ஏற்கனவே கண்டுபிடிக்கப்பட்ட வேர்களை சரிபார்க்க வியட்டாவின் தேற்றம் பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுகிறது. நீங்கள் வேர்களைக் கண்டறிந்தால், \(p இன் மதிப்புகளைக் கணக்கிட \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தலாம். \) மற்றும் \(q\ ). அவை அசல் சமன்பாட்டில் உள்ளதைப் போலவே மாறினால், வேர்கள் சரியாகக் காணப்படுகின்றன.

எடுத்துக்காட்டாக, \(x^2+x-56=0\) சமன்பாட்டைத் தீர்த்து, வேர்களைப் பெறுவோம்: \(x_1=7\), \(x_2=-8\). தீர்வு செயல்பாட்டில் நாங்கள் தவறு செய்திருந்தால் சரிபார்ப்போம். எங்கள் விஷயத்தில், \(p=1\), மற்றும் \(q=-56\). வியட்டாவின் தேற்றத்தின்படி நம்மிடம் உள்ளது:

\(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)7+(-8)=-1 \\7\cdot(-8)=-56\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)-1=-1\\-56=-56\end(cases)\ )

இரண்டு அறிக்கைகளும் ஒன்றிணைந்தன, அதாவது சமன்பாட்டை சரியாக தீர்த்தோம்.

இந்த சோதனையை வாய்வழியாக செய்யலாம். இது 5 வினாடிகள் எடுக்கும் மற்றும் முட்டாள் தவறுகளிலிருந்து உங்களைக் காப்பாற்றும்.

வியட்டாவின் உரையாடல் தேற்றம்

\(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\), \(x_1\) மற்றும் \(x_2\) இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்கள் \ (x^ 2+px+q=0\).

அல்லது எளிமையான முறையில்: \(x^2+px+q=0\) படிவத்தின் சமன்பாடு உங்களிடம் இருந்தால் \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\ end(cases)\) நீங்கள் அதன் வேர்களைக் காண்பீர்கள்.

இந்த தேற்றத்திற்கு நன்றி, நீங்கள் ஒரு இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களை விரைவாகக் கண்டறியலாம், குறிப்பாக இந்த வேர்கள் . இந்த திறன் முக்கியமானது, ஏனெனில் இது நிறைய நேரத்தை மிச்சப்படுத்துகிறது.

உதாரணமாக . \(x^2-5x+6=0\) சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்.

தீர்வு : Vieta இன் தலைகீழ் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி, வேர்கள் நிபந்தனைகளைப் பூர்த்தி செய்வதைக் காண்கிறோம்: \(\begin(cases)x_1+x_2=5 \\x_1 \cdot x_2=6\end(cases)\).
கணினியின் இரண்டாவது சமன்பாட்டைப் பார்க்கவும் \(x_1 \cdot x_2=6\). \(6\) எண்ணை எந்த இரண்டாக சிதைக்கலாம்? அன்று \(2\) மற்றும் \(3\), \(6\) மற்றும் \(1\) அல்லது \(-2\) மற்றும் \(-3\), மற்றும் \(-6\) மற்றும் \(- 1\). கணினியின் முதல் சமன்பாடு எந்த ஜோடியை தேர்வு செய்ய வேண்டும் என்பதை உங்களுக்குத் தெரிவிக்கும்: \(x_1+x_2=5\). \(2\) மற்றும் \(3\) ஒரே மாதிரியானவை, ஏனெனில் \(2+3=5\).
பதில் : \(x_1=2\), \(x_2=3\).

எடுத்துக்காட்டுகள் . வியட்டாவின் தேற்றத்தின் உரையாடலைப் பயன்படுத்தி, இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டறியவும்:
a) \(x^2-15x+14=0\); b) \(x^2+3x-4=0\); c) \(x^2+9x+20=0\); ஈ) \(x^2-88x+780=0\).

தீர்வு :
a) \(x^2-15x+14=0\) – \(14\) எந்த காரணிகளாக சிதைகிறது? \(2\) மற்றும் \(7\), \(-2\) மற்றும் \(-7\), \(-1\) மற்றும் \(-14\), \(1\) மற்றும் \(14\ ) எந்த ஜோடி எண்கள் \(15\) வரை சேர்க்கின்றன? பதில்: \(1\) மற்றும் \(14\).

b) \(x^2+3x-4=0\) – \(-4\) எந்த காரணிகளாக சிதைகிறது? \(-2\) மற்றும் \(2\), \(4\) மற்றும் \(-1\), \(1\) மற்றும் \(-4\). எந்த ஜோடி எண்கள் \(-3\) வரை சேர்க்கின்றன? பதில்: \(1\) மற்றும் \(-4\).

c) \(x^2+9x+20=0\) – \(20\) எந்த காரணிகளாக சிதைகிறது? \(4\) மற்றும் \(5\), \(-4\) மற்றும் \(-5\), \(2\) மற்றும் \(10\), \(-2\) மற்றும் \(-10\ ), \(-20\) மற்றும் \(-1\), \(20\) மற்றும் \(1\). எந்த ஜோடி எண்கள் \(-9\) வரை சேர்க்கின்றன? பதில்: \(-4\) மற்றும் \(-5\).

ஈ) \(x^2-88x+780=0\) – \(780\) எந்த காரணிகளாக சிதைகிறது? \(390\) மற்றும் \(2\). அவை \(88\) வரை சேர்க்குமா? இல்லை. \(780\) வேறு என்ன பெருக்கிகள் உள்ளன? \(78\) மற்றும் \(10\). அவை \(88\) வரை சேர்க்குமா? ஆம். பதில்: \(78\) மற்றும் \(10\).

சாத்தியமான அனைத்து காரணிகளிலும் கடைசி காலத்தை விரிவாக்க வேண்டிய அவசியமில்லை (கடைசி உதாரணத்தைப் போல). அவற்றின் தொகை \(-p\) கொடுக்கிறதா என்பதை உடனடியாகச் சரிபார்க்கலாம்.

முக்கியமான!வியட்டாவின் தேற்றம் மற்றும் உரையாடல் தேற்றம் , அதாவது \(x^2\) க்கு முன்னால் உள்ள குணகம் ஒன்றுக்கு சமமாக இருக்கும். ஆரம்பத்தில் நமக்குக் குறைக்கப்படாத சமன்பாடு கொடுக்கப்பட்டிருந்தால், \(x^2\) க்கு முன்னால் உள்ள குணகத்தால் வகுத்து அதைக் குறைக்கலாம்.

உதாரணத்திற்கு, சமன்பாடு \(2x^2-4x-6=0\) கொடுக்கப்பட்டிருக்கட்டும், நாங்கள் வியட்டாவின் தேற்றங்களில் ஒன்றைப் பயன்படுத்த விரும்புகிறோம். ஆனால் \(x^2\) இன் குணகம் \(2\) க்கு சமமாக இருப்பதால் நம்மால் முடியாது. முழு சமன்பாட்டையும் \(2\) ஆல் வகுப்பதன் மூலம் அதை அகற்றுவோம்.

\(2x^2-4x-6=0\) \(|:2\)
\(x^2-2x-3=0\)

தயார். இப்போது நீங்கள் இரண்டு தேற்றங்களையும் பயன்படுத்தலாம்.

அடிக்கடி கேட்கப்படும் கேள்விகளுக்கான பதில்கள்

கேள்வி: வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி, எதையாவது தீர்க்க முடியுமா?
பதில்: துரதிருஷ்டவசமாக இல்லை. சமன்பாட்டில் முழு எண்கள் இல்லை அல்லது சமன்பாட்டில் வேர்கள் இல்லை என்றால், வியட்டாவின் தேற்றம் உதவாது. இந்த வழக்கில், நீங்கள் பயன்படுத்த வேண்டும் பாரபட்சமான . அதிர்ஷ்டவசமாக, பள்ளிக் கணிதத்தில் 80% சமன்பாடுகள் முழு எண் தீர்வுகளைக் கொண்டுள்ளன.

பள்ளி இயற்கணித பாடத்தில் இரண்டாம் வரிசை சமன்பாடுகளைத் தீர்ப்பதற்கான முறைகளைப் படிக்கும்போது, ​​அதன் விளைவாக வரும் வேர்களின் பண்புகள் கருதப்படுகின்றன. அவை தற்போது வியட்டா தேற்றம் என்று அழைக்கப்படுகின்றன. அதன் பயன்பாட்டிற்கான எடுத்துக்காட்டுகள் இந்த கட்டுரையில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன.

இருபடி சமன்பாடு

இரண்டாவது வரிசை சமன்பாடு கீழே உள்ள புகைப்படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ள சமத்துவமாகும்.

இங்கே a, b, c ஆகிய குறியீடுகள் பரிசீலனையில் உள்ள சமன்பாட்டின் குணகங்கள் எனப்படும் சில எண்கள். சமத்துவத்தை தீர்க்க, அதை உண்மையாக்கும் x இன் மதிப்புகளை நீங்கள் கண்டுபிடிக்க வேண்டும்.

x ஐ உயர்த்தக்கூடிய அதிகபட்ச சக்தி இரண்டு என்பதால், பொது வழக்கில் உள்ள வேர்களின் எண்ணிக்கையும் இரண்டு என்பதை நினைவில் கொள்க.

இந்த வகையான சமத்துவத்தை தீர்க்க பல வழிகள் உள்ளன. இந்த கட்டுரையில், அவற்றில் ஒன்றைக் கருத்தில் கொள்வோம், இது வியட்டா தேற்றம் என்று அழைக்கப்படுவதை உள்ளடக்கியது.

வியட்டாவின் தேற்றத்தின் உருவாக்கம்

16 ஆம் நூற்றாண்டின் இறுதியில், பிரபல கணிதவியலாளர் பிரான்சுவா வியேட் (பிரெஞ்சு) பல்வேறு இருபடி சமன்பாடுகளின் வேர்களின் பண்புகளை பகுப்பாய்வு செய்யும் போது, ​​அவற்றின் சில சேர்க்கைகள் குறிப்பிட்ட உறவுகளை திருப்திப்படுத்துகின்றன என்பதைக் கவனித்தார். குறிப்பாக, இந்த சேர்க்கைகள் அவற்றின் தயாரிப்பு மற்றும் தொகை.

வியட்டாவின் தேற்றம் பின்வருவனவற்றை நிறுவுகிறது: ஒரு இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்கள், சுருக்கப்பட்டால், எதிர் குறியுடன் எடுக்கப்பட்ட நேரியல் மற்றும் இருபடிக் குணகங்களின் விகிதத்தைக் கொடுக்கின்றன, மேலும் அவை பெருக்கப்படும்போது, ​​அவை இருபடிக் குணகத்திற்கு இலவச கால விகிதத்திற்கு வழிவகுக்கும். .

கட்டுரையின் முந்தைய பிரிவில் உள்ள புகைப்படத்தில் காட்டப்பட்டுள்ளபடி சமன்பாட்டின் பொதுவான வடிவம் எழுதப்பட்டிருந்தால், கணித ரீதியாக இந்த தேற்றத்தை இரண்டு சமத்துவங்களின் வடிவத்தில் எழுதலாம்:

• r 2 + r 1 = -b / a;
• r 1 x r 2 = c / a.

இதில் r 1, r 2 என்பது கேள்விக்குரிய சமன்பாட்டின் வேர்களின் மதிப்பு.

மேற்கூறிய இரண்டு சமத்துவங்களும் பல்வேறு கணிதச் சிக்கல்களைத் தீர்க்கப் பயன்படுகின்றன. தீர்வுகளுடன் எடுத்துக்காட்டுகளில் வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துவது கட்டுரையின் பின்வரும் பிரிவுகளில் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.

ஒரு இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்கள் மற்றும் குணகங்களுக்கு இடையில், ரூட் சூத்திரங்களுக்கு கூடுதலாக, பிற பயனுள்ள உறவுகள் கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. வியட்டாவின் தேற்றம். இந்தக் கட்டுரையில் இருபடிச் சமன்பாட்டிற்கான வியட்டாவின் தேற்றத்தின் உருவாக்கம் மற்றும் ஆதாரத்தை வழங்குவோம். அடுத்து நாம் தேற்றம் வியட்டாவின் தேற்றத்துடன் மாறுவதைக் கருதுகிறோம். இதற்குப் பிறகு, மிகவும் பொதுவான எடுத்துக்காட்டுகளுக்கான தீர்வுகளை நாங்கள் பகுப்பாய்வு செய்வோம். இறுதியாக, உண்மையான வேர்களுக்கு இடையிலான உறவை வரையறுக்கும் Vieta சூத்திரங்களை நாங்கள் எழுதுகிறோம் இயற்கணித சமன்பாடுபட்டம் n மற்றும் அதன் குணகங்கள்.

பக்க வழிசெலுத்தல்.

வியட்டாவின் தேற்றம், உருவாக்கம், ஆதாரம்

A·x 2 +b·x+c=0 வடிவத்தின் இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களின் சூத்திரங்களிலிருந்து, D=b 2 -4·a·c, பின்வரும் உறவுகள் பின்வருமாறு: x 1 +x 2 =− b/a, x 1 ·x 2 = c/a . இந்த முடிவுகள் உறுதிப்படுத்தப்பட்டுள்ளன வியட்டாவின் தேற்றம்:

தேற்றம்.

என்றால் x 1 மற்றும் x 2 இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்கள் a x 2 +b x+c=0, பின்னர் வேர்களின் கூட்டுத்தொகையானது, எதிர் குறியுடன் எடுக்கப்பட்ட b மற்றும் a குணகங்களின் விகிதத்திற்கு சமமாக இருக்கும் வேர்கள் c மற்றும் a குணகங்களின் விகிதத்திற்கு சமம், அதாவது.

ஆதாரம்.

பின்வரும் திட்டத்தின் படி வியட்டாவின் தேற்றத்தின் ஆதாரத்தை நாங்கள் மேற்கொள்வோம்: அறியப்பட்ட ரூட் சூத்திரங்களைப் பயன்படுத்தி இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் பலனை உருவாக்குகிறோம், அதன் விளைவாக வரும் வெளிப்பாடுகளை மாற்றி, அவை −b/ க்கு சமமாக இருப்பதை உறுதிசெய்கிறோம். முறையே a மற்றும் c/a.

வேர்களின் கூட்டுத்தொகையுடன் தொடங்கி அதை உருவாக்குவோம். இப்போது நாம் பின்னங்களை ஒரு பொதுவான வகுப்பிற்கு கொண்டு வருகிறோம். இதன் விளைவாக வரும் பின்னத்தின் எண்ணிக்கையில், அதன் பிறகு :. இறுதியாக, 2 க்குப் பிறகு, நாம் பெறுகிறோம். இது ஒரு இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களின் கூட்டுத்தொகைக்கான வியட்டாவின் தேற்றத்தின் முதல் தொடர்பை நிரூபிக்கிறது. இரண்டாவதாக செல்லலாம்.

இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களின் உற்பத்தியை நாங்கள் உருவாக்குகிறோம்: . பின்னங்களைப் பெருக்கும் விதியின்படி, கடைசிப் பொருளை இவ்வாறு எழுதலாம். இப்போது நாம் ஒரு அடைப்புக்குறியை எண்களில் உள்ள அடைப்புக்குறி மூலம் பெருக்குகிறோம், ஆனால் இந்த தயாரிப்பை சுருக்குவது வேகமானது சதுர வேறுபாடு சூத்திரம், அதனால் . பின்னர், நினைவில் வைத்து, அடுத்த மாற்றத்தை நாங்கள் செய்கிறோம். மேலும் இருபடிச் சமன்பாட்டின் பாகுபாடு D=b 2 -4·a·c சூத்திரத்துடன் ஒத்துப்போவதால், D க்குப் பதிலாக கடைசிப் பகுதியில் b 2 −4·a·c ஐ மாற்றலாம். அடைப்புக்குறிகளைத் திறந்து, ஒத்த சொற்களைக் கொண்டு வந்த பிறகு, நாம் பின்னத்திற்கு வருகிறோம், அதன் குறைப்பு 4·a கொடுக்கிறது. வேர்களின் தயாரிப்புக்கான வியட்டாவின் தேற்றத்தின் இரண்டாவது தொடர்பை இது நிரூபிக்கிறது.

விளக்கங்களை நாம் தவிர்த்துவிட்டால், வியட்டாவின் தேற்றத்தின் ஆதாரம் ஒரு லாகோனிக் வடிவத்தை எடுக்கும்:
,
.

பாகுபாடு பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருந்தால், இருபடிச் சமன்பாட்டிற்கு ஒரு வேர் உள்ளது என்பதை மட்டுமே கவனிக்க வேண்டும். இருப்பினும், இந்த வழக்கில் உள்ள சமன்பாடு இரண்டு ஒத்த வேர்களைக் கொண்டுள்ளது என்று நாம் கருதினால், வியட்டாவின் தேற்றத்தின் சமத்துவங்களும் இருக்கும். உண்மையில், D=0 இருபடி சமன்பாட்டின் வேர் சமமாக இருக்கும் போது, ​​பின்னர் மற்றும் , மற்றும் D=0 என்பதால், அதாவது, b 2 −4·a·c=0, எங்கிருந்து b 2 =4·a·c, பின்னர் .

நடைமுறையில், x 2 +p·x+q=0 வடிவத்தின் குறைக்கப்பட்ட இருபடிச் சமன்பாடு (முன்னணி குணகம் 1க்கு சமம்) தொடர்பாக வியட்டாவின் தேற்றம் பெரும்பாலும் பயன்படுத்தப்படுகிறது. சில நேரங்களில் இது இந்த வகையின் இருபடி சமன்பாடுகளுக்காக வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது, இது பொதுத்தன்மையை கட்டுப்படுத்தாது, ஏனெனில் எந்த இருபடி சமன்பாடும் இருபுறமும் பூஜ்ஜியம் அல்லாத எண் a ஆல் வகுப்பதன் மூலம் சமமான சமன்பாட்டால் மாற்றப்படும். வியட்டாவின் தேற்றத்தின் தொடர்புடைய சூத்திரத்தை வழங்குவோம்:

தேற்றம்.

குறைக்கப்பட்ட இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களின் கூட்டுத்தொகை x 2 +p x+q=0 என்பது எதிர் குறியுடன் எடுக்கப்பட்ட x இன் குணகத்திற்குச் சமம், மேலும் வேர்களின் பலன் இலவசச் சொல்லுக்குச் சமம், அதாவது x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 = q.

தேற்றம் வியட்டாவின் தேற்றத்துடன் மாறுகிறது

முந்தைய பத்தியில் கொடுக்கப்பட்ட வியட்டாவின் தேற்றத்தின் இரண்டாவது உருவாக்கம், x 1 மற்றும் x 2 ஆகியவை குறைக்கப்பட்ட இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்கள் என்றால் x 2 +p x+q=0, பின்னர் உறவுகள் x 1 +x 2 =-p , x 1 x 2 =q. மறுபுறம், எழுதப்பட்ட உறவுகளிலிருந்து x 1 +x 2 =-p, x 1 x 2 =q x 1 மற்றும் x 2 இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்கள் x 2 +p x+q=0. வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், வியட்டாவின் தேற்றத்தின் உரையாடல் உண்மை. அதை தேற்றம் வடிவில் உருவாக்கி நிரூபிப்போம்.

தேற்றம்.

x 1 மற்றும் x 2 எண்கள் x 1 +x 2 =-p மற்றும் x 1 x 2 =q என இருந்தால், x 1 மற்றும் x 2 ஆகியவை குறைக்கப்பட்ட இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்கள் x 2 +p x+q=0 .

ஆதாரம்.

x 2 +p·x+q=0 சமன்பாட்டில் p மற்றும் q குணகங்களை அவற்றின் வெளிப்பாடுகளுடன் x 1 மற்றும் x 2 மூலம் மாற்றிய பின், அது சமமான சமன்பாட்டாக மாற்றப்படுகிறது.

இதன் விளைவாக வரும் சமன்பாட்டில் x க்கு பதிலாக x 1 என்ற எண்ணை மாற்றுவோம், மேலும் நமக்கு சமத்துவம் உள்ளது x 1 2 -(x 1 +x 2) x 1 +x 1 x 2 =0, எந்த x 1 மற்றும் x 2 க்கு சரியான எண் சமத்துவம் 0=0 ஐக் குறிக்கிறது. x 1 2 -(x 1 +x 2) x 1 +x 1 x 2 = x 1 2 -x 1 2 -x 2 ·x 1 +x 1 ·x 2 =0. எனவே, x 1 என்பது சமன்பாட்டின் வேர் x 2 -(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0, அதாவது x 1 என்பது x 2 +p·x+q=0 சமமான சமன்பாட்டின் வேர்.

சமன்பாட்டில் இருந்தால் x 2 -(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0 x க்கு பதிலாக x 2 என்ற எண்ணை மாற்றினால் சமத்துவம் கிடைக்கும் x 2 2 -(x 1 +x 2) x 2 +x 1 x 2 =0. இதுவே உண்மையான சமத்துவம் என்பதால் x 2 2 -(x 1 +x 2) x 2 +x 1 x 2 = x 2 2 -x 1 ·x 2 -x 2 2 +x 1 ·x 2 =0. எனவே, x 2 என்பது சமன்பாட்டின் ஒரு மூலமும் ஆகும் x 2 -(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0, எனவே சமன்பாடுகள் x 2 +p·x+q=0.

இது வியட்டாவின் தேற்றத்திற்கு நேர்மாறான தேற்றத்தின் நிரூபணத்தை நிறைவு செய்கிறது.

வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துவதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள்

வியட்டாவின் தேற்றத்தின் நடைமுறை பயன்பாடு மற்றும் அதன் உரையாடல் தேற்றம் பற்றி பேச வேண்டிய நேரம் இது. இந்த பிரிவில், மிகவும் பொதுவான பல எடுத்துக்காட்டுகளுக்கான தீர்வுகளை பகுப்பாய்வு செய்வோம்.

வியட்டாவின் தேற்றத்தில் தேற்றம் உரையாடலைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் ஆரம்பிக்கலாம். கொடுக்கப்பட்ட இரண்டு எண்கள் கொடுக்கப்பட்ட இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களா என்பதைச் சரிபார்க்க இது வசதியானது. இந்த வழக்கில், அவற்றின் தொகை மற்றும் வேறுபாடு கணக்கிடப்படுகிறது, அதன் பிறகு உறவுகளின் செல்லுபடியாகும் தன்மை சரிபார்க்கப்படுகிறது. இந்த இரண்டு உறவுகளும் திருப்திகரமாக இருந்தால், தேற்றம் வியட்டாவின் தேற்றத்துடன் மாறியதால், இந்த எண்கள் சமன்பாட்டின் வேர்கள் என்று முடிவு செய்யப்படுகிறது. உறவுகளில் குறைந்தபட்சம் ஒன்று திருப்தி அடையவில்லை என்றால், இந்த எண்கள் இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்கள் அல்ல. கண்டுபிடிக்கப்பட்ட வேர்களைச் சரிபார்க்க இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்க்கும் போது இந்த அணுகுமுறையைப் பயன்படுத்தலாம்.

உதாரணமாக.

1) x 1 =−5, x 2 =3, அல்லது 2) அல்லது 3) எண்களின் ஜோடிகளில் எது 4 x 2 -16 x+9=0 இருபடிச் சமன்பாட்டின் ஒரு ஜோடி வேர்கள்?

தீர்வு.

கொடுக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாடு 4 x 2 -16 x+9=0 குணகங்கள் a=4, b=-16, c=9. வியட்டாவின் தேற்றத்தின்படி, இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களின் கூட்டுத்தொகை −b/a க்கு சமமாக இருக்க வேண்டும், அதாவது 16/4=4, மற்றும் வேர்களின் பெருக்கல் c/a க்கு சமமாக இருக்க வேண்டும், அதாவது 9 /4.

இப்போது கொடுக்கப்பட்ட மூன்று ஜோடிகளில் உள்ள எண்களின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் பலனைக் கணக்கிட்டு, அவற்றை நாம் பெற்ற மதிப்புகளுடன் ஒப்பிடுவோம்.

முதல் வழக்கில் x 1 +x 2 =−5+3=−2. இதன் விளைவாக வரும் மதிப்பு 4 இலிருந்து வேறுபட்டது, எனவே மேலும் சரிபார்ப்பை மேற்கொள்ள முடியாது, ஆனால் வியட்டாவின் தேற்றத்திற்கு நேர்மாறான தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி, முதல் ஜோடி எண்கள் கொடுக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாட்டின் ஒரு ஜோடி வேர்கள் அல்ல என்று உடனடியாக முடிவு செய்யலாம்.

இரண்டாவது வழக்குக்கு செல்லலாம். இங்கே, அதாவது, முதல் நிபந்தனை பூர்த்தி செய்யப்படுகிறது. இரண்டாவது நிபந்தனையை நாங்கள் சரிபார்க்கிறோம்: இதன் விளைவாக வரும் மதிப்பு 9/4 இலிருந்து வேறுபட்டது. இதன் விளைவாக, இரண்டாவது ஜோடி எண்கள் இருபடி சமன்பாட்டின் ஒரு ஜோடி வேர்கள் அல்ல.

கடைசியாக ஒரு வழக்கு உள்ளது. இங்கே மற்றும். இரண்டு நிபந்தனைகளும் பூர்த்தி செய்யப்படுகின்றன, எனவே இந்த எண்கள் x 1 மற்றும் x 2 கொடுக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்கள்.

பதில்:

ஒரு இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டறிய வியட்டாவின் தேற்றத்தின் மாற்றத்தை நடைமுறையில் பயன்படுத்தலாம். வழக்கமாக, முழு எண் குணகங்களுடன் கொடுக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாடுகளின் முழு எண் வேர்கள் தேர்ந்தெடுக்கப்படுகின்றன, ஏனெனில் மற்ற சந்தர்ப்பங்களில் இதைச் செய்வது மிகவும் கடினம். இந்த வழக்கில், இரண்டு எண்களின் கூட்டுத்தொகை ஒரு இருபடிச் சமன்பாட்டின் இரண்டாவது குணகத்திற்குச் சமமாக இருந்தால், கழித்தல் குறியுடன் எடுத்துக் கொள்ளப்பட்டால், இந்த எண்களின் பலன் இலவசச் சொல்லுக்குச் சமமாக இருந்தால், இந்த எண்கள் இந்த இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்கள். இதை ஒரு உதாரணத்தின் மூலம் புரிந்து கொள்வோம்.

x 2 -5 x+6=0 என்ற இருபடிச் சமன்பாட்டை எடுத்துக் கொள்வோம். இந்த சமன்பாட்டின் வேர்களாக x 1 மற்றும் x 2 எண்கள் இருப்பதற்கு, இரண்டு சமத்துவங்கள் பூர்த்தி செய்யப்பட வேண்டும்: x 1 + x 2 =5 மற்றும் x 1 ·x 2 =6. அத்தகைய எண்களைத் தேர்ந்தெடுப்பது மட்டுமே எஞ்சியுள்ளது. இந்த வழக்கில், இதைச் செய்வது மிகவும் எளிது: அத்தகைய எண்கள் 2 மற்றும் 3 ஆகும், ஏனெனில் 2+3=5 மற்றும் 2·3=6. எனவே, இந்த இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்கள் 2 மற்றும் 3 ஆகும்.

வியட்டாவின் தேற்றத்திற்கு நேர்மாறான தேற்றம், கொடுக்கப்பட்ட இருபடிச் சமன்பாட்டின் இரண்டாவது மூலத்தைக் கண்டறிய, வேர்களில் ஒன்று ஏற்கனவே தெரிந்திருந்தால் அல்லது வெளிப்படையாக இருக்கும் போது பயன்படுத்த மிகவும் வசதியானது. இந்த வழக்கில், இரண்டாவது மூலத்தை எந்த உறவுகளிலிருந்தும் காணலாம்.

எடுத்துக்காட்டாக, இருபடிச் சமன்பாடு 512 x 2 -509 x -3=0 ஐ எடுத்துக் கொள்வோம். இந்த இருபடிச் சமன்பாட்டின் குணகங்களின் கூட்டுத்தொகை பூஜ்ஜியத்திற்கு சமமாக இருப்பதால், ஒற்றுமை என்பது சமன்பாட்டின் வேர் என்பதை இங்கே எளிதாகக் காணலாம். எனவே x 1 =1. இரண்டாவது ரூட் x 2 ஐக் காணலாம், எடுத்துக்காட்டாக, x 1 ·x 2 =c/a உறவிலிருந்து. எங்களிடம் 1 x 2 =−3/512 உள்ளது, அதில் இருந்து x 2 =-3/512. இருபடிச் சமன்பாட்டின் இரு வேர்களையும் இப்படித்தான் தீர்மானித்தோம்: 1 மற்றும் −3/512.

வேர்களைத் தேர்ந்தெடுப்பது எளிமையான சந்தர்ப்பங்களில் மட்டுமே அறிவுறுத்தப்படுகிறது என்பது தெளிவாகிறது. மற்ற சந்தர்ப்பங்களில், வேர்களைக் கண்டறிய, ஒரு இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கான சூத்திரங்களைப் பாகுபாடு மூலம் பயன்படுத்தலாம்.

வியட்டாவின் தேற்றத்தின் உரையாடலின் மற்றொரு நடைமுறை பயன்பாடு x 1 மற்றும் x 2 வேர்களைக் கொண்டு இருபடி சமன்பாடுகளை உருவாக்குவதாகும். இதைச் செய்ய, வேர்களின் கூட்டுத்தொகையைக் கணக்கிடுவது போதுமானது, இது கொடுக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாட்டின் எதிர் அடையாளத்துடன் x இன் குணகத்தையும், இலவச காலத்தை வழங்கும் வேர்களின் பெருக்கத்தையும் வழங்குகிறது.

உதாரணமாக.

எண்கள் −11 மற்றும் 23 ஆகிய இருபடி சமன்பாட்டை எழுதவும்.

தீர்வு.

x 1 =−11 மற்றும் x 2 =23 ஐக் குறிப்போம். இந்த எண்களின் கூட்டுத்தொகை மற்றும் பலனைக் கணக்கிடுகிறோம்: x 1 +x 2 =12 மற்றும் x 1 ·x 2 =−253. எனவே, சுட்டிக்காட்டப்பட்ட எண்கள் -12 இன் இரண்டாவது குணகம் மற்றும் −253 இன் இலவச காலத்துடன் குறைக்கப்பட்ட இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களாகும். அதாவது, x 2 −12·x−253=0 என்பது தேவையான சமன்பாடு.

பதில்:

x 2 −12·x−253=0 .

இருபடி சமன்பாடுகளின் வேர்களின் அறிகுறிகளுடன் தொடர்புடைய சிக்கல்களைத் தீர்க்கும் போது வியட்டாவின் தேற்றம் அடிக்கடி பயன்படுத்தப்படுகிறது. வியட்டாவின் தேற்றம் x 2 +p·x+q=0 குறைக்கப்பட்ட இருபடிச் சமன்பாட்டின் வேர்களின் அறிகுறிகளுடன் எவ்வாறு தொடர்புடையது? இரண்டு தொடர்புடைய அறிக்கைகள் இங்கே:

• கட்டற்ற சொல் q நேர்மறை எண்ணாகவும், இருபடிச் சமன்பாடு உண்மையான வேர்களைக் கொண்டிருந்தால், அவை இரண்டும் நேர்மறையாகவோ அல்லது எதிர்மறையாகவோ இருக்கும்.
• இலவச சொல் q என்பது எதிர்மறை எண்ணாகவும், இருபடிச் சமன்பாடு உண்மையான வேர்களைக் கொண்டிருந்தால், அவற்றின் அறிகுறிகள் வேறுபட்டவை, வேறுவிதமாகக் கூறினால், ஒரு வேர் நேர்மறையாகவும் மற்றொன்று எதிர்மறையாகவும் இருக்கும்.

இந்த அறிக்கைகள் x 1 · x 2 =q சூத்திரத்தில் இருந்து பின்பற்றப்படுகின்றன, அத்துடன் நேர்மறை, எதிர்மறை எண்கள் மற்றும் எண்களை வெவ்வேறு அடையாளங்களுடன் பெருக்குவதற்கான விதிகள். அவற்றின் பயன்பாட்டின் எடுத்துக்காட்டுகளைப் பார்ப்போம்.

உதாரணமாக.

ஆர் இது நேர்மறை. பாகுபாடு சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி, D=(r+2) 2 -4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8, வெளிப்பாட்டின் மதிப்பு r 2 + எந்த உண்மையான rக்கும் 8 நேர்மறையாக இருக்கும், எனவே எந்த உண்மையான rக்கும் D>0. இதன் விளைவாக, அசல் இருபடி சமன்பாடு r அளவுருவின் உண்மையான மதிப்புகளுக்கு இரண்டு வேர்களைக் கொண்டுள்ளது.

வேர்கள் வெவ்வேறு அறிகுறிகளைக் கொண்டிருக்கும்போது இப்போது கண்டுபிடிப்போம். வேர்களின் அறிகுறிகள் வேறுபட்டால், அவற்றின் தயாரிப்பு எதிர்மறையானது, மற்றும் வியட்டாவின் தேற்றத்தின்படி, குறைக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களின் தயாரிப்பு இலவச காலத்திற்கு சமம். எனவே, இலவசச் சொல் r−1 எதிர்மறையாக இருக்கும் r இன் மதிப்புகளில் நாங்கள் ஆர்வமாக உள்ளோம். எனவே, நாம் ஆர்வமுள்ள r இன் மதிப்புகளைக் கண்டறிய, நமக்குத் தேவை நேரியல் சமத்துவமின்மையை தீர்க்கவும் r−1<0 , откуда находим r<1 .

பதில்:

ஆர் மணிக்கு<1 .

வியட்டா சூத்திரங்கள்

மேலே நாம் ஒரு இருபடி சமன்பாட்டிற்கான வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பற்றிப் பேசினோம் மற்றும் அது உறுதிப்படுத்தும் உறவுகளை பகுப்பாய்வு செய்தோம். ஆனால் இருபடி சமன்பாடுகளின் உண்மையான வேர்கள் மற்றும் குணகங்களை இணைக்கும் சூத்திரங்கள் உள்ளன, ஆனால் கன சமன்பாடுகள், நான்காவது பட்டத்தின் சமன்பாடுகள் மற்றும் பொதுவாக, இயற்கணித சமன்பாடுகள்பட்டம் n. அவர்கள் அழைக்கப்படுகிறார்கள் வியட்டாவின் சூத்திரங்கள்.

படிவத்தின் n இன் இயற்கணித சமன்பாட்டிற்கு வியட்டா சூத்திரத்தை எழுதுவோம், மேலும் அது n உண்மையான வேர்கள் x 1, x 2, ..., x n (அவற்றில் ஒத்துப்போகும்வை இருக்கலாம்) என்று வைத்துக்கொள்வோம்:

வியட்டாவின் சூத்திரங்களைப் பெறலாம் ஒரு பல்லுறுப்புக்கோவையை நேரியல் காரணிகளாக சிதைப்பது பற்றிய தேற்றம், அதே போல் சம பல்லுறுப்புக்கோவைகளின் வரையறை அவற்றுடன் தொடர்புடைய அனைத்து குணகங்களின் சமத்துவத்தின் மூலம். எனவே பல்லுறுப்புக்கோவை மற்றும் வடிவத்தின் நேரியல் காரணிகளாக அதன் விரிவாக்கம் சமம். கடைசி தயாரிப்பில் அடைப்புக்குறிகளைத் திறந்து, அதனுடன் தொடர்புடைய குணகங்களை சமன் செய்தால், நாங்கள் வியட்டாவின் சூத்திரங்களைப் பெறுகிறோம்.

குறிப்பாக, n=2 க்கு, இருபடிச் சமன்பாட்டிற்கான ஏற்கனவே தெரிந்த வியட்டா சூத்திரங்கள் உள்ளன.

கன சமன்பாட்டிற்கு, வியட்டாவின் சூத்திரங்கள் வடிவத்தைக் கொண்டுள்ளன

வியட்டாவின் சூத்திரங்களின் இடது பக்கத்தில் அடிப்படை என்று அழைக்கப்படுபவை உள்ளன என்பதைக் கவனத்தில் கொள்ள வேண்டும். சமச்சீர் பல்லுறுப்புக்கோவைகள்.

நூல் பட்டியல்.

• இயற்கணிதம்:பாடநூல் 8 ஆம் வகுப்புக்கு. பொது கல்வி நிறுவனங்கள் / [யு. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; திருத்தியவர் எஸ். ஏ. டெலியாகோவ்ஸ்கி. - 16வது பதிப்பு. - எம்.: கல்வி, 2008. - 271 பக். : உடம்பு சரியில்லை. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• மொர்ட்கோவிச் ஏ.ஜி.இயற்கணிதம். 8 ஆம் வகுப்பு. 2 மணி நேரத்தில் பகுதி 1. பொது கல்வி நிறுவனங்களின் மாணவர்களுக்கான பாடநூல் / ஏ.ஜி. மொர்ட்கோவிச். - 11வது பதிப்பு, அழிக்கப்பட்டது. - எம்.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
• இயற்கணிதம்மற்றும் கணித பகுப்பாய்வின் ஆரம்பம். 10 ஆம் வகுப்பு: பாடநூல். பொது கல்விக்காக நிறுவனங்கள்: அடிப்படை மற்றும் சுயவிவரம். நிலைகள் / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; திருத்தியவர் A. B. Zhizhchenko. - 3வது பதிப்பு. - எம்.: கல்வி, 2010.- 368 பக். : உடம்பு சரியில்லை. - ISBN 978-5-09-022771-1.

எட்டாம் வகுப்பில், மாணவர்களுக்கு இருபடிச் சமன்பாடுகள் மற்றும் அவற்றை எவ்வாறு தீர்ப்பது என்பது அறிமுகப்படுத்தப்படுகிறது. அதே நேரத்தில், அனுபவம் காட்டுவது போல், பெரும்பாலான மாணவர்கள் முழுமையான இருபடி சமன்பாடுகளை தீர்க்கும் போது ஒரே ஒரு முறையை மட்டுமே பயன்படுத்துகின்றனர் - ஒரு இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களுக்கான சூத்திரம். நல்ல மன எண்கணித திறன்களைக் கொண்ட மாணவர்களுக்கு, இந்த முறை தெளிவாக பகுத்தறிவற்றது. மாணவர்கள் பெரும்பாலும் உயர்நிலைப் பள்ளியில் கூட இருபடி சமன்பாடுகளைத் தீர்க்க வேண்டும், மேலும் பாகுபாடுகளைக் கணக்கிடுவதில் நேரத்தை செலவிடுவது பரிதாபம். என் கருத்துப்படி, இருபடி சமன்பாடுகளைப் படிக்கும்போது, ​​வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துவதற்கு அதிக நேரமும் கவனமும் செலுத்தப்பட வேண்டும் (ஏ.ஜி. மொர்ட்கோவிச் அல்ஜீப்ரா -8 திட்டத்தின் படி, “வியட்டாவின் தேற்றம். ஒரு இருபடியின் சிதைவு” என்ற தலைப்பைப் படிக்க இரண்டு மணிநேரம் மட்டுமே திட்டமிடப்பட்டுள்ளது. முக்கோணம் நேரியல் காரணிகளாக”).

பெரும்பாலான இயற்கணிதம் பாடப்புத்தகங்களில், இந்த தேற்றம் குறைக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாட்டிற்காக வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது மற்றும் கூறுகிறது சமன்பாட்டிற்கு வேர்கள் இருந்தால் மற்றும் சமன்பாடுகள் அவர்களுக்கு திருப்தி அளிக்கும்.பின்னர் வியட்டாவின் தேற்றத்துடன் உரையாடும் ஒரு அறிக்கை வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது, மேலும் இந்த தலைப்பைப் பயிற்சி செய்ய பல எடுத்துக்காட்டுகள் வழங்கப்படுகின்றன.

குறிப்பிட்ட எடுத்துக்காட்டுகளை எடுத்து, வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி தீர்வின் தர்க்கத்தைக் கண்டுபிடிப்போம்.

எடுத்துக்காட்டு 1. சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்.

இந்த சமன்பாட்டிற்கு வேர்கள் உள்ளன, அதாவது, மற்றும் . பின்னர், வியட்டாவின் தேற்றத்தின்படி, சமத்துவங்கள் ஒரே நேரத்தில் இருக்க வேண்டும்:

வேர்களின் தயாரிப்பு நேர்மறை எண் என்பதை நினைவில் கொள்க. இதன் பொருள் சமன்பாட்டின் வேர்கள் ஒரே அடையாளத்தில் உள்ளன. மேலும் வேர்களின் கூட்டுத்தொகை நேர்மறை எண்ணாக இருப்பதால், சமன்பாட்டின் இரண்டு வேர்களும் நேர்மறை என்று முடிவு செய்கிறோம். வேர்களின் தயாரிப்புக்கு மீண்டும் வருவோம். சமன்பாட்டின் வேர்கள் நேர்மறை முழு எண்கள் என்று வைத்துக் கொள்வோம். பின்னர் சரியான முதல் சமத்துவத்தை இரண்டு வழிகளில் மட்டுமே பெற முடியும் (காரணிகளின் வரிசை வரை): அல்லது . வியட்டாவின் தேற்றத்தின் இரண்டாவது அறிக்கையின் சாத்தியக்கூறுகளை முன்மொழியப்பட்ட ஜோடி எண்களை சரிபார்க்கலாம்: . இவ்வாறு, எண்கள் 2 மற்றும் 3 இரு சமத்துவங்களையும் பூர்த்தி செய்கின்றன, எனவே கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டின் வேர்கள்.

பதில்: 2; 3.

வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி மேலே உள்ள இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்க்கும் போது பகுத்தறிவின் முக்கிய நிலைகளை முன்னிலைப்படுத்துவோம்:

வியட்டாவின் தேற்றத்தின் அறிக்கையை எழுதுங்கள்

(*)

• சமன்பாட்டின் வேர்களின் அறிகுறிகளைத் தீர்மானிக்கவும் (வேர்களின் தயாரிப்பு மற்றும் கூட்டுத்தொகை நேர்மறையாக இருந்தால், இரண்டு வேர்களும் நேர்மறை எண்கள். வேர்களின் பெருக்கல் நேர்மறை எண்ணாகவும், வேர்களின் கூட்டுத்தொகை எதிர்மறையாகவும் இருந்தால், பின்னர் இரண்டு வேர்களும் எதிர்மறை எண்கள் என்றால், வேர்கள் வெவ்வேறு அறிகுறிகளைக் கொண்டுள்ளன, மேலும், வேர்களின் கூட்டுத்தொகை நேர்மறையாக இருந்தால், பெரிய மாடுலஸ் கொண்ட வேர் நேர்மறை எண்ணாகும். வேர்களின் கூட்டுத்தொகை பூஜ்ஜியத்தை விட குறைவாக உள்ளது, பின்னர் பெரிய மாடுலஸ் கொண்ட ரூட் எதிர்மறை எண்);
• குறியீட்டில் (*) சரியான முதல் சமத்துவத்தை வழங்கும் முழு எண்களின் ஜோடிகளைத் தேர்ந்தெடுக்கவும்;
• கண்டுபிடிக்கப்பட்ட ஜோடி எண்களிலிருந்து, குறியீட்டில் (*) இரண்டாவது சமத்துவத்தில் மாற்றப்படும் போது, ​​சரியான சமத்துவத்தை வழங்கும் ஜோடியைத் தேர்ந்தெடுக்கவும்;
• உங்கள் பதிலில் சமன்பாட்டின் வேர்களைக் குறிப்பிடவும்.

இன்னும் உதாரணங்கள் தருவோம்.

எடுத்துக்காட்டு 2: சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும் .

தீர்வு.

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டின் வேர்களாக இருக்கட்டும். பின்னர், வியட்டாவின் தேற்றத்தின்படி, தயாரிப்பு நேர்மறையாகவும், கூட்டுத்தொகை எதிர்மறை எண்ணாகவும் இருப்பதைக் கவனிக்கிறோம். இதன் பொருள் இரண்டு வேர்களும் எதிர்மறை எண்கள். 10 (-1 மற்றும் -10; -2 மற்றும் -5) ஒரு பொருளைக் கொடுக்கும் காரணிகளின் ஜோடிகளை நாங்கள் தேர்ந்தெடுக்கிறோம். இரண்டாவது ஜோடி எண்கள் -7 வரை சேர்க்கிறது. அதாவது -2 மற்றும் -5 எண்கள் இந்த சமன்பாட்டின் வேர்கள்.

பதில்: -2; -5.

எடுத்துக்காட்டு 3: சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும் .

தீர்வு.

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாட்டின் வேர்களாக இருக்கட்டும். பின்னர், வியட்டாவின் தேற்றத்தின்படி, தயாரிப்பு எதிர்மறையானது என்பதை நாங்கள் கவனிக்கிறோம். இதன் பொருள் வேர்கள் வெவ்வேறு அறிகுறிகளைக் கொண்டுள்ளன. வேர்களின் கூட்டுத்தொகை எதிர்மறை எண்ணாகும். இதன் பொருள் மிகப்பெரிய மாடுலஸ் கொண்ட ரூட் எதிர்மறையானது. தயாரிப்பு -10 (1 மற்றும் -10; 2 மற்றும் -5) வழங்கும் காரணிகளின் ஜோடிகளை நாங்கள் தேர்ந்தெடுக்கிறோம். இரண்டாவது ஜோடி எண்கள் -3 வரை சேர்க்கிறது. அதாவது 2 மற்றும் -5 எண்கள் இந்த சமன்பாட்டின் வேர்கள்.

பதில்: 2; -5.

வியட்டாவின் தேற்றம், கொள்கையளவில், ஒரு முழுமையான இருபடிச் சமன்பாட்டிற்காக வடிவமைக்கப்படலாம் என்பதை நினைவில் கொள்க: இருபடி சமன்பாடு என்றால் வேர்களைக் கொண்டுள்ளது மற்றும் , பின்னர் சமத்துவங்கள் , அவர்களுக்கு திருப்தி அளிக்கின்றன.இருப்பினும், இந்த தேற்றத்தின் பயன்பாடு மிகவும் சிக்கலானது, ஏனெனில் ஒரு முழுமையான இருபடி சமன்பாட்டில் குறைந்தபட்சம் ஒரு வேர் (ஏதேனும் இருந்தால், நிச்சயமாக) ஒரு பகுதி எண். பின்னங்களைத் தேர்ந்தெடுப்பதில் வேலை செய்வது நீண்ட மற்றும் கடினமானது. ஆனால் இன்னும் ஒரு வழி இருக்கிறது.

முழு இருபடி சமன்பாட்டைக் கவனியுங்கள் . சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் முதல் குணகத்தால் பெருக்கவும் ஏமற்றும் படிவத்தில் சமன்பாட்டை எழுதவும் . ஒரு புதிய மாறியை அறிமுகப்படுத்தி, குறைக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாட்டைப் பெறுவோம், அதன் வேர்கள் மற்றும் (கிடைத்தால்) வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்திக் காணலாம். பின்னர் அசல் சமன்பாட்டின் வேர்கள் இருக்கும். துணை குறைக்கப்பட்ட சமன்பாட்டை உருவாக்குவது மிகவும் எளிதானது என்பதை நினைவில் கொள்க: இரண்டாவது குணகம் பாதுகாக்கப்படுகிறது, மேலும் மூன்றாவது குணகம் தயாரிப்புக்கு சமம். ஏசி. ஒரு குறிப்பிட்ட திறமையுடன், மாணவர்கள் உடனடியாக ஒரு துணை சமன்பாட்டை உருவாக்கி, வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி அதன் வேர்களைக் கண்டறிந்து, கொடுக்கப்பட்ட முழுமையான சமன்பாட்டின் வேர்களைக் குறிப்பிடுகின்றனர். உதாரணங்கள் தருவோம்.

எடுத்துக்காட்டு 4: சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும் .

ஒரு துணை சமன்பாட்டை உருவாக்குவோம் மற்றும் வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி அதன் வேர்களைக் கண்டுபிடிப்போம். இதன் பொருள் அசல் சமன்பாட்டின் வேர்கள் .

பதில்: .

எடுத்துக்காட்டு 5: சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும் .

துணை சமன்பாடு வடிவம் கொண்டது. வியட்டாவின் தேற்றத்தின்படி, அதன் வேர்கள். அசல் சமன்பாட்டின் வேர்களைக் கண்டறிதல் .

பதில்: .

மேலும் ஒரு வழக்கு, வியட்டாவின் தேற்றத்தின் பயன்பாடு ஒரு முழுமையான இருபடி சமன்பாட்டின் வேர்களை வாய்மொழியாகக் கண்டறிய உங்களை அனுமதிக்கிறது. அதை நிரூபிப்பது கடினம் அல்ல எண் 1 என்பது சமன்பாட்டின் வேர் , என்றால் மற்றும் மட்டும். சமன்பாட்டின் இரண்டாவது வேர் வியட்டாவின் தேற்றத்தால் கண்டறியப்பட்டது மற்றும் சமமாக உள்ளது. மேலும் ஒரு அறிக்கை: அதனால் எண் –1 என்பது சமன்பாட்டின் வேர் தேவையான மற்றும் போதுமானது. பின்னர் வியட்டாவின் தேற்றத்தின்படி சமன்பாட்டின் இரண்டாவது வேர் சமமாக இருக்கும். குறைக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாட்டிற்கு இதே போன்ற அறிக்கைகளை உருவாக்கலாம்.

எடுத்துக்காட்டு 6: சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்.

சமன்பாட்டின் குணகங்களின் கூட்டுத்தொகை பூஜ்ஜியம் என்பதை நினைவில் கொள்க. எனவே, சமன்பாட்டின் வேர்கள் .

பதில்: .

எடுத்துக்காட்டு 7. சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்.

இந்த சமன்பாட்டின் குணகங்கள் சொத்தை திருப்திப்படுத்துகின்றன (உண்மையில், 1-(-999)+(-1000)=0). எனவே, சமன்பாட்டின் வேர்கள் .

பதில்: ..

வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துவதற்கான எடுத்துக்காட்டுகள்

பணி 1. கொடுக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாட்டை வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி தீர்க்கவும்.

1.	6.	11.	16.
2.	7.	12.	17.
3.	8.	13.	18.
4.	9.	14.	19.
5.	10.	15.	20.

பணி 2. துணை குறைக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாட்டிற்கு செல்வதன் மூலம் முழுமையான இருபடி சமன்பாட்டை தீர்க்கவும்.

1.	6.	11.	16.
2.	7.	12.	17.
3.	8.	13.	18.
4.	9.	14.	19.
5.	10.	15.	20.

பணி 3. சொத்தைப் பயன்படுத்தி இருபடிச் சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும்.

முதலில், தேற்றத்தை உருவாக்குவோம்: x^2+b*x + c = 0 வடிவத்தின் குறைக்கப்பட்ட இருபடிச் சமன்பாட்டைக் கொள்வோம். பின்னர், தேற்றத்தின்படி, பின்வரும் அறிக்கைகள் செல்லுபடியாகும்:

1) x1 மற்றும் x2 வேர்களின் கூட்டுத்தொகை குணகம் b இன் எதிர்மறை மதிப்புக்கு சமமாக இருக்கும்.

2) இதே வேர்களின் பலன் நமக்கு குணகம் c ஐ கொடுக்கும்.

ஆனால் கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு என்ன?

குறைக்கப்பட்ட இருபடி சமன்பாடு என்பது ஒரு இருபடிச் சமன்பாடு ஆகும், இதன் குணகம் ஒன்றுக்கு சமமாக இருக்கும், அதாவது. இது x^2 + b*x + c = 0 வடிவத்தின் சமன்பாடு ஆகும். (மற்றும் a*x^2 + b*x + c = 0 சமன்பாடு குறைக்கப்படவில்லை). வேறு வார்த்தைகளில் கூறுவதானால், கொடுக்கப்பட்ட வடிவத்திற்கு சமன்பாட்டைக் கொண்டு வர, இந்த சமன்பாட்டை மிக உயர்ந்த சக்தியின் குணகத்தால் (a) வகுக்க வேண்டும். இந்த சமன்பாட்டை பின்வரும் வடிவத்திற்கு கொண்டு வருவதே பணி:

3*x^2 12*x + 18 = 0;

−4*x^2 + 32*x + 16 = 0;

1.5*x^2 + 7.5*x + 3 = 0; 2*x^2 + 7*x - 11 = 0.

ஒவ்வொரு சமன்பாட்டையும் உயர்ந்த பட்டத்தின் குணகத்தால் வகுத்தால், நாம் பெறுகிறோம்:

X^2 4*x + 6 = 0; X^2 8*x - 4 = 0; X^2 + 5*x + 2 = 0;

X^2 + 3.5*x - 5.5 = 0.

எடுத்துக்காட்டுகளிலிருந்து நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, பின்னங்களைக் கொண்ட சமன்பாடுகள் கூட கொடுக்கப்பட்ட வடிவத்தில் குறைக்கப்படலாம்.

வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்துதல்

X^2 5*x + 6 = 0 ⇒ x1 + x2 = - (−5) = 5; x1*x2 = 6;

நாம் வேர்களைப் பெறுகிறோம்: x1 = 2; x2 = 3;

X^2 + 6*x + 8 = 0 ⇒ x1 + x2 = −6; x1*x2 = 8;

இதன் விளைவாக நாம் வேர்களைப் பெறுகிறோம்: x1 = -2 ; x2 = -4;

X^2 + 5*x + 4 = 0 ⇒ x1 + x2 = −5; x1*x2 = 4;

நாம் வேர்களைப் பெறுகிறோம்: x1 = -1; x2 = -4.

வியட்டாவின் தேற்றத்தின் பொருள்

வியட்டாவின் தேற்றம் எந்த இருபடி குறைக்கப்பட்ட சமன்பாட்டை கிட்டத்தட்ட நொடிகளில் தீர்க்க அனுமதிக்கிறது. முதல் பார்வையில், இது மிகவும் கடினமான பணியாகத் தெரிகிறது, ஆனால் 5 10 சமன்பாடுகளுக்குப் பிறகு, வேர்களை இப்போதே பார்க்க கற்றுக்கொள்ளலாம்.

கொடுக்கப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகள் மற்றும் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி, இருபடி சமன்பாடுகளின் தீர்வை நீங்கள் எவ்வாறு கணிசமாக எளிதாக்குவது என்பது தெளிவாகிறது, ஏனெனில் இந்த தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி, சிக்கலான கணக்கீடுகள் மற்றும் பாகுபாடுகளைக் கணக்கிடாமல் நடைமுறையில் ஒரு இருபடி சமன்பாட்டை நீங்கள் தீர்க்க முடியும், மேலும் உங்களுக்குத் தெரிந்தபடி, குறைவான கணக்கீடுகள், தவறு செய்வது மிகவும் கடினம், இது முக்கியமானது.

எல்லா எடுத்துக்காட்டுகளிலும், இரண்டு முக்கியமான அனுமானங்களின் அடிப்படையில் இந்த விதியைப் பயன்படுத்தினோம்:

கொடுக்கப்பட்ட சமன்பாடு, அதாவது. உயர்ந்த பட்டத்தின் குணகம் ஒன்றுக்கு சமம் (இந்த நிலையை எளிதில் தவிர்க்கலாம். சமன்பாட்டின் குறைக்கப்படாத வடிவத்தைப் பயன்படுத்தலாம், பிறகு பின்வரும் அறிக்கைகள் செல்லுபடியாகும்: x1+x2=-b/a; x1*x2=c /a, ஆனால் பொதுவாக அதை தீர்ப்பது மிகவும் கடினம் :))

ஒரு சமன்பாடு இரண்டு வெவ்வேறு வேர்களைக் கொண்டிருக்கும் போது. சமத்துவமின்மை உண்மை என்றும், பாகுபாடு பூஜ்ஜியத்தை விட கண்டிப்பாக அதிகம் என்றும் நாங்கள் கருதுகிறோம்.

எனவே, நாம் வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி ஒரு பொதுவான தீர்வு வழிமுறையை உருவாக்கலாம்.

வியட்டாவின் தேற்றத்தைப் பயன்படுத்தி பொதுவான தீர்வு அல்காரிதம்

சமன்பாடு குறைக்கப்படாத வடிவத்தில் கொடுக்கப்பட்டால், ஒரு இருபடி சமன்பாட்டை குறைக்கப்பட்ட வடிவமாக குறைக்கிறோம். நாம் முன்னர் வழங்கிய இருபடி சமன்பாட்டில் உள்ள குணகங்கள், பின்னமாக (தசமம் அல்ல) மாறும் போது, ​​இந்த விஷயத்தில் நமது சமன்பாடு பாகுபாடு மூலம் தீர்க்கப்பட வேண்டும்.

ஆரம்ப சமன்பாட்டிற்குத் திரும்பும்போது "வசதியான" எண்களுடன் வேலை செய்ய அனுமதிக்கும் சந்தர்ப்பங்களும் உள்ளன.