இதை விட நீங்கள் தகுதியானவர் என்று நினைக்கிறேன். முக்கோணவியலுக்கான எனது திறவுகோல் இதோ:

• குவிமாடம், சுவர் மற்றும் கூரையை வரையவும்
• முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள் இந்த மூன்று வடிவங்களின் சதவீதங்களைத் தவிர வேறில்லை.

சைன் மற்றும் கொசைன் உருவகம்: குவிமாடம்

முக்கோணங்களைப் பார்ப்பதற்குப் பதிலாக, ஒரு குறிப்பிட்ட நிஜ வாழ்க்கை உதாரணத்தைக் கண்டுபிடிப்பதன் மூலம் அவற்றை செயலில் கற்பனை செய்து பாருங்கள்.

நீங்கள் ஒரு குவிமாடத்தின் நடுவில் இருப்பதாகவும், ஒரு மூவி ப்ரொஜெக்டர் திரையைத் தொங்கவிட விரும்புவதாகவும் கற்பனை செய்து பாருங்கள். நீங்கள் ஒரு குறிப்பிட்ட கோணத்தில் "x" இல் குவிமாடத்தில் உங்கள் விரலை சுட்டிக்காட்டுகிறீர்கள், மேலும் இந்த புள்ளியிலிருந்து திரை இடைநிறுத்தப்பட வேண்டும்.

நீங்கள் சுட்டிக்காட்டும் கோணம் தீர்மானிக்கிறது:

• சைன்(x) = sin(x) = திரை உயரம் (தளத்திலிருந்து குவிமாடம் வரை)
• cosine(x) = cos(x) = உங்களிடமிருந்து திரைக்கு உள்ள தூரம் (தரையில்)
• ஹைப்போடென்யூஸ், உங்களிடமிருந்து திரையின் மேல் உள்ள தூரம், எப்போதும் ஒரே மாதிரியாக, குவிமாடத்தின் ஆரத்திற்கு சமம்

திரை முடிந்தவரை பெரிதாக இருக்க வேண்டுமா? அதை உங்களுக்கு மேலே நேரடியாக தொங்க விடுங்கள்.

திரை உங்களிடமிருந்து முடிந்தவரை தொலைவில் இருக்க வேண்டுமா? அதை நேராக செங்குத்தாக தொங்க விடுங்கள். இந்த நிலையில் திரையில் பூஜ்ஜிய உயரம் இருக்கும் மற்றும் நீங்கள் கேட்டது போல் வெகு தொலைவில் தொங்கும்.

திரையில் இருந்து உயரம் மற்றும் தூரம் நேர்மாறான விகிதாச்சாரத்தில் உள்ளன: திரை நெருக்கமாக தொங்குகிறது, அதன் உயரம் அதிகமாகும்.

சைன் மற்றும் கொசைன் சதவீதம்

நான் படித்த ஆண்டுகளில் யாரும், ஐயோ, முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளான சைன் மற்றும் கொசைன் சதவீதங்களைத் தவிர வேறில்லை என்று எனக்கு விளக்கவில்லை. அவற்றின் மதிப்புகள் +100% முதல் 0 முதல் -100% வரை அல்லது நேர்மறை அதிகபட்சம் பூஜ்ஜியம் முதல் எதிர்மறை அதிகபட்சம் வரை இருக்கும்.

நான் 14 ரூபிள் வரி செலுத்தினேன் என்று வைத்துக்கொள்வோம். அது எவ்வளவு என்று உங்களுக்குத் தெரியாது. ஆனால் நான் 95% வரி செலுத்தினேன் என்று சொன்னால், நான் வெறுமனே கொள்ளையடிக்கப்பட்டேன் என்பதை நீங்கள் புரிந்துகொள்வீர்கள்.

முழுமையான உயரம் எதையும் குறிக்காது. ஆனால் சைன் மதிப்பு 0.95 ஆக இருந்தால், டிவி கிட்டத்தட்ட உங்கள் குவிமாடத்தின் மேல் தொங்குகிறது என்பதை நான் புரிந்துகொள்கிறேன். மிக விரைவில் அது குவிமாடத்தின் மையத்தில் அதன் அதிகபட்ச உயரத்தை எட்டும், பின்னர் மீண்டும் குறையத் தொடங்கும்.

இந்த சதவீதத்தை எப்படி கணக்கிடுவது? இது மிகவும் எளிமையானது: தற்போதைய திரையின் உயரத்தை அதிகபட்ச சாத்தியத்தால் வகுக்கவும் (குவிமாடத்தின் ஆரம், ஹைப்போடென்யூஸ் என்றும் அழைக்கப்படுகிறது).

அதனால் தான்"கோசைன் = எதிர் பக்கம் / ஹைப்போடென்யூஸ்" என்று நமக்குச் சொல்லப்படுகிறது. வட்டி பெறுவது தான்! சைனை "அதிகபட்ச சாத்தியத்திலிருந்து தற்போதைய உயரத்தின் சதவீதம்" என்று வரையறுப்பது சிறந்தது. (உங்கள் கோணம் "நிலத்தடியில் இருந்தால், சைன் எதிர்மறையாகிறது." கோணம் உங்களுக்குப் பின்னால் இருக்கும் குவிமாடப் புள்ளியை நோக்கிச் சென்றால், கோசைன் எதிர்மறையாகிறது.)

யூனிட் வட்டத்தின் மையத்தில் (ஆரம் = 1) இருக்கிறோம் என்று வைத்துக் கொண்டு கணக்கீடுகளை எளிதாக்குவோம். நாம் பிரிவைத் தவிர்த்துவிட்டு, உயரத்திற்கு சமமான சைனை எடுத்துக் கொள்ளலாம்.

ஒவ்வொரு வட்டமும் அடிப்படையில் ஒரு ஒற்றை வட்டம், விரும்பிய அளவுக்கு மேல் அல்லது கீழ் அளவிடப்படுகிறது. எனவே யூனிட் வட்ட இணைப்புகளைத் தீர்மானித்து, உங்கள் குறிப்பிட்ட வட்ட அளவிற்கு முடிவுகளைப் பயன்படுத்தவும்.

பரிசோதனை: எந்த மூலையையும் எடுத்து, உயரம் முதல் அகலம் எவ்வளவு சதவீதம் காட்டுகிறது என்பதைப் பார்க்கவும்:

சைன் மதிப்பின் வளர்ச்சியின் வரைபடம் ஒரு நேர் கோடு மட்டுமல்ல. முதல் 45 டிகிரி 70% உயரத்தை உள்ளடக்கியது, ஆனால் கடைசி 10 டிகிரி (80° முதல் 90° வரை) 2% மட்டுமே.

இது உங்களுக்கு தெளிவுபடுத்தும்: நீங்கள் ஒரு வட்டத்தில் நடந்தால், 0° இல் நீங்கள் ஏறக்குறைய செங்குத்தாக உயர்வீர்கள், ஆனால் நீங்கள் குவிமாடத்தின் உச்சியை நெருங்கும்போது, ​​உயரம் குறைவாகவும் குறைவாகவும் மாறும்.

தொடு மற்றும் செகண்ட். சுவர்

ஒரு நாள் பக்கத்து வீட்டுக்காரர் சுவர் கட்டினார் ஒருவருக்கொருவர் அடுத்ததாகஉங்கள் குவிமாடத்திற்கு. ஜன்னலில் இருந்து உங்கள் பார்வை மற்றும் மறுவிற்பனைக்கு நல்ல விலை!

ஆனால் இந்த சூழ்நிலையில் எப்படியாவது வெற்றி பெற முடியுமா?

நிச்சயமாக ஆம். நம் பக்கத்து வீட்டு சுவரில் ஒரு திரைப்படத் திரையைத் தொங்கவிட்டால் என்ன செய்வது? நீங்கள் கோணத்தை (x) குறிவைத்து பெறுங்கள்:

• tan(x) = tan(x) = சுவரில் உள்ள திரை உயரம்
• உங்களிடமிருந்து சுவருக்கு உள்ள தூரம்: 1 (இது உங்கள் குவிமாடத்தின் ஆரம், சுவர் உங்களிடமிருந்து எங்கும் நகரவில்லை, இல்லையா?)
• secant(x) = sec(x) = "ஏணியின் நீளம்" நீங்கள் குவிமாடத்தின் மையத்தில் நின்று இடைநிறுத்தப்பட்ட திரையின் மேல்

தொடுவானம் அல்லது திரை உயரம் தொடர்பான இரண்டு புள்ளிகளை தெளிவுபடுத்துவோம்.

• இது 0 இல் தொடங்குகிறது, மேலும் எல்லையற்ற உயரத்திற்கு செல்ல முடியும். உங்களுக்குப் பிடித்த திரைப்படத்தைப் பார்ப்பதற்கு முடிவற்ற கேன்வாஸை உருவாக்க, சுவரில் திரையை மேலும் உயரமாக நீட்டலாம்! (அவ்வளவு பெரிய ஒன்றுக்கு, நிச்சயமாக, நீங்கள் நிறைய பணம் செலவழிக்க வேண்டும்).
• டேன்ஜென்ட் என்பது சைனின் அளவிடப்பட்ட பதிப்பு மட்டுமே! நீங்கள் குவிமாடத்தின் உச்சியை நோக்கி நகரும்போது சைனின் அதிகரிப்பு குறையும் போது, ​​தொடுகோடு தொடர்ந்து வளர்ந்து வருகிறது!

செகான்சுவும் பெருமை பேச வேண்டிய ஒன்று உள்ளது:

• செகண்ட் 1 இல் தொடங்குகிறது (ஏணி தரையில் உள்ளது, உங்களிடமிருந்து சுவர் வரை) மற்றும் அங்கிருந்து உயரத் தொடங்குகிறது
• secant எப்போதும் தொடுகோடு விட நீளமாக இருக்கும். உங்கள் திரையைத் தொங்கவிட நீங்கள் பயன்படுத்தும் சாய்ந்த ஏணி, திரையை விட நீளமாக இருக்க வேண்டும், இல்லையா? (உண்மையற்ற அளவுகளுடன், திரை மிக நீளமாகவும், ஏணியை ஏறக்குறைய செங்குத்தாக வைக்க வேண்டியிருக்கும் போது, ​​அவற்றின் அளவுகள் ஏறக்குறைய ஒரே மாதிரியாக இருக்கும். ஆனால் அதன் பிறகும் செகண்ட் சிறிது நீளமாக இருக்கும்).

நினைவில் கொள்ளுங்கள், மதிப்புகள் சதவீதம். திரையை 50 டிகிரி கோணத்தில் தொங்கவிட முடிவு செய்தால், டான்(50)=1.19. உங்கள் திரை சுவருக்கான தூரத்தை விட (டோம் ஆரம்) 19% பெரியது.

(x=0 ஐ உள்ளிட்டு உங்கள் உள்ளுணர்வை சரிபார்க்கவும் - tan(0) = 0 மற்றும் நொடி(0) = 1.)

கோட்டான்ஜென்ட் மற்றும் கோசெகண்ட். உச்சவரம்பு

நம்பமுடியாத அளவிற்கு, உங்கள் அண்டை வீட்டார் இப்போது உங்கள் குவிமாடத்தின் மேல் கூரையைக் கட்ட முடிவு செய்துள்ளனர். (அவனுக்கு என்ன ஆச்சு? அவன் நிர்வாணமாக முற்றத்தில் சுற்றிக் கொண்டிருக்கும் போது நீ அவனை உளவு பார்ப்பதை அவன் விரும்பவில்லை...)

சரி, கூரைக்கு வெளியேறும் வழியை உருவாக்கி உங்கள் அண்டை வீட்டாருடன் பேச வேண்டிய நேரம் இது. நீங்கள் சாய்வின் கோணத்தைத் தேர்ந்தெடுத்து கட்டுமானத்தைத் தொடங்குங்கள்:

• கூரை கடைக்கும் தரைக்கும் இடையே உள்ள செங்குத்து தூரம் எப்போதும் 1 (குவிமாடத்தின் ஆரம்)
• cotangent(x) = cot(x) = குவிமாடத்தின் மேற்பகுதிக்கும் வெளியேறும் புள்ளிக்கும் இடையே உள்ள தூரம்
• cosecant(x) = csc(x) = கூரைக்கு செல்லும் பாதையின் நீளம்

தொடு மற்றும் செக்கன்ட் ஆகியவை சுவரை விவரிக்கின்றன, மேலும் கோட்டான்ஜென்ட் மற்றும் கோசெகண்ட் உச்சவரம்பை விவரிக்கின்றன.

இந்த முறை எங்கள் உள்ளுணர்வு முடிவுகள் முந்தைய முடிவுகளைப் போலவே உள்ளன:

• நீங்கள் 0°க்கு சமமான கோணத்தை எடுத்துக் கொண்டால், கூரைக்கு நீங்கள் வெளியேறுவது என்றென்றும் நீடிக்கும், ஏனெனில் அது ஒருபோதும் உச்சவரம்பை அடையாது. பிரச்சனை.
• நீங்கள் தரையில் 90 டிகிரி கோணத்தில் கட்டினால், கூரைக்கு குறுகிய "ஏணி" பெறப்படும். கோடேன்ஜென்ட் 0 க்கு சமமாக இருக்கும் (நாங்கள் கூரையுடன் செல்லவே மாட்டோம், கண்டிப்பாக செங்குத்தாக வெளியேறுகிறோம்), மேலும் கோசெகண்ட் 1 க்கு சமமாக இருக்கும் ("ஏணியின் நீளம்" குறைவாக இருக்கும்).

இணைப்புகளை காட்சிப்படுத்தவும்

மூன்று நிகழ்வுகளும் ஒரு குவிமாடம்-சுவர்-உச்சவரம்பு கலவையில் வரையப்பட்டால், இதன் விளைவாக பின்வருமாறு இருக்கும்:

சரி, அது இன்னும் அதே முக்கோணம், சுவர் மற்றும் கூரையை அடைய அளவு அதிகரித்துள்ளது. எங்களிடம் செங்குத்து பக்கங்களும் (சைன், டேன்ஜென்ட்), கிடைமட்ட பக்கங்களும் (கோசைன், கோட்டான்ஜென்ட்) மற்றும் "ஹைபோடெனஸ்கள்" (செகண்ட், கோசெகண்ட்) உள்ளன. (ஒவ்வொரு உறுப்பும் எங்கு சென்றடைகிறது என்பதை அம்புகள் மூலம் பார்க்கலாம். கோசெகண்ட் என்பது உங்களிடமிருந்து கூரைக்கு உள்ள மொத்த தூரம்).

கொஞ்சம் மந்திரம். அனைத்து முக்கோணங்களும் ஒரே சமத்துவத்தைப் பகிர்ந்து கொள்கின்றன:

பித்தகோரியன் தேற்றத்திலிருந்து (a 2 + b 2 = c 2) ஒவ்வொரு முக்கோணத்தின் பக்கங்களும் எவ்வாறு இணைக்கப்பட்டுள்ளன என்பதைப் பார்க்கிறோம். கூடுதலாக, "உயரம் முதல் அகலம்" விகிதங்கள் அனைத்து முக்கோணங்களுக்கும் ஒரே மாதிரியாக இருக்க வேண்டும். (பெரிய முக்கோணத்திலிருந்து சிறிய முக்கோணத்திற்கு நகர்த்தவும். ஆம், அளவு மாறிவிட்டது, ஆனால் பக்கங்களின் விகிதங்கள் அப்படியே இருக்கும்).

ஒவ்வொரு முக்கோணத்திலும் எந்தப் பக்கம் 1 (குவிமாடத்தின் ஆரம்) க்கு சமம் என்பதை அறிந்து, “sin/cos = tan/1” என்று எளிதாகக் கணக்கிடலாம்.

நான் எப்போதும் இந்த உண்மைகளை எளிமையான காட்சிப்படுத்தல் மூலம் நினைவில் வைக்க முயற்சித்தேன். படத்தில் நீங்கள் இந்த சார்புகளை தெளிவாகக் காண்கிறீர்கள் மற்றும் அவை எங்கிருந்து வருகின்றன என்பதைப் புரிந்து கொள்ளுங்கள். உலர் சூத்திரங்களை மனப்பாடம் செய்வதை விட இந்த நுட்பம் மிகவும் சிறந்தது.

மற்ற கோணங்களைப் பற்றி மறந்துவிடாதீர்கள்

Psst... தொடுவானம் எப்போதும் 1 ஐ விட குறைவாக இருக்கும் என்று நினைத்து, ஒரு வரைபடத்தில் சிக்கிக்கொள்ளாதீர்கள். கோணத்தை அதிகப்படுத்தினால், சுவரை அடையாமலேயே உச்சவரம்பை அடையலாம்:

பித்தகோரியன் இணைப்புகள் எப்போதும் வேலை செய்கின்றன, ஆனால் ஒப்பீட்டு அளவுகள் மாறுபடலாம்.

(சைன் மற்றும் கொசைன் விகிதங்கள் எப்போதும் சிறியதாக இருப்பதை நீங்கள் கவனித்திருக்கலாம், ஏனெனில் அவை குவிமாடத்திற்குள் உள்ளன).

சுருக்கமாக: நாம் நினைவில் கொள்ள வேண்டியது என்ன?

நம்மில் பெரும்பாலோருக்கு, இது போதுமானதாக இருக்கும் என்று நான் கூறுவேன்:

• முக்கோணவியல் வட்டங்கள் மற்றும் மீண்டும் மீண்டும் இடைவெளிகள் போன்ற கணிதப் பொருட்களின் உடற்கூறியல் விளக்குகிறது
• குவிமாடம்/சுவர்/கூரை ஒப்புமை வெவ்வேறு முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளுக்கு இடையே உள்ள தொடர்பைக் காட்டுகிறது
• முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள் சதவீதங்களில் விளைகின்றன, அதை நாங்கள் எங்கள் சூழ்நிலையில் பயன்படுத்துகிறோம்.

1 2 + கட்டில் 2 = csc 2 போன்ற சூத்திரங்களை நீங்கள் மனப்பாடம் செய்ய வேண்டியதில்லை. ஒரு உண்மையைப் பற்றிய அறிவைப் புரிந்துகொள்வது போன்ற முட்டாள்தனமான சோதனைகளுக்கு மட்டுமே அவை பொருத்தமானவை. ஒரு குவிமாடம், சுவர் மற்றும் கூரையின் வடிவத்தில் அரை வட்டத்தை வரைய ஒரு நிமிடம் எடுத்துக் கொள்ளுங்கள், உறுப்புகளை லேபிளிடுங்கள், மேலும் அனைத்து சூத்திரங்களும் காகிதத்தில் உங்களுக்கு வரும்.

பயன்பாடு: தலைகீழ் செயல்பாடுகள்

எந்த முக்கோணவியல் செயல்பாடும் ஒரு கோணத்தை உள்ளீட்டு அளவுருவாக எடுத்து, முடிவை ஒரு சதவீதமாக வழங்குகிறது. sin(30) = 0.5. இதன் பொருள் 30 டிகிரி கோணம் அதிகபட்ச உயரத்தில் 50% எடுக்கும்.

தலைகீழ் முக்கோணவியல் செயல்பாடு sin -1 அல்லது arcsin என எழுதப்பட்டுள்ளது. அசின் பெரும்பாலும் பல்வேறு நிரலாக்க மொழிகளில் எழுதப்பட்டுள்ளார்.

நமது உயரம் குவிமாடத்தின் உயரத்தில் 25% என்றால், நமது கோணம் என்ன?

எங்களின் விகிதாச்சார அட்டவணையில், செக்கன்ட் 1 ஆல் வகுக்கப்படும் விகிதத்தைக் காணலாம். எடுத்துக்காட்டாக, செகண்ட் 1 ஆல் (கிடைமட்டத்திற்கு ஹைபோடென்யூஸ்) கோசைனால் வகுக்கப்படும் 1க்கு சமமாக இருக்கும்:

நமது செகண்ட் 3.5 என்று வைத்துக் கொள்வோம், அதாவது. ஒரு அலகு வட்டத்தின் ஆரம் 350%. சுவரில் எந்த கோணத்தில் இந்த மதிப்பு ஒத்துப்போகிறது?

பின் இணைப்பு: சில உதாரணங்கள்

எடுத்துக்காட்டு: கோணம் x இன் சைனைக் கண்டறியவும்.

ஒரு சலிப்பான பணி. சாதாரணமான “பைண்ட் தி சைன்” என்பதை “அதிகபட்ச (ஹைபோடென்யூஸ்) சதவீதத்தின் உயரம் எவ்வளவு?” என்று சிக்கலாக்குவோம்.

முதலில், முக்கோணம் சுழற்றப்பட்டிருப்பதைக் கவனியுங்கள். அதில் தவறில்லை. முக்கோணத்திற்கும் உயரம் உள்ளது, இது படத்தில் பச்சை நிறத்தில் குறிக்கப்பட்டுள்ளது.

ஹைப்போடென்யூஸ் எதற்கு சமம்? பித்தகோரியன் தேற்றத்தின்படி, நமக்குத் தெரியும்:

3 2 + 4 2 = ஹைப்போடென்யூஸ் 2 25 = ஹைப்போடென்யூஸ் 2 5 = ஹைபோடென்யூஸ்

சரி! சைன் என்பது முக்கோணத்தின் நீளமான பக்கத்தின் உயரத்தின் சதவீதம் அல்லது ஹைப்போடென்யூஸ் ஆகும். எங்கள் எடுத்துக்காட்டில், சைன் 3/5 அல்லது 0.60 ஆகும்.

நிச்சயமாக, நாம் பல வழிகளில் செல்லலாம். இப்போது சைன் 0.60 என்பதை நாம் அறிவோம், ஆர்க்சைனை நாம் எளிமையாகக் காணலாம்:

அசின்(0.6)=36.9

இங்கே மற்றொரு அணுகுமுறை உள்ளது. முக்கோணம் "சுவரை எதிர்கொள்ளும்" என்பதைக் கவனியுங்கள், எனவே நாம் சைனுக்குப் பதிலாக தொடுகோட்டைப் பயன்படுத்தலாம். உயரம் 3, சுவருக்கான தூரம் 4, எனவே தொடுகோடு ¾ அல்லது 75%. ஒரு சதவீத மதிப்பிலிருந்து மீண்டும் ஒரு கோணத்திற்கு செல்ல ஆர்க்டேன்ஜெண்டைப் பயன்படுத்தலாம்:

Tan = 3/4 = 0.75 atan(0.75) = 36.9 எடுத்துக்காட்டு: நீங்கள் கரைக்கு நீந்துவீர்களா?

நீங்கள் ஒரு படகில் இருக்கிறீர்கள், உங்களிடம் 2 கிமீ பயணிக்க போதுமான எரிபொருள் உள்ளது. நீங்கள் இப்போது கடற்கரையிலிருந்து 0.25 கி.மீ. கரைக்கு எந்த அதிகபட்ச கோணத்தில் நீங்கள் போதுமான எரிபொருள் இருக்க வேண்டும் என்று நீந்தலாம்? சிக்கல் அறிக்கைக்கு கூடுதலாக: எங்களிடம் ஆர்க் கொசைன் மதிப்புகளின் அட்டவணை மட்டுமே உள்ளது.

நம்மிடம் என்ன இருக்கிறது? எங்கள் புகழ்பெற்ற முக்கோணத்தில் கடற்கரையை ஒரு "சுவர்" என்று குறிப்பிடலாம், மேலும் சுவருடன் இணைக்கப்பட்ட "ஏணியின் நீளம்" என்பது படகு மூலம் கரைக்கு (2 கிமீ) கடக்கக்கூடிய அதிகபட்ச தூரமாகும். ஒரு செகண்ட் தோன்றுகிறது.

முதலில், நீங்கள் சதவீதங்களுக்கு செல்ல வேண்டும். எங்களிடம் 2 / 0.25 = 8 உள்ளது, அதாவது, கரைக்கு (அல்லது சுவருக்கு) நேரடி தூரத்தை விட 8 மடங்கு தூரத்தை நீந்தலாம்.

கேள்வி எழுகிறது: "8 இன் செகண்ட் என்ன?" ஆனால் எங்களிடம் ஆர்க் கோசைன்கள் மட்டுமே இருப்பதால், அதற்கு பதிலளிக்க முடியாது.

கோசைனுடன் secantஐத் தொடர்புபடுத்த, எங்கள் முன்பு பெறப்பட்ட சார்புகளைப் பயன்படுத்துகிறோம்: “sec/1 = 1/cos”

8 இன் செகண்ட் ⅛ இன் கொசைனுக்குச் சமம். கோசைன் ⅛ ஆக இருக்கும் கோணம் acos(1/8) = 82.8. குறிப்பிட்ட அளவு எரிபொருளைக் கொண்ட படகில் நாம் வாங்கக்கூடிய மிகப்பெரிய கோணம் இதுவாகும்.

மோசமாக இல்லை, இல்லையா? குவிமாடம்-சுவர்-உச்சவரம்பு ஒப்புமை இல்லாமல், நான் பல சூத்திரங்கள் மற்றும் கணக்கீடுகளில் தொலைந்து போயிருப்பேன். சிக்கலைக் காட்சிப்படுத்துவது தீர்வுக்கான தேடலை பெரிதும் எளிதாக்குகிறது, மேலும் எந்த முக்கோணவியல் செயல்பாடு இறுதியில் உதவும் என்பதைப் பார்ப்பதும் சுவாரஸ்யமானது.

ஒவ்வொரு பிரச்சனைக்கும், இப்படிச் சிந்தியுங்கள்: குவிமாடம் (சின்/காஸ்), சுவர் (டான்/வினாடி) அல்லது கூரையில் (கட்டில்/சிஎஸ்சி) எனக்கு ஆர்வமா?

மேலும் முக்கோணவியல் மிகவும் சுவாரஸ்யமாக மாறும். உங்களுக்காக எளிதான கணக்கீடுகள்!

மாணவர்கள் அதிகம் போராடும் கணிதத் துறைகளில் ஒன்று முக்கோணவியல். இது ஆச்சரியமல்ல: இந்த அறிவுத் துறையில் சுதந்திரமாக தேர்ச்சி பெற, உங்களுக்கு இடஞ்சார்ந்த சிந்தனை, சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி சைன்கள், கோசைன்கள், டேன்ஜென்ட்கள், கோடன்ஜென்ட்களைக் கண்டறியும் திறன், வெளிப்பாடுகளை எளிதாக்குதல் மற்றும் பை எண்ணைப் பயன்படுத்துதல் ஆகியவை தேவை. கணக்கீடுகள். கூடுதலாக, நீங்கள் தேற்றங்களை நிரூபிக்கும் போது முக்கோணவியலைப் பயன்படுத்த வேண்டும், மேலும் இதற்கு வளர்ந்த கணித நினைவகம் அல்லது சிக்கலான தருக்க சங்கிலிகளைப் பெறுவதற்கான திறன் தேவை.

முக்கோணவியலின் தோற்றம்

இந்த அறிவியலுடன் பழகுவது ஒரு கோணத்தின் சைன், கொசைன் மற்றும் டேன்ஜென்ட் ஆகியவற்றின் வரையறையுடன் தொடங்க வேண்டும், ஆனால் முதலில் முக்கோணவியல் பொதுவாக என்ன செய்கிறது என்பதை நீங்கள் புரிந்து கொள்ள வேண்டும்.

வரலாற்று ரீதியாக, கணித அறிவியலின் இந்த பிரிவில் முக்கிய ஆய்வு பொருள் செங்கோண முக்கோணங்கள். 90 டிகிரி கோணத்தின் இருப்பு பல்வேறு செயல்பாடுகளைச் செய்வதை சாத்தியமாக்குகிறது, இது இரண்டு பக்கங்கள் மற்றும் ஒரு கோணம் அல்லது இரண்டு கோணங்கள் மற்றும் ஒரு பக்கத்தைப் பயன்படுத்தி கேள்விக்குரிய உருவத்தின் அனைத்து அளவுருக்களின் மதிப்புகளையும் தீர்மானிக்க அனுமதிக்கிறது. கடந்த காலத்தில், மக்கள் இந்த முறையைக் கவனித்தனர் மற்றும் கட்டிடங்கள், வழிசெலுத்தல், வானியல் மற்றும் கலையில் கூட கட்டுமானத்தில் தீவிரமாக பயன்படுத்தத் தொடங்கினர்.

முதல் கட்டம்

ஆரம்பத்தில், வலதுபுற முக்கோணங்களின் உதாரணத்தைப் பயன்படுத்தி மக்கள் கோணங்களுக்கும் பக்கங்களுக்கும் இடையிலான உறவைப் பற்றி பேசினர். கணிதத்தின் இந்த கிளையின் அன்றாட வாழ்க்கையில் பயன்பாட்டின் எல்லைகளை விரிவுபடுத்துவதை சாத்தியமாக்கிய சிறப்பு சூத்திரங்கள் கண்டுபிடிக்கப்பட்டன.

இன்று பள்ளியில் முக்கோணவியல் ஆய்வு செங்கோண முக்கோணங்களுடன் தொடங்குகிறது, அதன் பிறகு மாணவர்கள் இயற்பியலில் பெற்ற அறிவைப் பயன்படுத்துகிறார்கள் மற்றும் உயர்நிலைப் பள்ளியில் தொடங்கும் சுருக்க முக்கோணவியல் சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கிறார்கள்.

கோள முக்கோணவியல்

பின்னர், விஞ்ஞானம் வளர்ச்சியின் அடுத்த கட்டத்தை அடைந்தபோது, ​​கோள வடிவவியலில் சைன், கோசைன், டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட் கொண்ட சூத்திரங்கள் பயன்படுத்தத் தொடங்கின, அங்கு வெவ்வேறு விதிகள் பொருந்தும், மேலும் ஒரு முக்கோணத்தில் உள்ள கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை எப்போதும் 180 டிகிரிக்கு மேல் இருக்கும். இந்த பிரிவு பள்ளியில் படிக்கப்படவில்லை, ஆனால் பூமியின் மேற்பரப்பு மற்றும் வேறு எந்த கிரகத்தின் மேற்பரப்பும் குவிந்ததாக இருப்பதால் குறைந்தபட்சம் அதன் இருப்பைப் பற்றி அறிந்து கொள்வது அவசியம், அதாவது எந்த மேற்பரப்பின் குறிப்பையும் மூன்றில் "வில் வடிவில்" இருக்கும். - பரிமாண இடம்.

பூகோளத்தையும் நூலையும் எடுத்துக் கொள்ளுங்கள். உலகில் ஏதேனும் இரண்டு புள்ளிகளுடன் நூலை இணைக்கவும், அதனால் அது இறுக்கமாக இருக்கும். தயவுசெய்து கவனிக்கவும் - இது ஒரு வில் வடிவத்தை எடுத்துள்ளது. கோள வடிவவியல் அத்தகைய வடிவங்களைக் கையாள்கிறது, இது புவியியல், வானியல் மற்றும் பிற கோட்பாட்டு மற்றும் பயன்பாட்டு துறைகளில் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

வலது முக்கோணம்

முக்கோணவியலைப் பயன்படுத்துவதற்கான வழிகளைப் பற்றி கொஞ்சம் கற்றுக்கொண்ட பிறகு, சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் என்றால் என்ன, அவற்றின் உதவியுடன் என்ன கணக்கீடுகளைச் செய்யலாம் மற்றும் என்ன சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்த வேண்டும் என்பதை மேலும் புரிந்து கொள்ள அடிப்படை முக்கோணவியலுக்குத் திரும்புவோம்.

முதல் படி ஒரு செங்கோண முக்கோணம் தொடர்பான கருத்துக்களை புரிந்து கொள்ள வேண்டும். முதலில், ஹைப்போடென்யூஸ் என்பது 90 டிகிரி கோணத்திற்கு எதிரே உள்ள பக்கமாகும். இது மிக நீளமானது. பித்தகோரியன் தேற்றத்தின்படி, அதன் எண் மதிப்பு மற்ற இரு பக்கங்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகையின் மூலத்திற்கு சமம் என்பதை நாம் நினைவில் கொள்கிறோம்.

எடுத்துக்காட்டாக, இரண்டு பக்கங்களும் முறையே 3 மற்றும் 4 சென்டிமீட்டராக இருந்தால், ஹைப்போடென்யூஸின் நீளம் 5 சென்டிமீட்டராக இருக்கும். மூலம், பண்டைய எகிப்தியர்கள் இதைப் பற்றி நான்கரை ஆயிரம் ஆண்டுகளுக்கு முன்பே அறிந்திருந்தனர்.

வலது கோணத்தை உருவாக்கும் இரண்டு மீதமுள்ள பக்கங்களும் கால்கள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. கூடுதலாக, ஒரு செவ்வக ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் ஒரு முக்கோணத்தில் உள்ள கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 180 டிகிரிக்கு சமம் என்பதை நாம் நினைவில் கொள்ள வேண்டும்.

வரையறை

இறுதியாக, வடிவியல் அடிப்படையைப் பற்றிய உறுதியான புரிதலுடன், ஒரு கோணத்தின் சைன், கொசைன் மற்றும் டேன்ஜென்ட் ஆகியவற்றின் வரையறைக்கு ஒருவர் திரும்பலாம்.

ஒரு கோணத்தின் சைன் என்பது எதிர் காலின் விகிதமாகும் (அதாவது, விரும்பிய கோணத்திற்கு எதிரே உள்ள பக்கம்) ஹைப்போடென்யூஸுக்கு. ஒரு கோணத்தின் கொசைன் என்பது ஹைபோடென்யூஸுக்கு அருகிலுள்ள பக்கத்தின் விகிதமாகும்.

சைன் அல்லது கொசைன் ஒன்றை விட பெரியதாக இருக்க முடியாது என்பதை நினைவில் கொள்ளுங்கள்! ஏன்? ஹைபோடென்யூஸ் முன்னிருப்பாக மிக நீளமாக இருப்பதால், கால் எவ்வளவு நீளமாக இருந்தாலும், அது ஹைப்போடென்யூஸை விட குறைவாக இருக்கும், அதாவது அவற்றின் விகிதம் எப்போதும் ஒன்றுக்கு குறைவாகவே இருக்கும். எனவே, ஒரு சிக்கலுக்கான உங்கள் பதிலில், 1 ஐ விட அதிகமான மதிப்புள்ள சைன் அல்லது கொசைன் கிடைத்தால், கணக்கீடுகள் அல்லது தர்க்கத்தில் பிழை உள்ளதா எனப் பார்க்கவும். இந்த பதில் தெளிவாக தவறானது.

இறுதியாக, ஒரு கோணத்தின் தொடுகோடு என்பது எதிரெதிர் பக்கத்திற்கும் அருகிலுள்ள பக்கத்திற்கும் உள்ள விகிதமாகும். கோசைன் மூலம் சைன் வகுத்தால் அதே பலன் கிடைக்கும். பார்: சூத்திரத்தின்படி, பக்கத்தின் நீளத்தை ஹைப்போடென்யூஸால் வகுக்கிறோம், பின்னர் இரண்டாவது பக்கத்தின் நீளத்தால் வகுத்து, ஹைபோடென்யூஸால் பெருக்குகிறோம். இவ்வாறு, தொடுகோடு வரையறையில் உள்ள அதே உறவைப் பெறுகிறோம்.

கோட்டான்ஜென்ட், அதன்படி, மூலையை ஒட்டிய பக்கத்தின் எதிர் பக்கத்தின் விகிதமாகும். தொடுகால் ஒன்றைப் பிரிப்பதன் மூலம் அதே முடிவைப் பெறுகிறோம்.

எனவே, சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட் என்ன என்பதற்கான வரையறைகளைப் பார்த்தோம், மேலும் சூத்திரங்களுக்குச் செல்லலாம்.

எளிமையான சூத்திரங்கள்

முக்கோணவியலில் நீங்கள் சூத்திரங்கள் இல்லாமல் செய்ய முடியாது - அவை இல்லாமல் சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட், கோடேன்ஜென்ட் ஆகியவற்றை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது? ஆனால் பிரச்சனைகளை தீர்க்கும் போது இதுவே சரியாக தேவைப்படுகிறது.

முக்கோணவியலைப் படிக்கத் தொடங்கும் போது நீங்கள் தெரிந்து கொள்ள வேண்டிய முதல் சூத்திரம், ஒரு கோணத்தின் சைன் மற்றும் கொசைனின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகை ஒன்றுக்கு சமம் என்று கூறுகிறது. இந்த சூத்திரம் பித்தகோரியன் தேற்றத்தின் நேரடி விளைவாகும், ஆனால் பக்கத்தை விட கோணத்தின் அளவை நீங்கள் தெரிந்து கொள்ள வேண்டும் என்றால் அது நேரத்தை மிச்சப்படுத்துகிறது.

பல மாணவர்களால் இரண்டாவது சூத்திரத்தை நினைவில் கொள்ள முடியாது, இது பள்ளி சிக்கல்களைத் தீர்க்கும் போது மிகவும் பிரபலமானது: ஒன்றின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் ஒரு கோணத்தின் தொடுகோட்டின் சதுரம் கோணத்தின் கோசைனின் சதுரத்தால் வகுக்கப்பட்ட ஒன்றுக்கு சமம். கூர்ந்து கவனியுங்கள்: இது முதல் சூத்திரத்தில் உள்ள அதே அறிக்கையாகும், அடையாளத்தின் இரு பக்கங்களும் கோசைனின் சதுரத்தால் வகுக்கப்படுகின்றன. ஒரு எளிய கணித செயல்பாடு முக்கோணவியல் சூத்திரத்தை முற்றிலும் அடையாளம் காண முடியாததாக மாற்றுகிறது. நினைவில் கொள்ளுங்கள்: சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட் என்றால் என்ன, உருமாற்ற விதிகள் மற்றும் பல அடிப்படை சூத்திரங்கள் ஆகியவற்றை அறிந்துகொள்வதன் மூலம், நீங்கள் எந்த நேரத்திலும் ஒரு தாளில் தேவையான சிக்கலான சூத்திரங்களைப் பெறலாம்.

இரட்டைக் கோணங்கள் மற்றும் வாதங்களைச் சேர்ப்பதற்கான சூத்திரங்கள்

நீங்கள் கற்றுக்கொள்ள வேண்டிய மேலும் இரண்டு சூத்திரங்கள், கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் வேறுபாட்டிற்கான சைன் மற்றும் கொசைன் மதிப்புகளுடன் தொடர்புடையவை. அவை கீழே உள்ள படத்தில் வழங்கப்பட்டுள்ளன. முதல் வழக்கில், சைன் மற்றும் கொசைன் இரண்டு முறை பெருக்கப்படுகிறது, இரண்டாவதாக, சைன் மற்றும் கோசைனின் ஜோடிவரிசை தயாரிப்பு சேர்க்கப்படுகிறது.

இரட்டை கோண வாதங்களுடன் தொடர்புடைய சூத்திரங்களும் உள்ளன. அவை முற்றிலும் முந்தையவற்றிலிருந்து பெறப்பட்டவை - ஒரு நடைமுறையாக, பீட்டா கோணத்திற்கு சமமான ஆல்பா கோணத்தை எடுத்து அவற்றை நீங்களே பெற முயற்சிக்கவும்.

இறுதியாக, சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் ஆல்பாவின் சக்தியைக் குறைக்க இரட்டைக் கோண சூத்திரங்களை மறுசீரமைக்க முடியும் என்பதை நினைவில் கொள்ளவும்.

தேற்றங்கள்

அடிப்படை முக்கோணவியலில் இரண்டு முக்கிய தேற்றங்கள் சைன் தேற்றம் மற்றும் கொசைன் தேற்றம் ஆகும். இந்த கோட்பாடுகளின் உதவியுடன், சைன், கொசைன் மற்றும் டேன்ஜென்ட் ஆகியவற்றை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்பதை நீங்கள் எளிதாக புரிந்து கொள்ளலாம், எனவே உருவத்தின் பரப்பளவு மற்றும் ஒவ்வொரு பக்கத்தின் அளவு போன்றவை.

ஒரு முக்கோணத்தின் ஒவ்வொரு பக்கத்தின் நீளத்தையும் எதிரெதிர் கோணத்தால் வகுத்தால் அதே எண்ணில் விளைகிறது என்று சைன் தேற்றம் கூறுகிறது. மேலும், இந்த எண் சுற்றப்பட்ட வட்டத்தின் இரண்டு ஆரங்களுக்கு சமமாக இருக்கும், அதாவது கொடுக்கப்பட்ட முக்கோணத்தின் அனைத்து புள்ளிகளையும் கொண்ட வட்டம்.

கொசைன் தேற்றம் பித்தகோரியன் தேற்றத்தைப் பொதுமைப்படுத்துகிறது, எந்த முக்கோணத்திலும் அதைக் காட்டுகிறது. இரண்டு பக்கங்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகையிலிருந்து, அவற்றின் தயாரிப்புகளை அருகிலுள்ள கோணத்தின் இரட்டை கொசைனால் பெருக்கினால் கழிக்கவும் - இதன் விளைவாக வரும் மதிப்பு மூன்றாவது பக்கத்தின் சதுரத்திற்கு சமமாக இருக்கும். எனவே, பித்தகோரியன் தேற்றம் கொசைன் தேற்றத்தின் ஒரு சிறப்பு நிகழ்வாக மாறுகிறது.

கவனக்குறைவான தவறுகள்

சைன், கோசைன் மற்றும் டேன்ஜென்ட் என்றால் என்ன என்பதை அறிந்தாலும், மனச்சோர்வு அல்லது எளிய கணக்கீடுகளில் உள்ள பிழை காரணமாக தவறு செய்வது எளிது. இத்தகைய தவறுகளைத் தவிர்க்க, மிகவும் பிரபலமானவற்றைப் பார்ப்போம்.

முதலில், நீங்கள் இறுதி முடிவைப் பெறும் வரை பின்னங்களை தசமமாக மாற்றக்கூடாது - நிபந்தனைகளில் குறிப்பிடப்படாவிட்டால், பதிலை ஒரு பின்னமாக விட்டுவிடலாம். அத்தகைய மாற்றத்தை தவறு என்று அழைக்க முடியாது, ஆனால் சிக்கலின் ஒவ்வொரு கட்டத்திலும் புதிய வேர்கள் தோன்றக்கூடும் என்பதை நினைவில் கொள்ள வேண்டும், இது ஆசிரியரின் யோசனையின்படி குறைக்கப்பட வேண்டும். இந்த வழக்கில், தேவையற்ற கணித செயல்பாடுகளில் உங்கள் நேரத்தை வீணடிப்பீர்கள். மூன்று அல்லது இரண்டின் வேர் போன்ற மதிப்புகளுக்கு இது குறிப்பாக உண்மை, ஏனெனில் அவை ஒவ்வொரு அடியிலும் சிக்கல்களில் காணப்படுகின்றன. "அசிங்கமான" எண்களை வட்டமிடுவதற்கும் இதுவே செல்கிறது.

மேலும், கோசைன் தேற்றம் எந்த முக்கோணத்திற்கும் பொருந்தும், ஆனால் பித்தகோரியன் தேற்றம் அல்ல! அவற்றுக்கிடையே உள்ள கோணத்தின் கோசைனால் பெருக்கப்படும் பக்கங்களின் இரு மடங்கு பெருக்கத்தை நீங்கள் தவறாகக் கழிக்க மறந்துவிட்டால், நீங்கள் முற்றிலும் தவறான முடிவைப் பெறுவீர்கள், ஆனால் நீங்கள் விஷயத்தைப் பற்றிய முழுமையான புரிதல் இல்லாததைக் காட்டுவீர்கள். இது கவனக்குறைவான தவறை விட மோசமானது.

மூன்றாவதாக, சைன்கள், கொசைன்கள், டேன்ஜென்ட்கள், கோட்டான்ஜென்ட்கள் ஆகியவற்றிற்கான 30 மற்றும் 60 டிகிரி கோணங்களுக்கான மதிப்புகளை குழப்ப வேண்டாம். இந்த மதிப்புகளை நினைவில் கொள்ளுங்கள், ஏனெனில் 30 டிகிரியின் சைன் 60 இன் கொசைனுக்கு சமம், மற்றும் நேர்மாறாகவும். அவர்களை குழப்புவது எளிது, இதன் விளைவாக நீங்கள் தவிர்க்க முடியாமல் தவறான முடிவைப் பெறுவீர்கள்.

விண்ணப்பம்

பல மாணவர்கள் முக்கோணவியல் படிப்பைத் தொடங்க அவசரப்படுவதில்லை, ஏனெனில் அதன் நடைமுறை அர்த்தத்தை அவர்கள் புரிந்து கொள்ளவில்லை. பொறியாளர் அல்லது வானியல் நிபுணருக்கு சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் என்றால் என்ன? தொலைதூர நட்சத்திரங்களுக்கான தூரத்தை நீங்கள் கணக்கிடலாம், ஒரு விண்கல் வீழ்ச்சியைக் கணிக்கலாம் அல்லது மற்றொரு கிரகத்திற்கு ஆராய்ச்சி ஆய்வை அனுப்பலாம். அவை இல்லாமல், ஒரு கட்டிடத்தை கட்டுவது, ஒரு காரை வடிவமைப்பது, ஒரு மேற்பரப்பில் சுமை அல்லது ஒரு பொருளின் பாதையை கணக்கிடுவது சாத்தியமில்லை. இவை மிகவும் வெளிப்படையான எடுத்துக்காட்டுகள்! எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, இசை முதல் மருத்துவம் வரை எல்லா இடங்களிலும் ஒரு வடிவத்தில் அல்லது இன்னொரு வடிவத்தில் முக்கோணவியல் பயன்படுத்தப்படுகிறது.

இறுதியாக

எனவே நீங்கள் சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட். நீங்கள் அவற்றை கணக்கீடுகளில் பயன்படுத்தலாம் மற்றும் பள்ளி சிக்கல்களை வெற்றிகரமாக தீர்க்கலாம்.

முக்கோணவியலின் முழு புள்ளியும் ஒரு முக்கோணத்தின் அறியப்பட்ட அளவுருக்களைப் பயன்படுத்தி நீங்கள் தெரியாதவற்றைக் கணக்கிட வேண்டும் என்ற உண்மைக்கு வருகிறது. மொத்தம் ஆறு அளவுருக்கள் உள்ளன: மூன்று பக்கங்களின் நீளம் மற்றும் மூன்று கோணங்களின் அளவு. பணிகளில் உள்ள ஒரே வித்தியாசம், வெவ்வேறு உள்ளீட்டுத் தரவுகள் வழங்கப்படுவதில் உள்ளது.

கால்கள் அல்லது ஹைப்போடென்யூஸின் அறியப்பட்ட நீளத்தின் அடிப்படையில் சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் ஆகியவற்றை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது என்பது உங்களுக்கு இப்போது தெரியும். இந்த சொற்கள் ஒரு விகிதத்தைத் தவிர வேறொன்றைக் குறிக்கவில்லை, மற்றும் விகிதம் ஒரு பின்னம் என்பதால், ஒரு முக்கோணவியல் சிக்கலின் முக்கிய குறிக்கோள் ஒரு சாதாரண சமன்பாடு அல்லது சமன்பாடுகளின் அமைப்பின் வேர்களைக் கண்டறிவதாகும். இங்கே வழக்கமான பள்ளி கணிதம் உங்களுக்கு உதவும்.

கொசைன்- அடிப்படை முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளில் ஒன்று. கொசைன்ஓம் காரமான கோணம்ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில், ஹைபோடென்யூஸுக்கு அருகிலுள்ள பக்கத்தின் விகிதம் அழைக்கப்படுகிறது. கோசைனின் வரையறை ஒரு செங்கோண முக்கோணத்துடன் பிணைக்கப்பட்டுள்ளது, ஆனால் பெரும்பாலும் கோசைன் தீர்மானிக்கப்பட வேண்டிய கோணம் வலது முக்கோணத்தில் வைக்கப்படுவதில்லை. எந்த ஒரு கொசைன் மதிப்பை எப்படி கண்டுபிடிப்பது கோணம் ?

வழிமுறைகள்

1. கோணம்ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில், நீங்கள் கொசைனின் வரையறையைப் பயன்படுத்த வேண்டும் மற்றும் ஹைபோடென்யூஸுக்கு அருகிலுள்ள காலின் விகிதத்தைக் கண்டறிய வேண்டும்: cos? = a/c, இங்கு a என்பது காலின் நீளம், c என்பது ஹைப்போடென்யூஸின் நீளம்.

2. நீங்கள் கொசைனைக் கண்டறிய வேண்டும் என்றால் கோணம்ஒரு தன்னிச்சையான முக்கோணத்தில், நீங்கள் கொசைன் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்த வேண்டும்: கோணம் கடுமையானதாக இருந்தால்: cos? = (a2 + b2 – c2)/(2ab); = (c2 – a2 – b2)/(2ab), இங்கு a, b என்பது மூலையை ஒட்டிய பக்கங்களின் நீளம், c என்பது மூலைக்கு எதிரே உள்ள பக்கத்தின் நீளம்.

3. நீங்கள் கொசைனைக் கண்டறிய வேண்டும் என்றால் கோணம்ஒரு தன்னிச்சையான வடிவியல் உருவத்தில், நீங்கள் மதிப்பை தீர்மானிக்க வேண்டும் கோணம்டிகிரி அல்லது ரேடியன்கள், மற்றும் கொசைன் கோணம்ஒரு பொறியியல் கால்குலேட்டர், பிராடிஸ் அட்டவணைகள் அல்லது வேறு ஏதேனும் கணிதப் பயன்பாடு ஆகியவற்றின் துணையுடன் அதன் மதிப்பைக் கண்டறியவும்.

கொசைன்கோணத்தின் அடிப்படை முக்கோணவியல் செயல்பாடு ஆகும். வெக்டார் இயற்கணிதத்தில் வெவ்வேறு அச்சுகளில் திசையன்களின் கணிப்புகளை தீர்மானிக்கும் போது கொசைனை எவ்வாறு தீர்மானிப்பது என்பதை அறிவது பயனுள்ளதாக இருக்கும்.

வழிமுறைகள்

1. கொசைன்ஒரு கோணத்தின் ஓம் என்பது ஹைபோடென்யூஸுக்கு கோணத்திற்கு அருகில் உள்ள காலின் விகிதமாகும். இதன் பொருள் ஒரு செங்கோண முக்கோண ABC (ABC என்பது ஒரு வலது கோணம்), கோண BAC இன் கொசைன் AB மற்றும் AC விகிதத்திற்கு சமமாக இருக்கும். ACB கோணத்திற்கு: cos ACB = BC/AC.

2. ஆனால் ஒரு கோணம் எப்போதும் ஒரு முக்கோணத்திற்கு சொந்தமானது அல்ல; கூடுதலாக, செங்கோண முக்கோணத்தின் ஒரு பகுதியாக இருக்க முடியாத மழுங்கிய கோணங்கள் உள்ளன. கதிர்களால் கோணம் குறிப்பிடப்படும்போது வழக்கைக் கருத்தில் கொள்வோம். இந்த வழக்கில் கோணத்தின் கோசைனைக் கணக்கிட, பின்வருமாறு தொடரவும். ஒரு ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பு மூலையில் இணைக்கப்பட்டுள்ளது, ஆயத்தொலைவுகள் மூலையின் உச்சியில் இருந்து கணக்கிடப்படுகின்றன, X அச்சு மூலையின் ஒரு பக்கத்தில் செல்கிறது, Y அச்சு X அச்சுக்கு செங்குத்தாக கட்டப்பட்டுள்ளது, இதன் பிறகு, அலகு ஆரம் மூலையின் உச்சியில் மையத்துடன் கட்டப்பட்டுள்ளது. கோணத்தின் இரண்டாவது பக்கமானது A புள்ளியில் வட்டத்தை வெட்டுகிறது. புள்ளி A இலிருந்து X அச்சுக்கு செங்குத்தாக விடவும், செங்குத்தாக வெட்டும் புள்ளியை Ax அச்சுடன் குறிக்கவும். நீங்கள் ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தை AAxO பெறுவீர்கள், மேலும் கோணத்தின் கோசைன் AAx/AO ஆகும். வட்டம் அலகு ஆரம் என்பதால், AO = 1 மற்றும் கோணத்தின் கோசைன் AAx க்கு சமமாக இருக்கும்.

3. ஒரு மழுங்கிய கோணத்தின் விஷயத்தில், அதே கட்டுமானங்கள் மேற்கொள்ளப்படுகின்றன. கொசைன்மழுங்கிய கோணம் எதிர்மறையானது, ஆனால் அது கோடாரிக்கு சமம்.

தலைப்பில் வீடியோ

குறிப்பு!
சில கோணங்களின் கோசைன்கள் பிராடிஸ் அட்டவணையில் வழங்கப்படுகின்றன.

சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் போன்ற கருத்துக்கள் அன்றாட வாழ்வில் அடிக்கடி சந்திக்க வாய்ப்பில்லை. இருப்பினும், உங்கள் உயர்நிலைப் பள்ளி மகனுடன் கணிதச் சிக்கல்களைத் தீர்க்க நீங்கள் அமர்ந்திருந்தால், இந்த பிரதிநிதித்துவங்கள் என்ன என்பதையும், ஒரு கொசைனை எவ்வாறு கண்டறிவது, சொல்வது என்பதையும் நினைவில் வைத்துக் கொள்வது நல்லது.

வழிமுறைகள்

தலைப்பில் வீடியோ

பெரும்பாலும் வடிவியல் (முக்கோணவியல்) சிக்கல்களில் அதைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் கொசைன்கோணம் முக்கோணம், ஏனெனில் கொசைன்கோணத்தின் அளவை சந்தேகத்திற்கு இடமின்றி தீர்மானிக்க கோணம் உங்களை அனுமதிக்கிறது.

வழிமுறைகள்

1. கண்டுபிடிப்பதற்காக கொசைன்கோணம் முக்கோணம், பக்கங்களின் நீளம் அறியப்படுகிறது, நாம் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தலாம் கொசைன் ov. இந்தத் தேற்றத்தின்படி, ஒரு தன்னிச்சையான முக்கோணத்தின் ஒரு பக்கத்தின் நீளத்தின் சதுரம், இந்தப் பக்கங்களின் நீளத்தின் பெருக்கத்தின் இரு மடங்கு இல்லாமல் அதன் மற்ற 2 பக்கங்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமம். கொசைன்அவற்றுக்கிடையேயான கோணம்: a?=b?+c?-2*b*c*cos?, எங்கே: a, b, c என்பது முக்கோணத்தின் பக்கங்கள் (அல்லது அவற்றின் நீளம்),? – பக்கத்திற்கு எதிர் கோணம் (அதன் மதிப்பு) மேலே உள்ள சமத்துவத்தில் இருந்து сos?:сos?=(b?+c?-а?)/(2*b*c) உதாரணம் 1. உள்ளது. 3, 4, 5 மிமீக்கு சமமான பக்கங்களைக் கொண்ட ஒரு முக்கோணம் கொசைன்பெரிய பக்கங்களுக்கு இடையே உள்ள கோணம் தீர்வு: சிக்கலின் நிலைமைகளின்படி, எங்களிடம் உள்ளது: a = 3, b = 4, c = 5. பக்கத்திற்கு எதிரே உள்ள கோணத்தைக் குறிப்போம் ? மேலே பெறப்பட்ட சூத்திரம், எங்களிடம் உள்ளது: cos? = (b? + c?-a?)/(2*b*c)=(4?+5?-3?)/(2*4*5)=(16 +25-9)/40=32/40=0, 8பதில்: 0.8.

2. முக்கோணம் செங்கோணமாக இருந்தால், கண்டுபிடிக்கவும் கொசைன்ஒவ்வொரு இரு பக்கங்களின் நீளத்தையும் அறிய ஒரு கோணம் போதுமானது ( கொசைன்வலது கோணம் 0) a, b, c ஆகிய பக்கங்களைக் கொண்ட ஒரு முக்கோணம் இருக்கட்டும், அங்கு c என்பது அனைத்து விருப்பங்களையும் பார்ப்போம்: எடுத்துக்காட்டு 2. பக்கங்களின் நீளம் (கால்கள்) என்றால் முக்கோணத்தின்) அறியப்படுகிறது, மேலும் பித்தகோரியன் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துவோம்: c?=b?+a?,c=v(b?+a?)cos?=(b?+c?-a?)/(2* b*c)=(b?+b?+a? -a?)/(2*b*v(b?+a?))=(2*b?)/(2*b*v(b?) +a?))=b/v(b?+a?)இதன் விளைவாக வரும் சூத்திரத்தின் சரியான தன்மையை சரிபார்க்க, எடுத்துக்காட்டாக 1, அதாவது a = 3, b = 4 இலிருந்து மதிப்புகளை அதில் மாற்றுவோம். அடிப்படை கணக்கீடுகளை செய்த பிறகு, நாம் பெறுகிறோம்: cos = 0.8.

3. இதேபோல் அமைந்துள்ளது கொசைன்ஒரு செவ்வக வடிவில் முக்கோணம்மற்ற சந்தர்ப்பங்களில்: எடுத்துக்காட்டு 3. பிரபலமான a மற்றும் c (ஹைபோடென்யூஸ் மற்றும் எதிர் கால்), сos?b?=с?-а?,b=v(c?-а?)сos?=(b?+c?- a?)/(2*b*c)=(с?-а?+с?-а?)/(2*с*v(s?-а?))=(2*с?-2*а ?)/(2*c*v(c?-a?))=v(c?-a?)/c முதல் எடுத்துக்காட்டில் இருந்து a=3 மற்றும் c=5 மதிப்புகளைப் பெறுகிறோம்: cos ?=0.8.

4. எடுத்துக்காட்டு 4. வெஸ்டிம்கள் பி மற்றும் சி (ஹைபோடென்யூஸ் மற்றும் அருகிலுள்ள கால்கள்) இதே போன்ற சீர்திருத்தங்களை மேற்கொண்ட பிறகு (உதாரணங்கள் 2 மற்றும் 3 இல் காட்டப்பட்டுள்ளது), நாங்கள் அதைக் காண்கிறோம் கொசைன்வி முக்கோணம்மிகவும் எளிதான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடப்படுகிறது: cos? = b/c. கால் என்பது ஹைபோடென்யூஸின் ப்ராஜெக்ஷன், எனவே அதன் நீளம் cos ஆல் பெருக்கப்படும் ஹைப்போடென்ஸின் நீளத்திற்கு சமம்? நமது சூத்திரங்கள் அனைத்தும் சரியானவை என்று அர்த்தம்.

உதவிக்குறிப்பு 5: செங்கோண முக்கோணத்தில் தீவிர கோணத்தைக் கண்டறிவது எப்படி

நேரடியாக கார்போனிக்முக்கோணம், வெளிப்படையாக, மிகவும் பிரபலமான ஒன்றாகும், வரலாற்றுக் கண்ணோட்டத்தில், வடிவியல் புள்ளிவிவரங்கள். பித்தகோரியன் "காற்சட்டை" யுரேகாவுடன் மட்டுமே போட்டியிட முடியும்! ஆர்க்கிமிடிஸ்.

உனக்கு தேவைப்படும்

• - ஒரு முக்கோணத்தின் வரைதல்;
• - ஆட்சியாளர்;
• - ப்ராட்ராக்டர்

வழிமுறைகள்

1. வழக்கம் போல், ஒரு முக்கோணத்தின் மூலைகளின் முனைகள் பெரிய லத்தீன் எழுத்துக்களால் (A, B, C) மற்றும் எதிர் பக்கங்கள் சிறிய லத்தீன் எழுத்துக்களால் (a, b, c) அல்லது முக்கோணத்தின் உச்சிகளின் பெயர்களால் குறிக்கப்படுகின்றன. இந்தப் பக்கத்தை உருவாக்குகிறது (AC, BC, AB).

2. ஒரு முக்கோணத்தின் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 180 டிகிரி ஆகும். ஒரு செவ்வக வடிவில் முக்கோணம்ஒரு கோணம் (நேராக) மாறாமல் 90 டிகிரியாக இருக்கும், மற்றது கடுமையானது, அதாவது. எல்லா வழிகளிலும் 90 டிகிரிக்கும் குறைவாக. செவ்வக வடிவில் என்ன கோணம் என்பதை தீர்மானிக்க முக்கோணம்நேராக உள்ளது, ஒரு ஆட்சியாளரின் ஆதரவுடன் முக்கோணத்தின் பக்கங்களை அளவிடவும் மற்றும் மிகப்பெரிய ஒன்றை தீர்மானிக்கவும். இது ஹைப்போடென்யூஸ் (AB) என்று அழைக்கப்படுகிறது மற்றும் வலது கோணத்திற்கு (C) எதிரே அமைந்துள்ளது. மீதமுள்ள இரண்டு பக்கங்களும் ஒரு சரியான கோணத்தை உருவாக்குகின்றன மற்றும் அவை கால்கள் (AC, BC) என்று அழைக்கப்படுகின்றன.

3. எந்த கோணம் தீவிரமானது என்பதை நீங்கள் தீர்மானித்தவுடன், நீங்கள் ஒரு ப்ராட்ராக்டரைப் பயன்படுத்தி கோணத்தை அளவிடலாம் அல்லது கணித சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி கணக்கிடலாம்.

4. ஒரு ப்ரோட்ராக்டரின் உதவியுடன் கோணத்தின் அளவை தீர்மானிக்க, அதன் உச்சியை (எழுத்து A ஆல் குறிக்கப்படுகிறது) ப்ரோட்ராக்டரின் மையத்தில் உள்ள ஆட்சியாளரின் மீது ஒரு சிறப்பு அடையாளத்துடன் சீரமைக்கவும். ப்ரோட்ராக்டரின் அரை வட்டப் பகுதியில் ஹைப்போடென்யூஸ் AB கடந்து செல்லும் புள்ளியைக் குறிக்கவும். இந்த புள்ளியில் உள்ள மதிப்பு டிகிரி கோணத்துடன் ஒத்துள்ளது. ப்ரோட்ராக்டரில் 2 மதிப்புகள் சுட்டிக்காட்டப்பட்டிருந்தால், கடுமையான கோணத்திற்கு நீங்கள் சிறிய ஒன்றைத் தேர்வு செய்ய வேண்டும், ஒரு மழுங்கிய கோணத்திற்கு - பெரியது.

6. பிராடிஸ் குறிப்பு அட்டவணையில் பெறப்பட்ட மதிப்பைக் கண்டறிந்து, இதன் விளைவாக வரும் எண் மதிப்பு எந்தக் கோணத்துடன் ஒத்துப்போகிறது என்பதைத் தீர்மானிக்கவும். எங்கள் பாட்டி இந்த முறையைப் பயன்படுத்தினர்.

7. இப்போதெல்லாம், முக்கோணவியல் சூத்திரங்களைக் கணக்கிடுவதற்கான செயல்பாடு கொண்ட கால்குலேட்டரை எடுத்துக் கொண்டால் போதும். உள்ளமைக்கப்பட்ட விண்டோஸ் கால்குலேட்டர் என்று வைத்துக்கொள்வோம். "கால்குலேட்டர்" பயன்பாட்டைத் தொடங்கவும், "பார்வை" மெனு உருப்படியில், "பொறியியல்" உருப்படியைத் தேர்ந்தெடுக்கவும். விரும்பிய கோணத்தின் சைனைக் கணக்கிடுங்கள், sin(A) = BC/AB = 2/4 = 0.5 எனக் கூறுங்கள்

8. கால்குலேட்டர் டிஸ்ப்ளேவில் உள்ள INV பட்டனைக் கிளிக் செய்வதன் மூலம் கால்குலேட்டரை தலைகீழ் செயல்பாடுகள் பயன்முறைக்கு மாற்றவும், பின்னர் ஆர்க்சைன் செயல்பாட்டைக் கணக்கிடுவதற்கான பொத்தானைக் கிளிக் செய்யவும் (காட்சியில் மைனஸ் ஃபர்ஸ்ட் பவருக்கு பாவம் என குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது). கணக்கீட்டு சாளரத்தில் மேலும் ஒரு கல்வெட்டு தோன்றும்: asind (0.5) = 30. I.e. விரும்பிய கோணம் 30 டிகிரி ஆகும்.

ஒரு கோணம் மற்றும் இரண்டு பக்கங்களில் இருந்து மூன்றாவது பக்கத்தைக் கண்டறிய வேண்டியிருக்கும் போது, ​​கணிதத்தில் கொசைன் தேற்றம் பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுகிறது. இருப்பினும், சில நேரங்களில் சிக்கலின் நிலை எதிர்மாறாக அமைக்கப்படுகிறது: கொடுக்கப்பட்ட 3 பக்கங்களைக் கொண்ட ஒரு கோணத்தைக் கண்டறிய வேண்டும்.

வழிமுறைகள்

1. 2 பக்கங்களின் நீளமும் ஒரு கோணத்தின் மதிப்பும் தெரிந்த ஒரு முக்கோணம் உங்களுக்கு வழங்கப்பட்டுள்ளது என்று கற்பனை செய்து பாருங்கள். இந்த முக்கோணத்தின் அனைத்து கோணங்களும் ஒன்றுக்கொன்று சமமாக இல்லை, மேலும் அதன் பக்கங்களும் அளவு வேறுபட்டவை. மூலை? முக்கோணத்தின் பக்கத்திற்கு எதிரே உள்ளது, இந்த உருவத்தின் அடிப்படையான AB என குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது. இந்தக் கோணத்தின் மூலமாகவும், மீதமுள்ள பக்கங்களான AC மற்றும் BC மூலமாகவும், அறியப்படாத முக்கோணத்தின் பக்கத்தைக் கண்டறிய முடியும், கொசைன் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி, அதன் அடிப்படையில் கீழே கொடுக்கப்பட்டுள்ள சூத்திரத்தைப் பெறலாம்: a^2=b^2 +c^2-2bc*cos?, இங்கு a=BC, b=AB, c=AC கோசைன் தேற்றம், மாறாக, பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட பித்தகோரியன் தேற்றம் என்று அழைக்கப்படுகிறது.

2. இப்போது உருவத்தின் மூன்று பக்கங்களும் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன என்று கற்பனை செய்து பாருங்கள், ஆனால் அதே நேரத்தில் அதன் கோணம்? தெரியவில்லை சூத்திரம் a^2=b^2+c^2-2bc*cos a ^2.இதற்குப் பிறகு, மேலே உள்ள சமன்பாட்டை சற்று மாறுபட்ட வடிவத்திற்குக் கொண்டு வாருங்கள்: b^2+c^2-a^2=2bc*cos?. இதற்குப் பிறகு, இந்த வெளிப்பாடு கீழே உள்ளதாக மாற்றப்பட வேண்டும்: cos?= ?b^2+c ^2-a^2/2bc சூத்திரத்தில் எண்களை மாற்றுவது மற்றும் கணக்கீடுகளை மேற்கொள்வது மட்டுமே.

3. ஒரு முக்கோணத்தின் கோணத்தின் கோசைனைக் கண்டறிய, ? என குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது, அது ஆர்க் கோசைன் எனப்படும் தலைகீழ் முக்கோணவியல் செயல்பாட்டின் மூலம் வெளிப்படுத்தப்பட வேண்டும். m என்ற எண்ணின் வில் கோசைன் எந்த கோணத்தின் மதிப்பு? மீ சமம். y=arccos m செயல்பாடு குறைந்து வருகிறது. கற்பனை செய்து பாருங்கள், கோணத்தின் கொசைன் என்ன? ஒரு 2 க்கு சமம். அப்புறம் கோணம்? ஆர்க் கொசைன் மூலம் பின்வருமாறு வரையறுக்கலாம்:? = arccos, m = arccos 1/2 = 60°, இங்கு m = 1/2 இதே வழியில், 2 அறியப்படாத பக்கங்களுடன் ஒரு முக்கோணத்தின் மீதமுள்ள கோணங்களைக் கண்டறிய முடியும்.

4. ரேடியன்களில் கோணங்கள் வழங்கப்பட்டால், பின்வரும் விகிதத்தைப் பயன்படுத்தி அவற்றை டிகிரிக்கு மாற்றவும்:? ரேடியன் = 180 டிகிரி பொறியியல் கால்குலேட்டர்களில் பெரும்பாலானவை கோண அலகுகளை மாற்றும் திறனைக் கொண்டுள்ளன என்பதை நினைவில் கொள்க.

சைன் மற்றும் கொசைன் இரண்டு முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள், அவை "நேரடி" என்று அழைக்கப்படுகின்றன. அவை மற்றவர்களை விட அடிக்கடி கணக்கிடப்பட வேண்டியவை, இன்று இந்த சிக்கலை தீர்க்க நம் ஒவ்வொருவருக்கும் ஒரு பெரிய தேர்வு உள்ளது. கீழே சில குறிப்பாக பழமையான முறைகள் உள்ளன.

வழிமுறைகள்

1. கணக்கீடு செய்ய வேறு வழிகள் இல்லை என்றால், ஒரு ப்ராட்ராக்டர், பென்சில் மற்றும் ஒரு துண்டு காகிதத்தைப் பயன்படுத்தவும். கோசைனின் வரையறைகளில் ஒன்று செங்கோண முக்கோணத்தில் கடுமையான கோணங்களின் அடிப்படையில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது - அதன் மதிப்பு இந்த கோணத்திற்கு எதிரே உள்ள காலின் நீளத்திற்கும் ஹைப்போடென்யூஸின் நீளத்திற்கும் இடையிலான விகிதத்திற்கு சமம். ஒரு முக்கோணத்தை வரையவும், அதில் ஒன்று சரியான கோணத்தில் (90°), மற்றொன்று நீங்கள் கணக்கிட விரும்பும் கோசைனுக்கு சமமாக இருக்கும். பக்கங்களின் நீளம் ஒரு பொருட்டல்ல - நீங்கள் மிகவும் வசதியாக அளவிடும் விதத்தில் அவற்றை வரையவும். தேவையான கால் மற்றும் ஹைப்போடென்யூஸின் நீளத்தை அளந்து, எந்த வசதியான முறையையும் பயன்படுத்தி முதல் இரண்டால் பிரிக்கவும்.

2. உங்களுக்கு இணைய அணுகல் இருந்தால், நிக்மா தேடுபொறியில் கட்டமைக்கப்பட்ட கால்குலேட்டரின் ஆதரவுடன் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் மதிப்புகளைத் தீர்மானிக்கும் திறனைப் பயன்படுத்திக் கொள்ளுங்கள். நீங்கள் 20° கோணத்தின் கொசைனைக் கணக்கிட வேண்டும் என்றால், http://nigma.ru என்ற பிரதான சேவைப் பக்கத்தை ஏற்றுவதன் மூலம், தேடல் வினவல் புலத்தில் “cosine 20 டிகிரி” எனத் தட்டச்சு செய்து, “கண்டறிக!” என்பதைக் கிளிக் செய்யவும். பொத்தானை. நீங்கள் "டிகிரிகள்" என்ற வார்த்தையைத் தவிர்த்துவிட்டு, "கொசைன்" என்ற வார்த்தையை cos என்று மாற்றலாம் - எப்படியிருந்தாலும், தேடுபொறியானது 15 தசம இடங்களுக்கு (0.939692620785908) துல்லியமான முடிவைக் காண்பிக்கும்.

3. உங்களிடம் இணைய அணுகல் இல்லையென்றால், விண்டோஸ் இயக்க முறைமையுடன் நிறுவப்பட்ட நிலையான கால்குலேட்டர் நிரலைத் திறக்கவும். வின் மற்றும் ஆர் விசைகளை ஒரே நேரத்தில் அழுத்தி, பின்னர் calc கட்டளையை உள்ளிட்டு சரி பொத்தானைக் கிளிக் செய்வதன் மூலம் இதைச் செய்யலாம். முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளைக் கணக்கிட, "பொறியாளர்" அல்லது "விஞ்ஞானி" (OS பதிப்பைப் பொறுத்து) எனப்படும் முன்பே வடிவமைக்கப்பட்ட இடைமுகம் உள்ளது - கால்குலேட்டர் மெனுவின் "பார்வை" பிரிவில் தேவையான உருப்படியைத் தேர்ந்தெடுக்கவும். பின்னர், கோண மதிப்பை டிகிரிகளில் உள்ளிட்டு, நிரல் இடைமுகத்தில் உள்ள cos பொத்தானைக் கிளிக் செய்யவும்.

தலைப்பில் வீடியோ

உதவிக்குறிப்பு 8: ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் கோணங்களை எவ்வாறு தீர்மானிப்பது

ஒரு செங்கோண முக்கோணம் கோணங்கள் மற்றும் பக்கங்களுக்கு இடையிலான சில உறவுகளால் வகைப்படுத்தப்படுகிறது. அவற்றில் சிலவற்றின் மதிப்புகளை அறிந்து, மற்றவற்றைக் கணக்கிட முடியும். இந்த நோக்கத்திற்காக, வடிவவியலின் கோட்பாடுகள் மற்றும் கோட்பாடுகளின் அடிப்படையில் சூத்திரங்கள் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.

வழிமுறைகள்

1. ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் பெயரிலிருந்தே அதன் கோணங்களில் ஒன்று சரியானது என்பது தெளிவாகிறது. ஒரு செங்கோண முக்கோணம் சமபக்கமாக இருந்தாலும் இல்லாவிட்டாலும், அது எப்போதும் 90 டிகிரிக்கு சமமான ஒரு கோணத்தைக் கொண்டுள்ளது. உங்களுக்கு ஒரே நேரத்தில் மற்றும் சமபக்க முக்கோணம் கொடுக்கப்பட்டால், படத்தில் வலது கோணம் உள்ளது என்ற உண்மையின் அடிப்படையில், அதன் அடிப்பகுதியில் இரண்டு கோணங்களைக் கண்டறியவும். இந்த கோணங்கள் ஒன்றுக்கொன்று சமமானவை, எனவே அவை ஒவ்வொன்றும் சமமான மதிப்பு: = 180° - 90°/2 = 45°

2. மேலே விவாதிக்கப்பட்டதைத் தவிர, முக்கோணம் செங்கோணமாக இருக்கும் போது மற்றொரு வழக்கையும் அனுமதிக்கிறோம், ஆனால் ஐசோசெல்ஸ் அல்ல. பல சிக்கல்களில், ஒரு முக்கோணத்தின் கோணம் 30° ஆகவும், மற்றவற்றில் 60° ஆகவும் இருக்கும், எனவே முக்கோணத்தில் உள்ள அனைத்து கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை 180°க்கு சமமாக இருக்க வேண்டும். ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் ஹைப்போடென்யூஸ் மற்றும் அதன் கால் கொடுக்கப்பட்டால், இந்த 2 பக்கங்களின் தொடர்புகளிலிருந்து கோணத்தைக் காணலாம்: sin ?=a/c, இங்கு a என்பது முக்கோணத்தின் ஹைப்போடென்ஸுக்கு எதிரான கால், c என்பது முக்கோணத்தின் ஹைப்போடென்யூஸ் அதன்படி, ?=ஆர்க்சின்(a/c )கோணத்தை கோசைனைக் கண்டறிவதற்கான சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தியும் தீர்மானிக்கலாம்: cos ?=b/c, இங்கு b என்பது முக்கோணத்தின் ஹைப்போடென்ஸுக்கு அருகில் உள்ள கால்.

3. இரண்டு கால்கள் மட்டுமே தெரிந்தால், கோணம்? தொடுகோடு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி கண்டறியலாம். இந்த கோணத்தின் தொடுகோடு எதிரெதிர் பக்கத்தின் விகிதத்திற்கு சமமாக இருக்கும்: tg ? = a/b) மேலே உள்ள முறை கொடுக்கப்பட்டுள்ளது, 2வது பின்வருமாறு காணப்படுகிறது: = 180°-(90°+?)

"கோசைன்" என்ற சொல் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளில் ஒன்றைக் குறிக்கிறது, இது எழுதப்பட்டால் cos எனக் குறிக்கப்படுகிறது. வடிவவியலில் சரியான புள்ளிவிவரங்களின் அளவுருக்களைக் கண்டறிவதில் சிக்கல்களைத் தீர்க்கும் போது அதைச் சமாளிப்பது மிகவும் பொதுவானது. இத்தகைய சிக்கல்களில், பலகோணங்களின் முனைகளில் உள்ள கோணங்களின் மதிப்புகள், வழக்கம் போல், கிரேக்க எழுத்துக்களின் பெரிய எழுத்துக்களில் குறிக்கப்படுகின்றன. நாங்கள் ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தைப் பற்றி பேசுகிறோம் என்றால், இந்த ஒரு கடிதத்திலிருந்து நீங்கள் சில நேரங்களில் எந்த மூலையைக் குறிக்கிறீர்கள் என்பதைக் கண்டறியலாம்.

வழிமுறைகள்

1. ? என்ற எழுத்தால் குறிக்கப்பட்ட கோணத்தின் மதிப்பு சிக்கலின் நிலைமைகளிலிருந்து அறியப்பட்டால், கொசைன் ஆல்பாவுடன் தொடர்புடைய மதிப்பைக் கண்டறிய, நீங்கள் நிலையான விண்டோஸ் ஓஎஸ் கால்குலேட்டரைப் பயன்படுத்தலாம். இது இயக்க முறைமையின் முக்கிய மெனு மூலம் தொடங்கப்பட்டது - Win பொத்தானை அழுத்தவும், மெனுவில் உள்ள "அனைத்து நிரல்களும்" பகுதியை விரிவுபடுத்தவும், "வழக்கமான" துணைப்பிரிவிற்குச் சென்று, பின்னர் "பயன்பாடு" பிரிவுக்குச் செல்லவும். அங்கு நீங்கள் "கால்குலேட்டர்" என்ற வரியைக் காண்பீர்கள் - பயன்பாட்டைத் தொடங்க அதைக் கிளிக் செய்யவும்.

2. பயன்பாட்டு இடைமுகத்தை "பொறியியல்" (OS இன் பிற பதிப்புகளில் - "விஞ்ஞானி") விருப்பத்திற்கு மாற்ற Alt + 2 விசை கலவையை அழுத்தவும். அதன் பிறகு, கோண மதிப்பை உள்ளிடவா? மற்றும் மவுஸ் பாயிண்டருடன் cos என்ற எழுத்துகளுடன் குறிக்கப்பட்ட பொத்தானைக் கிளிக் செய்யவும் - கால்குலேட்டர் செயல்பாட்டைக் கணக்கிட்டு முடிவைக் காண்பிக்கும்.

3. ஒரு கோணத்தின் கோசைனைக் கணக்கிட்டால்? ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் அவசியம், பின்னர் அது 2 கடுமையான கோணங்களில் ஒன்றாக இருக்கலாம். அத்தகைய முக்கோணத்தின் பக்கங்கள் சரியாகக் குறிப்பிடப்பட்டிருந்தால், ஹைப்போடென்யூஸ் (மிக நீளமான பக்கம்) c என்ற எழுத்தால் குறிக்கப்படுகிறது, மேலும் அதற்கு எதிரே இருக்கும் வலது கோணம் கிரேக்க எழுத்தால் குறிக்கப்படுகிறது?. மற்ற இரண்டு பக்கங்களும் (கால்கள்) a மற்றும் b என்ற எழுத்துக்களால் குறிக்கப்படுகின்றன, மேலும் அவற்றின் எதிரே இருக்கும் கடுமையான கோணங்கள் ? மற்றும்?. ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் தீவிர கோணங்களின் மதிப்புகளுக்கு, கோணத்தின் மதிப்பை அறியாமல் கூட, கொசைனைக் கணக்கிட உங்களை அனுமதிக்கும் உறவுகள் உள்ளன.

4. ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் பக்கங்களின் நீளம் b (கோணத்தை ஒட்டிய கால்?) மற்றும் c (ஹைபோடென்யூஸ்) தெரிந்தால், கோசைனைக் கணக்கிட வேண்டுமா? இந்த காலின் நீளத்தை ஹைபோடென்யூஸின் நீளத்தால் வகுக்கவும்: cos(?)=b/c.

5. தன்னிச்சையான முக்கோணத்தில், கோணத்தின் கொசைன் மதிப்பு என்ன? எல்லா பக்கங்களின் நீளமும் நிபந்தனைகளில் கொடுக்கப்பட்டால் அறியப்படாத அளவைக் கணக்கிடலாம். இதைச் செய்ய, முதலில் அனைத்து பக்கங்களின் நீளத்தையும் சதுரப்படுத்தவும், பின்னர் மூலைக்கு அருகில் உள்ள 2 பக்கங்களுக்கான மதிப்புகள்? மொத்தத்தில் இருந்து எதிர் பக்கத்திற்கான விளைவான மதிப்பைச் சேர்க்கவும் மற்றும் கழிக்கவும். இதற்குப் பிறகு, விளைந்த மதிப்பை மூலைக்கு அருகில் உள்ள நீளங்களின் இரண்டு மடங்கு பெருக்கத்தால் வகுக்கவா? பக்கங்கள் - இது கோணத்தின் விரும்பிய கோசைனாக இருக்குமா?: cos(?)=(b?+c?-a?)/(2*b*c). இந்த தீர்வு கொசைன் தேற்றத்திலிருந்து பின்பற்றப்படுகிறது.

பயனுள்ள ஆலோசனை
கொசைனுக்கான கணிதக் குறியீடு cos ஆகும். கொசைன் மதிப்பு 1 ஐ விட அதிகமாகவும் -1 ஐ விட குறைவாகவும் இருக்கக்கூடாது.

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, இந்த வட்டம் கார்ட்டீசியன் ஒருங்கிணைப்பு அமைப்பில் கட்டப்பட்டுள்ளது. வட்டத்தின் ஆரம் ஒன்றுக்கு சமம், வட்டத்தின் மையம் ஆயத்தொலைவுகளின் தோற்றத்தில் உள்ளது, ஆரம் திசையன் ஆரம்ப நிலை அச்சின் நேர்மறை திசையில் சரி செய்யப்படுகிறது (எங்கள் எடுத்துக்காட்டில், இது ஆரம்).

வட்டத்தின் ஒவ்வொரு புள்ளியும் இரண்டு எண்களுக்கு ஒத்திருக்கிறது: அச்சு ஒருங்கிணைப்பு மற்றும் அச்சு ஒருங்கிணைப்பு. இந்த ஆய எண்கள் என்ன? பொதுவாக, அவர்கள் கையில் இருக்கும் தலைப்புடன் என்ன செய்ய வேண்டும்? இதைச் செய்ய, கருதப்படும் வலது முக்கோணத்தைப் பற்றி நாம் நினைவில் கொள்ள வேண்டும். மேலே உள்ள படத்தில், நீங்கள் இரண்டு முழு வலது முக்கோணங்களைக் காணலாம். ஒரு முக்கோணத்தைக் கவனியுங்கள். அச்சுக்கு செங்குத்தாக இருப்பதால் செவ்வக வடிவில் உள்ளது.

முக்கோணம் எதற்கு சமம்? அது சரி. கூடுதலாக, அது அலகு வட்டத்தின் ஆரம் என்பது நமக்குத் தெரியும், அதாவது . இந்த மதிப்பை கொசைன் சூத்திரத்தில் மாற்றுவோம். என்ன நடக்கிறது என்பது இங்கே:

முக்கோணம் எதற்கு சமம்? சரி, நிச்சயமாக,! இந்த சூத்திரத்தில் ஆரம் மதிப்பை மாற்றி, பெறவும்:

எனவே, ஒரு வட்டத்தைச் சேர்ந்த ஒரு புள்ளியின் ஒருங்கிணைப்புகள் என்னவென்று உங்களால் சொல்ல முடியுமா? சரி, வழி இல்லையா? நீங்கள் அதை உணர்ந்து வெறும் எண்களாக இருந்தால் என்ன செய்வது? இது எந்த ஒருங்கிணைப்புடன் ஒத்துப்போகிறது? சரி, நிச்சயமாக, ஆயங்கள்! மேலும் இது எந்த ஒருங்கிணைப்புடன் ஒத்துப்போகிறது? அது சரி, ஆயத்தொலைவுகள்! இவ்வாறு, காலம்.

அப்படியானால் என்ன மற்றும் சமம்? அது சரி, டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட் ஆகியவற்றின் தொடர்புடைய வரையறைகளைப் பயன்படுத்தி அதைப் பெறுவோம், a.

கோணம் பெரியதாக இருந்தால் என்ன செய்வது? உதாரணமாக, இந்த படத்தில் உள்ளது போல்:

இந்த எடுத்துக்காட்டில் என்ன மாறிவிட்டது? அதை கண்டுபிடிக்கலாம். இதைச் செய்ய, மீண்டும் ஒரு வலது முக்கோணத்திற்கு திரும்புவோம். ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தைக் கவனியுங்கள்: கோணம் (ஒரு கோணத்திற்கு அருகில்). ஒரு கோணத்திற்கான சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட் ஆகியவற்றின் மதிப்புகள் என்ன? அது சரி, முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் தொடர்புடைய வரையறைகளை நாங்கள் கடைபிடிக்கிறோம்:

சரி, நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, கோணத்தின் சைனின் மதிப்பு இன்னும் ஒருங்கிணைப்புக்கு ஒத்திருக்கிறது; கோணத்தின் கொசைன் மதிப்பு - ஒருங்கிணைப்பு; மற்றும் தொடர்புடைய விகிதங்களுக்கு தொடுகோடு மற்றும் கோட்டான்ஜென்ட் மதிப்புகள். எனவே, இந்த உறவுகள் ஆரம் திசையன் எந்த சுழற்சிக்கும் பொருந்தும்.

ஆரம் வெக்டரின் ஆரம்ப நிலை அச்சின் நேர்மறையான திசையில் உள்ளது என்று ஏற்கனவே குறிப்பிடப்பட்டுள்ளது. இதுவரை இந்த வெக்டரை எதிரெதிர் திசையில் சுழற்றினோம், ஆனால் அதை கடிகார திசையில் சுழற்றினால் என்ன ஆகும்? அசாதாரணமானது எதுவுமில்லை, நீங்கள் ஒரு குறிப்பிட்ட மதிப்பின் கோணத்தையும் பெறுவீர்கள், ஆனால் அது எதிர்மறையாக மட்டுமே இருக்கும். இவ்வாறு, ஆரம் திசையன் எதிரெதிர் திசையில் சுழலும் போது, ​​நாம் பெறுகிறோம் நேர்மறை கோணங்கள், மற்றும் கடிகார திசையில் சுழலும் போது - எதிர்மறை.

எனவே, ஒரு வட்டத்தைச் சுற்றியுள்ள ஆரம் திசையன் முழுப் புரட்சி அல்லது என்பது நமக்குத் தெரியும். ஆரம் வெக்டரை சுழற்ற முடியுமா? சரி, நிச்சயமாக உங்களால் முடியும்! முதல் வழக்கில், எனவே, ஆரம் திசையன் ஒரு முழுப் புரட்சியை உருவாக்கி, நிலையில் நிறுத்தப்படும் அல்லது.

இரண்டாவது வழக்கில், அதாவது, ஆரம் திசையன் மூன்று முழு புரட்சிகளை செய்து, நிலையில் நிறுத்தப்படும் அல்லது.

எனவே, மேலே உள்ள எடுத்துக்காட்டுகளில் இருந்து வேறுபடும் கோணங்கள் அல்லது (எந்த முழு எண் எங்கே) ஆரம் திசையன் அதே நிலைக்கு ஒத்திருக்கும் என்று முடிவு செய்யலாம்.

கீழே உள்ள படம் ஒரு கோணத்தைக் காட்டுகிறது. அதே படம் மூலை போன்றவற்றுக்கு ஒத்திருக்கிறது. இந்த பட்டியலை காலவரையின்றி தொடரலாம். இந்தக் கோணங்கள் அனைத்தும் பொதுச் சூத்திரத்தால் எழுதப்படலாம் அல்லது (எங்கே முழு எண் உள்ளது)

இப்போது, ​​அடிப்படை முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் வரையறைகளை அறிந்து, அலகு வட்டத்தைப் பயன்படுத்தி, மதிப்புகள் என்னவென்று பதிலளிக்க முயற்சிக்கவும்:

உங்களுக்கு உதவ ஒரு யூனிட் வட்டம் இங்கே:

சிரமங்கள் உள்ளதா? பின்னர் அதை கண்டுபிடிக்கலாம். எனவே நாங்கள் அதை அறிவோம்:

இங்கிருந்து, சில கோண நடவடிக்கைகளுடன் தொடர்புடைய புள்ளிகளின் ஆயங்களை நாங்கள் தீர்மானிக்கிறோம். சரி, வரிசையில் தொடங்குவோம்: கோணம் ஆயத்தொலைவுகளுடன் ஒரு புள்ளிக்கு ஒத்திருக்கிறது, எனவே:

இல்லை;

மேலும், அதே தர்க்கத்தைக் கடைப்பிடிப்பதன் மூலம், மூலைகள் முறையே ஆயத்தொலைவுகளுடன் கூடிய புள்ளிகளுடன் ஒத்திருப்பதைக் காண்கிறோம். இதை அறிந்தால், தொடர்புடைய புள்ளிகளில் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் மதிப்புகளை தீர்மானிக்க எளிதானது. முதலில் நீங்களே முயற்சிக்கவும், பின்னர் பதில்களைச் சரிபார்க்கவும்.

பதில்கள்:

இல்லை

இல்லை

இல்லை

இல்லை

எனவே, நாம் பின்வரும் அட்டவணையை உருவாக்கலாம்:

இந்த மதிப்புகள் அனைத்தையும் நினைவில் வைத்திருக்க வேண்டிய அவசியமில்லை. அலகு வட்டத்தில் உள்ள புள்ளிகளின் ஆயத்தொலைவுகளுக்கும் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் மதிப்புகளுக்கும் இடையிலான கடிதப் பரிமாற்றத்தை நினைவில் கொள்வது போதுமானது:

ஆனால் கோணங்களின் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் மதிப்புகள் மற்றும் கீழே உள்ள அட்டவணையில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது, நினைவில் கொள்ள வேண்டும்:

பயப்பட வேண்டாம், இப்போது நாங்கள் உங்களுக்கு ஒரு உதாரணத்தைக் காண்பிப்போம் தொடர்புடைய மதிப்புகளை நினைவில் கொள்வது மிகவும் எளிது:

இந்த முறையைப் பயன்படுத்த, கோணத்தின் மூன்று அளவுகளுக்கும் சைனின் மதிப்புகள் (), அதே போல் கோணத்தின் தொடுகோடு மதிப்பு ஆகியவற்றை நினைவில் கொள்வது அவசியம். இந்த மதிப்புகளை அறிந்தால், முழு அட்டவணையையும் மீட்டெடுப்பது மிகவும் எளிது - கொசைன் மதிப்புகள் அம்புகளுக்கு ஏற்ப மாற்றப்படுகின்றன, அதாவது:

இதை அறிந்தால், நீங்கள் மதிப்புகளை மீட்டெடுக்கலாம். எண் " " பொருந்தும் மற்றும் " " வகுத்தல் பொருந்தும். படத்தில் சுட்டிக்காட்டப்பட்ட அம்புகளுக்கு ஏற்ப கோட்டான்ஜென்ட் மதிப்புகள் மாற்றப்படுகின்றன. நீங்கள் இதைப் புரிந்துகொண்டு, அம்புக்குறிகளுடன் வரைபடத்தை நினைவில் வைத்திருந்தால், அட்டவணையில் இருந்து அனைத்து மதிப்புகளையும் நினைவில் வைத்துக் கொள்ள போதுமானதாக இருக்கும்.

ஒரு வட்டத்தில் ஒரு புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகள்

ஒரு வட்டத்தில் ஒரு புள்ளியை (அதன் ஆயங்களை) கண்டுபிடிக்க முடியுமா, வட்டத்தின் மையத்தின் ஆயத்தொலைவுகள், அதன் ஆரம் மற்றும் சுழற்சியின் கோணம் ஆகியவற்றை அறிவது?

சரி, நிச்சயமாக உங்களால் முடியும்! அதை வெளியே எடுப்போம் ஒரு புள்ளியின் ஆயங்களை கண்டறிவதற்கான பொதுவான சூத்திரம்.

உதாரணமாக, இங்கே ஒரு வட்டம் நமக்கு முன்னால் உள்ளது:

புள்ளி என்பது வட்டத்தின் மையம் என்று நமக்கு வழங்கப்பட்டுள்ளது. வட்டத்தின் ஆரம் சமம். புள்ளியை டிகிரிகளால் சுழற்றுவதன் மூலம் பெறப்பட்ட ஒரு புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகளைக் கண்டறிவது அவசியம்.

படத்தில் இருந்து பார்க்க முடிந்தால், புள்ளியின் ஒருங்கிணைப்பு பிரிவின் நீளத்திற்கு ஒத்திருக்கிறது. பிரிவின் நீளம் வட்டத்தின் மையத்தின் ஒருங்கிணைப்புக்கு ஒத்திருக்கிறது, அதாவது அது சமம். கோசைனின் வரையறையைப் பயன்படுத்தி ஒரு பிரிவின் நீளத்தை வெளிப்படுத்தலாம்:

பின்னர் புள்ளி ஒருங்கிணைப்புக்கு அது உள்ளது.

அதே தர்க்கத்தைப் பயன்படுத்தி, புள்ளிக்கான y ஒருங்கிணைப்பு மதிப்பைக் காண்கிறோம். இதனால்,

எனவே, பொதுவாக, புள்ளிகளின் ஆயங்கள் சூத்திரங்களால் தீர்மானிக்கப்படுகின்றன:

வட்டத்தின் மையத்தின் ஒருங்கிணைப்புகள்,

வட்ட ஆரம்,

திசையன் ஆரம் சுழற்சி கோணம்.

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, நாங்கள் கருத்தில் கொண்ட யூனிட் வட்டத்திற்கு, இந்த சூத்திரங்கள் கணிசமாகக் குறைக்கப்படுகின்றன, ஏனெனில் மையத்தின் ஆயத்தொலைவுகள் பூஜ்ஜியத்திற்கு சமம் மற்றும் ஆரம் ஒன்றுக்கு சமம்:

சரி, ஒரு வட்டத்தில் புள்ளிகளைக் கண்டறிவதன் மூலம் இந்த சூத்திரங்களை முயற்சிக்கலாமா?

1. புள்ளியை சுழற்றுவதன் மூலம் பெறப்பட்ட அலகு வட்டத்தில் ஒரு புள்ளியின் ஆயங்களைக் கண்டறியவும்.

2. புள்ளியை சுழற்றுவதன் மூலம் பெறப்பட்ட அலகு வட்டத்தில் ஒரு புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகளைக் கண்டறியவும்.

3. புள்ளியை சுழற்றுவதன் மூலம் பெறப்பட்ட அலகு வட்டத்தில் ஒரு புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகளைக் கண்டறியவும்.

4. புள்ளி என்பது வட்டத்தின் மையம். வட்டத்தின் ஆரம் சமம். ஆரம்ப ஆரம் வெக்டரை சுழற்றுவதன் மூலம் பெறப்பட்ட புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகளைக் கண்டறிவது அவசியம்.

5. புள்ளி என்பது வட்டத்தின் மையம். வட்டத்தின் ஆரம் சமம். ஆரம்ப ஆரம் வெக்டரை சுழற்றுவதன் மூலம் பெறப்பட்ட புள்ளியின் ஆயத்தொலைவுகளைக் கண்டறிவது அவசியம்.

ஒரு வட்டத்தில் ஒரு புள்ளியின் ஆயங்களை கண்டுபிடிப்பதில் சிக்கல் உள்ளதா?

இந்த ஐந்து உதாரணங்களைத் தீர்க்கவும் (அல்லது அவற்றைத் தீர்ப்பதில் சிறந்து விளங்கவும்) அவற்றைக் கண்டுபிடிக்க நீங்கள் கற்றுக் கொள்வீர்கள்!

1.

என்பதை நீங்கள் கவனிக்கலாம். ஆனால் தொடக்கப் புள்ளியின் முழுப் புரட்சிக்கு என்ன ஒத்துப்போகிறது என்பது நமக்குத் தெரியும். இதனால், விரும்பிய புள்ளி திரும்பும்போது அதே நிலையில் இருக்கும். இதை அறிந்தால், புள்ளியின் தேவையான ஆயங்களை நாம் காண்கிறோம்:

2. அலகு வட்டம் ஒரு புள்ளியில் மையமாக உள்ளது, அதாவது நாம் எளிமைப்படுத்தப்பட்ட சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தலாம்:

என்பதை நீங்கள் கவனிக்கலாம். தொடக்கப் புள்ளியின் இரண்டு முழுப் புரட்சிகளுக்கு என்ன ஒத்துப்போகிறது என்பது நமக்குத் தெரியும். இதனால், விரும்பிய புள்ளி திரும்பும்போது அதே நிலையில் இருக்கும். இதை அறிந்தால், புள்ளியின் தேவையான ஆயங்களை நாம் காண்கிறோம்:

சைன் மற்றும் கொசைன் ஆகியவை அட்டவணை மதிப்புகள். அவற்றின் அர்த்தங்களை நினைவுபடுத்திப் பெறுகிறோம்:

எனவே, விரும்பிய புள்ளி ஆயத்தொலைவுகளைக் கொண்டுள்ளது.

3. அலகு வட்டம் ஒரு புள்ளியில் மையமாக உள்ளது, அதாவது நாம் எளிமைப்படுத்தப்பட்ட சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தலாம்:

என்பதை நீங்கள் கவனிக்கலாம். கேள்விக்குரிய உதாரணத்தை படத்தில் சித்தரிக்கலாம்:

ஆரம் அச்சுக்கு சமமான கோணங்களை உருவாக்குகிறது. கோசைன் மற்றும் சைனின் அட்டவணை மதிப்புகள் சமம் என்பதை அறிந்து, இங்குள்ள கொசைன் எதிர்மறை மதிப்பையும், சைன் நேர்மறை மதிப்பையும் எடுக்கிறது என்பதைத் தீர்மானித்த பிறகு:

தலைப்பில் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளைக் குறைப்பதற்கான சூத்திரங்களைப் படிக்கும்போது இத்தகைய எடுத்துக்காட்டுகள் இன்னும் விரிவாக விவாதிக்கப்படுகின்றன.

எனவே, விரும்பிய புள்ளி ஆயத்தொலைவுகளைக் கொண்டுள்ளது.

4.

திசையன் ஆரம் சுழற்சியின் கோணம் (நிபந்தனையின்படி)

சைன் மற்றும் கொசைனின் தொடர்புடைய அறிகுறிகளைத் தீர்மானிக்க, நாங்கள் ஒரு அலகு வட்டம் மற்றும் கோணத்தை உருவாக்குகிறோம்:

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, மதிப்பு, அதாவது, நேர்மறை, மற்றும் மதிப்பு, அதாவது, எதிர்மறை. தொடர்புடைய முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் அட்டவணை மதிப்புகளை அறிந்து, நாங்கள் அதைப் பெறுகிறோம்:

பெறப்பட்ட மதிப்புகளை எங்கள் சூத்திரத்தில் மாற்றுவோம் மற்றும் ஆயங்களை கண்டுபிடிப்போம்:

எனவே, விரும்பிய புள்ளி ஆயத்தொலைவுகளைக் கொண்டுள்ளது.

5. இந்த சிக்கலை தீர்க்க, நாங்கள் பொதுவான வடிவத்தில் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்துகிறோம்

வட்டத்தின் மையத்தின் ஒருங்கிணைப்புகள் (எங்கள் எடுத்துக்காட்டில்,

வட்ட ஆரம் (நிபந்தனையின்படி)

திசையன் ஆரம் சுழற்சியின் கோணம் (நிபந்தனை மூலம்).

அனைத்து மதிப்புகளையும் சூத்திரத்தில் மாற்றி, பெறுவோம்:

மற்றும் - அட்டவணை மதிப்புகள். அவற்றை நினைவில் வைத்து சூத்திரத்தில் மாற்றுவோம்:

எனவே, விரும்பிய புள்ளி ஆயத்தொலைவுகளைக் கொண்டுள்ளது.

சுருக்கம் மற்றும் அடிப்படை சூத்திரங்கள்

ஒரு கோணத்தின் சைன் என்பது எதிர் (தொலைவு) காலின் ஹைப்போடென்யூஸின் விகிதமாகும்.

ஒரு கோணத்தின் கொசைன் என்பது ஹைபோடென்யூஸுக்கு அருகிலுள்ள (நெருக்கமான) காலின் விகிதமாகும்.

ஒரு கோணத்தின் தொடுகோடு என்பது எதிரெதிர் (தொலைவு) பக்கத்திற்கு அருகிலுள்ள (நெருக்கமான) பக்கத்தின் விகிதமாகும்.

ஒரு கோணத்தின் கோடேன்ஜென்ட் என்பது அருகிலுள்ள (நெருக்கமான) பக்கத்தின் எதிர் (தூர) பக்கத்தின் விகிதமாகும்.

கோசைன் என்பது நன்கு அறியப்பட்ட முக்கோணவியல் செயல்பாடு ஆகும், இது முக்கோணவியலின் முக்கிய செயல்பாடுகளில் ஒன்றாகும். ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தில் உள்ள கோணத்தின் கோசைன் என்பது முக்கோணத்தின் பக்கத்து முக்கோணத்தின் ஹைப்போடென்ஸுக்கு உள்ள விகிதமாகும். பெரும்பாலும், கோசைனின் வரையறை செவ்வக வகையின் முக்கோணத்துடன் தொடர்புடையது. ஆனால் ஒரு செவ்வக முக்கோணத்தில் கொசைனைக் கணக்கிட வேண்டிய கோணம் இந்த செவ்வக முக்கோணத்தில் இல்லை என்பதும் நடக்கும். அப்புறம் என்ன செய்வது? ஒரு முக்கோணத்தின் கோசைனை எவ்வாறு கண்டுபிடிப்பது?

ஒரு செவ்வக முக்கோணத்தில் ஒரு கோணத்தின் கோசைனை நீங்கள் கணக்கிட வேண்டும் என்றால், எல்லாம் மிகவும் எளிது. இந்த சிக்கலுக்கான தீர்வைக் கொண்டிருக்கும் கொசைன் வரையறையை நீங்கள் நினைவில் கொள்ள வேண்டும். அருகிலுள்ள பக்கத்திற்கும், முக்கோணத்தின் ஹைப்போடென்ஸுக்கும் இடையிலான அதே உறவை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். உண்மையில், இங்கே கோணத்தின் கோசைனை வெளிப்படுத்துவது கடினம் அல்ல. சூத்திரம் பின்வருமாறு: - cosα = a/c, இங்கே “a” என்பது காலின் நீளம், மற்றும் பக்க “c”, முறையே, ஹைப்போடென்யூஸின் நீளம். எடுத்துக்காட்டாக, இந்த சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி ஒரு செங்கோண முக்கோணத்தின் தீவிர கோணத்தின் கோசைனைக் கண்டறியலாம்.

ஒரு தன்னிச்சையான முக்கோணத்தில் ஒரு கோணத்தின் கோசைன் எதற்கு சமம் என்பதில் நீங்கள் ஆர்வமாக இருந்தால், கொசைன் தேற்றம் மீட்புக்கு வருகிறது, இது போன்ற சந்தர்ப்பங்களில் பயன்படுத்தப்பட வேண்டும். ஒரு முக்கோணத்தின் ஒரு பக்கத்தின் சதுரமானது அதே முக்கோணத்தின் மீதமுள்ள பக்கங்களின் சதுரங்களின் கூட்டுத்தொகைக்கு சமமாக இருக்கும், ஆனால் இந்த பக்கங்களின் பெருக்கத்தை அவற்றுக்கிடையே அமைந்துள்ள கோணத்தின் கோசைன் மூலம் இரட்டிப்பாக்காமல், கோசைன் தேற்றம் கூறுகிறது.

1. ஒரு முக்கோணத்தில் தீவிர கோணத்தின் கோசைனை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் என்றால், நீங்கள் பின்வரும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த வேண்டும்: cosα = (a 2 + b 2 – c 2)/(2ab).
2. நீங்கள் ஒரு முக்கோணத்தில் ஒரு மழுங்கிய கோணத்தின் கோசைனைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும் என்றால், நீங்கள் பின்வரும் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்த வேண்டும்: cosα = (c 2 – a 2 – b 2)/(2ab). சூத்திரத்தில் உள்ள பெயர்கள் - a மற்றும் b - விரும்பிய கோணத்திற்கு அருகில் இருக்கும் பக்கங்களின் நீளம், c - என்பது விரும்பிய கோணத்திற்கு எதிரே இருக்கும் பக்கத்தின் நீளம்.

ஒரு கோணத்தின் கோசைனை சைன் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தியும் கணக்கிடலாம். ஒரு முக்கோணத்தின் அனைத்து பக்கங்களும் எதிரெதிர் கோணங்களின் சைன்களுக்கு விகிதாசாரமாக இருக்கும் என்று அது கூறுகிறது. சைன்களின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி, ஒரு முக்கோணத்தின் மீதமுள்ள கூறுகளை நீங்கள் கணக்கிடலாம், இரண்டு பக்கங்கள் மற்றும் ஒரு பக்கத்திற்கு எதிரே இருக்கும் கோணம் அல்லது இரண்டு கோணங்கள் மற்றும் ஒரு பக்கத்திலிருந்து மட்டுமே தகவல்களைக் கொண்டிருக்கலாம். இதை ஒரு உதாரணத்துடன் கவனியுங்கள். சிக்கல் நிலைமைகள்: a=1; b=2; c=3. "A" பக்கத்திற்கு எதிரே இருக்கும் கோணம் α ஆல் குறிக்கப்படுகிறது, பின்னர், சூத்திரங்களின்படி, நம்மிடம் உள்ளது: cosα=(b²+c²-a²)/(2*b*c)=(2²+3²-1²) /(2*2 *3)=(4+9-1)/12=12/12=1. பதில்: 1.

ஒரு கோணத்தின் கொசைன் ஒரு முக்கோணத்தில் அல்ல, ஆனால் வேறு சில தன்னிச்சையான வடிவியல் உருவத்தில் கணக்கிடப்பட வேண்டும் என்றால், எல்லாம் இன்னும் கொஞ்சம் சிக்கலானதாகிவிடும். கோணத்தின் அளவு முதலில் ரேடியன்கள் அல்லது டிகிரிகளில் தீர்மானிக்கப்பட வேண்டும், பின்னர் மட்டுமே இந்த மதிப்பிலிருந்து கொசைன் கணக்கிடப்பட வேண்டும். பிராடிஸ் அட்டவணைகள், பொறியியல் கால்குலேட்டர்கள் அல்லது சிறப்பு கணித பயன்பாடுகளைப் பயன்படுத்தி எண் மதிப்பின்படி கொசைன் தீர்மானிக்கப்படுகிறது.

சிறப்புக் கணிதப் பயன்பாடுகள், ஒரு குறிப்பிட்ட உருவத்தில் உள்ள கோணங்களின் கோசைன்களைத் தானாகக் கணக்கிடுவது போன்ற செயல்பாடுகளைக் கொண்டிருக்கலாம். அத்தகைய பயன்பாடுகளின் அழகு என்னவென்றால், அவை சரியான பதிலைத் தருகின்றன, மேலும் சில நேரங்களில் மிகவும் சிக்கலான சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதில் பயனர் தனது நேரத்தை வீணாக்குவதில்லை. மறுபுறம், சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதற்கான பயன்பாடுகளை மட்டுமே தொடர்ந்து பயன்படுத்துவதால், முக்கோணங்களில் உள்ள கோணங்களின் கோசைன்கள் மற்றும் பிற தன்னிச்சையான புள்ளிவிவரங்களைக் கண்டுபிடிப்பதில் கணித சிக்கல்களைத் தீர்ப்பதில் பணிபுரியும் அனைத்து திறன்களும் இழக்கப்படுகின்றன.