Power function, mga katangian at mga graph nito. Mga graph at pangunahing katangian ng mga elementarya na function Lutasin ang graph ng function na y x

Pumili kami ng isang hugis-parihaba na coordinate system sa eroplano at i-plot ang mga halaga ng argumento sa abscissa axis X, at sa y-axis - ang mga halaga ng function y = f(x).

Function Graph y = f(x) ang hanay ng lahat ng mga punto ay tinatawag, kung saan ang mga abscissas ay nabibilang sa domain ng function, at ang mga ordinates ay katumbas ng kaukulang mga halaga ng function.

Sa madaling salita, ang graph ng function na y \u003d f (x) ay ang hanay ng lahat ng mga punto sa eroplano, ang mga coordinate X, sa na nagbibigay-kasiyahan sa relasyon y = f(x).

Sa fig. Ang 45 at 46 ay mga graph ng mga function y = 2x + 1 At y \u003d x 2 - 2x.

Sa mahigpit na pagsasalita, dapat na makilala ng isa ang pagitan ng graph ng isang function (ang eksaktong mathematical na kahulugan kung saan ibinigay sa itaas) at ang iginuhit na curve, na palaging nagbibigay lamang ng higit pa o hindi gaanong tumpak na sketch ng graph (at kahit na, bilang panuntunan, hindi ang buong graph, ngunit ang bahagi lamang nito na matatagpuan sa mga huling bahagi ng eroplano). Sa mga sumusunod, gayunpaman, karaniwang tinutukoy namin ang "chart" sa halip na "chart sketch".

Gamit ang isang graph, mahahanap mo ang halaga ng isang function sa isang punto. Namely, kung ang punto x = a nabibilang sa saklaw ng function y = f(x), pagkatapos ay upang mahanap ang numero f(a)(ibig sabihin, ang mga halaga ng function sa punto x = a) dapat gawin ito. Kailangan sa pamamagitan ng isang tuldok na may abscissa x = a gumuhit ng isang tuwid na linya parallel sa y-axis; ang linyang ito ay magsa-intersect sa graph ng function y = f(x) sa isang punto; ang ordinate ng puntong ito ay magiging, sa bisa ng kahulugan ng graph, katumbas ng f(a)(Larawan 47).

Halimbawa, para sa function f(x) = x 2 - 2x gamit ang graph (Larawan 46) makikita natin ang f(-1) = 3, f(0) = 0, f(1) = -l, f(2) = 0, atbp.

Ang isang function graph ay biswal na naglalarawan ng pag-uugali at mga katangian ng isang function. Halimbawa, mula sa isang pagsasaalang-alang ng Fig. 46 ito ay malinaw na ang function y \u003d x 2 - 2x tumatagal ng mga positibong halaga kapag X< 0 at sa x > 2, negatibo - sa 0< x < 2; наименьшее значение функция y \u003d x 2 - 2x tumatanggap sa x = 1.

Upang magplano ng isang function f(x) kailangan mong hanapin ang lahat ng mga punto ng eroplano, mga coordinate X,sa na nagbibigay-kasiyahan sa equation y = f(x). Sa karamihan ng mga kaso, ito ay imposible, dahil mayroong walang katapusang maraming mga punto. Samakatuwid, ang graph ng function ay inilalarawan nang humigit-kumulang - na may mas malaki o mas kaunting katumpakan. Ang pinakasimpleng ay ang multi-point plotting method. Ito ay binubuo sa katotohanan na ang argumento X magbigay ng isang tiyak na bilang ng mga halaga - sabihin, x 1 , x 2 , x 3 ,..., x k at gumawa ng isang talahanayan na kinabibilangan ng mga napiling halaga ng function.

Ang talahanayan ay ganito ang hitsura:

Ang pagkakaroon ng pinagsama-samang isang talahanayan, maaari naming balangkasin ang ilang mga punto sa graph ng function y = f(x). Pagkatapos, ikinonekta ang mga puntong ito sa isang makinis na linya, nakakakuha kami ng tinatayang view ng graph ng function y = f(x).

Gayunpaman, dapat tandaan na ang paraan ng multi-point plotting ay hindi maaasahan. Sa katunayan, ang pag-uugali ng graph sa pagitan ng mga minarkahang punto at ang pag-uugali nito sa labas ng segment sa pagitan ng mga matinding puntos na kinuha ay nananatiling hindi alam.

Halimbawa 1. Upang magplano ng isang function y = f(x) may nag-compile ng isang talahanayan ng argumento at mga halaga ng pag-andar:

Ang kaukulang limang puntos ay ipinapakita sa Fig. 48.

Batay sa lokasyon ng mga puntong ito, napagpasyahan niya na ang graph ng function ay isang tuwid na linya (ipinapakita sa Fig. 48 ng isang tuldok na linya). Maaari bang ituring na maaasahan ang konklusyong ito? Maliban kung may mga karagdagang pagsasaalang-alang upang suportahan ang konklusyong ito, halos hindi ito maituturing na maaasahan. maaasahan.

Upang patunayan ang aming assertion, isaalang-alang ang function

Ipinapakita ng mga kalkulasyon na ang mga halaga ng function na ito sa mga punto -2, -1, 0, 1, 2 ay inilarawan lamang ng talahanayan sa itaas. Gayunpaman, ang graph ng function na ito ay hindi sa lahat ng isang tuwid na linya (ito ay ipinapakita sa Fig. 49). Ang isa pang halimbawa ay ang pag-andar y = x + l + sinx; ang mga kahulugan nito ay inilarawan din sa talahanayan sa itaas.

Ang mga halimbawang ito ay nagpapakita na sa kanyang "dalisay" na anyo, ang multi-point plotting na paraan ay hindi maaasahan. Samakatuwid, upang magplano ng isang naibigay na function, bilang isang panuntunan, magpatuloy bilang mga sumusunod. Una, pinag-aaralan ang mga katangian ng pagpapaandar na ito, sa tulong kung saan posible na bumuo ng isang sketch ng graph. Pagkatapos, sa pamamagitan ng pagkalkula ng mga halaga ng function sa ilang mga punto (ang pagpili kung saan ay depende sa mga set na katangian ng function), ang mga kaukulang punto ng graph ay matatagpuan. At, sa wakas, ang isang kurba ay iginuhit sa pamamagitan ng mga itinayong punto gamit ang mga katangian ng pagpapaandar na ito.

Isasaalang-alang namin ang ilan (ang pinakasimple at madalas na ginagamit) na mga katangian ng mga function na ginamit upang makahanap ng sketch ng isang graph sa ibang pagkakataon, at ngayon ay susuriin namin ang ilang karaniwang ginagamit na mga pamamaraan para sa pag-plot ng mga graph.

Graph ng function na y = |f(x)|.

Kadalasan kinakailangan na magplano ng isang function y = |f(x)|, saan f(x) - ibinigay na function. Alalahanin kung paano ito ginagawa. Sa pamamagitan ng kahulugan ng ganap na halaga ng isang numero, maaaring magsulat ang isa

Nangangahulugan ito na ang graph ng function y=|f(x)| maaaring makuha mula sa graph, function y = f(x) tulad ng sumusunod: lahat ng mga punto ng graph ng function y = f(x), na ang mga ordinate ay hindi negatibo, ay dapat iwanang hindi nagbabago; higit pa, sa halip na ang mga punto ng graph ng function y = f(x), pagkakaroon ng mga negatibong coordinate, dapat isa ay bumuo ng mga kaukulang punto ng graph ng function y = -f(x)(ibig sabihin, bahagi ng function graph
y = f(x), na nasa ibaba ng axis X, ay dapat na maipakita nang simetriko tungkol sa axis X).

Halimbawa 2 I-plot ang isang function y = |x|.

Kinukuha namin ang graph ng function y = x(Fig. 50, a) at bahagi ng graph na ito kung kailan X< 0 (nakahiga sa ilalim ng axis X) ay simetriko na sinasalamin tungkol sa axis X. Bilang resulta, nakukuha namin ang graph ng function y = |x|(Larawan 50, b).

Halimbawa 3. I-plot ang isang function y = |x 2 - 2x|.

Una naming i-plot ang function y = x 2 - 2x. Ang graph ng function na ito ay isang parabola, ang mga sanga nito ay nakadirekta paitaas, ang tuktok ng parabola ay may mga coordinate (1; -1), ang graph nito ay nag-intersect sa abscissa axis sa mga puntos na 0 at 2. Sa pagitan (0; 2). ) ang function ay tumatagal ng mga negatibong halaga, samakatuwid ang bahaging ito ng graph ay sumasalamin sa simetriko tungkol sa x-axis. Ipinapakita ng Figure 51 ang isang graph ng function y \u003d |x 2 -2x |, batay sa graph ng function y = x 2 - 2x

Graph ng function na y = f(x) + g(x)

Isaalang-alang ang problema ng pag-plot ng function y = f(x) + g(x). kung ang mga graph ng mga function ay ibinigay y = f(x) At y = g(x).

Tandaan na ang domain ng function na y = |f(x) + g(x)| ay ang hanay ng lahat ng mga halaga ng x kung saan ang parehong mga function na y = f(x) at y = g(x) ay tinukoy, ibig sabihin, ang domain na ito ng kahulugan ay ang intersection ng mga domain ng kahulugan, ang mga function na f(x ) at g(x).

Hayaan ang mga puntos (x 0, y 1) At (x 0, y 2) ayon sa pagkakabanggit ay kabilang sa mga function graph y = f(x) At y = g(x), ibig sabihin, y 1 \u003d f (x 0), y 2 \u003d g (x 0). Pagkatapos ang punto (x0;. y1 + y2) ay kabilang sa graph ng function y = f(x) + g(x)(para sa f(x 0) + g(x 0) = y 1+y2),. at anumang punto ng graph ng function y = f(x) + g(x) maaaring makuha sa ganitong paraan. Samakatuwid, ang graph ng function y = f(x) + g(x) maaaring makuha mula sa mga function graph y = f(x). At y = g(x) sa pamamagitan ng pagpapalit ng bawat punto ( x n, y 1) function graphics y = f(x) tuldok (x n, y 1 + y 2), saan y 2 = g(x n), ibig sabihin, sa pamamagitan ng paglilipat ng bawat punto ( x n, y 1) function graph y = f(x) kasama ang axis sa sa dami y 1 \u003d g (x n). Sa kasong ito, ang mga naturang punto lamang ang isinasaalang-alang. X n kung saan ang parehong mga function ay tinukoy y = f(x) At y = g(x).

Ang pamamaraang ito ng pag-plot ng function graph y = f(x) + g(x) ay tinatawag na pagdaragdag ng mga graph ng mga function y = f(x) At y = g(x)

Halimbawa 4. Sa figure, sa pamamagitan ng paraan ng pagdaragdag ng mga graph, ang isang graph ng function ay binuo
y = x + sinx.

Kapag nagpaplano ng isang function y = x + sinx inakala namin yun f(x) = x, A g(x) = sinx. Upang bumuo ng isang function graph, pumili kami ng mga puntos na may abscissas -1.5π, -, -0.5, 0, 0.5,, 1.5, 2. Values f(x) = x, g(x) = sinx, y = x + sinx kakalkulahin namin ang mga napiling punto at ilagay ang mga resulta sa talahanayan.

Bumuo ng isang function

Dinadala namin sa iyong atensyon ang isang serbisyo para sa pag-plot ng mga function graph online, ang lahat ng karapatan ay pagmamay-ari ng kumpanya Desmos. Gamitin ang kaliwang column upang magpasok ng mga function. Maaari kang magpasok nang manu-mano o gamit ang virtual na keyboard sa ibaba ng window. Upang palakihin ang window ng chart, maaari mong itago ang parehong kaliwang column at ang virtual na keyboard.

Mga benepisyo ng online charting

Visual na pagpapakita ng mga ipinakilalang function
Pagbuo ng napakakumplikadong mga graph
Pag-plot ng mga implicitly na tinukoy na graph (hal. ellipse x^2/9+y^2/16=1)
Ang kakayahang mag-save ng mga chart at makakuha ng link sa kanila, na magiging available sa lahat sa Internet
Kontrol ng sukat, kulay ng linya
Ang kakayahang mag-plot ng mga graph ayon sa mga puntos, ang paggamit ng mga constants
Pagbuo ng ilang mga graph ng mga function sa parehong oras
Pag-plot sa mga polar coordinates (gamitin ang r at θ(\theta))

Sa amin ay madaling bumuo ng mga graph ng iba't ibang kumplikado online. Ang pagtatayo ay tapos na kaagad. Ang serbisyo ay hinihiling para sa paghahanap ng mga intersection point ng mga function, para sa pagpapakita ng mga graph para sa kanilang karagdagang paglipat sa isang dokumento ng Word bilang mga ilustrasyon para sa paglutas ng mga problema, para sa pagsusuri ng mga katangian ng pag-uugali ng mga function graph. Ang pinakamahusay na browser para sa pagtatrabaho sa mga chart sa pahinang ito ng site ay ang Google Chrome. Kapag gumagamit ng iba pang mga browser, ang tamang operasyon ay hindi ginagarantiyahan.

Isa sa pinakatanyag na exponential function sa matematika ay ang exponent. Ito ay ang numero ng Euler na itinaas sa tinukoy na kapangyarihan. Sa Excel, mayroong isang hiwalay na operator na nagpapahintulot sa iyo na kalkulahin ito. Tingnan natin kung paano ito magagamit sa pagsasanay.

Ang exponent ay ang Euler number na itinaas sa isang ibinigay na kapangyarihan. Ang Euler number mismo ay humigit-kumulang 2.718281828. Minsan tinatawag din itong numero ng Napier. Ang exponent function ay ganito ang hitsura:

kung saan ang e ay ang Euler number at n ang exponent.

Upang kalkulahin ang tagapagpahiwatig na ito sa Excel, ginagamit ang isang hiwalay na operator - EXP. Bilang karagdagan, ang function na ito ay maaaring ipakita bilang isang graph. Pag-uusapan pa natin ang tungkol sa pagtatrabaho sa mga tool na ito.

Paraan 1: pagkalkula ng exponent sa pamamagitan ng manu-manong pagpasok ng isang function

EXP(numero)

Ibig sabihin, ang formula na ito ay naglalaman lamang ng isang argumento. Kinakatawan lamang nito ang antas kung saan kailangan mong itaas ang numero ng Euler. Ang argument na ito ay maaaring nasa anyo ng isang numerong halaga o kumuha ng anyo ng isang reference sa isang cell na naglalaman ng isang tagapagpahiwatig ng degree.

Paraan 2: Gamit ang Function Wizard

Bagama't ang syntax para sa pagkalkula ng exponent ay napakasimple, mas gustong gamitin ng ilang user Function Wizard. Tingnan natin kung paano ito ginagawa gamit ang isang halimbawa.

Kung ang isang reference sa isang cell na naglalaman ng exponent ay ginagamit bilang argumento, kailangan mong ilagay ang cursor sa field "Numero" at piliin lamang ang cell na iyon sa sheet. Ang mga coordinate nito ay agad na ipapakita sa field. Pagkatapos nito, upang kalkulahin ang resulta, mag-click sa pindutan OK.

Paraan 3: pag-plot ng graph

Bilang karagdagan, sa Excel mayroong isang pagkakataon na bumuo ng isang graph batay sa mga resulta na nakuha bilang isang resulta ng pagkalkula ng exponent. Upang makabuo ng isang graph sa sheet, dapat mayroon nang kinakalkula na mga halaga ng exponent ng iba't ibang degree. Maaari mong kalkulahin ang mga ito gamit ang isa sa mga pamamaraan na inilarawan sa itaas.

Ang haba ng segment sa coordinate axis ay makikita ng formula:

Ang haba ng segment sa coordinate plane ay hinahanap ng formula:

Upang mahanap ang haba ng isang segment sa isang three-dimensional na coordinate system, ginagamit ang sumusunod na formula:

Ang mga coordinate ng gitna ng segment (para sa coordinate axis ay ang unang formula lang ang ginagamit, para sa coordinate plane - ang unang dalawang formula, para sa three-dimensional na coordinate system - lahat ng tatlong formula) ay kinakalkula ng mga formula:

Function ay isang sulat ng form y= f(x) sa pagitan ng mga variable, dahil sa kung saan ang bawat isa ay itinuturing na halaga ng ilang variable x(argument o independent variable) ay tumutugma sa isang tiyak na halaga ng isa pang variable, y(dependent variable, minsan ang value na ito ay tinatawag na value ng function). Tandaan na ipinapalagay ng function na ang isang halaga ng argumento X maaari lamang magkaroon ng isang halaga ng dependent variable sa. Gayunpaman, ang parehong halaga sa maaaring makuha sa iba't-ibang X.

Saklaw ng pag-andar ay lahat ng mga halaga ng independiyenteng variable (function argument, kadalasan X) kung saan tinukoy ang function, i.e. umiiral ang kahulugan nito. Ang domain ng kahulugan ay ipinahiwatig D(y). Sa pangkalahatan, pamilyar ka na sa konseptong ito. Ang saklaw ng isang function ay tinatawag na domain ng mga wastong halaga, o ODZ, na matagal mo nang nahanap.

Saklaw ng pag-andar ay lahat ng posibleng halaga ng dependent variable ng function na ito. Tinutukoy E(sa).

Tumataas ang function sa pagitan kung saan ang mas malaking halaga ng argument ay tumutugma sa mas malaking halaga ng function. Pagbaba ng Function sa pagitan kung saan ang mas malaking halaga ng argument ay tumutugma sa mas maliit na halaga ng function.

Mga agwat ng pag-andar ay ang mga pagitan ng independiyenteng baryabol kung saan ang umaasa na baryabol ay nagpapanatili ng positibo o negatibong tanda nito.

Mga function na zero ay ang mga halaga ng argumento kung saan ang halaga ng function ay katumbas ng zero. Sa mga puntong ito, ang graph ng function ay nag-intersect sa abscissa axis (OX axis). Kadalasan, ang pangangailangan upang mahanap ang mga zero ng isang function ay nangangahulugan lamang ng paglutas ng equation. Gayundin, madalas na ang pangangailangan na makahanap ng mga pagitan ng pare-parehong pag-sign ay nangangahulugan ng pangangailangan na lutasin lamang ang hindi pagkakapantay-pantay.

Function y = f(x) ay tinatawag kahit X

Nangangahulugan ito na para sa anumang kabaligtaran na mga halaga ng argumento, ang mga halaga ng even function ay pantay. Ang graph ng isang even na function ay palaging simetriko tungkol sa y-axis ng op-amp.

Function y = f(x) ay tinatawag kakaiba, kung ito ay tinukoy sa isang simetriko set at para sa alinman X mula sa domain ng kahulugan ang pagkakapantay-pantay ay natupad:

Nangangahulugan ito na para sa anumang kabaligtaran na mga halaga ng argumento, ang mga halaga ng kakaibang pag-andar ay kabaligtaran din. Ang graph ng isang kakaibang function ay palaging simetriko tungkol sa pinagmulan.

Ang kabuuan ng mga ugat ng pantay at kakaibang mga function (mga punto ng intersection ng abscissa axis OX) ay palaging katumbas ng zero, dahil para sa bawat positibong ugat X may negatibong ugat X.

Mahalagang tandaan na ang ilang function ay hindi kailangang maging pantay o kakaiba. Mayroong maraming mga pag-andar na hindi kahit na o kakaiba. Ang ganitong mga pag-andar ay tinatawag pangkalahatang pag-andar, at wala sa mga pagkakapantay-pantay o pag-aari sa itaas ang may hawak para sa kanila.

Linear function ay tinatawag na function na maaaring ibigay ng formula:

Ang graph ng isang linear function ay isang tuwid na linya at sa pangkalahatang kaso ay ganito ang hitsura (isang halimbawa ay ibinigay para sa kaso kapag k> 0, sa kasong ito ang pag-andar ay tumataas; para sa kaso k < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):

Graph ng Quadratic Function (Parabola)

Ang graph ng isang parabola ay ibinibigay ng isang quadratic function:

Ang isang quadratic function, tulad ng anumang iba pang function, ay nag-intersect sa OX axis sa mga puntong pinagmulan nito: ( x 1 ; 0) at ( x 2; 0). Kung walang mga ugat, kung gayon ang quadratic function ay hindi bumalandra sa OX axis, kung mayroong isang ugat, pagkatapos ay sa puntong ito ( x 0; 0) ang quadratic function ay hinahawakan lamang ang OX axis, ngunit hindi ito nakikialam. Ang isang quadratic function ay palaging nagsa-intersect sa OY axis sa isang punto na may mga coordinate: (0; c). Ang graph ng isang quadratic function (parabola) ay maaaring magmukhang ganito (ang figure ay nagpapakita ng mga halimbawa na malayo sa pag-ubos ng lahat ng posibleng uri ng parabola):

kung saan:

kung ang coefficient a> 0, sa function y = palakol 2 + bx + c, pagkatapos ay ang mga sanga ng parabola ay nakadirekta paitaas;
kung a < 0, то ветви параболы направлены вниз.

Maaaring kalkulahin ang mga coordinate ng parabola vertex gamit ang mga sumusunod na formula. X nangunguna (p- sa mga figure sa itaas) ng isang parabola (o ang punto kung saan naabot ng square trinomial ang maximum o minimum na halaga nito):

Y tuktok (q- sa mga figure sa itaas) ng isang parabola o ang maximum kung ang mga sanga ng parabola ay nakadirekta pababa ( a < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (a> 0), ang halaga ng square trinomial:

Mga graph ng iba pang mga function

function ng kapangyarihan

Narito ang ilang halimbawa ng mga graph ng mga power function:

Inversely proportional dependence tawagan ang function na ibinigay ng formula:

Depende sa sign ng numero k Ang isang inversely proportional graph ay maaaring magkaroon ng dalawang pangunahing opsyon:

Asymptote ay ang linya kung saan ang linya ng graph ng function ay lumalapit nang walang katapusan na malapit, ngunit hindi nagsalubong. Ang mga asymptotes para sa mga inverse proportionality graph na ipinapakita sa figure sa itaas ay ang mga coordinate axes, kung saan ang graph ng function ay lumalapit nang walang katapusan na malapit, ngunit hindi nagsalubong sa kanila.

exponential function may base A tawagan ang function na ibinigay ng formula:

a ang graph ng isang exponential function ay maaaring magkaroon ng dalawang pangunahing opsyon (magbibigay din kami ng mga halimbawa, tingnan sa ibaba):

logarithmic function tawagan ang function na ibinigay ng formula:

Depende sa kung ang bilang ay mas malaki o mas mababa sa isa a Ang graph ng isang logarithmic function ay maaaring magkaroon ng dalawang pangunahing opsyon:

Function Graph y = |x| tulad ng sumusunod:

Mga graph ng periodic (trigonometric) function

Function sa = f(x) ay tinatawag na periodical, kung mayroong ganoong di-zero na numero T, Ano f(x + T) = f(x), para sa sinuman X wala sa saklaw ng pag-andar f(x). Kung ang function f(x) ay panaka-nakang may tuldok T, pagkatapos ay ang function:

saan: A, k, b ay pare-pareho ang mga numero, at k hindi katumbas ng zero, periodic din na may period T 1 , na tinutukoy ng formula:

Karamihan sa mga halimbawa ng periodic functions ay trigonometric functions. Narito ang mga graph ng mga pangunahing trigonometric function. Ang sumusunod na figure ay nagpapakita ng bahagi ng graph ng function y= kasalanan x(ang buong graph ay nagpapatuloy nang walang katiyakan sa kaliwa at kanan), ang graph ng function y= kasalanan x tinawag sinusoid:

Function Graph y= cos x tinawag alon ng cosine. Ang graph na ito ay ipinapakita sa sumusunod na figure. Dahil ang graph ng sine, nagpapatuloy ito nang walang katiyakan kasama ang axis ng OX sa kaliwa at sa kanan:

Function Graph y=tg x tinawag tangentoid. Ang graph na ito ay ipinapakita sa sumusunod na figure. Tulad ng mga graph ng iba pang mga periodic function, ang graph na ito ay umuulit nang walang katiyakan kasama ang OX axis sa kaliwa at sa kanan.

At sa wakas, ang graph ng function y=ctg x tinawag cotangentoid. Ang graph na ito ay ipinapakita sa sumusunod na figure. Tulad ng mga graph ng iba pang periodic at trigonometriko function, ang graph na ito ay umuulit nang walang katiyakan kasama ang OX axis sa kaliwa at sa kanan.

Bumalik
Pasulong

Paano matagumpay na maghanda para sa CT sa Physics at Mathematics?

Upang matagumpay na makapaghanda para sa CT sa Physics at Mathematics, bukod sa iba pang mga bagay, tatlong kritikal na kondisyon ang dapat matugunan:

Pag-aralan ang lahat ng mga paksa at kumpletuhin ang lahat ng mga pagsusulit at gawain na ibinigay sa mga materyales sa pag-aaral sa site na ito. Upang gawin ito, wala kang kailangan, lalo na: maglaan ng tatlo hanggang apat na oras araw-araw sa paghahanda para sa CT sa pisika at matematika, pag-aaral ng teorya at paglutas ng mga problema. Ang katotohanan ay ang CT ay isang pagsusulit, kung saan hindi sapat na malaman lamang ang pisika o matematika, kailangan mo ring mabilis at walang kabiguan na malutas ang isang malaking bilang ng mga problema sa iba't ibang mga paksa at iba't ibang kumplikado. Ang huli ay matututuhan lamang sa pamamagitan ng paglutas ng libu-libong problema.
Alamin ang lahat ng mga formula at batas sa pisika, at mga formula at pamamaraan sa matematika. Sa katunayan, napaka-simple din nitong gawin, mayroon lamang mga 200 kinakailangang mga formula sa pisika, at kahit na mas kaunti sa matematika. Sa bawat isa sa mga paksang ito ay may humigit-kumulang isang dosenang mga karaniwang pamamaraan para sa paglutas ng mga problema ng isang pangunahing antas ng pagiging kumplikado, na maaari ding matutunan, at sa gayon, ganap na awtomatiko at walang kahirapan, lutasin ang karamihan sa digital na pagbabago sa tamang oras. Pagkatapos nito, kailangan mo lamang isipin ang mga pinakamahirap na gawain.
Dumalo sa lahat ng tatlong yugto ng rehearsal testing sa physics at mathematics. Ang bawat RT ay maaaring bisitahin ng dalawang beses upang malutas ang parehong mga pagpipilian. Muli, sa CT, bilang karagdagan sa kakayahang mabilis at mahusay na malutas ang mga problema, at ang kaalaman sa mga pormula at pamamaraan, kinakailangan din na maayos na makapagplano ng oras, mamahagi ng mga puwersa, at higit sa lahat ay punan nang tama ang form ng sagot. , nang hindi nalilito ang alinman sa mga bilang ng mga sagot at gawain, o ang iyong sariling pangalan. Gayundin, sa panahon ng RT, mahalagang masanay sa istilo ng pagtatanong sa mga gawain, na maaaring mukhang hindi karaniwan sa isang hindi handa na tao sa DT.

Ang matagumpay, masigasig at responsableng katuparan ng tatlong puntong ito, pati na rin ang responsableng pag-aaral ng mga huling pagsusulit sa pagsasanay, ay magbibigay-daan sa iyo na magpakita ng isang mahusay na resulta sa CT, ang maximum ng kung ano ang kaya mo.

May nakitang error?

Kung ikaw, tulad ng sa tingin mo, ay nakakita ng isang error sa mga materyales sa pagsasanay, pagkatapos ay mangyaring sumulat tungkol dito sa pamamagitan ng e-mail (). Sa liham, ipahiwatig ang paksa (pisika o matematika), ang pangalan o numero ng paksa o pagsusulit, ang bilang ng gawain, o ang lugar sa teksto (pahina) kung saan, sa iyong palagay, mayroong pagkakamali. Ilarawan din kung ano ang sinasabing error. Ang iyong liham ay hindi mapapansin, ang pagkakamali ay itatama, o ipapaliwanag sa iyo kung bakit ito ay hindi isang pagkakamali.

Una, subukang hanapin ang saklaw ng pag-andar:

Inayos mo ba? Ihambing natin ang mga sagot:

Lahat tama? Magaling!

Ngayon subukan nating hanapin ang hanay ng function:

Natagpuan? Ihambing:

Pumayag ba ito? Magaling!

Gawin nating muli ang mga graph, ngayon lang ay medyo mas mahirap - upang mahanap ang parehong domain ng function at ang saklaw ng function.

Paano Hanapin ang Parehong Domain at Saklaw ng isang Function (Advanced)

Narito ang nangyari:

Sa mga graphics, sa tingin ko naisip mo ito. Ngayon subukan nating hanapin ang domain ng function alinsunod sa mga formula (kung hindi mo alam kung paano gawin ito, basahin ang seksyon tungkol sa):

Inayos mo ba? Sinusuri mga sagot:

, dahil ang root expression ay dapat na mas malaki sa o katumbas ng zero.
, dahil imposibleng hatiin sa zero at ang radikal na expression ay hindi maaaring negatibo.
, dahil, ayon sa pagkakabanggit, para sa lahat.
dahil hindi mo ma-divide sa zero.

Gayunpaman, mayroon pa tayong isa pang sandali na hindi pa naayos ...

Hayaan akong ulitin ang kahulugan at tumuon dito:

Napansin? Ang salitang "lamang" ay isang napaka, napakahalagang elemento ng aming kahulugan. Susubukan kong ipaliwanag sa iyo sa mga daliri.

Sabihin nating mayroon tayong function na ibinigay ng isang tuwid na linya. . Kailan, pinapalitan namin ang halagang ito sa aming "panuntunan" at makuha iyon. Ang isang halaga ay tumutugma sa isang halaga. Maaari din tayong gumawa ng isang talahanayan ng iba't ibang mga halaga at mag-plot ng isang naibigay na function upang i-verify ito.

"Tingnan mo! - sabi mo, - "" nagkikita ng dalawang beses!" Kaya marahil ang parabola ay hindi isang function? Hindi, ito ay!

Ang katotohanan na ang "" ay nangyari nang dalawang beses ay malayo sa isang dahilan upang akusahan ang parabola ng kalabuan!

Ang katotohanan ay, kapag nagkalkula para sa, nakakuha kami ng isang laro. At kapag nagkalkula gamit, nakakuha kami ng isang laro. Kaya tama, ang parabola ay isang function. Tingnan ang tsart:

Nakuha ko? Kung hindi, narito ang isang totoong buhay na halimbawa para sa iyo, malayo sa matematika!

Sabihin nating mayroon kaming grupo ng mga aplikante na nagkita noong nagsusumite ng mga dokumento, na ang bawat isa ay nagsabi sa isang pag-uusap kung saan siya nakatira:

Sumang-ayon, medyo makatotohanan na maraming mga lalaki ang nakatira sa parehong lungsod, ngunit imposible para sa isang tao na manirahan sa ilang mga lungsod sa parehong oras. Ito ay, kumbaga, isang lohikal na representasyon ng ating "parabola" - Maraming magkakaibang x ang tumutugma sa parehong y.

Ngayon ay gumawa tayo ng isang halimbawa kung saan ang dependency ay hindi isang function. Sabihin nating sinabi ng mga lalaking ito kung anong mga specialty ang kanilang inaplayan:

Narito mayroon kaming ganap na naiibang sitwasyon: ang isang tao ay madaling mag-aplay para sa isa o ilang mga direksyon. Yan ay isang elemento ang mga set ay inilalagay sa sulat maraming elemento set. Kaugnay nito, hindi ito isang function.

Subukan natin ang iyong kaalaman sa pagsasanay.

Tukuyin mula sa mga larawan kung ano ang isang function at kung ano ang hindi:

Nakuha ko? At narito mga sagot:

Ang function ay - B, E.
Hindi isang function - A, B, D, D.

Tinatanong mo kung bakit? Oo, narito kung bakit:

Sa lahat ng figure maliban sa SA) At E) mayroong ilang para sa isa!

Sigurado ako na ngayon ay madali mong makilala ang isang function mula sa isang non-function, sabihin kung ano ang isang argumento at kung ano ang isang dependent variable, at matukoy din ang saklaw ng argumento at ang saklaw ng function. Lumipat tayo sa susunod na seksyon - paano tukuyin ang isang function?

Mga paraan upang magtakda ng isang function

Ano sa palagay mo ang ibig sabihin ng mga salita "itakda ang function"? Iyan ay tama, nangangahulugan ito ng pagpapaliwanag sa lahat kung anong function ang pinag-uusapan natin sa kasong ito. Bukod dito, ipaliwanag sa paraang naiintindihan ka ng lahat nang tama at ang mga graph ng mga function na iginuhit ng mga tao ayon sa iyong paliwanag ay pareho.

Paano ko magagawa iyon? Paano magtakda ng isang function? Ang pinakamadaling paraan, na ginamit nang higit sa isang beses sa artikulong ito - gamit ang isang formula. Sumulat kami ng isang formula, at sa pamamagitan ng pagpapalit ng isang halaga dito, kinakalkula namin ang halaga. At gaya ng naaalala mo, ang isang pormula ay isang batas, isang tuntunin kung saan nagiging malinaw sa atin at sa ibang tao kung paano nagiging Y ang isang X.

Karaniwan, ito mismo ang ginagawa nila - sa mga gawain nakikita natin ang mga yari na function na tinukoy ng mga formula, gayunpaman, may iba pang mga paraan upang magtakda ng isang function na nakalimutan ng lahat, at samakatuwid ang tanong na "paano ka pa makakapagtakda ng isang function?" nakakalito. Tingnan natin ang lahat sa pagkakasunud-sunod, at magsimula sa analytical na pamamaraan.

Analytical na paraan ng pagtukoy ng isang function

Ang analytical method ay ang gawain ng isang function gamit ang isang formula. Ito ang pinaka-unibersal at komprehensibo at hindi malabo na paraan. Kung mayroon kang isang formula, alam mo na ang lahat tungkol sa function - maaari kang gumawa ng isang talahanayan ng mga halaga dito, maaari kang bumuo ng isang graph, matukoy kung saan tumataas ang function at kung saan ito bumababa, sa pangkalahatan, galugarin ito. nang buo.

Isaalang-alang natin ang isang function. Ano ang mahalaga?

"Ano ang ibig sabihin nito?" - tanong mo. magpapaliwanag ako ngayon.

Ipaalala ko sa iyo na sa notasyon, ang expression sa mga bracket ay tinatawag na argumento. At ang argumentong ito ay maaaring maging anumang pagpapahayag, hindi kinakailangang simple. Alinsunod dito, anuman ang argumento (expression sa mga bracket), isusulat namin ito sa halip sa expression.

Sa aming halimbawa, magiging ganito ang hitsura:

Isaalang-alang ang isa pang gawain na nauugnay sa analytical na paraan ng pagtukoy ng isang function na mayroon ka sa pagsusulit.

Hanapin ang halaga ng expression, sa.

Sigurado ako na noong una, natakot ka kapag nakakita ka ng ganoong ekspresyon, ngunit talagang walang nakakatakot dito!

Ang lahat ay pareho sa nakaraang halimbawa: anuman ang argumento (expression sa mga bracket), isusulat namin ito sa halip sa expression. Halimbawa, para sa isang function.

Ano ang dapat gawin sa ating halimbawa? Sa halip, kailangan mong magsulat, at sa halip na -:

paikliin ang resultang expression:

Iyon lang!

Pansariling gawain

Ngayon subukang hanapin ang kahulugan ng mga sumusunod na expression sa iyong sarili:

, Kung
, Kung

Inayos mo ba? Ihambing natin ang ating mga sagot: Nasanay tayo sa katotohanan na ang function ay may anyo

Kahit na sa aming mga halimbawa, tinukoy namin ang function sa paraang ito, ngunit sa analytically posible na tukuyin ang function nang walang laman, halimbawa.

Subukang buuin ang function na ito sa iyong sarili.

Inayos mo ba?

Narito kung paano ko ito binuo.

Anong equation ang natapos natin?

Tama! Linear, na nangangahulugan na ang graph ay magiging isang tuwid na linya. Gumawa tayo ng talahanayan upang matukoy kung aling mga punto ang kabilang sa ating linya:

Iyon lang ang pinag-uusapan natin ... Ang isa ay katumbas ng ilan.

Subukan nating iguhit ang nangyari:

May function ba ang nakuha natin?

Tama, hindi! Bakit? Subukang sagutin ang tanong na ito gamit ang isang larawan. Ano ang nakuha mo?

"Dahil ang isang halaga ay tumutugma sa ilang mga halaga!"

Anong konklusyon ang maaari nating makuha mula dito?

Iyan ay tama, ang isang function ay hindi palaging maaaring ipahayag nang tahasan, at kung ano ang "disguised" bilang isang function ay hindi palaging isang function!

Tabular na paraan ng pagtukoy ng isang function

Gaya ng ipinahihiwatig ng pangalan, ang pamamaraang ito ay isang simpleng plato. Oo Oo. Tulad ng ginawa na natin. Halimbawa:

Dito mo agad napansin ang isang pattern - ang Y ay tatlong beses na mas malaki kaysa sa X. At ngayon ang gawaing "mag-isip nang mabuti": sa palagay mo ba ang isang function na ibinigay sa anyo ng isang talahanayan ay katumbas ng isang function?

Huwag na tayong mag-usap ng matagal, pero magdrawing tayo!

Kaya. Gumuhit kami ng isang function na ibinigay sa parehong paraan:

Nakikita mo ba ang pagkakaiba? Hindi ito tungkol sa mga markadong puntos! Tingnang mabuti:

Nakita mo na ba ito ngayon? Kapag itinakda namin ang function sa isang tabular na paraan, sinasalamin namin sa graph ang mga punto lamang na mayroon kami sa talahanayan at ang linya (tulad ng sa aming kaso) ay dumadaan lamang sa kanila. Kapag tinukoy namin ang isang function sa isang analytical na paraan, maaari kaming kumuha ng anumang mga punto, at ang aming function ay hindi limitado sa kanila. Narito ang gayong tampok. Tandaan!

Graphical na paraan upang bumuo ng isang function

Ang graphical na paraan ng pagbuo ng isang function ay hindi gaanong maginhawa. Iginuhit namin ang aming function, at mahahanap ng isa pang interesadong tao kung ano ang katumbas ng y sa isang tiyak na x, at iba pa. Ang mga graphical at analytical na pamamaraan ay kabilang sa mga pinakakaraniwan.

Gayunpaman, dito kailangan mong tandaan kung ano ang napag-usapan natin sa pinakadulo simula - hindi lahat ng "squiggle" na iginuhit sa coordinate system ay isang function! Naalala? Kung sakali, kokopyahin ko dito ang kahulugan ng kung ano ang isang function:

Bilang isang patakaran, karaniwang pinangalanan ng mga tao ang tatlong paraan ng pagtukoy ng isang function na nasuri namin - analytical (gamit ang isang formula), tabular at graphic, ganap na nakakalimutan na ang isang function ay maaaring ilarawan sa salita. Ganito? Oo, napakadali!

Verbal na paglalarawan ng function

Paano ilarawan ang function sa salita? Kunin natin ang ating kamakailang halimbawa - . Ang function na ito ay maaaring ilarawan bilang "bawat tunay na halaga ng x ay tumutugma sa triple na halaga nito." Iyon lang. Walang kumplikado. Siyempre, tututol ka - "mayroong mga kumplikadong pag-andar na imposibleng itakda nang pasalita!" Oo, may ilan, ngunit may mga function na mas madaling ilarawan sa salita kaysa itakda gamit ang isang formula. Halimbawa: "ang bawat natural na halaga ng x ay tumutugma sa pagkakaiba sa pagitan ng mga digit kung saan ito binubuo, habang ang pinakamalaking digit na nilalaman sa entry ng numero ay kinuha bilang minuend." Ngayon isaalang-alang kung paano ipinatupad ang aming pandiwang paglalarawan ng function sa pagsasanay:

Ang pinakamalaking digit sa isang naibigay na numero -, ayon sa pagkakabanggit, - ay nabawasan, pagkatapos ay:

Mga pangunahing uri ng pag-andar

Ngayon ay lumipat tayo sa pinaka-kawili-wili - isasaalang-alang namin ang mga pangunahing uri ng mga pag-andar kung saan ka nagtrabaho / nagtrabaho at gagana sa kurso ng paaralan at institute ng matematika, iyon ay, makikilala natin sila, wika nga, at bigyan sila ng maikling paglalarawan. Magbasa nang higit pa tungkol sa bawat function sa kaukulang seksyon.

Linear function

Isang function ng form, kung saan, ay mga tunay na numero.

Ang graph ng function na ito ay isang tuwid na linya, kaya ang pagbuo ng isang linear function ay nabawasan sa paghahanap ng mga coordinate ng dalawang puntos.

Ang posisyon ng tuwid na linya sa coordinate plane ay depende sa slope.

Saklaw ng pag-andar (aka hanay ng argumento) - .

Ang hanay ng mga halaga ay .

quadratic function

Function ng form, kung saan

Ang graph ng function ay isang parabola, kapag ang mga sanga ng parabola ay nakadirekta pababa, kapag - pataas.

Maraming katangian ng isang quadratic function ang nakadepende sa halaga ng discriminant. Ang discriminant ay kinakalkula ng formula

Ang posisyon ng parabola sa coordinate plane na nauugnay sa halaga at koepisyent ay ipinapakita sa figure:

Domain

Ang saklaw ng mga halaga ay nakasalalay sa sukdulan ng ibinigay na function (ang vertex ng parabola) at ang koepisyent (ang direksyon ng mga sanga ng parabola)

Inverse proportionality

Ang function na ibinigay ng formula, kung saan

Ang numero ay tinatawag na inverse proportionality factor. Depende sa kung anong halaga, ang mga sanga ng hyperbola ay nasa iba't ibang mga parisukat:

Domain - .