்

எடுத்துக்காட்டு 8. சமன்பாடுகளின் அமைப்பை (எம்ஐபிடி) தீர்க்கவும்

தீர்வு . புதிய அறியப்படாத u மற்றும் v ஐ அறிமுகப்படுத்துவோம், அவை சூத்திரங்களின்படி x மற்றும் y மூலம் வெளிப்படுத்தப்படுகின்றன:

புதிய தெரியாதவைகளின் அடிப்படையில் கணினியை (12) மீண்டும் எழுத, முதலில் u மற்றும் v அடிப்படையில் தெரியாத x மற்றும் y ஐ வெளிப்படுத்துகிறோம். அமைப்பிலிருந்து (13) அது பின்வருமாறு

இந்த அமைப்பின் இரண்டாவது சமன்பாட்டில் இருந்து மாறி x ஐ நீக்குவதன் மூலம் நேரியல் அமைப்பை (14) தீர்க்கலாம். இந்த நோக்கத்திற்காக, கணினியில் பின்வரும் மாற்றங்களைச் செய்கிறோம் (14).

பிரச்சனை 12.

முழு எண்களில் தீர்க்கவும் 5x²+ 5y² + 8xy + 2y – 2y + 2 = 0.

தீர்வு.

காரணிமயமாக்கல் முறையைப் பயன்படுத்தி இந்த சமன்பாட்டை நீங்கள் தீர்க்க முயற்சித்தால், இது மிகவும் உழைப்பு மிகுந்த வேலை, எனவே இந்த சமன்பாட்டை மிகவும் நேர்த்தியான முறையால் தீர்க்க முடியும். என சமன்பாடு கருதுங்கள் சதுர உறவினர்ஓ x 5x²+(8y-2 )x+5y²+2y+2=0 , x1.2 = (1 – 4y ±√(1 – 4y)² - 5(5y² + 2y + 2))/5 = (1 – 4y ± √ -9(y + 1)²)/5.

பாகுபாடு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருக்கும்போது இந்த சமன்பாடு ஒரு தீர்வைக் கொண்டுள்ளது, அதாவது. –9(y + 1) = 0, இங்கிருந்து y = -1. என்றால் y = -1, அந்த x =1.

பதில்.

பிரச்சனை 13.

முழு எண்களில் தீர்க்கவும் 3(x² + xy + y²)= x + 8y

தீர்வு.

சமன்பாட்டை இருபடியாகக் கருதுங்கள் x 3x² + (3y - 1)x + 3y² - 8y = 0.சமன்பாட்டின் பாகுபாட்டைக் கண்டுபிடிப்போம் D = =(3у – 1)² - 4 * 3(3у² - 8у) = 9у² - 6у + 1 – 36у² + 96у = -27у² + 90у + 1.

கொடுக்கப்பட்டது சமன்பாடுகல்விக்கு வேர்கள் உண்டு என்றால்D³ 0, அதாவது –27у² + 90 у + 1³ 0

(-45 + √2052)/ (-27) £ y £ (-45 -√2052)/ (-27)(4)

ஏனெனில் y О Z, பின்னர் நிபந்தனை (4) மட்டுமே திருப்தி அடையும் 0, 1, 2, 3 . இந்த மதிப்புகள் மூலம், முழு எண்களில் உள்ள சமன்பாடு தீர்வுகளைக் கொண்டிருப்பதைக் காண்கிறோம் (0; 0) மற்றும் (1; 1) .

பதில்.

(0; 0) , (1; 1) .

பிரச்சனை 14.

சமன்பாட்டை தீர்க்கவும் 5x² - 2xy + 2y² - 2x – 2y + 1= 0.

தீர்வு.

இந்த சமன்பாட்டை இருபடியாகக் கருதுங்கள் எக்ஸ்பொறுத்து குணகங்களுடன் y, 5x² - 2(y + 1)x + 2y² – 2y + 1= 0.

பாகுபாடு காட்டுபவர்களின் கால் பகுதியைக் கண்டுபிடிப்போம் D/4=(y+1)²-5(2y²-2y+1)=-(3y-2)².

சமன்பாடு எப்போது மட்டுமே ஒரு தீர்வைக் கொண்டுள்ளது என்பதைப் பின்தொடர்கிறது -(3у – 2)² = 0, இது குறிக்கிறது y = ⅔,பின்னர் நாம் கண்டுபிடிக்கிறோம் x = ⅓.

பதில்.

(⅓; ⅔).

எச்ச முறை.

பிரச்சனை 15.

முழு எண்களில் தீர்க்கவும் 3ª = 1 + y²

தீர்வு.

என்பது தெளிவாகிறது (0; 0) - இந்த சமன்பாட்டின் தீர்வு. வேறு தீர்வுகள் இல்லை என்பதை நிரூபிப்போம்.

வழக்குகளை கருத்தில் கொள்வோம்:

1) x О N, y О N(5)

என்றால் x ஓ என், அந்த 3ªவகுக்க 3 ஒரு தடயமும் இல்லாமல், மற்றும் y² + 1பிரிக்கும் போது 3 மீதியை கொடுக்கிறது 1 , அல்லது 2 . எனவே, இயற்கை மதிப்புகளுக்கான சமத்துவம் (5). எக்ஸ்மற்றும் மணிக்குசாத்தியமற்றது.

2) என்றால் எக்ஸ்- எதிர்மறை முழு எண், y О Z,பிறகு 0<3ª<1, ஏ 1+y²³0மற்றும் சமத்துவம் (5) சாத்தியமற்றது. எனவே, (0; 0) மட்டுமே தீர்வு.

பதில்.

பிரச்சனை 16 .

சமன்பாடுகளின் அமைப்பு என்பதை நிரூபிக்கவும்

ì x² - y² = 7

î z² - 2y² = 1

முழு எண்களில் தீர்வுகள் இல்லை.

தீர்வு.

கணினி இயக்கப்பட்டது என்று வைத்துக் கொள்வோம். இரண்டாவது சமன்பாட்டில் இருந்து z²=2у+1,அதாவது z²-ஒற்றைப்படை எண் மற்றும் z- ஒற்றைப்படை அர்த்தம் z=2m+1. பிறகு y²+2m²+2m,பொருள் y² -இரட்டைப்படை எண் மணிக்கு- கூட, y = 2n, n О Z.

x²=8n³+7,அதாவது x² -ஒற்றைப்படை எண் மற்றும் எக்ஸ் -ஒற்றைப்படை எண், x=2k+1, k О Z.

மதிப்புகளை மாற்றுவோம் எக்ஸ்மற்றும் மணிக்குமுதல் சமன்பாட்டில், நாம் பெறுகிறோம் 2(k² + k - 2n³) = 3,இடது பக்கம் வகுக்கப்படுவதால் இது சாத்தியமற்றது 2 , ஆனால் சரியானது இல்லை.

இதன் பொருள் நமது அனுமானம் தவறானது, அதாவது. கணினிக்கு முழு எண்களில் தீர்வுகள் இல்லை.

எல்லையற்ற இறங்கு முறை.

எல்லையற்ற வம்சாவளியின் முறையின் மூலம் சமன்பாடுகளின் தீர்வு பின்வரும் திட்டத்தின் படி தொடர்கிறது: சமன்பாடு தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளது என்று கருதி, நாம் சில எல்லையற்ற செயல்முறையை உருவாக்குகிறோம், அதே நேரத்தில் சிக்கலின் அர்த்தத்தில் இந்த செயல்முறை எங்காவது முடிவடைய வேண்டும்.

பெரும்பாலும் எல்லையற்ற வம்சாவளி முறை எளிமையான வடிவத்தில் பயன்படுத்தப்படுகிறது. நாம் ஏற்கனவே இயற்கையான முடிவை அடைந்துவிட்டோம் என்று கருதி, நாம் "நிறுத்த" முடியாது என்று பார்க்கிறோம்.

பிரச்சனை 17.

முழு எண்களில் தீர்க்கவும் 29x + 13y + 56z = 17 (6)

தெரியாததை மீதமுள்ள தெரியாதவற்றின் அடிப்படையில் மிகச்சிறிய குணகத்துடன் வெளிப்படுத்துவோம்.

y=(17-29x-56z)/13=(1-2x-4z)+(4-3x-4z)/13(7)

குறிப்போம் (4-3x-4z)/13 = t1(8)

(7) இலிருந்து அது பின்வருமாறு t1முழு எண் மதிப்புகளை மட்டுமே எடுக்க முடியும். (8) இலிருந்து எங்களிடம் உள்ளது 13t1 + 3x + 4z = 14(9)

நாம் ஒரு புதிய டயோஃபான்டைன் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறோம், ஆனால் (6) ஐ விட சிறிய குணகங்களுடன். (9) அதே பரிசீலனைகளைப் பயன்படுத்துவோம்: x=(4-13t1-4z)/3= =(1-4t1-z) + (1-t1-z)/3

(1-t1-z)/3 = t2 , t2- முழுவதும், 3t2+t1+z = 1(10)

(10) இல் குணகம் z- அசல் சமன்பாட்டின் தெரியாதது சமம் 1 - இது "இறங்கும்" இறுதிப் புள்ளி. இப்போது நாம் தொடர்ந்து வெளிப்படுத்துகிறோம் z, எக்ஸ், ஒய்மூலம் t1மற்றும் t2.

ì z = -t1 – 3t2 + 1

í x = 1 – 4t1 + t1 + 3t2 = 1 +t2 = -t1 + 4t2

î y = 1 + 6t1 – 8t2 + 4t1 + 12t2 – 4 + t1= 11t1 + 4t2 - 3

அதனால், ì x = -3t1 + 4t2

í y = 11t1 + 4t2 - 3

î z = -t1 – 3t2 + 1

t1, t2- எந்த முழு எண்கள் - சமன்பாட்டிற்கான அனைத்து முழு எண் தீர்வுகள் (6)

பிரச்சனை 18.

முழு எண்களில் தீர்க்கவும் x³ - 3y³ - 9z³ = 0(11)

தீர்வு.

சமன்பாட்டின் இடது பக்கம் (11) எந்த மாற்றங்களுக்கும் ஏற்றதாக இல்லை என்பதைக் காணலாம். எனவே, முழு எண்களின் தன்மையை ஆராய்தல் x³=3(y³-z³).எண் x³பல 3 , அதாவது எண் எக்ஸ்பல 3 , அதாவது x = 3x1(12) (12) (11) ஆக மாற்றுவோம் 27х1³-3у³-9z³=0, 9x1³-y³-3z³=0(13)

y³=3(3x1³-z³).பிறகு y³பல 3 , அதாவது மணிக்குபல 3 , அதாவது y=3y1(14) (14) ஐ (13) ஆக மாற்றுவோம் 9х1³ -27у1³ - 3z³=0. இந்த சமன்பாட்டில் இருந்து அது பின்வருமாறு z³பல 3, எனவே zபல 3 , அதாவது z=3z1.

எனவே, சமன்பாட்டை திருப்திப்படுத்தும் எண்கள் (11) மூன்றின் பெருக்கங்கள் என்று மாறியது, மேலும் அவற்றை எத்தனை முறை வகுத்தாலும் பரவாயில்லை. 3 , மூன்றின் பெருக்கல் எண்களைப் பெறுகிறோம். மூன்றை திருப்திப்படுத்தும் ஒரே முழு எண். இந்த நிபந்தனையை பூர்த்தி செய்யும் ஒரே முழு எண் பூஜ்ஜியமாக இருக்கும், அதாவது இந்த சமன்பாட்டிற்கான தீர்வு (0; 0; 0)

முழு எண்களில் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது.

நிச்சயமற்ற சமன்பாடுகள் என்பது ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட அறியப்படாத சமன்பாடுகள் ஆகும். ஒரு உறுதியற்ற சமன்பாட்டிற்கான ஒரு தீர்வு மூலம், கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டை உண்மையான சமத்துவமாக மாற்றும் தெரியாதவற்றின் மதிப்புகளின் தொகுப்பைக் குறிக்கிறோம்.

படிவத்தின் சமன்பாட்டை முழு எண்களில் தீர்க்க ஆ + மூலம் = c , எங்கே ஏ, பி , c - பூஜ்ஜியத்தைத் தவிர முழு எண்கள், முடிவெடுக்கும் விதியை நிறுவ அனுமதிக்கும் பல கோட்பாட்டு விதிகளை நாங்கள் முன்வைக்கிறோம். இந்த விதிகள் வகுத்தல் கோட்பாட்டின் ஏற்கனவே அறியப்பட்ட உண்மைகளின் அடிப்படையிலும் உள்ளன.

தேற்றம் 1.ஜிசிடி என்றால் (ஏ, பி ) = ஈ , பின்னர் அத்தகைய முழு எண்கள் உள்ளன எக்ஸ்மற்றும் மணிக்கு, சமத்துவம் என்று ஆ + பி y = ஈ . (இந்த சமத்துவம் நேரியல் சேர்க்கை அல்லது எண்களின் அடிப்படையில் இரண்டு எண்களின் மிகப் பெரிய பொது வகுப்பின் நேரியல் பிரதிநிதித்துவம் என்று அழைக்கப்படுகிறது.)

இரண்டு எண்களின் மிகப் பெரிய பொது வகுப்பினைக் கண்டறிய யூக்ளிடியன் அல்காரிதத்தின் சமத்துவத்தைப் பயன்படுத்தி தேற்றத்தின் ஆதாரம் அமைந்துள்ளது (மிகப்பெரிய பொதுவான வகுப்பானது யூக்ளிடியன் அல்காரிதத்தின் கடைசி சமத்துவத்திலிருந்து தொடங்கி, பகுதி அளவுகள் மற்றும் எச்சங்களின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்தப்படுகிறது).

உதாரணமாக.

1232 மற்றும் 1672 எண்களின் மிகப் பெரிய பொதுவான வகுப்பியின் நேரியல் பிரதிநிதித்துவத்தைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு.

1. யூக்ளிடியன் அல்காரிதத்தின் சமத்துவங்களை உருவாக்குவோம்:

1672 = 1232 ∙1 + 440,

1232 = 440 ∙ 2 + 352,

440 = 352 ∙ 1 + 88,

352 = 88 ∙ 4, அதாவது. (1672.352) = 88.

2) முடிவில் இருந்து தொடங்கி மேலே பெறப்பட்ட சமத்துவங்களைப் பயன்படுத்தி, முழுமையடையாத பகுதிகள் மற்றும் எச்சங்கள் மூலம் 88 ஐ தொடர்ச்சியாக வெளிப்படுத்துவோம்:

88 = 440 - 352∙1 = (1672 - 1232) - (1232 - 1672∙2 + 1232∙2) = 1672∙ 3 - 1232∙4, அதாவது. 88 = 1672∙3 + 1232∙(-4).

தேற்றம் 2. சமன்பாடு என்றால் ஆ + பி y = 1 , ஜிசிடி என்றால் (ஏ, பி ) = 1 , எண்ணை கற்பனை செய்தால் போதும் 1 எண்களின் நேரியல் கலவையாக a மற்றும் பி.

இந்த தேற்றத்தின் செல்லுபடியானது தேற்றம் 1 இலிருந்து பின்பற்றப்படுகிறது. எனவே, சமன்பாட்டிற்கு ஒரு முழு எண் தீர்வைக் கண்டறிவதற்காக ஆ + பி y = 1, gcd (a, b) = 1 எனில், எண் 1ஐ நேர்கோட்டு எண்களாகக் குறிப்பிடுவது போதுமானது. ஏ மற்றும் வி .

உதாரணமாக.

15x + 37y = 1 சமன்பாட்டிற்கு முழு எண் தீர்வைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு.

1. 37 = 15 ∙ 2 + 7,

15 = 7 ∙ 2 + 1.

2. 1 = 15 - 7∙2 = 15 - (37 - 15∙2) ∙2 = 15∙5 + 37∙(-2),

தேற்றம் 3. Eq இல் இருந்தால். ஆ + பி y = c gcd(a, பி ) = ஈ >1 மற்றும் உடன்மூலம் வகுக்க முடியாது ஈ , பின்னர் சமன்பாட்டில் முழு எண் தீர்வுகள் இல்லை.

தேற்றத்தை நிரூபிக்க, அதற்கு நேர்மாறாக கருதினால் போதும்.

உதாரணமாக.

16x - 34y = 7 சமன்பாட்டிற்கு முழு எண் தீர்வைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு.

(16.34)=2; 7 ஐ 2 ஆல் வகுக்க முடியாது, சமன்பாட்டில் முழு எண் தீர்வுகள் இல்லை

தேற்றம் 4. Eq இல் இருந்தால். ஆ + பி y = c gcd(a, பி ) = ஈ >1 மற்றும் சி ஈ , பிறகு அது

தேற்றத்தை நிரூபிக்கும் போது, ​​முதல் சமன்பாட்டிற்கான தன்னிச்சையான முழு எண் தீர்வு இரண்டாவது சமன்பாட்டிற்கும் ஒரு தீர்வாகவும், நேர்மாறாகவும் காட்டப்பட வேண்டும்.

தேற்றம் 5. Eq இல் இருந்தால். ஆ + பி y = c gcd(a, பி ) = 1, இந்த சமன்பாட்டிற்கான அனைத்து முழு எண் தீர்வுகளும் சூத்திரங்களில் உள்ளன:

டி - எந்த முழு எண்.

தேற்றத்தை நிரூபிக்கும் போது, ​​முதலில், மேலே உள்ள சூத்திரங்கள் உண்மையில் இந்த சமன்பாட்டிற்கு தீர்வுகளை வழங்குகின்றன என்பதையும், இரண்டாவதாக, இந்த சமன்பாட்டிற்கான ஒரு தன்னிச்சையான முழு எண் தீர்வு மேலே உள்ள சூத்திரங்களில் உள்ளது என்பதையும் காட்ட வேண்டும்.

மேற்கூறிய தேற்றங்கள் முழு எண்களில் சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதற்கான பின்வரும் விதியை நிறுவ அனுமதிக்கின்றன ஆ+ பி y = c gcd(a, பி ) = 1:

1) சமன்பாட்டிற்கு ஒரு முழு எண் தீர்வு காணப்படுகிறது ஆ + பி y = 1 எண்களின் நேரியல் கலவையாக 1 ஐக் குறிக்கும் ஏ மற்றும்பி (இந்த சமன்பாட்டிற்கு முழு எண் தீர்வுகளைக் கண்டறிய வேறு வழிகள் உள்ளன, எடுத்துக்காட்டாக தொடர்ச்சியான பின்னங்களைப் பயன்படுத்துதல்);

கொடுக்கப்பட்ட முழு எண் தீர்வுகளுக்கான பொதுவான சூத்திரம்

கொடுப்பது டி சில முழு எண் மதிப்புகள், இந்த சமன்பாட்டிற்கு நீங்கள் பகுதி தீர்வுகளைப் பெறலாம்: முழுமையான மதிப்பில் சிறியது, சிறிய நேர்மறை (முடிந்தால்) போன்றவை.

உதாரணமாக.

சமன்பாட்டிற்கு முழு எண் தீர்வுகளைக் கண்டறியவும் 407x - 2816y = 33.

தீர்வு.

1. இந்த சமன்பாட்டை எளிதாக்குகிறோம், அதை 37x - 256y = 3 வடிவத்திற்கு கொண்டு வருகிறோம்.

2. சமன்பாட்டை 37x - 256y = 1 தீர்க்கவும்.

256 = 37∙ 6 + 34,

37 = 34 ∙1 + 3,

34 = 3 ∙11 + 1.

1 = 34 - 3∙11 = 256 - 37∙6 - 11 (37 – 256 + 37∙6) = 256∙12 - 37∙83 =

37∙(-83) - 256∙(-12),

3. இந்த சமன்பாட்டின் அனைத்து முழு எண் தீர்வுகளின் பொதுவான வடிவம்:

x = -83∙3 - 256 t = -249 - 256 t,

y = -12∙3 - 37 t = -36 - 37 t.

மாறிகளின் சாத்தியமான அனைத்து மதிப்புகளின் முழுமையான கணக்கீட்டு முறை,

சமன்பாட்டில் சேர்க்கப்பட்டுள்ளது.

49x + 51y = 602 சமன்பாட்டிற்கான தீர்வுகளான இயற்கை எண்களின் அனைத்து ஜோடிகளின் தொகுப்பைக் கண்டறியவும்.

தீர்வு:

சமன்பாட்டிலிருந்து x என்ற மாறியை y x = மூலம் வெளிப்படுத்துவோம், x மற்றும் y இயற்கை எண்கள் என்பதால், x =602 - 51у ≥ 49, 51у≤553, 1≤у≤10.

விருப்பங்களின் முழுமையான தேடல் சமன்பாட்டிற்கான இயற்கை தீர்வுகள் x=5, y=7 என்பதைக் காட்டுகிறது.

பதில்: (5;7).

காரணிமயமாக்கல் முறையைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது.

டையோபாண்டஸ், நேரியல் சமன்பாடுகளுடன், இருபடி மற்றும் கனசதுர காலவரையற்ற சமன்பாடுகளாகக் கருதப்படுகிறது. அவற்றைத் தீர்ப்பது பொதுவாக கடினம்.

சமன்பாடுகளில் சதுர சூத்திரத்தின் வேறுபாடு அல்லது காரணியாக்கத்தின் மற்றொரு முறையைப் பயன்படுத்தக்கூடிய ஒரு வழக்கைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

சமன்பாட்டை முழு எண்களில் தீர்க்கவும்: x 2 + 23 = y 2

தீர்வு:

சமன்பாட்டை வடிவத்தில் மீண்டும் எழுதுவோம்: y 2 - x 2 = 23, (y - x)(y + x) = 23

x மற்றும் y முழு எண்கள் மற்றும் 23 ஒரு பிரதான எண் என்பதால், பின்வரும் நிகழ்வுகள் சாத்தியமாகும்:

விளைந்த அமைப்புகளைத் தீர்ப்பது, நாம் காண்கிறோம்:

(-11;12),(11;12),(11;-12),(-11;-12)

ஒரு மாறியை மற்றொன்றின் அடிப்படையில் வெளிப்படுத்துதல் மற்றும் பின்னத்தின் முழுப் பகுதியையும் தனிமைப்படுத்துதல்.

சமன்பாட்டை முழு எண்களில் தீர்க்கவும்: x 2 + xy – y – 2 = 0.

தீர்வு:

இந்த சமன்பாட்டிலிருந்து x மூலம் y ஐ வெளிப்படுத்துவோம்:

y(x - 1) =2 - x 2,

7ம் வகுப்பு கணித பாடத்தில், முதல்முறையாக சந்திக்கிறோம் இரண்டு மாறிகள் கொண்ட சமன்பாடுகள், ஆனால் அவை இரண்டு அறியப்படாத சமன்பாடுகளின் அமைப்புகளின் சூழலில் மட்டுமே ஆய்வு செய்யப்படுகின்றன. அதனால்தான், சமன்பாட்டின் குணகங்களில் சில நிபந்தனைகள் அறிமுகப்படுத்தப்பட்ட சிக்கல்களின் முழுத் தொடர் பார்வையில் இருந்து விழுகிறது. கூடுதலாக, "இயற்கை அல்லது முழு எண்களில் ஒரு சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்" போன்ற சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகளும் புறக்கணிக்கப்படுகின்றன, இருப்பினும் இதுபோன்ற சிக்கல்கள் ஒருங்கிணைந்த மாநிலத் தேர்வுப் பொருட்கள் மற்றும் நுழைவுத் தேர்வுகளில் அடிக்கடி காணப்படுகின்றன.

எந்த சமன்பாடு இரண்டு மாறிகள் கொண்ட சமன்பாடு என்று அழைக்கப்படுகிறது?

எனவே, எடுத்துக்காட்டாக, 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20, அல்லது xy = 12 ஆகிய சமன்பாடுகள் இரண்டு மாறிகளில் உள்ள சமன்பாடுகள்.

2x – y = 1 என்ற சமன்பாட்டைக் கவனியுங்கள். இது x = 2 மற்றும் y = 3 ஆக இருக்கும்போது உண்மையாகிறது, எனவே இந்த ஜோடி மாறி மதிப்புகள் கேள்விக்குரிய சமன்பாட்டிற்கு ஒரு தீர்வாகும்.

எனவே, இரண்டு மாறிகள் கொண்ட எந்த சமன்பாட்டிற்கும் தீர்வு என்பது வரிசைப்படுத்தப்பட்ட ஜோடிகளின் தொகுப்பாகும் (x; y), இந்த சமன்பாட்டை உண்மையான எண் சமத்துவமாக மாற்றும் மாறிகளின் மதிப்புகள்.

இரண்டு அறியப்படாத ஒரு சமன்பாடு:

A) ஒரு தீர்வு வேண்டும்.எடுத்துக்காட்டாக, சமன்பாடு x 2 + 5y 2 = 0 ஒரு தனித்துவமான தீர்வைக் கொண்டுள்ளது (0; 0);

b) பல தீர்வுகள் உள்ளன.எடுத்துக்காட்டாக, (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 4 தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளது: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);

V) தீர்வுகள் இல்லை.எடுத்துக்காட்டாக, சமன்பாடு x 2 + y 2 + 1 = 0 தீர்வுகள் இல்லை;

ஜி) எண்ணற்ற தீர்வுகள் உள்ளன.எடுத்துக்காட்டாக, x + y = 3. இந்தச் சமன்பாட்டிற்கான தீர்வுகள், கூட்டுத்தொகை 3க்கு சமமான எண்களாக இருக்கும். இந்த சமன்பாட்டிற்கான தீர்வுகளின் தொகுப்பை வடிவத்தில் (k; 3 – k) எழுதலாம், இதில் k என்பது உண்மையானது. எண்.

இரண்டு மாறிகள் மூலம் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முக்கிய முறைகள் காரணி வெளிப்பாடுகளின் அடிப்படையிலான முறைகள், ஒரு முழுமையான சதுரத்தை தனிமைப்படுத்துதல், இருபடி சமன்பாட்டின் பண்புகள், வரையறுக்கப்பட்ட வெளிப்பாடுகள் மற்றும் மதிப்பீட்டு முறைகள். சமன்பாடு பொதுவாக ஒரு வடிவமாக மாற்றப்படுகிறது, அதில் இருந்து தெரியாதவற்றைக் கண்டுபிடிப்பதற்கான ஒரு அமைப்பைப் பெறலாம்.

காரணியாக்கம்

எடுத்துக்காட்டு 1.

சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்: xy – 2 = 2x – y.

தீர்வு.

காரணியாக்கலின் நோக்கத்திற்காக நாங்கள் விதிமுறைகளை தொகுக்கிறோம்:

(xy + y) – (2x + 2) = 0. ஒவ்வொரு அடைப்புக்குறியிலிருந்தும் நாம் ஒரு பொதுவான காரணியை எடுக்கிறோம்:

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1)(y - 2) = 0. எங்களிடம் உள்ளது:

y = 2, x – ஏதேனும் உண்மையான எண் அல்லது x = -1, y – ஏதேனும் உண்மையான எண்.

இதனால், பதில் படிவத்தின் அனைத்து ஜோடிகளும் (x; 2), x € R மற்றும் (-1; y), y € R.

பூஜ்ஜியத்திற்கு எதிர்மறை எண்களின் சமத்துவம்

எடுத்துக்காட்டு 2.

சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

தீர்வு.

குழுவாக்கம்:

(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. இப்போது ஒவ்வொரு அடைப்புக்குறியையும் வர்க்க வேறுபாடு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி மடிக்கலாம்.

(3x – 2) 2 + (2y – 3) 2 = 0.

3x – 2 = 0 மற்றும் 2y – 3 = 0 ஆகிய இரண்டு எதிர்மறை வெளிப்பாடுகளின் கூட்டுத்தொகை பூஜ்ஜியமாகும்.

இதன் பொருள் x = 2/3 மற்றும் y = 3/2.

பதில்: (2/3; 3/2).

மதிப்பீட்டு முறை

எடுத்துக்காட்டு 3.

சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்: (x 2 + 2x + 2)(y 2 – 4y + 6) = 2.

தீர்வு.

ஒவ்வொரு அடைப்புக்குறியிலும் ஒரு முழுமையான சதுரத்தை முன்னிலைப்படுத்துகிறோம்:

((x + 1) 2 + 1)((y - 2) 2 + 2) = 2. மதிப்பிடுவோம் அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ள வெளிப்பாடுகளின் பொருள்.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 மற்றும் (y - 2) 2 + 2 ≥ 2, பின்னர் சமன்பாட்டின் இடது பக்கம் எப்போதும் குறைந்தது 2. சமத்துவம் சாத்தியம் என்றால்:

(x + 1) 2 + 1 = 1 மற்றும் (y – 2) 2 + 2 = 2, அதாவது x = -1, y = 2.

பதில்: (-1; 2).

இரண்டாவது பட்டத்தின் இரண்டு மாறிகள் மூலம் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான மற்றொரு முறையைப் பற்றி அறிந்து கொள்வோம். இந்த முறை சமன்பாட்டைக் கையாளுவதைக் கொண்டுள்ளது சில மாறிகளைப் பொறுத்து சதுரம்.

எடுத்துக்காட்டு 4.

சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.

தீர்வு.

சமன்பாட்டை xக்கான இருபடிச் சமன்பாடாகத் தீர்ப்போம். பாகுபாடு காண்பதைக் கண்டுபிடிப்போம்:

D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . சமன்பாடு D = 0, அதாவது y = 4 எனில் மட்டுமே தீர்வு கிடைக்கும். அசல் சமன்பாட்டில் y இன் மதிப்பை மாற்றி x = 3 என்பதைக் கண்டுபிடிப்போம்.

பதில்: (3; 4).

பெரும்பாலும் இரண்டு அறியப்படாத சமன்பாடுகளில் அவை குறிப்பிடுகின்றன மாறிகள் மீதான கட்டுப்பாடுகள்.

எடுத்துக்காட்டு 5.

சமன்பாட்டை முழு எண்களில் தீர்க்கவும்: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

தீர்வு.

சமன்பாட்டை x 2 = -5y 2 + 20x + 2 வடிவத்தில் மீண்டும் எழுதுவோம். 5 ஆல் வகுக்கும் போது கிடைக்கும் சமன்பாட்டின் வலது பக்கம் 2 ஐ அளிக்கிறது. எனவே, x 2 ஐ 5 ஆல் வகுக்க முடியாது. ஆனால் a இன் வர்க்கம் 5 ஆல் வகுபடாத எண் 1 அல்லது 4 இன் மீதியை அளிக்கிறது. எனவே, சமத்துவம் சாத்தியமற்றது மற்றும் தீர்வுகள் இல்லை.

பதில்: வேர்கள் இல்லை.

எடுத்துக்காட்டு 6.

சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.

தீர்வு.

ஒவ்வொரு அடைப்புக்குறியிலும் முழுமையான சதுரங்களை முன்னிலைப்படுத்துவோம்:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. சமன்பாட்டின் இடது பக்கம் எப்போதும் 3 ஐ விட அதிகமாகவோ அல்லது சமமாகவோ இருக்கும். சமத்துவம் வழங்கப்படுவது சாத்தியம் |x| – 2 = 0 மற்றும் y + 3 = 0. எனவே, x = ± 2, y = -3.

பதில்: (2; -3) மற்றும் (-2; -3).

எடுத்துக்காட்டு 7.

சமன்பாட்டை திருப்திப்படுத்தும் ஒவ்வொரு ஜோடி எதிர்மறை முழு எண்களுக்கும் (x;y).
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, தொகையைக் கணக்கிடவும் (x + y). உங்கள் பதிலில் சிறிய தொகையைக் குறிப்பிடவும்.

தீர்வு.

முழுமையான சதுரங்களைத் தேர்ந்தெடுப்போம்:

(x 2 – 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;

(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. x மற்றும் y ஆகியவை முழு எண்களாக இருப்பதால், அவற்றின் சதுரங்களும் முழு எண்களாகும். 1 + 36ஐ கூட்டினால் இரண்டு முழு எண்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகை 37 க்கு சமமாக கிடைக்கும். எனவே:

(x – y) 2 = 36 மற்றும் (y + 2) 2 = 1

(x – y) 2 = 1 மற்றும் (y + 2) 2 = 36.

இந்த அமைப்புகளைத் தீர்த்து, x மற்றும் y எதிர்மறையாக இருப்பதைக் கருத்தில் கொண்டு, தீர்வுகளைக் காண்கிறோம்: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

பதில்:-17.

தெரியாத இரண்டு சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதில் உங்களுக்கு சிரமம் இருந்தால் விரக்தியடைய வேண்டாம். ஒரு சிறிய பயிற்சி மூலம், நீங்கள் எந்த சமன்பாட்டையும் கையாளலாம்.

இன்னும் கேள்விகள் உள்ளதா? இரண்டு மாறிகளில் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது எப்படி என்று தெரியவில்லையா?
ஆசிரியரின் உதவியைப் பெற, பதிவு செய்யவும்.
முதல் பாடம் இலவசம்!

இணையதளத்தில், உள்ளடக்கத்தை முழுமையாகவோ அல்லது பகுதியாகவோ நகலெடுக்கும்போது, ​​மூலத்திற்கான இணைப்பு தேவை.

காடுகளின் விளிம்பிலிருந்து முட்புதர்களுக்குச் செல்லும் பல பாதைகள் உள்ளன. அவை முரட்டுத்தனமானவை, அவை ஒன்றிணைகின்றன, மீண்டும் பிரிந்து மீண்டும் ஒன்றோடொன்று வெட்டுகின்றன. நடந்து செல்லும் போது, ​​இந்த பாதைகளின் மிகுதியை மட்டுமே நீங்கள் கவனிக்க முடியும், அவற்றில் சிலவற்றின் வழியாக நடந்து, காட்டின் ஆழத்தில் அவற்றின் திசையைக் கண்டறிய முடியும். காடுகளை தீவிரமாகப் படிக்க, உலர்ந்த பைன் ஊசிகள் மற்றும் புதர்களுக்கு இடையில் அவை தெரியும் வரை நீங்கள் பாதைகளைப் பின்பற்ற வேண்டும்.

எனவே, நவீன கணிதத்தின் விளிம்பில் சாத்தியமான நடைகளில் ஒன்றின் விளக்கமாக கருதக்கூடிய ஒரு திட்டத்தை எழுத விரும்பினேன்.

சுற்றியுள்ள உலகம், தேசிய பொருளாதாரத்தின் தேவைகள் மற்றும் பெரும்பாலும் அன்றாட கவலைகள் ஒரு நபருக்கு மேலும் மேலும் புதிய பணிகளை முன்வைக்கின்றன, அதற்கான தீர்வு எப்போதும் தெளிவாக இல்லை. சில நேரங்களில் ஒரு குறிப்பிட்ட கேள்விக்கு பல சாத்தியமான பதில்கள் உள்ளன, இது சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதை கடினமாக்குகிறது. சரியான மற்றும் உகந்த விருப்பத்தை எவ்வாறு தேர்வு செய்வது?

உறுதியற்ற சமன்பாடுகளின் தீர்வு இந்த சிக்கலுடன் நேரடியாக தொடர்புடையது. இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட மாறிகளைக் கொண்ட இத்தகைய சமன்பாடுகள், அனைத்து முழு எண் அல்லது இயற்கை தீர்வுகளைக் கண்டறிவது அவசியமானது, பழங்காலத்திலிருந்தே கருதப்படுகிறது. உதாரணமாக, கிரேக்க கணிதவியலாளர் பித்தகோரஸ் (கிமு IV நூற்றாண்டு). அலெக்ஸாண்ட்ரியன் கணிதவியலாளர் டியோபாண்டஸ் (கி.பி. II-III நூற்றாண்டு) மற்றும் நமக்கு நெருக்கமான சகாப்தத்தின் சிறந்த கணிதவியலாளர்கள் - பி. ஃபெர்மாட் (XVII நூற்றாண்டு), எல். யூலர் (XVIII நூற்றாண்டு), ஜே. எல். லக்ரேஞ்ச் (XVIII நூற்றாண்டு) மற்றும் பலர்.

ரஷ்ய கடிதப் போட்டி> Obninsk, சர்வதேச விளையாட்டுப் போட்டி> மற்றும் யூரல் ஃபெடரல் மாவட்டத்தின் ஒலிம்பியாட் ஆகியவற்றில் பங்கேற்பதால், நான் அடிக்கடி இதுபோன்ற பணிகளைச் சந்திக்கிறேன். அவர்களின் தீர்வு இயற்கையில் ஆக்கபூர்வமானது என்பதே இதற்குக் காரணம். முழு எண்களில் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும்போது எழும் சிக்கல்கள் சிக்கலான தன்மையாலும், பள்ளியில் அவற்றிற்கு சிறிது நேரம் ஒதுக்கப்படுவதாலும் ஏற்படுகிறது.

Diophantus அறிவியல் வரலாற்றில் மிகவும் கடினமான மர்மங்களில் ஒன்றை முன்வைக்கிறார். அவர் வாழ்ந்த காலமோ, அதே துறையில் பணிபுரிந்த அவருக்கு முன்னோடிகளோ தெரியாது. அவரது படைப்புகள் ஊடுருவ முடியாத இருளின் நடுவில் மின்னும் நெருப்பு போன்றது.

Diophantus வாழ்ந்திருக்கக்கூடிய காலம் அரை மில்லினியம்! கீழ் வரம்பு எளிதில் தீர்மானிக்கப்படுகிறது: பலகோண எண்கள் பற்றிய தனது புத்தகத்தில், 2 ஆம் நூற்றாண்டின் மத்தியில் வாழ்ந்த அலெக்ஸாண்டிரியாவின் ஹைப்சிகல்ஸ் என்ற கணிதவியலாளர் டியோபாண்டஸ் மீண்டும் மீண்டும் குறிப்பிடுகிறார். கி.மு இ.

மறுபுறம், பிரபல வானியலாளரான டோலமிக்கு அலெக்ஸாண்டிரியாவின் தியோனின் கருத்துக்களில் டியோபாண்டஸின் வேலையிலிருந்து ஒரு பகுதி உள்ளது. தியோன் 4 ஆம் நூற்றாண்டின் மத்தியில் வாழ்ந்தார். n இ. இது இந்த இடைவெளியின் மேல் எல்லையை தீர்மானிக்கிறது. எனவே, 500 ஆண்டுகள்!

பிரெஞ்சு அறிவியல் வரலாற்றாசிரியர் பால் டான்ரி, டியோபாண்டஸின் முழுமையான உரையின் ஆசிரியர், இந்த இடைவெளியைக் குறைக்க முயன்றார். எஸ்குரியல் நூலகத்தில் அவர் 11 ஆம் நூற்றாண்டின் பைசண்டைன் அறிஞரான மைக்கேல் ப்செல்லஸின் கடிதத்தின் பகுதிகளைக் கண்டார். , மிகவும் கற்றறிந்த அனடோலி, இந்த அறிவியலின் மிக முக்கியமான பகுதிகளை சேகரித்த பிறகு, அறியப்படாத பட்டங்களை அறிமுகப்படுத்துவது மற்றும் அவர்களின் (பதவி) பற்றி பேசுகிறோம், அவற்றை தனது நண்பர் டியோபாண்டஸுக்கு அர்ப்பணித்தார். அலெக்ஸாண்ட்ரியாவின் அனடோலி உண்மையில் இயற்றப்பட்டது>, இதன் பகுதிகள் ஐம்ப்ளிச்சஸ் மற்றும் யூசீனியஸின் தற்போதைய படைப்புகளில் மேற்கோள் காட்டப்பட்டுள்ளன. ஆனால் அனடோலி கிமு 111 ஆம் நூற்றாண்டின் மத்தியில் அலெக்ஸாண்டிரியாவில் வாழ்ந்தார். e மற்றும் இன்னும் துல்லியமாக - 270 வரை, அவர் லவோடாசியாவின் பிஷப் ஆனார். அலெக்ஸாண்டிரியா என்று எல்லோரும் அழைக்கும் டியோபாண்டஸ் உடனான அவரது நட்பு இதற்கு முன்பே இருந்திருக்க வேண்டும். ஆக, பிரபல அலெக்ஸாண்டிரியக் கணிதவியலாளரும், அனடோலியின் நண்பரான டியோபாண்டஸ் என்ற பெயரும் ஒருவரானால், டியோபாண்டஸ் வாழ்ந்த காலம் கி.பி.111ஆம் நூற்றாண்டின் நடுப்பகுதி.

ஆனால் டியோபாண்டஸ் வசிக்கும் இடம் நன்கு அறியப்பட்டதாகும் - அலெக்ஸாண்ட்ரியா, அறிவியல் சிந்தனையின் மையம் மற்றும் ஹெலனிஸ்டிக் உலகம்.

பாலாடைன் ஆந்தாலஜியின் எபிகிராம்களில் ஒன்று இன்றுவரை எஞ்சியுள்ளது:

டியோபாண்டஸின் சாம்பல் கல்லறையில் உள்ளது: அதைப் பார்த்து ஆச்சரியப்படுங்கள் - மற்றும் கல்

இறந்தவரின் வயது அவரது ஞானமான கலை மூலம் பேசும்.

கடவுளின் விருப்பப்படி, அவர் தனது வாழ்க்கையில் ஆறில் ஒரு குழந்தையாக வாழ்ந்தார்.

நான் ஐந்தரை மணிக்கு என் கன்னங்களில் பஞ்சுடன் சந்தித்தேன்.

காதலியுடன் நிச்சயதார்த்தம் செய்து ஏழாவது நாள் தான்.

அவளுடன் ஐந்து வருடங்கள் கழித்து, முனிவர் தன் மகனுக்காகக் காத்திருந்தார்.

அவரது தந்தையின் அன்பு மகன் தனது வாழ்நாளில் பாதி மட்டுமே வாழ்ந்தார்.

அவர் தனது ஆரம்பகால கல்லறையில் தனது தந்தையிடமிருந்து எடுக்கப்பட்டார்.

இரண்டு ஆண்டுகளுக்கு இரண்டு முறை பெற்றோர் கடுமையான துக்கத்தில் வருந்தினர்.

இங்கே நான் என் சோகமான வாழ்க்கையின் எல்லையைக் கண்டேன்.

சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும் நவீன முறைகளைப் பயன்படுத்தி, டியோபாண்டஸ் எத்தனை ஆண்டுகள் வாழ்ந்தார் என்பதைக் கணக்கிட முடியும்.

Diophantus x ஆண்டுகள் வாழட்டும். சமன்பாட்டை உருவாக்கி தீர்ப்போம்:

பின்னங்களை அகற்ற சமன்பாட்டை 84 ஆல் பெருக்குவோம்:

இவ்வாறு, டியோபாண்டஸ் 84 ஆண்டுகள் வாழ்ந்தார்.

மிகவும் மர்மமானது டியோபாண்டஸின் வேலை. பதின்மூன்று புத்தகங்களில் ஆறு புத்தகங்கள்> நம்மை வந்தடைந்தன ஆர்க்கிமிடிஸ் மற்றும் அப்பல்லோனியஸ். > சந்தேகத்திற்கு இடமின்றி முற்றிலும் அறியப்படாத பல ஆய்வுகளின் விளைவாகும்.

அதன் வேர்களைப் பற்றி மட்டுமே நாம் யூகிக்க முடியும், மேலும் அதன் முறைகள் மற்றும் முடிவுகளின் செழுமையையும் அழகையும் கண்டு வியக்கலாம்.

> Diophanta என்பது பிரச்சனைகளின் தொகுப்பாகும் (மொத்தம் 189), ஒவ்வொன்றுக்கும் ஒரு தீர்வு உள்ளது. அதில் உள்ள சிக்கல்கள் கவனமாக தேர்ந்தெடுக்கப்பட்டு மிகவும் குறிப்பிட்ட, கண்டிப்பாக சிந்திக்கப்பட்ட முறைகளை விளக்க உதவுகின்றன. பண்டைய காலங்களில் வழக்கமாக இருந்தபடி, முறைகள் பொதுவான வடிவத்தில் வடிவமைக்கப்படவில்லை, ஆனால் இதே போன்ற சிக்கல்களைத் தீர்க்க மீண்டும் மீண்டும் செய்யப்படுகின்றன.

டியோபாண்டஸின் தனித்துவமான வாழ்க்கை வரலாறு நம்பத்தகுந்ததாக அறியப்படுகிறது, இது புராணத்தின் படி, அவரது கல்லறையில் செதுக்கப்பட்டு ஒரு புதிர் பணியை வழங்கியது:

இந்த புதிர் டியோபாண்டஸ் தீர்க்கும் பிரச்சினைகளுக்கு ஒரு எடுத்துக்காட்டு. முழு எண்களில் உள்ள சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதில் நிபுணத்துவம் பெற்றவர். இத்தகைய பிரச்சனைகள் தற்போது Diophantine பிரச்சனைகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

Diophantine சமன்பாடுகளின் ஆய்வு பொதுவாக பெரும் சிரமங்களுடன் தொடர்புடையது.

1900 ஆம் ஆண்டில், பாரிஸில் நடந்த உலக கணிதவியலாளர் மாநாட்டில், உலகின் முன்னணி கணிதவியலாளர்களில் ஒருவரான டேவிட் ஹில்பர்ட், கணிதத்தின் பல்வேறு பகுதிகளிலிருந்து 23 சிக்கல்களைக் கண்டறிந்தார். இந்த சிக்கல்களில் ஒன்று டியோபான்டைன் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதில் உள்ள சிக்கலாகும். சிக்கல் பின்வருமாறு: ஒரு குறிப்பிட்ட வழியில் அறியப்படாத மற்றும் முழு எண் குணகங்களின் தன்னிச்சையான எண்ணிக்கையுடன் ஒரு சமன்பாட்டை தீர்க்க முடியுமா - ஒரு வழிமுறையைப் பயன்படுத்தி. பணி பின்வருமாறு: கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டிற்கு, சமன்பாட்டில் சேர்க்கப்பட்டுள்ள மாறிகளின் அனைத்து முழு எண் அல்லது இயற்கை மதிப்புகளை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும், அதில் அது உண்மையான சமத்துவமாக மாறும். அத்தகைய சமன்பாடுகளுக்கு டையோபாண்டஸ் பல்வேறு தீர்வுகளைக் கொண்டு வந்தார். எல்லையற்ற பல்வேறு டையோபான்டைன் சமன்பாடுகள் காரணமாக, அவற்றைத் தீர்ப்பதற்கான பொதுவான வழிமுறைகள் எதுவும் இல்லை, மேலும் கிட்டத்தட்ட ஒவ்வொரு சமன்பாட்டிற்கும் ஒரு தனிப்பட்ட நுட்பத்தைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.

1 வது பட்டத்தின் ஒரு டையோஃபான்டைன் சமன்பாடு அல்லது இரண்டு அறியப்படாத ஒரு நேரியல் டையோஃபான்டைன் சமன்பாடு என்பது வடிவத்தின் சமன்பாடு ஆகும்: ax+by=c, இங்கு a,b,c முழு எண்கள், GCD(a,b)=1.

முழு எண்களில் உள்ள இரண்டு மாறிகளின் முதல்-நிலை சமன்பாடுகளின் உறுதியற்ற முதல்-நிலை சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான வழிமுறையின் அடிப்படையில் நான் தேற்றங்களின் சூத்திரங்களைத் தருகிறேன்.

தேற்றம் 1. ஒரு சமன்பாட்டில் இருந்தால், சமன்பாட்டிற்கு குறைந்தபட்சம் ஒரு தீர்வு இருக்கும்.

ஆதாரம்:

ஒரு >0 என்று வைத்துக் கொள்ளலாம். x க்கான சமன்பாட்டைத் தீர்த்த பிறகு, நாம் பெறுகிறோம்: x = c-vua. இந்த சூத்திரத்தில் y க்கு பதிலாக, a மற்றும் 0 ஐ விட குறைவான அனைத்து இயற்கை எண்களையும் மாற்றினால், அதாவது 0;1;2;3; எண்களை நான் நிரூபிப்பேன். ;a-1, மற்றும் ஒவ்வொரு முறையும் நீங்கள் பிரிப்பதைச் செய்தால், மீதமுள்ள அனைத்தும் வேறுபட்டதாக இருக்கும். உண்மையில், y க்குப் பதிலாக, a ஐ விட சிறிய m1 மற்றும் m2 எண்களை மாற்றுவேன். இதன் விளைவாக, நான் இரண்டு பின்னங்களைப் பெறுவேன்: c-bm1a மற்றும் c-bm2a. பிரிவைச் செய்து முழுமையடையாத பகுதிகளை q1 மற்றும் q2 ஆல் குறிக்கவும், மீதமுள்ளவற்றை r1 மற்றும் r2 ஆல் குறிக்கவும், நான் с-вm1а=q1+ r1а, с-вm2а= q2+ r2а ஐக் கண்டுபிடிப்பேன்.

மீதமுள்ள r1 மற்றும் r2 சமம் என்று கருதுகிறேன். பின்னர், முதல் சமத்துவத்திலிருந்து இரண்டாவது கழித்தால், நான் பெறுகிறேன்: c-bm1a- c-bm2a = q1-q2, அல்லது b(m1 - m2)a = q1-q2.

q1-q2 ஒரு முழு எண் என்பதால், இடது பக்கம் ஒரு முழு எண்ணாக இருக்க வேண்டும். எனவே, bm1 - m2 என்பது a ஆல் வகுக்கப்பட வேண்டும், அதாவது, இரண்டு இயற்கை எண்களின் வேறுபாடு, அவை ஒவ்வொன்றும் a ஐ விடக் குறைவாக இருக்கும், a ஆல் வகுக்கப்பட வேண்டும், இது சாத்தியமற்றது. இதன் பொருள், மீதமுள்ள r1 மற்றும் r2 சமம். அதாவது, அனைத்து எச்சங்களும் வேறுபட்டவை.

அந்த. நான் பல்வேறு நிலுவைகளை a விட குறைவாக பெற்றேன். ஆனால் a ஐ விட அதிகமாக இல்லாத இயற்கை எண்களின் தனித்துவமான a எண்கள் 0;1;2;3;. ;a-1. இதன் விளைவாக, எஞ்சியவற்றில் நிச்சயமாக பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமான ஒன்று மட்டுமே இருக்கும். y இன் மதிப்பு, வெளிப்பாடு (c-vu)a க்கு மாற்றாக 0 ஐ அளிக்கிறது, மேலும் x=(c-vu)a ஐ முழு எண்ணாக மாற்றுகிறது. கே.இ.டி.

தேற்றம் 2. சமன்பாட்டில் c ஆனது வகுக்கப்படாவிட்டால், சமன்பாட்டில் முழு எண் தீர்வுகள் இல்லை.

ஆதாரம்:

d=GCD(a;b), அதனால் a=md, b=nd, m மற்றும் n ஆகியவை முழு எண்களாக இருக்கும். பின்னர் சமன்பாடு வடிவம் எடுக்கும்: mdх+ ndу=с, அல்லது d(mх+ nу)=с.

சமன்பாட்டை பூர்த்தி செய்யும் முழு எண்கள் x மற்றும் y உள்ளன என்று வைத்துக் கொண்டால், குணகம் c ஆனது d ஆல் வகுபடும். இதன் விளைவாக வரும் முரண்பாடு தேற்றத்தை நிரூபிக்கிறது.

தேற்றம் 3. சமன்பாட்டில் இருந்தால், மற்றும், அது எந்த சமன்பாட்டிற்கு சமம்.

தேற்றம் 4. ஒரு சமன்பாட்டில் இருந்தால், இந்த சமன்பாட்டிற்கான அனைத்து முழு எண் தீர்வுகளும் சூத்திரங்களில் உள்ளன:

இதில் x0, y0 என்பது சமன்பாட்டிற்கான ஒரு முழு எண் தீர்வாகும், இது எந்த முழு எண்ணாகும்.

வடிவமைக்கப்பட்ட தேற்றங்கள் முழு எண்களில் படிவத்தின் சமன்பாட்டைத் தீர்க்க பின்வரும் வழிமுறையை உருவாக்குவதை சாத்தியமாக்குகிறது.

1. a மற்றும் b எண்களின் மிகப் பெரிய பொது வகுப்பினைக் கண்டறியவும். என்றால் பின்னர்

2. சமன்பாடு காலத்தை காலத்தால் வகுக்கவும், அதில் ஒரு சமன்பாட்டைப் பெறவும்.

3. எண்களின் நேரியல் கலவையாக 1 ஐக் குறிப்பதன் மூலம் சமன்பாட்டின் முழு எண் தீர்வை (x0, y0) கண்டறியவும்;

4. இந்த சமன்பாட்டிற்கான முழு எண் தீர்வுகளுக்கான பொதுவான சூத்திரத்தை உருவாக்கவும், இங்கு x0, y0 என்பது சமன்பாட்டிற்கான முழு எண் தீர்வாகும், மேலும் இது எந்த முழு எண்ணாகவும் இருக்கும்.

2. 1 இறங்கு முறை

பல > நிச்சயமற்ற சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகளை அடிப்படையாகக் கொண்டவை. எடுத்துக்காட்டாக, பிறந்த தேதியை யூகிக்கும் தந்திரம்.

உங்கள் நண்பரின் பிறந்தநாளை அவரது பிறந்த தேதியின் பெருக்கத்திற்கு சமமான எண்களின் கூட்டுத்தொகையை 12 மற்றும் பிறந்த மாதத்தின் எண்ணிக்கை 31 மூலம் யூகிக்க அழைக்கவும்.

உங்கள் நண்பரின் பிறந்தநாளை யூகிக்க, நீங்கள் சமன்பாட்டை தீர்க்க வேண்டும்: 12x + 31y = A.

உங்களுக்கு 380 என்ற எண்ணைக் கொடுக்கலாம், அதாவது எங்களிடம் 12x + 31y = 380 என்ற சமன்பாடு உள்ளது. x மற்றும் y ஐக் கண்டுபிடிக்க, நீங்கள் இதைப் போன்ற காரணங்களைக் கூறலாம்: 12x + 24y எண் 12 ஆல் வகுபடும், எனவே, பண்புகளின்படி வகுபடுதல் (தேற்றம் 4.4), 7y மற்றும் 380 ஆகிய எண்கள் 12 ஆல் வகுக்கும் போது அதே மீதியைக் கொண்டிருக்க வேண்டும். 12 ஆல் வகுக்கும் போது எண் 380 மீதியை 8 ஐ அளிக்கிறது, எனவே 7y 12 ஆல் வகுக்கும் போது 8 இன் மீதியை விட்டுவிட வேண்டும். y என்பது மாதத்தின் எண், பிறகு 1

நாங்கள் தீர்த்த சமன்பாடு இரண்டு அறியப்படாதவைகளைக் கொண்ட 1 வது டிகிரி டையோஃபான்டைன் சமன்பாடு ஆகும். அத்தகைய சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க, வம்சாவளி முறை என்று அழைக்கப்படுவதைப் பயன்படுத்தலாம். 5x + 8y = 39 என்ற குறிப்பிட்ட சமன்பாட்டைப் பயன்படுத்தி இந்த முறையின் அல்காரிதத்தை நான் பரிசீலிப்பேன்.

1. மிகச்சிறிய குணகம் கொண்ட தெரியாததை நான் தேர்வு செய்வேன் (எங்கள் விஷயத்தில் அது x ஆகும்), மேலும் அறியப்படாத மற்றொரு மூலம் வெளிப்படுத்துவேன்:. நான் முழு பகுதியையும் முன்னிலைப்படுத்துகிறேன்: வெளிப்படையாக, வெளிப்பாடு ஒரு முழு எண்ணாக மாறினால், x ஒரு முழு எண்ணாக இருக்கும், இது 4 - 3y என்ற எண் மீதி இல்லாமல் 5 ஆல் வகுபடும் போது இருக்கும்.

2. நான் ஒரு கூடுதல் முழு எண் மாறி z ஐ பின்வருமாறு அறிமுகப்படுத்துகிறேன்: 4 - 3y = 5z. இதன் விளைவாக, நான் அசல் ஒன்றைப் போன்ற அதே வகை சமன்பாட்டைப் பெறுவேன், ஆனால் சிறிய குணகங்களுடன். y: என்ற மாறியைப் பொறுத்து அதைத் தீர்ப்பேன். முழு பகுதியையும் தேர்ந்தெடுத்து, நான் பெறுகிறேன்:

முந்தையதைப் போலவே தர்க்கம் செய்து, நான் ஒரு புதிய மாறி u: 3u = 1 - 2z ஐ அறிமுகப்படுத்துகிறேன்.

3. தெரியாததை மிகச்சிறிய குணகத்துடன் வெளிப்படுத்துவேன், இந்த விஷயத்தில் மாறி z: =. இது ஒரு முழு எண்ணாக இருக்க வேண்டும், நான் பெறுகிறேன்: 1 - u = 2v, எங்கிருந்து u = 1 - 2v. பின்னங்கள் எதுவும் இல்லை, இறங்குதல் முடிந்தது.

4. இப்போது உங்களுக்கு > தேவை. v முதல் z, பின்னர் y மற்றும் x: z = = = 3v - 1 என்ற மாறி மூலம் வெளிப்படுத்துவேன்; = 3 - 5v.

5. சூத்திரங்கள் x = 3+8v மற்றும் y = 3 - 5v, இதில் v என்பது தன்னிச்சையான முழு எண், முழு எண்களில் உள்ள அசல் சமன்பாட்டின் பொதுவான தீர்வைக் குறிக்கிறது.

கருத்து. எனவே, வம்சாவளி முறையானது, மாறியின் பிரதிநிதித்துவத்தில் பின்னங்கள் எஞ்சியிருக்கும் வரை, ஒரு மாறியை மற்றொன்றின் அடிப்படையில் வரிசையாக வெளிப்படுத்துவதை உள்ளடக்குகிறது, பின்னர் சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வைப் பெறுவதற்கு சமன்பாடுகளின் சங்கிலியுடன் தொடர்ச்சியாக வெளிப்படுத்துகிறது.

2. 2 சர்வே முறை

முயல்கள் மற்றும் ஃபெசன்ட்கள் ஒரு கூண்டில் அமர்ந்துள்ளன, அவை மொத்தம் 18 கால்களைக் கொண்டுள்ளன. இரண்டில் எத்தனை பேர் செல்லில் உள்ளனர் என்பதைக் கண்டறியவும்?

தெரியாத இரண்டு சமன்பாட்டை உருவாக்குகிறேன், அதில் x என்பது முயல்களின் எண்ணிக்கை, மற்றும் y என்பது ஃபெசண்ட்களின் எண்ணிக்கை:

4x + 2y = 18, அல்லது 2x + y = 9.

பதில். 1) 1 முயல் மற்றும் 7 ஃபெசண்ட்ஸ்; 2) 2 முயல்கள் மற்றும் 5 ஃபெசண்ட்கள்; 3) 3 முயல்கள் மற்றும் 3 ஃபெசண்ட்ஸ்; 4) 4 முயல்கள் மற்றும் 1 ஃபெசண்ட்.

1. நடைமுறை பகுதி

3. 1 இரண்டு தெரியாதவற்றுடன் நேரியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பது

1. 407x - 2816y = 33 என்ற சமன்பாட்டை முழு எண்களில் தீர்க்கவும்.

தொகுக்கப்பட்ட அல்காரிதத்தைப் பயன்படுத்துவேன்.

1. யூக்ளிடியன் அல்காரிதத்தைப் பயன்படுத்தி, 407 மற்றும் 2816 எண்களின் மிகப் பெரிய பொதுவான வகுப்பியைக் கண்டுபிடிப்பேன்:

2816 = 407 6 + 374;

407 = 374 1 + 33;

374 = 33 11 + 11;

எனவே (407.2816) = 11, 33 உடன் 11 ஆல் வகுபடும்.

2. அசல் சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 11 ஆல் வகுத்தால், சமன்பாடு 37x - 256y = 3, மற்றும் (37, 256) = 1 கிடைக்கும்

3. யூக்ளிடியன் அல்காரிதத்தைப் பயன்படுத்தி, 37 மற்றும் 256 எண்கள் மூலம் எண் 1 இன் நேரியல் பிரதிநிதித்துவத்தைக் காண்பேன்.

256 = 37 6 + 34;

நான் கடைசி சமத்துவத்தில் இருந்து 1 ஐ வெளிப்படுத்துவேன், பின்னர் சமத்துவங்களை தொடர்ந்து மேலே சென்று 3 ஐ வெளிப்படுத்துவேன்; 34 மற்றும் அதன் விளைவாக வரும் வெளிப்பாடுகளை 1க்கான வெளிப்பாட்டில் மாற்றவும்.

1 = 34 - 3 11 = 34 - (37 - 34 1) 11 = 34 12 - 37 11 = (256 - 37 6) 12 - 37 11 =

83 37 - 256 (- 12)

எனவே, 37·(- 83) - 256·(- 12) = 1, எனவே x0 = - 83 மற்றும் y0 = - 12 என்ற ஜோடி எண்கள் 37x - 256y = 3 சமன்பாட்டிற்கு ஒரு தீர்வாகும்.

4. t எந்த முழு எண்ணாக இருக்கும் அசல் சமன்பாட்டிற்கான தீர்வுகளுக்கான பொதுவான சூத்திரத்தை எழுதுவேன்.

பதில். (-83c+bt; -12c-at), t є Z.

கருத்து. சோடி (x1,y1) சமன்பாட்டின் முழு எண் தீர்வாக இருந்தால், இந்த சமன்பாட்டிற்கான அனைத்து முழு எண் தீர்வுகளும் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி காணப்படுகின்றன: x=x1+bty=y1-at

2. 14x - 33y=32 சமன்பாட்டை முழு எண்களில் தீர்க்கவும்.

தீர்வு: x = (32 + 33y) : 14

(14 [. ] 2+ 5)y + (14 [. ] 2 + 4) = 14 [. ] 2y + 5y + 14[. ] 2 + 4 = 14(2y + 2) + 5y + 4; 2y + 2 = p; p є Z

1 முதல் 13 வரை தேடவும்

y = 2 போது; (5 [. ] 2 + 4): 14

அசல் சமன்பாட்டில் y = 2 ஐ மாற்றுகிறேன்

14x = 32 +33 [. ] 2

14x = 32 + 66 x = 98: 14 = 7

கண்டுபிடிக்கப்பட்ட பகுதியிலிருந்து அனைத்து முழு எண் தீர்வுகளையும் நான் கண்டுபிடிப்பேன்:

14(x - 7) + 98 - 33 (y -2) - 66 = 32

14(x - 7) - 33(y - 2)=0

14(x - 7) = 33(y - 2) -> 14(x - 7) : 33 -> (x - 7): 33 -> x = 33k + 7; k є Z

அசல் சமன்பாட்டில் என்னை மாற்றுகிறேன்:

14(33k + 7) - 33y = 32

14. 33k + 98 - 33y = 32 y = 14k + 2; x = 33k + 7, இங்கு k є Z. இந்த சூத்திரங்கள் அசல் சமன்பாட்டிற்கான பொதுவான தீர்வைக் குறிப்பிடுகின்றன.

பதில். (33k + 7; 14k + 2), k є Z.

3. x - 3y = 15 என்ற சமன்பாட்டை முழு எண்களில் தீர்க்கவும்.

நான் GCD(1,3)=1ஐக் கண்டுபிடிப்பேன்

நான் ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வைத் தீர்மானிப்பேன்: x=(15+3y):1 எண்ணும் முறையைப் பயன்படுத்தி, நான் y=0 மதிப்பைக் கண்டறிந்து x=(15+3 [. ] 0) =15

(15; 0) - தனிப்பட்ட தீர்வு.

மற்ற அனைத்து தீர்வுகளும் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி காணப்படுகின்றன: x=3k + 15, k є Z y=1k+0=k, k є Z உடன் k=0, எனக்கு ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வு கிடைக்கிறது (15;0)

பதில்: (3k+15; k), k є Z.

4. 7x - y = 3 என்ற சமன்பாட்டை முழு எண்களில் தீர்க்கவும்.

நான் GCD(7, -1)=1ஐக் கண்டுபிடிப்பேன்

நான் ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வை வரையறுப்பேன்: x = (3+y):7

ப்ரூட் ஃபோர்ஸ் முறையைப் பயன்படுத்தி, y є y = 4, x = 1 மதிப்பைக் காண்கிறோம்.

இதன் பொருள் (1;4) ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வு.

சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி மற்ற எல்லா தீர்வுகளையும் நான் காண்கிறேன்: x = 1k + 1, k є Z y = 7k + 4, k є Z

பதில்: (k+1;7k+4); k є Z.

5. சமன்பாடு 15x+11 y = 14 முழு எண்களைத் தீர்க்கவும்.

நான் GCD(15, -14)=1ஐக் கண்டுபிடிப்பேன்

நான் ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வை வரையறுப்பேன்: x = (14 - 11y):15

ப்ரூட் ஃபோர்ஸ் முறையைப் பயன்படுத்தி, y є y = 4, x = -2 மதிப்பைக் கண்டேன்

(-2;4) என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வு.

சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி மற்ற எல்லா தீர்வுகளையும் நான் காண்கிறேன்: x = -11k - 2, k є Z y =15k + 4, k є Z

பதில்: (-11k-2; 15k+4); k є Z.

6. சமன்பாடு 3x - 2y = 12 முழு எண்களைத் தீர்க்கவும்.

நான் GCD(3; 2)=1ஐக் கண்டுபிடிப்பேன்

நான் ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வை வரையறுப்பேன்: x = (12+2y):3

ப்ரூட் ஃபோர்ஸ் முறையைப் பயன்படுத்தி, y є y = 0, x = 4 மதிப்பைக் கண்டேன்

(4;0) என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வு.

சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி மற்ற எல்லா தீர்வுகளையும் நான் காண்கிறேன்: x = 2k + 4, k є Z y = 3k, k є Z

பதில்: (2k+4; 3k); k є Z.

7. xy = x + y சமன்பாட்டை முழு எண்களில் தீர்க்கவும்.

என்னிடம் xy - x - y + 1 = 1 அல்லது (x - 1)(y - 1) = 1 உள்ளது

எனவே x - 1 = 1, y - 1 = 1, எங்கிருந்து x = 2, y = 2 அல்லது x - 1 = - 1, y - 1 = - 1, எங்கிருந்து x = 0, y = 0 முழு எண்களில் உள்ள மற்ற தீர்வுகள் சமன்பாடு இல்லை.

பதில். 0;0;(2;2).

8. 60x - 77y = 1 என்ற சமன்பாட்டை முழு எண்களில் தீர்க்கவும்.

x க்கான இந்த சமன்பாட்டை தீர்க்கிறேன்: x = (77y + 1) / 60 = (60y + (17y +1)) / 60 = y + (17y + 1) / 60.

(17y + 1) / 60 = z, பின்னர் y = (60z - 1) / 17 = 3z + (9z - 1) / 17. நாம் (9z - 1) / 17 ஐ t ஆல் குறித்தால், z = (17t + 1) / 9 = 2t + (- t + 1) / 9. இறுதியாக, (- t + 1) / 9 = n, பின்னர் t = 1- 9n. நான் சமன்பாட்டிற்கு முழு எண் தீர்வுகளை மட்டுமே கண்டுபிடிப்பதால், z, t, n ஆகியவை முழு எண்களாக இருக்க வேண்டும்.

எனவே, z = 2 - 18n + 2 = 2 - 17n, எனவே y = 6 - 51n + 1 - 9n = 7 - 60n, x = 2 - 17n +7 - 60n = 9 - 77n. எனவே, x மற்றும் y ஆகியவை கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டின் முழு எண் தீர்வுகள் என்றால், x = 9 - 77n, y = 7 - 60n என்று ஒரு முழு எண் உள்ளது. மாறாக, y = 9 - 77n, x = 7 - 60n என்றால், வெளிப்படையாக, x, y முழு எண்கள். அவை அசல் சமன்பாட்டை திருப்திப்படுத்துகின்றன என்பதை சரிபார்ப்பு காட்டுகிறது.

பதில். (9 - 77n; 7 - 60n)); n є Z.

9. 2x+11y =24 என்ற சமன்பாட்டை முழு எண்களில் தீர்க்கவும்.

நான் GCD(2; 11)=1 ஐக் கண்டுபிடிப்பேன்

நான் ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வை வரையறுப்பேன்: x = (24-11y):2

ப்ரூட் ஃபோர்ஸ் முறையைப் பயன்படுத்தி, y є y = 0, x = 12 மதிப்பைக் கண்டேன்

(12;0) என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வு.

சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி மற்ற எல்லா தீர்வுகளையும் நான் காண்கிறேன்: x = -11k + 12, k є Z y = 2k + 0=2k, k є Z

பதில்:(-11k+12; 2k); k є Z.

10. 19x - 7y = 100 என்ற சமன்பாட்டை முழு எண்களில் தீர்க்கவும்.

நான் GCD(19, -7)=1ஐக் கண்டுபிடிப்பேன்

நான் ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வை வரையறுப்பேன்: x = (100+7y):19

ப்ரூட் ஃபோர்ஸ் முறையைப் பயன்படுத்தி, y є y = 2, x = 6 மதிப்பைக் கண்டேன்

(6;2) என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வு.

சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி மற்ற எல்லா தீர்வுகளையும் நான் காண்கிறேன்: x = 7k + 6, k є Z y = 19k + 2, k є Z

பதில்:(7k+6; 19k+2); kє Z.

11. 24x - 6y = 144 என்ற சமன்பாட்டை முழு எண்களில் தீர்க்கவும்

நான் GCD(24, 6)=3ஐக் கண்டுபிடிப்பேன்.

GCD(24, 6)!=1 என்பதால் சமன்பாட்டில் தீர்வுகள் இல்லை.

பதில். தீர்வுகள் இல்லை.

12. சமன்பாட்டை முழு எண்களில் தீர்க்கவும்.

தெரியாதவர்களுக்கான குணகங்களின் விகிதத்தை மாற்றுகிறேன்.

முதலில், முறையற்ற பகுதியின் முழு பகுதியையும் முன்னிலைப்படுத்துவேன்;

சரியான பின்னத்தை சமமான பின்னத்துடன் மாற்றுவேன்.

பிறகு நான் பெற்றுக் கொள்கிறேன்.

வகுப்பில் பெறப்பட்ட முறையற்ற பின்னத்துடன் அதே மாற்றங்களைச் செய்வேன்.

இப்போது அசல் பின்னம் படிவத்தை எடுக்கும்:

பின்னத்திற்கான அதே காரணத்தை மீண்டும் மீண்டும் சொல்கிறேன், நான் பெறுகிறேன்.

முறையற்ற பகுதியின் முழு பகுதியையும் தனிமைப்படுத்தி, இறுதி முடிவுக்கு வருகிறேன்:

வரையறுக்கப்பட்ட தொடர்ச்சியான பின்னம் அல்லது தொடர்ச்சியான பின்னம் எனப்படும் வெளிப்பாடு எனக்கு கிடைத்தது. இந்த தொடரும் பின்னத்தின் கடைசி இணைப்பை - ஐந்தில் ஒரு பகுதியை நிராகரித்த பிறகு, அதன் விளைவாக வரும் புதிய தொடரும் பின்னத்தை எளிய ஒன்றாக மாற்றி அசல் பின்னத்திலிருந்து கழிப்பேன்.

இதன் விளைவாக வரும் வெளிப்பாட்டை ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்குக் குறைத்து, அதை நிராகரிப்பேன்

சமன்பாட்டுடன் விளைந்த சமத்துவத்தை ஒப்பிடுவதிலிருந்து, இந்த சமன்பாட்டிற்கு ஒரு தீர்வாக இருக்கும், மேலும் தேற்றத்தின்படி, அதன் அனைத்து தீர்வுகளும் இதில் அடங்கியிருக்கும்.

பதில். (9+52t; 22+127t), t є Z.

பெறப்பட்ட முடிவு, பொதுவான வழக்கில், சமன்பாட்டிற்கு ஒரு தீர்வைக் காண, தெரியாதவர்களின் குணகங்களின் விகிதத்தை தொடர்ச்சியான பின்னமாக விரிவுபடுத்துவதும், அதன் கடைசி இணைப்பை நிராகரிப்பதும் மற்றும் கணக்கீடுகளை மேற்கொள்வதும் அவசியம். மேலே.

13. 3xy + 2x + 3y = 0 என்ற சமன்பாட்டை முழு எண்களில் தீர்க்கவும்.

3xy + 2x + 3y = 3y + 2x + 3y + 2 - 2 = 3y(x + 1) + 2(x + 1) - 2 =

=(x + 1)(3y + 2) - 2,

(x + 1)(3y + 2) = 2,

3y + 2 = 1 அல்லது 3y + 1 = 2 அல்லது 3y + 1 = -1 அல்லது 3y + 1 = -2 x + 1 = 2, x + 1 =1, x + 1 = -2, x + 1 = -1 ; x = 2 அல்லது x = 0 அல்லது x = -3 அல்லது x = -2 y சென்ட் z, y = 0, y = -1, y cent z.

பதில்: (0;0);(-3;-1).

14. y - x - xy = 2 சமன்பாட்டை முழு எண்களில் தீர்க்கவும்.

தீர்வு: y - xy - x + 1 = 3, (y + 1)(1 - x) = 3,

3 = 1·3 = 3·1 = (-1)·(-3) = (-3)·(-1).

y + 1 = 1 அல்லது y + 1 = 3 அல்லது y + 1 = -1 அல்லது y + 1 = -3

1 - x =3, 1 - x =1, 1 - x = -3, 1 - x = -1.

y = 0 அல்லது y = 2 அல்லது y = -2 அல்லது y = -4 x = -2, x = 0, x = 4, x = 2

பதில்: (-2;0);(0;2);(2;-4);(4;-2).

15. y + 4x + 2xy = 0 என்ற சமன்பாட்டை முழு எண்களில் தீர்க்கவும்.

தீர்வு: y + 4x + 2xy + 2 - 2 = 0, (2x + 1)(2 + y) = 2,

2 = 1∙2 = 2∙1 = (-2)∙(-1) = (-1)∙(-2).

2x + 1= 1 அல்லது 2x + 1= 2 அல்லது 2x + 1= -1 அல்லது 2x + 1= -2

2 + y = 2, 2 + y = 1, 2 + y = -2, 2 + y = -1; y = 0 அல்லது y = -1 அல்லது y = -4 அல்லது y = -3 x = 0, x cent Z, x = -1, x cent Z.

பதில்: (-1;-4);(0;0).

16. 5x + 10y = 21 என்ற சமன்பாட்டை முழு எண்களில் தீர்க்கவும்.

5(x + 2y) = 21, 21 != 5n என்பதால், வேர்கள் இல்லை.

பதில். வேர்கள் இல்லை.

17. 3x + 9y = 51 என்ற சமன்பாட்டை இயற்கை எண்களில் தீர்க்கவும்.

3(x + 3y) = 3∙17, x = 17 - 3y, y = 1, x = 14; y = 2, x = 11; y = 3, x = 8; y = 4, x = 5; y = 5, x = 2; y = 6, x = -1, -1cent N.

பதில்:(2;5);(5;4);(8;3);(11;2; (14:1).

18. 7x+5y=232 என்ற சமன்பாட்டை முழு எண்களில் தீர்க்கவும்.

இந்தச் சமன்பாட்டை நான் அறியாத சிறிய (மாடுலோ) குணகம் காணப்படுவதைப் பொறுத்து, அதாவது, இந்த விஷயத்தில் y: y = 232-7x5.

இந்த வெளிப்பாட்டில் x க்கு பதிலாக எண்களை மாற்றுகிறேன்: 0;1;2;3;4. எனக்கு கிடைக்கிறது: x=0, y=2325=4625, x=1, y=232-75=45, x=2, y=232-145=43.6, x=3, y=232-215=42, 2 , x=4, y=232-285=40.8

பதில். (1;45).

19. 3x + 4y + 5xy = 6 என்ற சமன்பாட்டை முழு எண்களில் தீர்க்கவும்.

என்னிடம் 3∙ 4 + 5∙ 6 = 42 = mn உள்ளது

வகுப்பிகள் 42: - +- (1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42).

x = m - 45, y = n - 35 m = -1, -6, 14, -21 n = -42, -7, 3, -2 தீர்வுகள்: x = -1, -2 , 2, -5 y = -9, -2, 0, -1.

எனவே, இந்த சமன்பாட்டில் முழு எண்களில் 4 தீர்வுகள் உள்ளன மற்றும் இயற்கை எண்களில் எதுவும் இல்லை.

பதில். -1;-9;-2;-2;2;0;(-5;-1).

20. 8x+65y=81 என்ற சமன்பாட்டை இயற்கை எண்களில் தீர்க்கவும்.

81⋮GCD(8;65)=>

8x=81-65y x=81-65y8=16+65-65y8=2+65(1-y)8.

1-y8=t, t Є Z. x=2+65t>0y=1-8t>0

65t>-2-8t>-1 t>-265 t t=0.

t=0 x=2y=1 இல்

பதில். (2;1).

21. 3x+7y=250 சமன்பாட்டிற்கு முழு எண் அல்லாத எதிர்மறை தீர்வுகளைக் கண்டறியவும்.

250⋮GCD(3;7) =>சமன்பாட்டை முழு எண்களில் தீர்க்கலாம்.

x=250-7y3=243+7-7y3=81+7(1-y)3.

1-y3=t, t Є Z எனலாம்.

x=81+7t>=0y=1-3t>=0

7t>=-81-3t>=-1 t>=-817t=-1147t t=-11;-10;. ;0.

x=81+7tу=1-3t t=-11 ​​x=4y=34 t=-10 x=11y=31 t=-9 x=18y=28 t=-8 x=25y=25 t=- 7 x =32y=22 t=-6 x=39y=19 t=-5 x=46y=16 t=-4 x=53y=13 t=-3 x=60y=10 t=-2 x=67y= 7 t =-1 x=74y=4 t=0 x=81y=1

பதில். 11;31;18;28;25;25;32;22;39;19;46;16;53;13;60;10;67;7;74;4;81;1.

22. xy+x+y3=1988 என்ற சமன்பாட்டை முழு எண்களில் தீர்க்கவும்.

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 3 ஆல் பெருக்குவோம். நாம் பெறுகிறோம்:

3x+3xy+y=5964

3x+3xy+y+1=5965

(3х+1)+(3х+у)=5965

(3x+1) + y(3x+1)=5965

(3x+1)(y+1)=5965

அல்லது -1193) அல்லது 5965=-1193∙(-5)

1) 3x+1=1y+1=5965 2) 3x+1=5965y+1=1 x=0y=5964 x=1988y=0

3) 3x+1=5y+1=1193 4) 3x+1=1193y+1=5 முழு எண்களில் தீர்வுகள் இல்லை முழு எண்களில் தீர்வுகள் இல்லை

5) 3x+1=-1y+1=-5965 6) 3x+1=-5965y+1=-1 முழு எண்களில் தீர்வுகள் இல்லை முழு எண்களில் தீர்வுகள் இல்லை

7) 3x+1=-5y+1=-1193 8) 3x+1=-1193y+1=-5 x=-2y=1194 x=-398y=-6

பதில். 0;5964;1988;0;-2;-1194;(-398;-6).

3. 2 சிக்கல்களைத் தீர்ப்பது

பல வகையான சிக்கல்கள் உள்ளன, பெரும்பாலும் இவை ஒலிம்பியாட் இயற்கையின் சிக்கல்கள், அவை டையோபான்டைன் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும். எடுத்துக்காட்டாக: அ) ஒரு குறிப்பிட்ட மதிப்பின் தொகையை மாற்றுவதற்கான பணிகள்.

ஆ) இடமாற்றம் மற்றும் பொருட்களைப் பிரிப்பதில் உள்ள சிக்கல்கள்.

1. 7 மற்றும் 12 பென்சில்கள் கொண்ட பெட்டிகளில் 390 வண்ண பென்சில்களை வாங்கினோம். இவற்றில் மற்றும் பிற பெட்டிகளில் எத்தனை வாங்கினீர்கள்?

நான் நியமிக்கிறேன்: x பெட்டிகள் 7 பென்சில்கள், y பெட்டிகள் 12 பென்சில்கள்.

ஒரு சமன்பாட்டை உருவாக்குகிறேன்: 7x + 12y = 390

நான் GCD(7, 12)=1ஐக் கண்டுபிடிப்பேன்

நான் ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வை வரையறுப்பேன்: x = (390 - 12y):7

ப்ரூட் ஃபோர்ஸ் முறையைப் பயன்படுத்தி, y є y = 1, x = 54 மதிப்பைக் கண்டேன்

(54;1) என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வு.

சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி மற்ற எல்லா தீர்வுகளையும் நான் காண்கிறேன்: x = -12k + 54, k є Z y = 7k + 1, k є Z

சமன்பாட்டிற்கு பல தீர்வுகளைக் கண்டேன். சிக்கலின் நிலைமைகளை கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டு, இரண்டு பெட்டிகளின் சாத்தியமான எண்ணிக்கையை நான் தீர்மானிப்பேன்.

பதில். நீங்கள் வாங்கலாம்: 7 பென்சில்கள் கொண்ட 54 பெட்டிகள் மற்றும் 12 பென்சில்கள் கொண்ட 1 பெட்டி, அல்லது 7 பென்சில்கள் கொண்ட 42 பெட்டிகள் மற்றும் 12 பென்சில்கள் கொண்ட 8 பெட்டிகள், அல்லது 7 பென்சில்கள் கொண்ட 30 பெட்டிகள் மற்றும் 12 பென்சில்கள் கொண்ட 15 பெட்டிகள் அல்லது 7 பென்சில்கள் கொண்ட 28 பெட்டிகள் மற்றும் 22 12 பென்சில்கள் கொண்ட பெட்டிகள் அல்லது 7 பென்சில்கள் கொண்ட 6 பெட்டிகள் மற்றும் 12 பென்சில்கள் கொண்ட 29 பெட்டிகள்.

2. செங்கோண முக்கோணத்தின் ஒரு கால் மற்றொன்றை விட 7 செ.மீ பெரியது, முக்கோணத்தின் சுற்றளவு 30 செ.மீ.

நான் நியமிப்பேன்: x cm - ஒரு கால், (x+7) cm - மற்றொரு கால், y cm - ஹைப்போடென்யூஸ்

நான் டையோஃபான்டைன் சமன்பாட்டை உருவாக்கி தீர்ப்பேன்: x+(x+7)+y=30

நான் GCD(2; 1)=1 ஐக் கண்டுபிடிப்பேன்

நான் ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வை வரையறுப்பேன்: x = (23 - y):2

ப்ரூட் ஃபோர்ஸ் முறையைப் பயன்படுத்தி, y =1 y = 1, x = 11 மதிப்பைக் கண்டேன்

(11;1) என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வு.

சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி சமன்பாட்டிற்கான மற்ற அனைத்து தீர்வுகளையும் நான் காண்கிறேன்: x = -k + 11, k є Z y = 2k + 1, k є Z k

ஒரு முக்கோணத்தின் எந்தப் பக்கமும் மற்ற இரண்டு பக்கங்களின் கூட்டுத்தொகையைக் காட்டிலும் குறைவாக இருப்பதைக் கருத்தில் கொண்டு, 7, 9 மற்றும் 14 பக்கங்களைக் கொண்ட மூன்று முக்கோணங்கள் உள்ளன என்ற முடிவுக்கு வருகிறோம்; 6, 11 மற்றும் 13; 5, 13 மற்றும் 12. பிரச்சனையின் நிபந்தனைகளின் படி, ஒரு செங்கோண முக்கோணம் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது. இது 5, 13 மற்றும் 12 பக்கங்களைக் கொண்ட ஒரு முக்கோணம் (பித்தகோரியன் தேற்றம் வைத்திருக்கிறது).

பதில்: ஒரு கால் 5 செ.மீ., மற்றொன்று 12 செ.மீ., ஹைப்போடென்யூஸ் 13 செ.மீ.

3. பல குழந்தைகள் ஆப்பிள்களை பறித்துக் கொண்டிருந்தனர். ஒவ்வொரு பையனும் 21 கிலோவும், பெண் 15 கிலோவும் சேகரித்தனர். மொத்தம் 174 கிலோ சேகரித்தனர். எத்தனை சிறுவர்கள் மற்றும் எத்தனை பெண்கள் ஆப்பிள்களை எடுத்தார்கள்?

x ஆண்களும் y பெண்களும் இருக்கட்டும், x மற்றும் y இயற்கை எண்களாக இருக்கட்டும். ஒரு சமன்பாட்டை உருவாக்குகிறேன்:

நான் தேர்வு முறை மூலம் தீர்க்கிறேன்: x

6 x = 4 இல் மட்டுமே இரண்டாவது தெரியாதது நேர்மறை முழு எண் மதிப்பைப் பெறுகிறது (y = 6). x இன் வேறு எந்த மதிப்புக்கும், y ஒரு பின்னமாகவோ அல்லது எதிர்மறையாகவோ இருக்கும். எனவே, பிரச்சனைக்கு ஒரு தனித்துவமான தீர்வு உள்ளது.

பதில். 4 சிறுவர்கள் மற்றும் 6 பெண்கள்.

4. 3 ரூபிள் மதிப்புள்ள பென்சில்கள் மற்றும் 20 ரூபிள் மதிப்புள்ள 6 ரூபிள் மதிப்புள்ள பேனாக்களின் தொகுப்பை உருவாக்க முடியுமா?

தொகுப்பில் உள்ள பென்சில்களின் எண்ணிக்கை x ஆகவும், பேனாக்களின் எண்ணிக்கை y ஆகவும் இருக்கட்டும்.

ஒரு சமன்பாட்டை உருவாக்குகிறேன்:

எந்த முழு எண்கள் x மற்றும் y க்கு, சமன்பாட்டின் இடது பக்கம் 3 ஆல் வகுபட வேண்டும்; வலது புறம் 3 ஆல் வகுபடாது. இதன் பொருள் x மற்றும் y ஆகிய முழு எண்கள் எதுவும் இல்லை, அவை நமது சமன்பாட்டை திருப்திப்படுத்துகின்றன. இந்த சமன்பாட்டை முழு எண்களில் தீர்க்க முடியாது. அத்தகைய தொகுப்பை உருவாக்குவது சாத்தியமில்லை.

பதில். தீர்வுகள் இல்லை.

5. 3 ஆல் வகுக்கும் போது, ​​2 இன் மீதியையும், 5 ஆல் வகுக்கும் போது, ​​3 இன் மீதியையும் விட்டுவிடும் இயற்கை எண்ணைக் கண்டறியவும்.

தேவையான எண்ணை x ஆல் குறிப்பேன். நான் x இன் விகுதியை 3 ஆல் y ஆல் குறிப்பதாயின், மற்றும் 5 ஆல் 5 ஆல் வகுபடும் பகுதியைக் குறிப்பதாக இருந்தால், நான் பெறுவது: x=3y+2x=5z+3

சிக்கலின் அர்த்தத்தின்படி, x, y மற்றும் z ஆகியவை இயற்கை எண்களாக இருக்க வேண்டும். இதன் பொருள் முழு எண்களில் உள்ள சமன்பாடுகளின் காலவரையற்ற அமைப்பை நாம் தீர்க்க வேண்டும்.

எந்த முழு எண் y மற்றும் z க்கும், x ஒரு முழு எண்ணாக இருக்கும். நான் இரண்டாவது சமன்பாட்டில் இருந்து முதல் கழிக்க மற்றும் பெற:

5z - 3y + 1 = 0.

அனைத்து நேர்மறை முழு எண்கள் y மற்றும் z ஆகியவற்றைக் கண்டறிந்த பிறகு, x இன் அனைத்து நேர்மறை முழு எண்களையும் உடனடியாகப் பெறுவேன்.

இந்த சமன்பாட்டிலிருந்து நான் கண்டேன்:

ஒரு தீர்வு தெளிவாக உள்ளது: z = 1 க்கு நாம் y = 2 ஐப் பெறுகிறோம், மேலும் x மற்றும் y என்பது முழு எண்கள். தீர்வு x = 8 அவர்களுக்கு ஒத்திருக்கிறது.

நான் மற்ற தீர்வுகளைக் கண்டுபிடிப்பேன். இதைச் செய்ய, நான் z = 1 + u என்ற துணை அறியப்படாத u ஐ அறிமுகப்படுத்துகிறேன். நான் பெறுவேன்:

5(1 + u) - 3y + 1 = 0, அதாவது 5u = 3y - 6 அல்லது 5u = 3(y - 2).

கடைசி சமன்பாட்டின் வலது பக்கம் எந்த முழு எண் y க்கும் 3 ஆல் வகுபடும். இதன் பொருள் இடது பக்கமும் 3 ஆல் வகுபட வேண்டும். எனவே நீங்கள் 3 ஆல் வகுபட வேண்டும், அதாவது 3n என்ற வடிவத்தைக் கொண்டிருக்க வேண்டும், இங்கு n ஒரு முழு எண். இந்த வழக்கில் y சமமாக இருக்கும்

15n/3 + 2 = 5n + 2, அதாவது ஒரு முழு எண். எனவே, z = 1 + u = 1 + 3n, எங்கிருந்து x = 5z + 3 = 8 + 15n.

முடிவு ஒன்றல்ல, ஆனால் x: x = 8 + 15n க்கான எண்ணற்ற மதிப்புகளின் தொகுப்பு, இங்கு n என்பது ஒரு முழு எண் (நேர்மறை அல்லது பூஜ்யம்):

பதில். x=8+15n; n є 0;1;2;.

6. பாடங்கள் 300 விலையுயர்ந்த கற்களை ஷாவுக்கு பரிசாகக் கொண்டு வந்தன: சிறிய பெட்டிகளில் ஒவ்வொன்றும் 15 துண்டுகள் மற்றும் பெரிய பெட்டிகளில் - 40 துண்டுகள். பெரிய பெட்டிகளை விட சிறியவை குறைவாக இருந்தன என்று தெரிந்தால், இவற்றில் மற்றும் பிற பெட்டிகளில் எத்தனை இருந்தன?

சிறிய பெட்டிகளின் எண்ணிக்கையை x ஆல் குறிக்கிறேன், பெரிய பெட்டிகளின் எண்ணிக்கையை y ஆல் குறிக்கிறேன்.

15x+40y=300. நான் அதை 5 ஆல் வெட்டுகிறேன்.

3x+8y=60 x=60-8y3 x=60-6y-2y3

X=20-2y-2y3

ஒரு பகுதியின் மதிப்பு முழு எண்ணாக இருக்க, 2y என்பது 3 இன் பெருக்கமாக இருக்க வேண்டும், அதாவது 2y = 3c.

நான் மாறி y ஐ வெளிப்படுத்தி முழு பகுதியையும் தேர்ந்தெடுக்கிறேன்:

Z என்பது 2 இன் பெருக்கமாக இருக்க வேண்டும், அதாவது z=2u.

நான் x மற்றும் y மாறிகளை u அடிப்படையில் வெளிப்படுத்துவேன்:

X=20-2y-2y3

Х=20-2∙3u-2∙3u3

நான் சமத்துவமின்மை அமைப்பை உருவாக்கி தீர்ப்பேன்:

நான் முழு தீர்வுகளையும் எழுதுவேன்: 1; 2. இப்போது u=1க்கான x மற்றும் y இன் மதிப்புகளைக் கண்டுபிடிப்பேன்; 2.

1) x1=20-8∙1=20-8=12 y1=3∙1=3

2) x2=20-8∙2=20-16=4 y2=3∙2=6

பதில். 4 சிறிய பெட்டிகள்; 6 பெரிய பெட்டிகள்.

7. இரண்டு உரல் 5557 கார்கள் வழங்கப்பட்டன, கார்கள் கிராஸ்னோடுரின்ஸ்க் - பெர்ம் - க்ராஸ்னோடுரின்ஸ்க் விமானத்தில் அனுப்பப்பட்டன. மொத்தத்தில், இந்த விமானத்தை முடிக்க 4 டன் டீசல் எரிபொருள் மற்றும் 2 டிரைவர்கள் தேவைப்பட்டனர். மொத்தம் 76,000 ரூபிள் செலவழிக்கப்பட்டதாகத் தெரிந்தால், போக்குவரத்து செலவுகள், அதாவது 1 டன் டீசல் எரிபொருளின் விலை மற்றும் இந்த விமானத்தை இயக்கும் ஓட்டுநர்களுக்கான ஊதியம் ஆகியவற்றை தீர்மானிக்க வேண்டியது அவசியம்.

x ரூபிள் என்பது 1 டன் டீசல் எரிபொருளின் விலையாகவும், x ரூபிள் என்பது ஓட்டுனர்களின் ஊதியமாகவும் இருக்கட்டும். பின்னர் (4x + 2y) ரூபிள் விமானத்தில் செலவிடப்பட்டது. மேலும் சிக்கலின் நிலைமைகளின்படி, 76,000 ரூபிள் செலவிடப்பட்டது.

நான் சமன்பாட்டைப் பெறுகிறேன்:

இந்த சமன்பாட்டை தீர்க்க, முரட்டு சக்தி முறையானது உழைப்பு மிகுந்த செயல்முறையாக இருக்கும். எனவே > முறையைப் பயன்படுத்துகிறேன்.

நான் y மாறியை x: மூலம் வெளிப்படுத்துவேன், முழு பகுதியையும் தேர்ந்தெடுத்து, பெறவும்: (1).

ஒரு பின்னத்தின் மதிப்பு முழு எண்ணாக இருக்க, 2x என்பது 4 இன் பெருக்கமாக இருக்க வேண்டும். அதாவது, 2x = 4z, z என்பது ஒரு முழு எண். இங்கிருந்து:

x இன் மதிப்பை வெளிப்பாடாக மாற்றுவேன் (1):

x, y 0, பின்னர் 19000 z 0, எனவே, z முழு எண் மதிப்புகளை 0 முதல் 19000 வரை வழங்குவதால், நான் x மற்றும் y இன் பின்வரும் மதிப்புகளைப் பெறுகிறேன்: z

போக்குவரத்து செலவுகள் குறித்த உண்மையான தரவுகளிலிருந்து, 1 டன் டீசல் எரிபொருள் (x) 18,000 ரூபிள் செலவாகும் என்று அறியப்படுகிறது. , மற்றும் விமானம் (y) செய்யும் ஓட்டுநர்களுக்கான கட்டணம் 10,000 ரூபிள் ஆகும். (தோராயமாக எடுக்கப்பட்ட தரவு). அட்டவணையில் இருந்து 18000 க்கு சமமான x மதிப்பு மற்றும் 10000 க்கு சமமான y மதிப்பு 9000 க்கு சமமான z மதிப்புக்கு ஒத்திருப்பதைக் காண்கிறோம், உண்மையில்: ;.

8. 27 ரூபிள் தொகையை எத்தனை வழிகளில் சேகரிக்க முடியும்? , இரண்டு ரூபிள் மற்றும் ஐந்து ரூபிள் நாணயங்கள் நிறைய உள்ளதா?

நான் குறிக்கிறேன்: x இரண்டு ரூபிள் நாணயங்கள் மற்றும் y ஐந்து ரூபிள் நாணயங்கள்

2x + 5y = 27 சிக்கலின் நிலையை கணக்கில் எடுத்துக்கொண்டு ஒரு சமன்பாட்டை உருவாக்குவேன்.

நான் GCD(2;5)=1ஐக் கண்டுபிடிப்பேன்

நான் ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வை வரையறுப்பேன்: x = (27-5y):2

ப்ரூட் ஃபோர்ஸ் முறையைப் பயன்படுத்தி, y є y = 1, x = 11 மதிப்பைக் கண்டேன்

(11;1) என்பது ஒரு குறிப்பிட்ட தீர்வு.

மற்ற அனைத்து தீர்வுகளும் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி காணப்படுகின்றன: x = -5k + 11, k є Z y = 2k + 1, k є Z

இந்த சமன்பாடு பல தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளது. வழங்கப்பட்ட நாணயங்களுடன் 27 ரூபிள் தொகையை நீங்கள் சேகரிக்கக்கூடிய அனைத்து வழிகளையும் கண்டுபிடிப்போம். கே

பதில். உங்களிடம் இரண்டு ரூபிள் மற்றும் ஐந்து ரூபிள் நாணயங்கள் இருந்தால், இந்தத் தொகையைச் சேகரிக்க மூன்று வழிகள் உள்ளன.

9. ஆக்டோபஸ்கள் மற்றும் நட்சத்திர மீன்கள் மீன்வளத்தில் வாழ்கின்றன என்று வைத்துக்கொள்வோம். ஆக்டோபஸ்களுக்கு 8 கால்கள் உள்ளன, நட்சத்திர மீன்களுக்கு 5 உள்ளன. மீன்வளத்தில் மொத்தம் எத்தனை விலங்குகள் உள்ளன?

x என்பது நட்சத்திர மீன்களின் எண்ணிக்கை, y என்பது ஆக்டோபஸ்களின் எண்ணிக்கை. பின்னர் அனைத்து ஆக்டோபஸ்களுக்கும் 8 கால்கள் உள்ளன, மேலும் அனைத்து நட்சத்திரங்களுக்கும் 5 கால்கள் உள்ளன.

ஒரு சமன்பாட்டை உருவாக்குகிறேன்: 5x + 8y = 39.

விலங்குகளின் எண்ணிக்கையை முழு எண் அல்லாத அல்லது எதிர்மறை எண்களாக வெளிப்படுத்த முடியாது என்பதை நினைவில் கொள்ளவும். எனவே, x என்பது எதிர்மில்லாத முழு எண்ணாக இருந்தால், y = (39 - 5x)/8 என்பது முழு எண்ணாகவும் எதிர்மறை அல்லாததாகவும் இருக்க வேண்டும், எனவே, 39 - 5x என்ற வெளிப்பாடு ஒரு இல்லாமல் 8 ஆல் வகுபடுவது அவசியம். மீதமுள்ள விருப்பங்களின் ஒரு எளிய தேடல் x = 3, பின்னர் y = 3 ஆகும்.

பதில்: (3; 3).

10. ஒரு தளபாட தொழிற்சாலை மூன்று மற்றும் நான்கு கால்கள் கொண்ட மலம் உற்பத்தி செய்கிறது. மாஸ்டர் 18 கால்களை உருவாக்கினார். அனைத்து கால்களும் பயன்படுத்தக்கூடிய வகையில் எத்தனை மலம் தயாரிக்க முடியும்?

x என்பது மூன்று கால் மலங்களின் எண்ணிக்கையாகவும், y என்பது நான்கு கால்களின் எண்ணிக்கையாகவும் இருக்கட்டும். பிறகு, 3x + 4y = 18.

என்னிடம் உள்ளது, 4y =18 - 3x; y = 3(6 - x):4.

நான் பெறுகிறேன்: x = 2; y = 3 அல்லது x = 6; y = 0.

x 6 இல் இருந்து வேறு தீர்வுகள் எதுவும் இல்லை.

பதில். 2;3;(6;0).

11. 4 மற்றும் 8 படுக்கைகள் கொண்ட கேபின்களில் 718 பேர் தங்குவதற்கு, கேபின்களில் காலி இருக்கைகள் இல்லாமல் இருக்க முடியுமா?

4 படுக்கை அறைகள் x ஆகவும், 8 படுக்கை அறைகள் y ஆகவும் இருக்கட்டும்:

2(x + 2y) = 309

பதில். இது தடைசெய்யப்பட்டுள்ளது.

12. 124x + 216y = 515 என்ற வரியில் முழு எண் ஆயங்களுடன் ஒரு புள்ளி கூட இல்லை என்பதை நிரூபிக்கவும்.

GCD(124,216) = 4, 515 != 4n, அதாவது முழு எண் தீர்வுகள் இல்லை.

பதில். தீர்வுகள் இல்லை.

13. பொருட்களின் விலை 23 ரூபிள், வாங்குபவர் 2 ரூபிள் நாணயங்கள் மட்டுமே, மற்றும் காசாளர் 5 ரூபிள் நாணயங்கள். முதலில் பணத்தை மாற்றாமல் வாங்குவது சாத்தியமா?

x என்பது 2 ரூபிள் நாணயங்களின் எண்ணிக்கை, y என்பது 5 ரூபிள் நாணயங்களின் எண்ணிக்கை, பின்னர் 2x - 5y = 23, இங்கு x,y є N.

நான் பெறுவது: 2x = 23 + 5y, எங்கிருந்து x =23 + 5y2 =11 + 2y + (1 + y)2 x என்பது 1 + y2 ஒரு முழு எண்ணாக இருக்கும்.

1 + y2 = t, அங்கு t யூரோ Z, பின்னர் y = 2t - 1.

x = 11 + 2y + 1 + y2 = 11 + 4t - 2 + 1 + 2t-12 = 5t + 9.

டி.ஓ. x = 5t + 9, மற்றும் y = 2t - 1, இதில் t є z.

பிரச்சனைக்கு பல முழு எண் தீர்வுகள் உள்ளன. அவற்றில் எளிமையானது t = 1, x =14, y = 1, அதாவது வாங்குபவர் பதினான்கு 2-ரூபிள் நாணயங்களைக் கொடுப்பார் மற்றும் மாற்றத்தில் ஒரு 5-ரூபிள் நாணயத்தைப் பெறுவார்.

பதில். முடியும்.

14. கடையின் வர்த்தகப் புத்தகங்களின் தணிக்கையின் போது, ​​உள்ளீடுகளில் ஒன்று மையால் மூடப்பட்டு இது போல் இருந்தது:

> விற்கப்பட்ட மீட்டர்களின் எண்ணிக்கையைக் கணக்கிடுவது சாத்தியமற்றது, ஆனால் எண்ணிக்கை ஒரு பின்னம் அல்ல என்பதில் சந்தேகமில்லை; வருமானத்தில் கடைசி மூன்று இலக்கங்களை மட்டுமே வேறுபடுத்தி அறிய முடிந்தது, மேலும் அவற்றுக்கு முன்னால் மற்ற மூன்று இலக்கங்கள் இருப்பதையும் நிறுவ முடிந்தது. இந்தத் தரவைப் பயன்படுத்தி பதிவை மீட்டெடுக்க முடியுமா?

மீட்டர்களின் எண்ணிக்கை x ஆக இருக்கட்டும், பின்னர் கோபெக்ஸில் உள்ள பொருட்களின் விலை 4936x ஆகும். மொத்தத்தில் நிரப்பப்பட்ட மூன்று இலக்கங்களை y எனக் குறிப்பிடுகிறோம், இது ஆயிரக்கணக்கான கோபெக்குகளின் எண்ணிக்கை, மேலும் கோபெக்குகளில் உள்ள முழுத் தொகையும் பின்வருமாறு வெளிப்படுத்தப்படும் (1000y + 728).

நான் 4936x = 1000y + 728 சமன்பாட்டைப் பெறுகிறேன், அதை 8 ஆல் வகுக்கிறேன்.

617x - 125y = 91, இங்கு x,y є z, x,y

125y = 617x - 91 y = 5x - 1 +34 - 8x125 = 5x - 1 + 2 17 - 4x125 =

5x - 1 + 2t, இங்கு t = 17 - 4x125, t யூரோ Z.

t = (17 - 4x)/125 சமன்பாட்டிலிருந்து x = 4 - 31t + 1 - t4 =

4 - 31t + t1, இங்கு t1 = 1 - t4, எனவே t = 1 - 4t1, a x = 125t1 - 27, y = 617t1 - 134.

நிபந்தனையின்படி எனக்கு 100 என்று தெரியும்

100 = 234/617 மற்றும் t1

இதன் பொருள் 98 மீட்டர் 4837.28 ரூபிள் அளவுக்கு விற்கப்பட்டது. பதிவு மீட்டெடுக்கப்பட்டது.

பதில். 98 மீட்டர் விடுவிக்கப்பட்டது.

15. ஒரு ரூபிளுக்கு 40 தபால் தலைகளை வாங்க வேண்டும் - கோபெக், 4-கோபெக் மற்றும் 12-கோபெக். ஒவ்வொரு வகையிலும் எத்தனை முத்திரைகளை வாங்கலாம்?

நீங்கள் இரண்டு சமன்பாடுகளை உருவாக்கலாம்: x + 4y + 12z = 100 மற்றும் x + y + z = 40, இங்கு x என்பது பென்னி மதிப்பெண்களின் எண்ணிக்கை, y என்பது 4-கோபெக் மதிப்பெண்களின் எண்ணிக்கை, z என்பது 12-கோபெக் மதிப்பெண்களின் எண்ணிக்கை. . நான் முதல் சமன்பாட்டில் இருந்து இரண்டாவது கழிக்கிறேன் மற்றும் பெறுகிறேன்:

3y + 11z = 60, y = 60 - 11z3 = 20 - 11· z3.

z3 = t, z = 3t, இங்கு t Euro Z. x + y + z = 40 மற்றும் z = 3t, மற்றும் y = 20 - 11t, x = 20 + 8t எனப் பெறுகிறேன்.

x >= 0, y >= 0, z >= 0, பிறகு 0

பின்னர், அதன்படி, நான் பெறுகிறேன்: t = 0, x = 20, y = 20, z = 0; t = 1, x = 28, y = 9, z = 3.

எனவே, ஸ்டாம்ப்களை வாங்குவது இரண்டு வழிகளில் மட்டுமே செய்ய முடியும், மேலும் ஒவ்வொரு மதிப்புக்கும் குறைந்தது ஒரு முத்திரையையாவது வாங்க வேண்டும் என்பது நிபந்தனை என்றால், ஒரே வழியில் மட்டுமே.

பதில். 1 கோபெக்கின் 28 மதிப்பெண்கள், 4 கோபெக்கின் 9 மதிப்பெண்கள் மற்றும் 12 கோபெக்கின் 3 மதிப்பெண்கள்.

16. ஒரு மாணவருக்கு 20 பிரச்சனைகள் அடங்கிய பணி வழங்கப்பட்டது. சரியாக தீர்க்கப்பட்ட ஒவ்வொரு கேள்விக்கும், அவர் 8 புள்ளிகளைப் பெறுகிறார், தீர்க்கப்படாத ஒவ்வொரு கேள்விக்கும், அவரிடமிருந்து 5 புள்ளிகள் கழிக்கப்படும். அவர் மேற்கொள்ளாத ஒரு பணிக்கு - 0 புள்ளிகள். மாணவி மொத்தம் 13 மதிப்பெண்கள் பெற்றுள்ளார். அவர் எத்தனை பிரச்சனைகளை தீர்க்க முயன்றார்?

சரியாக தீர்க்கப்பட்ட சிக்கல்கள் x ஆகவும், தவறாக தீர்க்கப்பட்ட சிக்கல்கள் y ஆகவும், கருதப்படாத சிக்கல்கள் z ஆகவும் இருக்கட்டும்.

பின்னர் x + y + z = 20, மற்றும் 8x - 5y = 13.

y = 8x - 135= x - 2 +3(x - 1)5 = x - 2 + 3t, ​​இங்கு t = x - 15, மற்றும் x = 5t + 1.

நிபந்தனையின்படி x + y

பதில்: மாணவர் 13 பிரச்சனைகளை எடுத்துக் கொண்டார், 6 ஐ தீர்த்தார், 7 இல் தோல்வியடைந்தார்.

17. இவானுஷ்கா தி ஃபூல் 2001 தலைகளைக் கொண்ட சர்ப்ப கோரினிச்சுடன் சண்டையிடுகிறார். இவன் தனது வாளை இடப்புறமாக துண்டித்து, பதிலுக்கு 16 வாளை வலப்புறமாக துண்டிக்கிறான், மேலும் 6 தலைகள் வெட்டப்பட்டால், புதிதாக வளரவில்லை. நீங்கள் எந்த வரிசையிலும் ஆடலாம், ஆனால் 15 க்கும் குறைவான கோல்கள் இருந்தால், இடதுபுறம் மட்டுமே, 10 க்கும் குறைவாக இருந்தால், இல்லை. இவானுஷ்கா தி ஃபூல் சர்ப்ப கோரினிச்சை தோற்கடிக்க முடியுமா?

சிக்கலை மீண்டும் சொல்கிறேன்: 1986 தலைகளை வெட்டுவது சாத்தியமா? பிறகு இவன் வலப்புறம் ஒரே அடியில் மீதியுள்ள 15 பேரையும் வெட்டி விடுவான், புதியவை வளராது.

x என்பது வலதுபுறம் உள்ள பக்கவாதம் மற்றும் y என்பது இடதுபுறம் உள்ள பக்கவாதம், பின்னர் 1986 - 9x + 6y = 0.

நான் முழு சமன்பாட்டை 6 ஆல் வகுக்கிறேன், நான் பெறுகிறேன்

3x - 2y = 662.

y = 3x - 6622 = x - 331 + x2.

x2 = t, பின்னர் x = 2t, மற்றும் y = 3t - 331 ஆகவும்.

x >= 0, y >= 0, பின்னர் t >= 111, எனவே t = 111, x = 222, y = 2.

நான் பெறுகிறேன்: வலதுபுறமாக 220 முறை அடித்ததன் மூலம், இவன் 1980 தலைகளை வெட்டுகிறான், பாம்புக்கு 21 தலைகள் உள்ளன; பின்னர் இடதுபுறமாக 2 அடிகள் மற்றும் பாம்பு 12 தலைகளை வளர்த்து, மொத்தம் 33; அடுத்த 2 அடிகள் வலப்புறம் பாம்பின் 18 தலைகளை இழக்கின்றன, மீதமுள்ள 15 தலைகளை இவன் வலப்புறத்தில் கடைசி அடியால் வெட்டுகிறான், புதிய தலைகள் வளரவில்லை.

பதில்: வலப்புறம் 220 வேலைநிறுத்தங்கள், இடதுபுறம் 2 அடிகள் மற்றும் வலதுபுறம் மேலும் 3 அடிகள்.

18. ஒரு பகடையின் பக்கங்கள் எண்ணப்பட்டுள்ளன - 1, 2, 3, 4, 5, 6. அத்தகைய 5 கனசதுரங்களில் இருந்து, அவர்கள் ஒரு கோபுரத்தை உருவாக்கி, மேல் கனசதுரத்தை அகற்றிய பிறகு, எல்லா முகங்களிலும் உள்ள புள்ளிகளின் கூட்டுத்தொகையை எண்ணினர். 19 ஆல் குறைக்கப்பட்டது, எந்த எண் மேல் கனசதுரத்தின் மேல் விளிம்பாக மாறியது?

ஒரு கனசதுரத்தின் புள்ளிகளின் கூட்டுத்தொகை 21 ஆகும்.

x என்பது மேல் கனசதுரத்தின் கீழ் முகத்தில் உள்ள புள்ளிகளின் எண்ணிக்கையாகவும், y என்பது அடுத்த கனசதுரத்தின் மேல் முகத்தில் உள்ள புள்ளிகளின் எண்ணிக்கையாகவும் இருக்கட்டும். நீங்கள் மேல் கனசதுரத்தை அகற்றும்போது, ​​மேல் கனசதுரத்தின் 5 முகங்களின் புள்ளிகள் மறைந்துவிடும், அதன் புள்ளிகளின் கூட்டுத்தொகை (21 - x), மற்றும் புள்ளிகள் தோன்றும் முகம், அதாவது புள்ளிகளின் கூட்டுத்தொகை உள்ளது (21 - x) - y ஆல் குறைக்கப்பட்டது, மேலும் நிபந்தனையின் படி இது 19 ஆகும், எனவே:

(21 - x) - y = 19, x + y = 2.

எனவே y = 2 - x, மற்றும் நிபந்தனை 1

19. ஒருவர் ஒரே மதிப்பின் 30 காசுகளுக்கு 30 பறவைகளை வாங்கினார். ஒவ்வொரு 3 சிட்டுக்குருவிகளுக்கும் 1 நாணயம், 2 புல்பிஞ்சுகளுக்கு - 1 நாணயம், 1 புறாவுக்கு - 2 நாணயங்கள். ஒவ்வொரு வகையிலும் எத்தனை பறவைகள் இருந்தன?

x சிட்டுக்குருவிகள், y bullfinches மற்றும் z புறாக்கள் இருக்கட்டும். பின்னர், நிபந்தனையின் படி, x + y + z = 30 மற்றும் 13x + 12y + 2z = 30.

நான் x + y + z = 30 மற்றும் 2x + 3y + 12z = 180, அல்லது y + 10z = 120, y = 120 - 10z, நிபந்தனையின்படி x

எனவே பின்வரும் விருப்பங்கள் (0;20;10); (9;10;11); (18;0;12).

பதில்: சிட்டுக்குருவிகள் - 0, புல்ஃபிஞ்ச்கள் - 20, புறாக்கள் - 10; சிட்டுக்குருவிகள் - 9, புல்ஃபின்ச்கள் - 10, புறாக்கள் - 11; சிட்டுக்குருவிகள் - 18, புல்ஃபிஞ்ச்கள் - 0, புறாக்கள் - 12.

20. அனைத்து இரண்டு இலக்க எண்களையும் கண்டறியவும், ஒவ்வொன்றும் 2 ஆல் குறைக்கப்படும் போது, ​​அதன் இலக்கங்களின் பெருக்கத்தின் ஐந்து மடங்குக்கு சமம்.

xy தேவையான இரண்டு இலக்க எண்களாக இருக்கட்டும்.

சமன்பாட்டிற்கு xy - 2 = 5xy, அல்லது (10x + y) - 5xy = 2 S = 0 மற்றும் அனைத்து இயற்கை தீர்வுகளையும் தொகுப்பிலிருந்து (x; 2) கண்டுபிடிப்பேன்.

x என்பது இரண்டு இலக்க எண்களின் முதல் இலக்கமாக இருப்பதால், அது 9 மதிப்புகளை மட்டுமே எடுக்க முடியும்.

அந்த. , தேவையான எண்கள்: 12, 22, 32,. , 92.

பதில். 12; 22, 32; 42; 52; 62; 72; 82; 92.

21. 102 செ.மீ நீளமுள்ள ஒரு கம்பியை 15 செ.மீ மற்றும் 12 செ.மீ நீளமுள்ள துண்டுகளாக வெட்ட வேண்டும், இதனால் அனைத்து கம்பிகளும் பயன்படுத்தப்படும். அதை எப்படி செய்வது?

x என்பது 15 செமீ நீளமுள்ள கம்பிகளின் எண்ணிக்கையாக இருக்கட்டும், y என்பது 12 செமீ நீளமுள்ள கம்பிகளின் எண்ணிக்கையாக இருக்கட்டும்.

15x+12y=102 /:3

4x+3y=34 x=34-4y5=6+4-4y5=6+4(1-y)5.

1-y5=t x=6+4t>0y=1-5t>0=> 4t>-6-5t>-1 => t>-1.5t t=0;-1.

t=0 என்றால், x=6y=1

t=-1 எனில், x=2y=6

பதில். பிரச்சனைக்கு இரண்டு தீர்வுகள் உள்ளன:

1) 102=15∙6+12∙1; 2) 102=15∙2+12∙6.

22. 1987 இல் Petya அவர் பிறந்த ஆண்டின் இலக்கங்களின் கூட்டுத்தொகையின் வயதுடையவர். அவர் எந்த ஆண்டில் பிறந்தார்?

பெட்டியா 1919 இல் பிறக்கட்டும். பின்னர் 1987 இல் அவருக்கு 1987-19xy அல்லது (1+9+x+y) வயது. எங்களிடம் சமன்பாடு உள்ளது:

87-(10x+y)=10+x+y

77-11x=2y y=77-11x2=38-11x-12.

x மற்றும் y ஆகியவை தசம எண் அமைப்பின் இலக்கங்கள் என்பதைக் கருத்தில் கொண்டு, தேர்வின் மூலம் நாம் கண்டுபிடிக்கிறோம்: x=3, y=1.

பதில். பெட்டியா 1970 இல் பிறந்தார்.

23. ஒருவர் கடையில் 19 ரூபிள் மதிப்புள்ள பொருளை வாங்குகிறார். அவரிடம் 15-மூன்று ரூபிள் நோட்டுகள் மட்டுமே உள்ளன, காசாளரிடம் 20-ஐந்து ரூபிள் நோட்டுகள் மட்டுமே உள்ளன. நான் செலுத்த முடியுமா மற்றும் எப்படி?

நேர்மறை முழு எண்களில் Diophantine சமன்பாட்டைத் தீர்ப்பதில் சிக்கல் வருகிறது: 3x - 5y = 19, x

x>0 மற்றும் y> 0 மற்றும் சிக்கலின் நிலைமைகளை கணக்கில் எடுத்துக்கொள்வதால், 0 ஐ நிறுவுவது எளிது

இது 2 சாத்தியமான மதிப்புகளுக்கு வழிவகுக்கிறது: x

பதில். 1) 19=3∙8-1∙5 2) 19=3∙13-4∙5.

24. 3 கிராம் எடையுள்ள 4 எடைகள் மற்றும் 5 கிராம் எடையுள்ள 7 எடைகள் மட்டுமே கொண்ட ஒரு குறிப்பிட்ட பொருளின் 28 கிராம் எடையை ஒரு கோப்பை அளவில் எடை போட முடியுமா?

இதைச் செய்ய, நீங்கள் சமன்பாட்டை தீர்க்க வேண்டும்:

x = 9 - 2(3y1 - 1) + y1 = 11-5y1.

எனவே x = 11 - 5 y1 y = 3 y1 - 1.

y1 க்கு எதிர்மறை மதிப்புகளை வழங்க முடியாது என்பது சிக்கலின் நிபந்தனைகளிலிருந்து பின்வருமாறு. அடுத்து y1 ஆக இருக்க வேண்டும்

பதில். 3 கிராம் 1 எடை மற்றும் 5 கிராம் 5 எடைகள்.

25. வாங்குபவர் 21 ரூபிள் கடையில் வாங்கினார். பொருட்கள். ஆனால் அவரிடம் 5 ரூபிள் மதிப்புள்ள ரூபாய் நோட்டுகள் மட்டுமே உள்ளன, அதே நேரத்தில் காசாளரிடம் 3 ரூபிள் நோட்டுகள் உள்ளன. உங்களிடம் பணம் இருந்தால் காசாளரிடம் பணம் செலுத்த முடியுமா மற்றும் எப்படி சரியாகச் செலுத்த முடியும் என்பதை நீங்கள் அறிய விரும்புகிறீர்களா?

x என்பது 5 - ரூபிள், y - 3 - ரூபிள் என இருக்கட்டும்.

நிபந்தனையின்படி, x > 0, y > 0, அதாவது.

மேலும், t என்பது சமமானது, இல்லையெனில் x அல்லது y ஆகியவை முழு எண்களாக இருக்காது.

t = 4, 6, 8, இல். எங்களிடம் உள்ளது: டி

பதில். 6;3;8;8;12;13;15;18;18;23;21;28;24;33;27;38;(30;43).

26. 110 தாள்கள் உள்ளன. தலா 8 தாள்கள் மற்றும் 10 தாள்கள் கொண்ட குறிப்பேடுகளை தைக்க வேண்டும். எத்தனை தைக்க வேண்டும்?

x என்பது 8 தாள் குறிப்பேடுகளின் எண்ணாகவும், y என்பது 10 தாள் குறிப்பேடுகளின் எண்ணிக்கையாகவும் இருக்கட்டும்.

எனவே t = 0 அல்லது t = - 1

பதில். 5;7;(10;3).

27. எண்கள் மற்றும் பிறந்த தேதிகளை யூகிக்கும் பல பழங்கால முறைகள் டியோபான்டைன் சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதை அடிப்படையாகக் கொண்டவை. எடுத்துக்காட்டாக, உங்கள் உரையாசிரியரின் பிறந்த தேதியை (மாதம் மற்றும் நாள்) யூகிக்க, இரண்டு தயாரிப்புகளைச் சேர்ப்பதன் மூலம் பெறப்பட்ட தொகையை அவரிடம் கேட்டால் போதும்: தேதி எண் (x) 12 மற்றும் மாத எண் (y) 31. .

கேள்விக்குரிய தயாரிப்புகளின் கூட்டுத்தொகை 330 க்கு சமமாக இருக்கட்டும். பிறந்த தேதியைக் கண்டறியவும்.

நிச்சயமற்ற சமன்பாட்டைத் தீர்ப்போம்: y = 2y1 + y2 = 2(2y2 + y3) + y2 = 5y2 + 2y3 = 5(2y3 - 6) + 2y3 = 12y3 - 30 x = 27 - 3(12y3 - 2y +20) y3 = 27 - 36y3 + 90 + 2(2y3 - 6) + y3 =

27 - 36y3 + 90 + 5y3 - 12 = 105 - 31y3 x = 12y3 - 30, y = 105 - 31y3

எனவே, பிறந்த தேதி: 6 வது மாதத்தின் 12 வது நாள்.

28. இரண்டு ரூபிள் மற்றும் ஐந்து ரூபிள் நாணயங்களுடன் 51 ரூபிள் தொகையை சேகரிக்க முடியுமா? முடிந்தால், எத்தனை வழிகள் உள்ளன?

x இரண்டு ரூபிள் நாணயங்கள் மற்றும் ஐந்து ரூபிள் நாணயங்கள் இருக்கட்டும்.

1+y2=z, பிறகு

=> z = 1, 2, 3, 4, 5

பதில்: 5 வழிகள்.

29. 10 மற்றும் 12 துண்டுகள் கொண்ட பெட்டிகளில் இருநூறு முட்டைகளை வைக்க முடியுமா? முடிந்தால், இதுபோன்ற அனைத்து வழிகளையும் கண்டறியவும்.

ஒவ்வொன்றும் 10 துண்டுகள் கொண்ட x பெட்டிகள் இருக்கட்டும் மற்றும் பெட்டிகள் ஒவ்வொன்றும் 12 துண்டுகளாக இருக்கட்டும். நான் ஒரு சமன்பாட்டை உருவாக்குகிறேன்: z = 1, 2, 3

பதில்: 14;5;8;10;(2;15)

30. 257 என்ற எண்ணை இரண்டு இயற்கைச் சொற்களின் கூட்டுத்தொகையாகக் கற்பனை செய்து பாருங்கள்: a) அதில் ஒன்று 3 இன் பெருக்கல், மற்றொன்று 4 இன் பெருக்கல்; b) அதில் ஒன்று 5 இன் பெருக்கல், மற்றொன்று 8 இன் பெருக்கல்.

பதில்: 1) 249 மற்றும் 8; 2) 225 மற்றும் 32.

காலவரையற்ற சமன்பாடுகளை உள்ளடக்கிய சிக்கல்களில், நான் பலவிதமான நிகழ்வுகளை எதிர்கொண்டேன்: சிக்கல் முற்றிலும் தீர்க்க முடியாததாக இருக்கலாம் (சிக்கல் 4), எண்ணற்ற தீர்வுகளைக் கொண்டிருக்கலாம் (சிக்கல் 2), பல திட்டவட்டமான தீர்வுகள் இருக்கலாம்; குறிப்பாக, இது ஒரு தனித்துவமான தீர்வைக் கொண்டிருக்கலாம் (சிக்கல் 1).

முடிவுரை

எனக்காக நான் நிர்ணயித்த இலக்கு அடையப்பட்டது. திட்டத்தில் பணிபுரிவது ஆர்வத்தைத் தூண்டியது மற்றும் என்னைக் கவர்ந்தது. இந்த வேலைக்கு என்னிடமிருந்து சில கணித அறிவு மற்றும் விடாமுயற்சி தேவைப்பட்டது, ஆனால் சுதந்திரமான கண்டுபிடிப்பின் பெரும் மகிழ்ச்சியை உணர எனக்கு வாய்ப்பளித்தது.

ஒலிம்பியாட் பணிகளில் Diophantine சமன்பாடுகள் காணப்படுகின்றன, எனவே அவை தர்க்கரீதியான சிந்தனையை உருவாக்குகின்றன, கணித கலாச்சாரத்தின் அளவை அதிகரிக்கின்றன மற்றும் கணிதத்தில் சுயாதீன ஆராய்ச்சி வேலைகளில் திறன்களை வளர்க்கின்றன.

சமன்பாடுகள் மற்றும் சிக்கல்களைத் தீர்க்கும் போது, ​​டையோஃபான்டைன் சமன்பாடுகளாகக் குறைக்கப்படும், பகா எண்களின் பண்புகள், பல்லுறுப்புக்கோவை காரணியாக்கும் முறை, எண்ணும் முறை, இறங்கு முறை மற்றும் யூக்ளிடியன் அல்காரிதம் ஆகியவை பயன்படுத்தப்படுகின்றன. என் கருத்துப்படி, இறங்கும் முறை மிகவும் கடினமானது. ஆனால் ப்ரூட் ஃபோர்ஸ் முறை எனக்கு மிகவும் அழகாக மாறியது.

எனது பணியில் 54 பிரச்சனைகளை தீர்த்து வைத்துள்ளேன்.

இந்தப் பணி பள்ளிப் பாடத்திட்டத்தைப் பற்றிய ஆழமான புரிதலுக்கும் எனது எல்லைகளை விரிவுபடுத்துவதற்கும் பங்களித்தது.

இந்த பொருள் கணிதத்தில் ஆர்வமுள்ள மாணவர்களுக்கு பயனுள்ளதாக இருக்கும். இது சில பாடங்கள் மற்றும் சாராத செயல்களில் பயன்படுத்தப்படலாம்.