Sa pagkakaiba na sa halip na "flat" na mga graph, isasaalang-alang namin ang pinakakaraniwang spatial na ibabaw, at matutunan din kung paano mahusay na buuin ang mga ito sa pamamagitan ng kamay. Gumugol ako ng mahabang panahon sa pagpili ng mga tool sa software para sa paglikha ng mga three-dimensional na mga guhit at nakakita ng ilang magagandang aplikasyon, ngunit sa kabila ng lahat ng kadalian ng paggamit, ang mga programang ito ay hindi malulutas nang maayos ang isang mahalagang praktikal na isyu. Ang katotohanan ay na sa nakikinita na makasaysayang hinaharap, ang mga mag-aaral ay armado pa rin ng isang ruler at isang lapis, at kahit na may mataas na kalidad na pagguhit ng "machine", marami ang hindi mailipat ito nang tama sa checkered na papel. Samakatuwid, sa manu-manong, ang espesyal na pansin ay binabayaran sa pamamaraan ng manu-manong konstruksyon, at isang makabuluhang bahagi ng mga guhit ng pahina ay isang produktong gawa sa kamay.
Paano naiiba ang sangguniang materyal na ito sa mga analogue?
Sa pagkakaroon ng disenteng praktikal na karanasan, alam na alam ko kung aling mga ibabaw ang madalas nating harapin sa mga tunay na problema ng mas mataas na matematika, at umaasa ako na ang artikulong ito ay makakatulong sa iyo na mabilis na mapunan ang iyong bagahe ng may-katuturang kaalaman at inilapat na mga kasanayan, na nagkakahalaga ng 90 -95% dapat mayroong sapat na mga kaso.
Ano ang kailangan mong magawa sa sandaling ito?
Ang pinakapangunahing:
Una, kailangan mong kayanin bumuo ng tama spatial na Cartesian coordinate system (tingnan ang simula ng artikulo Mga graph at katangian ng mga function) .
Ano ang mapapala mo pagkatapos basahin ang artikulong ito?
Bote Pagkatapos ma-master ang mga materyales sa aralin, matututunan mong mabilis na matukoy ang uri ng ibabaw sa pamamagitan ng pag-andar at/o equation nito, isipin kung paano ito matatagpuan sa kalawakan, at, siyempre, gumawa ng mga guhit. Okay lang kung hindi mo maiisip ang lahat pagkatapos ng unang pagbabasa - maaari kang bumalik sa anumang talata sa ibang pagkakataon kung kinakailangan.
Ang impormasyon ay nasa kapangyarihan ng lahat - upang makabisado ito hindi mo kailangan ng anumang sobrang kaalaman, espesyal na artistikong talento o spatial na pananaw.
Magsimula na!
Sa pagsasagawa, ang spatial na ibabaw ay karaniwang ibinibigay function ng dalawang variable o isang equation ng form (ang pare-pareho sa kanang bahagi ay kadalasang katumbas ng zero o isa). Ang unang pagtatalaga ay mas tipikal para sa mathematical analysis, ang pangalawa - para sa analytical geometry. Ang equation ay mahalagang implicitly na ibinigay isang function ng 2 variable, na sa mga tipikal na kaso ay madaling maibaba sa anyo . Hayaan akong ipaalala sa iyo ang pinakasimpleng halimbawa c:
–equation ng eroplano mabait .
– function ng eroplano sa tahasan .
Magsimula tayo dito:
Mga karaniwang equation ng mga eroplano
Ang mga karaniwang opsyon para sa pag-aayos ng mga eroplano sa isang rectangular coordinate system ay tinalakay nang detalyado sa pinakadulo simula ng artikulo. Equation ng eroplano. Gayunpaman, muli nating pag-isipan ang mga equation na napakahalaga para sa pagsasanay.
Una sa lahat, dapat mong ganap na awtomatikong makilala ang mga equation ng mga eroplano na parallel sa coordinate na mga eroplano. Ang mga fragment ng eroplano ay karaniwang inilalarawan bilang mga parihaba, na sa huling dalawang kaso ay parang mga paralelogram. Bilang default, maaari kang pumili ng anumang mga sukat (sa loob ng makatwirang mga limitasyon, siyempre), ngunit ito ay kanais-nais na ang punto kung saan ang coordinate axis ay "butas" sa eroplano ay ang sentro ng simetrya: 
Sa mahigpit na pagsasalita, ang mga coordinate axes ay dapat na ilarawan na may mga tuldok na linya sa ilang mga lugar, ngunit upang maiwasan ang pagkalito ay pabayaan natin ang nuance na ito.
– (kaliwang drawing) ang hindi pagkakapantay-pantay ay tumutukoy sa kalahating espasyo na pinakamalayo mula sa amin, hindi kasama ang eroplano mismo;
– (gitnang pagguhit) ang hindi pagkakapantay-pantay ay tumutukoy sa tamang kalahating espasyo, kabilang ang eroplano;
– (kanang pagguhit) ang dobleng hindi pagkakapantay-pantay ay tumutukoy sa isang "layer" na matatagpuan sa pagitan ng mga eroplano, kabilang ang parehong mga eroplano.
Para sa self-warm-up:
Halimbawa 1
Gumuhit ng isang katawan na nakatali ng mga eroplano
Lumikha ng isang sistema ng hindi pagkakapantay-pantay na tumutukoy sa isang partikular na katawan.
Ang isang matandang kakilala ay dapat lumabas mula sa ilalim ng pamumuno ng iyong lapis. kuboid. Huwag kalimutan na ang mga invisible na gilid at mukha ay dapat iguhit gamit ang isang tuldok na linya. Natapos ang pagguhit sa pagtatapos ng aralin.
pakiusap, HUWAG PAbayaan mga gawain sa pag-aaral, kahit na tila napakasimple ng mga ito. Kung hindi, maaaring mangyari na napalampas mo ito ng isang beses, napalampas ito ng dalawang beses, at pagkatapos ay gumugol ng isang solidong oras sa pagsubok na malaman ang isang three-dimensional na pagguhit sa ilang tunay na halimbawa. Bilang karagdagan, ang gawaing mekanikal ay makakatulong sa iyo na matutunan ang materyal nang mas epektibo at bumuo ng iyong katalinuhan! Hindi sinasadya na sa kindergarten at elementarya ang mga bata ay puno ng pagguhit, pagmomodelo, mga laruan sa pagtatayo at iba pang mga gawain para sa mga mahusay na kasanayan sa motor ng mga daliri. Paumanhin para sa digression, ngunit ang aking dalawang notebook sa developmental psychology ay hindi dapat mawala =)
Kondisyunal na tatawagin namin ang susunod na pangkat ng mga eroplano na "direktang proporsyonalidad" - ito ang mga eroplano na dumadaan sa mga coordinate axes:
2) ang isang equation ng form ay tumutukoy sa isang eroplanong dumadaan sa axis;
3) ang isang equation ng form ay tumutukoy sa isang eroplano na dumadaan sa axis.
Bagama't halata ang pormal na tanda (aling variable ang nawawala sa equation – dumadaan ang eroplano sa axis na iyon), palaging kapaki-pakinabang na maunawaan ang kakanyahan ng mga kaganapang nagaganap:
Halimbawa 2
Gumawa ng eroplano
Ano ang pinakamahusay na paraan upang bumuo? Iminumungkahi ko ang sumusunod na algorithm:
Una, muling isulat natin ang equation sa anyo , kung saan malinaw na makikita na ang "y" ay maaaring tumagal anuman mga kahulugan. Ayusin natin ang halaga, iyon ay, isasaalang-alang natin ang coordinate plane. Itinakda ang mga equation spatial na linya, nakahiga sa isang ibinigay na coordinate plane. Ilarawan natin ang linyang ito sa pagguhit. Ang tuwid na linya ay dumadaan sa pinanggalingan ng mga coordinate, kaya upang mabuo ito ay sapat na upang makahanap ng isang punto. Hayaan mong . Magtabi ng isang punto at gumuhit ng isang tuwid na linya.
Ngayon ay bumalik tayo sa equation ng eroplano. Dahil tinatanggap ng "Y". anuman mga halaga, pagkatapos ay ang tuwid na linya na itinayo sa eroplano ay patuloy na "ginagaya" sa kaliwa at sa kanan. Ito ay eksakto kung paano nabuo ang aming eroplano, na dumadaan sa axis. Upang makumpleto ang pagguhit, inilalagay namin ang dalawang magkatulad na linya sa kaliwa at kanan ng tuwid na linya at "isara" ang simbolikong paralelogram na may mga nakahalang pahalang na mga segment: 
Dahil ang kundisyon ay hindi nagpataw ng karagdagang mga paghihigpit, ang isang fragment ng eroplano ay maaaring ilarawan sa bahagyang mas maliit o bahagyang mas malaking sukat.
Muli nating ulitin ang kahulugan ng spatial linear inequality gamit ang halimbawa. Paano matukoy ang kalahating espasyo na tinukoy nito? Kumuha tayo ng ilang punto hindi kabilang sa eroplano, halimbawa, isang punto mula sa kalahating espasyo na pinakamalapit sa amin at palitan ang mga coordinate nito sa hindi pagkakapantay-pantay:
Natanggap tunay na hindi pagkakapantay-pantay, na nangangahulugan na ang hindi pagkakapantay-pantay ay tumutukoy sa mas mababang (kamag-anak sa eroplano) kalahating espasyo, habang ang eroplano mismo ay hindi kasama sa solusyon.
Halimbawa 3
Gumawa ng mga eroplano
A);
b) .
Ito ay mga gawain para sa pagtatayo ng sarili sa kaso ng mga kahirapan, gumamit ng katulad na pangangatwiran. Maikling tagubilin at mga guhit sa pagtatapos ng aralin.
Sa pagsasagawa, ang mga eroplanong parallel sa axis ay pangkaraniwan. Ang espesyal na kaso kapag ang eroplano ay dumaan sa axis ay tinalakay lamang sa talata na "maging", at ngayon ay susuriin natin ang isang mas pangkalahatang problema:
Halimbawa 4
Gumawa ng eroplano
Solusyon: ang variable na "z" ay hindi tahasang kasama sa equation, na nangangahulugan na ang eroplano ay parallel sa applicate na axis. Gamitin natin ang parehong pamamaraan tulad ng sa mga nakaraang halimbawa.
Isulat muli natin ang equation ng eroplano sa anyo 
mula sa kung saan ito ay malinaw na ang "zet" ay maaaring tumagal anuman mga kahulugan. Ayusin natin ito at gumuhit ng regular na "flat" na tuwid na linya sa "katutubong" eroplano. Upang maitayo ito, maginhawang kumuha ng mga reference point.
Dahil tinanggap ni "Z". Lahat mga halaga, pagkatapos ay ang itinayong tuwid na linya ay patuloy na "nagpaparami" pataas at pababa, sa gayon ay bumubuo ng nais na eroplano 
. Maingat kaming gumuhit ng isang paralelogram ng isang makatwirang laki: 
handa na.
Equation ng isang eroplano sa mga segment
Ang pinakamahalagang inilapat na iba't. Kung Lahat posibilidad pangkalahatang equation ng eroplano hindi zero, pagkatapos ay maaari itong katawanin sa anyo 
na tinatawag na equation ng eroplano sa mga segment. Malinaw na ang eroplano ay nagsalubong sa mga coordinate axes sa mga punto , at ang malaking bentahe ng naturang equation ay ang kadalian ng pagbuo ng isang guhit:
Halimbawa 5
Gumawa ng eroplano
Solusyon: Una, gumawa tayo ng equation ng eroplano sa mga segment. Itapon natin sa kanan ang libreng termino at hatiin ang magkabilang panig ng 12: 
Hindi, walang typo dito at lahat ng bagay ay nangyayari sa kalawakan! Sinusuri namin ang iminungkahing ibabaw gamit ang parehong paraan na ginamit kamakailan para sa mga eroplano. Isulat muli natin ang equation sa anyo 
, kung saan sumusunod ang "zet" na kumukuha anuman mga kahulugan. Ayusin natin at bumuo ng isang ellipse sa eroplano. Dahil tinatanggap ni "zet". Lahat mga halaga, pagkatapos ay ang itinayong ellipse ay patuloy na "ginagaya" pataas at pababa. Ito ay madaling maunawaan na ang ibabaw walang hanggan:
Ang ibabaw na ito ay tinatawag na elliptical cylinder. Ang isang ellipse (sa anumang taas) ay tinatawag gabay cylinder, at mga parallel na linya na dumadaan sa bawat punto ng ellipse ay tinatawag bumubuo silindro (na literal na bumubuo nito). Ang axis ay axis ng simetrya ibabaw (ngunit hindi bahagi nito!).
Ang mga coordinate ng anumang punto na kabilang sa isang ibinigay na ibabaw ay kinakailangang matugunan ang equation 
.
Spatial ang hindi pagkakapantay-pantay ay tumutukoy sa "loob" ng walang katapusang "pipe", kabilang ang cylindrical na ibabaw mismo, at, nang naaayon, ang kabaligtaran na hindi pagkakapantay-pantay ay tumutukoy sa hanay ng mga punto sa labas ng silindro.
Sa mga praktikal na problema, ang pinakasikat na espesyal na kaso ay kung kailan gabay silindro ay bilog:
Halimbawa 8
Buuin ang ibabaw na ibinigay ng equation
Imposibleng ilarawan ang isang walang katapusang "pipe", kaya ang sining ay karaniwang limitado sa "trimming".
Una, ito ay maginhawa upang bumuo ng isang bilog ng radius sa eroplano, at pagkatapos ay isang pares ng higit pang mga bilog sa itaas at sa ibaba. Ang mga nagresultang bilog ( mga gabay cylinder) maingat na kumonekta sa apat na parallel na tuwid na linya ( bumubuo silindro): 
Huwag kalimutang gumamit ng mga tuldok na linya para sa mga linyang hindi natin nakikita.
Ang mga coordinate ng anumang punto na kabilang sa isang naibigay na silindro ay nakakatugon sa equation 
. Ang mga coordinate ng anumang punto na nakahiga nang mahigpit sa loob ng "pipe" ay nakakatugon sa hindi pagkakapantay-pantay 
, at ang hindi pagkakapantay-pantay 
tumutukoy sa isang hanay ng mga punto ng panlabas na bahagi. Para sa isang mas mahusay na pag-unawa, inirerekumenda kong isaalang-alang ang ilang partikular na mga punto sa espasyo at makita para sa iyong sarili.
Halimbawa 9
Bumuo ng ibabaw at hanapin ang projection nito sa eroplano
Isulat muli natin ang equation sa anyo 
mula sa kung saan ito ay sumusunod na "x" tumatagal anuman mga kahulugan. Ayusin natin at ilarawan sa eroplano bilog– na may sentro sa pinanggalingan, unit radius. Dahil ang "x" ay patuloy na tumatanggap Lahat mga halaga, pagkatapos ang itinayong bilog ay bumubuo ng isang pabilog na silindro na may axis ng simetriya. Gumuhit ng isa pang bilog ( gabay silindro) at maingat na ikonekta ang mga ito sa mga tuwid na linya ( bumubuo silindro). Sa ilang mga lugar mayroong mga overlap, ngunit kung ano ang gagawin, tulad ng isang slope: 
Sa pagkakataong ito nilimitahan ko ang aking sarili sa isang piraso ng isang silindro sa puwang, at hindi ito sinasadya. Sa pagsasagawa, madalas na kinakailangan upang ilarawan lamang ang isang maliit na fragment ng ibabaw.
Dito, sa pamamagitan ng paraan, mayroong 6 na generatrice - dalawang karagdagang tuwid na linya na "takpan" ang ibabaw mula sa kaliwang itaas at kanang ibabang sulok.
Ngayon tingnan natin ang projection ng isang silindro sa isang eroplano. Maraming mga mambabasa ang nauunawaan kung ano ang projection, ngunit, gayunpaman, magsagawa tayo ng isa pang limang minutong pisikal na ehersisyo. Mangyaring tumayo at iyuko ang iyong ulo sa ibabaw ng drawing upang ang punto ng axis ay tumuturo patayo sa iyong noo. Ang hitsura ng isang silindro mula sa anggulong ito ay ang projection nito sa isang eroplano. Ngunit ito ay tila isang walang katapusang strip, na nakapaloob sa pagitan ng mga tuwid na linya, kabilang ang mga tuwid na linya mismo. Ang projection na ito ay eksakto domain function (itaas na "gutter" ng silindro), (ibabang "gutter").
Siyanga pala, linawin natin ang sitwasyon gamit ang mga projection sa iba pang coordinate planes. Hayaang sumikat ang sinag ng araw sa silindro mula sa dulo at sa kahabaan ng axis. Ang anino (projection) ng isang silindro papunta sa isang eroplano ay isang katulad na walang katapusang strip - isang bahagi ng eroplano na nakatali ng mga tuwid na linya (- anuman), kabilang ang mga tuwid na linya mismo.
Ngunit ang projection sa eroplano ay medyo naiiba. Kung titingnan mo ang silindro mula sa dulo ng axis, ito ay ipapakita sa isang bilog ng unit radius 
, kung saan sinimulan namin ang pagtatayo.
Halimbawa 10
Bumuo ng isang ibabaw at hanapin ang mga projection nito sa mga coordinate na eroplano
Ito ay isang gawain para sa iyo upang malutas sa iyong sarili. Kung ang kondisyon ay hindi masyadong malinaw, parisukat ang magkabilang panig at pag-aralan ang resulta; alamin kung aling bahagi ng silindro ang tinukoy ng function. Gamitin ang construction technique na paulit-ulit na ginamit sa itaas. Isang maikling solusyon, pagguhit at komento sa pagtatapos ng aralin.
Ang elliptical at iba pang mga cylindrical na ibabaw ay maaaring i-offset kaugnay ng mga coordinate axes, halimbawa:
(batay sa pamilyar na motibo ng artikulo tungkol sa 2nd order lines)
– isang silindro ng unit radius na may linya ng simetrya na dumadaan sa isang puntong parallel sa axis. Gayunpaman, sa pagsasagawa, ang mga naturang cylinder ay bihirang nakatagpo, at talagang hindi kapani-paniwala na makatagpo ng isang cylindrical na ibabaw na "pahilig" na may kaugnayan sa mga coordinate axes.
Parabolic cylinders
Gaya ng ipinahihiwatig ng pangalan, gabay tulad ng isang silindro ay parabola.
Halimbawa 11
Bumuo ng isang ibabaw at hanapin ang mga projection nito sa mga coordinate na eroplano.
Hindi ko mapigilan ang halimbawang ito =)
Solusyon: Tayo'y dumaan sa matapang na landas. Isulat muli natin ang equation sa anyo, kung saan sumusunod na ang "zet" ay maaaring tumagal ng anumang halaga. Ayusin natin at bumuo ng isang ordinaryong parabola sa eroplano, na dati ay minarkahan ang mga walang kuwentang reference point. Dahil tinanggap ni "Z". Lahat mga halaga, pagkatapos ay ang ginawang parabola ay patuloy na "ginagaya" pataas at pababa hanggang sa infinity. Inilatag namin ang parehong parabola, sabihin, sa taas (sa eroplano) at maingat na ikonekta ang mga ito sa magkatulad na mga tuwid na linya ( bumubuo ng silindro): 
paalala ko sayo kapaki-pakinabang na pamamaraan: kung sa una ay hindi ka sigurado sa kalidad ng pagguhit, mas mahusay na iguhit muna ang mga linya nang napakanipis gamit ang isang lapis. Pagkatapos ay sinusuri namin ang kalidad ng sketch, alamin ang mga lugar kung saan nakatago ang ibabaw mula sa aming mga mata, at pagkatapos ay ilapat ang presyon sa stylus.
Mga projection.
1) Ang projection ng isang silindro sa isang eroplano ay isang parabola. Dapat tandaan na sa kasong ito imposibleng pag-usapan domain ng kahulugan ng isang function ng dalawang variable– sa kadahilanang ang cylinder equation ay hindi mababawasan sa functional form.
2) Ang projection ng isang silindro papunta sa isang eroplano ay isang kalahating eroplano, kabilang ang axis
3) At sa wakas, ang projection ng silindro papunta sa eroplano ay ang buong eroplano.
Halimbawa 12
Bumuo ng parabolic cylinders:
a) limitahan ang iyong sarili sa isang fragment ng ibabaw sa malapit sa kalahating espasyo;
b) sa pagitan
Sa kaso ng mga kahirapan, hindi kami nagmamadali at nangangatuwiran sa pamamagitan ng pagkakatulad sa mga naunang halimbawa, sa kabutihang palad, ang teknolohiya ay lubusang binuo. Hindi kritikal kung ang mga ibabaw ay nagiging medyo malamya - mahalaga na tama na ipakita ang pangunahing larawan. Ako mismo ay hindi talaga nag-abala sa kagandahan ng mga linya; Sa pamamagitan ng paraan, ang sample na solusyon ay gumagamit ng isa pang pamamaraan upang mapabuti ang kalidad ng pagguhit ;-)
Mga hyperbolic na silindro
Mga gabay ang mga cylinder ay hyperbolas. Ang ganitong uri ng ibabaw, ayon sa aking mga obserbasyon, ay hindi gaanong karaniwan kaysa sa mga naunang uri, kaya lilimitahan ko ang aking sarili sa isang solong eskematiko na pagguhit ng isang hyperbolic cylinder: 
Ang prinsipyo ng pangangatwiran dito ay eksaktong pareho - ang karaniwan hyperbole ng paaralan mula sa eroplano ay patuloy na "nagpaparami" pataas at pababa hanggang sa infinity.
Ang itinuturing na mga cylinder ay nabibilang sa tinatawag na 2nd order surface, at ngayon ay patuloy tayong makikilala sa iba pang mga kinatawan ng pangkat na ito:
Ellipsoid. Sphere at bola
Ang canonical equation ng isang ellipsoid sa isang rectangular coordinate system ay may anyo 
, nasaan ang mga positibong numero ( mga axle shaft ellipsoid), na sa pangkalahatang kaso magkaiba. Ang isang ellipsoid ay tinatawag ibabaw, kaya katawan, nililimitahan ng isang ibinigay na ibabaw. Ang katawan, gaya ng nahulaan ng marami, ay tinutukoy ng hindi pagkakapantay-pantay 
at ang mga coordinate ng anumang panloob na punto (pati na rin ang anumang ibabaw na punto) ay kinakailangang masiyahan ang hindi pagkakapantay-pantay na ito. Ang disenyo ay simetriko may kinalaman sa mga coordinate axes at coordinate planes: 
Ang pinagmulan ng terminong "ellipsoid" ay halata din: kung ang ibabaw ay "pinutol" ng mga coordinate na eroplano, kung gayon ang mga seksyon ay magreresulta sa tatlong magkakaibang (sa pangkalahatang kaso)
1.7.1. Eroplano.
Isaalang-alang sa isang Cartesian na batayan ang isang arbitrary na eroplano P at isang normal na vector (patayo) dito `n (A, B, C). Kumuha tayo ng di-makatwirang fixed point M0(x0, y0, z0) at isang kasalukuyang point M(x, y, z) sa eroplanong ito.
Malinaw na ?`n = 0 (1.53)
(tingnan ang (1.20) para sa j = p /2). Ito ang equation ng isang eroplano sa anyong vector. Sa paglipat sa mga coordinate, nakuha namin ang pangkalahatang equation ng eroplano
A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0 ?Ах + Ву + Сz + D = 0 (1.54).
(D = –Ах0– Ву0 – Сz0; А2 + В2 + С2 ? 0).
Maipapakita na sa mga coordinate ng Cartesian, ang bawat eroplano ay tinutukoy ng isang equation ng unang degree at, sa kabaligtaran, ang bawat equation ng unang degree ay tumutukoy sa isang eroplano (i.e., ang isang eroplano ay isang ibabaw ng unang order at isang ibabaw ng unang order ay isang eroplano).
Isaalang-alang natin ang ilang mga espesyal na kaso ng lokasyon ng eroplano na tinukoy ng pangkalahatang equation:
A = 0 – parallel sa Ox axis; B = 0 – parallel sa Oy axis; C = 0 – parallel sa Oz axis. (Ang nasabing mga eroplano na patayo sa isa sa mga coordinate na eroplano ay tinatawag na projecting planes); D = 0 – dumadaan sa pinanggalingan; A = B = 0 – patayo sa Oz axis (parallel sa xOy plane); A = B = D = 0 – kasabay ng xOy plane (z = 0). Ang lahat ng iba pang mga kaso ay nasuri nang katulad.
Kung D? 0, pagkatapos ay sa pamamagitan ng paghahati sa magkabilang panig ng (1.54) sa -D, maaari nating dalhin ang equation ng eroplano sa anyo: (1.55),
a = – D /A, b = –D/B, c = –D /C. Ang relasyon (1.55) ay tinatawag na equation ng eroplano sa mga segment; a, b, c – abscissa, ordinate at ilapat ang mga punto ng intersection ng eroplano sa Ox, Oy, Oz axes, at |a|, |b|, |c| – ang mga haba ng mga segment na pinutol ng eroplano sa kaukulang mga palakol mula sa pinagmulan ng mga coordinate.
Pagpaparami ng magkabilang panig (1.54) sa isang normalizing factor (mD xcosa + ycosb + zcosg – p = 0 (1.56)
kung saan ang cosa = Am, cosb = Bm, cosg = Cm ay ang mga direksyon na cosine ng normal sa eroplano, p ay ang distansya sa eroplano mula sa pinanggalingan.
Isaalang-alang natin ang mga pangunahing ugnayang ginamit sa mga kalkulasyon. Ang anggulo sa pagitan ng mga eroplanong A1x + B1y + C1z + D1 = 0 at A2x + B2y + C2z + D2 = 0 ay madaling matukoy bilang anggulo sa pagitan ng mga normal ng mga eroplanong ito `n1 (A1, B1, C1) at
`n2 (A2, B2, C2): 
(1.57)
Mula sa (1.57) madaling makuha ang perpendicularity condition
A1A2 + B1 B2 + C1 C2 = 0 (1.58)
at paralelismo 
(1.59) mga eroplano at ang kanilang mga normal.
Distansya mula sa isang di-makatwirang punto M0(x0, y0, z0) hanggang sa eroplano (1.54)
ay tinutukoy ng expression: 
(1.60)
Ang equation ng isang eroplanong dumadaan sa tatlong ibinigay na puntos M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3) ay pinaka-maginhawang isinulat gamit ang coplanarity condition (1.25) ng mga vectors kung saan M(x, y , z) – kasalukuyang punto ng eroplano.
(1.61)
Ipakita natin ang equation ng isang bundle ng mga eroplano (i.e.
Mga hanay ng mga eroplano na dumadaan sa isang tuwid na linya) - ito ay maginhawa upang magamit sa isang bilang ng mga problema.
(A1x + B1y + C1z + D1) + l(A2x + B2y + C2z + D2) = 0 (1.62)
Kung saan ang l О R, at sa mga bracket ay ang mga equation ng alinmang dalawang eroplano ng beam.
Kontrolin ang mga tanong.
1) Paano suriin na ang isang naibigay na punto ay nasa ibabaw na tinukoy ng equation na ito?
2) Ano ang katangiang katangian na nagpapakilala sa equation ng isang eroplano sa Cartesian coordinate system mula sa equation ng iba pang mga ibabaw?
3) Paano matatagpuan ang eroplano na may kaugnayan sa sistema ng coordinate kung ang equation nito ay hindi naglalaman ng: a) isang libreng termino; b) isa sa mga coordinate; c) dalawang coordinate; d) isa sa mga coordinate at isang libreng termino; d) dalawang coordinate at isang libreng termino?
1) Ibinigay na puntos M1(0,-1,3) at M2(1,3,5). Isulat ang equation ng isang eroplanong dumadaan sa point M1 at patayo sa vector 
Piliin ang tamang sagot:
A) 
; b) .
2) Hanapin ang anggulo sa pagitan ng mga eroplano at . Piliin ang tamang sagot:
a) 135o, b) 45o
1.7.2. Diretso. Mga eroplano na ang mga normal ay hindi collinear 
o intersect, malinaw na tinukoy ang tuwid na linya bilang linya ng kanilang intersection, na nakasulat tulad ng sumusunod:
Ang isang walang katapusang bilang ng mga eroplano ay maaaring iguguhit sa pamamagitan ng linyang ito (ang bundle ng mga eroplano (1.62)), kabilang ang mga nag-uukol nito sa mga coordinate na eroplano. Upang makuha ang kanilang mga equation, ito ay sapat na upang ibahin ang anyo (1.63), alisin ang isang hindi kilalang mula sa bawat equation at bawasan ang mga ito, halimbawa, sa anyo 
(1.63`).
Itakda natin ang gawain - upang gumuhit sa pamamagitan ng puntong M0(x0,y0,z0) ng isang tuwid na linya na kahanay ng vector `S (l, m, n) (ito ay tinatawag na isang direktang linya). Kumuha tayo ng di-makatwirang punto M(x,y,z) sa nais na linya. Mga vector at 
ay dapat na collinear, kung saan nakukuha natin ang mga canonical equation ng linya.
(1.64) o 
(1.64`)
kung saan ang cosa, cosb, cosg ay ang mga direksyon na cosine ng vector `S. Mula sa (1.64) madaling makuha ang equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa mga ibinigay na puntos M1(x1, y1, z1) at M2(x2, y2, z2) (ito ay parallel 
)
O (1.64``)
(Ang mga halaga ng mga fraction sa (1.64) ay pantay para sa bawat punto sa linya at maaaring tukuyin ng t, kung saan t 
R. Ito ay nagpapahintulot sa iyo na ipasok ang parametric equation ng linya
Ang bawat halaga ng parameter t ay tumutugma sa isang hanay ng mga coordinate x, y, z ng isang punto sa isang linya o (kung hindi man) - mga halaga ng hindi alam na nagbibigay-kasiyahan sa mga equation ng isang linya).
Gamit ang mga kilalang katangian ng mga vector at mga operasyon sa kanila at ang mga canonical equation ng tuwid na linya, madaling makuha ang mga sumusunod na formula:
Anggulo sa pagitan ng mga tuwid na linya: 
(1.65)
Kondisyon ng paralelismo (1.66).
perpendicularity l1l2 + m1m2 + n1n2 = 0 (1.67) tuwid na linya.
Ang anggulo sa pagitan ng tuwid na linya at ng eroplano (madaling makuha sa pamamagitan ng paghahanap ng anggulo sa pagitan ng tuwid na linya at ng normal sa eroplano, na nagdaragdag ng hanggang sa nais na p/2)
(1.68)
Mula sa (1.66) makuha natin ang parallelism condition na Al + Bm + Cn = 0 (1.69)
at perpendicularity (1.70) ng isang tuwid na linya at isang eroplano. Ang kinakailangan at sapat na kondisyon para sa dalawang linya na nasa parehong eroplano ay madaling makuha mula sa kondisyon ng coplanarity (1.25).
(1.71)
Kontrolin ang mga tanong.
1) Ano ang mga paraan upang tukuyin ang isang tuwid na linya sa kalawakan?
1) Isulat ang mga equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa punto A(4,3,0) at parallel sa vector 
Ipahiwatig ang tamang sagot:
A) 
; b) 
.
2) Isulat ang mga equation ng isang tuwid na linya na dumadaan sa mga puntos A(2,-1,3) at B(2,3,3). Ipahiwatig ang tamang sagot.
A) 
; b) .
3) Hanapin ang punto ng intersection ng linya sa eroplano: , . Ipahiwatig ang tamang sagot:
a) (6,4,5); b) (6,-4,5).
1.7.3. Mga ibabaw ng pangalawang order. Kung ang isang linear equation sa isang three-dimensional na Cartesian na batayan ay natatanging tumutukoy sa isang eroplano, anumang nonlinear equation na naglalaman ng x, y, z ay naglalarawan ng ilang iba pang ibabaw. Kung ang equation ay nasa anyo
Ax2 + Ву2 + Cz2 + 2Dxy + 2Exz + 2Fyz + 2Gx + 2Hy + 2Kz + L = 0, pagkatapos ay naglalarawan ito ng second-order surface (pangkalahatang equation ng second-order surface). Sa pamamagitan ng pagpili o pagbabago ng mga coordinate ng Cartesian, ang equation ay maaaring gawing simple hangga't maaari, na humahantong sa isa sa mga sumusunod na anyo na naglalarawan sa kaukulang ibabaw.
1. Canonical equation ng second-order cylinders, ang mga generator nito ay parallel sa Oz axis, at ang katumbas na second-order curves na nasa xOy plane ay nagsisilbing mga gabay:
(1.72), 
(1.73), y2 = 2px (1.74)
elliptic, hyperbolic at parabolic cylinders ayon sa pagkakabanggit.
(Alalahanin na ang isang cylindrical na ibabaw ay isang ibabaw na nakuha sa pamamagitan ng paggalaw ng isang tuwid na linya, na tinatawag na isang generatrix, parallel sa sarili nito. Ang linya ng intersection ng ibabaw na ito na may isang eroplano na patayo sa generatrix ay tinatawag na isang gabay - tinutukoy nito ang hugis ng ibabaw).
Sa pamamagitan ng pagkakatulad, maaari nating isulat ang mga equation ng parehong cylindrical na ibabaw na may mga generatrice na kahanay sa Oy axis at Ox axis. Ang gabay ay maaaring tukuyin bilang ang linya ng intersection ng ibabaw ng silindro at ang kaukulang coordinate plane, i.e. sistema ng mga equation ng anyo:
2. Mga equation ng second order cone na may vertex sa pinanggalingan:
(1.75)
(ang mga axes ng cone ay ang Oz, Oy at Ox axes, ayon sa pagkakabanggit)
3. Canonical equation ng ellipsoid: (1.76);
Ang mga espesyal na kaso ay mga ellipsoid ng rebolusyon, halimbawa 
– ibabaw na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng isang ellipse 
sa paligid ng Oz axis (At
a > c ang ellipsoid ay naka-compress, na may isang x2 + y2+ z2 + = r2 – ang equation ng isang globo ng radius r na may sentro sa pinanggalingan).
4. Canonical equation ng isang one-sheet hyperboloid
(maaaring lumitaw ang sign na “–” sa harap ng alinman sa tatlong termino sa kaliwang bahagi - binabago lamang nito ang posisyon ng ibabaw sa espasyo). Ang mga espesyal na kaso ay mga single-sheet hyperboloids ng rebolusyon, halimbawa 
– ibabaw na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng hyperbola 
sa paligid ng Oz axis (ang haka-haka na axis ng hyperbola).
5. Canonical equation ng isang two-sheet hyperboloid
(maaaring lumitaw ang “–” sign sa harap ng alinman sa tatlong termino sa kaliwang bahagi).
Ang mga espesyal na kaso ay dalawang-sheet na hyperboloids ng rebolusyon, halimbawa, isang ibabaw na nakuha sa pamamagitan ng pag-ikot ng hyperbola sa paligid ng Oz axis (ang tunay na axis ng hyperbola).
6. Canonical equation ng isang elliptic paraboloid
(p >0, q >0) (1.79)
7. Canonical equation ng isang hyperbolic paraboloid
(p >0, q >0) (1.80)
(ang variable na z ay maaaring magpalit ng mga lugar sa alinman sa mga variable na x at y - ang posisyon ng ibabaw sa espasyo ay magbabago).
Tandaan na ang ideya ng mga tampok (hugis) ng mga ibabaw na ito ay madaling makuha sa pamamagitan ng pagsasaalang-alang sa mga seksyon ng mga ibabaw na ito sa pamamagitan ng mga eroplanong patayo sa mga coordinate axes.
Kontrolin ang mga tanong.
1) Anong hanay ng mga punto sa espasyo ang tumutukoy sa equation?
2) Ano ang mga canonical equation ng second order cylinders; pangalawang order kono; ellipsoid; single-sheet hyperboloid; dalawang-sheet hyperboloid; elliptical paraboloid; hyperbolic paraboloid?
1) Hanapin ang sentro at radius ng globo at ipahiwatig ang tamang sagot:
a) C(1.5;-2.5;2), 
; b) C(1.5;2.5;2), ;
2) Tukuyin ang uri ng ibabaw na ibinigay ng mga equation: 
. Ipahiwatig ang tamang sagot:
a) single-sheet hyperboloid; hyperbolic paraboloid; elliptical paraboloid; kono.
b) dalawang-sheet hyperboloid; hyperbolic paraboloid; elliptical paraboloid; kono.
Sa espasyo, pinag-aaralan ng analytical geometry ang mga surface na tinutukoy sa rectangular Cartesian coordinate sa pamamagitan ng algebraic equation una, pangalawa, atbp. degree na nauugnay sa X, Y, Z:
Ax+By+Cz+D=0 (1)
Ax²+By²+Cz²+2Dxy+2Exz+2Fyz+2Mx+2Ny+2Lz+K=0 (2)
at iba pa. Ang pagkakasunud-sunod ng isang equation ay tinatawag na pagkakasunud-sunod ng ibabaw na tinukoy nito. Nakita na natin na ang equation unang order(linear) (1) palaging tumutukoy eroplano ay ang tanging first-order surface. Marami nang second-order surface. Tingnan natin ang pinakamahalaga sa kanila.
§2. Mga cylindrical na ibabaw na may mga generatrice na kahanay sa isa sa mga coordinate axes.
Hayaan, halimbawa, ang isang tiyak na linya L ay ibigay sa XОY plane, ang equation nito ay F(x,y)=0 (1) . Pagkatapos ang hanay ng mga tuwid na linya na kahanay sa oz axis (mga generator) at dumadaan sa mga punto sa L ay bumubuo ng isang ibabaw na tinatawag na S. cylindrical na ibabaw.
Ipakita natin na ang equation (1), na hindi naglalaman ng variable z, ay ang equation ng cylindrical surface na ito na S. Kumuha ng arbitrary point na M(x,y,z) na kabilang sa S. Hayaang ang generatrix na dumadaan sa M ay mag-intersect sa L sa puntong N. Ang punto N ay may mga coordinate N(x,y,0), natutugunan nila ang equation (1), dahil (·)N ay kabilang sa L. Ngunit ang mga coordinate (x,y,z,) ay nakakatugon din sa (1), dahil hindi ito naglalaman ng z. Nangangahulugan ito na ang mga coordinate ng anumang punto ng cylindrical surface S ay nakakatugon sa equation (1). Nangangahulugan ito na ang F(x,y)=0 ay ang equation ng cylindrical surface na ito. Curve L ang tawag gabay (curve) cylindrical na ibabaw. Tandaan na sa spatial system ang L ay dapat ibigay, sa pangkalahatan, ng dalawang equation na F(x,y)=0, z=0, bilang isang intersection line.
Mga halimbawa:
Ang mga gabay sa howe plane ay ellipse, parabola, hyperbola. Malinaw, ang mga equation na F=(y,z)=0 at F(x,z)=0 ay tumutukoy, ayon sa pagkakabanggit, mga cylindrical na ibabaw na may mga generator na parallel sa OX at OY axes. Ang kanilang mga gabay ay nasa YOZ at XOZ na mga eroplano, ayon sa pagkakabanggit.
Magkomento. Ang isang cylindrical na ibabaw ay hindi palaging isang pangalawang-order na ibabaw. Halimbawa, mayroong isang cylindrical na ibabaw ng ika-3 order, at ang equation na y=sin(x) ay tumutukoy sa isang sinusoidal cylinder, kung saan walang pagkakasunud-sunod na itinalaga ito ay hindi isang algebraic surface.
§3. Equation ng ibabaw ng rebolusyon.
Ang ilang 2nd order surface ay surface ng rebolusyon. Hayaang ang ilang kurba L F(y,z)=0(1) ay nasa YOZ plane. Alamin natin kung ano ang magiging equation ng surface S, na nabuo sa pamamagitan ng umiikot na curve (1) sa paligid ng oz axis.
Kumuha tayo ng di-makatwirang punto M(x,y,z) sa ibabaw ng S. Maaari itong ituring na nakuha mula sa (.) N na kabilang sa L, pagkatapos ay ang mga applicates ng mga puntos na M at N ay pantay (=z). Ang ordinate ng point N ay dito ang radius ng pag-ikot, dahil .Ngunit C(0,0,z) at dahil 
. Ngunit ang punto N ay namamalagi sa curve at samakatuwid ang mga coordinate nito ay nasiyahan ito. ibig sabihin 
(2)
. Nasisiyahan ang equation (2) ng mga coordinate ng surface ng revolution S. Ibig sabihin, (2) ang equation ng surface ng revolution. Ang mga palatandaang “+” o “-” ay kinukuha depende sa kung saang bahagi ng YOZ plane curve (1) matatagpuan, kung saan ang y>0 o .
Kaya, ang panuntunan: Upang mahanap ang equation ng surface na nabuo sa pamamagitan ng pag-ikot ng curve L sa paligid ng OZ axis, kailangan mong palitan ang variable y sa equation ng curve
Ang mga equation para sa ibabaw ng rebolusyon sa paligid ng OX at OY axes ay itinayo sa katulad na paraan.
Lecture 2. Ang eroplano bilang isang ibabaw ng unang order. Mga equation ng eroplano at ang kanilang pag-aaral. Isang tuwid na linya sa kalawakan, ang relatibong posisyon ng mga tuwid na linya sa kalawakan, isang eroplano at isang tuwid na linya sa kalawakan. Isang tuwid na linya sa isang eroplano, mga equation ng isang tuwid na linya sa isang eroplano, ang distansya mula sa isang punto hanggang sa isang tuwid na linya sa isang eroplano. Mga kurba ng pangalawang order; derivation ng canonical equation, pag-aaral ng equation at construction ng curves. Mga ibabaw ng pangalawang pagkakasunud-sunod, pag-aaral ng mga canonical equation ng mga ibabaw. Paraan ng seksyon. 1
Mga elemento ng analytical geometry § 1. Plane. Mayroon kaming OXYZ at ilang surface S F(x, y, z) = 0 z x (S) О y Definition 1: ang equation na may tatlong variable ay tinatawag na equation ng surface S sa space kung ang equation na ito ay nasiyahan sa coordinate ng bawat isa. punto na nakahiga sa ibabaw at hindi nasisiyahan sa mga coordinate na walang isang punto na nakahiga dito. 2
Halimbawa. Equation (x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R 2 (R > 0) tinutukoy namin ang isang globo na may sentro sa punto C(a, b, c) at radius R. M M (x , y, z) – variable point M ϵ (S) |CM| = R C 3
Depinisyon 2: Ang surface S ay tinatawag na surface ng nth order kung sa ilang Cartesian coordinate system ito ay ibinibigay ng isang algebraic equation ng nth degree F(x, y, z) = 0 (1) Sa halimbawa (S) - isang bilog, isang ibabaw ng pangalawang pagkakasunud-sunod . Kung ang S ay isang ibabaw ng ika-na order, kung gayon ang F(x, y, z) ay isang polynomial ng ika-1 degree na may paggalang sa (x, y, z). Gumawa tayo ng equation para sa isang eroplanong dumadaan sa puntong M (x, y, z), na may normal na vector 4
Hayaang ang M(x, y, z) ay isang arbitrary (kasalukuyang) punto ng eroplano. M M 0 O α o sa anyong coordinate: (2) Ang equation (2) ay ang equation ng eroplanong dumadaan sa puntong M na may ibinigay na normal na vector. 5
D (*) (3) - kumpletong equation ng eroplano Hindi kumpletong equation ng eroplano. Kung sa equation (3) ilang coefficients (ngunit hindi A, B, C sa parehong oras) = 0, kung gayon ang equation ay tinatawag na hindi kumpleto at ang eroplano α ay may mga tampok sa lokasyon nito. Halimbawa, kung D = 0, ang α ay dumadaan sa pinanggalingan. 6
Ang distansya mula sa puntong M 1 hanggang sa eroplano α M 1(x 1, y 1, z 1) α: M 1 d α M 0 ay inilapat sa puntong M 0 K 7
- distansya mula sa punto M 1 hanggang sa eroplano α Equation ng eroplano "sa mga segment" Gumawa tayo ng isang equation ng eroplano na pinutol ang mga non-zero na mga segment sa mga coordinate axes na may mga halaga ng C(0, 0, c) a, b, c. Kunin natin ang B(0, b, 0) bilang halaga Gumawa tayo ng equation para sa point A na may A(a, 0, 0) 8
-equation ng plane α "in segments" -equation ng plane na dumadaan sa point A, patayo sa normal na vector 9
§ 2. Pangkalahatang equation ng isang tuwid na linya. Ang isang tuwid na linya sa espasyo ay maaaring tukuyin sa pamamagitan ng intersection ng 2 eroplano. (1) equation ng isang tuwid na linya Ang isang sistema ng uri (1) ay tumutukoy sa isang tuwid na linya sa espasyo kung ang mga coefficient A 1, B 1, C 1 ay magkasabay na hindi katimbang sa A 2, B 2, C 2. 10
Parametric at canonical equation ng isang straight line - arbitrary point ng isang straight line point M M 0 Parametric equation t - parameter 11
Tinatanggal ang t, nakukuha natin ang: - canonical equation System (3) ay tumutukoy sa paggalaw ng isang materyal na punto, rectilinear at uniporme mula sa unang posisyon M 0 (x 0, y 0, z 0) na may bilis sa direksyon ng vector. 12
Ang anggulo sa pagitan ng mga tuwid na linya sa espasyo. Kondisyon ng parallelism at perpendicularity. Hayaang magkaroon ng dalawang linya L 1, L 2 sa espasyo na ibinigay ng kanilang mga canonical equation: Pagkatapos ang gawain ng pagtukoy ng anggulo sa pagitan ng mga linyang ito ay binabawasan sa pagtukoy ng anggulo
kanilang mga vector ng direksyon: Gamit ang kahulugan ng produkto ng scalar at ang expression sa mga coordinate ng tinukoy na produkto ng scalar at ang mga haba ng mga vectors q 1 at q 2, nakuha namin upang mahanap ang: 15
Ang kondisyon para sa parallelism ng mga tuwid na linya l 1 at l 2 ay tumutugma sa collinearity ng q 1 at q 2, ay nakasalalay sa proporsyonalidad ng mga coordinate ng mga vectors na ito, ibig sabihin, mayroon itong anyo: Ang kondisyon ng perpendicularity ay sumusunod mula sa kahulugan ng ang scalar product at ang pagkakapantay-pantay nito sa zero (sa cos = 0) at may anyo : l 1 l 2 + m 1 m 2 + n 1 n 2 = 0. 16
Anggulo sa pagitan ng isang tuwid na linya at isang eroplano: mga kondisyon para sa parallelism at perpendicularity ng isang tuwid na linya at isang eroplano Isaalang-alang ang eroplano P, na tinukoy ng pangkalahatang equation: Ax + By + Cz + D = 0, at ang tuwid na linya L, na tinukoy ng ang canonical equation: 17
Dahil ang anggulo sa pagitan ng tuwid na linya L at ng eroplanong P ay komplementaryo sa anggulo sa pagitan ng nagdidirekta na vector ng tuwid na linya q = (l, m, n) at ang normal na vector ng eroplano n = (A, B, C) , pagkatapos ay mula sa kahulugan ng produktong scalar q n = q n cos at ang pagkakapantay-pantay cos = sin (= 90 -), nakukuha natin ang: 18
Ang kondisyon ng parallelism ng tuwid na linya L at ang eroplano П (kabilang ang katotohanan na ang L ay kabilang sa П) ay katumbas ng kondisyon ng perpendicularity ng mga vectors q at n at ipinahayag ng = 0 scalar product ng mga vectors na ito: q n = 0: Аl + Bm + Cn = 0. Ang kondisyon ng perpendicularity ng tuwid na linya L at ang eroplanong P ay katumbas ng kondisyon ng parallelism ng mga vectors n at q at ipinahayag ng proporsyonalidad ng mga coordinate ng mga vectors na ito: 19
Ang mga kundisyon para sa dalawang linya na mapabilang sa parehong eroplano Ang dalawang linya sa espasyo L 1 at L 2 ay maaaring: 1) magsalubong; 2) maging parallel; 3) interbreed. Sa unang dalawang kaso, ang mga linya L 1 at L 2 ay nasa parehong eroplano. Itatag natin ang kundisyon para sa dalawang tuwid na linya na tinukoy ng mga canonical equation na kabilang sa parehong eroplano: 20
Malinaw, para ang dalawang ipinahiwatig na linya ay nabibilang sa parehong eroplano, ito ay kinakailangan at sapat na tatlong vectors = (x2 - x1, y2 - y1, z 2 - z 1); q 1 = (l 1, m 1, n 1) at q 2 = (l 2, m 2, n 2), ay coplanar, kung saan, sa turn, ito ay kinakailangan at sapat na ang pinaghalong produkto ng tatlong mga vector na ito. = 0. 21
Pagsusulat ng mga pinaghalong produkto ng ipinahiwatig na mga vector sa mga coordinate, nakakakuha kami ng isang kinakailangan at sapat na kondisyon para sa dalawang tuwid na linya L 1 at L 2 na nabibilang sa parehong eroplano: 22
Kundisyon para sa isang tuwid na linya na kabilang sa isang eroplano Hayaang magkaroon ng isang tuwid na linya at isang eroplano Ax + Bi + Cz + D = 0. Ang mga kundisyong ito ay may anyo: Ax1 + Bi1 + Cz 1 + D = 0 at Al + Bm + Cn = 0, ang una ay nangangahulugan na ang puntong M 1(x1, y1, z 1) na dinaraanan ng linya ay kabilang sa eroplano, at ang pangalawa ay ang kondisyon ng paralelismo ng linya at ng eroplano. 23
Second order curves. § 1. Ang konsepto ng equation ng isang linya sa isang eroplano. Ang equation f (x, y) = 0 ay tinatawag na equation ng linya L sa napiling coordinate system kung ito ay nasiyahan sa pamamagitan ng mga coordinate ng anumang punto na nakahiga sa linya at hindi nasiyahan sa mga coordinate ng anumang puntong hindi nakahiga dito. 24
Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-25.jpg" alt="Halimbawa: (x - a)2 + (y - b)2 = R 2 (R > 0)"> Пример: (x - a)2 + (y - b)2 = R 2 (R > 0) – уравнение окружности радиуса R и центром в точке С(a, b). Если 1.) 25!}
Ang isang linyang L ay tinatawag na isang linya ng ika-n na pagkakasunud-sunod kung sa ilang Cartesian coordinate system ito ay ibinibigay ng isang algebraic equation ng nth degree na may kinalaman sa x at y. Alam namin ang tanging linya ng 1st order - isang tuwid na linya: Ax + By + D = 0 Isasaalang-alang namin ang mga curve ng 2nd order: ellipse, hyperbola, parabola. Ang pangkalahatang equation ng 2nd order lines ay: Ax 2 + By 2 + Cxy + Dy + Ex + F = 0 26
Ellipse (E) Depinisyon. Ang Ellipse ay ang hanay ng lahat ng mga punto ng eroplano, ang kabuuan ng mga distansya sa dalawang nakapirming punto ng eroplano F 1 at F 2, na tinatawag na foci, ay isang pare-parehong halaga at isang malaking distansya sa pagitan ng foci. Tukuyin natin ang pare-pareho bilang 2 a, ang distansya sa pagitan ng foci bilang 2 c Iguhit ang X axis sa pamamagitan ng foci, (a > c, a > 0, c > 0). Y axis sa gitna ng focal length. Hayaang ang M ay isang arbitrary na punto ng ellipse, t M ϵ E r 1 + r 2 = 2 a (1), kung saan ang r 1, r 2 ay ang focal 27 radii ng E.
Isulat natin ang (1) sa anyong coordinate: (2) Ito ang equation ng isang ellipse sa napiling coordinate system. Ang pagpapasimple (2) ay nakuha natin: b 2 = a 2 - c 2 (3) – ang canonical equation ng ellipse. Maaaring ipakita na ang (2) at (3) ay katumbas: 28
Pag-aaral ng hugis ng isang ellipse gamit ang canonical equation 1) Ang Ellipse ay isang curve ng 2nd order 2) Symmetry ng ellipse. dahil ang x at y ay kasama sa (3) lamang sa pantay na kapangyarihan, ang ellipse ay may 2 axes at 1 center of symmetry, na sa napiling coordinate system ay tumutugma sa mga napiling coordinate axes at point O. 29
3) Lokasyon ng ellipse Iyon ay, ang buong E ay matatagpuan sa loob ng isang parihaba, ang mga gilid nito ay x = ± a at y = ± b. 4) Intersection na may mga palakol. A 1(-a; 0); A 2(a; 0); C OX: vertices ng ellipse C OU: B 1(0; b); B 2(0; -b); Dahil sa simetrya ng ellipse, isasaalang-alang namin ang pag-uugali nito (↓) sa unang quarter lamang. tatlumpu
Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-31.jpg" alt=" Resolving (3) na may kinalaman sa y na nakukuha natin: sa unang quarter x > 0 at ang ellipse bumababa."> Разрешив (3) относительно y получим: в I четверти x > 0 и эллипс убывает. Вывод: Э – замкнутая кривая, овальная, имеющая четыре вершины. План построения Э. 1) Строим прямоугольник со сторонами 2 a, 2 b 2) Вписываем выпуклую овальную линию 31!}
Hyperbola (Г) Depinisyon: Ang Г ay ang hanay ng lahat ng mga punto ng eroplano, ang modulus ng pagkakaiba sa mga distansya sa 2 nakapirming punto ng eroplano F 1, F 2 ay isang pare-parehong halaga at
Ang pagpapasimple (1): (2) ay ang canonical equation ng G. (1) at (2) ay katumbas. Pag-aaral ng hyperbola gamit ang canonical equation. 3) Lokasyon ng hyperbola. 34
Ang hyperbola ay matatagpuan sa labas ng strip sa pagitan ng mga linyang x = a, x = -a. 4) Mga punto ng intersection na may mga palakol. OX: OY: walang mga solusyon A 1(-a; 0); A 2(a; 0) – totoong vertices Г B 1(0; b); B 2(0; -b) – imaginary vertices Г 2 a – real axis Г 2 b – imaginary axis Г 35
5) Asymptotes ng isang hyperbola. Dahil sa simetrya ng Г, isinasaalang-alang namin ang bahagi nito sa unang quarter. Nang malutas ang (2) na may paggalang sa y, nakuha namin ang: equation Г sa unang quarter x ≥ 0 Isaalang-alang ang tuwid na linya: dahil sa unang quarter x>0, iyon ay, sa unang quarter na may parehong abscissa, ang ordinate ng linya > i-ordinate ang kaukulang punto Г, ibig sabihin, sa unang quarter Г ay nasa ibaba ng tuwid na linyang ito. Ang buong G ay nasa loob ng isang patayong anggulo na may mga gilid 36
6) Maipapakita na sa unang bahagi ay tumataas ang G 7) Magplano para sa pagbuo ng G a) bumuo ng isang parihaba 2 a, 2 b b) iguhit ang mga dayagonal nito c) markahan ang A 1, A 2 - ang tunay na vertices ng G at 38 isulat mga sangay na ito
Parabola (P) Isaalang-alang ang d (directrix) at F (focus) sa eroplano. Kahulugan. П – set ng lahat ng mga punto ng eroplano na katumbas ng layo mula sa linya d at punto F (focus) 39
d-directrix F-focus XOY point М П pagkatapos, |MF| = |MN| (1) equation ng P, pinili sa coordinate system. Pagpapasimple (1) makuha natin ang y 2 = 2 px (2) – ang canonical equation ng P. (1) at (2) ay katumbas ng 40.
Pag-aaral ng P gamit ang canonical equation x 2=2 py x 2=-2 py y 2=2 px y 2=-2 px 41
§ 4. Mga silindro. Mga cylindrical na ibabaw na may mga generatrice na kahanay sa mga coordinate axes Sa pamamagitan ng punto x ng linya L gumuhit kami ng isang tuwid na linya parallel sa OZ axis. Ang ibabaw na nabuo ng mga tuwid na linya na ito ay tinatawag na cylindrical surface o cylinder (C). Anumang tuwid na linya na kahanay sa OZ axis ay tinatawag na generatrix. l ang gabay ng cylindrical surface ng XOY plane. Z(x, y) = 0 (1) 42
Hayaang ang M(x, y, z) ay isang arbitrary na punto ng isang cylindrical na ibabaw. I-project natin ito sa L. M 0 ϵ L => Z(x 0, y 0) = 0 (2) x = x 0 => Z(x, y) = 0 Mϵ Ц y = y 0 M ϵL 0 iyon ay , ang mga coordinate M ay nakakatugon sa (1), ito ay malinaw na kung M C, pagkatapos ito ay hindi inaasahang sa punto M 0 ϵ L at samakatuwid, ang mga coordinate ng M ay hindi masisiyahan ang equation (1), na tumutukoy sa C na may isang generatrix parallel sa OZ axis sa kalawakan. Katulad nito, maaari itong ipakita na: Ф(x, z) = 0 sa espasyo Г || Ang OY 43 (y, z) = 0 ay tumutukoy sa espasyo C || OX
Projection ng isang spatial na linya sa isang coordinate plane Ang isang linya sa espasyo ay maaaring tukuyin sa parametrically at sa pamamagitan ng intersection ng mga ibabaw. Ang parehong linya ay maaaring tukuyin bilang ∩ ng iba't ibang mga ibabaw. Hayaang bigyan ang spatial line L na ∩ ng dalawang surface α: S 1: Ф 1(x, y, z) = 0 S 2: Ф 2(x, y, z) = 0 equation L Ф 1(x, y, z) = 0 (1) Ф 2(x, y, z) = 0 Hanapin natin ang projection ng L papunta sa plane XOY mula sa equation (1) at ibukod ang Z. Nakuha natin ang equation: Z(x, y) = 0 – sa espasyo ito ang equation Ε sa generator || OZ at gabay L. 46
Projection: L xy Z(x, y) = 0 Z=0 Second-order surface Ellipsoid - ang canonical equation ng surface ay may anyo: 1) Ellipsoid - isang second-order surface. 2) X, Y, Z ipasok ang equation lamang sa kahit na kapangyarihan => ang ibabaw ay may 3 eroplano at 1 sentro ng mahusay na proporsyon, na sa napiling sistema ng coordinate ay nag-tutugma sa mga coordinate na eroplano at ang pinagmulan. 47
3) Lokasyon ng ellipsoid Ang ibabaw ay nakapaloob sa pagitan ng || mga eroplanong may mga equation na x = a, x = -a. Katulad nito, i.e. ang buong ibabaw ay nakapaloob sa loob ng isang parihabang parallelepiped. x = ± a, y = ± b, z = ± c. Susuriin namin ang ibabaw gamit ang paraan ng mga seksyon - intersecting ang ibabaw na may mga coordinate na eroplano || coordinate. Sa seksyon ay makakakuha tayo ng mga linya, sa pamamagitan ng hugis kung saan hahatulan natin ang hugis ng ibabaw. 48
Mag-intersect tayo sa ibabaw gamit ang XOY plane. Sa seksyon ay nakakakuha kami ng isang linya. - ellipse a at b – semi-axes Katulad ng YOZ plane - ellipse na may semi-axes b at c Plane || XOY Kung h(0, c), ang mga ellipse axes ay bababa mula a at b hanggang 0. 49
a = b = c - sphere Paraboloids a) Hyperbolic paraboloid - isang surface na may canonical equation: 1) Second-order surface 2) Dahil ang x, y ay pumapasok lamang sa equation sa even powers, ang surface ay may mga plane of symmetry, na nag-tutugma. para sa isang naibigay na pagpipilian ng mga coordinate na may 50 eroplano XOZ, YOZ.
3) sinusuri namin ang ibabaw gamit ang paraan ng seksyon ng saddle. XOZ Sa cross-section, ang parabola ay simetriko sa OZ axis, pataas. pl. YOZ 51
Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-53.jpg" alt=" area ||XOY for h > 0 hyperbolas, with real semi-axis along OX, for h"> пл. ||XOY при h > 0 гиперболы, с действительной полуосью вдоль OX, при h z ≥ 0, то есть, вся поверхность расположена над XOY. 4) исследуем поверхность методом сечения 53!}
b) Two-sheet hyperboloid 1) surface of second order 2) has 3 planes and 1 center of symmetry 3) surface location x 2 ≥ a 2; |x| ≥ a; (a, b, c > 0) Ang ibabaw ay binubuo ng dalawang bahagi na matatagpuan sa labas ng strip sa pagitan ng mga eroplano na may mga equation na x = a, x = -a 4) pinag-aaralan natin ang paraan ng mga seksyon (Sa ating sarili!) 57
Second-order cone Ang second-order cone ay isang surface na ang canonical equation ay may anyo: 1) second-order surface 2) may 3 planes at 1 center of symmetry 3) pinag-aaralan natin ang paraan ng sections square. XOY 58
Src="https://present5.com/presentation/-127141277_437875303/image-59.jpg" alt=" square ||XOY |h| –>∞ mula 0 hanggang ∞ square YOZ na pares ng mga tuwid na linya, dumadaan"> пл. ||XOY |h| –>∞ от 0 до ∞ пл. YOZ пара прямых, проходящих через начало координат пл. XOZ пара прямых, проходящих через начало координат 59!}
60
§7. Plane bilang isang ibabaw ng unang order. Pangkalahatang equation ng eroplano. Equation ng isang eroplanong dumadaan sa isang partikular na punto na patayo sa isang ibinigay na vector. Ni Cz D 0, A2 B2 C 2 0 . Teorama 7.1. Anumang eroplano ay maaaring tukuyin sa isang arbitrary na hugis-parihaba na Cartesian coordinate system sa pamamagitan ng isang equation ng form (7.1). Sa eksaktong parehong paraan tulad ng sa kaso ng isang linya sa isang eroplano, ang kabaligtaran ng Theorem 7.1 ay wasto. Teorama 7.2. Ang anumang equation ng form (7.1) ay tumutukoy sa isang eroplano sa kalawakan. Ang patunay ng Theorems 7.1 at 7.2 ay maaaring isagawa katulad ng patunay ng Theorems 2.1, 2.2. Mula sa Theorems 7.1 at 7.2 ito ay sumusunod na ang eroplano at lamang ito ay isang ibabaw ng unang order. Ang equation (7.1) ay tinatawag na general plane equation. Ang coefficients nito A, B, C ay binibigyang-kahulugan sa geometriko bilang mga coordinate ng vector n patayo sa eroplanong tinukoy ng equation na ito. Ang vector na ito n(A, B, C) ay tinatawag na normal na vector sa ibinigay na eroplano. Equation (7.2) A(x x0) B(y y0) C (z z0) 0 para sa lahat ng posibleng halaga ng coefficients A, B, C ay tumutukoy sa lahat ng eroplanong dumadaan sa puntong M 0 ( x0 , y0 , z0) . Ito ay tinatawag na equation ng isang bungkos ng mga eroplano. Ang pagpili ng mga tiyak na halaga ng A, B, C sa (7.2) ay nangangahulugang ang pagpili ng eroplano P mula sa link na dumadaan sa punto M 0 patayo sa ibinigay na vector n(A, B, C) (Fig. 7.1 ). Halimbawa 7.1. Isulat ang equation ng plane P na dumadaan sa punto A(1, 2, 0) parallel sa mga vectors a (1, 2,–1), b (2, 0, 1) . Ang normal na vector n sa P ay orthogonal sa ibinigay na mga vectors a at b (Fig. 7.2), kaya para sa n maaari nating kunin ang kanilang vector n produkto: A P i j k 2 1 . 1 1 2 n a b 1 2 1 i j 2 1 k 12 0 0 1 2 0 1 n a a a . Palitan natin ang mga coordinate ng Fig. 7.2. Halimbawa, 7.1 P M0 point M 0 at vector n sa equation (7.2), nakuha namin ang Fig. 7.1. Sa equation ng eroplano ng isang bundle ng mga eroplano P: 2(x 1) 3(y 2) 4z 0 o P: 2x 3y 4z 4 0 .◄ 1 Kung Ang A, B, C ng equation (7.1) ay katumbas ng zero, ito ay tumutukoy sa isang eroplanong parallel sa isa sa mga coordinate na eroplano. Halimbawa, kapag A B 0, C 0 – eroplano P1: Cz D 0 o P1: z D / C (Fig. 7.3). Ito ay parallel sa Oxy plane, dahil ang normal nitong vector n1(0, 0, C) ay patayo sa eroplanong ito. Para sa A C 0, B 0 o B C 0, A 0, equation (7. 1) tumutukoy sa mga eroplanong P2: Sa pamamagitan ng D 0 at P3: Ax D 0, parallel sa coordinate planes na Oxz at Oyz, dahil ang kanilang mga normal na vectors n2(0, B, 0) at n3(A, 0) , 0 ) ay patayo sa kanila (Larawan 7.3). Kung isa lamang sa mga coefficient A, B, C ng equation (7.1) ay katumbas ng zero, kung gayon ito ay tumutukoy sa isang eroplanong parallel sa isa sa mga coordinate axes (o naglalaman nito kung D 0). Kaya, ang eroplanong P: Ax By D 0 ay parallel sa Oz axis, z z n1 n n2 P1 L P O n3 x y O P2 y P3 x Fig. 7.4. Plane P: Ax B y D 0, parallel sa Oz axis Fig. 7.3. Ang mga eroplano ay parallel sa mga coordinate na eroplano dahil ang normal na vector nito n(A, B, 0) ay patayo sa Oz axis. Tandaan na ito ay dumadaan sa tuwid na linya L: Ax By D 0 na nakahiga sa Oxy plane (Fig. 7.4). Para sa D 0, ang equation (7.1) ay tumutukoy sa isang eroplanong dumadaan sa pinanggalingan ng mga coordinate. Halimbawa 7.2. Hanapin ang mga halaga ng parameter kung saan ang equation x (2 2) y (2 2)z 3 0 ay tumutukoy sa parallel P: ng mga coordinate na eroplano; b) parallel sa isa sa mga coordinate axes; c) pagpasa sa pinagmulan ng mga coordinate. Isulat natin ang equation na ito sa anyong x ( 2) y ( 2)( 1) z 3 0 . (7.3) Para sa anumang halaga , ang equation (7.3) ay tumutukoy sa isang tiyak na eroplano, dahil ang mga coefficient ng x, y, z sa (7.3) ay hindi sabay-sabay na nawawala. a) Para sa 0, ang equation (7.3) ay tumutukoy sa isang eroplanong P parallel sa eroplanong Oxy, P: z 3 / 2, at para sa 2 ito ay tumutukoy sa isang eroplanong P 2 parallel sa eroplanong Oyz, P: x 5/ 2. Para sa walang mga halaga ng ang eroplanong P na tinukoy ng equation (7.3) ay parallel sa eroplanong Oxz, dahil ang mga coefficient ng x, z sa (7.3) ay hindi sabay-sabay na nawawala. b) Para sa 1, ang equation (7.3) ay tumutukoy sa isang eroplanong P parallel sa Oz axis, P: x 3y 2 0. Para sa iba pang mga halaga ng parameter , hindi nito tinukoy ang isang eroplanong parallel sa isa lamang sa mga coordinate axes. c) Para sa 3, ang equation (7.3) ay tumutukoy sa eroplanong P na dumadaan sa pinanggalingan, P: 3x 15 y 10 z 0 . ◄ Halimbawa 7.3. Isulat ang equation ng plane P na dumadaan sa: a) point M (1, 3, 2) parallel sa plane axis Oxy; b) ang Ox axis at point M (2, – 1, 3). a) Para sa normal na vector n sa P dito maaari nating kunin ang vector k (0, 0,1) - ang unit vector ng Oz axis, dahil ito ay patayo sa Oxy plane. I-substitute ang mga coordinate ng point M (1, 3, 2) at ang vector n sa equation (7.2), makuha natin ang equation ng plane P: z 3 0. b) Ang normal na vector n to Ang P ay orthogonal sa mga vectors i (1, 0, 0) at OM (2, 1, 3) , kaya maaari nating kunin ang kanilang vector product bilang n: i j k n i OM 1 0 0 j 12 03 k 12 01 3 j k . 2 1 3 I-substitute ang mga coordinate ng point O at vector n sa equation (7.2), makuha natin ang equation ng plane P: 3(y 0) (z 0) 0 o P: 3 y z 0 .◄ 3
