Graph ng isang quadratic trinomial

2019-04-19

Square trinomial

Tinawag namin ang isang square trinomial na isang buong rational function ng pangalawang degree:

$y = ax^2 + bx + c$, (1)

kung saan $a \neq 0$. Patunayan natin na ang graph ng isang quadratic trinomial ay isang parabola na nakuha sa pamamagitan ng parallel shifts (sa mga direksyon ng coordinate axes) mula sa parabola $y = ax^2$. Upang gawin ito, binabawasan namin ang expression (1) sa pamamagitan ng simpleng magkaparehong pagbabago sa anyo

$y = a(x + \alpha)^2 + \beta$. (2)

Ang mga kaukulang pagbabago, na nakasulat sa ibaba, ay kilala bilang "eksaktong square extraction":

$y = x^2 + bx + c = a \left (x^2 + \frac(b)(a) x \right) + c = a \left (x^2 + \frac(b)(a) x + \frac (b^2)(4a^2) \right) - \frac (b^2)(4a) + c = a \left (x + \frac(b)(2a) \right)^2 - \frac (b^2 - 4ac)(4a)$. (2")

Binawasan namin ang quadratic trinomial sa form (2); kung saan

$\alpha = \frac(b)(2a), \beta = - \frac (b^2 - 4ac)(4a)$

(ang mga expression na ito ay hindi dapat isaulo; ito ay mas maginhawa upang baguhin ang trinomial (1) sa anyo (2) nang direkta sa bawat oras).

Ngayon ay malinaw na ang graph ng trinomial (1) ay isang parabola na katumbas ng parabola $y = ax^2$ at nakuha sa pamamagitan ng paglilipat ng parabola $y = ax^2$ sa mga direksyon ng coordinate axes ng $\ alpha$ at $\beta$ (isinasaalang-alang ang sign na $\alpha$ at $\beta$) ayon sa pagkakabanggit. Ang vertex ng parabola na ito ay matatagpuan sa puntong $(- \alpha, \beta)$, ang axis nito ay ang tuwid na linya $x = - \alpha$. Para sa $a > 0$, ang vertex ay ang pinakamababang punto ng parabola, para sa $a
Magsagawa tayo ngayon ng isang pag-aaral ng quadratic trinomial, ibig sabihin, malalaman natin ang mga katangian nito depende sa mga numerical na halaga ng mga coefficient $a, b, c$ sa expression nito (1).

Sa pagkakapantay-pantay (2") tinutukoy namin ang halaga na $b^2- 4ac$ ng $d$:

$y = a \left (x + \frac(b)(2a) \right)^2 - \frac(d)(4a)$; (4)

$d = b^2 - 4ac$ ay tinatawag na discriminant ng isang quadratic trinomial. Ang mga katangian ng trinomial (1) (at ang lokasyon ng graph nito) ay tinutukoy ng mga palatandaan ng discriminant na $d$ at ang nangungunang coefficient na $a$.

1) $a > 0, d 0$; dahil $a > 0$, ang graph ay matatagpuan sa itaas ng vertex $O^( \prime)$; ito ay nasa itaas na kalahating eroplano ($y > 0$ - Fig. a.).

2) $a
3) $a > 0, d > 0$. Ang vertex $O^( \prime)$ ay nasa ibaba ng $Ox$ axis, ang parabola ay nag-intersect sa $Ox$ axis sa dalawang puntos na $x_1, x_2$ (Fig. c.).

4) $a 0$. Ang vertex $O^( \prime)$ ay nasa itaas ng $Ox$ axis, ang parabola ay muling nag-intersect sa $Ox$ axis sa dalawang puntos na $x_1, x_2$ (Fig. d).

5) $a > 0, d = 0$. Ang vertex ay namamalagi sa $Ox$ axis mismo, ang parabola ay matatagpuan sa itaas na kalahating eroplano (Fig. e).

6) $a
Mga konklusyon. Kung $d 0$), o mas mababa (kung $a
Kung $d > 0$, ang function ay alternating (ang graph ay bahagyang nasa ibaba at bahagyang nasa itaas ng $Ox$ axis). Ang isang square trinomial na may $d > 0$ ay may dalawang ugat (zero) $x_1, x_2$. Para sa $a > 0$ ito ay negatibo sa pagitan sa pagitan ng mga ugat (Fig. c) at positibo sa labas ng pagitan na ito. Sa $a

Tinukoy ng formula na $a((x)^(2))+bx+c$ $(a\ne 0).$ Ang mga numerong $a, b$ at $c$ ay ang mga coefficient ng isang quadratic trinomial, sila ay karaniwang tinatawag na: a - ang nangunguna, b - pangalawa o average na koepisyent, c - libreng termino. Ang isang function ng form na y = ax 2 + bx + c ay tinatawag na quadratic function.

Ang lahat ng mga parabola na ito ay may kanilang tuktok sa pinanggalingan; para sa isang > 0 ito ang pinakamababang punto ng graph (ang pinakamaliit na halaga ng function), at para sa a< 0, наоборот, наивысшая точка (наибольшее значение функции). Ось Oy есть ось симметрии каждой из таких парабол.

Tulad ng makikita, para sa a > 0 ang parabola ay nakadirekta paitaas, para sa a< 0 - вниз.

Mayroong simple at maginhawang graphical na paraan na nagbibigay-daan sa iyo na bumuo ng anumang bilang ng mga punto ng parabola y = ax 2 nang walang mga kalkulasyon, kung ang isang punto ng parabola maliban sa vertex ay kilala. Hayaang ang puntong M(x 0 , y 0) ay nasa parabola y = ax 2 (Larawan 2). Kung gusto naming bumuo ng karagdagang n puntos sa pagitan ng mga punto O at M, pagkatapos ay hatiin namin ang segment ON ng abscissa axis sa n + 1 pantay na mga bahagi at sa mga division point ay gumuhit kami ng mga patayo sa Ox axis. Hinahati namin ang segment NM sa parehong bilang ng mga pantay na bahagi at ikinonekta ang mga punto ng paghahati na may mga ray sa pinagmulan ng mga coordinate. Ang mga kinakailangang punto ng parabola ay namamalagi sa intersection ng mga patayo at ray na may parehong mga numero (sa Fig. 2 ang bilang ng mga dibisyon ng mga puntos ay 9).

Ang graph ng function na y = ax 2 + bx + c ay naiiba sa graph na y = ax 2 lamang sa posisyon nito at maaaring makuha sa pamamagitan lamang ng paggalaw ng curve sa drawing. Ito ay sumusunod mula sa representasyon ng quadratic trinomial sa anyo

mula sa kung saan madaling tapusin na ang graph ng function na y = ax 2 + bx + c ay isang parabola y = ax 2, na ang vertex ay inilipat sa punto

at ang axis ng symmetry nito ay nanatiling parallel sa Oy axis (Fig. 3). Mula sa resultang expression para sa isang quadratic trinomial, ang lahat ng mga pangunahing katangian nito ay madaling sundin. Ang expression na D = b 2 − 4ac ay tinatawag na discriminant ng quadratic trinomial ax 2 + bx + c at ang discriminant ng nauugnay na quadratic equation ax 2 + bx + c = 0. Ang tanda ng discriminant ay tumutukoy kung ang graph ng quadratic trinomial intersects ang x-axis o namamalagi sa parehong gilid mula sa kanya. Ibig sabihin, kung si D< 0, то парабола не имеет общих точек с осью Ox, при этом: если a >0, kung gayon ang parabola ay nasa itaas ng axis ng Ox, at kung a< 0, то ниже этой оси (рис. 4). В случае D >0 ang graph ng isang quadratic trinomial ay nag-intersect sa x-axis sa dalawang puntos na x 1 at x 2, na siyang mga ugat ng quadratic equation ax 2 + bx + c = 0 at pantay, ayon sa pagkakabanggit

Sa D = 0 ang parabola ay humipo sa Ox axis sa punto

Ang mga katangian ng quadratic trinomial ay bumubuo ng batayan para sa paglutas ng mga quadratic inequalities. Ipaliwanag natin ito sa isang halimbawa. Ipagpalagay na kailangan nating hanapin ang lahat ng mga solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay 3x 2 - 2x - 1< 0. Найдем дискриминант квадратного трехчлена, стоящего в левой части неравенства: D = 16. Так как D >0, pagkatapos ay ang katumbas na quadratic equation 3x 2 − 2x − 1 = 0 ay may dalawang magkaibang ugat, ang mga ito ay tinutukoy ng mga formula na ibinigay kanina:

x 1 = −1/3 at x 2 = 1.

Sa quadratic trinomial na isinasaalang-alang, a = 3 > 0, na nangangahulugan na ang mga sanga ng graph nito ay nakadirekta paitaas at ang mga halaga ng quadratic trinomial ay negatibo lamang sa pagitan ng mga ugat. Kaya, lahat ng solusyon sa hindi pagkakapantay-pantay ay nakakatugon sa kondisyon

−1/3 < x < 1.

Ang iba't ibang mga hindi pagkakapantay-pantay ay maaaring bawasan sa mga parisukat na hindi pagkakapantay-pantay sa pamamagitan ng parehong mga pagpapalit kung saan ang iba't ibang mga equation ay nababawasan sa mga parisukat.