Average na antas

Kanang tatsulok. The Complete Illustrated Guide (2019)

KARAPATAN TRIANGLE. UNANG ANTAS.

Sa mga problema, ang tamang anggulo ay hindi kinakailangan - ang ibabang kaliwa, kaya kailangan mong matutunang makilala ang isang tamang tatsulok sa form na ito,

at dito

at dito

Ano ang maganda sa right triangle? Well..., una, may mga espesyal na magagandang pangalan para sa mga panig nito.

Pansin sa pagguhit!

Tandaan at huwag malito: mayroong dalawang paa, at mayroon lamang isang hypotenuse(isa at tanging, natatangi at pinakamahaba)!

Buweno, napag-usapan na natin ang mga pangalan, ngayon ang pinakamahalagang bagay: ang Pythagorean Theorem.

Pythagorean theorem.

Ang teorama na ito ay ang susi sa paglutas ng maraming problema na kinasasangkutan ng isang tamang tatsulok. Ito ay pinatunayan ni Pythagoras sa ganap na sinaunang panahon, at mula noon ito ay nagdala ng maraming benepisyo sa mga nakakaalam nito. At ang pinakamagandang bagay tungkol dito ay simple ito.

Kaya, Pythagorean theorem:

Naaalala mo ba ang biro: "Ang pantalon ng Pythagorean ay pantay sa lahat ng panig!"?

Iguhit natin ang parehong Pythagorean na pantalon at tingnan ang mga ito.

Hindi ba ito mukhang ilang uri ng shorts? Well, saang panig at saan sila pantay? Bakit at saan nanggaling ang biro? At ang biro na ito ay tiyak na konektado sa Pythagorean theorem, o mas tiyak sa paraan mismo ni Pythagoras na bumalangkas ng kanyang theorem. At binabalangkas niya ito ng ganito:

"Sum mga lugar ng mga parisukat, na binuo sa mga binti, ay katumbas ng parisukat na lugar, na binuo sa hypotenuse."

Medyo iba ba talaga ang tunog nito? At kaya, nang iguhit ni Pythagoras ang pahayag ng kanyang teorama, ito mismo ang lumabas na larawan.

Sa larawang ito, ang kabuuan ng mga lugar ng maliliit na parisukat ay katumbas ng lugar ng malaking parisukat. At upang mas matandaan ng mga bata na ang kabuuan ng mga parisukat ng mga binti ay katumbas ng parisukat ng hypotenuse, isang taong matalino ang nagmula sa biro na ito tungkol sa pantalon ng Pythagorean.

Bakit natin ngayon binabalangkas ang Pythagorean theorem?

Nagdusa ba si Pythagoras at nagsalita tungkol sa mga parisukat?

Kita mo, noong unang panahon walang... algebra! Walang mga palatandaan at iba pa. Walang mga inskripsiyon. Naiisip mo ba kung gaano kakila-kilabot para sa mga mahihirap na sinaunang mag-aaral na matandaan ang lahat sa mga salita??! At maaari tayong magalak na mayroon tayong simpleng pagbabalangkas ng Pythagorean theorem. Ulitin natin itong muli upang mas matandaan ito:

Dapat itong maging madali ngayon:

Ang parisukat ng hypotenuse ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga binti.

Buweno, ang pinakamahalagang teorama tungkol sa mga tamang tatsulok ay tinalakay. Kung interesado ka sa kung paano ito napatunayan, basahin ang mga sumusunod na antas ng teorya, at ngayon ay pumunta pa tayo... sa madilim na kagubatan... ng trigonometry! Sa mga katakut-takot na salitang sine, cosine, tangent at cotangent.

Sine, cosine, tangent, cotangent sa isang right triangle.

Sa katunayan, ang lahat ay hindi masyadong nakakatakot. Siyempre, ang "tunay" na kahulugan ng sine, cosine, tangent at cotangent ay dapat tingnan sa artikulo. Pero ayoko talaga diba? Maaari tayong magalak: upang malutas ang mga problema tungkol sa isang tamang tatsulok, maaari mo lamang punan ang mga sumusunod na simpleng bagay:

Bakit puro kanto lang ang lahat? Saan ang sulok? Upang maunawaan ito, kailangan mong malaman kung paano isinusulat sa mga salita ang mga pahayag 1 - 4. Tingnan, unawain at tandaan!

1.
Sa totoo lang parang ganito:

Paano ang anggulo? Mayroon bang isang binti na nasa tapat ng sulok, iyon ay, isang kabaligtaran (para sa isang anggulo) na binti? Syempre meron! Ito ay isang paa!

Paano ang anggulo? Tingnan mong mabuti. Aling binti ang katabi ng sulok? Siyempre, ang binti. Nangangahulugan ito na para sa anggulo ang binti ay katabi, at

Ngayon, pansinin mo! Tingnan kung ano ang nakuha namin:

Tingnan kung gaano ito kaganda:

Ngayon ay lumipat tayo sa tangent at cotangent.

Paano ko ito isusulat sa mga salita ngayon? Ano ang paa na may kaugnayan sa anggulo? Kabaligtaran, siyempre - ito ay "namamalagi" sa tapat ng sulok. Paano ang binti? Katabi ng kanto. Kaya ano ang mayroon tayo?

Tingnan kung paano nagpalit ng puwesto ang numerator at denominator?

At ngayon ang mga sulok muli at gumawa ng isang palitan:

Buod

Isulat natin sa madaling sabi ang lahat ng ating natutunan.

Pythagorean theorem:

Ang pangunahing theorem tungkol sa right triangles ay ang Pythagorean theorem.

Pythagorean theorem

Oo nga pala, naaalala mo ba kung ano ang mga binti at hypotenuse? Kung hindi napakahusay, pagkatapos ay tingnan ang larawan - i-refresh ang iyong kaalaman

Ito ay lubos na posible na nagamit mo na ang Pythagorean theorem nang maraming beses, ngunit naisip mo na ba kung bakit totoo ang gayong teorama? Paano ko ito mapapatunayan? Gawin natin tulad ng mga sinaunang Griyego. Gumuhit tayo ng isang parisukat na may gilid.

Tingnan kung gaano namin katalinong hinati ang mga gilid nito sa mga haba at!

Ngayon ikonekta natin ang mga minarkahang tuldok

Dito kami, gayunpaman, ay may nabanggit na iba pa, ngunit ikaw mismo ay tumingin sa pagguhit at isipin kung bakit ganito.

Ano ang lugar ng mas malaking parisukat? Tama, . Paano ang isang mas maliit na lugar? Tiyak, . Ang kabuuang lugar ng apat na sulok ay nananatili. Isipin na kinuha namin silang dalawa sa isang pagkakataon at isinandal sila sa isa't isa gamit ang kanilang hypotenuse. Anong nangyari? Dalawang parihaba. Nangangahulugan ito na ang lugar ng "mga hiwa" ay pantay.

Pagsamahin natin ang lahat ngayon.

Ibahin natin:

Kaya binisita namin ang Pythagoras - pinatunayan namin ang kanyang teorama sa isang sinaunang paraan.

Kanang tatsulok at trigonometrya

Para sa isang tamang tatsulok, ang mga sumusunod na relasyon ay nagtataglay:

Ang sine ng isang matinding anggulo ay katumbas ng ratio ng kabaligtaran na bahagi sa hypotenuse

Ang cosine ng isang matinding anggulo ay katumbas ng ratio ng katabing binti sa hypotenuse.

Ang tangent ng isang matinding anggulo ay katumbas ng ratio ng kabaligtaran na bahagi sa katabing bahagi.

Ang cotangent ng isang matinding anggulo ay katumbas ng ratio ng katabing bahagi sa kabaligtaran.

At muli ang lahat ng ito sa anyo ng isang tablet:

Ito ay napaka komportable!

Mga palatandaan ng pagkakapantay-pantay ng mga tamang tatsulok

I. Sa dalawang panig

II. Sa pamamagitan ng binti at hypotenuse

III. Sa pamamagitan ng hypotenuse at acute angle

IV. Kasama ang binti at talamak na anggulo

a)

b)

Pansin! Napakahalaga dito na ang mga binti ay "angkop". Halimbawa, kung ito ay magiging ganito:

SAKA TRIANGLES AY HINDI PANTAY, sa kabila ng katotohanan na mayroon silang isang magkaparehong talamak na anggulo.

Kailangan sa parehong triangles ang binti ay katabi, o sa parehong ito ay kabaligtaran.

Napansin mo ba kung paano naiiba ang mga palatandaan ng pagkakapantay-pantay ng mga tamang tatsulok mula sa karaniwang mga palatandaan ng pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok? Tingnan ang paksang "at bigyang-pansin ang katotohanan na para sa pagkakapantay-pantay ng "ordinaryong" tatsulok, tatlo sa kanilang mga elemento ay dapat na pantay: dalawang panig at ang anggulo sa pagitan nila, dalawang anggulo at gilid sa pagitan nila, o tatlong panig. Ngunit para sa pagkakapantay-pantay ng mga tamang tatsulok, dalawang katumbas na elemento lamang ang sapat. Mahusay, tama?

Ang sitwasyon ay halos pareho sa mga palatandaan ng pagkakapareho ng mga tamang tatsulok.

Mga palatandaan ng pagkakatulad ng mga tamang tatsulok

I. Kasama ang isang matinding anggulo

II. Sa dalawang panig

III. Sa pamamagitan ng binti at hypotenuse

Median sa isang kanang tatsulok

Bakit ganito?

Sa halip na isang tamang tatsulok, isaalang-alang ang isang buong parihaba.

Gumuhit tayo ng isang dayagonal at isaalang-alang ang isang punto - ang punto ng intersection ng mga diagonal. Ano ang alam mo tungkol sa mga dayagonal ng isang parihaba?

At ano ang kasunod nito?

Kaya pala

1. - median:

Tandaan ang katotohanang ito! Malaking tulong!

Ang mas nakakagulat ay ang kabaligtaran ay totoo rin.

Anong kabutihan ang makukuha mula sa katotohanan na ang median na iginuhit sa hypotenuse ay katumbas ng kalahati ng hypotenuse? Tingnan natin ang larawan

Tingnan mong mabuti. Mayroon kaming: , iyon ay, ang mga distansya mula sa punto hanggang sa lahat ng tatlong vertice ng tatsulok ay naging pantay. Ngunit mayroon lamang isang punto sa tatsulok, ang mga distansya mula sa kung saan mula sa lahat ng tatlong vertices ng tatsulok ay pantay, at ito ay ang CENTER OF THE CIRCLE. So anong nangyari?

Kaya't magsimula tayo sa "bukod sa...".

Tingnan natin at.

Ngunit ang mga katulad na tatsulok ay may lahat ng pantay na anggulo!

Ang parehong masasabi tungkol sa at

Ngayon ay iguhit natin ito nang sama-sama:

Anong benepisyo ang maaaring makuha mula sa "triple" na pagkakatulad na ito?

Well, halimbawa - dalawang formula para sa taas ng isang tamang tatsulok.

Isulat natin ang mga relasyon ng mga kaukulang partido:

Upang mahanap ang taas, lutasin namin ang proporsyon at makuha ang unang formula na "Taas sa isang kanang tatsulok":

Kaya, ilapat natin ang pagkakatulad: .

Ano ang mangyayari ngayon?

Muli naming lutasin ang proporsyon at makuha ang pangalawang formula:

Kailangan mong tandaan ang parehong mga formula na ito nang napakahusay at gamitin ang isa na mas maginhawa. Isulat natin muli ang mga ito

Pythagorean theorem:

Sa isang tamang tatsulok, ang parisukat ng hypotenuse ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga binti: .

Mga palatandaan ng pagkakapantay-pantay ng mga tamang tatsulok:

• sa dalawang panig:
• sa pamamagitan ng binti at hypotenuse: o
• kasama ang binti at katabing talamak na anggulo: o
• kasama ang binti at ang kabaligtaran talamak na anggulo: o
• sa pamamagitan ng hypotenuse at acute angle: o.

Mga palatandaan ng pagkakapareho ng mga tamang tatsulok:

• isang matinding sulok: o
• mula sa proporsyonalidad ng dalawang paa:
• mula sa proporsyonalidad ng binti at hypotenuse: o.

Sine, cosine, tangent, cotangent sa isang right triangle

• Ang sine ng isang matinding anggulo ng isang tamang tatsulok ay ang ratio ng kabaligtaran na bahagi sa hypotenuse:
• Ang cosine ng isang matinding anggulo ng isang right triangle ay ang ratio ng katabing binti sa hypotenuse:
• Ang tangent ng isang talamak na anggulo ng isang tamang tatsulok ay ang ratio ng kabaligtaran na bahagi sa katabing bahagi:
• Ang cotangent ng isang matinding anggulo ng isang tamang tatsulok ay ang ratio ng katabing gilid sa kabaligtaran na bahagi: .

Taas ng tamang tatsulok: o.

Sa isang tamang tatsulok, ang median na iginuhit mula sa vertex ng tamang anggulo ay katumbas ng kalahati ng hypotenuse: .

Lugar ng isang tamang tatsulok:

• sa pamamagitan ng mga binti:

Ang Pythagorean theorem ay ang pinakamahalagang pahayag ng geometry. Ang teorama ay nabuo bilang mga sumusunod: ang lugar ng isang parisukat na itinayo sa hypotenuse ng isang kanang tatsulok ay katumbas ng kabuuan ng mga lugar ng mga parisukat na itinayo sa mga binti nito.

Ang pagtuklas ng pahayag na ito ay kadalasang iniuugnay sa sinaunang pilosopo ng Griyego at matematiko na si Pythagoras (VI siglo BC). Ngunit ipinakita ng isang pag-aaral ng Babylonian cuneiform na mga tapyas at sinaunang mga manuskrito ng Tsino (mga kopya ng mas matatandang manuskrito) na ang pahayag na ito ay kilala na bago pa si Pythagoras, marahil isang milenyo bago siya. Ang merito ni Pythagoras ay natuklasan niya ang patunay ng teorama na ito.

Malamang na ang katotohanang nakasaad sa Pythagorean theorem ay unang itinatag para sa isosceles right triangles. Tingnan lamang ang mosaic ng itim at mapusyaw na tatsulok na ipinapakita sa Fig. 1, upang i-verify ang bisa ng theorem para sa isang tatsulok: ang isang parisukat na binuo sa hypotenuse ay naglalaman ng 4 na tatsulok, at isang parisukat na naglalaman ng 2 tatsulok ay itinayo sa bawat panig. Upang patunayan ang pangkalahatang kaso sa Sinaunang India, gumamit sila ng dalawang pamamaraan: sa isang parisukat na may gilid, inilalarawan nila ang apat na kanang tatsulok na may haba ng mga binti at (Larawan 2, a at 2, b), pagkatapos ay sumulat sila ng isang salita " Tingnan mo!” At sa katunayan, sa pagtingin sa mga guhit na ito, nakita natin na sa kaliwa ay may isang pigura na walang mga tatsulok, na binubuo ng dalawang parisukat na may mga gilid at, nang naaayon, ang lugar nito ay katumbas ng , at sa kanan ay may isang parisukat na may gilid - ang lawak nito ay katumbas ng . Nangangahulugan ito na ito ang bumubuo sa pahayag ng Pythagorean theorem.

Gayunpaman, sa loob ng dalawang libong taon, hindi ang visual na patunay na ito ang ginamit, ngunit isang mas kumplikadong patunay na naimbento ni Euclid, na inilagay sa kanyang sikat na aklat na "Elements" (tingnan ang Euclid at ang kanyang "Elements"), pinababa ni Euclid ang taas. mula sa vertex ng isang tamang anggulo sa hypotenuse at pinatunayan , na ang pagpapatuloy nito ay naghahati sa parisukat na itinayo sa hypotenuse sa dalawang parihaba, ang mga lugar na kung saan ay katumbas ng mga lugar ng kaukulang mga parisukat na itinayo sa mga binti (Larawan 3). Ang pagguhit na ginamit upang patunayan ang teorama na ito ay pabirong tinatawag na "Pythagorean pants." Sa loob ng mahabang panahon ito ay itinuturing na isa sa mga simbolo ng agham sa matematika.

Ngayon, maraming dosenang iba't ibang mga patunay ng Pythagorean theorem ang kilala. Ang ilan sa mga ito ay batay sa pagkahati ng mga parisukat, kung saan ang isang parisukat na itinayo sa hypotenuse ay binubuo ng mga bahagi na kasama sa mga partisyon ng mga parisukat na itinayo sa mga binti; iba pa - sa pandagdag sa pantay na mga numero; ang pangatlo - sa katotohanan na ang taas na ibinaba mula sa tuktok ng isang tamang anggulo hanggang sa hypotenuse ay naghahati ng isang tamang tatsulok sa dalawang tatsulok na katulad nito.

Ang Pythagorean theorem ay sumasailalim sa karamihan ng mga geometric na kalkulasyon. Kahit na sa Sinaunang Babylon, ginamit ito upang kalkulahin ang haba ng taas ng isang isosceles triangle mula sa haba ng base at gilid, ang arrow ng isang segment mula sa diameter ng bilog at ang haba ng chord, at itinatag ang mga relasyon. sa pagitan ng mga elemento ng ilang regular na polygon. Gamit ang Pythagorean theorem, pinatutunayan namin ang generalization nito, na nagpapahintulot sa amin na kalkulahin ang haba ng gilid na nakahiga sa tapat ng isang acute o obtuse na anggulo:

Mula sa paglalahat na ito ay sumusunod na ang pagkakaroon ng isang tamang anggulo sa ay hindi lamang sapat, ngunit isang kinakailangang kondisyon para masiyahan ang pagkakapantay-pantay. Mula sa formula (1) ay sumusunod sa kaugnayan sa pagitan ng mga haba ng mga diagonal at mga gilid ng isang paralelogram, sa tulong kung saan madaling mahanap ang haba ng median ng isang tatsulok mula sa mga haba ng mga gilid nito.

Batay sa Pythagorean theorem, ang isang formula ay nagmula na nagpapahayag ng lugar ng anumang tatsulok sa pamamagitan ng mga haba ng mga gilid nito (tingnan ang Heron's formula). Siyempre, ginamit din ang Pythagorean theorem upang malutas ang iba't ibang praktikal na problema.

Sa halip na mga parisukat, maaari kang bumuo ng anumang mga katulad na figure (equilateral triangles, semicircles, atbp.) Sa mga gilid ng isang right triangle. Sa kasong ito, ang lugar ng figure na binuo sa hypotenuse ay katumbas ng kabuuan ng mga lugar ng figure na binuo sa mga binti. Ang isa pang paglalahat ay nauugnay sa paglipat mula sa eroplano patungo sa kalawakan. Ito ay nabuo bilang mga sumusunod: ang parisukat ng diagonal na haba ng isang parihabang parallelepiped ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga sukat nito (haba, lapad at taas). Ang isang katulad na teorama ay totoo sa multidimensional at kahit na walang hanggan-dimensional na mga kaso.

Ang Pythagorean theorem ay umiiral lamang sa Euclidean geometry. Hindi ito nangyayari alinman sa Lobachevsky geometry o sa iba pang non-Euclidean geometry. Walang analogue ng Pythagorean theorem sa globo. Dalawang meridian na bumubuo ng isang anggulo na 90° at ang ekwador ay nakagapos sa isang globo ng isang equilateral spherical triangle, lahat ng tatlong anggulo ay mga tamang anggulo. Para sa kanya, hindi gaya ng nasa eroplano.

Gamit ang Pythagorean theorem, kalkulahin ang distansya sa pagitan ng mga punto at ng coordinate plane gamit ang formula

.

Matapos matuklasan ang Pythagorean theorem, ang tanong ay lumitaw kung paano hanapin ang lahat ng triplets ng mga natural na numero na maaaring maging panig ng right triangles (tingnan ang huling theorem ni Fermat). Ang mga ito ay natuklasan ng mga Pythagorean, ngunit ang ilang mga pangkalahatang pamamaraan para sa paghahanap ng gayong mga triplets ng mga numero ay alam na ng mga Babylonians. Ang isa sa mga cuneiform tablet ay naglalaman ng 15 triplets. Kabilang sa mga ito ay may mga triplet na binubuo ng mga numero na napakalaki na maaaring walang tanong na mahanap ang mga ito sa pamamagitan ng pagpili.

Hippocratic fossa

Ang mga Hippocratic lunas ay mga figure na napapalibutan ng mga arko ng dalawang bilog, at, bukod dito, tulad ng paggamit ng radii at haba ng karaniwang chord ng mga bilog na ito, gamit ang isang compass at isang ruler, ang isa ay maaaring bumuo ng mga parisukat na magkapareho ang laki sa kanila.

Mula sa generalization ng Pythagorean theorem hanggang sa mga kalahating bilog, sumusunod na ang kabuuan ng mga lugar ng mga pink na bukol na ipinapakita sa figure sa kaliwa ay katumbas ng lugar ng asul na tatsulok. Samakatuwid, kung kukuha ka ng isosceles right triangle, makakakuha ka ng dalawang butas, ang lugar ng bawat isa ay magiging katumbas ng kalahati ng lugar ng tatsulok. Sinusubukang lutasin ang problema ng pag-squaring ng isang bilog (tingnan ang mga klasikal na problema ng sinaunang panahon), ang sinaunang Griyegong matematiko na si Hippocrates (ika-5 siglo BC) ay nakahanap ng higit pang mga butas, ang mga lugar kung saan ay ipinahayag sa mga tuntunin ng mga lugar ng mga rectilinear figure.

Ang isang kumpletong listahan ng mga hippomarginal lunulae ay nakuha lamang noong ika-19-20 siglo. salamat sa paggamit ng Galois theory method.

Alam ng bawat mag-aaral na ang parisukat ng hypotenuse ay palaging katumbas ng kabuuan ng mga binti, na ang bawat isa ay parisukat. Ang pahayag na ito ay tinatawag na Pythagorean theorem. Ito ay isa sa mga pinakatanyag na teorema ng trigonometrya at matematika sa pangkalahatan. Tingnan natin ito nang mas malapitan.

Ang konsepto ng isang tamang tatsulok

Bago magpatuloy upang isaalang-alang ang Pythagorean theorem, kung saan ang parisukat ng hypotenuse ay katumbas ng kabuuan ng mga binti na naka-squad, dapat nating isaalang-alang ang konsepto at katangian ng isang right triangle kung saan totoo ang theorem.

Ang tatsulok ay isang patag na pigura na may tatlong anggulo at tatlong panig. Ang tamang tatsulok, gaya ng ipinahihiwatig ng pangalan nito, ay may isang tamang anggulo, iyon ay, ang anggulong ito ay katumbas ng 90 o.

Mula sa mga pangkalahatang katangian ng lahat ng mga tatsulok, alam na ang kabuuan ng lahat ng tatlong anggulo ng figure na ito ay katumbas ng 180 o, na nangangahulugang para sa isang tamang tatsulok, ang kabuuan ng dalawang anggulo na hindi tamang mga anggulo ay 180 o - 90 o = 90 o. Ang huling katotohanang ito ay nangangahulugan na ang anumang anggulo sa tamang tatsulok na hindi tama ay palaging mas mababa sa 90 o.

Ang panig na nasa tapat ng tamang anggulo ay tinatawag na hypotenuse. Ang iba pang dalawang panig ay ang mga binti ng tatsulok, maaari silang magkapantay sa isa't isa, o maaari silang magkaiba. Mula sa trigonometrya alam natin na kung mas malaki ang anggulo kung saan nakahiga ang isang gilid ng isang tatsulok, mas malaki ang haba ng panig na iyon. Nangangahulugan ito na sa isang kanang tatsulok ang hypotenuse (nakahiga sa tapat ng 90 o anggulo) ay palaging mas malaki kaysa sa alinman sa mga binti (nakahiga sa tapat ng mga anggulo< 90 o).

Mathematical notation ng Pythagorean theorem

Ang teorama na ito ay nagsasaad na ang parisukat ng hypotenuse ay katumbas ng kabuuan ng mga binti, na ang bawat isa ay dating parisukat. Upang maisulat ang pormulasyon na ito sa matematika, isaalang-alang ang isang tamang tatsulok kung saan ang mga panig a, b at c ay ang dalawang paa at ang hypotenuse, ayon sa pagkakabanggit. Sa kasong ito, ang theorem, na binabalangkas bilang parisukat ng hypotenuse ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga binti, ay maaaring katawanin ng sumusunod na formula: c 2 = a 2 + b 2. Mula dito maaaring makuha ang iba pang mga formula na mahalaga para sa pagsasanay: a = √(c 2 - b 2), b = √(c 2 - a 2) at c = √(a 2 + b 2).

Tandaan na sa kaso ng isang right-angled equilateral triangle, iyon ay, a = b, ang pagbabalangkas: ang parisukat ng hypotenuse ay katumbas ng kabuuan ng mga binti, na ang bawat isa ay parisukat, ay isusulat sa matematika tulad ng sumusunod: c 2 = a 2 + b 2 = 2a 2, na nagpapahiwatig ng pagkakapantay-pantay: c = a√2.

Makasaysayang sanggunian

Ang Pythagorean theorem, na nagsasaad na ang parisukat ng hypotenuse ay katumbas ng kabuuan ng mga binti, na ang bawat isa ay parisukat, ay kilala nang matagal bago ito binigyang pansin ng sikat na pilosopong Griyego. Maraming papiro ng Sinaunang Ehipto, gayundin ang mga tapyas na luwad ng mga Babylonians, ang nagpapatunay na ginamit ng mga taong ito ang kilalang pag-aari ng mga gilid ng isang right triangle. Halimbawa, ang isa sa mga unang Egyptian pyramids, ang Pyramid of Khafre, ang pagtatayo nito ay itinayo noong ika-26 na siglo BC (2000 taon bago ang buhay ni Pythagoras), ay itinayo batay sa kaalaman sa aspect ratio sa isang right triangle 3x4x5 .

Bakit kung gayon ang teorama ay dinadala na ngayon ang pangalan ng Griyego? Ang sagot ay simple: Si Pythagoras ang unang nagpatunay ng teorama na ito sa matematika. Ang nakaligtas na Babylonian at Egyptian na nakasulat na mga mapagkukunan ay nagsasalita lamang tungkol sa paggamit nito, ngunit hindi nagbibigay ng anumang mathematical na patunay.

Ito ay pinaniniwalaan na pinatunayan ni Pythagoras ang teorama na pinag-uusapan sa pamamagitan ng paggamit ng mga katangian ng magkatulad na tatsulok, na nakuha niya sa pamamagitan ng pagguhit ng taas sa isang tamang tatsulok mula sa isang anggulo na 90 o hanggang sa hypotenuse.

Isang halimbawa ng paggamit ng Pythagorean theorem

Isaalang-alang ang isang simpleng problema: kinakailangan upang matukoy ang haba ng isang hilig na hagdanan L, kung alam na mayroon itong taas H = 3 metro, at ang distansya mula sa dingding kung saan ang hagdanan ay nakasalalay sa paa nito ay P = 2.5 metro.

SA sa kasong ito Ang H at P ay ang mga binti, at ang L ay ang hypotenuse. Dahil ang haba ng hypotenuse ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng mga binti, nakukuha natin ang: L 2 = H 2 + P 2, mula sa kung saan L = √(H 2 + P 2) = √(3 2 + 2.5 2 ) = 3.905 metro o 3 m at 90, 5 cm.

Ang potensyal para sa pagkamalikhain ay karaniwang iniuugnay sa mga humanidades, na iniiwan ang natural na agham sa pagsusuri, isang praktikal na diskarte at ang tuyong wika ng mga formula at numero. Ang matematika ay hindi maaaring uriin bilang asignaturang humanidades. Ngunit kung walang pagkamalikhain, hindi ka makakarating sa "reyna ng lahat ng agham" - alam ito ng mga tao sa mahabang panahon. Mula noong panahon ni Pythagoras, halimbawa.

Ang mga aklat-aralin sa paaralan, sa kasamaang-palad, ay karaniwang hindi nagpapaliwanag na sa matematika ay mahalaga hindi lamang sa pag-cram ng mga theorems, axioms at formula. Mahalagang maunawaan at madama ang mga pangunahing prinsipyo nito. At sa parehong oras, subukang palayain ang iyong isip mula sa mga cliches at elementarya na katotohanan - tanging sa gayong mga kondisyon ay ipinanganak ang lahat ng mahusay na pagtuklas.

Kasama sa gayong mga pagtuklas ang alam natin ngayon bilang Pythagorean theorem. Sa tulong nito, susubukan naming ipakita na ang matematika ay hindi lamang magagawa, ngunit dapat maging kapana-panabik. At na ang pakikipagsapalaran na ito ay angkop hindi lamang para sa mga nerds na may makapal na salamin, ngunit para sa lahat na malakas ang isip at malakas ang espiritu.

Mula sa kasaysayan ng isyu

Sa mahigpit na pagsasalita, kahit na ang teorama ay tinatawag na "Pythagorean theorem," hindi ito natuklasan mismo ni Pythagoras. Ang tamang tatsulok at ang mga espesyal na katangian nito ay pinag-aralan nang matagal bago ito. Mayroong dalawang polar na pananaw sa isyung ito. Ayon sa isang bersyon, si Pythagoras ang unang nakahanap ng kumpletong patunay ng theorem. Ayon sa isa pa, ang patunay ay hindi kabilang sa may-akda ni Pythagoras.

Ngayon hindi mo na masusuri kung sino ang tama at kung sino ang mali. Ang alam ay ang patunay ng Pythagoras, kung mayroon man, ay hindi nakaligtas. Gayunpaman, may mga mungkahi na ang sikat na patunay mula sa Euclid's Elements ay maaaring kay Pythagoras, at si Euclid ay nagtala lamang nito.

Alam din ngayon na ang mga problema tungkol sa right triangle ay matatagpuan sa Egyptian sources mula sa panahon ni Pharaoh Amenemhat I, sa Babylonian clay tablets mula sa paghahari ni Haring Hammurabi, sa sinaunang Indian treatise na "Sulva Sutra" at ang sinaunang Intsik na gawa " Zhou-bi suan jin”.

Tulad ng makikita mo, ang Pythagorean theorem ay sumasakop sa isip ng mga mathematician mula noong sinaunang panahon. Ito ay kinumpirma ng humigit-kumulang 367 iba't ibang piraso ng ebidensya na umiiral ngayon. Dito, walang ibang theorem ang makakalaban dito. Kabilang sa mga sikat na may-akda ng mga patunay ay maaalala natin si Leonardo da Vinci at ang ikadalawampung Pangulo ng US na si James Garfield. Ang lahat ng ito ay nagsasalita ng labis na kahalagahan ng teorama na ito para sa matematika: karamihan sa mga teorema ng geometry ay nagmula dito o kahit papaano ay konektado dito.

Mga patunay ng Pythagorean theorem

Ang mga aklat-aralin sa paaralan ay kadalasang nagbibigay ng mga algebraic na patunay. Ngunit ang kakanyahan ng theorem ay nasa geometry, kaya isaalang-alang muna natin ang mga patunay ng sikat na theorem na batay sa agham na ito.

Katibayan 1

Para sa pinakasimpleng patunay ng Pythagorean theorem para sa isang tamang tatsulok, kailangan mong magtakda ng mga ideal na kondisyon: hayaan ang tatsulok ay hindi lamang right-angled, kundi pati na rin ang isosceles. May dahilan upang maniwala na ang ganitong uri ng tatsulok ang unang isinasaalang-alang ng mga sinaunang matematiko.

Pahayag "Ang isang parisukat na binuo sa hypotenuse ng isang right triangle ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat na binuo sa mga binti nito" maaaring ilarawan sa sumusunod na pagguhit:

Tingnan ang isosceles right triangle ABC: Sa hypotenuse AC, maaari kang bumuo ng isang parisukat na binubuo ng apat na triangles na katumbas ng orihinal na ABC. At sa gilid ng AB at BC isang parisukat ang itinayo, ang bawat isa ay naglalaman ng dalawang magkatulad na tatsulok.

Sa pamamagitan ng paraan, ang pagguhit na ito ay naging batayan ng maraming mga biro at cartoon na nakatuon sa Pythagorean theorem. Ang pinakasikat ay malamang "Ang pantalon ng Pythagorean ay pantay-pantay sa lahat ng direksyon":

Katibayan 2

Pinagsasama ng pamamaraang ito ang algebra at geometry at maaaring ituring na isang variant ng sinaunang Indian na patunay ng mathematician na si Bhaskari.

Bumuo ng tamang tatsulok na may mga gilid a, b at c(Larawan 1). Pagkatapos ay bumuo ng dalawang parisukat na may mga gilid na katumbas ng kabuuan ng mga haba ng dalawang binti - (a+b). Sa bawat isa sa mga parisukat, gumawa ng mga konstruksyon tulad ng sa Figures 2 at 3.

Sa unang parisukat, bumuo ng apat na tatsulok na katulad ng nasa Figure 1. Ang resulta ay dalawang parisukat: ang isa ay may gilid a, ang pangalawa ay may gilid b.

Sa pangalawang parisukat, apat na katulad na tatsulok na itinayo ay bumubuo ng isang parisukat na may gilid na katumbas ng hypotenuse c.

Ang kabuuan ng mga lugar ng mga itinayong parisukat sa Fig. 2 ay katumbas ng lugar ng parisukat na itinayo namin sa gilid c sa Fig. 3. Madali itong masuri sa pamamagitan ng pagkalkula ng lugar ng mga parisukat sa Fig. 2 ayon sa formula. At ang lugar ng inscribed square sa Figure 3. sa pamamagitan ng pagbabawas ng mga lugar ng apat na pantay na right triangles na nakasulat sa square mula sa lugar ng isang malaking square na may gilid (a+b).

Sinusulat ang lahat ng ito, mayroon kaming: a 2 +b 2 =(a+b) 2 – 2ab. Buksan ang mga bracket, isagawa ang lahat ng kinakailangang algebraic na kalkulasyon at kunin iyon a 2 +b 2 = a 2 +b 2. Sa kasong ito, ang lugar na nakasulat sa Fig. 3. ang parisukat ay maaari ding kalkulahin gamit ang tradisyonal na formula S=c 2. Yung. a 2 +b 2 =c 2– napatunayan mo na ang Pythagorean theorem.

Katibayan 3

Ang sinaunang patunay ng India mismo ay inilarawan noong ika-12 siglo sa treatise na "The Crown of Knowledge" ("Siddhanta Shiromani") at bilang pangunahing argumento ang may-akda ay gumagamit ng isang apela na nakatutok sa mga talento sa matematika at mga kasanayan sa pagmamasid ng mga mag-aaral at mga tagasunod: " Tingnan mo!”

Ngunit susuriin namin ang patunay na ito nang mas detalyado:

Sa loob ng parisukat, bumuo ng apat na kanang tatsulok gaya ng ipinahiwatig sa pagguhit. Tukuyin natin ang gilid ng malaking parisukat, na kilala rin bilang hypotenuse, Sa. Tawagan natin ang mga binti ng tatsulok A At b. Ayon sa pagguhit, ang gilid ng panloob na parisukat ay (a-b).

Gamitin ang formula para sa lugar ng isang parisukat S=c 2 upang kalkulahin ang lugar ng panlabas na parisukat. At sa parehong oras kalkulahin ang parehong halaga sa pamamagitan ng pagdaragdag ng lugar ng panloob na parisukat at ang mga lugar ng lahat ng apat na tamang tatsulok: (a-b) 2 2+4*1\2*a*b.

Maaari mong gamitin ang parehong mga pagpipilian para sa pagkalkula ng lugar ng isang parisukat upang matiyak na nagbibigay sila ng parehong resulta. At ito ay nagbibigay sa iyo ng karapatang isulat iyon c 2 =(a-b) 2 +4*1\2*a*b. Bilang resulta ng solusyon, makakatanggap ka ng formula ng Pythagorean theorem c 2 =a 2 +b 2. Ang teorama ay napatunayan.

Patunay 4

Ang kakaibang sinaunang Chinese na patunay na ito ay tinawag na "Bride's Chair" - dahil sa hugis ng upuan na nagreresulta mula sa lahat ng mga konstruksyon:

Ginagamit nito ang pagguhit na nakita na natin sa Fig. 3 sa pangalawang patunay. At ang panloob na parisukat na may gilid c ay itinayo sa parehong paraan tulad ng sa sinaunang Indian na patunay na ibinigay sa itaas.

Kung pinutol mo sa isip ang dalawang berdeng hugis-parihaba na tatsulok mula sa pagguhit sa Fig. 1, ilipat ang mga ito sa magkabilang panig ng parisukat na may gilid c at ilakip ang mga hypotenuse sa mga hypotenuse ng lilac triangles, makakakuha ka ng figure na tinatawag na "upuan ng nobya" (Larawan 2). Para sa kalinawan, maaari mong gawin ang parehong sa mga parisukat na papel at tatsulok. Sisiguraduhin mo na ang "upuan ng nobya" ay nabuo sa pamamagitan ng dalawang parisukat: mga maliliit na may gilid b at malaki na may gilid a.

Ang mga constructions na ito ay nagpapahintulot sa mga sinaunang Chinese mathematician at sa amin, na sumusunod sa kanila, na magkaroon ng konklusyon na c 2 =a 2 +b 2.

Katibayan 5

Ito ay isa pang paraan upang makahanap ng solusyon sa Pythagorean theorem gamit ang geometry. Ito ay tinatawag na Garfield Method.

Bumuo ng tamang tatsulok ABC. Kailangan nating patunayan iyon BC 2 = AC 2 + AB 2.

Upang gawin ito, ipagpatuloy ang binti AC at bumuo ng isang segment CD, na katumbas ng binti AB. Ibaba ang patayo AD segment ng linya ED. Mga segment ED At AC ay pantay-pantay. Ikonekta ang mga tuldok E At SA, at E At SA at kumuha ng drawing tulad ng larawan sa ibaba:

Upang patunayan ang tore, muli naming ginamit ang pamamaraan na sinubukan na namin: nahanap namin ang lugar ng nagresultang figure sa dalawang paraan at itinutumbas ang mga expression sa bawat isa.

Hanapin ang lugar ng isang polygon ISANG KAMA ay maaaring gawin sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga lugar ng tatlong tatsulok na bumubuo nito. At isa sa kanila, ERU, ay hindi lamang hugis-parihaba, kundi pati na rin ang isosceles. Huwag din nating kalimutan iyon AB=CD, AC=ED At BC=SE– ito ay magbibigay-daan sa amin upang pasimplehin ang pag-record at hindi mag-overload ito. Kaya, S ABED =2*1/2(AB*AC)+1/2ВС 2.

At the same time, obvious naman na ISANG KAMA- Ito ay isang trapezoid. Samakatuwid, kinakalkula namin ang lugar nito gamit ang formula: S ABED =(DE+AB)*1/2AD. Para sa aming mga kalkulasyon, mas maginhawa at mas malinaw na kumatawan sa segment AD bilang kabuuan ng mga segment AC At CD.

Isulat natin ang parehong mga paraan upang makalkula ang lugar ng isang figure, paglalagay ng pantay na tanda sa pagitan nila: AB*AC+1/2BC 2 =(DE+AB)*1/2(AC+CD). Ginagamit namin ang pagkakapantay-pantay ng mga segment na alam na namin at inilarawan sa itaas upang pasimplehin ang kanang bahagi ng notasyon: AB*AC+1/2BC 2 =1/2(AB+AC) 2. Ngayon buksan natin ang mga bracket at baguhin ang pagkakapantay-pantay: AB*AC+1/2BC 2 =1/2AC 2 +2*1/2(AB*AC)+1/2AB 2. Matapos makumpleto ang lahat ng mga pagbabagong-anyo, nakukuha namin ang eksaktong kailangan namin: BC 2 = AC 2 + AB 2. Napatunayan na namin ang theorem.

Siyempre, malayong kumpleto ang listahan ng ebidensyang ito. Ang Pythagorean theorem ay maaari ding mapatunayan gamit ang mga vectors, complex number, differential equation, stereometry, atbp. At kahit na ang mga physicist: kung, halimbawa, ang likido ay ibinubuhos sa parisukat at tatsulok na mga volume na katulad ng ipinapakita sa mga guhit. Sa pamamagitan ng pagbuhos ng likido, maaari mong patunayan ang pagkakapantay-pantay ng mga lugar at ang theorem mismo bilang isang resulta.

Ilang salita tungkol sa Pythagorean triplets

Ang isyung ito ay maliit o hindi man lang pinag-aralan sa kurikulum ng paaralan. Samantala, ito ay lubhang kawili-wili at may malaking kahalagahan sa geometry. Ang Pythagorean triple ay ginagamit upang malutas ang maraming mga problema sa matematika. Ang pag-unawa sa mga ito ay maaaring maging kapaki-pakinabang sa iyo sa karagdagang edukasyon.

Kaya ano ang Pythagorean triplets? Ito ang pangalan para sa mga natural na numero na nakolekta sa mga pangkat ng tatlo, ang kabuuan ng mga parisukat ng dalawa sa mga ito ay katumbas ng ikatlong numero na naka-squad.

Ang mga triple ng Pythagorean ay maaaring:

• primitive (lahat ng tatlong numero ay medyo prime);
• hindi primitive (kung ang bawat numero ng isang triple ay pinarami ng parehong numero, makakakuha ka ng isang bagong triple, na hindi primitive).

Bago pa man ang ating panahon, ang mga sinaunang Egyptian ay nabighani sa kahibangan para sa bilang ng mga triplet ng Pythagorean: sa mga problema ay itinuturing nilang isang tamang tatsulok na may mga gilid ng 3, 4 at 5 na mga yunit. Sa pamamagitan ng paraan, ang anumang tatsulok na ang mga gilid ay katumbas ng mga numero mula sa Pythagorean triple ay hugis-parihaba bilang default.

Mga halimbawa ng Pythagorean triplets: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16, 20 ), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34) , (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45), ( 14 , 48, 50), (30, 40, 50), atbp.

Praktikal na aplikasyon ng teorama

Ang Pythagorean theorem ay ginagamit hindi lamang sa matematika, kundi pati na rin sa arkitektura at konstruksiyon, astronomiya at maging sa panitikan.

Una, tungkol sa pagtatayo: ang Pythagorean theorem ay malawakang ginagamit sa mga problema ng iba't ibang antas ng pagiging kumplikado. Halimbawa, tingnan ang isang Romanesque window:

Tukuyin natin ang lapad ng bintana bilang b, kung gayon ang radius ng pangunahing kalahating bilog ay maaaring tukuyin bilang R at ipahayag sa pamamagitan ng b: R=b/2. Ang radius ng mas maliliit na kalahating bilog ay maaari ding ipahayag sa pamamagitan ng b: r=b/4. Sa problemang ito interesado kami sa radius ng panloob na bilog ng window (tawagan natin ito p).

Ang Pythagorean theorem ay kapaki-pakinabang lamang upang makalkula R. Upang gawin ito, gumagamit kami ng isang tamang tatsulok, na ipinahiwatig ng isang tuldok na linya sa figure. Ang hypotenuse ng isang tatsulok ay binubuo ng dalawang radii: b/4+p. Ang isang binti ay kumakatawan sa radius b/4, isa pa b/2-p. Gamit ang Pythagorean theorem, isinusulat namin: (b/4+p) 2 =(b/4) 2 +(b/2-p) 2. Susunod, binuksan namin ang mga bracket at makuha b 2 /16+ bp/2+p 2 =b 2 /16+b 2 /4-bp+p 2. Ibahin natin ang ekspresyong ito sa bp/2=b 2 /4-bp. At pagkatapos ay hinati namin ang lahat ng mga termino sa pamamagitan ng b, nagpapakita kami ng mga katulad na makukuha 3/2*p=b/4. At sa huli mahahanap natin iyon p=b/6- na kung ano ang kailangan namin.

Gamit ang theorem, maaari mong kalkulahin ang haba ng mga rafters para sa isang gable roof. Tukuyin kung gaano kataas ang kailangan ng isang mobile communications tower para maabot ng signal ang isang partikular na lugar na may populasyon. At kahit na mag-install ng Christmas tree sustainably sa town square. Tulad ng nakikita mo, ang teorama na ito ay nabubuhay hindi lamang sa mga pahina ng mga aklat-aralin, ngunit madalas ding kapaki-pakinabang sa totoong buhay.

Sa panitikan, ang Pythagorean theorem ay nagbigay inspirasyon sa mga manunulat mula pa noong unang panahon at patuloy na ginagawa ito sa ating panahon. Halimbawa, ang ikalabinsiyam na siglong Aleman na manunulat na si Adelbert von Chamisso ay nabigyang inspirasyon na magsulat ng isang soneto:

Ang liwanag ng katotohanan ay hindi maglalaho sa lalong madaling panahon,
Ngunit, sa pagkakaroon ng shone, ito ay malamang na hindi mawala
At, tulad ng libu-libong taon na ang nakalilipas,
Hindi ito magdudulot ng pagdududa o pagtatalo.

Ang pinakamatalino kapag dumampi sa iyong tingin
Liwanag ng katotohanan, salamat sa mga diyos;
At isang daang toro, pinatay, nagsinungaling -
Isang pagbabalik na regalo mula sa masuwerteng Pythagoras.

Mula noon ang mga toro ay desperadong umuungal:
Forever alarmed ang toro tribo
Kaganapang binanggit dito.

Para sa kanila, malapit na ang oras,
At muli silang isasakripisyo
Ilang mahusay na teorama.

(pagsasalin ni Viktor Toporov)

At noong ikadalawampu siglo, ang manunulat ng Sobyet na si Evgeny Veltistov, sa kanyang aklat na "The Adventures of Electronics," ay nagtalaga ng isang buong kabanata sa mga patunay ng Pythagorean theorem. At isa pang kalahating kabanata sa kuwento tungkol sa dalawang-dimensional na mundo na maaaring umiral kung ang Pythagorean theorem ay naging isang pangunahing batas at maging isang relihiyon para sa isang mundo. Ang pamumuhay doon ay magiging mas madali, ngunit mas nakakabagot din: halimbawa, walang nakakaunawa sa kahulugan ng mga salitang "bilog" at "mahimulmol".

At sa aklat na "The Adventures of Electronics," ang may-akda, sa pamamagitan ng bibig ng guro sa matematika na si Taratar, ay nagsabi: "Ang pangunahing bagay sa matematika ay ang paggalaw ng pag-iisip, mga bagong ideya." Ito ay tiyak na ang malikhaing paglipad ng pag-iisip na ito ang nagbunga ng Pythagorean theorem - ito ay hindi para sa wala na mayroon itong napakaraming iba't ibang mga patunay. Tinutulungan ka nitong lumampas sa mga hangganan ng pamilyar at tumingin sa mga pamilyar na bagay sa isang bagong paraan.

Konklusyon

Ang artikulong ito ay nilikha upang maaari kang tumingin sa kabila ng kurikulum ng paaralan sa matematika at matutunan hindi lamang ang mga patunay ng Pythagorean theorem na ibinigay sa mga aklat-aralin na "Geometry 7-9" (L.S. Atanasyan, V.N. Rudenko) at "Geometry 7" - 11" (A.V. Pogorelov), kundi pati na rin ang iba pang mga kagiliw-giliw na paraan upang patunayan ang sikat na teorama. At tingnan din ang mga halimbawa kung paano mailalapat ang Pythagorean theorem sa pang-araw-araw na buhay.

Una, ang impormasyong ito ay magbibigay-daan sa iyo na maging kuwalipikado para sa mas mataas na mga marka sa mga aralin sa matematika - ang impormasyon sa paksa mula sa mga karagdagang mapagkukunan ay palaging lubos na pinahahalagahan.

Pangalawa, gusto naming tulungan kang madama kung gaano kawili-wili ang matematika. Kumpirmahin gamit ang mga partikular na halimbawa na laging may puwang para sa pagkamalikhain. Umaasa kami na ang Pythagorean theorem at ang artikulong ito ay magbibigay-inspirasyon sa iyo na independiyenteng mag-explore at gumawa ng mga kapana-panabik na pagtuklas sa matematika at iba pang mga agham.

Sabihin sa amin sa mga komento kung nakita mong kawili-wili ang ebidensya na ipinakita sa artikulo. Nakita mo bang kapaki-pakinabang ang impormasyong ito sa iyong pag-aaral? Sumulat sa amin kung ano ang iyong iniisip tungkol sa Pythagorean theorem at ang artikulong ito - ikalulugod naming talakayin ang lahat ng ito sa iyo.

blog.site, kapag kumukopya ng materyal nang buo o bahagi, kinakailangan ang isang link sa orihinal na pinagmulan.

Pythagorean theorem: Kabuuan ng mga lugar ng mga parisukat na nakapatong sa mga binti ( a At b), katumbas ng lugar ng parisukat na itinayo sa hypotenuse ( c).

Geometric formulation:

Ang teorama ay orihinal na nabuo tulad ng sumusunod:

Algebraic formulation:

Iyon ay, denoting ang haba ng hypotenuse ng tatsulok sa pamamagitan ng c, at ang mga haba ng mga binti sa pamamagitan ng a At b :

a 2 + b 2 = c 2

Ang parehong mga pormulasyon ng teorama ay katumbas, ngunit ang pangalawang pagbabalangkas ay mas elementarya; hindi ito nangangailangan ng konsepto ng lugar. Iyon ay, ang pangalawang pahayag ay maaaring ma-verify nang hindi nalalaman ang anumang bagay tungkol sa lugar at sa pamamagitan ng pagsukat lamang ng mga haba ng mga gilid ng isang tamang tatsulok.

Converse Pythagorean theorem:

Patunay

Naka-on sa sandaling ito 367 na patunay ng teorama na ito ang naitala sa siyentipikong panitikan. Malamang, ang Pythagorean theorem ay ang tanging theorem na may ganoong kahanga-hangang bilang ng mga patunay. Ang ganitong pagkakaiba-iba ay maaari lamang ipaliwanag sa pamamagitan ng pangunahing kahalagahan ng theorem para sa geometry.

Siyempre, sa konsepto ang lahat ng mga ito ay maaaring nahahati sa isang maliit na bilang ng mga klase. Ang pinakasikat sa kanila: mga patunay sa pamamagitan ng paraan ng lugar, axiomatic at exotic na mga patunay (halimbawa, gamit ang mga differential equation).

Sa pamamagitan ng magkatulad na tatsulok

Ang sumusunod na patunay ng algebraic formulation ay ang pinakasimpleng patunay, na direktang binuo mula sa mga axiom. Sa partikular, hindi nito ginagamit ang konsepto ng lugar ng isang pigura.

Hayaan ABC may tamang tatsulok na may tamang anggulo C. Iguhit natin ang taas C at tukuyin ang base nito sa pamamagitan ng H. Tatsulok ACH katulad ng isang tatsulok ABC sa dalawang sulok. Gayundin, tatsulok CBH katulad ABC. Sa pamamagitan ng pagpapakilala ng notasyon

nakukuha namin

Ano ang katumbas

Pagdaragdag nito, nakukuha natin

Mga patunay gamit ang paraan ng lugar

Ang mga patunay sa ibaba, sa kabila ng kanilang maliwanag na pagiging simple, ay hindi gaanong simple. Lahat sila ay gumagamit ng mga katangian ng lugar, ang patunay nito ay mas kumplikado kaysa sa patunay ng Pythagorean theorem mismo.

Patunay sa pamamagitan ng equicomplementation

1. Ayusin natin ang apat na pantay na right triangle gaya ng ipinapakita sa Figure 1.
2. Quadrangle na may mga gilid c ay isang parisukat, dahil ang kabuuan ng dalawang matinding anggulo ay 90°, at ang tuwid na anggulo ay 180°.
3. Ang lugar ng buong figure ay katumbas, sa isang banda, sa lugar ng isang parisukat na may gilid (a + b), at sa kabilang banda, sa kabuuan ng mga lugar ng apat na tatsulok at dalawang panloob. mga parisukat.

Q.E.D.

Mga patunay sa pamamagitan ng equivalence

Elegant na patunay gamit ang permutation

Ang isang halimbawa ng isang ganoong patunay ay ipinapakita sa pagguhit sa kanan, kung saan ang isang parisukat na itinayo sa hypotenuse ay muling inayos sa dalawang parisukat na itinayo sa mga binti.

Patunay ni Euclid

Pagguhit para sa patunay ni Euclid

Ilustrasyon para sa patunay ni Euclid

Ang ideya ng patunay ni Euclid ay ang mga sumusunod: subukan nating patunayan na ang kalahati ng lugar ng parisukat na itinayo sa hypotenuse ay katumbas ng kabuuan ng kalahating lugar ng mga parisukat na itinayo sa mga binti, at pagkatapos ay ang mga lugar ng magkapantay ang malaki at dalawang maliit na parisukat.

Tingnan natin ang guhit sa kaliwa. Dito ay nagtayo kami ng mga parisukat sa mga gilid ng isang kanang tatsulok at gumuhit ng isang ray s mula sa tuktok ng kanang anggulo C patayo sa hypotenuse AB, pinuputol nito ang parisukat na ABIK, na binuo sa hypotenuse, sa dalawang parihaba - BHJI at HAKJ, ayon sa pagkakabanggit. Lumalabas na ang mga lugar ng mga parihaba na ito ay eksaktong katumbas ng mga lugar ng mga parisukat na itinayo sa kaukulang mga binti.

Subukan nating patunayan na ang lugar ng parisukat na DECA ay katumbas ng lugar ng rektanggulo na AHJK. Upang gawin ito, gagamit tayo ng isang pantulong na obserbasyon: Ang lugar ng isang tatsulok na may parehong taas at base bilang ang ibinigay na parihaba ay katumbas ng kalahati ng lugar ng ibinigay na parihaba. Ito ay bunga ng pagtukoy sa lugar ng isang tatsulok bilang kalahati ng produkto ng base at taas. Mula sa obserbasyon na ito ay sumusunod na ang lugar ng tatsulok na ACK ay katumbas ng lugar ng tatsulok na AHK (hindi ipinapakita sa figure), na kung saan ay katumbas ng kalahati ng lugar ng parihaba AHJK.

Patunayan natin ngayon na ang area ng triangle ACK ay katumbas din ng kalahati ng area ng square DECA. Ang tanging bagay na kailangang gawin para dito ay upang patunayan ang pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok na ACK at BDA (dahil ang lugar ng tatsulok na BDA ay katumbas ng kalahati ng lugar ng parisukat ayon sa pag-aari sa itaas). Ang pagkakapantay-pantay na ito ay halata, ang mga tatsulok ay pantay sa magkabilang panig at ang anggulo sa pagitan nila. Namely - AB=AK,AD=AC - ang pagkakapantay-pantay ng mga anggulo na CAK at BAD ay madaling patunayan sa pamamagitan ng paraan ng paggalaw: iniikot namin ang tatsulok na CAK 90° counterclockwise, pagkatapos ay malinaw na ang kaukulang panig ng dalawang tatsulok sa ang tanong ay magkakasabay (dahil sa katotohanan na ang anggulo sa tuktok ng parisukat ay 90°).

Ang pangangatwiran para sa pagkakapantay-pantay ng mga lugar ng parisukat na BCFG at ang parihaba na BHJI ay ganap na magkatulad.

Kaya, napatunayan namin na ang lugar ng isang parisukat na itinayo sa hypotenuse ay binubuo ng mga lugar ng mga parisukat na itinayo sa mga binti. Ang ideya sa likod ng patunay na ito ay higit na inilalarawan ng animation sa itaas.

Patunay ni Leonardo da Vinci

Patunay ni Leonardo da Vinci

Ang mga pangunahing elemento ng patunay ay simetrya at paggalaw.

Isaalang-alang natin ang pagguhit, tulad ng makikita mula sa simetrya, isang segment Cako pinuputol ang parisukat ABHJ sa dalawang magkaparehong bahagi (dahil ang mga tatsulok ABC At JHako pantay sa konstruksyon). Gamit ang 90 degree na counterclockwise na pag-ikot, nakikita natin ang pagkakapantay-pantay ng mga may kulay na figure CAJako At GDAB . Ngayon ay malinaw na ang lugar ng figure na na-shade namin ay katumbas ng kabuuan ng kalahati ng mga lugar ng mga parisukat na binuo sa mga binti at ang lugar ng orihinal na tatsulok. Sa kabilang banda, ito ay katumbas ng kalahati ng lugar ng parisukat na itinayo sa hypotenuse, kasama ang lugar ng orihinal na tatsulok. Ang huling hakbang sa patunay ay naiwan sa mambabasa.

Patunay sa pamamagitan ng infinitesimal na pamamaraan

Ang sumusunod na patunay gamit ang mga differential equation ay kadalasang iniuugnay sa sikat na English mathematician na si Hardy, na nabuhay noong unang kalahati ng ika-20 siglo.

Tinitingnan ang guhit na ipinapakita sa pigura at pinagmamasdan ang pagbabago sa gilid a, maaari nating isulat ang sumusunod na kaugnayan para sa infinitesimal side increments Sa At a(gamit ang pagkakatulad ng tatsulok):

Patunay sa pamamagitan ng infinitesimal na pamamaraan

Gamit ang paraan ng paghihiwalay ng mga variable, nakita namin

Isang mas pangkalahatang pagpapahayag para sa pagbabago sa hypotenuse sa kaso ng mga pagtaas sa magkabilang panig

Ang pagsasama ng equation na ito at paggamit ng mga paunang kundisyon, nakuha namin

c 2 = a 2 + b 2 + pare-pareho.

Kaya nakarating kami sa nais na sagot

c 2 = a 2 + b 2 .

Tulad ng madaling makita, lumilitaw ang quadratic dependence sa huling formula dahil sa linear na proporsyonalidad sa pagitan ng mga gilid ng tatsulok at mga pagdaragdag, habang ang kabuuan ay nauugnay sa mga independiyenteng kontribusyon mula sa pagtaas ng iba't ibang mga binti.

Ang isang mas simpleng patunay ay maaaring makuha kung ipagpalagay natin na ang isa sa mga binti ay hindi nakakaranas ng pagtaas (sa kasong ito, ang binti b). Pagkatapos ay para sa integration constant na nakukuha namin

Mga pagkakaiba-iba at paglalahat

• Kung sa halip na mga parisukat ay bumuo tayo ng iba pang katulad na mga pigura sa mga gilid, kung gayon ang sumusunod na paglalahat ng Pythagorean theorem ay totoo: Sa isang kanang tatsulok, ang kabuuan ng mga lugar ng magkatulad na mga figure na binuo sa mga gilid ay katumbas ng lugar ng figure na binuo sa hypotenuse. Sa partikular:
  • Ang kabuuan ng mga lugar ng mga regular na tatsulok na itinayo sa mga binti ay katumbas ng lugar ng isang regular na tatsulok na itinayo sa hypotenuse.
  • Ang kabuuan ng mga lugar ng kalahating bilog na binuo sa mga binti (tulad ng sa diameter) ay katumbas ng lugar ng kalahating bilog na binuo sa hypotenuse. Ang halimbawang ito ay ginagamit upang patunayan ang mga katangian ng mga figure na nakatali ng mga arko ng dalawang bilog at tinatawag na Hippocratic lunulae.

Kwento

Chu-pei 500–200 BC. Sa kaliwa ay ang inskripsiyon: ang kabuuan ng mga parisukat ng mga haba ng taas at base ay ang parisukat ng haba ng hypotenuse.

Ang sinaunang aklat na Tsino na Chu-pei ay nag-uusap tungkol sa isang Pythagorean triangle na may mga gilid 3, 4 at 5: Ang parehong libro ay nag-aalok ng isang guhit na tumutugma sa isa sa mga guhit ng Hindu geometry ng Bashara.

Naniniwala si Cantor (ang pinakadakilang mananalaysay na Aleman ng matematika) na ang pagkakapantay-pantay na 3² + 4² = 5² ay kilala na ng mga Ehipsiyo noong 2300 BC. e., noong panahon ni Haring Amenemhet I (ayon sa papyrus 6619 ng Berlin Museum). Ayon kay Cantor, ang mga harpedonaptes, o "mga rope pullers", ay gumawa ng mga tamang anggulo gamit ang mga right triangle na may mga gilid na 3, 4 at 5.

Napakadaling kopyahin ang kanilang paraan ng pagtatayo. Kumuha tayo ng lubid na 12 m ang haba at itali ang isang kulay na strip dito sa layo na 3 m. mula sa isang dulo at 4 na metro mula sa kabilang dulo. Ang tamang anggulo ay ilalagay sa pagitan ng mga gilid na 3 at 4 na metro ang haba. Maaaring tutol sa mga Harpedonaptian na ang kanilang paraan ng pagtatayo ay nagiging kalabisan kung ang isa ay gagamit, halimbawa, ng isang kahoy na parisukat, na ginagamit ng lahat ng mga karpintero. Sa katunayan, kilala ang mga guhit ng Egypt kung saan matatagpuan ang gayong kasangkapan, halimbawa, mga guhit na naglalarawan sa pagawaan ng karpintero.

Medyo higit pa ang nalalaman tungkol sa Pythagorean theorem sa mga Babylonians. Sa isang teksto mula noong panahon ni Hammurabi, iyon ay, hanggang 2000 BC. e., isang tinatayang pagkalkula ng hypotenuse ng isang right triangle ay ibinigay. Mula dito maaari nating tapusin na sa Mesopotamia ay nakapagsagawa sila ng mga kalkulasyon na may mga tamang tatsulok, hindi bababa sa ilang mga kaso. Batay, sa isang banda, sa kasalukuyang antas ng kaalaman tungkol sa Egyptian at Babylonian mathematics, at sa kabilang banda, sa isang kritikal na pag-aaral ng Greek sources, Van der Waerden (Dutch mathematician) ay dumating sa sumusunod na konklusyon:

Panitikan

Sa Russian

• Skopets Z. A. Mga geometric na miniature. M., 1990
• Elensky Shch. Sa yapak ni Pythagoras. M., 1961
• Van der Waerden B. L. Agham ng Paggising. Matematika ng Sinaunang Ehipto, Babylon at Greece. M., 1959
• Glazer G.I. Kasaysayan ng matematika sa paaralan. M., 1982
• W. Litzman, “The Pythagorean Theorem” M., 1960.
  • Ang isang site tungkol sa Pythagorean theorem na may malaking bilang ng mga patunay, materyal na kinuha mula sa aklat ni V. Litzmann, isang malaking bilang ng mga guhit ay ipinakita sa anyo ng hiwalay na mga graphic na file.
• Ang Pythagorean theorem at Pythagorean triples chapter mula sa aklat ni D. V. Anosov "Isang pagtingin sa matematika at isang bagay mula rito"
• Tungkol sa Pythagorean theorem at mga pamamaraan ng pagpapatunay nito G. Glaser, akademiko ng Russian Academy of Education, Moscow

Sa Ingles

• Pythagorean Theorem sa WolframMathWorld
• Cut-The-Knot, seksyon sa Pythagorean theorem, mga 70 patunay at malawak na karagdagang impormasyon (Ingles)

Wikimedia Foundation. 2010.