Das durch Rotation erhaltene Volumen eines Körpers. III Berechnung der Volumina von Rotationskörpern

Wie bei der Suche nach der Fläche benötigen Sie sichere Zeichenkenntnisse – das ist fast das Wichtigste (da die Integrale selbst oft einfach sind). Mit Hilfe von Lehrmaterialien und geometrischen Transformationen von Graphen erlernen Sie kompetente und schnelle grafische Techniken. Aber tatsächlich habe ich im Unterricht schon mehrmals über die Bedeutung von Zeichnungen gesprochen.

Im Allgemeinen gibt es in der Integralrechnung viele interessante Anwendungen. Mit einem bestimmten Integral können Sie die Fläche einer Figur, das Volumen eines Rotationskörpers, die Bogenlänge, die Rotationsoberfläche und vieles mehr berechnen mehr. Es wird also Spaß machen, bitte bleiben Sie optimistisch!

Stellen Sie sich eine flache Figur auf der Koordinatenebene vor. Eingeführt? ... Ich frage mich, wer was präsentiert hat... =))) Wir haben seinen Bereich bereits gefunden. Darüber hinaus kann diese Figur aber auch gedreht werden, und zwar auf zwei Arten:

– um die Abszissenachse;
– um die Ordinatenachse.

In diesem Artikel werden beide Fälle untersucht. Die zweite Rotationsmethode ist besonders interessant; sie bereitet die meisten Schwierigkeiten, aber tatsächlich ist die Lösung fast die gleiche wie bei der häufigeren Rotation um die x-Achse. Als Bonus werde ich darauf zurückkommen Problem, die Fläche einer Figur zu finden, und ich erkläre Ihnen, wie Sie den Bereich auf die zweite Art finden – entlang der Achse. Es ist nicht so sehr ein Bonus, da das Material gut zum Thema passt.

Beginnen wir mit der beliebtesten Rotationsart.

flache Figur um eine Achse

Beispiel 1

Berechnen Sie das Volumen eines Körpers, das Sie erhalten, indem Sie eine durch Linien begrenzte Figur um eine Achse drehen.

Lösung: Wie beim Problem, das Gebiet zu finden, Die Lösung beginnt mit der Zeichnung einer flachen Figur. Das heißt, auf der Ebene ist es notwendig, eine durch die Linien begrenzte Figur zu konstruieren und nicht zu vergessen, dass die Gleichung die Achse angibt. Wie Sie eine Zeichnung effizienter und schneller fertigstellen, erfahren Sie auf den Seiten Graphen und Eigenschaften elementarer Funktionen Und Bestimmtes Integral. So berechnen Sie die Fläche einer Figur. Dies ist eine chinesische Erinnerung, und ich werde an dieser Stelle nicht weiter darauf eingehen.

Die Zeichnung hier ist ganz einfach:

Die gewünschte flache Figur ist blau schattiert; sie ist diejenige, die sich um die Achse dreht. Durch die Drehung entsteht eine leicht eiförmige fliegende Untertasse, die symmetrisch zur Achse ist. Tatsächlich hat der Körper einen mathematischen Namen, aber ich bin zu faul, irgendetwas im Nachschlagewerk zu klären, also machen wir weiter.

Wie berechnet man das Volumen eines Rotationskörpers?

Mit der Formel lässt sich das Volumen eines Rotationskörpers berechnen:

In der Formel muss die Zahl vor dem Integral stehen. So geschah es – alles, was sich im Leben dreht, ist mit dieser Konstante verbunden.

Ich denke, aus der fertigen Zeichnung lässt sich leicht erraten, wie man die Grenzen der Integration „a“ und „be“ festlegt.

Funktion... was ist diese Funktion? Schauen wir uns die Zeichnung an. Die ebene Figur wird oben durch den Graphen der Parabel begrenzt. Dies ist die Funktion, die in der Formel impliziert ist.

Bei praktischen Aufgaben kann sich manchmal eine flache Figur unterhalb der Achse befinden. Dadurch ändert sich nichts – der Integrand in der Formel wird quadriert: , also Das Integral ist immer nicht negativ, was sehr logisch ist.

Berechnen wir das Volumen eines Rotationskörpers mit dieser Formel:

Wie ich bereits bemerkt habe, erweist sich das Integral fast immer als einfach, Hauptsache man muss vorsichtig sein.

Antwort:

In Ihrer Antwort müssen Sie die Dimension angeben – Kubikeinheiten. Das heißt, in unserem Rotationskörper gibt es ungefähr 3,35 „Würfel“. Warum kubisch Einheiten? Weil die universellste Formulierung. Es könnten Kubikzentimeter sein, es könnten Kubikmeter sein, es könnten Kubikkilometer sein usw., so viele grüne Männchen kann Ihre Fantasie in eine fliegende Untertasse stecken.

Beispiel 2

Finden Sie das Volumen eines Körpers, der durch Rotation um die Achse einer durch Linien begrenzten Figur entsteht , ,

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können. Vollständige Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

Betrachten wir zwei komplexere Probleme, die auch in der Praxis häufig anzutreffen sind.

Beispiel 3

Berechnen Sie das Volumen des Körpers, das Sie erhalten, indem Sie sich um die Abszissenachse der durch die Linien , und begrenzten Figur drehen

Lösung: Stellen wir in der Zeichnung eine flache Figur dar, die durch die Linien , , , begrenzt wird, ohne zu vergessen, dass die Gleichung die Achse definiert:

Die gewünschte Figur ist blau schattiert. Wenn er sich um seine Achse dreht, entpuppt er sich als surrealer Donut mit vier Ecken.

Berechnen wir das Volumen des Rotationskörpers als Unterschied im Körpervolumen.

Schauen wir uns zunächst die rot eingekreiste Figur an. Wenn es sich um eine Achse dreht, entsteht ein Kegelstumpf. Bezeichnen wir das Volumen dieses Kegelstumpfes mit .

Betrachten Sie die grün eingekreiste Figur. Wenn Sie diese Figur um die Achse drehen, erhalten Sie ebenfalls einen Kegelstumpf, nur etwas kleiner. Bezeichnen wir sein Volumen mit .

Und natürlich entspricht der Volumenunterschied genau dem Volumen unseres „Donuts“.

Um das Volumen eines Rotationskörpers zu ermitteln, verwenden wir die Standardformel:

1) Die rot eingekreiste Figur wird nach oben durch eine gerade Linie begrenzt, daher:

2) Die grün eingekreiste Figur wird nach oben durch eine gerade Linie begrenzt, daher:

3) Volumen des gewünschten Rotationskörpers:

Antwort:

Interessant ist, dass in diesem Fall die Lösung anhand der Schulformel zur Berechnung des Volumens eines Kegelstumpfes überprüft werden kann.

Die Entscheidung selbst wird oft kürzer geschrieben, etwa so:

Lassen Sie uns nun eine kleine Pause einlegen und Ihnen etwas über geometrische Illusionen erzählen.

Menschen haben oft Illusionen im Zusammenhang mit Bänden, was Perelman (ein anderer) in dem Buch bemerkte Unterhaltsame Geometrie. Schauen Sie sich die flache Figur im gelösten Problem an – sie scheint flächenmäßig klein zu sein und das Volumen des Rotationskörpers beträgt etwas mehr als 50 Kubikeinheiten, was zu groß erscheint. Übrigens trinkt der durchschnittliche Mensch im Laufe seines Lebens das Äquivalent eines Zimmers mit 18 Quadratmetern Flüssigkeit, was im Gegenteil als zu geringes Volumen erscheint.

Im Allgemeinen war das Bildungssystem in der UdSSR wirklich das beste. Das gleiche Buch von Perelman, das bereits 1950 veröffentlicht wurde, entwickelt, wie der Humorist sagte, das Denken sehr gut und lehrt Sie, nach originellen, nicht standardmäßigen Lösungen für Probleme zu suchen. Ich habe kürzlich einige der Kapitel mit großem Interesse noch einmal gelesen, ich empfehle es, es ist sogar für Humanisten zugänglich. Nein, Sie müssen nicht schmunzeln, dass ich Ihnen Freizeit geboten habe, Gelehrsamkeit und ein breiter Horizont in der Kommunikation sind eine tolle Sache.

Nach einem lyrischen Exkurs ist es gerade angebracht, eine kreative Aufgabe zu lösen:

Beispiel 4

Berechnen Sie das Volumen eines Körpers, der durch Rotation um die Achse einer flachen Figur gebildet wird, die durch die Linien , , begrenzt wird, wobei .

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können. Bitte beachten Sie, dass alle Fälle im Band auftreten, d. h. es sind tatsächlich vorgefertigte Integrationsgrenzen vorgegeben. Zeichnen Sie die Diagramme trigonometrischer Funktionen richtig. Ich möchte Sie an das Unterrichtsmaterial erinnern geometrische Transformationen von Graphen: Wenn das Argument durch zwei geteilt wird: , werden die Diagramme zweimal entlang der Achse gestreckt. Es empfiehlt sich, mindestens 3-4 Punkte zu finden nach trigonometrischen Tabellen um die Zeichnung genauer zu vervollständigen. Vollständige Lösung und Antwort am Ende der Lektion. Die Aufgabe kann übrigens rational und nicht sehr rational gelöst werden.

Berechnung des Volumens eines durch Rotation gebildeten Körpers
flache Figur um eine Achse

Der zweite Absatz wird noch interessanter sein als der erste. Auch die Aufgabe, das Volumen eines Rotationskörpers um die Ordinatenachse zu berechnen, ist ein recht häufiger Gast in Testarbeiten. Unterwegs wird darüber nachgedacht Problem, die Fläche einer Figur zu finden Die zweite Methode ist die Integration entlang der Achse. Dadurch können Sie nicht nur Ihre Fähigkeiten verbessern, sondern auch lernen, den profitabelsten Lösungsweg zu finden. Darin liegt auch ein praktischer Lebenssinn! Wie sich meine Lehrerin für Mathematikdidaktik mit einem Lächeln erinnerte, bedankten sich viele Absolventen mit den Worten: „Ihr Fach hat uns sehr geholfen, jetzt sind wir effektive Manager und führen die Mitarbeiter optimal.“ Bei dieser Gelegenheit spreche ich ihr auch meinen großen Dank aus, zumal ich das erworbene Wissen bestimmungsgemäß verwende =).

Ich kann es jedem empfehlen, auch völligen Dummköpfen. Darüber hinaus wird das im zweiten Absatz erlernte Material eine unschätzbare Hilfe bei der Berechnung von Doppelintegralen sein.

Beispiel 5

Gegeben sei eine flache Figur, die durch die Linien , , begrenzt wird.

1) Finden Sie die Fläche einer flachen Figur, die durch diese Linien begrenzt wird.
2) Ermitteln Sie das Volumen des Körpers, das Sie erhalten, indem Sie eine durch diese Linien begrenzte flache Figur um die Achse drehen.

Aufmerksamkeit! Auch wenn Sie zunächst nur den zweiten Punkt lesen möchten Notwendig lies das erste!

Lösung: Die Aufgabe besteht aus zwei Teilen. Beginnen wir mit dem Quadrat.

1) Machen wir eine Zeichnung:

Es ist leicht zu erkennen, dass die Funktion den oberen Ast der Parabel und die Funktion den unteren Ast der Parabel angibt. Vor uns liegt eine triviale Parabel, die „auf der Seite liegt“.

Die gewünschte Figur, deren Fläche gefunden werden soll, ist blau schattiert.

Wie finde ich die Fläche einer Figur? Es kann auf die „übliche“ Weise gefunden werden, die im Unterricht besprochen wurde Bestimmtes Integral. So berechnen Sie die Fläche einer Figur. Darüber hinaus ergibt sich die Fläche der Figur als Summe der Flächen:
- auf dem Segment ;
- auf dem Segment.

Deshalb:

Warum ist die übliche Lösung in diesem Fall schlecht? Erstens haben wir zwei Integrale erhalten. Zweitens sind Integrale Wurzeln, und Wurzeln in Integralen sind kein Geschenk, und außerdem kann man bei der Ersetzung der Integrationsgrenzen verwirrt werden. Tatsächlich sind die Integrale natürlich nicht umwerfend, aber in der Praxis kann alles viel trauriger sein. Ich habe nur „bessere“ Funktionen für das Problem ausgewählt.

Es gibt eine rationalere Lösung: Sie besteht darin, auf Umkehrfunktionen umzuschalten und entlang der Achse zu integrieren.

Wie komme ich zu Umkehrfunktionen? Grob gesagt müssen Sie „x“ durch „y“ ausdrücken. Schauen wir uns zunächst die Parabel an:

Das reicht aus, aber stellen wir sicher, dass dieselbe Funktion aus dem unteren Zweig abgeleitet werden kann:

Einfacher geht es mit einer geraden Linie:

Schauen Sie sich nun die Achse an: Bitte neigen Sie Ihren Kopf in regelmäßigen Abständen um 90 Grad nach rechts, während Sie es erklären (das ist kein Scherz!). Die von uns benötigte Figur liegt auf dem Segment, das durch die rote gestrichelte Linie angezeigt wird. In diesem Fall befindet sich auf dem Segment die Gerade über der Parabel, was bedeutet, dass die Fläche der Figur nach der Ihnen bereits bekannten Formel ermittelt werden sollte: . Was hat sich an der Formel geändert? Nur ein Brief und nichts weiter.

! Notiz: Die Grenzen der Integration entlang der Achse sollten festgelegt werden streng von unten nach oben!

Die Gegend finden:

Zum Segment also:

Bitte beachten Sie, wie ich die Integration durchgeführt habe. Dies ist die rationalste Methode. Im nächsten Absatz der Aufgabe wird klar, warum.

Für Leser, die an der Richtigkeit der Integration zweifeln, werde ich Ableitungen finden:

Man erhält die ursprüngliche Integrandenfunktion, was bedeutet, dass die Integration korrekt durchgeführt wurde.

Antwort:

2) Berechnen wir das Volumen des Körpers, der durch die Drehung dieser Figur um die Achse entsteht.

Ich werde die Zeichnung in einem etwas anderen Design neu zeichnen:

Die blau schattierte Figur dreht sich also um die Achse. Das Ergebnis ist ein „schwebender Schmetterling“, der sich um seine Achse dreht.

Um das Volumen eines Rotationskörpers zu ermitteln, integrieren wir entlang der Achse. Zuerst müssen wir zu Umkehrfunktionen übergehen. Dies wurde bereits im vorherigen Absatz durchgeführt und ausführlich beschrieben.

Jetzt neigen wir den Kopf wieder nach rechts und studieren unsere Figur. Offensichtlich sollte das Volumen eines Rotationskörpers als Differenz der Volumina ermittelt werden.

Wir drehen die rot eingekreiste Figur um die Achse, sodass ein Kegelstumpf entsteht. Bezeichnen wir dieses Volumen mit .

Wir drehen die grün eingekreiste Figur um die Achse und bezeichnen sie mit dem Volumen des resultierenden Rotationskörpers.

Das Volumen unseres Schmetterlings entspricht der Volumendifferenz.

Wir verwenden die Formel, um das Volumen eines Rotationskörpers zu ermitteln:

Was ist der Unterschied zur Formel im vorherigen Absatz? Nur im Brief.

Aber der Vorteil der Integration, über den ich kürzlich gesprochen habe, ist viel einfacher zu finden , anstatt zunächst den Integranden auf die 4. Potenz zu erhöhen.

Antwort:

Allerdings kein kränklicher Schmetterling.

Beachten Sie, dass Sie, wenn Sie dieselbe flache Figur um die Achse drehen, einen völlig anderen Rotationskörper erhalten, natürlich mit einem anderen Volumen.

Beispiel 6

Gegeben sei eine flache Figur, die durch Linien und eine Achse begrenzt ist.

1) Gehen Sie zu Umkehrfunktionen und ermitteln Sie die Fläche einer durch diese Linien begrenzten ebenen Figur, indem Sie über die Variable integrieren.
2) Berechnen Sie das Volumen des Körpers, das Sie erhalten, indem Sie eine durch diese Linien begrenzte flache Figur um die Achse drehen.

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können. Interessierte können die Fläche einer Figur auch auf „übliche“ Weise ermitteln und dabei Punkt 1) prüfen. Aber wenn Sie, ich wiederhole, eine flache Figur um die Achse drehen, erhalten Sie einen völlig anderen Rotationskörper mit einem anderen Volumen, übrigens die richtige Antwort (auch für diejenigen, die gerne Probleme lösen).

Die vollständige Lösung der beiden vorgeschlagenen Punkte der Aufgabe finden Sie am Ende der Lektion.

Ja, und vergessen Sie nicht, Ihren Kopf nach rechts zu neigen, um die Rotationskörper und die Grenzen der Integration zu verstehen!

Definition 3. Ein Rotationskörper ist ein Körper, der durch Drehen einer flachen Figur um eine Achse entsteht, die die Figur nicht schneidet und mit ihr in derselben Ebene liegt.

Die Drehachse darf die Figur schneiden, wenn sie die Symmetrieachse der Figur ist.

Satz 2.
, Achse
und gerade Segmente
Und

dreht sich um eine Achse
. Dann kann das Volumen des resultierenden Rotationskörpers mit der Formel berechnet werden

(2)

Nachweisen. Für einen solchen Körper ist der Querschnitt mit Abszisse ist ein Kreis mit Radius
, Bedeutet
und Formel (1) liefert das erforderliche Ergebnis.

Wenn die Zahl durch die Graphen zweier stetiger Funktionen begrenzt ist
Und
und Liniensegmente
Und
, Und
Und
, dann erhalten wir bei Drehung um die x-Achse einen Körper, dessen Volumen

Beispiel 3. Berechnen Sie das Volumen eines Torus, der durch Drehen eines von einem Kreis begrenzten Kreises entsteht

um die Abszissenachse.

R Entscheidung. Der angezeigte Kreis wird unten durch den Graphen der Funktion begrenzt
, und von oben –
. Die Differenz der Quadrate dieser Funktionen:

Erforderliches Volumen

(Der Graph des Integranden ist der obere Halbkreis, daher ist das oben geschriebene Integral die Fläche des Halbkreises).

Beispiel 4. Parabelsegment mit Sockel
, und Höhe , dreht sich um die Basis. Berechnen Sie das Volumen des resultierenden Körpers („Zitrone“ von Cavalieri).

R Entscheidung. Platzieren Sie die Parabel wie in der Abbildung gezeigt. Dann ist seine Gleichung
, Und
. Lassen Sie uns den Wert des Parameters ermitteln :
. Also das benötigte Volumen:

Satz 3. Sei ein krummliniges Trapez, das durch den Graphen einer stetigen nicht negativen Funktion begrenzt wird
, Achse
und gerade Segmente
Und
, Und
, dreht sich um eine Achse
. Dann kann das Volumen des resultierenden Rotationskörpers durch die Formel ermittelt werden

(3)

Die Idee des Beweises. Wir teilen das Segment auf
Punkte

, in Teile und zeichne gerade Linien
. Das gesamte Trapez wird in Streifen zerlegt, die man ungefähr als Rechtecke mit einer Grundfläche betrachten kann
und Höhe
.

Wir schneiden den resultierenden Zylinder, indem wir ein solches Rechteck entlang seiner Erzeugenden drehen und entfalten. Wir erhalten ein „fast“ Parallelepiped mit den Abmessungen:
,
Und
. Sein Volumen
. Für das Volumen eines Rotationskörpers gilt also ungefähr die Gleichheit

Um exakte Gleichheit zu erreichen, muss man bis zur Grenze gehen
. Die oben geschriebene Summe ist die Integralsumme für die Funktion
, daher erhalten wir im Grenzfall das Integral aus Formel (3). Der Satz ist bewiesen.

Anmerkung 1. In den Sätzen 2 und 3 ist die Bedingung
kann weggelassen werden: Formel (2) ist im Allgemeinen unempfindlich gegenüber dem Vorzeichen
, und in Formel (3) ist es genug
ersetzt durch
.

Beispiel 5. Parabelsegment (Basis
, Höhe ) dreht sich um die Höhe. Finden Sie das Volumen des resultierenden Körpers.

Lösung. Platzieren wir die Parabel wie in der Abbildung gezeigt. Und obwohl die Rotationsachse die Figur schneidet, ist sie – die Achse – eine Symmetrieachse. Daher müssen wir nur die rechte Hälfte des Segments berücksichtigen. Parabelgleichung
, Und
, Bedeutet
. Wir haben für die Lautstärke:

Anmerkung 2. Wenn die krummlinige Grenze eines krummlinigen Trapezes durch parametrische Gleichungen gegeben ist
,
,
Und
,
Dann können Sie die Formeln (2) und (3) mit der Ersetzung verwenden An
Und
An
wenn es sich ändert T aus
Vor .

Beispiel 6. Die Figur wird durch den ersten Bogen der Zykloide begrenzt
,
,
und die x-Achse. Finden Sie das Volumen des Körpers, das Sie erhalten, indem Sie diese Figur um die 1)-Achse drehen
; 2) Achsen
.

Lösung. 1) Allgemeine Formel
In unserem Fall:

2) Allgemeine Formel
Zu unserer Figur:

Wir laden die Studierenden ein, alle Berechnungen selbst durchzuführen.

Notiz 3. Lassen Sie einen gekrümmten Sektor durch eine durchgehende Linie begrenzt werden
und Strahlen
,

, rotiert um eine Polarachse. Das Volumen des resultierenden Körpers kann mit der Formel berechnet werden.

Beispiel 7. Teil einer Figur, begrenzt durch eine Niere
, außerhalb des Kreises liegend
, rotiert um eine Polarachse. Finden Sie das Volumen des resultierenden Körpers.

Lösung. Beide Linien und damit die Figur, die sie begrenzen, sind symmetrisch zur Polarachse. Daher ist es notwendig, nur den Teil zu berücksichtigen, für den
. Die Kurven schneiden sich bei
Und

bei
. Darüber hinaus kann die Zahl als Differenz zweier Sektoren betrachtet werden, und daher kann das Volumen als Differenz zweier Integrale berechnet werden. Wir haben:

Aufgaben für eine unabhängige Entscheidung.

1. Ein Kreissegment, dessen Basis
, Höhe , dreht sich um die Basis. Finden Sie das Volumen des Rotationskörpers.

2. Finden Sie das Volumen eines Rotationsparaboloids, dessen Basis , und die Höhe ist .

3. Von einem Asteroiden begrenzte Figur
,
dreht sich um die Abszissenachse. Finden Sie das Volumen des resultierenden Körpers.

4. Durch Linien begrenzte Figur
Und
dreht sich um die x-Achse. Finden Sie das Volumen des Rotationskörpers.

So berechnen Sie das Volumen eines Rotationskörpers
ein bestimmtes Integral verwenden?

Generell gibt es in der Integralrechnung viele interessante Anwendungen; mit einem bestimmten Integral kann man die Fläche einer Figur, das Volumen eines Rotationskörpers, die Länge eines Bogens, die Oberfläche von berechnen Rotation und vieles mehr. Es wird also Spaß machen, bitte bleiben Sie optimistisch!

- um die Abszissenachse;
- um die Ordinatenachse.

Beginnen wir mit der beliebtesten Rotationsart.

flache Figur um eine Achse

Berechnen Sie das Volumen eines Körpers, das Sie erhalten, indem Sie eine durch Linien begrenzte Figur um eine Achse drehen.

Lösung: Wie beim Problem, das Gebiet zu finden, Die Lösung beginnt mit der Zeichnung einer flachen Figur. Das heißt, auf der Ebene ist es notwendig, eine durch die Linien begrenzte Figur zu konstruieren und nicht zu vergessen, dass die Gleichung die Achse angibt. Wie Sie eine Zeichnung effizienter und schneller fertigstellen, erfahren Sie auf den Seiten Graphen und Eigenschaften elementarer Funktionen Und . Dies ist eine chinesische Erinnerung, und an dieser Stelle werde ich nicht weiter darauf eingehen.

Die Zeichnung hier ist ganz einfach:

Wie berechnet man das Volumen eines Rotationskörpers?

Mit der Formel lässt sich das Volumen eines Rotationskörpers berechnen:

In der Formel muss die Zahl vor dem Integral stehen. So geschah es – alles, was sich im Leben dreht, ist mit dieser Konstante verbunden.

Ich denke, aus der fertigen Zeichnung lässt sich leicht erraten, wie man die Grenzen der Integration „a“ und „be“ festlegt.

Funktion... was ist diese Funktion? Schauen wir uns die Zeichnung an. Die ebene Figur wird oben durch den Graphen der Parabel begrenzt. Dies ist die Funktion, die in der Formel impliziert ist.

Berechnen wir das Volumen eines Rotationskörpers mit dieser Formel:

Wie ich bereits bemerkt habe, erweist sich das Integral fast immer als einfach, Hauptsache man muss vorsichtig sein.

Antwort: