Tulad ng alam mo, ang isang katawan na hindi limitado sa anumang paraan sa mga paggalaw nito ay tinatawag na libre, dahil maaari itong lumipat sa anumang direksyon. Samakatuwid, ang bawat libreng matibay na katawan ay may anim na antas ng kalayaan sa paggalaw. Ito ay may kakayahang gumawa ng mga sumusunod na paggalaw: tatlong translational movements, na tumutugma sa tatlong pangunahing coordinate system, at tatlong rotational na paggalaw sa paligid ng tatlong coordinate axes na ito.

Ang pagpapataw ng mga koneksyon (pag-aayos) ay binabawasan ang bilang ng mga antas ng kalayaan. Kaya, kung ang isang katawan ay naayos sa isang punto, hindi ito maaaring gumalaw kasama ang mga coordinate axes; ang mga paggalaw nito ay limitado lamang sa pag-ikot sa paligid ng mga axes na ito, i.e. ang katawan ay may tatlong antas ng kalayaan. Sa kaso kapag ang dalawang punto ay naayos, ang katawan ay may isang antas lamang ng kalayaan; maaari lamang itong paikutin sa paligid ng isang linya (axis) na dumadaan sa parehong mga puntong ito. At sa wakas, na may tatlong nakapirming punto na hindi nakahiga sa parehong linya, ang bilang ng mga antas ng kalayaan ay zero, at walang paggalaw ng katawan ang maaaring mangyari. Sa mga tao, ang passive apparatus ng paggalaw ay binubuo ng mga bahagi ng kanyang katawan na tinatawag na mga link. Lahat sila ay konektado sa isa't isa, kaya nawalan sila ng kakayahang magsagawa ng tatlong uri ng paggalaw kasama ang mga coordinate axes. Mayroon lamang silang kakayahang umikot sa paligid ng mga palakol na ito. Kaya, ang maximum na bilang ng mga antas ng kalayaan na maaaring magkaroon ng isang link ng katawan kaugnay sa isa pang link na katabi nito ay tatlo.

Ito ay tumutukoy sa pinaka-mobile na joints ng katawan ng tao, na may spherical na hugis.

Ang mga sunud-sunod o branched na koneksyon ng mga bahagi ng katawan (mga link) ay bumubuo ng mga kinematic chain.

Sa mga tao mayroong:

• - bukas na kinematic chain pagkakaroon ng isang libreng palipat-lipat na dulo, na naayos lamang sa isang dulo (halimbawa, isang braso na may kaugnayan sa katawan);
• - saradong kinematic chain, naayos sa magkabilang dulo (halimbawa, vertebra - rib - sternum - rib - vertebra).

Dapat pansinin na ito ay may kinalaman sa potensyal na hanay ng mga paggalaw sa mga joints. Sa katotohanan, sa isang buhay na tao, ang mga tagapagpahiwatig na ito ay palaging mas mababa, na napatunayan ng maraming mga gawa ng mga domestic researcher - P. F. Lesgaft, M. F. Ivanitsky, M. G. Prives, N. G. Ozolin, atbp. Sa dami ng kadaliang kumilos sa mga joints ng buto sa isang buhay tao, ito ay naiimpluwensyahan ng isang bilang ng mga kadahilanan na may kaugnayan sa edad, kasarian, mga indibidwal na katangian, ang pagganap na estado ng sistema ng nerbiyos, ang antas ng pag-unat ng kalamnan, temperatura ng kapaligiran, oras ng araw at, sa wakas, kung ano ang mahalaga para sa mga atleta, ang antas ng pagsasanay. Kaya, sa lahat ng mga koneksyon sa buto (hindi tuloy-tuloy at tuluy-tuloy), ang antas ng kadaliang kumilos sa mga kabataan ay mas malaki kaysa sa mga matatandang tao; Sa karaniwan, ang mga babae ay may higit sa mga lalaki. Ang dami ng paggalaw ay naiimpluwensyahan ng antas ng pag-uunat ng mga kalamnan na nasa gilid na kabaligtaran ng paggalaw, pati na rin ang lakas ng mga kalamnan na gumagawa ng paggalaw na ito. Kung mas nababanat ang una sa mga kalamnan na ito at mas malakas ang pangalawa, mas malaki ang hanay ng mga paggalaw sa isang naibigay na koneksyon sa buto, at kabaliktaran. Ito ay kilala na sa isang malamig na paggalaw ng silid ay may mas maliit na saklaw kaysa sa isang mainit na silid, sa umaga ay mas mababa sila kaysa sa gabi. Ang paggamit ng iba't ibang ehersisyo ay may iba't ibang epekto sa joint mobility. Kaya, ang sistematikong pagsasanay na may "kakayahang umangkop" na mga ehersisyo ay nagdaragdag sa hanay ng paggalaw sa mga kasukasuan, habang ang "lakas" na pagsasanay, sa kabaligtaran, ay binabawasan ito, na humahantong sa "paninigas" ng mga kasukasuan. Gayunpaman, ang pagbaba sa saklaw ng paggalaw sa mga kasukasuan kapag gumagamit ng mga pagsasanay sa lakas ay hindi ganap na maiiwasan. Maiiwasan ito sa pamamagitan ng tamang kumbinasyon ng pagsasanay sa lakas at mga ehersisyo sa pag-stretch para sa parehong mga grupo ng kalamnan.

Sa bukas na kinematic chain ng katawan ng tao, ang mobility ay kinakalkula sa sampu-sampung degree ng kalayaan. Halimbawa, ang kadaliang mapakilos ng pulso na may kaugnayan sa scapula at ang kadaliang kumilos ng tarsus na may kaugnayan sa pelvis ay may pitong antas ng kalayaan, at ang mga dulo ng mga daliri ng kamay na may kaugnayan sa dibdib ay may 16 na antas ng kalayaan. Kung susumahin natin ang lahat ng antas ng kalayaan ng mga limbs at ulo na may kaugnayan sa katawan, kung gayon ito ay ipahayag ng numero 105, na binubuo ng mga sumusunod na posisyon:

• - ulo - 3 degree ng kalayaan;
• - armas - 14 degrees ng kalayaan;
• - mga binti - 12 degrees ng kalayaan;
• - mga kamay at paa - 76 degrees ng kalayaan.

Para sa paghahambing, itinuturo namin na ang karamihan sa mga makina ay may isang antas lamang ng kalayaan sa paggalaw.

Sa mga joint ng bola at socket, posible ang mga pag-ikot tungkol sa tatlong magkaparehong patayo na palakol. Ang kabuuang bilang ng mga palakol sa paligid kung saan posible ang mga pag-ikot sa mga kasukasuan na ito ay napakalaki. Dahil dito, tungkol sa mga spherical joints, masasabi nating ang mga link na nakasaad sa kanila, mula sa posibleng anim na antas ng kalayaan sa paggalaw, ay may tatlong antas ng kalayaan at tatlong antas ng pagkabit.

Ang mga joint na may dalawang degree ng kalayaan sa paggalaw at apat na degree ng coupling ay may mas kaunting kadaliang kumilos. Kabilang dito ang mga joints ng ovoid o elliptical at saddle na hugis, i.e. biaxial. Pinapayagan nila ang mga paggalaw sa paligid ng dalawang palakol na ito.

Ang mga link ng katawan sa mga joints na iyon na may isang axis ng pag-ikot, ibig sabihin, ay may isang antas ng kalayaan ng kadaliang kumilos at sa parehong oras ay limang antas ng pagkakakonekta. may dalawang nakapirming puntos.

Ang karamihan ng mga joints sa katawan ng tao ay may dalawa o tatlong antas ng kalayaan. Sa ilang antas ng kalayaan sa paggalaw (dalawa o higit pa), posible ang isang walang katapusang bilang ng mga trajectory. Ang mga koneksyon ng mga buto ng bungo ay may anim na antas ng koneksyon at hindi kumikibo. Ang koneksyon ng mga buto sa tulong ng cartilage at ligaments (synchondrosis at syndesmosis) ay maaaring sa ilang mga kaso ay may makabuluhang kadaliang kumilos, na nakasalalay sa pagkalastiko at sa laki ng mga cartilaginous o connective tissue formations na matatagpuan sa pagitan ng mga buto na ito.

Ang mga sistemang may dalawang antas ng kalayaan ay isang espesyal na kaso ng mga sistema na may ilang antas ng kalayaan. Ngunit ang mga sistemang ito ay ang pinakasimpleng, na nagpapahintulot sa isa na makakuha sa panghuling anyo ng mga formula ng pagkalkula para sa pagtukoy ng mga frequency ng vibration, amplitudes at dynamic na mga pagpapalihis.

yBeam deflections dahil sa inertial forces:

P 2 =1 (1)

Ang mga palatandaan (-) sa mga expression (1) ay dahil sa ang katunayan na ang mga inertial na pwersa at mga yunit. ang mga paggalaw ay nasa kabilang direksyon.

Naniniwala kami na ang mass vibrations ay nangyayari ayon sa harmonic law:

(2)

Hanapin natin ang acceleration ng mass motion:

(3)

Ang pagpapalit ng mga expression (2) at (3) sa equation (1) ay makukuha natin:

(5)

Isinasaalang-alang namin ang mga amplitude ng mga oscillations A 1 at A 2 na hindi alam, at binabago namin ang mga equation:

(6)

Ang solusyon sa sistema ng mga homogenous na equation A 1 = A 2 =0 ay hindi angkop sa amin; upang makakuha ng non-zero na solusyon, itinutumbas namin ang mga determinant ng system (6) sa zero:

(7)

Ibahin natin ang equation (8), na isinasaalang-alang ang pabilog na dalas ng mga natural na oscillations  hindi alam:

Ang equation (9) ay tinatawag na biharmonic equation ng libreng oscillations ng mga system na may dalawang degree ng kalayaan.

Ang pagpapalit ng variable  2 =Z, nakukuha namin

mula dito tinutukoy namin ang Z 1 at Z 2.

Bilang resulta, ang mga sumusunod na konklusyon ay maaaring makuha:

1. Ang mga libreng vibrations ng mga system na may dalawang degree ng kalayaan ay nangyayari sa dalawang frequency  1 at  2. Ang mas mababang frequency 1 ay tinatawag na fundamental o fundamental tone, ang mas mataas na frequency 2 ay tinatawag na pangalawang frequency o overtone.

Ang mga libreng vibrations ng mga system na may n-degrees ng kalayaan ay n-tone, na binubuo ng n-free vibrations.

2. Ang mga paggalaw ng masa m 1 at m 2 ay ipinahayag ng mga sumusunod na formula:

ibig sabihin, kung ang mga oscillation ay nangyayari na may dalas na  1, pagkatapos ay sa anumang sandali ng oras ang mga paggalaw ng masa ay may parehong mga palatandaan.

Kung ang mga oscillations ay nangyayari lamang na may dalas na  2, kung gayon ang mga paggalaw ng masa sa anumang oras ay may magkasalungat na mga palatandaan.

Sa sabay-sabay na mga oscillations ng masa na may mga frequency  1 at  2, ang system ay pangunahing nag-o-oscillate sa frequency  1 at isang overtone na may frequency  2 ay umaangkop sa mga oscillations na ito.

Kung ang isang sistema na may dalawang antas ng kalayaan ay napapailalim sa puwersang nagtutulak na may dalas na , kung gayon kinakailangan na:

  0.7  1 .

Lektura 9

Mga oscillation ng mga system na may walang katapusang bilang ng mga antas ng kalayaan.

Ang teorya ng mekanikal na panginginig ng boses ay may marami at napaka-magkakaibang aplikasyon sa halos lahat ng larangan ng teknolohiya. Anuman ang layunin at solusyon sa disenyo ng iba't ibang mga mekanikal na sistema, ang kanilang mga vibrations ay napapailalim sa parehong mga pisikal na batas, ang pag-aaral kung saan ay ang paksa ng teorya ng mga vibrations ng nababanat na mga sistema. Ang linear na teorya ng mga oscillation ay ganap na nabuo. Ang teorya ng mga oscillations ng mga system na may ilang antas ng kalayaan ay ibinalik noong ika-18 siglo ni Lagrange sa kanyang klasikong akdang "Analytical Mechanics".

Joseph Louis Lagrange (1736 - 1813) - propesor ng matematika sa Turin mula sa edad na 19. Mula noong 1759 - miyembro, at mula noong 1766 - presidente ng Berlin Academy of Sciences; mula 1787 siya ay nanirahan sa Paris. Noong 1776 siya ay nahalal bilang honorary dayuhang miyembro ng St. Petersburg Academy of Sciences.

Sa pagtatapos ng ika-19 na siglo, inilatag ni Rayleigh ang mga pundasyon ng linear na teorya ng mga oscillations ng mga sistema na may walang katapusang antas ng kalayaan (i.e., na may tuluy-tuloy na pamamahagi ng masa sa buong volume ng deformable system). Noong ika-20 siglo, ang linear na teorya ay masasabing natapos na (ang Bubnov-Galerkin na pamamaraan, na ginagawang posible upang matukoy ang mas mataas na mga frequency ng oscillation gamit ang sunud-sunod na pagtatantya).

John William Strett (Lord Rayleigh) (1842 - 1919) - English physicist, may-akda ng isang bilang ng mga gawa sa teorya ng oscillations.

Ivan Grigorievich Bubnov (1872 - 1919) - isa sa mga tagapagtatag ng mekanika ng istruktura ng barko. Propesor sa St. Petersburg Polytechnic Institute, mula noong 1910 - sa Maritime Academy.

Boris Grigorievich Galerkin (1871-1945) - propesor sa Leningrad Polytechnic Institute.

Ang formula ni Rayleigh ay pinakasikat sa teorya ng vibrations at stability ng elastic system. Ang ideyang pinagbabatayan ng derivation ng formula ni Rayleigh ay bumaba sa mga sumusunod. Sa monoharmonic (one-tone) na libreng oscillations ng isang nababanat na sistema na may dalas , ang mga paggalaw ng mga punto nito ay nangyayari sa oras ayon sa harmonic law:

kung saan ang  1 (x,y,z),  2 (x,y,z),  3 (x,y,z) ay mga function ng spatial coordinates ng punto na tumutukoy sa oscillation shape na pinag-uusapan (amplitude).

Kung kilala ang mga function na ito, makikita ang frequency ng libreng vibrations mula sa kondisyon na pare-pareho ang kabuuan ng kinetic at potensyal na enerhiya ng katawan. Ang kundisyong ito ay humahantong sa isang equation na naglalaman lamang ng isang hindi kilalang dami.

Gayunpaman, ang mga pag-andar na ito ay hindi alam nang maaga. Ang gabay na ideya ng paraan ng Rayleigh ay upang tukuyin ang mga function na ito, na tumutugma sa kanilang pinili sa mga kondisyon ng hangganan at ang inaasahang hugis ng mga vibrations.

Isaalang-alang natin nang mas detalyado ang pagpapatupad ng ideyang ito para sa pag-baluktot ng eroplanong vibrations ng isang baras; ang hugis ng mga vibrations ay inilalarawan ng function na =(x). Ang mga libreng oscillation ay inilalarawan ng pagtitiwala

potensyal na enerhiya ng isang baluktot na baras

(2)

kinetic energy

(3)

saan l- haba ng baras, m=m(x) intensity ng distributed mass ng rod;

Curvature ng curved axis ng rod; - bilis ng transverse vibrations.

Ibinigay (1)

.

(4)

(5)

Sa paglipas ng panahon, ang bawat isa sa mga dami na ito ay patuloy na nagbabago, ngunit, ayon sa batas ng konserbasyon ng enerhiya, ang kanilang kabuuan ay nananatiling pare-pareho, i.e.

o sa pamamagitan ng pagpapalit ng mga expression (4), (5) dito

(7)

Ito ay humahantong sa formula ni Rayleigh:

(8)

Kung ang mga concentrated load na may masa M i ay nauugnay sa isang baras na may distributed mass m, kung gayon ang formula ni Rayleigh ay kukuha ng form:

(9)

Ang buong kurso ng derivation ay nagpapakita na, sa loob ng balangkas ng mga tinatanggap na pagpapalagay (ang bisa ng teknikal na teorya ng baluktot ng mga tungkod, ang kawalan ng inelastic resistance), ang formula na ito ay tumpak kung ang (x) ay ang tunay na anyo ng mga vibrations . Gayunpaman, ang function(x) ay hindi alam nang maaga. Ang praktikal na kahalagahan ng pormula ni Rayleigh ay magagamit ito upang mahanap ang natural na frequency, dahil sa hugis ng vibration(x). Kasabay nito, ang isang mas o hindi gaanong seryosong elemento ng proximity ay ipinakilala sa desisyon. Para sa kadahilanang ito, kung minsan ang formula ni Rayleigh ay tinatawag na isang tinatayang formula.

m=cosnt Kunin natin bilang vibration ang function:(x)=ax 2, na nakakatugon sa kinematic boundary na kondisyon ng problema.

Tinutukoy namin:

Ayon sa formula (8)

Malaki ang pagkakaiba ng resultang ito sa eksaktong resulta

Ang mas tumpak ay ang Grammel formula, na hindi pa naging kasing tanyag ng Rayleigh formula (marahil dahil sa kamag-anak nitong "kabataan" - ito ay iminungkahi noong 1939).

Muli nating pag-isipan ang parehong problema ng libreng baluktot na vibrations ng isang baras.

Hayaan ang (x) ang tinukoy na anyo ng mga libreng oscillations ng baras. Pagkatapos ay ang intensity ng maximum inertial forces ay tinutukoy ng expression na m 2 , kung saan, tulad ng dati, m=m(x) ay ang intensity ng distributed mass ng rod;  2 ay ang square ng natural frequency. Ang mga puwersang ito ay umabot sa tinukoy na halaga sa sandaling ang mga pagpapalihis ay pinakamataas, i.e. ay tinutukoy ng function(x).

Isulat natin ang expression para sa pinakamataas na potensyal na baluktot na enerhiya sa mga tuntunin ng mga baluktot na sandali na dulot ng pinakamataas na puwersa ng inertial:

. (10)

Dito - mga sandali ng baluktot na dulot ng pagkarga m 2 . Tukuyin natin ang bending moment na dulot ng conditional load m, i.e.  2 beses na mas mababa kaysa sa inertial force.

, (11)

at ang expression (10) ay maaaring isulat bilang:

. (12)

Pinakamataas na kinetic energy, katulad ng nasa itaas

. (13)

Ang equating expression (12) at (13) ay nakarating tayo sa Grammel formula:

(14)

Upang kalkulahin gamit ang formula na ito, kailangan mo munang tumukoy ng angkop na function (x). Pagkatapos nito, tinutukoy ang conditional load m=m(x)(x) at ang mga expression para sa baluktot na dulot ng conditional load m ay isinusulat. Gamit ang formula (14), ang natural oscillation frequency ng system ay tinutukoy.

Halimbawa: (isaalang-alang ang nauna)

y

m(x)·(x)=max 2

Isaalang-alang natin ang maliliit na oscillations ng isang sistema na may dalawang antas ng kalayaan, na napapailalim sa mga puwersa ng isang potensyal na larangan at mga puwersa na pana-panahong nagbabago sa oras. Ang mga nagresultang paggalaw ng sistema ay tinatawag na sapilitang mga oscillations.

Hayaang mag-iba ang nakakagambalang pangkalahatang pwersa ayon sa isang harmonic na batas sa oras, na may pantay na panahon at paunang yugto. Kung gayon ang mga equation ng paggalaw ng system na isinasaalang-alang ay magiging sa anyo:

Ang mga equation ng paggalaw sa kaso na isinasaalang-alang ay isang sistema ng linear second-order differential equation na may pare-parehong coefficient at kanang bahagi.

Pumunta sa mga pangunahing coordinate

Para sa kaginhawaan ng pag-aaral ng mga equation ng paggalaw, magpatuloy tayo sa pangunahing mga coordinate ng system. Ang relasyon sa pagitan ng mga coordinate ay tinutukoy ng mga formula ng nakaraang talata ng form:

Tukuyin natin sa pamamagitan ng naaayon ang mga pangkalahatang pwersa na naaayon sa normal na mga coordinate. Dahil ang mga pangkalahatang pwersa ay kumakatawan sa mga koepisyent para sa kaukulang mga pagkakaiba-iba ng mga pangkalahatang coordinate sa pagpapahayag ng elementarya na gawain ng mga puwersa na kumikilos sa sistema, kung gayon

Kaya naman:

Kaya, ang mga equation ng paggalaw sa mga pangunahing coordinate ay nasa anyo:

Ang mga equation ng sapilitang mga oscillations ng isang sistema na may dalawang degree ng kalayaan sa normal na mga coordinate ay independiyente sa bawat isa at maaaring isama nang hiwalay.

Mga kritikal na dalas ng nakakagambalang puwersa

Ang equation para sa o tinutukoy ang oscillatory na katangian ng pagbabago sa mga normal na coordinate, na pinag-aralan nang detalyado kapag isinasaalang-alang ang sapilitang oscillation ng isang punto sa isang tuwid na linya, dahil ang mga differential equation ng paggalaw ay pareho sa parehong mga kaso. Sa partikular, kung ang dalas ng nakakagambalang puwersa ay katumbas ng dalas ng isa sa mga natural na oscillations ng system, o pagkatapos ay isasama ng solusyon ang oras t bilang isang kadahilanan. Dahil dito, ang isa sa mga normal na pangkalahatang coordinate para sa isang sapat na malaking t ay magiging arbitraryong malaki, o mayroon tayong phenomenon ng resonance.

Mga oscillation na may ilang antas ng kalayaan.

Maikling impormasyon mula sa teorya.

Mga sistemang may n kapangyarihankalayaan sa dynamics ay kaugalian na tumawag sa mga naturang sistema, upang ganap na ayusin ang geometric na estado kung saan sa anumang sandali sa oras ay kinakailangan upang itakda P mga parameter, halimbawa posisyon (deflections) P puntos. Ang posisyon ng iba pang mga punto ay tinutukoy ng maginoo na mga static na pamamaraan.

Isang halimbawa ng isang sistema na may P ang mga antas ng kalayaan ay maaaring maging isang sinag o isang patag na frame kung ang masa ng mga indibidwal na bahagi o elemento nito ay may kondisyon (upang mapadali ang mga dinamikong kalkulasyon) na itinuturing na puro sa P puntos, o kung ito ay nagdadala ng n malalaking masa (mga makina, motor), kung ihahambing sa kung saan posible na pabayaan ang sariling bigat ng mga elemento. Kung ang mga indibidwal na concentrated ("punto") na masa ay maaaring, kapag nag-oscillating, lumipat sa dalawang direksyon, kung gayon ang bilang ng mga antas ng kalayaan ng system ay magiging katumbas ng bilang ng mga koneksyon na dapat ipataw sa system upang maalis ang mga displacement ng lahat ng masa.

Kung ang isang sistemang may n antas ng kalayaan ay inilabas sa ekwilibriyo, ito ay magko-commit libreng vibrations, at bawat "punto" (mass) ay magsasagawa ng mga kumplikadong polyharmonic oscillations ng uri:

Mga Constant A i at B i depende sa mga paunang kondisyon ng paggalaw (mga paglihis ng masa mula sa static na antas at mga bilis sa sandali ng oras t=0). Tanging sa ilang mga espesyal na kaso ng paggulo ng mga oscillations ang polyharmonic motion para sa mga indibidwal na masa ay maaaring maging harmonic, i.e. tulad ng sa isang sistema na may isang antas ng kalayaan:

Ang bilang ng mga natural na frequency ng isang sistema ay katumbas ng bilang ng mga antas ng kalayaan nito.

Upang makalkula ang mga natural na frequency, kinakailangan upang malutas ang tinatawag na frequency determinant, na nakasulat sa form na ito:

Ang kundisyong ito sa pinalawak na anyo ay nagbibigay ng equation P ika-degree upang matukoy P mga halaga ng ω 2, na tinatawag na frequency equation.

Sa pamamagitan ng δ 11, δ 12, δ 22, atbp. ang mga posibleng paggalaw ay ipinahiwatig. Kaya, ang δ 12 ay ang pag-aalis sa unang direksyon ng punto ng lokasyon ng unang masa mula sa puwersa ng yunit na inilapat sa pangalawang direksyon hanggang sa punto ng lokasyon ng pangalawang masa, atbp.

Sa dalawang antas ng kalayaan, ang frequency equation ay nasa anyo:

Kung saan para sa dalawang frequency mayroon tayo:

Sa kaso kapag ang indibidwal na misa M i maaari ring magsagawa ng rotational o rotational na paggalaw lamang kasama ng mga linear na paggalaw, pagkatapos i-ang coordinate na iyon ang magiging anggulo ng pag-ikot, at sa frequency determinant ang masa

M i dapat mapalitan ng moment of inertia ng mass J i; nang naaayon, posibleng mga paggalaw sa direksyon i-th coordinates ( δ i 2 , δ i 2 atbp.) ay magiging angular na paggalaw.

Kung ang anumang masa ay umuusad sa ilang direksyon - i-mu at k-th (halimbawa, patayo at pahalang), kung gayon ang gayong masa ay nakikilahok sa determinant nang maraming beses sa ilalim ng mga numerong M i sila k at tumutugma ito sa ilang posibleng paggalaw ( δ ii, δ kk, δ ik, atbp.).

Tandaan na ang bawat natural na frequency ay may sariling espesyal na anyo ng oscillation (ang likas na katangian ng isang curved axis, line of deflection, displacement, atbp.), na sa mga indibidwal, ang mga espesyal na kaso ay maaaring maging isang wastong anyo ng oscillation, kung libre lang. ang mga oscillations ay maayos na nasasabik (wastong pagpili ng mga impulses, mga punto ng kanilang aplikasyon, atbp.). Sa kasong ito, ang sistema ay mag-oscillate ayon sa mga batas ng paggalaw ng system na may isang antas ng kalayaan.

Sa pangkalahatang kaso, tulad ng sumusunod mula sa expression (9.1), ang sistema ay nagsasagawa ng polyharmonic oscillations, ngunit ito ay malinaw na ang anumang kumplikadong nababanat na linya, na sumasalamin sa impluwensya ng lahat ng natural na mga frequency, ay maaaring mabulok sa mga indibidwal na bahagi ng form, bawat isa sa na tumutugma sa sarili nitong dalas Ang proseso ng naturang agnas ng tunay na mode ng vibration sa mga bahagi (na kinakailangan kapag nilutas ang mga kumplikadong problema ng structural dynamics) ay tinatawag na decomposition sa mga mode ng natural na vibrations.

Kung sa bawat masa, mas tiyak - sa direksyon ng bawat antas ng kalayaan, ang isang nakakagambalang puwersa ay inilalapat, na nag-iiba sa oras ayon sa maharmonya na batas

o, na kung saan ay walang malasakit para sa karagdagang mga layunin, at ang mga amplitudes ng mga puwersa para sa bawat masa ay iba, at ang dalas at mga phase ay pareho, pagkatapos ay sa matagal na pagkilos ng naturang nakakagambala pwersa ang system ay gagawa ng steady-state na sapilitang oscillations na may dalas. ng puwersang nagtutulak. Mga amplitude ng paggalaw sa anumang direksyon i-ang antas sa kasong ito ay magiging:

kung saan ang determinant D ay nakasulat ayon sa (9.2) na may ω na pinalitan ng θ at, samakatuwid, D≠0; D i ay tinutukoy ng expression:

mga. i Ang ika-column ng determinant D ay pinapalitan ng isang column na binubuo ng mga termino ng form: Para sa kaso ng dalawang antas ng kalayaan: (9.6)

At naaayon

Kapag kinakalkula ang sapilitang vibrations ng mga beam ng pare-pareho ang cross-section na nagdadala ng puro masa (Fig. 9.1).

Gayunpaman, mas madaling gamitin ang mga sumusunod na formula para sa mga amplitude ng pagpapalihis, anggulo ng pag-ikot, bending moment at shear force sa anumang seksyon ng beam:

(9.7)

saan y 0 , φ 0 , M 0 , Q 0 – mga amplitude ng pagpapalihis, pag-ikot, sandali at puwersa ng paggugupit ng paunang seksyon (mga paunang parameter); M i At J i- masa at ang sandali ng pagkawalang-galaw nito (puro masa); ang tanda ∑ ay nalalapat sa lahat ng pwersa at puro masa na matatagpuan mula sa unang seksyon hanggang sa paksa.

Ang ipinahiwatig na mga formula (9.7) ay maaari ding gamitin kapag kinakalkula ang mga natural na frequency, kung saan kinakailangang isaalang-alang ang mga nakakagambalang pwersa ∑ Ri at mga sandali ∑ Mi katumbas ng zero, palitan ang dalas ng sapilitang mga oscillations θ ng dalas ng natural na mga oscillations ω at, kung ipagpalagay na ang pagkakaroon ng mga oscillations (libreng oscillations), isulat ang mga expression (9.7) na may kaugnayan sa mga seksyon kung saan matatagpuan ang mga konsentradong masa at alam na ang mga amplitude ( mga seksyon ng sanggunian, axis ng symmetry, atbp.). Nakukuha namin ang isang sistema ng homogenous linear equation. Ang equating ang determinant ng sistemang ito sa zero, magagawa nating kalkulahin ang mga natural na frequency.

Lumalabas na ipinapayong gumamit ng mga expression (9.4) at (9.5) upang matukoy ang mga amplitude ( y 0 , φ 0 , atbp.) sa X=0, at pagkatapos ay gamit ang (9.7) kalkulahin ang lahat ng iba pang elemento ng pagpapalihis.

Ang mas kumplikado ay ang problema ng pagkalkula ng mga galaw ng isang sistema na may ilang antas ng kalayaan sa ilalim ng pagkilos ng isang di-makatwirang pagkarga na nagbabago sa paglipas ng panahon at inilalapat sa iba't ibang masa.

Kapag nilutas ang gayong problema, dapat kang magpatuloy tulad ng sumusunod:

a) matukoy ang mga natural na frequency at mga mode ng natural na vibrations;

b) regroup ang ibinigay na load sa pagitan ng mga masa o, tulad ng sinasabi nila, decompose ito ayon sa mga mode ng natural na vibrations. Ang bilang ng mga pangkat ng pag-load ay katumbas ng bilang ng mga natural na frequency ng system;

c) pagkatapos isagawa ang dalawang auxiliary operation sa itaas, gumawa ng kalkulasyon para sa bawat pangkat ng mga load gamit ang mga kilalang formula mula sa teorya ng oscillations ng isang system na may isang antas ng kalayaan, at ang dalas ng natural na oscillations sa mga formula na ito ay itinuturing na isa. kung saan tumutugma ang pangkat ng pag-load na ito;

d) ang mga bahagyang solusyon mula sa bawat kategorya ng mga load ay summed up, na tumutukoy sa panghuling solusyon ng problema.

Ang pagpapasiya ng mga natural na frequency ay isinasagawa ayon sa (9.2). Tulad ng para sa pagkilala sa mga anyo ng mga natural na panginginig ng boses, narito kinakailangan na magabayan ng pangunahing pag-aari ng anumang anyo ng mga natural na panginginig ng boses, na ito ay kumakatawan sa linya ng impluwensya ng pagpapalihis mula sa mga puwersa (ang bilang nito ay katumbas ng bilang ng antas ng kalayaan) proporsyonal sa produkto ng masa at mga ordinate ng mga pagpapalihis ng mga punto ng pagkakabit ng masa. Para sa pantay na masa, ang anyo ng natural na vibrations ay kumakatawan sa linya ng pagpapalihis mula sa mga pwersang proporsyonal sa mga ordinate ng pagpapalihis; ang load diagram ay katulad ng deflection diagram.

Ang pinakamababang frequency ay tumutugma sa pinakasimpleng anyo ng vibration. Para sa mga beam, kadalasan ang hugis na ito ay malapit na tumutugma sa curved axis ng system sa ilalim ng impluwensya ng sarili nitong timbang. Kung ang istraktura na ito ay lumalabas na hindi gaanong matibay sa anumang direksyon, halimbawa sa pahalang, pagkatapos ay upang makilala ang likas na katangian ng nais na hubog na axis, dapat na may kondisyon na ilapat ang sarili nitong timbang sa direksyon na ito.

THEORETICAL MECHANICS

UDC 531.8:621.8

D.M. Kobylyansky, V.F. Gorbunov, V.A. Gogolin

KASAMA NG PAG-ikot AT PAG-VIBRATION NG KATAWAN NA MAY ISANG DEGREE NG KALAYAAN

Isaalang-alang natin ang isang flat body T, kung saan ang tatlong ideal na mga hadlang ay ipinapataw, na pumipigil lamang sa paggalaw ng katawan sa lahat ng direksyon, tulad ng ipinapakita sa Fig. 1a. Ang mga koneksyon ay mga punto A, B, C, na matatagpuan sa mga vertices ng isang equilateral triangle. Ang pagkakaroon ng pagpili ng isang sistema ng coordinate upang ang sentro nito ay tumutugma sa gitna ng tatsulok at nakahanay dito (Larawan 1a), mayroon kaming mga coordinate ng mga koneksyon: A(0;R), B(^l/3 /2 ; -R/2), C ^-Ld/e /2; -I/2), kung saan ang I ay ang distansya mula sa gitna ng tatsulok hanggang sa mga vertice nito, iyon ay, ang radius ng bilog na dumadaan sa mga punto A, B, C. Sa posisyong ito, ang katawan ay magkakaroon ng isang antas ng kalayaan lamang kung ang mga normal sa hangganan nito sa mga puntong A, B, C ay magsalubong sa isang punto, na magiging madalian na sentro ng mga bilis. Kung hindi man, ang bilang ng mga antas ng kalayaan ng katawan ay zero at hindi lamang ito maaaring ilipat sa pagsasalin, ngunit magsagawa rin ng rotational motion. Kapag ang katawan ay may isang antas ng kalayaan, maaari itong magsimulang umikot kasama ang agarang sentro ng pag-ikot sa intersection point ng mga normal na nasa itaas. Hayaang ang puntong ito ay ang pinagmulan ng mga coordinate, point O. Kung ang instant na sentro ng pag-ikot ay hindi nagbabago sa posisyon nito, kung gayon ang tanging posibleng hugis ng katawan T ay isang bilog ng radius R na may sentro sa puntong O.

Ang problema ay lumitaw: mayroon bang iba pang mga anyo ng katawan na nagbibigay-daan sa pag-ikot nito kaugnay sa ilang gumagalaw na sentro upang ang

ang katawan ba ng katawan ay patuloy na dumaan sa tatlong puntong A, B, C nang hindi nasisira ang mga koneksyon na ito? Sa panitikan na kilala sa amin, ang gayong problema ay hindi isinasaalang-alang at, tila, nalutas sa unang pagkakataon.

Upang malutas ang problemang ito, isaalang-alang muna natin ang paggalaw ng tatsulok na ABC bilang isang matibay na katawan, na may kaugnayan sa X1O1Y1 coordinate system na nauugnay sa katawan T (Fig. 1b). Pagkatapos, kung ang paggalaw ng tatsulok ay nangyayari sa paraang ang mga vertex nito ay patuloy na nananatili sa hangganan ng katawan sa panahon ng kumpletong pag-ikot ng tatsulok sa pamamagitan ng 360°, kung gayon ang katawan ay gagawa din ng kinakailangang paggalaw sa kabaligtaran na nauugnay sa nakapirming triangle ABC at ang nauugnay na coordinate system na XOU.

Tinukoy namin ang paggalaw ng tatsulok na ABC bilang isang pag-ikot na may kaugnayan sa sentro O at isang paggalaw ng sentro O kasama ang axis ng ОіХі sa pamamagitan ng /(g), kasama ang axis ng ОіУі ng g(t). Pagkatapos ang parametric equation ng trajectory ng point A ay magkakaroon ng form: x = ryaSh +/(r); уі=г-єо,?ґ +g(t), ґє (1)

Dahil sa g=0 point O ay dapat na tumutugma sa point O1, kung gayon ang kundisyon /(0)= g(0)=0 ay dapat masiyahan. Hinihiling namin na kapag pinaikot sa isang anggulo r = 2n/3, ang punto A ay tumutugma sa punto B1, ang punto B ay tumutugma sa punto C, at punto C

Sa puntong A1. Kapag lumiko sa isang anggulo r = 4n/3, ang point A ay dapat pumunta sa point C1, point B sa point A1, at point C sa point B1. Ang pagsasama-sama ng mga kinakailangang ito para sa paggalaw ng mga vertices ng tatsulok ay humahantong sa mga kondisyon para sa mga halaga ng mga function ng paglipat ng sentro ng pag-ikot /(0)=/(2 p/3)=/(4 p/3)= 0; g0)=g(2l/3)=g(4l/3)=0 . (2) Ang mga kundisyon (2) ay natutugunan ng isang malawak na klase ng mga function, sa partikular na mga function ng form na sin(3mt/2), kung saan ang m ay isang integer, at ang kanilang mga linear na kumbinasyon na may mga variable na coefficient ng form:

H (g) = ^ bt (g) 8Іп(3тґ / 2)

Bukod dito, bilang

Fig.1. Scheme ng pagkalkula: a) - posisyon ng nakatigil na katawan at mga koneksyon nito sa XOU system; b) - ang posisyon ng nakapirming system na X1O1U1 na nauugnay sa katawan, at ang movable system na XOU na nauugnay sa tatsulok na ABC

Teoretikal na mekanika

Fig.2. Mga hugis ng katawan at mga trajectory ng paggalaw ng kanilang mga sentro ng pag-ikot

kanin. 3. Ang posisyon ng katawan kapag lumiliko sa isang anggulo at ang kaukulang tilapon ng paggalaw ng sentro ng pag-ikot nito

maaaring kunin ang mga displacement function, mga function na tumutukoy sa mga closed curve, gaya ng cycloids, trochoids, lemniscates, na may mga parameter na angkop ayon sa kondisyon (2). Sa kasong ito, ang lahat ng posibleng pag-andar ay dapat na pana-panahon na may panahon na 2n/3.

Kaya, ang sistema ng mga parametric equation (1) na may mga kondisyon sa mga halaga ng mga function /(^, g(t) (2) o sa kanilang anyo (3) ay nagbibigay ng nais na equation para sa hangganan ng katawan T. Ang Figure 2 ay nagpapakita ng mga halimbawa ng mga posibleng hugis ng katawan na nakakatugon sa mga kondisyon ng gawain. Sa gitna ng bawat figure ay ipinapakita ang trajectory ng sentro ng pag-ikot O1, at ang mga point connection A, B, C ay pinalaki para sa kanilang mas mahusay na visualization. Ang mga halimbawang ito ipakita na kahit na ang mga simpleng uri ng function mula sa klase na tinukoy ng expression (3) na may pare-parehong coefficient ay nagbibigay tayo ng medyo malawak na hanay ng mga kurba na naglalarawan sa mga hangganan ng mga katawan na sumasailalim sa pag-ikot at

mga oscillations nang sabay-sabay na may isang antas lamang ng kalayaan. Boundary curves a), c) sa Fig. 2 ay tumutugma sa paggalaw ng sentro ng pag-ikot lamang sa kahabaan ng pahalang na axis

Ang ОіХі ayon sa maharmonya na batas, at tulad ng makikita, ay may dalawang axes ng simetrya at maaaring maging alinman sa purong matambok, hugis-itlog (Larawan 2a), o pagsamahin ang convexity sa concavity (Fig. 2b). Sa pamamagitan ng patayo at pahalang na harmonic na batas na may parehong amplitude ng paggalaw ng sentro ng pag-ikot, ang mga kurba ng hangganan ay nawawala ang kanilang simetrya (Larawan 2 c, d). Ang makabuluhang impluwensya ng dalas ng maharmonya na vibrations sa hugis ng boundary curve ng isang katawan ay ipinapakita sa Fig. 2 d, f. Nang walang pagsasagawa ng buong pagsusuri ng impluwensya ng amplitude at frequency sa hugis at geometric na katangian ng hangganan curves sa gawaing ito, nais kong tandaan na ang mga halimbawa na ipinakita sa Fig. 2 ay nagpapakita na ng kakayahang malutas ang mga teknikal na problema sa pagpili ng nais na hugis

katawan upang pagsamahin ang paikot na paggalaw nito sa mga oscillation sa eroplano ng pag-ikot.

Ngayon isinasaalang-alang ang paggalaw ng katawan na nauugnay sa nakapirming sistema ng coordinate na XOU na nauugnay sa tatsulok na ABC, iyon ay, ang paglipat mula sa X1O1U1 coordinate system patungo sa XOU coordinate system, nakuha namin ang mga sumusunod na parametric equation ng boundary curve ng katawan sa isang ibinigay na anggulo ng pag-ikot p x = cosp-

Cosp(4)

o isinasaalang-alang ang mga equation (1), ang mga equation (4) ay kunin ang form na x = cosp-

- [ R cos(t) + g (t) - g (p)] sin p, y = sin p +

Cos p.

Ginagawang posible ng mga equation (5) na ilarawan ang trajectory ng anumang punto ng katawan ayon sa mga polaridad nito.

t-g.i m*4<. п-і

t-ÍLÍtWM. d-0

kanin. 4. Mga variant ng mga hugis ng katawan na may iba't ibang bilang ng mga koneksyon, na tinitiyak ang pagiging tugma ng pag-ikot at panginginig ng boses ng mga katawan

nal coordinate R,t. Sa partikular, sa R ​​= 0, t = 0 mayroon kaming isang punto na tumutugma sa pinagmulan ng mga coordinate Ob, iyon ay, ang sentro ng pag-ikot, ang tilapon kung saan sa scheme na isinasaalang-alang ay inilarawan ng mga equation na sumusunod mula sa (5) :

*0 = -f (ph) cos ph + g (ph) sin ph, y0 = - f (ph) sin ph- g (ph) cos r.

Ang Figure 3 ay nagpapakita ng isang halimbawa ng mga posisyon ng katawan (Figure 2b) kapag ito ay pinaikot sa isang anggulo φ, at sa gitna ng bawat figure ay ipinapakita ang tilapon ng sentro ng pag-ikot.

Oi, naaayon sa pag-ikot ng katawan sa anggulong ito. Sa teknikal na paraan, hindi mahirap gumawa ng animation

ng paggalaw ng katawan na ipinapakita sa Fig. 3 sa halip na isang pisikal na modelo, gayunpaman, ang balangkas ng isang artikulo sa journal ay maaari lamang payagan ito sa isang elektronikong bersyon. Ang halimbawang ipinakita ay pa rin

Ang paglalahat ng problemang isinasaalang-alang ay isang sistema ng n mainam na koneksyon sa anyo ng mga punto na matatagpuan sa mga vertices ng isang regular na tatsulok, na pumipigil lamang sa mga paggalaw ng pagsasalin ng katawan. Samakatuwid, tulad ng sa kaso ng isang tatsulok, ang katawan ay maaaring magsimulang umikot kaugnay sa gitna ng pag-ikot, na siyang punto ng intersection ng mga normal sa hangganan ng katawan sa mga punto ng koneksyon. Sa kasong ito, ang equation para sa trajectory ng isang punto ng katawan A, na matatagpuan sa axis OU, at matatagpuan sa layo na H mula sa gitna ng pag-ikot, ay magkakaroon ng parehong anyo bilang (1). Ang mga kondisyon para sa mga halaga ng mga function ng paglipat ng sentro ng pag-ikot (2) sa kasong ito ay kukuha

Kobylyansky Gorbunov

Dmitry Mikhailovich Valery Fedorovich

Postgraduate na estudyante ng departamento. nakatigil at - doc. tech. agham, prof. departamento daan

sasakyang pang-transportasyon, mga nakatigil at sasakyang pang-transportasyon

f(2kp/p)=g(2kp/p)=0. (7)

Ang kondisyon (7) ay tumutugma sa mga pana-panahong pag-andar na may panahon na 2n/n, halimbawa 8m(n-m4/2), pati na rin ang kanilang mga linear na kumbinasyon ng anyo (3) at iba pang mga function na naglalarawan ng mga saradong kurba. Ang pangangatwiran na katulad ng nabanggit sa itaas ay humahantong sa parehong mga equation (4-6), na ginagawang posible upang makalkula ang hugis ng katawan, ang posisyon nito sa panahon ng pag-ikot at ang tilapon ng sentro ng pag-ikot na may mga oscillations ng katawan na naaayon sa pag-ikot . Ang isang halimbawa ng naturang mga kalkulasyon ay Fig. 4, kung saan ang tuldok na linya ay nagpapakita ng paunang posisyon ng mga katawan, ang solidong linya ay nagpapakita ng posisyon ng mga katawan kapag umiikot sa isang anggulo l/3, at sa gitna ng bawat figure ay ang kumpletong trajectory ng sentro ng pag-ikot sa panahon ng isang buong pag-ikot ng katawan. At bagaman sa halimbawang ito lamang ang pahalang na paggalaw ng sentro ng pag-ikot O, bilang sentro ng isang n-gon, ay isinasaalang-alang, ang mga resulta na nakuha ay nagpapakita ng malawak na hanay ng mga posibleng hugis ng isang katawan na may isang antas ng kalayaan, na pinagsasama ang rotational motion. na may mga oscillations sa pagkakaroon ng apat, lima at anim na koneksyon.

Ang resultang paraan para sa pagkalkula ng pagiging tugma ng mga paggalaw ng pag-ikot at oscillation ng mga katawan na may isang antas ng kalayaan ay maaari ding gamitin nang walang anumang mga karagdagan para sa mga spatial na katawan kung saan ang mga paggalaw sa kahabaan ng ikatlong coordinate at mga pag-ikot sa iba pang mga coordinate na eroplano ay ipinagbabawal.

Gogolin Vyacheslav Anatolievich

Sinabi ni Dr. tech. agham, prof. departamento inilapat na mathematician at