Betrachten Sie die Gleichung x 2 = 4. Lösen Sie sie grafisch. Dazu konstruieren wir in einem Koordinatensystem eine Parabel y = x 2 und eine Gerade y = 4 (Abb. 74). Sie schneiden sich in zwei Punkten A (- 2; 4) und B (2; 4). Die Abszissen der Punkte A und B sind die Wurzeln der Gleichung x 2 = 4. Also, x 1 = - 2, x 2 = 2.

Genauso argumentierend finden wir die Wurzeln der Gleichung x 2 = 9 (siehe Abb. 74): x 1 = - 3, x 2 = 3.

Versuchen wir nun, die Gleichung x 2 = 5; Eine geometrische Darstellung ist in Abb. dargestellt. 75. Es ist klar, dass diese Gleichung zwei Wurzeln x 1 und x 2 hat und diese Zahlen, wie in den beiden vorherigen Fällen, im Absolutwert gleich und im Vorzeichen entgegengesetzt sind (x 1 - - x 2) - aber anders als die vorherigen Fälle , in denen die Wurzeln der Gleichung problemlos gefunden wurden (und sie ohne Verwendung von Diagrammen gefunden werden konnten), ist dies bei der Gleichung x 2 = 5 nicht der Fall: Gemäß der Zeichnung können wir die Werte der nicht angeben Wurzeln können wir nur feststellen, dass eine Wurzel leicht links liegt, es gibt 2 Punkte und die zweite etwas rechts

Punkte 2.

Was ist diese Zahl (Punkt), die direkt rechts von Punkt 2 steht und quadriert 5 ergibt? Es ist klar, dass dies nicht 3 ist, da 3 2 = 9, d. h. es stellt sich heraus, dass es mehr als nötig ist (9 > 5).

Das bedeutet, dass die Zahl, die uns interessiert, zwischen den Zahlen 2 und 3 liegt. Aber zwischen den Zahlen 2 und 3 gibt es beispielsweise unendlich viele rationale Zahlen usw. Vielleicht gibt es darunter einen Bruch wie ? Dann haben wir mit der Gleichung x 2 - 5 keine Probleme, das können wir schreiben

Doch hier erwartet uns eine unangenehme Überraschung. Es stellt sich heraus, dass es keinen Bruch gibt, für den die Gleichheit gilt
Der Beweis der genannten Aussage ist recht schwierig. Dennoch präsentieren wir es, weil es schön und lehrreich ist und es sehr nützlich ist, zu versuchen, es zu verstehen.

Nehmen wir an, dass es einen irreduziblen Bruch gibt, für den die Gleichheit gilt. Dann, d.h. m 2 = 5n 2. Die letzte Gleichheit bedeutet, dass die natürliche Zahl m 2 ohne Rest durch 5 teilbar ist (im Quotienten ist es n2).

Folglich endet die Zahl m 2 entweder mit der Zahl 5 oder der Zahl 0. Dann endet aber auch die natürliche Zahl m entweder mit der Zahl 5 oder der Zahl 0, d. h. Die Zahl m ist ohne Rest durch 5 teilbar. Mit anderen Worten: Wenn die Zahl m durch 5 geteilt wird, ergibt der Quotient eine natürliche Zahl k. Das heisst,
dass m = 5k.
Schau jetzt:
m 2 = 5n 2 ;
Ersetzen wir in der ersten Gleichung 5k anstelle von m:

(5k) 2 = 5n 2, also 25k 2 = 5n 2 oder n 2 = 5k 2.
Die letzte Gleichheit bedeutet, dass die Zahl. 5n 2 ist ohne Rest durch 5 teilbar. Wenn wir wie oben argumentieren, kommen wir zu dem Schluss, dass die Zahl n auch ohne Rest durch 5 teilbar ist.
Also ist m durch 5 teilbar, n ist durch 5 teilbar, was bedeutet, dass der Bruch reduziert werden kann (um 5). Aber wir gingen davon aus, dass der Bruch irreduzibel sei. Was ist los? Warum, nachdem wir richtig argumentiert hatten, kamen wir zum Absurden oder, wie Mathematiker oft sagen, zu einem Widerspruch. Ja, weil die ursprüngliche Prämisse falsch war, als ob es einen irreduziblen Bruch gäbe, für den die Gleichheit gilt!
Daraus schließen wir: Es gibt keinen solchen Bruch.
Die Beweismethode, die wir gerade verwendet haben, wird in der Mathematik die Methode des Widerspruchsbeweises genannt. Sein Wesen ist wie folgt. Wir müssen eine bestimmte Aussage beweisen und gehen davon aus, dass sie nicht zutrifft (Mathematiker sagen: „Nehmen Sie das Gegenteil an“ – nicht im Sinne von „unangenehm“, sondern im Sinne von „Gegenteil des Geforderten“).
Wenn wir aufgrund korrekter Überlegungen zu einem Widerspruch zur Bedingung gelangen, schließen wir: Unsere Annahme ist falsch, was bedeutet, dass das, was wir beweisen mussten, wahr ist.

Da wir also nur rationale Zahlen haben (und andere Zahlen noch nicht kennen), können wir die Gleichung x 2 = 5 nicht lösen.
Nachdem Mathematiker zum ersten Mal mit einer solchen Situation konfrontiert waren, wurde ihnen klar, dass sie einen Weg finden mussten, sie in mathematischer Sprache zu beschreiben. Sie führten ein neues Symbol ein, das sie Quadratwurzel nannten, und mit diesem Symbol wurden die Wurzeln der Gleichung x 2 = 5 wie folgt geschrieben:

Es lautet: „Quadratwurzel aus 5“). Nun können Sie für jede Gleichung der Form x 2 = a, wobei a > O, die Wurzeln finden – es sind Zahlen , (Abb. 76).

Wir möchten auch betonen, dass die Zahl weder eine ganze Zahl noch ein Bruch ist.
Das bedeutet, dass es sich nicht um eine rationale Zahl handelt, sondern um eine Zahl neuer Art; wir werden später in Kapitel 5 speziell auf solche Zahlen eingehen.
Beachten wir zunächst einmal, dass die neue Zahl zwischen den Zahlen 2 und 3 liegt, da 2 2 = 4, also kleiner als 5; 3 2 = 9, und das ist mehr als 5. Sie können Folgendes klären:

Tatsächlich ist 2,2 2 = 4,84< 5, а 2,3 2 = 5,29 >5. Das können Sie auch
angeben:

tatsächlich 2,23 2 = 4,9729< 5, а 2,24 2 = 5,0176 > 5.
In der Praxis geht man üblicherweise davon aus, dass die Zahl 2,23 oder 2,24 beträgt, nur handelt es sich hierbei nicht um eine gewöhnliche Gleichheit, sondern um eine ungefähre Gleichheit, die mit dem Symbol „“ gekennzeichnet ist.
Also,

Bei der Diskussion der Lösung der Gleichung x 2 = a stießen wir auf einen eher typischen Sachverhalt für die Mathematik. Da sie sich in einer ungewöhnlichen, abnormalen (wie Kosmonauten gerne sagen) Situation befinden und mit bekannten Mitteln keinen Ausweg finden, erfinden Mathematiker einen neuen Begriff und eine neue Bezeichnung (ein neues Symbol) für das mathematische Modell, das sie verwenden zuerst angetroffen; Mit anderen Worten: Sie führen ein neues Konzept ein und untersuchen dann dessen Eigenschaften
Konzepte. Damit wird der neue Begriff und seine Bezeichnung Eigentum der mathematischen Sprache. Wir haben genauso vorgegangen: Wir haben den Begriff „Quadratwurzel der Zahl a“ eingeführt, ein Symbol zu seiner Bezeichnung eingeführt und etwas später werden wir die Eigenschaften des neuen Konzepts untersuchen. Bisher wissen wir nur eines: Wenn a > 0,
dann ist eine positive Zahl, die die Gleichung x 2 = a erfüllt. Mit anderen Worten: Es handelt sich um eine positive Zahl, die quadriert die Zahl a ergibt.
Da die Gleichung x 2 = 0 eine Wurzel x = 0 hat, haben wir uns darauf geeinigt, dies anzunehmen
Jetzt sind wir bereit, eine strenge Definition zu geben.
Definition. Die Quadratwurzel einer nicht negativen Zahl a ist eine nicht negative Zahl, deren Quadrat gleich a ist.

Diese Zahl wird als Zahl bezeichnet und Wurzelzahl genannt.
Wenn a also eine nicht negative Zahl ist, dann gilt:

Wenn ein< О, то уравнение х 2 = а не имеет корней, говорить в этом случае о квадратном корне из числа а не имеет смысла.
Daher ist der Ausdruck nur für a > 0 sinnvoll.
Sie sagen, dass - dasselbe mathematische Modell (dieselbe Beziehung zwischen nichtnegativen Zahlen
(a und b), aber nur die zweite wird in einer einfacheren Sprache als die erste beschrieben (verwendet einfachere Symbole).

Das Finden der Quadratwurzel einer nicht negativen Zahl wird als Quadratwurzeln bezeichnet. Diese Operation ist die Umkehrung der Quadrierung. Vergleichen:

Bitte beachten Sie noch einmal, dass in der Tabelle nur positive Zahlen vorkommen, wie sie in der Definition einer Quadratwurzel angegeben sind. Und obwohl zum Beispiel (- 5) 2 = 25 eine echte Gleichheit ist, gehen Sie davon zur Notation mit der Quadratwurzel über (d. h. schreiben Sie das).
es ist verboten. A-Priorat, . ist eine positive Zahl, das heißt .
Oft sagt man nicht „Quadratwurzel“, sondern „arithmetische Quadratwurzel“. Der Kürze halber verzichten wir auf den Begriff „Arithmetik“.

D) Im Gegensatz zu den vorherigen Beispielen können wir den genauen Wert der Zahl nicht angeben. Es ist nur klar, dass es größer als 4, aber kleiner als 5 ist

4 2 = 16 (das ist weniger als 17) und 5 2 = 25 (das ist mehr als 17).
Der ungefähre Wert der Zahl kann jedoch mit einem Mikrorechner ermittelt werden, der den Vorgang des Extrahierens der Quadratwurzel beinhaltet; dieser Wert beträgt 4,123.
Also,
Die Zahl ist, wie die oben besprochene Zahl, nicht rational.
e) Es kann nicht berechnet werden, da die Quadratwurzel einer negativen Zahl nicht existiert; Der Eintrag ist bedeutungslos. Die vorgeschlagene Aufgabe ist falsch.
e) da 31 > 0 und 31 2 = 961. In solchen Fällen müssen Sie eine Quadrattabelle natürlicher Zahlen oder einen Mikrorechner verwenden.
g) da 75 > 0 und 75 2 = 5625.
In den einfachsten Fällen wird der Wert der Quadratwurzel sofort berechnet: usw. In komplexeren Fällen muss man eine Zahlenquadrattabelle verwenden oder Berechnungen mit einem Mikrorechner durchführen. Was aber, wenn Sie weder einen Tisch noch einen Taschenrechner zur Hand haben? Beantworten wir diese Frage, indem wir das folgende Beispiel lösen.

Beispiel 2. Berechnung
Lösung.
Erste Stufe. Es ist nicht schwer zu erraten, dass die Antwort 50 mit Schwanz sein wird. Tatsächlich sind 50 2 = 2500 und 60 2 = 3600, während die Zahl 2809 zwischen den Zahlen 2500 und 3600 liegt.

Zweite Phase. Finden wir den „Schwanz“, d.h. die letzte Ziffer der gewünschten Nummer. Bisher wissen wir, dass die Antwort 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58 oder 59 sein kann, wenn die Wurzel gezogen wird. Wir müssen nur zwei Zahlen überprüfen: 53 und 57, da nur sie Wenn man sie quadriert, erhält man eine vierstellige Zahl, die mit 9 endet, also dieselbe Zahl, die mit 2809 endet.
Wir haben 532 = 2809 - das ist es, was wir brauchen (wir hatten Glück, wir haben sofort ins Schwarze getroffen). Also = 53.
Antwort:

53
Beispiel 3. Die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks betragen 1 cm und 2 cm. Was ist die Hypotenuse des Dreiecks? (Abb.77)

Lösung.

Nutzen wir den aus der Geometrie bekannten Satz des Pythagoras: Die Summe der Quadrate der Schenkellängen eines rechtwinkligen Dreiecks ist gleich dem Quadrat der Länge seiner Hypotenuse, d.h. a 2 + b 2 = c 2, wobei a , b sind die Beine, c ist die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks.

Bedeutet,

Dieses Beispiel zeigt, dass die Einführung von Quadratwurzeln keine Laune von Mathematikern ist, sondern eine objektive Notwendigkeit: Im wirklichen Leben gibt es Situationen, deren mathematische Modelle die Operation des Ziehens einer Quadratwurzel beinhalten. Die vielleicht wichtigste dieser Situationen betrifft
Lösen quadratischer Gleichungen. Bisher haben wir bei quadratischen Gleichungen ax 2 + bx + c = 0 entweder die linke Seite faktorisiert (was nicht immer funktioniert hat) oder grafische Methoden verwendet (was ebenfalls nicht sehr zuverlässig, aber schön ist). Tatsächlich zu finden
Wurzeln x 1 und x 2 der quadratischen Gleichung ax 2 + bx + c = 0 in mathematischen Formeln werden verwendet

enthalten, wie man sehen kann, das Quadratwurzelzeichen. Diese Formeln werden in der Praxis wie folgt verwendet. Nehmen wir zum Beispiel an, wir müssen die Gleichung 2x 2 + bx - 7 = 0 lösen. Hier ist a = 2, b = 5, c = - 7. Daher gilt:
b2 - 4ac = 5 2 - 4 . 2. (- 7) = 81. Als nächstes finden wir . Bedeutet,

Wir haben oben festgestellt, dass es sich nicht um eine rationale Zahl handelt.
Mathematiker nennen solche Zahlen irrational. Jede Zahl der Form ist irrational, wenn die Quadratwurzel nicht gezogen werden kann. Zum Beispiel, usw. - irrationale Zahlen. In Kapitel 5 werden wir mehr über rationale und irrationale Zahlen sprechen. Rationale und irrationale Zahlen bilden zusammen die Menge der reellen Zahlen, d. h. die Menge all dieser Zahlen, mit denen wir im wirklichen Leben rechnen (tatsächlich
ness). Das sind zum Beispiel alles reelle Zahlen.
So wie wir oben das Konzept einer Quadratwurzel definiert haben, können wir auch das Konzept einer Kubikwurzel definieren: Eine Kubikwurzel einer nicht negativen Zahl a ist eine nicht negative Zahl, deren Kubik gleich a ist. Mit anderen Worten bedeutet Gleichheit, dass b 3 = a.

All dies werden wir im Algebrakurs der 11. Klasse lernen.

Das Konzept der Quadratwurzel einer nicht negativen Zahl

Betrachten Sie die Gleichung x2 = 4. Lösen Sie sie grafisch. Um dies in einem System zu tun Koordinaten Konstruieren wir eine Parabel y = x2 und eine Gerade y = 4 (Abb. 74). Sie schneiden sich in zwei Punkten A (- 2; 4) und B (2; 4). Die Abszissen der Punkte A und B sind die Wurzeln der Gleichung x2 = 4. Also, x1 = - 2, x2 = 2.

Mit genau der gleichen Argumentation finden wir die Wurzeln der Gleichung x2 = 9 (siehe Abb. 74): x1 = - 3, x2 = 3.

Versuchen wir nun, die Gleichung x2 = 5; Eine geometrische Darstellung ist in Abb. dargestellt. 75. Es ist klar, dass diese Gleichung zwei Wurzeln x1 und x2 hat und diese Zahlen, wie in den beiden vorherigen Fällen, im Absolutwert gleich und im Vorzeichen entgegengesetzt sind (x1 - - x2) – aber im Gegensatz zu den vorherigen Fällen, in denen die Während Wurzeln der Gleichung problemlos gefunden wurden (und sie konnten ohne Verwendung von Diagrammen gefunden werden), ist dies bei der Gleichung x2 = 5 nicht der Fall: Aus der Zeichnung können wir die Werte der Wurzeln nicht angeben, sondern nur feststellen eins Wurzel befindet sich etwas links von Punkt - 2 und der zweite befindet sich etwas rechts von Punkt 2.

Doch hier erwartet uns eine unangenehme Überraschung. Es stellt sich heraus, dass es so etwas nicht gibt Brüche DIV_ADBLOCK32">

Angenommen, es gibt einen irreduziblen Bruch, für den die Gleichheit gilt https://pandia.ru/text/78/258/images/image007_16.jpg" alt=".jpg" width="55" height="36">!}, also m2 = 5n2. Die letzte Gleichheit bedeutet das natürliche Zahl m2 ist ohne Rest durch 5 teilbar (im Quotienten wird daraus n2).

Folglich endet die Zahl m2 entweder mit der Zahl 5 oder der Zahl 0. Dann endet aber auch die natürliche Zahl m entweder mit der Zahl 5 oder der Zahl 0, d. h. die Zahl m ist ohne Rest durch 5 teilbar. Mit anderen Worten: Wenn die Zahl m durch 5 geteilt wird, ergibt der Quotient eine natürliche Zahl k. Das bedeutet, dass m = 5k.

Schau jetzt:

Ersetzen wir in der ersten Gleichung 5k anstelle von m:

(5k)2 = 5n2, also 25k2 = 5n2 oder n2 = 5k2.

Die letzte Gleichheit bedeutet, dass die Zahl. 5n2 ist ohne Rest durch 5 teilbar. Wenn wir wie oben argumentieren, kommen wir zu dem Schluss, dass die Zahl n auch ohne durch 5 teilbar ist Rest.

Also ist m durch 5 teilbar, n ist durch 5 teilbar, was bedeutet, dass der Bruch reduziert werden kann (um 5). Wir gingen jedoch davon aus, dass der Bruch irreduzibel sei. Was ist los? Warum, nachdem wir richtig argumentiert hatten, kamen wir zum Absurden oder, wie Mathematiker oft sagen, zu einem Widerspruch. Ja, weil die ursprüngliche Prämisse falsch war, als ob es einen irreduziblen Bruch gäbe, für den die Gleichheit gilt! ).

Wenn wir aufgrund korrekter Überlegungen zu einem Widerspruch zur Bedingung gelangen, schließen wir: Unsere Annahme ist falsch, was bedeutet, dass das, was wir beweisen mussten, wahr ist.

Also nur haben Rationale Zahlen(und wir kennen noch keine anderen Zahlen), werden wir die Gleichung x2 = 5 nicht lösen können.

Nachdem Mathematiker zum ersten Mal mit einer solchen Situation konfrontiert waren, wurde ihnen klar, dass sie einen Weg finden mussten, sie in mathematischer Sprache zu beschreiben. Sie führten ein neues Symbol ein, das sie Quadratwurzel nannten, und mit diesem Symbol wurden die Wurzeln der Gleichung x2 = 5 wie folgt geschrieben: ). Nun können Sie für jede Gleichung der Form x2 = a, mit a > O, die Wurzeln finden – es sind Zahlenhttps://pandia.ru/text/78/258/images/image012_6.jpg" alt=".jpg" width="32" height="31">!} weder ein Ganzes noch ein Bruch.
Das bedeutet, dass es sich nicht um eine rationale Zahl handelt, sondern um eine Zahl neuer Art; wir werden später in Kapitel 5 speziell auf solche Zahlen eingehen.
Beachten wir zunächst einmal, dass die neue Zahl zwischen den Zahlen 2 und 3 liegt, da 22 = 4, also kleiner als 5; Z2 = 9, und das ist mehr als 5. Sie können Folgendes klären:

Bitte beachten Sie noch einmal, dass in der Tabelle nur positive Zahlen vorkommen, wie sie in der Definition einer Quadratwurzel angegeben sind. Und obwohl beispielsweise = 25 eine echte Gleichheit ist, gehen Sie davon zur Notation mit der Quadratwurzel über (d. h. schreiben Sie das). .jpg" alt=".jpg" width="42" height="30">!} ist eine positive Zahl, das heißt https://pandia.ru/text/78/258/images/image025_3.jpg" alt=".jpg" width="35" height="28">!}. Es ist nur klar, dass es größer als 4, aber kleiner als 5 ist, da 42 = 16 (das ist weniger als 17) und 52 = 25 (das ist mehr als 17).
Der ungefähre Wert der Zahl kann jedoch mithilfe von ermittelt werden Mikrorechner, das die Quadratwurzeloperation enthält; dieser Wert beträgt 4,123.

Die Zahl ist, wie die oben besprochene Zahl, nicht rational.
e) Es kann nicht berechnet werden, da die Quadratwurzel einer negativen Zahl nicht existiert; Der Eintrag ist bedeutungslos. Die vorgeschlagene Aufgabe ist falsch.
e) https://pandia.ru/text/78/258/images/image029_1.jpg" alt="Aufgabe" width="80" height="33 id=">!}, da 75 > 0 und 752 = 5625.

Im einfachsten Fall wird der Wert der Quadratwurzel sofort berechnet:

https://pandia.ru/text/78/258/images/image031_2.jpg" alt="Aufgabe" width="65" height="42 id=">!}
Lösung.
Erste Stufe. Es ist nicht schwer zu erraten, dass die Antwort 50 mit Schwanz sein wird. Tatsächlich ist 502 = 2500 und 602 = 3600, während die Zahl 2809 zwischen den Zahlen 2500 und 3600 liegt.

Die Fläche eines quadratischen Grundstücks beträgt 81 dm². Finden Sie seine Seite. Angenommen, die Seitenlänge des Quadrats beträgt X Dezimeter. Dann beträgt die Fläche des Grundstücks X² Quadratdezimeter. Da diese Fläche laut Bedingung 81 dm² beträgt, dann X² = 81. Die Länge einer Seite eines Quadrats ist eine positive Zahl. Eine positive Zahl, deren Quadrat 81 ist, ist die Zahl 9. Bei der Lösung des Problems war es notwendig, die Zahl x zu finden, deren Quadrat 81 ist, d. h. die Gleichung zu lösen X² = 81. Diese Gleichung hat zwei Wurzeln: X 1 = 9 und X 2 = - 9, da 9² = 81 und (- 9)² = 81. Beide Zahlen 9 und - 9 werden Quadratwurzeln von 81 genannt.

Beachten Sie, dass eine der Quadratwurzeln X= 9 ist eine positive Zahl. Sie wird die arithmetische Quadratwurzel von 81 genannt und mit √81 bezeichnet, also √81 = 9.

Arithmetische Quadratwurzel einer Zahl A ist eine nichtnegative Zahl, deren Quadrat gleich ist A.

Beispielsweise sind die Zahlen 6 und - 6 Quadratwurzeln der Zahl 36. Die Zahl 6 ist jedoch eine arithmetische Quadratwurzel aus 36, da 6 eine nicht negative Zahl ist und 6² = 36. Die Zahl - 6 ist keine arithmetische Wurzel.

Arithmetische Quadratwurzel einer Zahl A wie folgt bezeichnet: √ A.

Das Vorzeichen wird arithmetisches Quadratwurzelzeichen genannt; A- ein radikaler Ausdruck genannt. Ausdruck √ A lesen so: arithmetische Quadratwurzel einer Zahl A. Zum Beispiel √36 = 6, √0 = 0, √0,49 = 0,7. In Fällen, in denen klar ist, dass es sich um eine arithmetische Wurzel handelt, sagt man kurz: „die Quadratwurzel von A«.

Das Finden der Quadratwurzel einer Zahl nennt man Quadratwurzelziehen. Dieser Vorgang ist die Umkehrung des Quadrierens.

Sie können jede Zahl quadrieren, aber Sie können aus keiner Zahl Quadratwurzeln ziehen. Beispielsweise ist es unmöglich, die Quadratwurzel der Zahl 4 zu extrahieren. Wenn eine solche Wurzel existiert, dann bezeichnen wir sie mit dem Buchstaben X, würden wir die falsche Gleichheit x² = - 4 erhalten, da links eine nicht negative Zahl und rechts eine negative Zahl steht.

Ausdruck √ A macht nur dann Sinn, wenn ein ≥ 0. Die Definition der Quadratwurzel kann kurz geschrieben werden als: √ ein ≥ 0, (√A)² = A. Gleichheit (√ A)² = A Gültig für ein ≥ 0. So stellen Sie sicher, dass die Quadratwurzel einer nicht negativen Zahl ist A gleicht B, also darin, dass √ A =B, müssen Sie überprüfen, ob die folgenden zwei Bedingungen erfüllt sind: b ≥ 0, B² = A.

Quadratwurzel eines Bruchs

Rechnen wir. Beachten Sie, dass √25 = 5, √36 = 6, und prüfen wir, ob die Gleichheit gilt.

Als und , dann ist die Gleichheit wahr. Also, .

Satz: Wenn A≥ 0 und B> 0, das heißt, die Wurzel des Bruchs ist gleich der Wurzel des Zählers dividiert durch die Wurzel des Nenners. Es ist zu beweisen, dass: und .

Seit √ A≥0 und √ B> 0, dann .

Über die Eigenschaft, einen Bruch zu potenzieren und die Definition einer Quadratwurzel Der Satz ist bewiesen. Schauen wir uns ein paar Beispiele an.

Berechnen Sie mit dem bewährten Satz .

Zweites Beispiel: Beweisen Sie das , Wenn A ≤ 0, B < 0. .

Ein weiteres Beispiel: Berechnen.

.

Quadratwurzelkonvertierung

Entfernen des Multiplikators unter dem Wurzelzeichen. Der Ausdruck sei gegeben. Wenn A≥ 0 und B≥ 0, dann können wir mit dem Produktwurzelsatz schreiben:

Diese Transformation wird als Entfernen des Faktors aus dem Wurzelzeichen bezeichnet. Schauen wir uns ein Beispiel an.

Berechnen Sie bei X= 2. Direkte Substitution X= 2 im Wurzelausdruck führt zu komplexen Berechnungen. Diese Berechnungen können vereinfacht werden, wenn Sie zunächst die Faktoren unter dem Wurzelzeichen entfernen: . Wenn wir nun x = 2 einsetzen, erhalten wir:.

Wenn also der Faktor unter dem Wurzelzeichen entfernt wird, wird der Wurzelausdruck in Form eines Produkts dargestellt, in dem ein oder mehrere Faktoren Quadrate nicht negativer Zahlen sind. Wenden Sie dann den Produktwurzelsatz an und ziehen Sie die Wurzel jedes Faktors. Betrachten wir ein Beispiel: Vereinfachen Sie den Ausdruck A = √8 + √18 - 4√2, indem Sie die Faktoren in den ersten beiden Termen unter dem Wurzelzeichen herausnehmen, wir erhalten:. Wir betonen diese Gleichheit nur gültig, wenn A≥ 0 und B≥ 0. wenn A < 0, то .

Ich schaute noch einmal auf das Schild... Und los geht's!

Beginnen wir mit etwas Einfachem:

Nur eine Minute. Dies bedeutet, dass wir es so schreiben können:

Habe es? Hier ist das nächste für Sie:

Werden die Wurzeln der resultierenden Zahlen nicht exakt gezogen? Kein Problem – hier einige Beispiele:

Was wäre, wenn es nicht zwei, sondern mehr Multiplikatoren gäbe? Das selbe! Die Formel zum Multiplizieren von Wurzeln funktioniert mit einer beliebigen Anzahl von Faktoren:

Jetzt ganz alleine:

Antworten: Gut gemacht! Stimmen Sie zu, alles ist ganz einfach, Hauptsache man kennt das Einmaleins!

Wurzelteilung

Wir haben die Wurzelmultiplikation geklärt, kommen wir nun zur Eigenschaft der Division.

Ich möchte Sie daran erinnern, dass die allgemeine Formel so aussieht:

Was bedeutet, dass Die Wurzel des Quotienten ist gleich dem Quotienten der Wurzeln.

Schauen wir uns einige Beispiele an:

Das ist alles, was Wissenschaft ist. Hier ist ein Beispiel:

Es ist nicht alles so glatt wie im ersten Beispiel, aber wie Sie sehen, gibt es nichts Kompliziertes.

Was ist, wenn Sie auf diesen Ausdruck stoßen:

Sie müssen die Formel nur in die entgegengesetzte Richtung anwenden:

Und hier ist ein Beispiel:

Möglicherweise stoßen Sie auch auf diesen Ausdruck:

Alles ist beim Alten, nur müssen Sie sich hier merken, wie man Brüche übersetzt (wenn Sie sich nicht erinnern, schauen Sie sich das Thema an und kommen Sie zurück!). Erinnerst du dich? Jetzt lasst uns entscheiden!

Ich bin mir sicher, dass Sie alles gemeistert haben. Versuchen wir nun, die Wurzeln auf ein gewisses Maß anzuheben.

Potenzierung

Was passiert, wenn die Quadratwurzel quadriert wird? Es ist ganz einfach, erinnern Sie sich an die Bedeutung der Quadratwurzel einer Zahl – das ist eine Zahl, deren Quadratwurzel gleich ist.

Was erhalten wir also, wenn wir eine Zahl quadrieren, deren Quadratwurzel gleich ist?

Nun, natürlich, !

Schauen wir uns Beispiele an:

Es ist einfach, oder? Was ist, wenn die Wurzel in einem anderen Ausmaß vorliegt? Macht nichts!

Folgen Sie der gleichen Logik und merken Sie sich die Eigenschaften und möglichen Aktionen mit Graden.

Lesen Sie die Theorie zum Thema „“ und alles wird Ihnen ganz klar werden.

Hier ist zum Beispiel ein Ausdruck:

In diesem Beispiel ist der Grad gerade, aber was ist, wenn er ungerade ist? Wenden Sie erneut die Eigenschaften von Exponenten an und faktorisieren Sie alles:

Damit scheint alles klar zu sein, aber wie zieht man die Wurzel einer Zahl in eine Potenz? Hier ist zum Beispiel das:

Ziemlich einfach, oder? Was ist, wenn der Grad größer als zwei ist? Wir folgen der gleichen Logik, indem wir die Eigenschaften von Graden verwenden:

Na, ist alles klar? Dann lösen Sie die Beispiele selbst:

Und hier sind die Antworten:

Eintreten im Zeichen der Wurzel

Was haben wir nicht gelernt, mit Wurzeln umzugehen! Jetzt müssen Sie nur noch üben, die Nummer unter dem Wurzelzeichen einzugeben!

Es ist wirklich einfach!

Nehmen wir an, wir haben eine Nummer aufgeschrieben

Was können wir damit machen? Nun, natürlich verstecken Sie die drei unter der Wurzel und denken Sie daran, dass die drei die Quadratwurzel von ist!

Warum brauchen wir das? Ja, nur um unsere Möglichkeiten beim Lösen von Beispielen zu erweitern:

Wie gefällt Ihnen diese Eigenschaft der Wurzeln? Macht es das Leben viel einfacher? Für mich ist das genau richtig! Nur Wir müssen bedenken, dass wir nur positive Zahlen unter dem Quadratwurzelzeichen eingeben können.

Lösen Sie dieses Beispiel selbst -
Hast du es geschafft? Mal sehen, was Sie bekommen sollten:

Gut gemacht! Sie haben es geschafft, die Nummer unter dem Wurzelzeichen einzugeben! Kommen wir zu etwas ebenso Wichtigem – schauen wir uns an, wie man Zahlen vergleicht, die eine Quadratwurzel enthalten!

Vergleich der Wurzeln

Warum müssen wir lernen, Zahlen zu vergleichen, die eine Quadratwurzel enthalten?

Sehr einfach. Bei großen und langen Ausdrücken, die wir in der Prüfung antreffen, erhalten wir oft eine irrationale Antwort (erinnern Sie sich, was das ist? Wir haben heute bereits darüber gesprochen!)

Wir müssen die erhaltenen Antworten beispielsweise auf der Koordinatenlinie platzieren, um zu bestimmen, welches Intervall für die Lösung der Gleichung geeignet ist. Und hier entsteht das Problem: In der Prüfung gibt es keinen Taschenrechner, und wie kann man sich ohne ihn vorstellen, welche Zahl größer und welche kleiner ist? Das ist es!

Bestimmen Sie beispielsweise, was größer ist: oder?

Das kann man nicht sofort sagen. Nun, nutzen wir die disassemblierte Eigenschaft, eine Zahl unter dem Wurzelzeichen einzugeben?

Fahre fort:

Nun ja, je größer die Zahl unter dem Wurzelzeichen, desto größer ist natürlich auch die Wurzel selbst!

Diese. wenn, dann, .

Daraus schließen wir fest: Und niemand wird uns vom Gegenteil überzeugen!

Wurzeln aus großen Zahlen ziehen

Zuvor haben wir einen Multiplikator unter dem Vorzeichen der Wurzel eingegeben, aber wie kann man ihn entfernen? Sie müssen es nur in Faktoren zerlegen und extrahieren, was Sie extrahieren!

Es war möglich, einen anderen Weg einzuschlagen und auf andere Faktoren auszudehnen:

Nicht schlecht, oder? Jeder dieser Ansätze ist richtig, entscheiden Sie, wie Sie möchten.

Faktorisierung ist sehr nützlich, wenn man solche nicht standardmäßigen Probleme wie dieses löst:

Lasst uns keine Angst haben, sondern handeln! Zerlegen wir jeden Faktor unter der Wurzel in einzelne Faktoren:

Probieren Sie es jetzt selbst aus (ohne Taschenrechner! Es wird nicht in der Prüfung sein):

Ist das das Ende? Lasst uns nicht auf halbem Weg stehen bleiben!

Das ist alles, es ist nicht so gruselig, oder?

Passiert? Gut gemacht, das stimmt!

Probieren Sie nun dieses Beispiel aus:

Aber das Beispiel ist eine schwierige Nuss, sodass man nicht sofort weiß, wie man es angeht. Aber natürlich können wir damit umgehen.

Nun, fangen wir mit dem Factoring an? Beachten wir gleich, dass man eine Zahl durch teilen kann (denken Sie an die Teilbarkeitszeichen):

Probieren Sie es jetzt selbst aus (wieder ohne Taschenrechner!):

Na, hat es geklappt? Gut gemacht, das stimmt!

Fassen wir es zusammen

1. Die Quadratwurzel (arithmetische Quadratwurzel) einer nicht negativen Zahl ist eine nicht negative Zahl, deren Quadrat gleich ist.
   .
2. Wenn wir einfach die Quadratwurzel aus etwas ziehen, erhalten wir immer ein nicht negatives Ergebnis.
3. Eigenschaften einer arithmetischen Wurzel:
4. Beim Vergleich von Quadratwurzeln ist zu beachten, dass die Wurzel selbst umso größer ist, je größer die Zahl unter dem Wurzelzeichen ist.

Wie ist die Quadratwurzel? Alles klar?

Wir haben versucht, Ihnen unkompliziert alles zu erklären, was Sie in der Prüfung über die Quadratwurzel wissen müssen.

Jetzt bist du dran. Schreiben Sie uns, ob Ihnen dieses Thema schwerfällt oder nicht.

Hast du etwas Neues gelernt oder war schon alles klar?

Schreiben Sie in die Kommentare und viel Glück bei Ihren Prüfungen!

In diesem Artikel stellen wir vor Konzept einer Wurzel einer Zahl. Wir werden der Reihe nach vorgehen: Wir beginnen mit der Quadratwurzel, gehen von dort aus zur Beschreibung der Kubikwurzel über und verallgemeinern anschließend das Konzept einer Wurzel, indem wir die n-te Wurzel definieren. Gleichzeitig führen wir Definitionen und Notationen ein, geben Beispiele für Wurzeln und geben die notwendigen Erläuterungen und Kommentare.

Quadratwurzel, arithmetische Quadratwurzel

Um die Definition der Wurzel einer Zahl und insbesondere der Quadratwurzel zu verstehen, benötigen Sie . An dieser Stelle stoßen wir oft auf die zweite Potenz einer Zahl – das Quadrat einer Zahl.

Lass uns beginnen mit Quadratwurzeldefinitionen.

Definition

Quadratwurzel von a ist eine Zahl, deren Quadrat gleich a ist.

Um zu bringen Beispiele für Quadratwurzeln, nehmen wir mehrere Zahlen, zum Beispiel 5, −0,3, 0,3, 0, und quadrieren sie, wir erhalten die Zahlen 25, 0,09, 0,09 bzw. 0 (5 2 =5·5=25, (−0,3) 2 =(−0,3)·(−0,3)=0,09, (0,3) 2 =0,3·0,3=0,09 und 0 2 =0·0=0 ). Dann ist nach der oben gegebenen Definition die Zahl 5 die Quadratwurzel der Zahl 25, die Zahlen −0,3 und 0,3 sind die Quadratwurzeln von 0,09 und 0 ist die Quadratwurzel von Null.

Es ist zu beachten, dass es für keine Zahl a ein a gibt, dessen Quadrat gleich a ist. Für jede negative Zahl a gibt es nämlich keine reelle Zahl b, deren Quadrat gleich a ist. Tatsächlich ist die Gleichheit a=b 2 für jedes negative a unmöglich, da b 2 für jedes b eine nicht negative Zahl ist. Auf diese Weise, Es gibt keine Quadratwurzel einer negativen Zahl in der Menge der reellen Zahlen. Mit anderen Worten: Auf der Menge der reellen Zahlen ist die Quadratwurzel einer negativen Zahl nicht definiert und hat keine Bedeutung.

Dies führt zu einer logischen Frage: „Gibt es eine Quadratwurzel aus a für jedes nichtnegative a“? Die Antwort ist ja. Diese Tatsache kann durch die konstruktive Methode zur Ermittlung des Wertes der Quadratwurzel gerechtfertigt werden.

Dann stellt sich die nächste logische Frage: „Wie groß ist die Anzahl aller Quadratwurzeln einer gegebenen nicht negativen Zahl a – eins, zwei, drei oder sogar mehr“? Hier ist die Antwort: Wenn a Null ist, dann ist die einzige Quadratwurzel aus Null Null; Wenn a eine positive Zahl ist, dann beträgt die Anzahl der Quadratwurzeln der Zahl a zwei und die Wurzeln sind . Begründen wir das.

Beginnen wir mit dem Fall a=0 . Zeigen wir zunächst, dass Null tatsächlich die Quadratwurzel von Null ist. Dies folgt aus der offensichtlichen Gleichheit 0 2 =0·0=0 und der Definition der Quadratwurzel.

Beweisen wir nun, dass 0 die einzige Quadratwurzel aus Null ist. Lassen Sie uns die umgekehrte Methode verwenden. Angenommen, es gibt eine Zahl b ungleich Null, die die Quadratwurzel von Null ist. Dann muss die Bedingung b 2 =0 erfüllt sein, was unmöglich ist, da für jedes b ungleich Null der Wert des Ausdrucks b 2 positiv ist. Wir sind zu einem Widerspruch gelangt. Dies beweist, dass 0 die einzige Quadratwurzel aus Null ist.

Kommen wir zu den Fällen, in denen a eine positive Zahl ist. Wir haben oben gesagt, dass es immer eine Quadratwurzel jeder nicht negativen Zahl gibt. Die Quadratwurzel von a sei die Zahl b. Nehmen wir an, es gibt eine Zahl c, die auch die Quadratwurzel von a ist. Dann sind nach der Definition einer Quadratwurzel die Gleichungen b 2 =a und c 2 =a wahr, woraus folgt, dass b 2 −c 2 =a−a=0, aber da b 2 −c 2 =( b−c)·( b+c) , dann ist (b−c)·(b+c)=0 . Die resultierende Gleichheit ist gültig Eigenschaften von Operationen mit reellen Zahlen nur möglich, wenn b−c=0 oder b+c=0 . Somit sind die Zahlen b und c gleich oder entgegengesetzt.

Wenn wir annehmen, dass es eine Zahl d gibt, die eine weitere Quadratwurzel der Zahl a ist, dann wird durch ähnliche Überlegungen wie die bereits gegebenen bewiesen, dass d gleich der Zahl b oder der Zahl c ist. Die Anzahl der Quadratwurzeln einer positiven Zahl beträgt also zwei, und die Quadratwurzeln sind entgegengesetzte Zahlen.

Um die Arbeit mit Quadratwurzeln zu erleichtern, wird die negative Wurzel von der positiven „getrennt“. Zu diesem Zweck wird es eingeführt Definition der arithmetischen Quadratwurzel.

Definition

Arithmetische Quadratwurzel einer nicht negativen Zahl a ist eine nichtnegative Zahl, deren Quadrat gleich a ist.

Die Notation für die arithmetische Quadratwurzel von a ist . Das Vorzeichen wird als arithmetisches Quadratwurzelzeichen bezeichnet. Es wird auch das Radikalzeichen genannt. Daher kann man manchmal sowohl „Wurzel“ als auch „Radikal“ hören, was dasselbe Objekt bedeutet.

Die Zahl unter dem arithmetischen Quadratwurzelzeichen heißt Wurzelzahl, und der Ausdruck unter dem Wurzelzeichen ist radikaler Ausdruck, während der Begriff „Radikalzahl“ oft durch „Radikalausdruck“ ersetzt wird. Beispielsweise ist in der Notation die Zahl 151 eine Wurzelzahl und in der Notation der Ausdruck a ein Wurzelausdruck.

Beim Lesen wird das Wort „Arithmetik“ oft weggelassen, beispielsweise wird der Eintrag als „Quadratwurzel aus sieben Komma neunundzwanzig“ gelesen. Das Wort „Arithmetik“ wird nur verwendet, wenn betont werden soll, dass es sich konkret um die positive Quadratwurzel einer Zahl handelt.

Im Lichte der eingeführten Notation folgt aus der Definition einer arithmetischen Quadratwurzel, dass für jede nichtnegative Zahl a .

Quadratwurzeln einer positiven Zahl a werden mit dem arithmetischen Quadratwurzelzeichen als und geschrieben. Die Quadratwurzeln von 13 lauten beispielsweise und . Die arithmetische Quadratwurzel von Null ist Null, also . Für negative Zahlen a werden wir der Notation erst beim Studium eine Bedeutung beimessen komplexe Zahlen. Beispielsweise sind die Ausdrücke und bedeutungslos.

Basierend auf der Definition der Quadratwurzel werden die Eigenschaften von Quadratwurzeln nachgewiesen, die in der Praxis häufig verwendet werden.

Zum Abschluss dieses Absatzes stellen wir fest, dass die Quadratwurzeln der Zahl a Lösungen der Form x 2 =a in Bezug auf die Variable x sind.

Kubikwurzel einer Zahl

Definition der Kubikwurzel der Zahl a erfolgt ähnlich wie die Definition der Quadratwurzel. Nur basiert es auf dem Konzept eines Würfels einer Zahl, nicht eines Quadrats.

Definition

Kubikwurzel von a ist eine Zahl, deren Potenz gleich a ist.

Geben wir Beispiele für Kubikwurzeln. Nehmen Sie dazu mehrere Zahlen, zum Beispiel 7, 0, −2/3, und würfeln Sie sie: 7 3 =7·7·7=343, 0 3 =0·0·0=0, . Basierend auf der Definition einer Kubikwurzel können wir dann sagen, dass die Zahl 7 die Kubikwurzel von 343, 0 die Kubikwurzel von Null und −2/3 die Kubikwurzel von −8/27 ist.

Es lässt sich zeigen, dass die Kubikwurzel einer Zahl im Gegensatz zur Quadratwurzel immer existiert, nicht nur für nichtnegative a, sondern auch für jede reelle Zahl a. Dazu können Sie dieselbe Methode verwenden, die wir bei der Untersuchung von Quadratwurzeln erwähnt haben.

Darüber hinaus gibt es nur eine einzige Kubikwurzel einer gegebenen Zahl a. Beweisen wir die letzte Aussage. Betrachten Sie dazu drei Fälle getrennt: a ist eine positive Zahl, a=0 und a ist eine negative Zahl.

Es lässt sich leicht zeigen, dass die Kubikwurzel von a weder eine negative Zahl noch Null sein kann, wenn a positiv ist. Sei b tatsächlich die Kubikwurzel von a, dann können wir per Definition die Gleichheit b 3 =a schreiben. Es ist klar, dass diese Gleichheit für negatives b und für b=0 nicht gelten kann, da in diesen Fällen b 3 =b·b·b eine negative Zahl bzw. Null sein wird. Die Kubikwurzel einer positiven Zahl a ist also eine positive Zahl.

Nehmen wir nun an, dass es zusätzlich zur Zahl b eine weitere Kubikwurzel der Zahl a gibt, nennen wir sie c. Dann ist c 3 =a. Daher ist b 3 −c 3 =a−a=0, aber b 3 −c 3 =(b−c)·(b 2 +b·c+c 2)(Dies ist die abgekürzte Multiplikationsformel Differenz der Würfel), woraus (b−c)·(b 2 +b·c+c 2)=0. Die resultierende Gleichheit ist nur möglich, wenn b−c=0 oder b 2 +b·c+c 2 =0. Aus der ersten Gleichung gilt b=c, und die zweite Gleichung hat keine Lösungen, da ihre linke Seite eine positive Zahl für alle positiven Zahlen b und c als Summe der drei positiven Terme b 2, b·c und c 2 ist. Dies beweist die Eindeutigkeit der Kubikwurzel einer positiven Zahl a.

Wenn a=0, ist die Kubikwurzel der Zahl a nur die Zahl Null. Wenn wir tatsächlich annehmen, dass es eine Zahl b gibt, die eine von Null verschiedene Kubikwurzel von Null ist, dann muss die Gleichheit b 3 =0 gelten, was nur möglich ist, wenn b=0.

Für negatives a können ähnliche Argumente wie für positives a angegeben werden. Zunächst zeigen wir, dass die Kubikwurzel einer negativen Zahl weder einer positiven Zahl noch Null gleich sein kann. Zweitens nehmen wir an, dass es eine zweite Kubikwurzel einer negativen Zahl gibt und zeigen, dass diese notwendigerweise mit der ersten zusammenfällt.

Es gibt also immer eine Kubikwurzel jeder gegebenen reellen Zahl a und zwar eine eindeutige.

Geben wir Definition der arithmetischen Kubikwurzel.

Definition

Arithmetische Kubikwurzel einer nicht negativen Zahl a ist eine nichtnegative Zahl, deren Potenz gleich a ist.

Die arithmetische Kubikwurzel einer nicht negativen Zahl a wird bezeichnet als , das Vorzeichen heißt das Vorzeichen der arithmetischen Kubikwurzel, die Zahl 3 in dieser Notation heißt Stammindex. Die Zahl unter dem Wurzelzeichen ist Wurzelzahl, der Ausdruck unter dem Wurzelzeichen ist radikaler Ausdruck.

Obwohl die arithmetische Kubikwurzel nur für nicht negative Zahlen a definiert ist, ist es auch praktisch, Notationen zu verwenden, in denen negative Zahlen unter dem Vorzeichen der arithmetischen Kubikwurzel stehen. Wir werden sie wie folgt verstehen: , wobei a eine positive Zahl ist. Zum Beispiel, .

Über die Eigenschaften von Kubikwurzeln sprechen wir im allgemeinen Artikel Eigenschaften von Wurzeln.

Das Berechnen des Wertes einer Kubikwurzel wird als Extrahieren einer Kubikwurzel bezeichnet; diese Aktion wird im Artikel Extrahieren von Wurzeln: Methoden, Beispiele, Lösungen besprochen.

Um diesen Punkt abzuschließen, nehmen wir an, dass die Kubikwurzel der Zahl a eine Lösung der Form x 3 =a ist.

n-te Wurzel, arithmetische Wurzel vom Grad n

Lassen Sie uns das Konzept einer Wurzel einer Zahl verallgemeinern – wir führen es ein Definition der n-ten Wurzel für n.

Definition

n-te Wurzel von a ist eine Zahl, deren n-te Potenz gleich a ist.

Aus dieser Definition geht klar hervor, dass die Wurzel ersten Grades der Zahl a die Zahl a selbst ist, da wir bei der Untersuchung des Grades mit einem natürlichen Exponenten a 1 =a angenommen haben.

Oben haben wir uns Sonderfälle der n-ten Wurzel für n=2 und n=3 angesehen – Quadratwurzel und Kubikwurzel. Das heißt, eine Quadratwurzel ist eine Wurzel zweiten Grades und eine Kubikwurzel ist eine Wurzel dritten Grades. Um Wurzeln n-ten Grades für n=4, 5, 6, ... zu untersuchen, ist es zweckmäßig, sie in zwei Gruppen zu unterteilen: Die erste Gruppe sind Wurzeln geraden Grades (d. h. für n = 4, 6, 8). , ...), die zweite Gruppe - Wurzeln ungeraden Grades (d. h. mit n=5, 7, 9, ...). Dies liegt daran, dass Wurzeln gerader Potenzen Quadratwurzeln ähneln und Wurzeln ungerader Potenzen kubischen Wurzeln ähneln. Lassen Sie uns sie einzeln behandeln.

Beginnen wir mit den Wurzeln, deren Potenzen die geraden Zahlen 4, 6, 8, ... sind. Wie wir bereits sagten, ähneln sie der Quadratwurzel der Zahl a. Das heißt, die Wurzel jedes geraden Grades der Zahl a existiert nur für nicht negatives a. Wenn außerdem a=0, dann ist die Wurzel von a eindeutig und gleich Null, und wenn a>0, dann gibt es zwei Wurzeln geraden Grades der Zahl a, und sie sind entgegengesetzte Zahlen.

Untermauern wir die letzte Aussage. Sei b eine gerade Wurzel (wir bezeichnen sie als 2·m, wobei m eine natürliche Zahl ist) der Zahl a. Angenommen, es gibt eine Zahl c – eine weitere Wurzel vom Grad 2·m aus der Zahl a. Dann ist b 2·m −c 2·m =a−a=0 . Aber wir kennen die Form b 2 m −c 2 m = (b−c) (b+c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2), dann (b−c)·(b+c)· (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. Aus dieser Gleichheit folgt, dass b−c=0, oder b+c=0, oder b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. Die ersten beiden Gleichheiten bedeuten, dass die Zahlen b und c gleich sind oder b und c entgegengesetzt sind. Und die letzte Gleichheit gilt nur für b=c=0, da auf ihrer linken Seite ein Ausdruck steht, der für jedes b und c als Summe nichtnegativer Zahlen nicht negativ ist.

Die Wurzeln n-ten Grades für ungerades n ähneln der Kubikwurzel. Das heißt, die Wurzel jedes ungeraden Grades der Zahl a existiert für jede reelle Zahl a und ist für eine gegebene Zahl a eindeutig.

Die Eindeutigkeit einer Wurzel ungeraden Grades 2·m+1 der Zahl a wird analog zum Beweis der Eindeutigkeit der Kubikwurzel von a bewiesen. Nur hier statt Gleichheit a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+c 2) Es wird eine Gleichheit der Form b 2 m+1 −c 2 m+1 = verwendet (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m). Der Ausdruck in der letzten Klammer kann umgeschrieben werden als b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m−2 +c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). Zum Beispiel gilt mit m=2 b 5 −c 5 =(b−c)·(b 4 +b 3 ·c+b 2 ·c 2 +b·c 3 +c 4)= (b−c)·(b 4 +c 4 +b·c·(b 2 +c 2 +b·c)). Wenn a und b beide positiv oder beide negativ sind und ihr Produkt eine positive Zahl ist, dann ist der Ausdruck b 2 +c 2 +b·c in der höchsten geschachtelten Klammer positiv als Summe der positiven Zahlen. Wenn wir nun der Reihe nach zu den Ausdrücken in Klammern der vorherigen Verschachtelungsgrade übergehen, sind wir überzeugt, dass sie auch als Summe positiver Zahlen positiv sind. Als Ergebnis erhalten wir die Gleichheit b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m)=0 nur möglich, wenn b−c=0, also wenn die Zahl b gleich der Zahl c ist.

Es ist Zeit, die Notation der n-ten Wurzeln zu verstehen. Zu diesem Zweck ist es gegeben Definition der arithmetischen Wurzel n-ten Grades.

Definition

Arithmetische Wurzel n-ten Grades einer nicht negativen Zahl a ist eine nichtnegative Zahl, deren n-te Potenz gleich a ist.