Vieta's theorem - ang konseptong ito ay pamilyar sa halos lahat mula sa mga araw ng paaralan. Ngunit ito ba ay talagang "pamilyar"? Ilang tao ang nakakaranas nito sa pang-araw-araw na buhay. Ngunit hindi lahat ng mga nakikitungo sa matematika kung minsan ay ganap na nauunawaan ang malalim na kahulugan at napakalaking kahalagahan ng teorama na ito.

Ang theorem ng Vieta ay lubos na nagpapadali sa proseso ng paglutas ng malaking bilang ng mga problema sa matematika, na sa huli ay bumaba sa solusyon:

Ang pagkakaroon ng naunawaan ang kahalagahan ng tulad ng isang simple at epektibong tool sa matematika, hindi mo maiwasang isipin ang tungkol sa taong unang nakatuklas nito.

Isang sikat na Pranses na siyentipiko na nagsimula sa kanyang karera bilang isang abogado. Ngunit, malinaw naman, matematika ang kanyang tawag. Habang nasa serbisyo ng hari bilang isang tagapayo, naging tanyag siya sa kakayahang magbasa ng isang naharang na naka-encrypt na mensahe mula sa Hari ng Espanya hanggang sa Netherlands. Nagbigay ito ng pagkakataon sa haring Pranses na si Henry III na malaman ang lahat ng intensyon ng kanyang mga kalaban.

Unti-unting naging pamilyar sa kaalaman sa matematika, dumating si François Viète sa konklusyon na dapat mayroong malapit na koneksyon sa pagitan ng pinakabagong pananaliksik ng mga "algebraist" noong panahong iyon at ang malalim na geometriko na pamana ng mga sinaunang tao. Sa kurso ng siyentipikong pananaliksik, binuo at binabalangkas niya ang halos lahat ng elementarya na algebra. Siya ang unang nagpakilala ng paggamit ng mga dami ng titik sa mathematical apparatus, malinaw na nakikilala ang mga konsepto: numero, magnitude at ang kanilang mga relasyon. Pinatunayan ng Viet na sa pamamagitan ng pagsasagawa ng mga operasyon sa simbolikong anyo, posible na malutas ang problema para sa pangkalahatang kaso, para sa halos anumang halaga ng ibinigay na dami.

Ang kanyang pananaliksik para sa paglutas ng mga equation ng mas mataas na antas kaysa sa pangalawa ay nagresulta sa isang teorama na ngayon ay kilala bilang pangkalahatang Vieta theorem. Ito ay may malaking praktikal na kahalagahan, at ang paggamit nito ay ginagawang posible upang mabilis na malutas ang mga equation na mas mataas ang pagkakasunud-sunod.

Ang isa sa mga katangian ng theorem na ito ay ang mga sumusunod: ang produkto ng lahat ng nth powers ay katumbas ng free term nito. Ang katangiang ito ay kadalasang ginagamit kapag nilulutas ang mga equation ng ikatlo o ikaapat na antas upang mabawasan ang pagkakasunud-sunod ng polynomial. Kung ang isang polynomial ng nth degree ay may integer na mga ugat, kung gayon madali silang matutukoy sa pamamagitan ng simpleng pagpili. At pagkatapos ay sa pamamagitan ng paghahati ng polynomial sa expression (x-x1), nakakakuha tayo ng polynomial ng (n-1) degree.

Sa konklusyon, nais kong tandaan na ang teorema ng Vieta ay isa sa mga pinakatanyag na teorema sa kursong algebra ng paaralan. At ang kanyang pangalan ay sumasakop sa isang karapat-dapat na lugar sa mga pangalan ng mga dakilang mathematician.

Sa matematika, may mga espesyal na pamamaraan kung saan maraming mga parisukat na equation ang malulutas nang napakabilis at walang anumang diskriminasyon. Bukod dito, sa wastong pagsasanay, marami ang nagsisimulang lutasin ang mga quadratic equation nang pasalita, literal na "sa unang tingin."

Sa kasamaang palad, sa modernong kurso ng matematika ng paaralan, ang mga naturang teknolohiya ay halos hindi pinag-aralan. Ngunit kailangan mong malaman! At ngayon ay titingnan natin ang isa sa mga pamamaraan na ito - ang teorama ni Vieta. Una, ipakilala natin ang isang bagong kahulugan.

Ang isang quadratic equation ng form x 2 + bx + c = 0 ay tinatawag na reduced. Pakitandaan na ang coefficient para sa x 2 ay 1. Walang ibang mga paghihigpit sa mga coefficient.

1. x 2 + 7x + 12 = 0 ay isang pinababang quadratic equation;
2. x 2 − 5x + 6 = 0 - nabawasan din;
3. 2x 2 − 6x + 8 = 0 - ngunit hindi ito ibinigay sa lahat, dahil ang coefficient ng x 2 ay katumbas ng 2.

Siyempre, ang anumang quadratic equation ng form na ax 2 + bx + c = 0 ay maaaring bawasan - hatiin lamang ang lahat ng mga coefficient sa bilang na a. Magagawa natin ito palagi, dahil ang kahulugan ng isang quadratic equation ay nagpapahiwatig na ang isang ≠ 0.

Totoo, ang mga pagbabagong ito ay hindi palaging magiging kapaki-pakinabang para sa paghahanap ng mga ugat. Sa ibaba ay titiyakin namin na ito ay dapat gawin lamang kapag sa huling equation na ibinigay ng parisukat ang lahat ng mga coefficient ay integer. Sa ngayon, tingnan natin ang pinakasimpleng mga halimbawa:

Gawain. I-convert ang quadratic equation sa pinababang equation:

1. 3x 2 − 12x + 18 = 0;
2. −4x 2 + 32x + 16 = 0;
3. 1.5x 2 + 7.5x + 3 = 0;
4. 2x 2 + 7x − 11 = 0.

Hatiin natin ang bawat equation sa coefficient ng variable x 2. Nakukuha namin:

1. 3x 2 − 12x + 18 = 0 ⇒ x 2 − 4x + 6 = 0 - hinati ang lahat sa 3;
2. −4x 2 + 32x + 16 = 0 ⇒ x 2 − 8x − 4 = 0 - hinati sa −4;
3. 1.5x 2 + 7.5x + 3 = 0 ⇒ x 2 + 5x + 2 = 0 - hinati sa 1.5, naging integer ang lahat ng coefficient;
4. 2x 2 + 7x − 11 = 0 ⇒ x 2 + 3.5x − 5.5 = 0 - hinati sa 2. Sa kasong ito, lumitaw ang mga fractional coefficient.

Tulad ng nakikita mo, ang mga quadratic equation sa itaas ay maaaring magkaroon ng mga integer coefficient kahit na ang orihinal na equation ay naglalaman ng mga fraction.

Ngayon ay bumalangkas tayo ng pangunahing teorama, kung saan, sa katunayan, ang konsepto ng isang pinababang quadratic equation ay ipinakilala:

Ang teorama ni Vieta. Isaalang-alang ang pinababang quadratic equation ng form na x 2 + bx + c = 0. Ipagpalagay na ang equation na ito ay may tunay na mga ugat x 1 at x 2. Sa kasong ito, ang mga sumusunod na pahayag ay totoo:

1. x 1 + x 2 = −b. Sa madaling salita, ang kabuuan ng mga ugat ng ibinigay na quadratic equation ay katumbas ng koepisyent ng variable x, na kinuha gamit ang kabaligtaran na tanda;
2. x 1 x 2 = c. Ang produkto ng mga ugat ng isang quadratic equation ay katumbas ng free coefficient.

Mga halimbawa. Para sa pagiging simple, isasaalang-alang lamang namin ang mga quadratic equation sa itaas na hindi nangangailangan ng mga karagdagang pagbabago:

1. x 2 − 9x + 20 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = − (−9) = 9; x 1 x 2 = 20; mga ugat: x 1 = 4; x 2 = 5;
2. x 2 + 2x − 15 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −2; x 1 x 2 = −15; mga ugat: x 1 = 3; x 2 = −5;
3. x 2 + 5x + 4 = 0 ⇒ x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 = 4; mga ugat: x 1 = −1; x 2 = −4.

Ang theorem ng Vieta ay nagbibigay sa amin ng karagdagang impormasyon tungkol sa mga ugat ng isang quadratic equation. Sa unang sulyap, ito ay maaaring mukhang mahirap, ngunit kahit na may kaunting pagsasanay ay matututunan mong "makita" ang mga ugat at literal na hulaan ang mga ito sa loob ng ilang segundo.

Gawain. Lutasin ang quadratic equation:

1. x 2 − 9x + 14 = 0;
2. x 2 − 12x + 27 = 0;
3. 3x 2 + 33x + 30 = 0;
4. −7x 2 + 77x − 210 = 0.

Subukan nating isulat ang mga coefficient gamit ang theorem ni Vieta at "hulaan" ang mga ugat:

1. Ang x 2 − 9x + 14 = 0 ay isang pinababang quadratic equation.
   Sa pamamagitan ng teorama ni Vieta mayroon tayong: x 1 + x 2 = −(−9) = 9; x 1 · x 2 = 14. Madaling makita na ang mga ugat ay ang mga numero 2 at 7;
2. x 2 − 12x + 27 = 0 - nabawasan din.
   Sa pamamagitan ng teorama ni Vieta: x 1 + x 2 = −(−12) = 12; x 1 x 2 = 27. Kaya ang mga ugat: 3 at 9;
3. 3x 2 + 33x + 30 = 0 - hindi binabawasan ang equation na ito. Ngunit itatama natin ito ngayon sa pamamagitan ng paghahati sa magkabilang panig ng equation sa coefficient a = 3. Nakukuha natin ang: x 2 + 11x + 10 = 0.
   Lutasin natin gamit ang teorama ng Vieta: x 1 + x 2 = −11; x 1 x 2 = 10 ⇒ ugat: −10 at −1;
4. −7x 2 + 77x − 210 = 0 - muli ang koepisyent para sa x 2 ay hindi katumbas ng 1, i.e. hindi ibinigay ang equation. Hinahati namin ang lahat sa numerong a = −7. Nakukuha namin ang: x 2 − 11x + 30 = 0.
   Sa pamamagitan ng teorama ni Vieta: x 1 + x 2 = −(−11) = 11; x 1 x 2 = 30; Mula sa mga equation na ito ay madaling hulaan ang mga ugat: 5 at 6.

Mula sa pangangatwiran sa itaas ay malinaw kung paano pinapasimple ng theorem ni Vieta ang solusyon ng mga quadratic equation. Walang kumplikadong mga kalkulasyon, walang arithmetic roots at fractions. At hindi rin namin kailangan ng discriminant (tingnan ang aralin na "Paglutas ng mga quadratic equation").

Siyempre, sa lahat ng aming mga pagmumuni-muni ay nagpatuloy kami mula sa dalawang mahahalagang pagpapalagay, na, sa pangkalahatan, ay hindi palaging natutugunan sa mga tunay na problema:

1. Ang quadratic equation ay nabawasan, i.e. ang koepisyent para sa x 2 ay 1;
2. Ang equation ay may dalawang magkaibang ugat. Mula sa algebraic point of view, sa kasong ito ang discriminant ay D > 0 - sa katunayan, una naming ipinapalagay na ang hindi pagkakapantay-pantay na ito ay totoo.

Gayunpaman, sa karaniwang mga problema sa matematika ang mga kundisyong ito ay natutugunan. Kung ang pagkalkula ay nagreresulta sa isang "masamang" quadratic equation (ang koepisyent ng x 2 ay iba sa 1), madali itong maitama - tingnan ang mga halimbawa sa pinakadulo simula ng aralin. Sa pangkalahatan ay tahimik ako tungkol sa mga ugat: anong uri ng problema ito na walang sagot? Siyempre magkakaroon ng mga ugat.

Kaya, ang pangkalahatang pamamaraan para sa paglutas ng mga quadratic equation gamit ang theorem ng Vieta ay ang mga sumusunod:

1. Bawasan ang quadratic equation sa ibinigay na isa, kung hindi pa ito nagagawa sa pahayag ng problema;
2. Kung fractional ang mga coefficient sa quadratic equation sa itaas, nilulutas namin gamit ang discriminant. Maaari ka ring bumalik sa orihinal na equation upang gumana sa mas maraming "madaling gamitin" na numero;
3. Sa kaso ng mga integer coefficient, nilulutas namin ang equation gamit ang teorem ng Vieta;
4. Kung hindi mo mahulaan ang mga ugat sa loob ng ilang segundo, kalimutan ang tungkol sa teorama ni Vieta at lutasin gamit ang discriminant.

Gawain. Lutasin ang equation: 5x 2 − 35x + 50 = 0.

Kaya, mayroon kaming bago sa amin ng isang equation na hindi nabawasan, dahil coefficient a = 5. Hatiin ang lahat sa 5, makuha natin ang: x 2 − 7x + 10 = 0.

Ang lahat ng mga coefficient ng quadratic equation ay integer - subukan nating lutasin ito gamit ang teorem ni Vieta. Mayroon kaming: x 1 + x 2 = −(−7) = 7; x 1 · x 2 = 10. Sa kasong ito, ang mga ugat ay madaling hulaan - sila ay 2 at 5. Hindi na kailangang magbilang gamit ang discriminant.

Gawain. Lutasin ang equation: −5x 2 + 8x − 2.4 = 0.

Tingnan natin: −5x 2 + 8x − 2.4 = 0 - ang equation na ito ay hindi nababawasan, hatiin natin ang magkabilang panig ng coefficient a = −5. Nakukuha namin ang: x 2 − 1.6x + 0.48 = 0 - isang equation na may fractional coefficients.

Mas mainam na bumalik sa orihinal na equation at magbilang sa pamamagitan ng discriminant: −5x 2 + 8x − 2.4 = 0 ⇒ D = 8 2 − 4 · (−5) · (−2.4) = 16 ⇒ ... ⇒ x 1 = 1.2; x 2 = 0.4.

Gawain. Lutasin ang equation: 2x 2 + 10x − 600 = 0.

Una, hatiin natin ang lahat sa pamamagitan ng coefficient a = 2. Nakukuha natin ang equation x 2 + 5x − 300 = 0.

Ito ang pinababang equation, ayon sa teorem ni Vieta mayroon tayo: x 1 + x 2 = −5; x 1 x 2 = −300. Mahirap hulaan ang mga ugat ng quadratic equation sa kasong ito - sa personal, seryoso akong natigil kapag nilutas ang problemang ito.

Kakailanganin mong maghanap ng mga ugat sa pamamagitan ng discriminant: D = 5 2 − 4 · 1 · (−300) = 1225 = 35 2 . Kung hindi mo matandaan ang ugat ng discriminant, papansinin ko lang na 1225: 25 = 49. Samakatuwid, 1225 = 25 49 = 5 2 7 2 = 35 2.

Ngayong alam na ang ugat ng discriminant, hindi mahirap lutasin ang equation. Nakukuha namin ang: x 1 = 15; x 2 = −20.

Bago lumipat sa teorama ni Vieta, ipinakilala namin ang isang kahulugan. Quadratic equation ng form x² + px + q= 0 ay tinatawag na nabawasan. Sa equation na ito, ang nangungunang coefficient ay katumbas ng isa. Halimbawa, ang equation x² - 3 x- 4 = 0 ay nabawasan. Anumang quadratic equation ng form palakol² + b x + c= 0 ay maaaring bawasan sa pamamagitan ng paghahati sa magkabilang panig ng equation sa pamamagitan ng A≠ 0. Halimbawa, equation 4 x² + 4 x- 3 \u003d 0 na hinati sa 4 ay binabawasan sa anyo: x² + x— 3/4 = 0. Kunin natin ang formula para sa mga ugat ng pinababang quadratic equation, para dito ginagamit natin ang formula para sa mga ugat ng isang pangkalahatang quadratic equation: palakol² + bx + c = 0

Pinababang equation x² + px + q= 0 coincides sa isang pangkalahatang equation kung saan A = 1, b = p, c = q. Samakatuwid, para sa ibinigay na quadratic equation, ang formula ay tumatagal ng anyo:

ang huling expression ay tinatawag na formula para sa mga ugat ng pinababang quadratic equation; ito ay lalong maginhawa upang gamitin ang formula na ito kapag R- kahit na numero. Halimbawa, lutasin natin ang equation x² — 14 x — 15 = 0

Bilang tugon, isinusulat namin ang equation na may dalawang ugat.

Para sa pinababang quadratic equation na may positibo, ang sumusunod na theorem ay humahawak.

Ang teorama ni Vieta

Kung x 1 at x 2 - mga ugat ng equation x² + px + q= 0, kung gayon ang mga formula ay wasto:

x 1 + x 2 = — R

x 1 * x 2 = q, ibig sabihin, ang kabuuan ng mga ugat ng pinababang quadratic equation ay katumbas ng pangalawang koepisyent na kinuha sa kabaligtaran na tanda, at ang produkto ng mga ugat ay katumbas ng libreng termino.

Batay sa formula ng mga ugat ng nasa itaas na quadratic equation, mayroon tayong:

Pagdaragdag ng mga pagkakapantay-pantay na ito, nakukuha natin ang: x 1 + x 2 = —R.

Ang pagpaparami ng mga pagkakapantay-pantay na ito, gamit ang formula ng pagkakaiba ng mga parisukat, nakukuha natin:

Tandaan na ang teorama ng Vieta ay wasto din kapag ang discriminant ay katumbas ng zero, kung ipagpalagay natin na sa kasong ito ang quadratic equation ay may dalawang magkaparehong ugat: x 1 = x 2 = — R/2.

Hindi paglutas ng mga equation x² — 13 x+ 30 = 0 hanapin ang kabuuan at produkto ng mga ugat nito x 1 at x 2. equation na ito D\u003d 169 - 120 \u003d 49\u003e 0, upang mailapat mo ang Vieta theorem: x 1 + x 2 = 13, x 1 * x 2 = 30. Isaalang-alang ang ilang higit pang mga halimbawa. Isa sa mga ugat ng equation x² — px- 12 = 0 ay katumbas x 1 = 4. Maghanap ng coefficient R at pangalawang ugat x 2 ng equation na ito. Ayon sa teorama ni Vieta x 1 * x 2 =— 12, x 1 + x 2 = — R. kasi x 1 = 4, pagkatapos ay 4 x 2 = - 12, kung saan x 2 = — 3, R = — (x 1 + x 2) \u003d - (4 - 3) \u003d - 1. Bilang tugon, isinulat namin ang pangalawang ugat x 2 = - 3, koepisyent p = - 1.

Hindi paglutas ng mga equation x² + 2 x- 4 = 0 hanapin ang kabuuan ng mga parisukat ng mga ugat nito. Hayaan x 1 at x 2 ang mga ugat ng equation. Ayon sa teorama ni Vieta x 1 + x 2 = — 2, x 1 * x 2 = — 4. kasi x 1²+ x 2² = ( x 1 + x 2)² - 2 x 1 x 2 pagkatapos x 1²+ x 2² =(- 2)² -2 (- 4) = 12.

Hanapin natin ang kabuuan at produkto ng mga ugat ng equation 3 x² + 4 x- 5 = 0. Ang equation na ito ay may dalawang magkaibang ugat, dahil ang discriminant D= 16 + 4*3*5 > 0. Upang malutas ang equation, ginagamit namin ang theorem ng Vieta. Ang theorem na ito ay napatunayan para sa ibinigay na quadratic equation. Kaya't hatiin natin ang equation na ito sa 3.

Samakatuwid, ang kabuuan ng mga ugat ay katumbas ng -4/3, at ang kanilang produkto ay katumbas ng -5/3.

Sa pangkalahatan, ang mga ugat ng equation palakol² + b x + c Ang = 0 ay nauugnay sa mga sumusunod na pagkakapantay-pantay: x 1 + x 2 = — b/a, x 1 * x 2 = c/a, Upang makuha ang mga formula na ito, sapat na upang hatiin ang magkabilang panig ng quadratic equation na ito sa pamamagitan ng A ≠ 0 at ilapat ang theorem ni Vieta sa nagresultang pinababang quadratic equation. Isaalang-alang natin ang isang halimbawa: kailangan mong lumikha ng pinababang quadratic equation na ang mga ugat x 1 = 3, x 2 = 4. kasi x 1 = 3, x 2 = 4 - mga ugat ng quadratic equation x² + px + q= 0, pagkatapos ay sa pamamagitan ng teorama ni Vieta R = — (x 1 + x 2) = — 7, q = x 1 x 2 = 12. Isinulat namin ang sagot bilang x² — 7 x+ 12 = 0. Kapag nilulutas ang ilang mga problema, ginagamit ang sumusunod na theorem.

Theorem converse to Vieta's theorem

Kung ang mga numero R, q, x 1 , x 2 ang ganyan x 1 + x 2 = — p, x 1 * x 2 = q, Iyon x 1 At x 2- mga ugat ng equation x² + px + q= 0. Palitan sa kaliwang bahagi x² + px + q sa halip na R pagpapahayag - ( x 1 + x 2), at sa halip q- trabaho x 1 * x 2 . Nakukuha namin: x² + px + q = x² — ( x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = x² - x 1 x - x 2 x + x 1 x 2 = (x - x 1) (x - x 2). Kaya, kung ang mga numero R, q, x 1 at x 2 ay konektado sa pamamagitan ng mga relasyon, pagkatapos ay para sa lahat X pinanghahawakan ang pagkakapantay-pantay x² + px + q = (x - x 1) (x - x 2), mula sa kung saan ito ay sumusunod na x 1 at x 2 - mga ugat ng equation x² + px + q= 0. Gamit ang theorem inverse sa Vieta's theorem, maaari mong mahanap kung minsan ang mga ugat ng isang quadratic equation sa pamamagitan ng pagpili. Tingnan natin ang isang halimbawa, x² — 5 x+ 6 = 0. Dito R = — 5, q= 6. Pumili tayo ng dalawang numero x 1 at x 2 kaya na x 1 + x 2 = 5, x 1 * x 2 = 6. Pansinin na ang 6 = 2 * 3, at 2 + 3 = 5, sa pamamagitan ng theorem ay sumasalungat sa Vieta's theorem, nakuha natin na x 1 = 2, x 2 = 3 - mga ugat ng equation x² — 5 x + 6 = 0.

Ang teorama ni Vieta ay kadalasang ginagamit upang subukan ang mga natagpuang ugat. Kung nahanap mo na ang mga ugat, maaari mong gamitin ang mga formula na \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) upang kalkulahin ang mga halaga ng \(p \) at \(q\ ). At kung sila ay magiging pareho sa orihinal na equation, kung gayon ang mga ugat ay matatagpuan nang tama.

Halimbawa, hayaan nating, gamit ang , lutasin ang equation \(x^2+x-56=0\) at kunin ang mga ugat: \(x_1=7\), \(x_2=-8\). Suriin natin kung nagkamali tayo sa proseso ng paglutas. Sa aming kaso, \(p=1\), at \(q=-56\). Sa pamamagitan ng teorama ni Vieta mayroon tayong:

\(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)7+(-8)=-1 \\7\cdot(-8)=-56\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)-1=-1\\-56=-56\end(cases)\ )

Ang parehong mga pahayag ay nagtagpo, na nangangahulugan na nalutas namin nang tama ang equation.

Ang pagsusulit na ito ay maaaring gawin nang pasalita. Aabutin ng 5 segundo at ililigtas ka sa mga hangal na pagkakamali.

Inverse Vieta theorem

Kung ang \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\), kung gayon ang \(x_1\) at \(x_2\) ay ang mga ugat ng quadratic equation \ (x^ 2+px+q=0\).

O sa simpleng paraan: kung mayroon kang equation ng form na \(x^2+px+q=0\), pagkatapos ay lutasin ang system \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\ end(cases)\) makikita mo ang mga ugat nito.

Salamat sa theorem na ito, mabilis mong mahahanap ang mga ugat ng isang quadratic equation, lalo na kung ang mga ugat na ito ay . Ang kasanayang ito ay mahalaga dahil nakakatipid ito ng maraming oras.

Halimbawa . Lutasin ang equation \(x^2-5x+6=0\).

Solusyon : Gamit ang inverse theorem ng Vieta, nakita namin na ang mga ugat ay nakakatugon sa mga kondisyon: \(\begin(cases)x_1+x_2=5 \\x_1 \cdot x_2=6\end(cases)\).
Tingnan ang pangalawang equation ng system \(x_1 \cdot x_2=6\). Anong dalawa ang maaaring mabulok ng numerong \(6\)? Sa \(2\) at \(3\), \(6\) at \(1\) o \(-2\) at \(-3\), at \(-6\) at \(- 1\). Sasabihin sa iyo ng unang equation ng system kung aling pares ang pipiliin: \(x_1+x_2=5\). Ang \(2\) at \(3\) ay magkatulad, dahil \(2+3=5\).
Sagot : \(x_1=2\), \(x_2=3\).

Mga halimbawa . Gamit ang converse ng Vieta's theorem, hanapin ang mga ugat ng quadratic equation:
a) \(x^2-15x+14=0\); b) \(x^2+3x-4=0\); c) \(x^2+9x+20=0\); d) \(x^2-88x+780=0\).

Solusyon :
a) \(x^2-15x+14=0\) – anong mga salik ang nabubulok ng \(14\)? \(2\) at \(7\), \(-2\) at \(-7\), \(-1\) at \(-14\), \(1\) at \(14\ ). Anong mga pares ng mga numero ang nagdaragdag ng hanggang sa \(15\)? Sagot: \(1\) at \(14\).

b) \(x^2+3x-4=0\) – anong mga salik ang nabubulok ng \(-4\)? \(-2\) at \(2\), \(4\) at \(-1\), \(1\) at \(-4\). Anong mga pares ng mga numero ang nagdaragdag ng hanggang sa \(-3\)? Sagot: \(1\) at \(-4\).

c) \(x^2+9x+20=0\) – anong mga salik ang nabubulok ng \(20\)? \(4\) at \(5\), \(-4\) at \(-5\), \(2\) at \(10\), \(-2\) at \(-10\ ), \(-20\) at \(-1\), \(20\) at \(1\). Anong mga pares ng mga numero ang nagdaragdag hanggang sa \(-9\)? Sagot: \(-4\) at \(-5\).

d) \(x^2-88x+780=0\) – sa anong mga salik nabubulok ang \(780\)? \(390\) at \(2\). Nagdaragdag ba sila ng hanggang \(88\)? Hindi. Ano ang iba pang multiplier na mayroon ang \(780\)? \(78\) at \(10\). Nagdaragdag ba sila ng hanggang \(88\)? Oo. Sagot: \(78\) at \(10\).

Hindi kinakailangang palawakin ang huling termino sa lahat ng posibleng salik (tulad ng sa huling halimbawa). Maaari mong suriin kaagad kung ang kanilang kabuuan ay nagbibigay ng \(-p\).

Mahalaga! Ang theorem ni Vieta at ang converse theorem ay gumagana lamang sa , iyon ay, isa kung saan ang coefficient ng \(x^2\) ay katumbas ng isa. Kung sa una ay binigyan tayo ng isang hindi pinababang equation, kung gayon maaari natin itong bawasan sa pamamagitan lamang ng paghahati sa koepisyent sa harap ng \(x^2\).

Halimbawa, hayaan ang equation na \(2x^2-4x-6=0\) at gusto naming gamitin ang isa sa mga theorems ng Vieta. Ngunit hindi natin magagawa, dahil ang coefficient ng \(x^2\) ay katumbas ng \(2\). Alisin natin ito sa pamamagitan ng paghahati sa buong equation sa \(2\).

\(2x^2-4x-6=0\) \(|:2\)
\(x^2-2x-3=0\)

handa na. Ngayon ay maaari mong gamitin ang parehong theorems.

Mga sagot sa mga madalas itanong

Tanong: Gamit ang teorama ni Vieta, maaari mong lutasin ang anuman?
Sagot: Sa kasamaang palad hindi. Kung ang equation ay hindi naglalaman ng mga integer o ang equation ay walang mga ugat, kung gayon ang Vieta's theorem ay hindi makakatulong. Sa kasong ito kailangan mong gamitin may diskriminasyon . Sa kabutihang palad, 80% ng mga equation sa matematika ng paaralan ay may mga integer na solusyon.