Ang normal na pamamahagi ay ang pinakakaraniwang uri ng pamamahagi. Ito ay nakatagpo sa pagsusuri ng mga error sa pagsukat, ang kontrol ng mga teknolohikal na proseso at rehimen, gayundin sa pagsusuri at paghula ng iba't ibang phenomena sa biology, medisina at iba pang larangan ng kaalaman.

Ang terminong "normal na distribusyon" ay ginagamit sa isang kondisyon na kahulugan bilang pangkalahatang tinatanggap sa panitikan, bagaman hindi ganap na matagumpay. Kaya, ang paggigiit na ang isang partikular na katangian ay sumusunod sa normal na batas sa pamamahagi ay hindi nangangahulugang pagkakaroon ng anumang hindi matitinag na mga pamantayan na diumano'y pinagbabatayan ng kababalaghan, ang pagmuni-muni nito ay ang katangiang pinag-uusapan, at ang pagsusumite sa iba pang mga batas sa pamamahagi ay hindi nangangahulugang ilang uri ng abnormalidad ng hindi pangkaraniwang bagay na ito.

Ang pangunahing tampok ng normal na pamamahagi ay ang limitasyon kung saan lumalapit ang iba pang mga pamamahagi. Ang normal na distribusyon ay unang natuklasan ni Moivre noong 1733. Ang mga tuluy-tuloy na random na variable lamang ang sumusunod sa normal na batas. Ang density ng normal na batas sa pamamahagi ay may anyo.

Ang inaasahan sa matematika para sa normal na batas sa pamamahagi ay . Ang pagpapakalat ay .

Mga pangunahing katangian ng normal na pamamahagi.

1. Ang distribution density function ay tinukoy sa buong real axis Oh , ibig sabihin, bawat halaga X tumutugma sa isang mahusay na tinukoy na halaga ng function.

2. Para sa lahat ng halaga X (parehong positibo at negatibo) ang density function ay tumatagal ng mga positibong halaga, iyon ay, ang normal na curve ay matatagpuan sa itaas ng axis Oh .

3. Limitasyon ng function ng density na may walang limitasyong pagtaas X katumbas ng zero, .

4. Ang density function ng normal na distribution sa punto ay may maximum.

5. Ang graph ng density function ay simetriko tungkol sa isang tuwid na linya.

6. Ang distribution curve ay may dalawang inflection point na may mga coordinate at .

7. Ang mode at median ng normal na distribusyon ay tumutugma sa inaasahan sa matematika A .

8. Hindi nagbabago ang hugis ng normal na kurba kapag binago ang parameter A .

9. Ang mga coefficient ng skewness at kurtosis ng normal na distribution ay katumbas ng zero.

Ang kahalagahan ng pagkalkula ng mga coefficient na ito para sa empirical distribution series ay kitang-kita, dahil ang mga ito ay nagpapakilala sa skewness at steepness ng ibinigay na serye kumpara sa normal.

Ang posibilidad ng pagbagsak sa pagitan ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula , kung saan ay isang kakaibang naka-tabulate na function.

Tukuyin natin ang posibilidad na ang isang normal na ibinahagi na random na variable ay lumihis mula sa kanyang inaasahan sa matematika sa pamamagitan ng isang halagang mas mababa sa , iyon ay, makikita natin ang posibilidad ng hindi pagkakapantay-pantay , o ang posibilidad ng dobleng hindi pagkakapantay-pantay . Ang pagpapalit sa formula, nakukuha namin

Pagpapahayag ng paglihis ng isang random na variable X sa mga praksyon ng karaniwang paglihis, iyon ay, ang paglalagay sa huling pagkakapantay-pantay, makukuha natin .

Pagkatapos para sa , makuha namin

kapag nakuha namin,

kapag natanggap namin.

Ito ay sumusunod mula sa huling hindi pagkakapantay-pantay na, sa pagsasagawa, ang pagkakalat ng isang normal na ibinahagi na random na variable ay nasa seksyon . Ang posibilidad na ang isang random na variable ay hindi mahuhulog sa lugar na ito ay napakaliit, ibig sabihin, ito ay katumbas ng 0.0027, iyon ay, ang kaganapang ito ay maaaring mangyari lamang sa tatlong mga kaso sa 1000. Ang mga naturang kaganapan ay maaaring ituring na halos imposible. Batay sa pangangatwiran sa itaas, tatlong sigma na panuntunan, na binubuo ng mga sumusunod: kung ang isang random na variable ay may normal na distribusyon, kung gayon ang paglihis ng halagang ito mula sa inaasahan sa matematika sa ganap na halaga ay hindi lalampas sa tatlong beses sa karaniwang paglihis.

Halimbawa 28 . Ang isang bahagi na ginawa ng isang awtomatikong makina ay itinuturing na angkop kung ang paglihis ng kinokontrol na laki nito mula sa disenyo ay hindi lalampas sa 10 mm. Ang mga random na deviation ng kinokontrol na laki mula sa laki ng disenyo ay napapailalim sa normal na batas sa pamamahagi na may standard deviation mm at mathematical na inaasahan. Ilang porsyento ng magagandang bahagi ang nagagawa ng makina?

Solusyon. Isaalang-alang ang isang random na variable X - paglihis ng laki mula sa disenyo. Ang bahagi ay makikilala bilang akma kung ang random na variable ay kabilang sa pagitan. Ang posibilidad ng paggawa ng isang angkop na bahagi ay matatagpuan sa pamamagitan ng formula. Samakatuwid, ang porsyento ng magagandang bahagi na ginawa ng makina ay 95.44%.

Binomial na pamamahagi

Binomial ay ang probability distribution ng occurrence m bilang ng mga kaganapan sa P mga independiyenteng pagsusulit, sa bawat isa kung saan ang posibilidad ng paglitaw ng isang kaganapan ay pare-pareho at katumbas ng R . Ang posibilidad ng posibleng bilang ng mga paglitaw ng isang kaganapan ay kinakalkula ng Bernoulli formula: ,

saan . Permanente P At R , kasama sa expression na ito, ang mga parameter ng binomial na batas. Inilalarawan ng binomial distribution ang probability distribution ng isang discrete random variable.

Mga pangunahing katangian ng numero ng binomial distribution. Ang inaasahan sa matematika ay . Ang pagpapakalat ay . Ang skewness at kurtosis coefficients ay katumbas ng at . Sa walang limitasyong pagtaas sa bilang ng mga pagsubok A At E ay may posibilidad na zero, samakatuwid, maaari nating ipagpalagay na ang binomial distribution ay nagtatagpo sa normal na may dumaraming bilang ng mga pagsubok.

Halimbawa 29 . Isinasagawa ang mga independiyenteng pagsusulit na may parehong posibilidad ng paglitaw ng kaganapan A sa bawat pagsubok. Hanapin ang posibilidad ng isang kaganapan na naganap A sa isang pagsubok kung ang pagkakaiba sa bilang ng mga pagpapakita sa tatlong pagsubok ay 0.63.

Solusyon. Para sa binomial distribution . Palitan ang mga halaga, nakukuha natin mula dito o pagkatapos at .

Pamamahagi ng Poisson

Batas ng pamamahagi ng mga bihirang phenomena

Inilalarawan ng pamamahagi ng Poisson ang bilang ng mga kaganapan m , na nagaganap sa pantay na mga agwat ng oras, sa kondisyon na ang mga kaganapan ay nangyayari nang hiwalay sa isa't isa na may pare-parehong average na intensity. Kasabay nito, ang bilang ng mga pagsubok P ay malaki, at ang posibilidad ng isang kaganapan na magaganap sa bawat pagsubok R maliit. Samakatuwid, ang Poisson distribution ay tinatawag na law of rare phenomena o ang pinakasimpleng daloy. Ang parameter ng distribusyon ng Poisson ay ang halaga na nagpapakilala sa intensity ng paglitaw ng mga kaganapan sa P mga pagsubok. Formula ng pamamahagi ng Poisson.

Ang pamamahagi ng Poisson ay mahusay na naglalarawan sa bilang ng mga paghahabol para sa pagbabayad ng mga halaga ng seguro bawat taon, ang bilang ng mga tawag na natanggap ng palitan ng telepono sa isang tiyak na oras, ang bilang ng mga pagkabigo ng elemento sa panahon ng pagsubok sa pagiging maaasahan, ang bilang ng mga may sira na produkto, at iba pa. .

Mga pangunahing katangian ng numero para sa pamamahagi ng Poisson. Ang mathematical expectation ay katumbas ng variance at katumbas ng A . Yan ay . Ito ay isang natatanging katangian ng pamamahagi na ito. Ang skewness at kurtosis coefficients ay ayon sa pagkakabanggit ay katumbas ng .

Halimbawa 30 . Ang average na bilang ng mga pagbabayad ng sums insured bawat araw ay dalawa. Hanapin ang posibilidad na sa loob ng limang araw ay kailangan mong magbayad: 1) 6 na halagang nakaseguro; 2) mas mababa sa anim na halaga; 3) hindi bababa sa anim.pamamahagi.

Ang pamamahagi na ito ay madalas na sinusunod kapag pinag-aaralan ang buhay ng serbisyo ng iba't ibang mga aparato, ang oras ng paggana ng mga indibidwal na elemento, mga bahagi ng system at ang sistema sa kabuuan, kapag isinasaalang-alang ang mga random na agwat ng oras sa pagitan ng paglitaw ng dalawang magkakasunod na bihirang mga kaganapan.

Ang density ng exponential distribution ay tinutukoy ng parameter , na tinatawag na rate ng pagkabigo. Ang terminong ito ay nauugnay sa isang tiyak na lugar ng aplikasyon - ang teorya ng pagiging maaasahan.

Ang expression para sa integral function ng exponential distribution ay matatagpuan gamit ang mga katangian ng differential function:

Pag-asa sa matematika ng exponential distribution, variance, standard deviation. Kaya, karaniwan para sa distribusyon na ito na ang karaniwang paglihis ay katumbas ng numero sa inaasahan sa matematika. Para sa anumang halaga ng parameter, ang skewness at kurtosis coefficients ay mga pare-parehong halaga.

Halimbawa 31 . Ang average na oras ng pagpapatakbo ng TV bago ang unang pagkabigo ay 500 oras. Hanapin ang posibilidad na ang isang TV set na pinili nang random ay gagana nang walang mga breakdown nang higit sa 1000 oras.

Solusyon. Dahil ang average na oras sa unang pagkabigo ay 500, kung gayon . Nahanap namin ang nais na posibilidad sa pamamagitan ng formula.

Sa maraming mga problema na nauugnay sa mga normal na ipinamamahagi na random na mga variable, kinakailangan upang matukoy ang posibilidad na ang isang random na variable, na sumusunod sa normal na batas na may mga parameter, ay nahuhulog sa pagitan mula sa . Upang kalkulahin ang posibilidad na ito, ginagamit namin ang pangkalahatang formula

saan ang distribution function ng quantity .

Hanapin natin ang distribution function ng isang random variable na ibinahagi ayon sa normal na batas na may mga parameter . Ang density ng pamamahagi ng halaga ay:

. (6.3.2)

Mula dito makikita natin ang function ng pamamahagi

. (6.3.3)

Gawin natin ang pagbabago ng variable sa integral (6.3.3)

at dalhin ito sa form:

(6.3.4)

Ang integral (6.3.4) ay hindi ipinahayag sa mga tuntunin ng elementarya na mga function, ngunit maaari itong kalkulahin sa mga tuntunin ng isang espesyal na function na nagpapahayag ng isang tiyak na integral ng expression o (ang tinatawag na probability integral), kung saan ang mga talahanayan ay pinagsama-sama. . Mayroong maraming mga uri ng naturang mga pag-andar, halimbawa:

;

atbp. Alin sa mga function na ito ang gagamitin ay isang bagay ng panlasa. Pipili tayo bilang isang function

. (6.3.5)

Madaling makita na ang function na ito ay walang iba kundi ang distribution function para sa isang normal na distributed random variable na may mga parameter.

Sumasang-ayon kaming tawagan ang function na isang normal na distribution function. Ang appendix (Talahanayan 1) ay nagpapakita ng mga talahanayan ng mga halaga ng function.

Ipahayag natin ang distribution function (6.3.3) ng quantity na may mga parameter at sa mga tuntunin ng normal distribution function . Obviously,

. (6.3.6)

Ngayon, hanapin natin ang posibilidad na matamaan ang isang random na variable sa segment mula hanggang . Ayon sa formula (6.3.1)

Kaya, ipinahayag namin ang posibilidad na ang isang random na variable , na ibinahagi ayon sa normal na batas na may anumang mga parameter, ay mahuhulog sa plot sa mga tuntunin ng standard distribution function , na tumutugma sa pinakasimpleng normal na batas na may mga parameter na 0.1. Tandaan na ang mga argumento ng function sa formula (6.3.7) ay may napakasimpleng kahulugan: may distansya mula sa kanang dulo ng seksyon hanggang sa gitna ng dispersion, na ipinahayag sa mga karaniwang paglihis; - ang parehong distansya para sa kaliwang dulo ng seksyon, at ang distansya na ito ay itinuturing na positibo kung ang dulo ay matatagpuan sa kanan ng dispersion center, at negatibo kung sa kaliwa.

Tulad ng anumang function ng pamamahagi, ang function ay may mga sumusunod na katangian:

3. - non-decreasing function.

Bilang karagdagan, mula sa simetrya ng normal na distribusyon na may mga parameter tungkol sa pinagmulan, sinusundan nito iyon

Gamit ang pag-aari na ito, sa katunayan, posible na limitahan ang mga talahanayan ng pag-andar sa mga positibong halaga lamang ng argumento, ngunit upang maiwasan ang isang hindi kinakailangang operasyon (pagbabawas mula sa isa), ang Talahanayan 1 ng apendiks ay nagbibigay ng mga halaga para sa parehong positibo at negatibong mga argumento.

Sa pagsasagawa, ang isang tao ay madalas na nakakaharap ng problema sa pagkalkula ng posibilidad na ang isang normal na ibinahagi na random na variable ay mahuhulog sa isang lugar na simetriko tungkol sa sentro ng dispersion. Isaalang-alang ang naturang seksyon ng haba (Larawan 6.3.1). Kalkulahin natin ang posibilidad na matamaan ang site na ito gamit ang formula (6.3.7):

Isinasaalang-alang ang pag-aari (6.3.8) ng function at pagbibigay sa kaliwang bahagi ng formula (6.3.9) ng isang mas compact na form, kumuha kami ng isang formula para sa posibilidad ng isang random na variable na ibinahagi ayon sa normal na batas na nahuhulog sa isang simetriko na seksyon na may paggalang sa scattering center:

. (6.3.10)

Solusyonan natin ang sumusunod na problema. Itabi natin ang sunud-sunod na mga segment ng haba mula sa scattering center (Fig. 6.3.2) at kalkulahin ang posibilidad na ang isang random na variable ay mahuhulog sa bawat isa sa kanila. Dahil ang kurba ng normal na batas ay simetriko, sapat na upang ipagpaliban ang mga naturang segment sa isang direksyon lamang.

Ayon sa formula (6.3.7) makikita natin:

(6.3.11)

Tulad ng makikita mula sa mga datos na ito, ang mga posibilidad na matamaan ang bawat isa sa mga sumusunod na segment (ikalima, ikaanim, atbp.) na may katumpakan na 0.001 ay katumbas ng zero.

Ang pag-round sa mga probabilidad na maabot ang mga segment sa 0.01 (hanggang 1%), makakakuha tayo ng tatlong numero na madaling matandaan:

0,34; 0,14; 0,02.

Ang kabuuan ng tatlong halagang ito ay 0.5. Nangangahulugan ito na para sa isang normal na ipinamamahagi na random na variable, lahat ng dispersion (hanggang sa mga fraction ng isang porsyento) ay magkasya sa seksyon .

Ito ay nagbibigay-daan, alam ang karaniwang paglihis at ang matematikal na inaasahan ng isang random na variable, na humigit-kumulang na ipahiwatig ang saklaw ng halos posibleng mga halaga nito. Ang pamamaraang ito ng pagtatantya ng saklaw ng mga posibleng halaga ng isang random na variable ay kilala sa mga istatistika ng matematika bilang "panuntunan ng tatlong sigma". Ang panuntunan ng tatlong sigma ay nagpapahiwatig din ng isang tinatayang pamamaraan para sa pagtukoy ng karaniwang paglihis ng isang random na variable: kinukuha nila ang maximum na posibleng paglihis mula sa average at hinahati ito sa tatlo. Siyempre, ang magaspang na paraan na ito ay maaari lamang irekomenda kung walang iba, mas tumpak na mga paraan upang matukoy .

Halimbawa 1. Ang isang random na variable , na ibinahagi ayon sa normal na batas, ay isang error sa pagsukat ng isang tiyak na distansya. Kapag sumusukat, pinapayagan ang isang sistematikong error sa direksyon ng labis na pagtatantya ng 1.2 (m); ang standard deviation ng error sa pagsukat ay 0.8 (m). Hanapin ang posibilidad na ang paglihis ng sinusukat na halaga mula sa tunay na halaga ay hindi lalampas sa 1.6 (m) sa ganap na halaga.

Solusyon. Ang error sa pagsukat ay isang random na variable na sumusunod sa normal na batas na may mga parameter at . Kailangan nating hanapin ang posibilidad na bumaba ang dami na ito sa pagitan mula hanggang . Sa pamamagitan ng formula (6.3.7) mayroon kaming:

Gamit ang mga talahanayan ng pag-andar (Appendix, Talahanayan 1), makikita natin:

; ,

Halimbawa 2. Hanapin ang parehong posibilidad tulad ng sa nakaraang halimbawa, ngunit sa kondisyon na walang sistematikong error.

Solusyon. Sa pamamagitan ng formula (6.3.10), sa pag-aakalang , makikita natin ang:

.

Halimbawa 3. Sa isang target na mukhang isang strip (freeway), ang lapad nito ay 20 m, ang pagbaril ay isinasagawa sa isang direksyon na patayo sa freeway. Ang pagpuntirya ay isinasagawa sa gitnang linya ng highway. Ang standard deviation sa direksyon ng pagpapaputok ay katumbas ng m. Mayroong sistematikong error sa direksyon ng pagpapaputok: ang undershoot ay 3 m. Hanapin ang posibilidad na matamaan ang freeway sa isang shot.

(totoo, mahigpit na positibo)

Normal na pamamahagi, tinatawag din Pamamahagi ng Gaussian o Gauss - Laplace- probability distribution , na sa one-dimensional case ay ibinibigay ng probability density function , na kasabay ng Gaussian function :

f (x) = 1 σ 2 π e − (x − μ) 2 2 σ 2 , (\displaystyle f(x)=(\frac (1)(\sigma (\sqrt (2\pi ))))\ ;e^(-(\frac ((x-\mu)^(2))(2\sigma ^(2)))),)

kung saan ang parameter na μ ay ang mathematical expectation (mean value), median at mode ng distribution, at ang parameter na σ ay ang standard deviation ( σ  ² - variance) ng distribution.

Kaya, ang isang-dimensional na normal na distribusyon ay isang dalawang-parameter na pamilya ng mga pamamahagi. Ang multivariate case ay inilalarawan sa artikulong "Multivariate normal distribution".

karaniwang normal na pamamahagi ay tinatawag na normal na distribusyon na may mean μ = 0 at standard deviation σ = 1 .

Encyclopedic YouTube

• 1 / 5

  Ang kahalagahan ng normal na distribusyon sa maraming larangan ng agham (halimbawa, sa matematikal na istatistika at istatistikal na pisika) ay sumusunod mula sa gitnang teorama ng limitasyon ng teorya ng posibilidad. Kung ang resulta ng isang obserbasyon ay ang kabuuan ng maraming random, mahinang magkakaugnay na mga variable, ang bawat isa ay gumagawa ng isang maliit na kontribusyon na nauugnay sa kabuuang kabuuan, pagkatapos ay habang ang bilang ng mga termino ay tumataas, ang distribusyon ng nakasentro at normal na resulta ay nagiging normal. Ang batas ng teorya ng probabilidad na ito ay may bunga ng malawak na distribusyon ng normal na distribusyon, na isa sa mga dahilan ng pangalan nito.

  Ari-arian

  Mga sandali

  Kung random variables X 1 (\displaystyle X_(1)) At X 2 (\displaystyle X_(2)) ay independyente at may normal na distribusyon na may mga inaasahan sa matematika μ 1 (\displaystyle \mu _(1)) At μ 2 (\displaystyle \mu _(2)) at pagpapakalat σ 1 2 (\displaystyle \sigma _(1)^(2)) At σ 2 2 (\displaystyle \sigma _(2)^(2)) ayon sa pagkakabanggit, kung gayon X 1 + X 2 (\displaystyle X_(1)+X_(2)) mayroon ding normal na distribusyon na may inaasahang halaga μ 1 + μ 2 (\displaystyle \mu _(1)+\mu _(2)) at pagpapakalat σ 1 2 + σ 2 2 . (\displaystyle \sigma _(1)^(2)+\sigma _(2)^(2).) Ito ay nagpapahiwatig na ang isang normal na random na variable ay maaaring katawanin bilang ang kabuuan ng isang arbitrary na bilang ng mga independiyenteng normal na random na mga variable.

  Pinakamataas na entropy

  Ang normal na distribusyon ay may pinakamataas na differential entropy sa lahat ng tuloy-tuloy na distribusyon na ang pagkakaiba ay hindi lalampas sa isang naibigay na halaga.

  Pagmomodelo ng Mga Normal na Pseudo-Random na Variable

  Ang pinakasimpleng tinatayang pamamaraan ng pagmomodelo ay batay sa central limit theorem. Ibig sabihin, kung magdadagdag tayo ng ilang independiyenteng magkaparehong ipinamahagi na dami na may hangganang pagkakaiba , kung gayon ang kabuuan ay ibabahagi humigit-kumulang ayos lang. Halimbawa, kung magdagdag ka ng 100 independiyenteng pamantayan pantay-pantay ibinahagi ang mga random na variable, kung gayon ang distribusyon ng kabuuan ay magiging humigit-kumulang normal.

  Para sa pagbuo ng software ng mga pseudo-random na variable na karaniwang ipinamamahagi, mas mainam na gamitin ang  Box - Muller transformation. Binibigyang-daan ka nitong bumuo ng isang karaniwang ibinabahaging halaga batay sa isang pantay na ipinamamahagi.

  Normal na pamamahagi sa kalikasan at mga aplikasyon

  Ang normal na pamamahagi ay madalas na matatagpuan sa kalikasan. Halimbawa, ang mga sumusunod na random na variable ay mahusay na namodelo ng normal na distribusyon:

  • pagbaril pagpapalihis.
  • mga error sa pagsukat (gayunpaman, ang mga error ng ilang mga instrumento sa pagsukat ay may mga hindi normal na distribusyon).
  • ilang katangian ng mga buhay na organismo sa isang populasyon.

  Ang distribusyon na ito ay napakalawak dahil ito ay isang walang katapusan na nahahati na tuloy-tuloy na distribusyon na may hangganang pagkakaiba. Samakatuwid, ang iba ay lumalapit dito sa limitasyon, tulad ng binomial at Poisson. Maraming di-tiyak na pisikal na proseso ang namodelo ng distribusyon na ito.

  Pakikipag-ugnayan sa iba pang mga pamamahagi

  • Ang normal na pamamahagi ay isang uri ng XI na pamamahagi ng Pearson.
  • Ang ratio ng isang pares ng independiyenteng pamantayan na karaniwang ipinamamahagi ng mga random na variable ay may  Cauchy distribution. Iyon ay, kung ang random variable X (\displaystyle X) kumakatawan sa kaugnayan X = Y / Z (\displaystyle X=Y/Z)(Saan Y (\displaystyle Y) At Z (\displaystyle Z) ay independiyenteng karaniwang normal na random na mga variable), pagkatapos ay magkakaroon ito ng distribusyon ng Cauchy.
  • Kung z 1 , … , z k (\displaystyle z_(1),\ldots ,z_(k)) ay magkasanib na independiyenteng karaniwang normal na random na mga variable, i.e. z i ∼ N (0 , 1) (\displaystyle z_(i)\sim N\kaliwa(0,1\kanan)), pagkatapos ay ang random variable x = z 1 2 + … + z k 2 (\displaystyle x=z_(1)^(2)+\ldots +z_(k)^(2)) ay may chi-square distribution na may k degrees ng kalayaan.
  • Kung ang random variable X (\displaystyle X) ay napapailalim sa isang lognormal distribution, at ang natural na logarithm nito ay may normal na distribution. Ibig sabihin, kung X ∼ L o g N (μ , σ 2) (\displaystyle X\sim \mathrm (LogN) \left(\mu ,\sigma ^(2)\kanan)), Iyon Y = ln ⁡ (X) ∼ N (μ , σ 2) (\displaystyle Y=\ln \left(X\right)\sim \mathrm (N) \left(\mu ,\sigma ^(2)\right )). At kabaliktaran, kung Y ∼ N (μ , σ 2) (\displaystyle Y\sim \mathrm (N) \left(\mu ,\sigma ^(2)\kanan)), Iyon X = exp ⁡ (Y) ∼ L o g N (μ , σ 2) (\displaystyle X=\exp \left(Y\right)\sim \mathrm (LogN) \left(\mu ,\sigma ^(2) \tama)).
  • Ang ratio ng mga parisukat ng dalawang karaniwang normal na random na mga variable ay may

  Sa pagsasagawa, karamihan sa mga random na variable, na apektado ng isang malaking bilang ng mga random na kadahilanan, ay sumusunod sa normal na batas ng pamamahagi ng posibilidad. Samakatuwid, sa iba't ibang aplikasyon ng probability theory, ang batas na ito ay partikular na kahalagahan.

  Ang isang random na variable na $X$ ay sumusunod sa normal na probability distribution law kung ang probability distribution density nito ay may sumusunod na form

  $$f\left(x\right)=((1)\over (\sigma \sqrt(2\pi )))e^(-(((\left(x-a\right))^2)\over ( 2(\sigma )^2)))$$

  Sa eskematiko, ang graph ng function na $f\left(x\right)$ ay ipinapakita sa figure at may pangalang "Gaussian curve". Sa kanan ng graphic na ito ay ang German 10 Mark banknote, na ginagamit kahit bago ang pagpapakilala ng euro. Kung titingnan mong mabuti, sa banknote na ito makikita mo ang Gaussian curve at ang nakatuklas nito, ang pinakadakilang mathematician na si Carl Friedrich Gauss.

  Bumalik tayo sa aming function ng density $f\left(x\right)$ at magbigay ng ilang paliwanag tungkol sa mga parameter ng pamamahagi $a,\ (\sigma )^2$. Ang parameter na $a$ ay nagpapakilala sa sentro ng pagpapakalat ng mga halaga ng random na variable, iyon ay, mayroon itong kahulugan ng inaasahan sa matematika. Kapag ang parameter na $a$ ay nagbago at ang parameter na $(\sigma )^2$ ay nananatiling hindi nagbabago, maaari nating obserbahan ang paglilipat ng graph ng function na $f\left(x\right)$ kasama ang abscissa axis, habang ang density ang graph mismo ay hindi nagbabago ng hugis nito.

  

  Ang parameter na $(\sigma )^2$ ay ang variance at nagpapakilala sa hugis ng density curve $f\left(x\right)$. Kapag binago ang parameter na $(\sigma )^2$ na may parameter na $a$ na hindi nagbabago, mapapansin natin kung paano nagbabago ang hugis, lumiliit o umuunat, habang hindi lumilipat sa abscissa ang density graph.

  

  Probability ng isang normal na distributed random variable na bumabagsak sa isang naibigay na agwat

  Tulad ng nalalaman, ang posibilidad na ang isang random na variable na $X$ ay nahuhulog sa pagitan ng $\left(\alpha ;\ \beta \right)$ ay maaaring kalkulahin $P\left(\alpha< X < \beta \right)=\int^{\beta }_{\alpha }{f\left(x\right)dx}$. Для нормального распределения случайной величины $X$ с параметрами $a,\ \sigma $ справедлива следующая формула:

  $$P\kaliwa(\alpha< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right)$$

  Dito ang function na $\Phi \left(x\right)=((1)\over (\sqrt(2\pi )))\int^x_0(e^(-t^2/2)dt)$ ay ang Laplace function . Ang mga halaga ng function na ito ay kinuha mula sa . Ang mga sumusunod na katangian ng function na $\Phi \left(x\right)$ ay maaaring mapansin.

  

  1 . $\Phi \left(-x\right)=-\Phi \left(x\right)$, ibig sabihin, kakaiba ang function na $\Phi \left(x\right)$.

  2 . Ang $\Phi \left(x\right)$ ay isang monotonically increases function.

  3 . $(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) \Phi \left(x\right)\ )=0.5$, $(\mathop(lim)_(x\to -\infty ) \ Phi \ kaliwa(x\right)\ )=-0.5$.

  Upang kalkulahin ang mga halaga ng $\Phi \left(x\right)$ function, maaari mo ring gamitin ang $f_x$ function wizard ng Excel package: $\Phi \left(x\right)=NORMDIST\left (x;0;1;1\kanan)-0.5$. Halimbawa, kalkulahin natin ang mga halaga ng function na $\Phi \left(x\right)$ para sa $x=2$.

  

  Ang posibilidad na ang isang karaniwang ibinabahagi na random na variable na $X\in N\left(a;\ (\sigma )^2\right)$ ay nahuhulog sa isang simetriko ng pagitan na may kinalaman sa inaasahan na $a$ ay maaaring kalkulahin ng formula

  $$P\left(\left|X-a\right|< \delta \right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right).$$

  Tatlong sigma na panuntunan. Ito ay halos tiyak na ang isang karaniwang ipinamamahagi na random na variable na $X$ ay nahuhulog sa pagitan ng $\left(a-3\sigma ;a+3\sigma \right)$.

  Halimbawa 1 . Ang random variable na $X$ ay napapailalim sa normal na probability distribution law na may mga parameter na $a=2,\ \sigma =3$. Hanapin ang posibilidad na ang $X$ ay nahuhulog sa pagitan ng $\left(0,5;1\right)$ at ang probabilidad na ang hindi pagkakapantay-pantay $\left|X-a\right|< 0,2$.

  Gamit ang formula

  $$P\kaliwa(\alpha< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right),$$

  hanapin ang $P\left(0,5;1\right)=\Phi \left(((1-2)\over (3))\right)-\Phi \left(((0,5-2)\ higit sa (3))\kanan)=\Phi \kaliwa(-0.33\kanan)-\Phi \kaliwa(-0.5\kanan)=\Phi \kaliwa(0.5\kanan)-\Phi \kaliwa(0.33\kanan) =0.191-0.129=$0.062.

  $$P\left(\left|X-a\right|< 0,2\right)=2\Phi \left({{\delta }\over {\sigma }}\right)=2\Phi \left({{0,2}\over {3}}\right)=2\Phi \left(0,07\right)=2\cdot 0,028=0,056.$$

  Halimbawa 2 . Ipagpalagay na sa panahon ng taon ang presyo ng mga pagbabahagi ng isang partikular na kumpanya ay isang random na variable na ibinahagi ayon sa normal na batas na may inaasahan sa matematika na katumbas ng 50 conventional monetary units at isang standard deviation na katumbas ng 10. Ano ang posibilidad na sa isang random na pinili araw ng panahong tinatalakay, ang presyo para sa bahagi ay magiging:

  a) higit sa 70 kumbensyonal na yunit ng pananalapi?

  b) mababa sa 50 bawat bahagi?

  c) sa pagitan ng 45 at 58 kumbensyonal na yunit ng pananalapi bawat bahagi?

  Hayaang ang random variable na $X$ ang presyo ng mga share ng ilang kumpanya. Sa pamamagitan ng kundisyon $X$ ay napapailalim sa normal na distribution na may mga parameter na $a=50$ - mathematical expectation, $\sigma =10$ - standard deviation. Probability $P\left(\alpha< X < \beta \right)$ попадания $X$ в интервал $\left(\alpha ,\ \beta \right)$ будем находить по формуле:

  $$P\kaliwa(\alpha< X < \beta \right)=\Phi \left({{\beta -a}\over {\sigma }}\right)-\Phi \left({{\alpha -a}\over {\sigma }}\right).$$

  $$a)\ P\left(X>70\right)=\Phi \left(((\infty -50)\over (10))\right)-\Phi \left(((70-50)\ mahigit (10))\kanan)=0.5-\Phi \left(2\right)=0.5-0.4772=0.0228.$$

  $$b)\ P\kaliwa(X< 50\right)=\Phi \left({{50-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{-\infty -50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0\right)+0,5=0+0,5=0,5.$$

  $$c)\ P\kaliwa(45< X < 58\right)=\Phi \left({{58-50}\over {10}}\right)-\Phi \left({{45-50}\over {10}}\right)=\Phi \left(0,8\right)-\Phi \left(-0,5\right)=\Phi \left(0,8\right)+\Phi \left(0,5\right)=$$

  Ang batas ng normal na pamamahagi ng mga probabilidad ng isang tuluy-tuloy na random variable ay sumasakop sa isang espesyal na lugar sa iba't ibang mga teoretikal na batas, dahil ito ang pangunahing isa sa maraming praktikal na pag-aaral. Inilalarawan niya ang karamihan sa mga random na phenomena na nauugnay sa mga proseso ng produksyon.

  Ang mga random na phenomena na sumusunod sa normal na batas sa pamamahagi ay kinabibilangan ng mga error sa pagsukat ng mga parameter ng produksyon, ang pamamahagi ng mga error sa teknolohikal na pagmamanupaktura, ang taas at bigat ng karamihan sa mga biological na bagay, atbp.

  normal tawagan ang batas ng probability distribution ng isang tuluy-tuloy na random variable, na inilalarawan ng isang differential function

  a - pag-asa sa matematika ng isang random na variable;

  Ang standard deviation ng normal distribution.

  Ang graph ng differential function ng normal distribution ay tinatawag na normal na curve (Gaussian curve) (Fig. 7).

  

  kanin. 7 Gaussian curve

  Mga katangian ng isang normal na kurba (Gaussian curve):

  1. ang kurba ay simetriko tungkol sa tuwid na linya x = a;

  2. ang normal na curve ay matatagpuan sa itaas ng X axis, ibig sabihin, para sa lahat ng value ng X, ang function na f(x) ay palaging positibo;

  3. Ang ox axis ay ang pahalang na asymptote ng graph, dahil

  4. para sa x = a, ang function na f(x) ay may pinakamataas na katumbas ng

  ,

  sa mga puntong A at B sa at ang kurba ay may mga inflection point na ang mga ordinate ay pantay.

  

  Kasabay nito, ang posibilidad na ang absolute value ng deviation ng isang normally distributed random variable mula sa mathematical expectation nito ay hindi lalampas sa standard deviation ay katumbas ng 0.6826.

  sa mga puntong E at G, para sa at , ang halaga ng function na f(x) ay katumbas ng

  

  at ang posibilidad na ang absolute value ng deviation ng isang normally distributed random variable mula sa mathematical expectation nito ay hindi lalampas sa dalawang beses sa standard deviation ay 0.9544.

  Asymptotically papalapit sa abscissa axis, ang Gaussian curve sa mga punto C at D, at at , ay napakalapit sa abscissa axis. Sa mga puntong ito, ang halaga ng function na f(x) ay napakaliit

  

  at ang posibilidad na ang absolute value ng deviation ng isang normally distributed random variable mula sa mathematical expectation nito ay hindi lalampas sa tatlong beses sa standard deviation ay 0.9973. Ang pag-aari na ito ng Gaussian curve ay tinatawag na " tatlong sigma na panuntunan".

  
  
  

  Kung ang isang random na variable ay karaniwang ipinamamahagi, kung gayon ang ganap na halaga ng paglihis nito mula sa inaasahan sa matematika ay hindi lalampas sa tatlong beses sa karaniwang paglihis.

  Ang pagpapalit ng halaga ng parameter a (ang mathematical na inaasahan ng isang random na variable) ay hindi nagbabago sa hugis ng normal na curve, ngunit humahantong lamang sa paglilipat nito sa X axis: sa kanan kung tumaas, at sa kaliwa kung a bumababa.

  Kapag a=0, ang normal na curve ay simetriko tungkol sa y-axis.

  Ang pagbabago ng halaga ng parameter (standard deviation) ay nagbabago sa hugis ng normal na curve: sa pagtaas ng mga ordinate ng normal na pagbaba ng curve, ang curve ay nakaunat sa X axis at pinindot ito. Kapag bumababa, ang mga ordinate ng normal na curve ay tumataas, ang curve ay lumiliit sa kahabaan ng X-axis at nagiging mas "peaked".

  Kasabay nito, para sa anumang mga halaga ng at, ang lugar na nalilimitahan ng normal na kurba at ang X axis ay nananatiling katumbas ng isa (ibig sabihin, ang posibilidad na ang isang random na variable na ibinahagi nang normal ay magkakaroon ng isang halaga na nililimitahan ng normal na kurba sa ang X axis ay katumbas ng 1).

  Normal na distribusyon na may mga arbitrary na parameter at , ibig sabihin, inilarawan ng isang differential function

  

  tinawag pangkalahatang normal na pamamahagi.

  Ang normal na distribusyon na may mga parameter at tinatawag normalized na pamamahagi(Larawan 8). Sa isang normalized distribution, ang differential distribution function ay:

  

  kanin. 8 Normalized na kurba

  Ang integral function ng pangkalahatang normal na pamamahagi ay may anyo:

  Hayaang maipamahagi ang isang random na variable X ayon sa normal na batas sa pagitan (c, d). Kung gayon ang posibilidad na ang X ay kumuha ng isang halaga na kabilang sa pagitan (c, d) ay katumbas ng

  

  Halimbawa. Ang random variable X ay ipinamamahagi ayon sa normal na batas. Ang mathematical expectation at standard deviation ng random variable na ito ay a=30 at . Hanapin ang posibilidad na ang X ay kumuha ng halaga sa pagitan (10, 50).

  Ayon sa kondisyon: . Pagkatapos

  Gamit ang mga handa na Laplace table (tingnan ang Appendix 3), mayroon kami.