தாக்குதலின் சிறிய கோணம் - [A.S. ஆங்கிலம்-ரஷ்ய ஆற்றல் அகராதி. 2006] தலைப்புகள் ஆற்றல் பொறியியல் பொதுவாக ஒத்த சொற்கள் தாக்குதலின் சிறிய கோணம் EN எதிர்மறை நிகழ்வுகள் குறைவான நிகழ்வுகள் ...

எதிர்மறை வெட்டு கோணம்- - தலைப்புகள் எண்ணெய் மற்றும் எரிவாயு தொழில் EN எதிர்மறை வெட்டும் கோணம் எதிர்மறை வெட்டு கோணம் ரேக் ... தொழில்நுட்ப மொழிபெயர்ப்பாளர் வழிகாட்டி

தூரிகையின் மேல் மேற்பரப்பின் எதிர்மறை கோணம்- [GOST 21888 82 (IEC 276 68, IEC 560 77)] பொதுவாக மின் சுழலும் இயந்திரங்களின் தலைப்புகள்... தொழில்நுட்ப மொழிபெயர்ப்பாளர் வழிகாட்டி

இறக்கை கோணம் என்சைக்ளோபீடியா "விமானம்"

இறக்கை கோணம்- விங் நிறுவல் கோணம். இறக்கையின் மைய நாண் மற்றும் விமானத்தின் அடிப்படை அச்சுக்கு இடையே இறக்கை நிறுவல் கோணம் φ0 (படம் பார்க்கவும்). விமானத்தின் ஏரோடைனமிக் கட்டமைப்பைப் பொறுத்து, இந்த கோணம் நேர்மறை அல்லது எதிர்மறையாக இருக்கலாம். பொதுவாக… என்சைக்ளோபீடியா "விமானம்"

இறக்கை கோணம்- இறக்கையின் மைய நாண் மற்றும் விமானத்தின் அடிப்படை அச்சுக்கு இடையே உள்ள கோணம் (φ)0. விமானத்தின் ஏரோடைனமிக் கட்டமைப்பைப் பொறுத்து, இந்த கோணம் நேர்மறை அல்லது எதிர்மறையாக இருக்கலாம். பொதுவாக இது ―2(°) முதல் +3(°) வரை இருக்கும். கோணம் (φ)0.... என்சைக்ளோபீடியா ஆஃப் டெக்னாலஜி

டிசெப்ஷன் ஆங்கிள்- (அழுத்தக் கோணம்) முதல் ஒரு அடிவானத்திற்குக் கீழே செல்லும் போது, ​​அடிவானத்துடன் உயரக் கோட்டால் (செ.மீ.) உருவாகும் கோணம், அதாவது எதிர்மறை உயரக் கோணம். Samoilov K.I மரைன் அகராதி. M.L.: NKVMF யூனியனின் மாநில கடற்படை பதிப்பகம்... ... கடல் அகராதி

ஆப்டிகல் அச்சுகளின் கோணம்- தேர்வு இடையே கடுமையான கோணம். பைஆக்சியல் தண்டுகளில் அச்சுகள். U. o. ஓ. கடுமையான இருசமப்பிரிவு Ng ஆக இருக்கும் போது நேர்மறை என்றும், கடுமையான இருசமப்பிரிவு Np ஆக இருக்கும் போது எதிர்மறை என்றும் அழைக்கப்படுகிறது (பார்க்க ஆப்டிகல் பைஆக்சியல் கிரிஸ்டல்). உண்மை யு.ஓ. ஓ. நியமிக்கப்பட்டுள்ளது...... புவியியல் கலைக்களஞ்சியம்

ஆமணக்கு (கோணம்)- இந்த வார்த்தைக்கு வேறு அர்த்தங்கள் உள்ளன, ஆமணக்கு பார்க்கவும். θ ஆமணக்கு, சிவப்பு கோடு என்பது சக்கரத்தின் திசைமாற்றி அச்சு. படத்தில், ஆமணக்கு நேர்மறையாக உள்ளது (கோணம் கடிகார திசையில் அளவிடப்படுகிறது, காரின் முன் பகுதி இடதுபுறத்தில் உள்ளது) ... விக்கிபீடியா

ஆமணக்கு (சுழற்சி கோணம்)- θ ஆமணக்கு, சிவப்பு கோடு என்பது சக்கரத்தின் திசைமாற்றி அச்சு. படத்தில், ஆமணக்கு நேர்மறையாக உள்ளது (கோணம் கடிகார திசையில் அளவிடப்படுகிறது, காரின் முன்புறம் இடதுபுறத்தில் உள்ளது) ஆமணக்கு (ஆங்கில காஸ்டர்) என்பது காரின் சக்கரம் திரும்பும் அச்சின் நீளமான சாய்வு கோணமாகும். ஆமணக்கு... ...விக்கிபீடியா

ரேக் கோணம்- 3.2.9 ரேக் கோணம்: ரேக் மேற்பரப்புக்கும் அடிப்படை விமானத்திற்கும் இடையே உள்ள கோணம் (படம் 5 ஐப் பார்க்கவும்). 1 எதிர்மறை ரேக் கோணம்; 2 நேர்மறை ரேக் கோணம் படம் 5 ரேக் கோணங்கள்

ஆல்பா என்பது உண்மையான எண்ணைக் குறிக்கிறது. மேலே உள்ள வெளிப்பாடுகளில் உள்ள சம அடையாளம், நீங்கள் ஒரு எண்ணை அல்லது முடிவிலியை முடிவிலியுடன் சேர்த்தால், எதுவும் மாறாது, விளைவு அதே முடிவிலியாக இருக்கும் என்பதைக் குறிக்கிறது. இயற்கை எண்களின் எல்லையற்ற தொகுப்பை உதாரணமாக எடுத்துக் கொண்டால், கருத்தில் கொள்ளப்பட்ட எடுத்துக்காட்டுகளை இந்த வடிவத்தில் குறிப்பிடலாம்:

அவர்கள் சொல்வது சரிதான் என்று தெளிவாக நிரூபிக்க, கணிதவியலாளர்கள் பல்வேறு முறைகளைக் கொண்டு வந்தனர். தனிப்பட்ட முறையில், நான் இந்த முறைகளை டம்பூரைன்களுடன் நடனமாடும் ஷாமன்களாகப் பார்க்கிறேன். அடிப்படையில், சில அறைகள் ஆளில்லாமல் இருப்பதால் புதிய விருந்தினர்கள் நகர்கிறார்கள் அல்லது விருந்தினர்களுக்கு (மிகவும் மனிதாபிமானத்துடன்) இடமளிக்க சில பார்வையாளர்கள் தாழ்வாரத்தில் வீசப்படுகிறார்கள் என்ற உண்மையை அவர்கள் அனைவரும் கொதிக்கிறார்கள். அத்தகைய முடிவுகள் குறித்த எனது பார்வையை பொன்னிறத்தைப் பற்றிய கற்பனைக் கதையாக முன்வைத்தேன். என் நியாயம் என்ன அடிப்படையில் உள்ளது? எண்ணற்ற பார்வையாளர்களை இடமாற்றம் செய்வதற்கு முடிவிலா நேரத்தை எடுக்கும். ஒரு விருந்தினருக்கான முதல் அறையை நாங்கள் காலி செய்த பிறகு, பார்வையாளர்களில் ஒருவர் எப்போதும் தனது அறையிலிருந்து அடுத்த அறைக்கு நேரம் முடியும் வரை நடைபாதையில் நடந்து செல்வார். நிச்சயமாக, நேரக் காரணி முட்டாள்தனமாக புறக்கணிக்கப்படலாம், ஆனால் இது "முட்டாள்களுக்காக எந்தச் சட்டமும் எழுதப்படவில்லை" என்ற பிரிவில் இருக்கும். இது அனைத்தும் நாம் என்ன செய்கிறோம் என்பதைப் பொறுத்தது: யதார்த்தத்தை கணிதக் கோட்பாடுகளுக்கு அல்லது நேர்மாறாக சரிசெய்தல்.

"முடிவற்ற ஹோட்டல்" என்றால் என்ன? எல்லையற்ற ஹோட்டல் என்பது, எத்தனை அறைகள் ஆக்கிரமிக்கப்பட்டிருந்தாலும், எப்போதும் காலியான படுக்கைகளைக் கொண்டிருக்கும் ஒரு ஹோட்டலாகும். முடிவில்லாத "பார்வையாளர்" நடைபாதையில் உள்ள அனைத்து அறைகளும் ஆக்கிரமிக்கப்பட்டிருந்தால், "விருந்தினர்" அறைகளுடன் மற்றொரு முடிவற்ற தாழ்வாரம் உள்ளது. அத்தகைய தாழ்வாரங்கள் எண்ணற்ற அளவில் இருக்கும். மேலும், "எல்லையற்ற ஹோட்டல்" எண்ணற்ற கடவுள்களால் உருவாக்கப்பட்ட எண்ணற்ற பிரபஞ்சங்களில் எண்ணற்ற கிரகங்களில் எண்ணற்ற கட்டிடங்களில் எண்ணற்ற மாடிகளைக் கொண்டுள்ளது. கணிதவியலாளர்கள் சாதாரணமான அன்றாட பிரச்சனைகளிலிருந்து தங்களைத் தூர விலக்கிக் கொள்ள முடியாது: ஒரே கடவுள்-அல்லா-புத்தர் மட்டுமே இருக்கிறார், ஒரே ஒரு ஹோட்டல் மட்டுமே உள்ளது, ஒரே ஒரு நடைபாதை மட்டுமே உள்ளது. எனவே கணிதவியலாளர்கள் ஹோட்டல் அறைகளின் வரிசை எண்களைக் கையாள முயற்சிக்கிறார்கள், "சாத்தியமற்றதைத் தள்ளுவது" சாத்தியம் என்று நம்மை நம்பவைக்கிறார்கள்.

எண்ணற்ற இயற்கை எண்களின் உதாரணத்தைப் பயன்படுத்தி எனது நியாயத்தின் தர்க்கத்தை நான் உங்களுக்கு விளக்குகிறேன். முதலில் நீங்கள் ஒரு மிக எளிய கேள்விக்கு பதிலளிக்க வேண்டும்: எத்தனை இயற்கை எண்கள் உள்ளன - ஒன்று அல்லது பல? இந்த கேள்விக்கு சரியான பதில் இல்லை, ஏனென்றால் எண்களை நாமே கண்டுபிடித்தோம், இயற்கையில் எண்கள் இல்லை. ஆம், இயற்கை எண்ணுவதில் சிறந்தது, ஆனால் இதற்காக அவள் நமக்குப் பரிச்சயமில்லாத பிற கணிதக் கருவிகளைப் பயன்படுத்துகிறாள். இயற்கை என்ன நினைக்கிறது என்பதை இன்னொரு முறை சொல்கிறேன். எண்களை நாம் கண்டுபிடித்ததால், எத்தனை இயற்கை எண்கள் உள்ளன என்பதை நாமே முடிவு செய்வோம். உண்மையான விஞ்ஞானிகளுக்கு ஏற்றவாறு இரண்டு விருப்பங்களையும் கருத்தில் கொள்வோம்.

விருப்பம் ஒன்று. "எங்களுக்கு வழங்கப்படுவோம்" இயற்கை எண்களின் ஒற்றை தொகுப்பு, இது அலமாரியில் அமைதியாக உள்ளது. இந்த தொகுப்பை அலமாரியில் இருந்து எடுக்கிறோம். அவ்வளவுதான், அலமாரியில் வேறு எந்த இயற்கை எண்களும் இல்லை, அவற்றை எடுக்க எங்கும் இல்லை. எங்களிடம் ஏற்கனவே இருப்பதால், இந்தத் தொகுப்பில் ஒன்றைச் சேர்க்க முடியாது. நீங்கள் உண்மையிலேயே விரும்பினால் என்ன செய்வது? எந்த பிரச்சினையும் இல்லை. நாம் ஏற்கனவே எடுத்த தொகுப்பிலிருந்து ஒன்றை எடுத்து அலமாரியில் திருப்பி விடலாம். அதன் பிறகு, அலமாரியில் இருந்து ஒன்றை எடுத்து, மீதமுள்ளவற்றுடன் சேர்க்கலாம். இதன் விளைவாக, நாம் மீண்டும் எண்ணற்ற இயற்கை எண்களைப் பெறுவோம். எங்கள் கையாளுதல்களை நீங்கள் இப்படி எழுதலாம்:

இயற்கணிதக் குறியீடிலும், செட் தியரி குறிப்பிலும், தொகுப்பின் கூறுகளின் விரிவான பட்டியலுடன் செயல்களை எழுதினேன். சப்ஸ்கிரிப்ட் எங்களிடம் ஒரே ஒரு இயற்கை எண்கள் இருப்பதைக் குறிக்கிறது. இயற்கை எண்களின் தொகுப்பில் இருந்து ஒன்றைக் கழித்து, அதே அலகு சேர்த்தால் மட்டுமே அது மாறாமல் இருக்கும்.

விருப்பம் இரண்டு. எங்கள் அலமாரியில் பலவிதமான எண்ணற்ற இயற்கை எண்கள் உள்ளன. நான் வலியுறுத்துகிறேன் - வேறுபட்டது, அவை நடைமுறையில் பிரித்தறிய முடியாதவை என்ற போதிலும். இந்த தொகுப்புகளில் ஒன்றை எடுத்துக் கொள்வோம். பின்னர் இயற்கை எண்களின் மற்றொரு தொகுப்பிலிருந்து ஒன்றை எடுத்து நாம் ஏற்கனவே எடுத்த தொகுப்பில் சேர்க்கிறோம். இயற்கை எண்களின் இரண்டு தொகுப்புகளை கூட நாம் சேர்க்கலாம். நாம் பெறுவது இதுதான்:

"ஒன்று" மற்றும் "இரண்டு" என்ற சப்ஸ்கிரிப்டுகள் இந்த உறுப்புகள் வெவ்வேறு தொகுப்புகளைச் சேர்ந்தவை என்பதைக் குறிக்கிறது. ஆம், நீங்கள் ஒரு எல்லையற்ற தொகுப்பில் ஒன்றைச் சேர்த்தால், முடிவும் ஒரு முடிவிலா தொகுப்பாக இருக்கும், ஆனால் அது அசல் தொகுப்பைப் போல இருக்காது. ஒரு எல்லையற்ற தொகுப்புடன் மற்றொரு முடிவிலா தொகுப்பைச் சேர்த்தால், முதல் இரண்டு தொகுப்புகளின் கூறுகளைக் கொண்ட ஒரு புதிய முடிவிலா தொகுப்பாகும்.

இயற்கை எண்களின் தொகுப்பு ஒரு ஆட்சியாளர் அளவிடுவதற்குப் பயன்படுத்தப்படுவது போலவே எண்ணுவதற்குப் பயன்படுத்தப்படுகிறது. இப்போது நீங்கள் ஆட்சியாளருக்கு ஒரு சென்டிமீட்டர் சேர்த்தீர்கள் என்று கற்பனை செய்து பாருங்கள். இது ஒரு வித்தியாசமான வரியாக இருக்கும், அசல் வரிக்கு சமமாக இருக்காது.

எனது நியாயத்தை நீங்கள் ஏற்கலாம் அல்லது ஏற்காமல் இருக்கலாம் - இது உங்கள் சொந்த விஷயம். ஆனால் நீங்கள் எப்போதாவது கணித சிக்கல்களை எதிர்கொண்டால், தலைமுறை தலைமுறை கணிதவியலாளர்களால் மிதித்த தவறான பகுத்தறிவின் பாதையை நீங்கள் பின்பற்றுகிறீர்களா என்று சிந்தியுங்கள். எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, கணிதத்தைப் படிப்பது, முதலில், நம்மில் ஒரு நிலையான ஒரே மாதிரியான சிந்தனையை உருவாக்குகிறது, அதன்பிறகுதான் நமது மன திறன்களை அதிகரிக்கிறது (அல்லது, மாறாக, சுதந்திரமான சிந்தனையை இழக்கிறது).

ஞாயிற்றுக்கிழமை, ஆகஸ்ட் 4, 2019

இதைப் பற்றிய ஒரு கட்டுரைக்கான பின்ஸ்கிரிப்டை நான் முடித்துக்கொண்டிருந்தேன், விக்கிபீடியாவில் இந்த அற்புதமான உரையைப் பார்த்தேன்:

நாம் படிக்கிறோம்: "... பாபிலோனின் கணிதத்தின் வளமான கோட்பாட்டு அடிப்படையானது ஒரு முழுமையான தன்மையைக் கொண்டிருக்கவில்லை மற்றும் பொதுவான அமைப்பு மற்றும் ஆதார ஆதாரங்கள் இல்லாத வேறுபட்ட நுட்பங்களின் தொகுப்பாக குறைக்கப்பட்டது."

ஆஹா! நாம் எவ்வளவு புத்திசாலிகள், மற்றவர்களின் குறைகளை நாம் எவ்வளவு நன்றாகப் பார்க்க முடியும். நவீன கணிதத்தை அதே சூழலில் பார்ப்பது நமக்கு கடினமாக இருக்கிறதா? மேலே உள்ள உரையை சிறிது விளக்கமாகப் பார்த்தால், நான் தனிப்பட்ட முறையில் பின்வருவனவற்றைப் பெற்றேன்:

நவீன கணிதத்தின் வளமான கோட்பாட்டு அடிப்படையானது இயற்கையில் முழுமையானதாக இல்லை மற்றும் பொதுவான அமைப்பு மற்றும் ஆதார அடிப்படை இல்லாத, வேறுபட்ட பிரிவுகளின் தொகுப்பாக குறைக்கப்படுகிறது.

எனது வார்த்தைகளை உறுதிப்படுத்த நான் வெகுதூரம் செல்லமாட்டேன் - இது கணிதத்தின் பல கிளைகளின் மொழி மற்றும் மரபுகளிலிருந்து வேறுபட்ட மொழி மற்றும் மரபுகளைக் கொண்டுள்ளது. கணிதத்தின் வெவ்வேறு கிளைகளில் உள்ள ஒரே பெயர்கள் வெவ்வேறு அர்த்தங்களைக் கொண்டிருக்கலாம். நவீன கணிதத்தின் மிகவும் வெளிப்படையான தவறுகளுக்கு ஒரு முழு தொடர் வெளியீடுகளையும் அர்ப்பணிக்க விரும்புகிறேன். விரைவில் சந்திப்போம்.

ஆகஸ்ட் 3, 2019 சனிக்கிழமை

ஒரு தொகுப்பை துணைக்குழுக்களாக எவ்வாறு பிரிப்பது? இதைச் செய்ய, தேர்ந்தெடுக்கப்பட்ட தொகுப்பின் சில கூறுகளில் இருக்கும் புதிய அளவீட்டு அலகு உள்ளிட வேண்டும். ஒரு உதாரணத்தைப் பார்ப்போம்.

நமக்கு நிறைய இருக்கட்டும் ஏநான்கு பேர் கொண்டது. இந்த தொகுப்பு "மக்கள்" அடிப்படையில் உருவாகிறது, இந்த தொகுப்பின் கூறுகளை கடிதத்தால் குறிப்பிடுவோம் ஏ, எண்ணுடன் கூடிய சப்ஸ்கிரிப்ட் இந்த தொகுப்பில் உள்ள ஒவ்வொரு நபரின் வரிசை எண்ணையும் குறிக்கும். "பாலினம்" என்ற அளவீட்டின் புதிய அலகு ஒன்றை அறிமுகப்படுத்தி அதை எழுத்தால் குறிப்போம் பி. பாலியல் பண்புகள் எல்லா மக்களுக்கும் இயல்பாக இருப்பதால், தொகுப்பின் ஒவ்வொரு உறுப்பையும் பெருக்குகிறோம் ஏபாலினம் அடிப்படையில் பி. எங்கள் "மக்கள்" தொகுப்பு இப்போது "பாலினப் பண்புகளைக் கொண்டவர்கள்" என்ற தொகுப்பாக மாறியுள்ளது என்பதைக் கவனியுங்கள். இதற்குப் பிறகு, பாலியல் பண்புகளை ஆணாகப் பிரிக்கலாம் bmமற்றும் பெண்கள் bwபாலியல் பண்புகள். இப்போது நாம் ஒரு கணித வடிப்பானைப் பயன்படுத்தலாம்: ஆண் அல்லது பெண் எதுவாக இருந்தாலும், இந்த பாலியல் பண்புகளில் ஒன்றைத் தேர்ந்தெடுக்கிறோம். ஒரு நபருக்கு அது இருந்தால், அதை ஒன்றால் பெருக்குகிறோம், அத்தகைய அடையாளம் இல்லை என்றால், அதை பூஜ்ஜியத்தால் பெருக்குகிறோம். பின்னர் நாங்கள் வழக்கமான பள்ளி கணிதத்தைப் பயன்படுத்துகிறோம். என்ன நடந்தது என்று பாருங்கள்.

பெருக்கல், குறைப்பு மற்றும் மறுசீரமைப்புக்குப் பிறகு, நாங்கள் இரண்டு துணைக்குழுக்களுடன் முடித்தோம்: ஆண்களின் துணைக்குழு பிஎம்மற்றும் பெண்களின் துணைக்குழு Bw. கணிதவியலாளர்கள் நடைமுறையில் செட் கோட்பாட்டைப் பயன்படுத்தும்போது ஏறக்குறைய அதே வழியில் நியாயப்படுத்துகிறார்கள். ஆனால் அவர்கள் எங்களுக்கு விவரங்களைத் தரவில்லை, ஆனால் முடிக்கப்பட்ட முடிவை எங்களுக்குத் தருகிறார்கள் - "நிறைய மக்கள் ஆண்களின் துணைக்குழு மற்றும் பெண்களின் துணைக்குழுவைக் கொண்டுள்ளனர்." இயற்கையாகவே, உங்களுக்கு ஒரு கேள்வி இருக்கலாம்: மேலே விவரிக்கப்பட்ட மாற்றங்களில் கணிதம் எவ்வளவு சரியாகப் பயன்படுத்தப்பட்டது? சாராம்சத்தில், மாற்றங்கள் சரியாக செய்யப்பட்டன என்று உங்களுக்கு உறுதியளிக்கிறேன். அது என்ன? இதைப் பற்றி வேறு சில சமயம் நான் உங்களுக்குச் சொல்கிறேன்.

சூப்பர்செட்களைப் பொறுத்தவரை, இந்த இரண்டு செட்களின் உறுப்புகளில் இருக்கும் அளவீட்டு அலகு ஒன்றைத் தேர்ந்தெடுப்பதன் மூலம் இரண்டு செட்களை ஒரு சூப்பர்செட்டாக இணைக்கலாம்.

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, அளவீட்டு அலகுகள் மற்றும் சாதாரண கணிதம் செட் கோட்பாட்டை கடந்த காலத்தின் நினைவுச்சின்னமாக மாற்றுகிறது. செட் தியரியில் எல்லாம் சரியாகவில்லை என்பதற்கான அறிகுறி என்னவென்றால், கணிதவியலாளர்கள் தங்கள் சொந்த மொழியையும், செட் தியரிக்கான குறிப்பையும் கொண்டு வந்திருக்கிறார்கள். கணிதவியலாளர்கள் ஒரு காலத்தில் ஷாமன்களைப் போலவே செயல்பட்டனர். ஷாமன்களுக்கு மட்டுமே அவர்களின் "அறிவை" எவ்வாறு "சரியாக" பயன்படுத்துவது என்பது தெரியும். அவர்கள் இந்த "அறிவை" நமக்கு கற்பிக்கிறார்கள்.

முடிவில், கணிதவியலாளர்கள் எவ்வாறு கையாளுகிறார்கள் என்பதை நான் உங்களுக்குக் காட்ட விரும்புகிறேன்.

திங்கட்கிழமை, ஜனவரி 7, 2019

கிமு ஐந்தாம் நூற்றாண்டில், எலியாவின் பண்டைய கிரேக்க தத்துவஞானி ஜெனோ தனது புகழ்பெற்ற அபோரியாக்களை உருவாக்கினார், அதில் மிகவும் பிரபலமானது "அகில்லெஸ் மற்றும் ஆமை" அபோரியா. அது எப்படி ஒலிக்கிறது என்பது இங்கே:

அகில்லெஸ் ஆமையை விட பத்து மடங்கு வேகமாக ஓடி அதற்கு ஆயிரம் அடிகள் பின்னால் செல்கிறது என்று வைத்துக் கொள்வோம். இந்த தூரம் ஓட அகில்லெஸ் எடுக்கும் நேரத்தில், ஆமை அதே திசையில் நூறு படிகள் ஊர்ந்து செல்லும். அகில்லெஸ் நூறு படிகள் ஓடும்போது, ​​ஆமை இன்னும் பத்து படிகள் ஊர்ந்து செல்லும், மற்றும் பல. இந்த செயல்முறை முடிவில்லாமல் தொடரும், அகில்லெஸ் ஒருபோதும் ஆமையைப் பிடிக்க மாட்டார்.

இந்த பகுத்தறிவு அனைத்து அடுத்தடுத்த தலைமுறைகளுக்கும் ஒரு தர்க்கரீதியான அதிர்ச்சியாக மாறியது. அரிஸ்டாட்டில், டியோஜெனெஸ், கான்ட், ஹெகல், ஹில்பர்ட்... இவர்கள் அனைவரும் ஏதோ ஒரு வகையில் ஜீனோவின் அபோரியாவைக் கருதினர். அதிர்ச்சி மிகவும் வலுவாக இருந்தது" ... விவாதங்கள் இன்றுவரை தொடர்கின்றன; முரண்பாடுகளின் சாராம்சம் குறித்த பொதுவான கருத்துக்கு விஞ்ஞான சமூகம் இன்னும் வரவில்லை. ; அவை எதுவும் பிரச்சனைக்கு பொதுவாக ஏற்றுக்கொள்ளப்பட்ட தீர்வாக மாறவில்லை."[விக்கிபீடியா, "ஜீனோவின் அபோரியா". எல்லோரும் தாங்கள் ஏமாறுகிறார்கள் என்பதை புரிந்துகொள்கிறார்கள், ஆனால் ஏமாற்றுவது என்னவென்று யாருக்கும் புரியவில்லை.

ஒரு கணிதக் கண்ணோட்டத்தில், ஜெனோ தனது அபோரியாவில் அளவிலிருந்து க்கு மாறுவதை தெளிவாகக் காட்டினார். இந்த மாற்றம் நிரந்தரமானவற்றுக்குப் பதிலாக பயன்பாட்டைக் குறிக்கிறது. நான் புரிந்து கொண்ட வரையில், மாறி அளவீட்டு அலகுகளைப் பயன்படுத்துவதற்கான கணிதக் கருவி இன்னும் உருவாக்கப்படவில்லை அல்லது அது ஜீனோவின் அபோரியாவில் பயன்படுத்தப்படவில்லை. நமது வழக்கமான தர்க்கத்தைப் பயன்படுத்துவது நம்மை ஒரு பொறிக்குள் இட்டுச் செல்கிறது. நாம், சிந்தனையின் மந்தநிலை காரணமாக, பரஸ்பர மதிப்புக்கு நேரத்தின் நிலையான அலகுகளைப் பயன்படுத்துகிறோம். இயற்பியல் கண்ணோட்டத்தில், அகில்லெஸ் ஆமையைப் பிடிக்கும் தருணத்தில் அது முற்றிலும் நின்றுவிடும் வரை நேரம் குறைவது போல் தெரிகிறது. நேரம் நின்று விட்டால், அகில்லெஸ் ஆமையை மிஞ்ச முடியாது.

நமது வழக்கமான தர்க்கத்தைத் திருப்பினால், எல்லாம் சரியாகிவிடும். அகில்லெஸ் நிலையான வேகத்தில் இயங்குகிறது. அவரது பாதையின் ஒவ்வொரு அடுத்தடுத்த பிரிவும் முந்தையதை விட பத்து மடங்கு குறைவாக உள்ளது. அதன்படி, அதைக் கடக்க செலவழித்த நேரம் முந்தையதை விட பத்து மடங்கு குறைவு. இந்த சூழ்நிலையில் "முடிவிலி" என்ற கருத்தை நாம் பயன்படுத்தினால், "அகில்லெஸ் ஆமையை எல்லையற்ற விரைவாகப் பிடிக்கும்" என்று சொல்வது சரியாக இருக்கும்.

இந்த தர்க்கரீதியான பொறியைத் தவிர்ப்பது எப்படி? நேரத்தின் நிலையான அலகுகளில் இருங்கள் மற்றும் பரஸ்பர அலகுகளுக்கு மாறாதீர்கள். ஜெனோவின் மொழியில் இது போல் தெரிகிறது:

அகில்லெஸ் ஆயிரம் படிகள் ஓட எடுக்கும் நேரத்தில், ஆமை அதே திசையில் நூறு படிகள் ஊர்ந்து செல்லும். முதல் முறைக்கு சமமான அடுத்த இடைவெளியில், அகில்லெஸ் இன்னும் ஆயிரம் படிகள் ஓடுவார், ஆமை நூறு படிகள் ஊர்ந்து செல்லும். இப்போது அகில்லெஸ் ஆமையை விட எண்ணூறு படிகள் முன்னால் இருக்கிறார்.

இந்த அணுகுமுறை தர்க்கரீதியான முரண்பாடுகள் இல்லாமல் யதார்த்தத்தை போதுமான அளவில் விவரிக்கிறது. ஆனால் இது பிரச்சனைக்கு முழுமையான தீர்வு அல்ல. ஒளியின் வேகத்தின் தவிர்க்க முடியாத தன்மையைப் பற்றிய ஐன்ஸ்டீனின் கூற்று ஜீனோவின் அபோரியா "அகில்லெஸ் மற்றும் ஆமை" போன்றது. நாம் இன்னும் ஆய்வு செய்ய வேண்டும், மறுபரிசீலனை செய்ய வேண்டும் மற்றும் இந்த சிக்கலை தீர்க்க வேண்டும். மேலும் தீர்வை எண்ணற்ற எண்ணிக்கையில் அல்ல, அளவீட்டு அலகுகளில் தேட வேண்டும்.

ஜீனோவின் மற்றொரு சுவாரஸ்யமான அபோரியா பறக்கும் அம்பு பற்றி கூறுகிறது:

பறக்கும் அம்பு அசையாது, ஏனெனில் அது ஒவ்வொரு தருணத்திலும் ஓய்வில் உள்ளது, மேலும் ஒவ்வொரு தருணத்திலும் அது ஓய்வில் இருப்பதால், அது எப்போதும் ஓய்வில் இருக்கும்.

இந்த அபோரியாவில், தர்க்கரீதியான முரண்பாடு மிகவும் எளிமையாகக் கடக்கப்படுகிறது - ஒவ்வொரு தருணத்திலும் ஒரு பறக்கும் அம்பு விண்வெளியில் வெவ்வேறு புள்ளிகளில் ஓய்வில் உள்ளது என்பதை தெளிவுபடுத்துவது போதுமானது, இது உண்மையில் இயக்கம். இன்னொரு விடயத்தையும் இங்கு கவனிக்க வேண்டும். சாலையில் ஒரு காரின் ஒரு புகைப்படத்திலிருந்து அதன் இயக்கத்தின் உண்மை அல்லது அதற்கான தூரத்தை தீர்மானிக்க முடியாது. ஒரு கார் நகர்கிறதா என்பதைத் தீர்மானிக்க, ஒரே புள்ளியில் வெவ்வேறு புள்ளிகளில் எடுக்கப்பட்ட இரண்டு புகைப்படங்கள் உங்களுக்குத் தேவை, ஆனால் அவற்றிலிருந்து தூரத்தை நீங்கள் தீர்மானிக்க முடியாது. ஒரு காருக்கான தூரத்தை தீர்மானிக்க, உங்களுக்கு ஒரு நேரத்தில் விண்வெளியில் வெவ்வேறு புள்ளிகளிலிருந்து எடுக்கப்பட்ட இரண்டு புகைப்படங்கள் தேவை, ஆனால் அவற்றிலிருந்து நீங்கள் இயக்கத்தின் உண்மையை தீர்மானிக்க முடியாது (நிச்சயமாக, கணக்கீடுகளுக்கு உங்களுக்கு இன்னும் கூடுதல் தரவு தேவை, முக்கோணவியல் உங்களுக்கு உதவும். ) நான் சிறப்பு கவனம் செலுத்த விரும்புவது என்னவென்றால், நேரத்தில் இரண்டு புள்ளிகள் மற்றும் விண்வெளியில் இரண்டு புள்ளிகள் குழப்பமடையக்கூடாது, ஏனென்றால் அவை ஆராய்ச்சிக்கு வெவ்வேறு வாய்ப்புகளை வழங்குகின்றன.

புதன், ஜூலை 4, 2018

ஷாமன்களின் உதவியுடன் "" யதார்த்தத்தை வரிசைப்படுத்த முயற்சிக்கிறேன் என்று நான் ஏற்கனவே உங்களிடம் கூறியுள்ளேன். இதை எப்படி செய்கிறார்கள்? ஒரு தொகுப்பின் உருவாக்கம் உண்மையில் எவ்வாறு நிகழ்கிறது?

ஒரு தொகுப்பின் வரையறையை கூர்ந்து கவனிப்போம்: "வெவ்வேறு தனிமங்களின் தொகுப்பு, ஒரு முழுதாகக் கருதப்பட்டது." இப்போது இரண்டு சொற்றொடர்களுக்கு இடையிலான வித்தியாசத்தை உணருங்கள்: "ஒட்டுமொத்தமாக சிந்திக்கக்கூடியது" மற்றும் "ஒட்டுமொத்தமாக சிந்திக்கக்கூடியது." முதல் சொற்றொடர் இறுதி முடிவு, தொகுப்பு. இரண்டாவது சொற்றொடர் ஒரு கூட்டத்தை உருவாக்குவதற்கான ஆரம்ப தயாரிப்பு ஆகும். இந்த கட்டத்தில், யதார்த்தம் தனிப்பட்ட கூறுகளாக பிரிக்கப்பட்டுள்ளது ("முழு"), அதில் இருந்து ஒரு கூட்டம் உருவாகும் ("ஒற்றை முழு"). அதே நேரத்தில், "முழு" ஒரு "ஒற்றை முழுவதும்" இணைப்பதை சாத்தியமாக்கும் காரணி கவனமாக கண்காணிக்கப்படுகிறது, இல்லையெனில் ஷாமன்கள் வெற்றிபெற மாட்டார்கள். எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, ஷாமன்கள் நமக்குக் காட்ட விரும்பும் தொகுப்பை முன்கூட்டியே அறிந்திருக்கிறார்கள்.

நான் ஒரு உதாரணத்துடன் செயல்முறையைக் காட்டுகிறேன். "ஒரு பருவில் சிவப்பு திடத்தை" நாங்கள் தேர்ந்தெடுக்கிறோம் - இது எங்கள் "முழு". அதே நேரத்தில், இவை வில்லுடன் இருப்பதையும், வில் இல்லாமல் இருப்பதையும் காண்கிறோம். அதன் பிறகு, நாம் "முழு" பகுதியைத் தேர்ந்தெடுத்து, "ஒரு வில்லுடன்" ஒரு தொகுப்பை உருவாக்குகிறோம். ஷாமன்கள் தங்கள் கோட்பாட்டை யதார்த்தத்துடன் பிணைப்பதன் மூலம் தங்கள் உணவைப் பெறுகிறார்கள்.

இப்போது ஒரு சிறிய தந்திரம் செய்வோம். "ஒரு வில்லுடன் ஒரு பருவுடன் திடமான" எடுத்து, சிவப்பு கூறுகளைத் தேர்ந்தெடுத்து, வண்ணத்தின் படி இந்த "முழு" களை இணைக்கலாம். எங்களுக்கு நிறைய "சிவப்பு" கிடைத்தது. இப்போது இறுதி கேள்வி: இதன் விளைவாக வரும் செட் "ஒரு வில்லுடன்" மற்றும் "சிவப்பு" ஒரே தொகுப்பா அல்லது இரண்டு வெவ்வேறு செட்களா? ஷாமன்களுக்கு மட்டுமே பதில் தெரியும். இன்னும் துல்லியமாக, அவர்களுக்கே எதுவும் தெரியாது, ஆனால் அவர்கள் சொல்வது போல், அது இருக்கும்.

இந்த எளிய உதாரணம் உண்மைக்கு வரும்போது தொகுப்பு கோட்பாடு முற்றிலும் பயனற்றது என்பதைக் காட்டுகிறது. என்ன ரகசியம்? "ஒரு பரு மற்றும் வில்லுடன் சிவப்பு திடமான" தொகுப்பை நாங்கள் உருவாக்கினோம். உருவாக்கம் நான்கு வெவ்வேறு அளவீட்டு அலகுகளில் நடந்தது: நிறம் (சிவப்பு), வலிமை (திடமானது), கடினத்தன்மை (பிம்லி), அலங்காரம் (வில் கொண்டு). அளவீட்டு அலகுகளின் தொகுப்பு மட்டுமே கணிதத்தின் மொழியில் உண்மையான பொருட்களை போதுமான அளவில் விவரிக்க அனுமதிக்கிறது. இப்படித்தான் தெரிகிறது.

வெவ்வேறு குறியீடுகளுடன் "a" என்ற எழுத்து வெவ்வேறு அளவீட்டு அலகுகளைக் குறிக்கிறது. ஆரம்ப கட்டத்தில் "முழு" வேறுபடுத்தப்படும் அளவீட்டு அலகுகள் அடைப்புக்குறிக்குள் சிறப்பிக்கப்படுகின்றன. தொகுப்பு உருவாகும் அளவீட்டு அலகு அடைப்புக்குறிக்குள் எடுக்கப்படுகிறது. கடைசி வரி இறுதி முடிவைக் காட்டுகிறது - தொகுப்பின் ஒரு உறுப்பு. நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, ஒரு தொகுப்பை உருவாக்க அளவீட்டு அலகுகளைப் பயன்படுத்தினால், அதன் விளைவு எங்கள் செயல்களின் வரிசையைப் பொறுத்தது அல்ல. இது கணிதம், மற்றும் டம்போரைன்களுடன் ஷாமன்களின் நடனம் அல்ல. ஷாமன்கள் "உள்ளுணர்வுடன்" அதே முடிவுக்கு வரலாம், இது "வெளிப்படையானது" என்று வாதிடுகிறது, ஏனெனில் அளவீட்டு அலகுகள் அவர்களின் "அறிவியல்" ஆயுதக் களஞ்சியத்தின் பகுதியாக இல்லை.

அளவீட்டு அலகுகளைப் பயன்படுத்தி, ஒரு தொகுப்பைப் பிரிப்பது அல்லது பல செட்களை ஒரு சூப்பர்செட்டில் இணைப்பது மிகவும் எளிதானது. இந்த செயல்முறையின் இயற்கணிதத்தை இன்னும் விரிவாகப் பார்ப்போம்.

ஜூன் 30, 2018 சனிக்கிழமை

கணிதவியலாளர்களால் ஒரு கருத்தை மற்ற கருத்துக்களுக்கு குறைக்க முடியாவிட்டால், அவர்கள் கணிதத்தைப் பற்றி எதையும் புரிந்து கொள்ள மாட்டார்கள். நான் பதிலளிக்கிறேன்: ஒரு தொகுப்பின் கூறுகள் மற்றொரு தொகுப்பின் கூறுகளிலிருந்து எவ்வாறு வேறுபடுகின்றன? பதில் மிகவும் எளிது: எண்கள் மற்றும் அளவீட்டு அலகுகள்.

இன்று, நாம் எடுத்துக் கொள்ளாத அனைத்தும் சில தொகுப்புகளுக்கு சொந்தமானது (கணித வல்லுநர்கள் நமக்கு உறுதியளிக்கிறார்கள்). சொல்லப்போனால், உங்கள் நெற்றியில் உள்ள கண்ணாடியில் நீங்கள் சேர்ந்த அந்த செட்களின் பட்டியலைப் பார்த்தீர்களா? மேலும் அப்படிப்பட்ட பட்டியலை நான் பார்த்ததில்லை. நான் இன்னும் கூறுவேன் - உண்மையில் எந்த ஒரு விஷயத்திற்கும் இந்த விஷயம் சொந்தமான தொகுப்புகளின் பட்டியலுடன் ஒரு குறிச்சொல் இல்லை. தொகுப்புகள் அனைத்தும் ஷாமன்களின் கண்டுபிடிப்புகள். அதை அவர்கள் எப்படி செய்ய வேண்டும்? வரலாற்றில் கொஞ்சம் ஆழமாகப் பார்ப்போம், கணிதவியலாளர் ஷாமன்கள் தங்கள் தொகுப்புகளுக்குள் அவற்றை எடுத்துக்கொள்வதற்கு முன்பு தொகுப்பின் கூறுகள் எப்படி இருந்தன என்பதைப் பார்ப்போம்.

நீண்ட காலத்திற்கு முன்பு, கணிதத்தைப் பற்றி யாரும் கேள்விப்படாதபோது, ​​​​மரங்கள் மற்றும் சனி மட்டுமே வளையங்களைக் கொண்டிருந்தபோது, ​​​​செட்களின் காட்டு கூறுகளின் பெரிய மந்தைகள் இயற்பியல் துறைகளில் சுற்றித் திரிந்தன (எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, ஷாமன்கள் இன்னும் கணிதத் துறைகளைக் கண்டுபிடிக்கவில்லை). அவர்கள் இப்படித்தான் பார்த்தார்கள்.

ஆம், ஆச்சரியப்பட வேண்டாம், கணிதத்தின் பார்வையில், செட்களின் அனைத்து கூறுகளும் கடல் அர்ச்சின்களுக்கு மிகவும் ஒத்தவை - ஒரு புள்ளியில் இருந்து, ஊசிகள் போல, அளவீட்டு அலகுகள் எல்லா திசைகளிலும் ஒட்டிக்கொள்கின்றன. எந்த அளவீட்டு அலகும் தன்னிச்சையான நீளத்தின் ஒரு பிரிவாகவும், ஒரு எண்ணை ஒரு புள்ளியாகவும் வடிவியல் ரீதியாகக் குறிப்பிடலாம் என்பதை நான் உங்களுக்கு நினைவூட்டுகிறேன். வடிவியல் ரீதியாக, எந்த அளவையும் ஒரு புள்ளியிலிருந்து வெவ்வேறு திசைகளில் ஒட்டிக்கொண்டிருக்கும் பிரிவுகளின் தொகுப்பாகக் குறிப்பிடலாம். இந்த புள்ளி புள்ளி பூஜ்யம். இந்த வடிவியல் கலையை நான் வரைய மாட்டேன் (உத்வேகம் இல்லை), ஆனால் நீங்கள் அதை எளிதாக கற்பனை செய்யலாம்.

எந்த அளவீட்டு அலகுகள் ஒரு தொகுப்பின் உறுப்பாக அமைகின்றன? வெவ்வேறு கண்ணோட்டத்தில் கொடுக்கப்பட்ட உறுப்பை விவரிக்கும் அனைத்து வகையான விஷயங்கள். இவை நம் முன்னோர்கள் பயன்படுத்திய பழங்கால அளவீட்டு அலகுகள் மற்றும் அனைவரும் நீண்ட காலமாக மறந்துவிட்டன. இவை நாம் இப்போது பயன்படுத்தும் நவீன அளவீட்டு அலகுகள். இவை நமக்குத் தெரியாத அளவீட்டு அலகுகள், அவை நம் சந்ததியினர் கொண்டு வருவார்கள் மற்றும் அவர்கள் யதார்த்தத்தை விவரிக்கப் பயன்படுத்துவார்கள்.

வடிவவியலை நாங்கள் வரிசைப்படுத்தியுள்ளோம் - தொகுப்பின் கூறுகளின் முன்மொழியப்பட்ட மாதிரி தெளிவான வடிவியல் பிரதிநிதித்துவத்தைக் கொண்டுள்ளது. இயற்பியல் பற்றி என்ன? அளவீட்டு அலகுகள் கணிதத்திற்கும் இயற்பியலுக்கும் இடையிலான நேரடி இணைப்பு. ஷாமன்கள் அளவீட்டு அலகுகளை கணிதக் கோட்பாடுகளின் முழு அளவிலான கூறுகளாக அங்கீகரிக்கவில்லை என்றால், இது அவர்களின் பிரச்சனை. அளவீட்டு அலகுகள் இல்லாமல் கணிதத்தின் உண்மையான அறிவியலை என்னால் தனிப்பட்ட முறையில் கற்பனை செய்து பார்க்க முடியாது. அதனால்தான் செட் தியரி பற்றிய கதையின் ஆரம்பத்திலேயே அது கற்காலம் என்று பேசினேன்.

ஆனால் மிகவும் சுவாரஸ்யமான விஷயத்திற்கு செல்லலாம் - தொகுப்புகளின் உறுப்புகளின் இயற்கணிதம். இயற்கணித ரீதியாக, ஒரு தொகுப்பின் எந்த உறுப்பும் வெவ்வேறு அளவுகளின் ஒரு தயாரிப்பு (பெருக்கத்தின் விளைவாக) இது போல் தெரிகிறது.

செட் கோட்பாட்டின் மரபுகளை நான் வேண்டுமென்றே பயன்படுத்தவில்லை, ஏனெனில் செட் கோட்பாட்டின் வருகைக்கு முன்னர் அதன் இயற்கையான வாழ்விடத்தில் ஒரு தொகுப்பின் கூறுகளை நாங்கள் பரிசீலித்து வருகிறோம். அடைப்புக்குறிக்குள் உள்ள ஒவ்வொரு ஜோடி எழுத்துக்களும் ஒரு தனி அளவைக் குறிக்கின்றன, "" என்ற எழுத்தால் குறிக்கப்பட்ட எண்ணைக் கொண்டுள்ளது. n"மற்றும் அளவீட்டு அலகு கடிதத்தால் குறிக்கப்படுகிறது" அ". எழுத்துகளுக்கு அடுத்துள்ள குறியீடுகள் எண்கள் மற்றும் அளவீட்டு அலகுகள் வேறுபட்டவை என்பதைக் குறிக்கிறது. தொகுப்பின் ஒரு உறுப்பு எண்ணற்ற அளவுகளைக் கொண்டிருக்கும் (நாம் மற்றும் நம் சந்ததியினர் எவ்வளவு கற்பனை திறன் கொண்டவர்கள்) ஒவ்வொரு அடைப்புக்குறியும் வடிவியல் ரீதியாக சித்தரிக்கப்பட்டுள்ளது ஒரு தனி பிரிவில் கடல் அர்ச்சின் ஒரு அடைப்புக்குறி ஒரு ஊசி.

ஷாமன்கள் வெவ்வேறு கூறுகளிலிருந்து தொகுப்புகளை எவ்வாறு உருவாக்குகிறார்கள்? உண்மையில், அளவீட்டு அலகுகள் அல்லது எண்கள் மூலம். கணிதத்தைப் பற்றி எதுவும் புரியாமல், அவர்கள் வெவ்வேறு கடல் அர்ச்சின்களை எடுத்து, அந்த ஒற்றை ஊசியைத் தேடி அவற்றை கவனமாக ஆய்வு செய்கிறார்கள், அதனுடன் அவர்கள் ஒரு தொகுப்பை உருவாக்குகிறார்கள். அத்தகைய ஊசி இருந்தால், இந்த உறுப்பு தொகுப்பிற்கு சொந்தமானது, அத்தகைய ஊசி இல்லை என்றால், இந்த உறுப்பு இந்த தொகுப்பிலிருந்து இல்லை. சிந்தனை செயல்முறைகள் மற்றும் முழுமை பற்றிய கட்டுக்கதைகளை ஷாமன்கள் கூறுகிறார்கள்.

நீங்கள் யூகித்தபடி, ஒரே உறுப்பு மிகவும் வேறுபட்ட தொகுப்புகளுக்கு சொந்தமானது. அடுத்து, தொகுப்புகள், துணைக்குழுக்கள் மற்றும் பிற ஷாமனிக் முட்டாள்தனங்கள் எவ்வாறு உருவாகின்றன என்பதைக் காண்பிப்பேன். நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, "ஒரு தொகுப்பில் இரண்டு ஒத்த கூறுகள் இருக்க முடியாது," ஆனால் ஒரு தொகுப்பில் ஒரே மாதிரியான கூறுகள் இருந்தால், அத்தகைய தொகுப்பு "மல்டிசெட்" என்று அழைக்கப்படுகிறது. நியாயமான மனிதர்கள் இத்தகைய அபத்தமான தர்க்கத்தை ஒருபோதும் புரிந்து கொள்ள மாட்டார்கள். "முழுமையாக" என்ற வார்த்தையிலிருந்து எந்த அறிவும் இல்லாத, பேசும் கிளிகள் மற்றும் பயிற்சி பெற்ற குரங்குகளின் நிலை இதுதான். கணிதவியலாளர்கள் சாதாரண பயிற்சியாளர்களாக செயல்படுகிறார்கள், அவர்களின் அபத்தமான கருத்துக்களை நமக்குப் போதிக்கிறார்கள்.

ஒரு சமயம், பாலத்தை கட்டிய பொறியாளர்கள் பாலத்தின் அடியில் படகில் சென்று சோதனை செய்து கொண்டிருந்தனர். பாலம் இடிந்து விழுந்தால், சாதாரண பொறியாளர் தனது படைப்பின் இடிபாடுகளில் இறந்தார். பாலம் சுமைகளைத் தாங்கினால், திறமையான பொறியாளர் மற்ற பாலங்களைக் கட்டினார்.

கணிதவியலாளர்கள் "என்னை மனதில் கொள்ளுங்கள், நான் வீட்டில் இருக்கிறேன்" அல்லது "கணிதம் சுருக்கக் கருத்துக்களைப் படிக்கிறது" என்ற சொற்றொடருக்குப் பின்னால் எப்படி மறைந்தாலும், அவற்றை யதார்த்தத்துடன் பிரிக்கமுடியாத வகையில் இணைக்கும் ஒரு தொப்புள் கொடி உள்ளது. இந்த தொப்புள் கொடி பணம். கணிதத் தொகுப்புக் கோட்பாட்டை கணிதவியலாளர்களுக்கே பயன்படுத்துவோம்.

நாங்கள் கணிதத்தை நன்றாகப் படித்தோம், இப்போது நாங்கள் பணப் பதிவேட்டில் அமர்ந்து சம்பளம் கொடுக்கிறோம். எனவே ஒரு கணிதவியலாளர் தனது பணத்திற்காக எங்களிடம் வருகிறார். நாங்கள் அவருக்கு முழுத் தொகையையும் கணக்கிட்டு, அதை வெவ்வேறு குவியல்களில் எங்கள் மேசையில் வைக்கிறோம், அதில் ஒரே மதிப்பின் பில்களை வைக்கிறோம். ஒவ்வொரு பைலில் இருந்தும் ஒரு பில் எடுத்து கணிதவியலாளருக்கு அவருடைய "கணித சம்பளம்" கொடுக்கிறோம். ஒரே மாதிரியான தனிமங்கள் இல்லாத ஒரு தொகுப்பு, ஒரே மாதிரியான தனிமங்களைக் கொண்ட தொகுப்பிற்குச் சமமானதல்ல என்பதை நிரூபித்தபோதுதான் அவர் மீதமுள்ள பில்களைப் பெறுவார் என்பதை கணிதவியலாளருக்கு விளக்குவோம். இங்குதான் வேடிக்கை தொடங்குகிறது.

முதலாவதாக, பிரதிநிதிகளின் தர்க்கம் வேலை செய்யும்: "இது மற்றவர்களுக்குப் பயன்படுத்தப்படலாம், ஆனால் எனக்கு அல்ல!" ஒரே மதிப்பின் பில்களில் வெவ்வேறு பில் எண்கள் உள்ளன, அதாவது அவை ஒரே கூறுகளாக கருதப்பட முடியாது என்று அவர்கள் எங்களுக்கு உறுதியளிக்கத் தொடங்குவார்கள். சரி, சம்பளத்தை நாணயங்களில் எண்ணுவோம் - நாணயங்களில் எண்கள் இல்லை. இங்கே கணிதவியலாளர் இயற்பியலை வெறித்தனமாக நினைவில் கொள்ளத் தொடங்குவார்: வெவ்வேறு நாணயங்களில் வெவ்வேறு அளவு அழுக்குகள் உள்ளன, படிக அமைப்பு மற்றும் அணுக்களின் அமைப்பு ஒவ்வொரு நாணயத்திற்கும் தனித்துவமானது.

இப்போது எனக்கு மிகவும் சுவாரஸ்யமான கேள்வி உள்ளது: மல்டிசெட்டின் கூறுகள் ஒரு தொகுப்பின் கூறுகளாக மாறுவதற்கும் நேர்மாறாகவும் மாற்றும் கோடு எங்கே? அத்தகைய வரி இல்லை - எல்லாம் ஷாமன்களால் தீர்மானிக்கப்படுகிறது, விஞ்ஞானம் இங்கே பொய் சொல்லக்கூட இல்லை.

இங்கே பாருங்கள். நாங்கள் ஒரே மைதானம் கொண்ட கால்பந்து மைதானங்களைத் தேர்ந்தெடுக்கிறோம். வயல்களின் பகுதிகள் ஒரே மாதிரியானவை - அதாவது எங்களிடம் மல்டிசெட் உள்ளது. ஆனால் இதே மைதானங்களின் பெயர்களைப் பார்த்தால், பெயர்கள் வித்தியாசமாக இருப்பதால், பலவற்றைப் பெறுகிறோம். நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, ஒரே மாதிரியான தனிமங்கள் ஒரு தொகுப்பு மற்றும் மல்டிசெட் ஆகும். எது சரி? இங்கே கணிதவியலாளர்-ஷாமன்-கூர்மையானவர் தனது ஸ்லீவிலிருந்து டிரம்ப்களின் சீட்டுகளை வெளியே இழுத்து, ஒரு செட் அல்லது மல்டிசெட் பற்றி எங்களிடம் சொல்லத் தொடங்குகிறார். எப்படியிருந்தாலும், அவர் சொல்வது சரி என்று நம்மை நம்ப வைப்பார்.

நவீன ஷாமன்கள் எவ்வாறு செட் கோட்பாட்டுடன் செயல்படுகிறார்கள் என்பதைப் புரிந்து கொள்ள, அதை யதார்த்தத்துடன் இணைத்து, ஒரு கேள்விக்கு பதிலளிப்பது போதுமானது: ஒரு தொகுப்பின் கூறுகள் மற்றொரு தொகுப்பின் கூறுகளிலிருந்து எவ்வாறு வேறுபடுகின்றன? "ஒரு முழுமையல்ல" அல்லது "ஒற்றை முழுதாக கற்பனை செய்ய முடியாதது" எதுவுமின்றி நான் உங்களுக்குக் காட்டுகிறேன்.

நகரும் ஆரம் வெக்டரின் சுழற்சியை எதிரெதிர் திசையில் நேர்மறை என்றும், எதிர் திசையில் (கடிகார திசையில்) எதிர்மறை என்றும் அழைப்போம். நகரும் ஆரம் வெக்டரின் எதிர்மறை சுழற்சியால் விவரிக்கப்படும் கோணம் எதிர்மறை கோணம் என்று அழைக்கப்படும்.

விதி. கோணம் நேர்மறையாக இருந்தால் நேர்மறை எண்ணையும் எதிர்மறையாக இருந்தால் எதிர்மறை எண்ணையும் கொண்டு அளவிடப்படுகிறது.

எடுத்துக்காட்டு 1. படத்தில். 80 ஒரு பொதுவான தொடக்கப் பக்க OA மற்றும் ஒரு பொதுவான முடிவுப் பக்க OD உடன் இரண்டு கோணங்களைக் காட்டுகிறது: ஒன்று +270°, மற்றொன்று -90°.

இரண்டு கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை. ஆக்சி என்ற ஒருங்கிணைப்பு விமானத்தில், மூலத்தில் மையத்துடன் அலகு ஆரம் கொண்ட ஒரு வட்டத்தைக் கவனியுங்கள் (படம் 81).

ஒரு தன்னிச்சையான கோணம் a (வரைபடத்தில் நேர்மறை) ஒரு குறிப்பிட்ட நகரும் ஆரம் திசையன் அதன் ஆரம்ப நிலை OA இலிருந்து அதன் இறுதி நிலைக்கு, ஆக்ஸ் அச்சின் நேர்மறை திசையுடன் இணைந்து அதன் சுழற்சியின் விளைவாக பெறப்படட்டும்.

இப்போது ஆரம் திசையன் OE இன் நிலையை ஆரம்பமாக எடுத்து, அதிலிருந்து ஒரு தன்னிச்சையான கோணத்தை (வரைபடத்தில் நேர்மறை) ஒதுக்கி வைப்போம், இது ஒரு குறிப்பிட்ட நகரும் ஆரம் திசையனை அதன் ஆரம்ப நிலை OE இலிருந்து அதற்குச் சுழற்றுவதன் விளைவாகப் பெறுகிறது. இறுதி நிலை OS. இந்த செயல்களின் விளைவாக, நாம் ஒரு கோணத்தைப் பெறுவோம், அதை நாம் கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை a மற்றும் . (நகரும் ஆரம் திசையன் OA இன் ஆரம்ப நிலை, ஆரம் திசையன் OS இன் இறுதி நிலை.)

இரண்டு கோணங்களுக்கு இடையிலான வேறுபாடு.

இரண்டு கோணங்களின் வேறுபாட்டின் மூலம் a மற்றும் , நாம் குறிக்கும் மூன்றாவது கோணம் y ஐப் புரிந்துகொள்வோம், இது கோணத்தின் கூட்டுத்தொகை கோணத்தை அளிக்கிறது, அதாவது இரண்டு கோணங்களின் வேறுபாட்டை கோணங்களின் கூட்டுத்தொகையாக விளக்கலாம். உண்மையில், பொதுவாக, எந்த கோணங்களுக்கும் அவற்றின் கூட்டுத்தொகை இந்த கோணங்களை அளவிடும் உண்மையான எண்களின் இயற்கணிதத் தொகையால் அளவிடப்படுகிறது.

உதாரணம் 2. பிறகு .

எடுத்துக்காட்டு 3. கோணம் மற்றும் கோணம். அவற்றின் கூட்டுத்தொகை.

சூத்திரத்தில் (95.1) அது கருதப்பட்டது - எதிர்மறை அல்லாத முழு எண். அது ஏதேனும் முழு எண் (நேர்மறை, எதிர்மறை அல்லது பூஜ்யம்) என்று நாம் கருதினால், சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தவும்

நேர்மறை மற்றும் எதிர்மறை என எந்த கோணத்திலும் எழுதலாம்.

எடுத்துக்காட்டு 4. -1370°க்கு சமமான கோணத்தை பின்வருமாறு எழுதலாம்:

ஃபார்முலா (96.1) ஐப் பயன்படுத்தி எழுதப்பட்ட அனைத்து கோணங்களும் வெவ்வேறு மதிப்புகளுடன், ஆனால் அதே a, பொதுவான ஆரம்ப (OA) மற்றும் இறுதி (OE) பக்கங்களைக் கொண்டுள்ளன (படம் 79). எனவே, எந்த கோணத்தின் கட்டுமானமும் 360°க்கும் குறைவான எதிர்மறையான கோணத்தின் கட்டுமானத்திற்கு குறைக்கப்படுகிறது. படத்தில். 79 கோணங்கள் ஒருவருக்கொருவர் வேறுபடுவதில்லை, அவை ஆரம் திசையன் சுழற்சியின் செயல்பாட்டில் மட்டுமே வேறுபடுகின்றன, இது அவற்றின் உருவாக்கத்திற்கு வழிவகுத்தது.

கடைசிப் பாடத்தில், அனைத்து முக்கோணவியலின் முக்கியக் கருத்துகளையும் நாங்கள் வெற்றிகரமாக தேர்ச்சி பெற்றோம் (அல்லது மீண்டும் மீண்டும், யாரைப் பொறுத்து). இது முக்கோணவியல் வட்டம் , ஒரு வட்டத்தில் கோணம் , இந்த கோணத்தின் சைன் மற்றும் கொசைன் , மேலும் தேர்ச்சி பெற்றவர் காலாண்டுகளால் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் அறிகுறிகள் . நாங்கள் அதை விரிவாக தேர்ச்சி பெற்றோம். விரல்களில், ஒருவர் சொல்லலாம்.

ஆனால் இது இன்னும் போதுமானதாக இல்லை. இந்த எளிய கருத்துக்களை நடைமுறையில் வெற்றிகரமாகப் பயன்படுத்த, நமக்கு இன்னும் ஒரு பயனுள்ள திறன் தேவை. அதாவது, சரியானது மூலைகளுடன் வேலை முக்கோணவியலில். முக்கோணவியலில் இந்த திறமை இல்லாமல், வழியில்லை. மிகவும் பழமையான உதாரணங்களில் கூட. ஏன்? ஆம், ஏனெனில் அனைத்து முக்கோணவியல்களிலும் கோணம் முக்கிய இயக்க உருவம்! இல்லை, முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள் அல்ல, சைன் மற்றும் கொசைன் அல்ல, டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோடேன்ஜென்ட் அல்ல, அதாவது மூலையே. கோணம் இல்லை என்றால் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகள் இல்லை, ஆம்...

ஒரு வட்டத்தில் கோணங்களுடன் எவ்வாறு வேலை செய்வது? இதைச் செய்ய, நாம் இரண்டு புள்ளிகளை உறுதியாகப் புரிந்து கொள்ள வேண்டும்.

1) எப்படிஒரு வட்டத்தில் கோணங்கள் அளவிடப்படுகின்றனவா?

2) என்னஅவை கணக்கிடப்பட்டதா (அளக்கப்பட்டது)?

முதல் கேள்விக்கான பதில் இன்றைய பாடத்தின் தலைப்பு. முதல் கேள்வியை இங்கே மற்றும் இப்போது விரிவாகக் கையாள்வோம். இரண்டாவது கேள்விக்கான பதிலை நான் இங்கு கொடுக்க மாட்டேன். ஏனெனில் அது மிகவும் வளர்ச்சியடைந்துள்ளது. இரண்டாவது கேள்வி மிகவும் வழுக்கும், ஆம்.) நான் இன்னும் விவரங்களுக்கு செல்ல மாட்டேன். இது அடுத்த தனி பாடத்தின் தலைப்பு.

ஆரம்பிக்கலாமா?

ஒரு வட்டத்தில் கோணங்கள் எவ்வாறு அளவிடப்படுகின்றன? நேர்மறை மற்றும் எதிர்மறை கோணங்கள்.

பத்தியின் தலைப்பைப் படித்தவர்கள் ஏற்கனவே முடி கொட்டியிருக்கலாம். எப்படி?! எதிர்மறை கோணங்கள்? இது கூட சாத்தியமா?

எதிர்மறைக்கு எண்கள்நாங்கள் ஏற்கனவே பழகிவிட்டோம். எண் அச்சில் அவற்றை நாம் சித்தரிக்கலாம்: பூஜ்ஜியத்தின் வலதுபுறம் நேர்மறை, பூஜ்ஜியத்தின் இடதுபுறம் எதிர்மறை. ஆம், ஜன்னலுக்கு வெளியே உள்ள தெர்மோமீட்டரை அவ்வப்போது பார்க்கிறோம். குறிப்பாக குளிர்காலத்தில், குளிரில்.) மேலும் தொலைபேசியில் உள்ள பணம் மைனஸில் உள்ளது (அதாவது. கடமை) சில நேரங்களில் அவர்கள் வெளியேறுகிறார்கள். இது எல்லாம் தெரிந்ததே.

மூலைகளைப் பற்றி என்ன? கணிதத்தில் எதிர்மறை கோணங்கள் என்று மாறிவிடும் கூட உள்ளன!இந்த கோணத்தை எவ்வாறு அளவிடுவது என்பதைப் பொறுத்தது ... இல்லை, எண் கோட்டில் அல்ல, ஆனால் எண் வட்டத்தில்! அதாவது, ஒரு வட்டத்தில். வட்டம் - இதோ, முக்கோணவியலில் எண் கோட்டின் அனலாக்!

அதனால், ஒரு வட்டத்தில் கோணங்கள் எவ்வாறு அளவிடப்படுகின்றன?நம்மால் எதுவும் செய்ய முடியாது, முதலில் இந்த வட்டத்தை வரைய வேண்டும்.

நான் இந்த அழகான படத்தை வரைகிறேன்:

இது கடந்த பாடத்தின் படங்களுடன் மிகவும் ஒத்திருக்கிறது. அச்சுகள் உள்ளன, ஒரு வட்டம் உள்ளது, ஒரு கோணம் உள்ளது. ஆனால் புதிய தகவலும் உள்ளது.

அச்சுகளில் 0°, 90°, 180°, 270° மற்றும் 360° எண்களையும் சேர்த்துள்ளேன். இப்போது இது மிகவும் சுவாரஸ்யமானது.) இவை என்ன வகையான எண்கள்? சரி! இவை எங்கள் நிலையான பக்கத்திலிருந்து அளவிடப்படும் கோண மதிப்புகள் ஆகும் ஒருங்கிணைப்பு அச்சுகளுக்கு.கோணத்தின் நிலையான பக்கம் எப்போதும் நேர்மறை அரை-அச்சு OX உடன் இறுக்கமாக பிணைக்கப்பட்டுள்ளது என்பதை நினைவில் கொள்வோம். மேலும் முக்கோணவியலில் எந்த கோணமும் இந்த அரை அச்சில் இருந்து துல்லியமாக அளவிடப்படுகிறது. கோணங்களுக்கான இந்த அடிப்படை தொடக்க புள்ளியை உறுதியாக மனதில் கொள்ள வேண்டும். மற்றும் அச்சுகள் - அவை சரியான கோணங்களில் வெட்டுகின்றன, இல்லையா? எனவே ஒவ்வொரு காலாண்டிலும் 90° சேர்க்கிறோம்.

மேலும் மேலும் சேர்க்கப்பட்டது சிவப்பு அம்பு. ஒரு பிளஸ் உடன். சிவப்பு என்பது கண்ணில் படும் வகையில் நோக்கமாக உள்ளது. மேலும் அது என் நினைவில் நன்கு பதிந்துள்ளது. ஏனெனில் இது நம்பகத்தன்மையுடன் நினைவில் வைக்கப்பட வேண்டும்.) இந்த அம்புக்குறியின் அர்த்தம் என்ன?

எனவே நம் மூலையை நாம் திருப்பினால் அது மாறிவிடும் பிளஸ் உடன் அம்புக்குறியுடன்(எதிர் கடிகார திசையில், காலாண்டுகளின் எண்ணிக்கையின் படி), பின்னர் கோணம் நேர்மறையாக கருதப்படும்!உதாரணமாக, படம் +45° கோணத்தைக் காட்டுகிறது. மூலம், 0°, 90°, 180°, 270° மற்றும் 360° ஆகிய அச்சுக் கோணங்களும் நேர்மறைத் திசையில் திரும்புகின்றன என்பதை நினைவில் கொள்ளவும்! சிவப்பு அம்புக்குறியைப் பின்தொடரவும்.

இப்போது மற்றொரு படத்தைப் பார்ப்போம்:

ஏறக்குறைய இங்கே எல்லாம் ஒன்றுதான். அச்சுகளில் உள்ள கோணங்கள் மட்டுமே எண்ணப்பட்டுள்ளன தலைகீழாக.கடிகாரகடிகாரச்சுற்று. மற்றும் அவர்கள் ஒரு கழித்தல் அடையாளம் உள்ளது.) இன்னும் வரையப்பட்ட நீல அம்பு. மேலும் ஒரு கழித்தல். இந்த அம்பு வட்டத்தின் எதிர்மறை கோணங்களின் திசையாகும். நாம் நம் மூலையை தள்ளி வைத்தால் அதை அவள் நமக்குக் காட்டுகிறாள் கடிகாரகடிகாரச்சுற்று, அந்த கோணம் எதிர்மறையாகக் கருதப்படும்.எடுத்துக்காட்டாக, நான் -45° கோணத்தைக் காட்டினேன்.

மூலம், காலாண்டுகளின் எண்ணிக்கை ஒருபோதும் மாறாது என்பதை நினைவில் கொள்க! நாம் கோணங்களை கூட்டல் அல்லது கழித்தல் என்று நகர்த்துவது முக்கியமில்லை. எப்போதும் கண்டிப்பாக எதிரெதிர் திசையில்.)

நினைவில் கொள்ளுங்கள்:

1. கோணங்களுக்கான தொடக்கப் புள்ளி நேர்மறை அரை-அச்சு OX இலிருந்து உள்ளது. கடிகாரத்தால் - "மைனஸ்", கடிகாரத்திற்கு எதிராக - "பிளஸ்".

2. கோணங்கள் கணக்கிடப்படும் திசையைப் பொருட்படுத்தாமல், காலாண்டுகளின் எண்ணிக்கை எப்போதும் எதிரெதிர் திசையில் இருக்கும்.

மூலம், அச்சுகளில் 0°, 90°, 180°, 270°, 360° என லேபிளிங் கோணங்கள், ஒவ்வொரு முறையும் ஒரு வட்டத்தை வரையும்போது, ​​கட்டாயம் இல்லை. இது முற்றிலும் விஷயத்தைப் புரிந்து கொள்வதற்காக செய்யப்படுகிறது. ஆனால் இந்த எண்கள் இருக்க வேண்டும் உங்கள் தலையில்முக்கோணவியல் சிக்கலை தீர்க்கும் போது. ஏன்? ஆம், ஏனென்றால் இந்த அடிப்படை அறிவு முக்கோணவியல் அனைத்திலும் பல கேள்விகளுக்கு பதில்களை வழங்குகிறது! என்பது மிக முக்கியமான கேள்வி நாம் விரும்பும் கோணம் எந்த காலாண்டில் விழுகிறது? இதை நம்புங்கள் அல்லது இல்லை, இந்த கேள்விக்கு சரியாக பதிலளிப்பது மற்ற அனைத்து முக்கோணவியல் சிக்கல்களிலும் சிங்கத்தின் பங்கை தீர்க்கிறது. இந்த முக்கியமான பணியை (கோணங்களை காலாண்டுகளாக விநியோகித்தல்) அதே பாடத்தில் சமாளிப்போம், ஆனால் சிறிது நேரம் கழித்து.

ஆய அச்சுகளில் (0°, 90°, 180°, 270° மற்றும் 360°) அமைந்துள்ள கோணங்களின் மதிப்புகள் நினைவில் கொள்ளப்பட வேண்டும்! அது தானாகவே மாறும் வரை உறுதியாக நினைவில் கொள்ளுங்கள். மற்றும் பிளஸ் மற்றும் மைனஸ் இரண்டும்.

ஆனால் இந்த தருணத்திலிருந்து முதல் ஆச்சரியங்கள் தொடங்குகின்றன. அவற்றுடன், தந்திரமான கேள்விகளும் என்னிடம் கேட்கப்பட்டன, ஆம்...) ஒரு வட்டத்தில் எதிர்மறையான கோணம் இருந்தால் என்ன ஆகும் நேர்மறையுடன் ஒத்துப்போகிறதா?அது மாறிவிடும் என்று அதே புள்ளிஒரு வட்டத்தில் நேர்மறை மற்றும் எதிர்மறை கோணத்தில் குறிக்க முடியுமா???

முற்றிலும் சரி! இது உண்மைதான்.) உதாரணமாக, +270° நேர்மறை கோணம் ஒரு வட்டத்தை ஆக்கிரமித்துள்ளது அதே நிலைமை , எதிர்மறை கோணம் -90°. அல்லது, எடுத்துக்காட்டாக, ஒரு வட்டத்தில் +45° நேர்மறை கோணம் எடுக்கும் அதே நிலைமை , அதே எதிர்மறை கோணம் -315°.

நாங்கள் அடுத்த வரைபடத்தைப் பார்த்து எல்லாவற்றையும் பார்க்கிறோம்:

அதே வழியில், +150 ° நேர்மறை கோணம் -210 ° எதிர்மறை கோணம் அதே இடத்தில் விழும், +230 ° நேர்மறை கோணம் -130 ° எதிர்மறை கோணம் அதே இடத்தில் விழும். மற்றும் பல…

இப்போது நான் என்ன செய்ய முடியும்? இப்படியும் அப்படியும் செய்ய முடிந்தால், கோணங்களை சரியாக எண்ணுவது எப்படி? எது சரி?

பதில்: எல்லா வகையிலும் சரி!கோணங்களை எண்ணுவதற்கு இரண்டு திசைகளில் ஒன்றையும் கணிதம் தடை செய்யவில்லை. ஒரு குறிப்பிட்ட திசையின் தேர்வு பணியை மட்டுமே சார்ந்துள்ளது. பணியானது கோணத்தின் அடையாளத்தைப் பற்றி எளிய உரையில் எதுவும் கூறவில்லை என்றால் (அதாவது "பெரியதை வரையறுக்கவும் எதிர்மறைமூலையில்"முதலியன), பின்னர் எங்களுக்கு மிகவும் வசதியான கோணங்களுடன் நாங்கள் வேலை செய்கிறோம்.

நிச்சயமாக, எடுத்துக்காட்டாக, முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகள் போன்ற அருமையான தலைப்புகளில், கோணக் கணக்கீட்டின் திசையானது பதிலில் பெரும் தாக்கத்தை ஏற்படுத்தும். தொடர்புடைய தலைப்புகளில் இந்த ஆபத்துக்களைக் கருத்தில் கொள்வோம்.

நினைவில் கொள்ளுங்கள்:

ஒரு வட்டத்தில் உள்ள எந்தப் புள்ளியையும் நேர்மறை அல்லது எதிர்மறைக் கோணத்தில் குறிப்பிடலாம். யாரேனும்! நாம் என்ன வேண்டுமானாலும்.

இப்போது இதைப் பற்றி சிந்திப்போம். 45° கோணமும் -315° கோணமும் சரியாக இருப்பதைக் கண்டுபிடித்தோம்? இதே 315ஐப் பற்றி நான் எப்படிக் கண்டுபிடித்தேன்° ? உங்களால் யூகிக்க முடியவில்லையா? ஆம்! ஒரு முழு சுழற்சி மூலம்.) 360° இல். எங்களிடம் 45° கோணம் உள்ளது. ஒரு முழு புரட்சியை முடிக்க எவ்வளவு நேரம் ஆகும்? 45ஐ கழிக்கவும்° 360 இலிருந்து° - எனவே நமக்கு 315 கிடைக்கும்° . எதிர்மறை திசையில் நகர்த்தவும், நாம் -315 ° கோணத்தைப் பெறுகிறோம். இன்னும் தெளிவாகவில்லையா? பிறகு மேலே உள்ள படத்தை மீண்டும் பாருங்கள்.

நேர்மறை கோணங்களை எதிர்மறையாக மாற்றும்போது இது எப்போதும் செய்யப்பட வேண்டும் (மற்றும் நேர்மாறாகவும்) - ஒரு வட்டத்தை வரையவும், குறிக்கவும் தோராயமாககொடுக்கப்பட்ட கோணத்தில், ஒரு முழுப் புரட்சியை முடிக்க எத்தனை டிகிரி காணவில்லை என்பதைக் கணக்கிட்டு, அதன் விளைவாக ஏற்படும் வேறுபாட்டை எதிர் திசையில் நகர்த்துகிறோம். அவ்வளவுதான்.)

ஒரு வட்டத்தில் அதே நிலையை ஆக்கிரமித்துள்ள கோணங்களில் வேறு என்ன சுவாரஸ்யமானது, நீங்கள் நினைக்கிறீர்களா? அத்தகைய மூலைகளிலும் உண்மை சரியாக அதே sine, cosine, tangent மற்றும் cotangent! எப்போதும்!

உதாரணத்திற்கு:

Sin45° = sin(-315°)

Cos120° = cos(-240°)

Tg249° = tg(-111°)

Ctg333° = ctg(-27°)

ஆனால் இது மிகவும் முக்கியமானது! எதற்காக? ஆம், அனைத்தும் ஒன்றே!) வெளிப்பாடுகளை எளிமைப்படுத்த. ஏனெனில் வெளிப்பாடுகளை எளிமையாக்குவது வெற்றிகரமான தீர்வுக்கான ஒரு முக்கிய செயல்முறையாகும் ஏதேனும்கணித பணிகள். மற்றும் முக்கோணவியலிலும்.

எனவே, ஒரு வட்டத்தில் கோணங்களை எண்ணுவதற்கான பொதுவான விதியை நாங்கள் கண்டுபிடித்தோம். சரி, நாங்கள் முழு திருப்பங்களைப் பற்றி, கால் திருப்பங்களைப் பற்றி பேசத் தொடங்கினால், இந்த மூலைகளைத் திருப்ப மற்றும் வரைய வேண்டிய நேரம் இது. நாம் வரைவோமா?)

ஆரம்பிப்போம் நேர்மறைமூலைகள் அவர்கள் வரைய எளிதாக இருக்கும்.

ஒரு புரட்சிக்குள் (0° மற்றும் 360° இடையே) கோணங்களை வரைகிறோம்.

எடுத்துக்காட்டாக, 60° கோணத்தை வரைவோம். இங்கே எல்லாம் எளிது, எந்த பிரச்சனையும் இல்லை. நாங்கள் ஒருங்கிணைப்பு அச்சுகள் மற்றும் ஒரு வட்டத்தை வரைகிறோம். திசைகாட்டி அல்லது ஆட்சியாளர் இல்லாமல் நேரடியாக கையால் செய்யலாம். வரைவோம் திட்டவட்டமாக: நாங்கள் உங்களுடன் வரையவில்லை. நீங்கள் எந்த GOST களுக்கும் இணங்க தேவையில்லை, நீங்கள் தண்டிக்கப்பட மாட்டீர்கள்.)

நீங்கள் (உங்களுக்காக) அச்சுகளில் கோண மதிப்புகளைக் குறிக்கலாம் மற்றும் அம்புக்குறியை திசையில் சுட்டிக்காட்டலாம் கடிகாரத்திற்கு எதிராக.எல்லாவற்றிற்கும் மேலாக, நாங்கள் ஒரு கூட்டாக சேமிக்கப் போகிறோம்?) நீங்கள் இதைச் செய்ய வேண்டியதில்லை, ஆனால் எல்லாவற்றையும் உங்கள் தலையில் வைத்திருக்க வேண்டும்.

இப்போது நாம் மூலையின் இரண்டாவது (நகரும்) பக்கத்தை வரைகிறோம். எந்த காலாண்டில்? முதலில், நிச்சயமாக! ஏனெனில் 60 டிகிரி கண்டிப்பாக 0° முதல் 90° வரை இருக்கும். எனவே முதல் காலாண்டில் டிரா செய்தோம். ஒரு கோணத்தில் தோராயமாகநிலையான பக்கத்திற்கு 60 டிகிரி. எப்படி எண்ணுவது தோராயமாகபுரோட்ராக்டர் இல்லாமல் 60 டிகிரி? எளிதாக! 60° ஆகும் வலது கோணத்தில் மூன்றில் இரண்டு பங்கு!வட்டத்தின் முதல் பிசாசை மனதளவில் மூன்று பகுதிகளாகப் பிரிக்கிறோம், மூன்றில் இரண்டு பங்கு நமக்காக எடுத்துக்கொள்கிறோம். மற்றும் நாம் வரைகிறோம்... உண்மையில் நாம் எவ்வளவு பெறுகிறோம் (நீங்கள் ஒரு புரோட்ராக்டரை இணைத்து அளவீடு செய்தால்) - 55 டிகிரி அல்லது 64 - அது ஒரு பொருட்டல்ல! அது இன்னும் எங்காவது இருப்பது முக்கியம் சுமார் 60°.

நாங்கள் படத்தைப் பெறுகிறோம்:

அவ்வளவுதான். மற்றும் கருவிகள் எதுவும் தேவையில்லை. கண்ணை வளர்ப்போம்! வடிவியல் சிக்கல்களில் இது கைக்கு வரும்.) அழகைப் பற்றி உண்மையில் சிந்திக்காமல், ஒரு வட்டத்தையும் கோணத்தையும் விரைவாக எழுத வேண்டியிருக்கும் போது இந்த கூர்ந்துபார்க்க முடியாத வரைதல் இன்றியமையாதது. ஆனால் அதே நேரத்தில் எழுதவும் சரி, பிழைகள் இல்லாமல், தேவையான அனைத்து தகவல்களுடன். எடுத்துக்காட்டாக, முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள் மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகளைத் தீர்ப்பதில் ஒரு உதவியாக.

இப்போது ஒரு கோணத்தை வரைவோம், எடுத்துக்காட்டாக, 265°. அது எங்கு இருக்கக்கூடும் என்பதைக் கண்டுபிடிப்போம்? சரி, முதல் காலாண்டில் இல்லை, இரண்டாவது காலாண்டில் கூட இல்லை என்பது தெளிவாகிறது: அவை 90 மற்றும் 180 டிகிரியில் முடிவடையும். 265° என்பது 180° மற்றும் மற்றொரு 85° என்று நீங்கள் கண்டுபிடிக்கலாம். அதாவது, எதிர்மறை அரை அச்சில் OX (இங்கு 180°) நீங்கள் சேர்க்க வேண்டும் தோராயமாக 85°. அல்லது, இன்னும் எளிமையாக, 265° எதிர்மறையான அரை-அச்சு OY (270° இருக்கும் இடத்தில்) சில துரதிர்ஷ்டவசமான 5° ஐ அடையவில்லை என்று யூகிக்கவும். சுருக்கமாக, மூன்றாவது காலாண்டில் இந்த கோணம் இருக்கும். எதிர்மறை அரை-அச்சு OY க்கு மிக அருகில், 270 டிகிரி, ஆனால் இன்னும் மூன்றாவது!

வரைவோம்:

மீண்டும், இங்கே முழுமையான துல்லியம் தேவையில்லை. உண்மையில் இந்த கோணம் 263 டிகிரியாக மாறட்டும். ஆனால் மிக முக்கியமான கேள்விக்கு (எந்த காலாண்டு?)நாங்கள் சரியாக பதிலளித்தோம். இது ஏன் மிக முக்கியமான கேள்வி? ஆம், ஏனென்றால் முக்கோணவியலில் ஒரு கோணத்துடன் கூடிய எந்த வேலையும் (இந்தக் கோணத்தை வரைகிறோமா இல்லையா என்பது முக்கியமில்லை) இந்தக் கேள்விக்கான பதிலுடன்தான் தொடங்குகிறது! எப்போதும். இந்த கேள்வியை நீங்கள் புறக்கணித்தால் அல்லது மனதளவில் பதிலளிக்க முயற்சித்தால், தவறுகள் கிட்டத்தட்ட தவிர்க்க முடியாதவை, ஆம் ... உங்களுக்கு இது தேவையா?

நினைவில் கொள்ளுங்கள்:

ஒரு கோணத்துடன் கூடிய எந்த வேலையும் (ஒரு வட்டத்தில் இந்த கோணத்தை வரைவது உட்பட) எப்போதும் இந்த கோணம் விழும் காலாண்டைத் தீர்மானிப்பதில் தொடங்குகிறது.

இப்போது, ​​நீங்கள் துல்லியமாக கோணங்களை சித்தரிக்க முடியும் என்று நம்புகிறேன், எடுத்துக்காட்டாக, 182°, 88°, 280°. IN சரிகாலாண்டுகளில். மூன்றாவது, முதல் மற்றும் நான்காவது, என்றால்...)

நான்காவது காலாண்டு 360° கோணத்தில் முடிகிறது. இது ஒரு முழுப் புரட்சி. இந்த கோணம் வட்டத்தில் 0° (அதாவது, தோற்றம்) போன்ற அதே நிலையை ஆக்கிரமித்துள்ளது என்பது தெளிவாகிறது. ஆனால் கோணங்கள் அங்கு முடிவடையவில்லை, ஆம் ...

360°க்கும் அதிகமான கோணங்களில் என்ன செய்வது?

"உண்மையில் இதுபோன்ற விஷயங்கள் இருக்கிறதா?"- நீங்கள் கேட்க. அவை நடக்கும்! உதாரணமாக, 444° கோணம் உள்ளது. மற்றும் சில நேரங்களில், 1000° கோணம் என்று சொல்லலாம். எல்லா வகையான கோணங்களும் உள்ளன.) பார்வைக்கு இதுபோன்ற கவர்ச்சியான கோணங்கள் ஒரு புரட்சிக்குள் நாம் பழகிய கோணங்களை விட சற்று கடினமாக உணரப்படுகின்றன. ஆனால் நீங்கள் அத்தகைய கோணங்களை வரைந்து கணக்கிட முடியும், ஆம்.

ஒரு வட்டத்தில் அத்தகைய கோணங்களை சரியாக வரைய, நீங்கள் அதையே செய்ய வேண்டும் - கண்டுபிடிக்கவும் நாம் விரும்பும் கோணம் எந்த காலாண்டில் விழுகிறது? இங்கே, 0° முதல் 360° வரையிலான கோணங்களைக் காட்டிலும் காலாண்டைத் துல்லியமாகத் தீர்மானிக்கும் திறன் மிக முக்கியமானது! காலாண்டை நிர்ணயிப்பதற்கான செயல்முறை ஒரு படியால் சிக்கலானது. அது என்ன என்பதை விரைவில் பார்க்கலாம்.

எனவே, எடுத்துக்காட்டாக, 444° கோணம் எந்த நாற்கரத்தில் விழுகிறது என்பதைக் கண்டுபிடிக்க வேண்டும். சுற்ற ஆரம்பிக்கலாம். எங்கே? ஒரு பிளஸ், நிச்சயமாக! அவர்கள் எங்களுக்கு ஒரு நேர்மறையான கோணத்தைக் கொடுத்தார்கள்! +444°. நாங்கள் திருப்புகிறோம், திருப்புகிறோம் ... நாங்கள் அதை ஒரு திருப்பமாக திருப்பினோம் - நாங்கள் 360 ° ஐ அடைந்தோம்.

444° வரை இன்னும் எவ்வளவு நேரம் இருக்கிறது?மீதமுள்ள வாலை நாங்கள் கணக்கிடுகிறோம்:

444°-360° = 84°.

எனவே, 444° என்பது ஒரு முழு சுழற்சி (360°) மற்றும் மற்றொரு 84° ஆகும். வெளிப்படையாக இது முதல் காலாண்டு. எனவே, கோணம் 444° விழுகிறது முதல் காலாண்டில்.பாதி போர் முடிந்தது.

இப்போது எஞ்சியிருப்பது இந்த கோணத்தை சித்தரிப்பதுதான். எப்படி? மிக எளிய! சிவப்பு (பிளஸ்) அம்புக்குறியுடன் ஒரு முழு திருப்பத்தை உருவாக்கி மற்றொரு 84° ஐச் சேர்க்கிறோம்.

இது போன்ற:

இங்கே நான் வரைபடத்தை ஒழுங்கீனம் செய்யவில்லை - காலாண்டுகளை லேபிளிடுதல், அச்சுகளில் கோணங்களை வரைதல். இந்த நல்ல விஷயங்கள் அனைத்தும் என் தலையில் நீண்ட காலமாக இருந்திருக்க வேண்டும்.)

ஆனால் 360° மற்றும் 84° கோணங்களில் இருந்து 444° கோணம் எவ்வாறு உருவாகிறது என்பதைக் காட்ட நான் "நத்தை" அல்லது சுழலைப் பயன்படுத்தினேன். புள்ளியிடப்பட்ட சிவப்பு கோடு ஒரு முழு புரட்சி. அதற்கு 84° (திடக் கோடு) கூடுதலாக திருகப்படுகிறது. மூலம், இந்த முழு புரட்சியை நிராகரித்தால், இது எங்கள் கோணத்தின் நிலையை எந்த வகையிலும் பாதிக்காது என்பதை நினைவில் கொள்க!

ஆனால் இது முக்கியமானது! கோண நிலை 444° முற்றிலும் ஒத்துப்போகிறது 84° கோண நிலையுடன். அற்புதங்கள் எதுவும் இல்லை, அது எப்படி மாறும்.)

ஒரு முழுப் புரட்சியை அல்ல, இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட புரட்சியை நிராகரிக்க முடியுமா?

ஏன் கூடாது? கோணம் மிகப்பெரியதாக இருந்தால், அது சாத்தியம் மட்டுமல்ல, அவசியமும் கூட! கோணம் மாறாது! இன்னும் துல்லியமாக, கோணம், நிச்சயமாக, அளவு மாறும். ஆனால் வட்டத்தில் அவரது நிலை - வழி இல்லை!) அதனால்தான் அவர்கள் முழுபுரட்சிகள், நீங்கள் எத்தனை நகல்களைச் சேர்த்தாலும், எவ்வளவு கழித்தாலும், நீங்கள் இன்னும் அதே புள்ளியில் முடிவடையும். நன்றாக இருக்கிறது, இல்லையா?

நினைவில் கொள்ளுங்கள்:

எந்த கோணத்தையும் ஒரு கோணத்தில் சேர்த்தால் (கழித்தால்). முழுவதும்முழு புரட்சிகளின் எண்ணிக்கை, வட்டத்தின் அசல் கோணத்தின் நிலை மாறாது!

உதாரணத்திற்கு:

1000° கோணம் எந்த காலாண்டில் விழுகிறது?

எந்த பிரச்சினையும் இல்லை! ஆயிரம் டிகிரியில் எத்தனை முழுப் புரட்சிகள் அமர்ந்திருக்கின்றன என்று எண்ணுகிறோம். ஒரு புரட்சி 360°, மற்றொன்று ஏற்கனவே 720°, மூன்றாவது 1080°... நிறுத்து! மிக அதிகம்! அதாவது, இது 1000° கோணத்தில் அமர்ந்திருக்கிறது இரண்டுமுழு திருப்பங்கள். அவற்றை 1000°க்கு வெளியே தூக்கி எஞ்சியதைக் கணக்கிடுகிறோம்:

1000° - 2 360° = 280°

எனவே, கோணத்தின் நிலை வட்டத்தில் 1000° ஆகும் அதே, 280° கோணத்தில் உள்ளது. எதில் வேலை செய்வது மிகவும் இனிமையானது.) மேலும் இந்த மூலை எங்கே விழுகிறது? இது நான்காவது காலாண்டில் விழுகிறது: 270° (எதிர்மறை அரை-அச்சு OY) மற்றும் மற்றொரு பத்து.

வரைவோம்:

இங்கே நான் புள்ளியிடப்பட்ட சுழலுடன் இரண்டு முழு திருப்பங்களை வரையவில்லை: அது மிக நீளமாக மாறிவிடும். மீதமுள்ள வாலை நான் வரைந்தேன் பூஜ்ஜியத்தில் இருந்து, நிராகரித்தல் அனைத்துகூடுதல் திருப்பங்கள். அவர்கள் இல்லாதது போல் உள்ளது.)

மீண்டும் ஒருமுறை. ஒரு நல்ல வழியில், கோணங்கள் 444° மற்றும் 84°, அத்துடன் 1000° மற்றும் 280° ஆகியவை வேறுபட்டவை. ஆனால் சைன், கொசைன், டேன்ஜென்ட் மற்றும் கோடேன்ஜென்ட் ஆகியவற்றுக்கு இந்தக் கோணங்கள் - அதே!

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, 360 ° க்கும் அதிகமான கோணங்களுடன் வேலை செய்ய, நீங்கள் தீர்மானிக்க வேண்டும் கொடுக்கப்பட்ட பெரிய கோணத்தில் எத்தனை முழு புரட்சிகள் உள்ளன. அத்தகைய கோணங்களுடன் பணிபுரியும் போது முதலில் செய்யப்பட வேண்டிய கூடுதல் படி இதுவாகும். சிக்கலான எதுவும் இல்லை, இல்லையா?

முழு புரட்சிகளை நிராகரிப்பது, நிச்சயமாக, ஒரு இனிமையான அனுபவம்.) ஆனால் நடைமுறையில், முற்றிலும் பயங்கரமான கோணங்களுடன் பணிபுரியும் போது, ​​சிரமங்கள் எழுகின்றன.

உதாரணத்திற்கு:

31240° கோணம் எந்த காலாண்டில் விழுகிறது?

அதனால் என்ன, 360 டிகிரியை பல, பல முறை சேர்க்கப் போகிறோமா? அது அதிகமாக எரியவில்லை என்றால் அது சாத்தியமாகும். ஆனால் சேர்க்க முடியாது.) பிரிக்கவும் முடியும்!

எனவே நமது பெரிய கோணத்தை 360 டிகிரியாகப் பிரிப்போம்!

இந்த செயலின் மூலம் நமது 31240 டிகிரியில் எத்தனை முழுப் புரட்சிகள் மறைந்துள்ளன என்பதை சரியாகக் கண்டுபிடிப்போம். நீங்கள் அதை ஒரு மூலையில் பிரிக்கலாம், நீங்கள் ஒரு கால்குலேட்டரில் (உங்கள் காதில் கிசுகிசுக்கலாம்:))

நமக்கு 31240:360 = 86.777777 கிடைக்கும்….

எண் பின்னமாக மாறியது என்பது பயமாக இல்லை. நாம் மட்டும் முழுவதும்நான் மறுஆய்வுகளில் ஆர்வமாக உள்ளேன்! எனவே, முழுமையாகப் பிரிக்க வேண்டிய அவசியமில்லை.)

எனவே, நமது கரடுமுரடான நிலக்கரியில் 86 முழு புரட்சிகள் உள்ளன. திகில்…

இது டிகிரிகளில் இருக்கும்86·360° = 30960°

இது போன்ற. 31240° என்ற கொடுக்கப்பட்ட கோணத்தில் இருந்து வலியின்றி எத்தனை டிகிரிகளை வெளியேற்ற முடியும் என்பது இதுதான். மீதமுள்ளவை:

31240° - 30960° = 280°

அனைத்து! 31240° கோணத்தின் நிலை முழுமையாக அடையாளம் காணப்பட்டது! அதே இடம் 280°. அந்த. நான்காவது காலாண்டு.) இந்த கோணத்தை நாம் முன்பே சித்தரித்துள்ளோம் என்று நினைக்கிறேன்? 1000° கோணம் எப்போது வரையப்பட்டது?) அங்கேயும் 280 டிகிரி சென்றோம். தற்செயல்.)

எனவே, இந்த கதையின் தார்மீகம்:

நமக்கு பயங்கரமான கனமான கோணம் கொடுக்கப்பட்டால், பின்:

1. இந்த மூலையில் எத்தனை முழு புரட்சிகள் அமர்ந்துள்ளன என்பதைத் தீர்மானிக்கவும். இதைச் செய்ய, அசல் கோணத்தை 360 ஆல் வகுத்து, பகுதியளவு பகுதியை நிராகரிக்கவும்.

2. விளைவான புரட்சிகளின் எண்ணிக்கையில் எத்தனை டிகிரிகள் உள்ளன என்பதை நாம் கணக்கிடுகிறோம். இதைச் செய்ய, புரட்சிகளின் எண்ணிக்கையை 360 ஆல் பெருக்கவும்.

3. இந்த புரட்சிகளை அசல் கோணத்தில் இருந்து கழிப்போம் மற்றும் 0° முதல் 360° வரையிலான வழக்கமான கோணத்தில் வேலை செய்கிறோம்.

எதிர்மறை கோணங்களில் எவ்வாறு வேலை செய்வது?

எந்த பிரச்சினையும் இல்லை! நேர்மறையானவற்றைப் போலவே, ஒரே ஒரு வித்தியாசத்துடன். எந்த ஒன்று? ஆம்! நீங்கள் மூலைகளைத் திருப்ப வேண்டும் தலைகீழ் பக்கம், கழித்தல்! கடிகார திசையில் செல்கிறது.)

எடுத்துக்காட்டாக, -200° கோணத்தை வரைவோம். முதலில், நேர்மறை கோணங்களுக்கு எல்லாம் வழக்கம் போல் உள்ளது - அச்சுகள், வட்டம். நீல நிற அம்புக்குறியை மைனஸுடன் வரைந்து, அச்சுகளில் உள்ள கோணங்களில் வித்தியாசமாக கையொப்பமிடுவோம். இயற்கையாகவே, அவை எதிர்மறையான திசையில் கணக்கிடப்பட வேண்டும். இவை ஒரே கோணங்களாக இருக்கும், 90° வழியாக அடியெடுத்து வைக்கும், ஆனால் எதிர் திசையில், கழித்தல்: 0°, -90°, -180°, -270°, -360° என எண்ணப்படும்.

படம் இப்படி இருக்கும்:

எதிர்மறை கோணங்களில் பணிபுரியும் போது, ​​​​சிறிய குழப்பமான உணர்வு அடிக்கடி ஏற்படுகிறது. எப்படி?! ஒரே அச்சு ஒரே நேரத்தில் +90 ° மற்றும் -270 ° என்று மாறிவிடும்? இல்லை, இங்கே ஏதோ மீன் இருக்கிறது...

ஆம், எல்லாம் சுத்தமாகவும் வெளிப்படையாகவும் இருக்கிறது! ஒரு வட்டத்தின் எந்தப் புள்ளியையும் நேர்மறை அல்லது எதிர்மறை கோணம் என்று அழைக்கலாம் என்பதை நாம் ஏற்கனவே அறிவோம்! முற்றிலும் எந்த. சில ஆய அச்சுகள் உட்பட. எங்கள் விஷயத்தில் நமக்குத் தேவை எதிர்மறைகோணக் கணக்கீடு. எனவே அனைத்து மூலைகளையும் மைனஸாக மாற்றுவோம்.)

இப்போது கோணம் -200° சரியாக வரைவது கடினம் அல்ல. இது -180° மற்றும் கழித்தல்மற்றொரு 20°. நாங்கள் பூஜ்ஜியத்திலிருந்து மைனஸுக்கு ஊசலாடத் தொடங்குகிறோம்: நான்காவது காலாண்டில் பறக்கிறோம், மூன்றாவது காலாண்டையும் இழக்கிறோம், -180° ஐ அடைகிறோம். மீதி இருபதை நான் எங்கே செலவிடுவது? ஆம், எல்லாம் இருக்கிறது! மணிநேரத்தால்.) மொத்த கோணம் -200° உள்ளே விழுகிறது இரண்டாவதுகால்.

ஒருங்கிணைப்பு அச்சுகளில் உள்ள கோணங்களை உறுதியாக நினைவில் வைத்திருப்பது எவ்வளவு முக்கியம் என்பதை இப்போது நீங்கள் புரிந்துகொள்கிறீர்களா?

கோணம் விழும் காலாண்டைத் துல்லியமாகத் தீர்மானிக்க, ஆய அச்சுகளில் (0°, 90°, 180°, 270°, 360°) கோணங்களைத் துல்லியமாக நினைவில் வைத்திருக்க வேண்டும்!

பல முழு திருப்பங்களுடன் கோணம் பெரியதாக இருந்தால் என்ன செய்வது? அது பரவாயில்லை! இந்த முழுப் புரட்சிகளும் நேர்மறையாகவோ அல்லது எதிர்மறையாகவோ மாறினாலும் என்ன வித்தியாசம்? ஒரு வட்டத்தில் ஒரு புள்ளி அதன் நிலையை மாற்றாது!

உதாரணத்திற்கு:

-2000° கோணம் எந்த காலாண்டில் விழுகிறது?

எல்லாம் ஒன்றே! முதலில், இந்த தீய மூலையில் எத்தனை முழு புரட்சிகள் அமர்ந்துள்ளன என்பதை நாம் கணக்கிடுகிறோம். அறிகுறிகளைக் குழப்பாமல் இருப்பதற்காக, மைனஸை இப்போதைக்கு விட்டுவிட்டு, 2000ஐ 360 ஆல் வகுக்கலாம். வால் மூலம் 5ஐப் பெறுவோம். நாங்கள் இப்போது வாலைப் பற்றி கவலைப்படவில்லை, நாங்கள் மூலையை வரையும்போது சிறிது நேரம் கழித்து எண்ணுவோம். நாங்கள் எண்ணுகிறோம் ஐந்துடிகிரிகளில் முழு புரட்சிகள்:

5 360° = 1800°

ஆஹா. நமது ஆரோக்கியத்திற்கு தீங்கு விளைவிக்காமல், எத்தனை கூடுதல் டிகிரிகளை நாம் பாதுகாப்பாக நம் மூலையிலிருந்து வெளியேற்ற முடியும் என்பது இதுதான்.

மீதமுள்ள வாலை நாங்கள் கணக்கிடுகிறோம்:

2000° – 1800° = 200°

ஆனால் இப்போது நாம் மைனஸ் பற்றி நினைவில் கொள்ளலாம்.) 200° வால் எங்கு வீசுவோம்? மைனஸ், நிச்சயமாக! எங்களுக்கு எதிர்மறை கோணம் கொடுக்கப்பட்டுள்ளது.)

2000° = -1800° - 200°

எனவே நாம் -200° கோணத்தை வரைகிறோம், கூடுதல் புரட்சிகள் இல்லாமல் மட்டுமே. நான் அதை வரைந்தேன், ஆனால் அப்படியே ஆகட்டும், நான் அதை இன்னும் ஒரு முறை வரைகிறேன். கையால்.

கொடுக்கப்பட்ட கோணம் -2000°, அதே போல் -200°, உள்ளே விழுகிறது என்பது தெளிவாகிறது இரண்டாவது காலாண்டு.

எனவே, பைத்தியம் பிடிப்போம்... மன்னிக்கவும்... தலையில்:

மிகப் பெரிய எதிர்மறை கோணம் கொடுக்கப்பட்டால், அதனுடன் பணிபுரியும் முதல் பகுதி (முழு புரட்சிகளின் எண்ணிக்கையைக் கண்டறிந்து அவற்றை நிராகரித்தல்) நேர்மறை கோணத்துடன் பணிபுரியும் போது அதேதான். தீர்வின் இந்த கட்டத்தில் கழித்தல் அடையாளம் எந்தப் பாத்திரத்தையும் வகிக்காது. முழு புரட்சிகளை அகற்றிய பிறகு மீதமுள்ள கோணத்துடன் பணிபுரியும் போது, ​​​​குறியீடு கடைசியில் மட்டுமே கணக்கில் எடுத்துக்கொள்ளப்படுகிறது.

நீங்கள் பார்க்க முடியும் என, ஒரு வட்டத்தில் எதிர்மறை கோணங்களை வரைவது நேர்மறையை விட கடினமாக இல்லை.

எல்லாம் ஒன்றுதான், மற்ற திசையில் மட்டுமே! மணி நேரம்!

இப்போது வேடிக்கையான பகுதி வருகிறது! பாசிட்டிவ் கோணங்கள், எதிர்மறை கோணங்கள், பெரிய கோணங்கள், சிறிய கோணங்கள் - முழு வீச்சையும் பார்த்தோம். ஒரு வட்டத்தில் உள்ள எந்தப் புள்ளியையும் நேர்மறை மற்றும் எதிர்மறை கோணம் என்று அழைக்கலாம் என்பதை நாங்கள் கண்டுபிடித்தோம், நாங்கள் முழு புரட்சிகளையும் நிராகரித்தோம் ... ஏதேனும் எண்ணங்கள்? தள்ளிப் போட வேண்டும்...

ஆம்! நீங்கள் எந்தப் புள்ளியை எடுத்துக் கொண்டாலும் அது ஒத்திருக்கும் எண்ணற்ற கோணங்கள்! பெரியவை மற்றும் அவ்வளவு பெரியவை அல்ல, நேர்மறை மற்றும் எதிர்மறையானவை - எல்லா வகையிலும்! மற்றும் இந்த கோணங்களுக்கு இடையிலான வேறுபாடு இருக்கும் முழுவதும் முழு புரட்சிகளின் எண்ணிக்கை. எப்போதும்! முக்கோணவியல் வட்டம் எவ்வாறு செயல்படுகிறது, ஆம் ...) அதனால்தான் தலைகீழ்அறியப்பட்ட சைன்/கோசைன்/டேன்ஜென்ட்/கோட்டான்ஜென்ட் - தீர்க்கக்கூடியவையைப் பயன்படுத்தி கோணத்தைக் கண்டறிவதே பணியாகும். தெளிவற்ற. மேலும் மிகவும் கடினமானது. நேரடி சிக்கலுக்கு மாறாக - ஒரு கோணம் கொடுக்கப்பட்டால், அதன் முக்கோணவியல் செயல்பாடுகளின் முழு தொகுப்பையும் கண்டறியவும். மேலும் தீவிரமான முக்கோணவியல் தலைப்புகளில் ( வளைவுகள், முக்கோணவியல் சமன்பாடுகள்மற்றும் ஏற்றத்தாழ்வுகள் ) இந்த தந்திரத்தை நாம் எப்போதும் சந்திப்போம். நாங்கள் பழகி வருகிறோம்.)

1. -345° கோணம் எந்த காலாண்டில் விழுகிறது?

2. கோணம் 666° எந்த காலாண்டில் விழுகிறது?

3. கோணம் 5555° எந்த காலாண்டில் விழுகிறது?

4. -3700° கோணம் எந்த காலாண்டில் விழுகிறது?

5. என்ன அடையாளம் செய்கிறதுcos999°?

6. என்ன அடையாளம் செய்கிறதுctg999°?

அது வேலை செய்ததா? அற்புதம்! ஒரு பிரச்சனை உள்ளது? பிறகு நீ.

பதில்கள்:

1. 1

2. 4

3. 2

4. 3

5. "+"

6. "-"

இம்முறை மரபை உடைத்து விடைகள் வரிசையாக கொடுக்கப்பட்டுள்ளன. ஏனெனில் நான்கு பகுதிகள் மட்டுமே உள்ளன, இரண்டு அடையாளங்கள் மட்டுமே உள்ளன. நீங்கள் அதிகம் ஓட மாட்டீர்கள்...)

அடுத்த பாடத்தில் நாம் ரேடியன்களைப் பற்றி பேசுவோம், மர்மமான எண் "பை" பற்றி, ரேடியன்களை டிகிரிகளாகவும் நேர்மாறாகவும் எளிதாகவும் எளிமையாகவும் மாற்றுவது எப்படி என்பதைக் கற்றுக்கொள்வோம். இந்த எளிய அறிவும் திறமையும் கூட பல அற்பமான முக்கோணவியல் சிக்கல்களை வெற்றிகரமாக தீர்க்க போதுமானதாக இருக்கும் என்பதைக் கண்டு நாங்கள் ஆச்சரியப்படுவோம்!

மூலை: ° π ராட் =

இதற்கு மாற்று: ரேடியன் டிகிரி 0 - 360° 0 - 2π நேர்மறை எதிர்மறை கணக்கிடு

கோடுகள் வெட்டும் போது, ​​வெட்டும் புள்ளியுடன் தொடர்புடைய நான்கு வெவ்வேறு பகுதிகள் உள்ளன.
இந்த புதிய பகுதிகள் என்று அழைக்கப்படுகின்றன மூலைகள்.

AB மற்றும் CD கோடுகளின் குறுக்குவெட்டு மூலம் உருவான 4 வெவ்வேறு கோணங்களை படம் காட்டுகிறது

கோணங்கள் பொதுவாக டிகிரிகளில் அளவிடப்படுகின்றன, இது ° என குறிக்கப்படுகிறது. ஒரு பொருள் ஒரு முழுமையான வட்டத்தை உருவாக்கும் போது, ​​அதாவது புள்ளி D இலிருந்து B, C, A வழியாகவும், பின்னர் D க்கு நகரும் போது, ​​அது 360 டிகிரி (360°) திரும்பியதாகக் கூறப்படுகிறது. எனவே ஒரு பட்டம் என்பது ஒரு வட்டத்தின் $\frac(1)(360)$ ஆகும்.

360 டிகிரிக்கு மேல் கோணங்கள்

ஒரு பொருள் ஒரு புள்ளியைச் சுற்றி ஒரு முழு வட்டத்தை உருவாக்கும்போது, ​​​​அது 360 டிகிரி செல்கிறது, இருப்பினும், ஒரு பொருள் ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட வட்டங்களை உருவாக்கும் போது, ​​அது 360 டிகிரிக்கு மேல் கோணத்தை எவ்வாறு உருவாக்குகிறது என்பதைப் பற்றி பேசினோம். அன்றாட வாழ்வில் இது ஒரு பொதுவான நிகழ்வு. கார் நகரும் போது சக்கரம் பல வட்டங்களைச் சுற்றிச் செல்கிறது, அதாவது 360°க்கும் அதிகமான கோணத்தை உருவாக்குகிறது.

ஒரு பொருளைச் சுழற்றும்போது சுழற்சிகளின் எண்ணிக்கையை (முடிக்கப்பட்ட வட்டங்கள்) கண்டுபிடிக்க, கொடுக்கப்பட்ட கோணத்திற்கு சமமான அல்லது அதற்கும் குறைவான எண்ணைப் பெற, 360 ஐ தன்னுடன் சேர்க்க வேண்டிய எண்ணிக்கையை எண்ணுகிறோம். அதே வழியில், ஒரு எண்ணை 360 ஆல் பெருக்கினால், சிறிய ஆனால் கொடுக்கப்பட்ட கோணத்திற்கு மிக நெருக்கமான எண்ணைப் பெறுவோம்.

எடுத்துக்காட்டு 2
1. கோணத்தை உருவாக்கும் பொருளால் விவரிக்கப்பட்ட வட்டங்களின் எண்ணிக்கையைக் கண்டறியவும்
a) 380°
b) 770°
c) 1000°
தீர்வு
a) 380 = (1 × 360) + 20
பொருள் ஒரு வட்டம் மற்றும் 20° விவரிக்கிறது
$20^(\circ) = \frac(20)(360) = \frac(1)(18)$ வட்டம் என்பதால்
பொருள் $1\frac(1)(18)$ வட்டங்களை விவரித்தது.

B) 2 × 360 = 720
770 = (2 × 360) + 50
பொருள் இரண்டு வட்டங்கள் மற்றும் 50° விவரித்துள்ளது
$50^(\circ) = \frac(50)(360) = \frac(5)(36)$ வட்டம்
ஒரு வட்டத்தின் $2\frac(5)(36)$ விவரித்த பொருள்
c)2 × 360 = 720
1000 = (2 × 360) + 280
$280^(\circ) = \frac(260)(360) = \frac(7)(9)$ வட்டங்கள்
பொருள் $2\frac(7)(9)$ வட்டங்களை விவரித்தது

ஒரு பொருள் கடிகார திசையில் சுழலும் போது, ​​அது எதிர்மறையான சுழற்சி கோணத்தை உருவாக்குகிறது, மேலும் அது எதிரெதிர் திசையில் சுழலும் போது, ​​அது நேர்மறை கோணத்தை உருவாக்குகிறது. இது வரை, நாங்கள் நேர்மறை கோணங்களை மட்டுமே கருத்தில் கொண்டுள்ளோம்.

வரைபட வடிவத்தில், கீழே காட்டப்பட்டுள்ளபடி எதிர்மறை கோணத்தை சித்தரிக்கலாம்.

கீழே உள்ள படம் கோணத்தின் அடையாளத்தைக் காட்டுகிறது, இது ஒரு பொதுவான நேர்கோட்டிலிருந்து அளவிடப்படுகிறது, 0 அச்சு (x-அச்சு - x-அச்சு)

அதாவது எதிர்மறை கோணம் இருந்தால், அதற்குரிய நேர்மறை கோணத்தைப் பெறலாம்.
எடுத்துக்காட்டாக, செங்குத்து கோட்டின் அடிப்பகுதி 270° ஆகும். எதிர்மறை திசையில் அளவிடப்படும் போது, ​​நாம் -90 ° கிடைக்கும். 360 இலிருந்து 270ஐக் கழிப்போம். எதிர்மறை கோணம் கொடுக்கப்பட்டால், தொடர்புடைய நேர்மறை கோணத்தைப் பெற 360ஐச் சேர்க்கிறோம்.
கோணம் -360° ஆக இருந்தால், பொருள் ஒன்றுக்கும் மேற்பட்ட கடிகார வட்டத்தை உருவாக்கியுள்ளது என்று அர்த்தம்.

எடுத்துக்காட்டு 3
1. தொடர்புடைய நேர்மறை கோணத்தைக் கண்டறியவும்
a) -35°
b) -60°
c) -180°
ஈ) - 670°

2. தொடர்புடைய எதிர்மறை கோணமான 80°, 167°, 330° மற்றும் 1300° ஆகியவற்றைக் கண்டறியவும்.
தீர்வு
1. தொடர்புடைய நேர்மறை கோணத்தைக் கண்டறிய, கோண மதிப்பில் 360 ஐச் சேர்க்கிறோம்.
a) -35°= 360 + (-35) = 360 - 35 = 325°
b) -60°= 360 + (-60) = 360 - 60 = 300°
c) -180°= 360 + (-180) = 360 - 180 = 180°
ஈ) -670°= 360 + (-670) = -310
இதன் பொருள் ஒரு வட்டம் கடிகார திசையில் (360)
360 + (-310) = 50°
கோணம் 360 + 50 = 410° ஆகும்

2. தொடர்புடைய எதிர்மறை கோணத்தைப் பெற, கோண மதிப்பிலிருந்து 360 ஐக் கழிப்போம்.
80° = 80 - 360 = - 280°
167° = 167 - 360 = -193°
330° = 330 - 360 = -30°
1300° = 1300 - 360 = 940 (ஒரு மடி முடிந்தது)
940 - 360 = 580 (இரண்டாவது சுற்று முடிந்தது)
580 - 360 = 220 (மூன்றாவது சுற்று முடிந்தது)
220 - 360 = -140°
கோணம் -360 - 360 - 360 - 140 = -1220°
இவ்வாறு 1300° = -1220°

ரேடியன்

ஒரு ரேடியன் என்பது ஒரு வட்டத்தின் ஆரத்திற்கு சமமான நீளம் கொண்ட ஒரு வளைவை இணைக்கும் ஒரு வட்டத்தின் மையத்திலிருந்து வரும் கோணமாகும். இது கோண அளவுக்கான அளவீட்டு அலகு ஆகும். இந்த கோணம் தோராயமாக 57.3° ஆகும்.
பெரும்பாலான சந்தர்ப்பங்களில், இது குறிக்கப்படுகிறது மகிழ்ச்சி.
இவ்வாறு $1 ரேட் \தோராயமாக 57.3^(\circ)$

ஆரம் = r = OA = OB = AB
BOA கோணம் ஒரு ரேடியனுக்குச் சமம்

ஒரு வட்டத்தின் சுற்றளவு $2\pi r$ என வழங்கப்படுவதால், அந்த வட்டத்தில் $2\pi$ ஆரங்கள் உள்ளன, எனவே முழு வட்டத்திலும் $2\pi$ ரேடியன்கள் உள்ளன.

கணக்கீடுகளில் தசமங்களைத் தவிர்க்க ரேடியன்கள் பொதுவாக $\pi$ அடிப்படையில் வெளிப்படுத்தப்படுகின்றன. பெரும்பாலான புத்தகங்களில், சுருக்கம் மகிழ்ச்சிநிகழவில்லை, ஆனால் கோணம் என்று வரும்போது, ​​அது $\pi$ என்ற அடிப்படையில் குறிப்பிடப்பட்டு, அளவீட்டு அலகுகள் தானாகவே ரேடியன்களாக மாறும் என்பதை வாசகர் அறிந்திருக்க வேண்டும்.

$360^(\circ) = 2\pi\rad$
$180^(\circ) = \pi\rad$,
$90^(\circ) = \frac(\pi)(2) rad$,
$30^(\circ) = \frac(30)(180)\pi = \frac(\pi)(6) rad$,
$45^(\circ) = \frac(45)(180)\pi = \frac(\pi)(4) rad$,
$60^(\circ) = \frac(60)(180)\pi = \frac(\pi)(3) rad$
$270^(\circ) = \frac(270)(180)\pi = \frac(27)(18)\pi = 1\frac(1)(2)\pi\ rad$

எடுத்துக்காட்டு 4
1. $\pi$ ஐப் பயன்படுத்தி 240°, 45°, 270°, 750° மற்றும் 390° ஐ ரேடியன்களாக மாற்றவும்.
தீர்வு
கோணங்களை $\frac(\pi)(180)$ ஆல் பெருக்குவோம்.
$240^(\circ) = 240 \time \frac(\pi)(180) = \frac(4)(3)\pi=1\frac(1)(3)\pi$
$120^(\circ) = 120 \time \frac(\pi)(180) = \frac(2\pi)(3)$
$270^(\circ) = 270 \time \frac(1)(180)\pi = \frac(3)(2)\pi=1\frac(1)(2)\pi$
$750^(\circ) = 750 \time \frac(1)(180)\pi = \frac(25)(6)\pi=4\frac(1)(6)\pi$
$390^(\circ) = 390 \time \frac(1)(180)\pi = \frac(13)(6)\pi=2\frac(1)(6)\pi$

2. பின்வரும் கோணங்களை டிகிரிக்கு மாற்றவும்.
a) $\frac(5)(4)\pi$
b) $3.12\pi$
c) 2.4 ரேடியன்கள்
தீர்வு
$180^(\circ) = \pi$
a) $\frac(5)(4) \pi = \frac(5)(4) \times 180 = 225^(\circ)$
b) $3.12\pi = 3.12 \times 180 = 561.6^(\circ)$
c) 1 ரேட் = 57.3°
$2.4 = \frac(2.4 \times 57.3)(1) = 137.52$

எதிர்மறை கோணங்கள் மற்றும் $2\pi$ ரேடியன்களை விட அதிகமான கோணங்கள்

எதிர்மறை கோணத்தை நேர்மறையாக மாற்ற, அதை $2\pi$க்கு சேர்க்கிறோம்.
நேர்மறை கோணத்தை எதிர்மறை கோணமாக மாற்ற, அதிலிருந்து $2\pi$ஐ கழிப்போம்.

எடுத்துக்காட்டு 5
1. $-\frac(3)(4)\pi$ மற்றும் $-\frac(5)(7)\pi$ ஆகியவற்றை ரேடியன்களில் நேர்மறை கோணங்களுக்கு மாற்றவும்.

தீர்வு
கோணத்தில் $2\pi$ சேர்க்கவும்
$-\frac(3)(4)\pi = -\frac(3)(4)\pi + 2\pi = \frac(5)(4)\pi = 1\frac(1)(4)\ பை $

$-\frac(5)(7)\pi = -\frac(5)(7)\pi + 2\pi = \frac(9)(7)\pi = 1\frac(2)(7)\ பை $

ஒரு பொருள் $2\pi$ ஐ விட அதிகமான கோணத்தில் சுழலும் போது, ​​அது ஒன்றுக்கு மேற்பட்ட வட்டங்களை உருவாக்குகிறது.
அத்தகைய கோணத்தில் உள்ள புரட்சிகளின் எண்ணிக்கையை (வட்டங்கள் அல்லது சுழற்சிகள்) தீர்மானிக்க, ஒரு எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, அதை $2\pi$ ஆல் பெருக்கினால், முடிவு சமமாகவோ அல்லது குறைவாகவோ இருக்கும், ஆனால் இந்த எண்ணுக்கு முடிந்தவரை நெருக்கமாக இருக்கும்.

எடுத்துக்காட்டு 6
1. கொடுக்கப்பட்ட கோணங்களில் பொருள் கடக்கும் வட்டங்களின் எண்ணிக்கையைக் கண்டறியவும்
a) $-10\pi$
b) $9\pi$
c) $\frac(7)(2)\pi$

தீர்வு
a) $-10\pi = 5(-2\pi)$;
$-2\pi$ என்பது கடிகார திசையில் ஒரு சுழற்சியைக் குறிக்கிறது, அதாவது
பொருள் 5 கடிகார சுழற்சிகளை உருவாக்கியது.

b) $9\pi = 4(2\pi) + \pi$, $\pi =$ அரை சுழற்சி
பொருள் நான்கரை சுழற்சிகளை எதிரெதிர் திசையில் செய்தது

c) $\frac(7)(2)\pi=3.5\pi=2\pi+1.5\pi$, $1.5\pi$ என்பது சுழற்சியின் முக்கால் பகுதிக்கு சமம் $(\frac(1.5\pi)(2 \pi)= \frac(3)(4))$
பொருள் ஒரு சுழற்சியின் ஒரு முக்கால் பகுதியை எதிரெதிர் திசையில் சென்றுள்ளது