Magsimula tayo sa paborito nating parisukat.
Halimbawa 9
Square ng isang kumplikadong numero
Dito maaari kang pumunta sa dalawang paraan, ang unang paraan ay muling isulat ang antas bilang isang produkto ng mga kadahilanan at i-multiply ang mga numero ayon sa panuntunan para sa pagpaparami ng polynomial.
Ang pangalawang paraan ay ang paggamit ng kilalang pormula ng paaralan para sa pinaikling multiplikasyon:
Para sa isang kumplikadong numero, madaling makuha ang iyong sariling pinaikling formula ng pagpaparami:
Ang isang katulad na formula ay maaaring makuha para sa parisukat ng pagkakaiba, pati na rin para sa kubo ng kabuuan at kubo ng pagkakaiba. Ngunit ang mga formula na ito ay mas nauugnay para sa mga kumplikadong problema sa pagsusuri. Paano kung kailangan mong itaas ang isang kumplikadong numero, sabihin nating, sa ika-5, ika-10 o ika-100 na kapangyarihan? Ito ay malinaw na ito ay halos imposible upang maisagawa tulad ng isang lansihin sa algebraic form sa katunayan, isipin ang tungkol sa kung paano mo malulutas ang isang halimbawa tulad ng?
At narito ang trigonometriko na anyo ng isang kumplikadong numero ay dumating upang iligtas at ang tinatawag na Formula ni Moivre: Kung ang isang kumplikadong numero ay kinakatawan sa trigonometrikong anyo, kung gayon kapag ito ay itinaas sa isang natural na kapangyarihan, ang sumusunod na formula ay wasto:
Nakakaloka lang.
Halimbawa 10
Dahil sa isang kumplikadong numero, hanapin.
Ano ang dapat gawin? Una kailangan mong katawanin ang numerong ito sa trigonometric form. Mapapansin ng mga maasikasong mambabasa na sa Halimbawa 8 nagawa na natin ito:
Pagkatapos, ayon sa formula ni Moivre:
Ipinagbabawal ng Diyos, hindi mo kailangang umasa sa isang calculator, ngunit sa karamihan ng mga kaso ang anggulo ay dapat na pasimplehin. Paano gawing simple? Sa matalinghagang pagsasalita, kailangan mong alisin ang mga hindi kinakailangang pagliko. Ang isang rebolusyon ay isang radian o 360 degrees. Alamin natin kung gaano karaming mga liko ang mayroon tayo sa argumento. Para sa kaginhawahan, ginagawa naming tama ang fraction:, pagkatapos nito ay malinaw na nakikita na maaari mong bawasan ang isang rebolusyon:. Sana maintindihan ng lahat na ito ay parehong anggulo.
Kaya, ang huling sagot ay isusulat tulad nito:
Ang isang hiwalay na variation ng exponentiation problem ay ang exponentiation ng puro haka-haka na numero.
Halimbawa 12
Itaas ang mga kumplikadong numero sa mga kapangyarihan
Dito, masyadong, ang lahat ay simple, ang pangunahing bagay ay tandaan ang sikat na pagkakapantay-pantay.
Kung ang haka-haka na yunit ay itinaas sa isang pantay na kapangyarihan, kung gayon ang pamamaraan ng solusyon ay ang mga sumusunod:
Kung ang haka-haka na yunit ay itinaas sa isang kakaibang kapangyarihan, pagkatapos ay "pinutol" natin ang isa "at", nakakakuha ng pantay na kapangyarihan:
Kung mayroong isang minus (o anumang tunay na koepisyent), dapat muna itong paghiwalayin:
Pagkuha ng mga ugat mula sa mga kumplikadong numero. Quadratic equation na may kumplikadong mga ugat
Tingnan natin ang isang halimbawa:
Hindi ma-extract ang ugat? Kung totoong mga numero ang pinag-uusapan, talagang imposible. Posibleng kunin ang ugat ng mga kumplikadong numero! Mas tiyak, dalawa ugat:
Talaga bang solusyon ang mga ugat sa equation? Suriin natin:
Alin ang kailangang suriin.
Ang isang pinaikling notasyon ay madalas na ginagamit; ang parehong mga ugat ay nakasulat sa isang linya sa ilalim ng "parehong suklay": .
Ang mga ugat na ito ay tinatawag din conjugate kumplikadong mga ugat.
Sa palagay ko naiintindihan ng lahat kung paano kunin ang mga square root mula sa mga negatibong numero: ,,,, atbp. Sa lahat ng kaso ito ay lumalabas dalawa conjugate kumplikadong mga ugat.
Magsimula tayo sa paborito nating parisukat.
Halimbawa 9
Square ng isang kumplikadong numero
Dito maaari kang pumunta sa dalawang paraan, ang unang paraan ay muling isulat ang antas bilang isang produkto ng mga kadahilanan at i-multiply ang mga numero ayon sa panuntunan para sa pagpaparami ng polynomial.
Ang pangalawang paraan ay ang paggamit ng kilalang pormula ng paaralan para sa pinaikling multiplikasyon:
Para sa isang kumplikadong numero, madaling makuha ang iyong sariling pinaikling formula ng pagpaparami:
Ang isang katulad na formula ay maaaring makuha para sa parisukat ng pagkakaiba, pati na rin para sa kubo ng kabuuan at kubo ng pagkakaiba. Ngunit ang mga formula na ito ay mas nauugnay para sa mga kumplikadong problema sa pagsusuri. Paano kung kailangan mong itaas ang isang kumplikadong numero, sabihin nating, sa ika-5, ika-10 o ika-100 na kapangyarihan? Ito ay malinaw na ito ay halos imposible upang maisagawa tulad ng isang lansihin sa algebraic form sa katunayan, isipin ang tungkol sa kung paano mo malulutas ang isang halimbawa tulad ng?
At narito ang trigonometriko na anyo ng isang kumplikadong numero ay dumating upang iligtas at ang tinatawag na Formula ni Moivre: Kung ang isang kumplikadong numero ay kinakatawan sa trigonometrikong anyo, kung gayon kapag ito ay itinaas sa isang natural na kapangyarihan, ang sumusunod na formula ay wasto:
Nakakaloka lang.
Halimbawa 10
Dahil sa isang kumplikadong numero, hanapin.
Ano ang dapat gawin? Una kailangan mong katawanin ang numerong ito sa trigonometric form. Mapapansin ng mga maasikasong mambabasa na sa Halimbawa 8 nagawa na natin ito:
Pagkatapos, ayon sa formula ni Moivre:
Ipinagbabawal ng Diyos, hindi mo kailangang umasa sa isang calculator, ngunit sa karamihan ng mga kaso ang anggulo ay dapat na pasimplehin. Paano gawing simple? Sa matalinghagang pagsasalita, kailangan mong alisin ang mga hindi kinakailangang pagliko. Ang isang rebolusyon ay isang radian o 360 degrees. Alamin natin kung gaano karaming mga liko ang mayroon tayo sa argumento. Para sa kaginhawahan, ginagawa naming tama ang fraction:, pagkatapos nito ay malinaw na nakikita na maaari mong bawasan ang isang rebolusyon:. Sana maintindihan ng lahat na ito ay parehong anggulo.
Kaya, ang huling sagot ay isusulat tulad nito:
Ang isang hiwalay na variation ng exponentiation problem ay ang exponentiation ng puro haka-haka na numero.
Halimbawa 12
Itaas ang mga kumplikadong numero sa mga kapangyarihan
Dito, masyadong, ang lahat ay simple, ang pangunahing bagay ay tandaan ang sikat na pagkakapantay-pantay.
Kung ang haka-haka na yunit ay itinaas sa isang pantay na kapangyarihan, kung gayon ang pamamaraan ng solusyon ay ang mga sumusunod:
Kung ang haka-haka na yunit ay itinaas sa isang kakaibang kapangyarihan, pagkatapos ay "pinutol" natin ang isa "at", nakakakuha ng pantay na kapangyarihan:
Kung mayroong isang minus (o anumang tunay na koepisyent), dapat muna itong paghiwalayin:
Pagkuha ng mga ugat mula sa mga kumplikadong numero. Quadratic equation na may kumplikadong mga ugat
Tingnan natin ang isang halimbawa:
Hindi ma-extract ang ugat? Kung totoong mga numero ang pinag-uusapan, talagang imposible. Posibleng kunin ang ugat ng mga kumplikadong numero! Mas tiyak, dalawa ugat:
Talaga bang solusyon ang mga ugat sa equation? Suriin natin:
Alin ang kailangang suriin.
Ang isang pinaikling notasyon ay madalas na ginagamit; ang parehong mga ugat ay nakasulat sa isang linya sa ilalim ng "parehong suklay": .
Ang mga ugat na ito ay tinatawag din conjugate kumplikadong mga ugat.
Sa palagay ko naiintindihan ng lahat kung paano kunin ang mga square root mula sa mga negatibong numero: ,,,, atbp. Sa lahat ng kaso ito ay lumalabas dalawa conjugate kumplikadong mga ugat.
Halimbawa 13
Lutasin ang quadratic equation
Kalkulahin natin ang discriminant:
Ang discriminant ay negatibo, at ang equation ay walang solusyon sa totoong mga numero. Ngunit ang ugat ay maaaring makuha sa kumplikadong mga numero!
Gamit ang mga kilalang formula ng paaralan, nakakakuha tayo ng dalawang ugat: – conjugate complex roots
Kaya, ang equation ay may dalawang conjugate complex na ugat:,
Ngayon ay maaari mong lutasin ang anumang quadratic equation!
At sa pangkalahatan, ang anumang equation na may polynomial ng "nth" degree ay may pantay na mga ugat, ang ilan sa mga ito ay maaaring kumplikado.
Isang simpleng halimbawa upang malutas sa iyong sarili:
Halimbawa 14
Hanapin ang mga ugat ng equation at i-factor ang quadratic binomial.
Isinasagawa muli ang factorization ayon sa karaniwang formula ng paaralan.
Gamit ang calculator
Upang suriin ang isang expression, dapat kang magpasok ng isang string na susuriin. Kapag naglalagay ng mga numero, ang separator sa pagitan ng integer at fractional na bahagi ay isang tuldok. Maaari kang gumamit ng mga panaklong. Ang mga operasyon sa mga kumplikadong numero ay multiplikasyon (*), dibisyon (/), karagdagan (+), pagbabawas (-), exponentiation (^) at iba pa. Maaari kang gumamit ng mga exponential at algebraic form upang magsulat ng mga kumplikadong numero. Ipasok ang haka-haka na yunit i ito ay posible nang walang multiplication sign sa ibang mga kaso, ang multiplication sign ay kinakailangan, halimbawa, sa pagitan ng mga panaklong o sa pagitan ng isang numero at isang pare-pareho. Maaari ding gamitin ang mga Constant: ang numerong π ay ipinasok bilang pi, exponent e, ang anumang mga expression sa indicator ay dapat na napapalibutan ng mga panaklong.
Halimbawang linya para sa pagkalkula: (4.5+i12)*(3.2i-2.5)/e^(i1.25*pi), na tumutugma sa expression na \[\frac((4(,)5 + i12)(3(,)2i-2(,)5))(e^(i1(,)25\pi))\]
Ang calculator ay maaaring gumamit ng mga constant, mathematical function, karagdagang mga operasyon at mas kumplikadong mga expression, maaari mong pamilyar ang iyong sarili sa mga tampok na ito sa pahina ng mga pangkalahatang tuntunin para sa paggamit ng mga calculator sa site na ito.
Ang site ay nasa ilalim ng pagtatayo, ang ilang mga pahina ay maaaring hindi magagamit.
Balita
07.07.2016
Nagdagdag ng calculator para sa paglutas ng mga sistema ng nonlinear algebraic equation: .
30.06.2016
Ang site ay may tumutugon na disenyo, ang mga pahina ay sapat na ipinapakita kapwa sa malalaking monitor at sa mga mobile device.
Sponsor
RGROnline.ru – agarang solusyon sa gawaing electrical engineering online.
