wobei die Summe der diagonalen Minorwerte erster Ordnung der Matrix A ist

– Summe der diagonalen Minderjährigen zweiter Ordnung der Matrix A

– die Summe der diagonalen Minderjährigen dritter Ordnung der Matrix A

LassenA= - ,b= , dann hat XY 3. Ordnung die Form:

Zustand:

Ф(a,b,c)<0 – все собст.знач.-я ХП вещественные

Ф(a,b,c)>

Zwei charakteristische Gleichungen von Rössler.

Beim Lösen eines Systems von Differentialgleichungen gibt es zwei singuläre Punkte P10(0,0,0) und P20==(c-ab,b-c/a,c/a-b), wenn Sie alle Operationen mit der Suche nach den Jacobi- und P20==(c-ab,b-c/a,c/a-b) durchführen die Summen der Diagonalelemente, dann werden 2 Gleichungen erhalten Resslera:

3.3 Bedingung zur Bestimmung der Art der Eigenwerte einer charakteristischen Gleichung dritter Ordnung.

Zustand:

Ф(a,b,c)=(9c-ab) 2 -(6b-2a 2)(6ac-2b 2)

Ф(a,b,c)<0 – все собст.знач.-я ХП вещественные

Ф(a,b,c)=0 – zwei (drei) Mehrfachstoffe. Wurzel

Ф(a,b,c)>0 – zwei komplexe konjugierte Wurzeln

Wurzeln der charakteristischen Gleichung mit Parametern: 0,38; 0,30; 4,82 (instabiler Fokussattel).

Integralkurven müssen relativ zu jedem einzelnen Punkt konstruiert werden.

Alle „Bedingungen“ werden berücksichtigt + Bedingung (s-av)>0und (s-av)<0 рассматирваием для Ро1=(0,0,0)

Wenn wir die Gleichungen mit den Parametern 0,38... betrachten, erhalten wir eine interessante Flugbahn. Die Flugbahn wird von Po1(0,0,0) entlang R2 (x1,x2) im Phasenraum R3 abgestoßen und entlang a angezogen eindimensionale Kurve, die einen festen Punkt des Satteltyps bildet - Fokus. Der darstellende Punkt verlässt den Bereich eines instabilen Gleichgewichtspunkts vom Typ Po1 in der Variablenebene (x1,x3) und kehrt dann wieder zu diesem Punkt zurück.

Homokline Trajektorie im Phasenraum des Systems.

Das Phasenporträt ermöglicht die Darstellung einer qualitativen Charakteristik des gesamten Satzes freier Bewegungen (Prozesse) für einen ausgewählten Bereich des NU-Wurzelraums.

Wenn die Flugbahn den Koordinatenursprung verlässt, kehrt sie nach einer vollständigen Umdrehung um einen der stabilen Punkte zum Ausgangspunkt zurück – es entstehen zwei homokline Schleifen (Das Konzept einer homoklinen Flugbahn bedeutet, dass sie verlässt und dort ankommt die gleiche Gleichgewichtslage).

Homokline Flugbahn– tritt nicht auf, wenn die Parameter keine strenge Einschränkung erfüllen.

Strukturelle Instabilität einer homoklinen Flugbahn.

Bei großen Werten des Parameters erfährt die Flugbahn erhebliche Änderungen. Shilnikov und Kaplan zeigten, dass das System bei sehr großem r in den Selbstoszillationsmodus übergeht, und wenn der Parameter verringert wird, wird ein Übergang ins Chaos durch eine Folge von Verdoppelungen der Oszillationsperiode beobachtet.

Homokline Flugbahnen- strukturell instabil.

Seltsamer Attraktor

Seltsamer Attraktor: Eine instabile Gleichgewichtslage ist das Hauptmerkmal chaotischen Verhaltens. Flugbahnen reagieren sehr empfindlich auf Änderungen der Anfangsbedingungen – diese Eigenschaft ist seltsamen Attraktoren eigen.

Ein seltsamer Attraktor ist ein Attraktor, der zwei wesentliche Unterschiede zu einem regulären Attraktor aufweist: Die Flugbahn eines solchen Attraktors ist nicht periodisch (er schließt nicht) und der Betriebsmodus ist instabil (kleine Abweichungen vom Modus nehmen zu). Das Hauptkriterium für die chaotische Natur eines Attraktors ist die exponentielle zeitliche Zunahme kleiner Störungen. Die Folge davon ist eine „Vermischung“ im System, eine zeitliche Nichtperiodizität aller Koordinaten des Systems, ein kontinuierliches Leistungsspektrum und eine zeitlich abnehmende Autokorrelationsfunktion.

Die Dynamik fremder Attraktoren ist oft chaotisch: Die Vorhersage einer Flugbahn, die in einen Attraktor fällt, ist schwierig, da eine kleine Ungenauigkeit in den Ausgangsdaten nach einiger Zeit zu einer starken Diskrepanz zwischen der Vorhersage und der tatsächlichen Flugbahn führen kann. Die Unvorhersehbarkeit der Flugbahn in deterministischen dynamischen Systemen wird als dynamisches Chaos bezeichnet und unterscheidet sich vom stochastischen Chaos, das in stochastischen dynamischen Systemen entsteht. Dieses Phänomen wird auch Schmetterlingseffekt genannt und meint die Möglichkeit, schwache turbulente Luftströmungen, die durch den Flügelschlag eines Schmetterlings an einem Punkt des Planeten verursacht werden, aufgrund ihrer mehrfachen Verstärkung in der Atmosphäre über einen Zeitraum von einem Jahr in einen starken Tornado auf der anderen Seite umzuwandeln Zeitspanne.

Ist es möglich, gleichzeitig stochastisches und regelmäßiges Verhalten zu haben? Oder ist es immer entweder regelmäßig oder stochastisch?

Sowohl reguläres als auch chaotisches Verhalten dynamischer dissipativer Systeme mit vielen Variablen (n>2) ist nicht nur getrennt (entweder oder), sondern auch gleichzeitig möglich.

Man kann nicht sagen, dass das System nach der ersten Gabelung ins Chaos gerät (da es an einer Stelle verschwand und an einer anderen kam).

Warum dritte Ordnung? Ist es möglich, dass in Systemen zweiter Ordnung seltsame Attraktoren entstehen? Und in Systemen höherer Ordnung als dritter Ordnung?

Genauere mathematische Bedingungen für die Entstehung von Chaos sehen so aus:

Das System muss nichtlineare Eigenschaften aufweisen, global stabil sein, aber mindestens einen instabilen Gleichgewichtspunkt oszillatorischen Typs aufweisen, und die Dimension des Systems muss mindestens 1,5 betragen (d. h. die Ordnung der Differentialgleichung beträgt mindestens 3).

Lineare Systeme sind niemals chaotisch. Damit ein dynamisches System chaotisch ist, muss es nichtlinear sein. Nach dem Satz von Poincaré-Bendixson kann ein kontinuierliches dynamisches System auf einer Ebene nicht chaotisch sein. Unter kontinuierlichen Systemen weisen nur nicht flache räumliche Systeme ein chaotisches Verhalten auf (das Vorhandensein mindestens dreidimensionaler oder nichteuklidischer Geometrie ist erforderlich). Allerdings kann ein diskretes dynamisches System irgendwann auch im ein- oder zweidimensionalen Raum chaotisches Verhalten zeigen.

Vorlesung 3. Integrierbare und nicht integrierbare Systeme. Konservative Systeme

Integrierte Systeme

1. Reduzierbarkeit auf freie (ungestörte) Bewegung von Systemen. Was passiert, wenn Irreduzibilität vorliegt?

Für integrierbare Systeme können wir Wechselwirkungen eliminieren und das Problem auf das Problem von reduzieren Bewegungsfreiheit. Für die freie Bewegung ist es nicht schwierig, Ausdrücke für Koordinaten und Geschwindigkeiten in Form expliziter Zeitfunktionen zu finden. Für nicht integrierbare Systeme ist es notwendig, auf die Beschreibung in Form von Trajektorien zu verzichten und zu gehen zu einer probabilistischen Beschreibung (mit Irreduzibilität).

Ist es möglich, ein nicht integrierbares System durch Trajektorien zu beschreiben?

Nein unmöglich. Es handelt sich hier um eine grundsätzlich probabilistische Beschreibung, die sich nicht auf eine Beschreibung einzelner Trajektorien reduzieren lässt.

Kann ein durch eine deterministische Gleichung definiertes System eine stochastische Dynamik haben?

D. s. im Gegensatz zum Wahrscheinlichkeitssystem, deren Ausgaben nur zufällig und nicht eindeutig von den Eingaben abhängen. (In ds hängt es eindeutig von den Eingaben ab.) Aber jedes System, auch wenn es deterministisch ist, enthält eine gewisse Zufälligkeit.

Hallo zusammen!

Dieser Artikel ist den erstaunlichen Besonderheiten in der Welt des Chaos gewidmet. Ich werde versuchen, darüber zu sprechen, wie man so etwas Seltsames und Komplexes wie einen chaotischen Prozess eindämmen kann, und lernen, wie man seine eigenen einfachen Chaosgeneratoren erstellt. Gemeinsam mit Ihnen gehen wir von der trockenen Theorie zur schönen Visualisierung chaotischer Prozesse im Weltraum. Insbesondere am Beispiel bekannter chaotischer Attraktoren werde ich zeigen, wie man dynamische Systeme erstellt und diese bei Problemen im Zusammenhang mit programmierbaren logischen integrierten Schaltkreisen (FPGAs) verwendet.

Einführung

Chaostheorie ist eine ungewöhnliche und junge Wissenschaft, die das Verhalten nichtlinearer dynamischer Systeme beschreibt. Im Entstehungsprozess der Chaostheorie stellte sie die moderne Wissenschaft einfach auf den Kopf! Sie erregte den Geist der Wissenschaftler und zwang sie, sich immer mehr mit der Erforschung des Chaos und seiner Eigenschaften zu befassen. Im Gegensatz zu Lärm, der ein zufälliger Prozess ist, ist Chaos deterministisch. Das heißt, für Chaos gibt es ein Gesetz der Änderung der Größen, die in den Gleichungen zur Beschreibung des chaotischen Prozesses enthalten sind. Es scheint, dass sich Chaos mit dieser Definition nicht von anderen als Funktion beschriebenen Schwingungen unterscheidet. Aber das ist nicht so. Chaotische Systeme reagieren sehr empfindlich auf Anfangsbedingungen und kleinste Veränderungen in ihnen können zu enormen Unterschieden führen. Diese Unterschiede können so stark sein, dass es unmöglich ist zu sagen, ob ein oder mehrere Systeme untersucht wurden. Aus populärwissenschaftlichen Quellen lässt sich diese Eigenschaft des Chaos am besten durch einen Prozess namens „ Schmetterling-Effekt„Viele Menschen haben davon gehört und sogar Bücher gelesen und Filme gesehen, in denen die Technik des Schmetterlingseffekts zum Einsatz kam. Im Wesentlichen spiegelt der Schmetterlingseffekt die Haupteigenschaft des Chaos wider.“

Der amerikanische Wissenschaftler Edward Lorenz, einer der Pioniere auf dem Gebiet des Chaos, sagte einmal:

Ein Schmetterling, der in Iowa mit den Flügeln schlägt, kann eine Lawine von Auswirkungen auslösen, die in der Regenzeit in Indonesien ihren Höhepunkt erreichen könnte.

Tauchen wir also in die Chaostheorie ein und sehen wir, welche improvisierten Mittel Chaos erzeugen können.

Theorie

Bevor ich das Hauptmaterial vorstelle, möchte ich einige Definitionen geben, die zum Verständnis und zur Klärung einiger Punkte des Artikels beitragen.

Dynamisches System– Dies ist eine bestimmte Menge von Elementen, für die eine funktionale Beziehung zwischen der Zeitkoordinate und der Position jedes Elements des Systems im Phasenraum angegeben wird. Einfach ausgedrückt ist ein dynamisches System ein System, dessen Zustand im Raum sich im Laufe der Zeit ändert.
Viele physikalische Prozesse in der Natur werden durch Gleichungssysteme beschrieben, bei denen es sich um dynamische Systeme handelt. Dies sind beispielsweise Verbrennungsprozesse, Strömungen von Flüssigkeiten und Gasen, das Verhalten von Magnetfeldern und elektrischen Schwingungen, chemische Reaktionen, meteorologische Phänomene, Veränderungen in Populationen von Pflanzen und Tieren, Turbulenzen in Meeresströmungen, die Bewegung von Planeten und sogar Galaxien. Wie Sie sehen, können viele physikalische Phänomene in gewisser Weise als chaotischer Prozess beschrieben werden.

Phasenporträt ist eine Koordinatenebene, in der jeder Punkt dem Zustand eines dynamischen Systems zu einem bestimmten Zeitpunkt entspricht. Mit anderen Worten handelt es sich um ein räumliches Modell des Systems (kann zweidimensional, dreidimensional und sogar vierdimensional oder mehr sein).

Attraktor– eine bestimmte Menge des Phasenraums eines dynamischen Systems, für die alle Trajektorien im Laufe der Zeit von dieser Menge angezogen werden. Vereinfacht ausgedrückt ist dies ein bestimmter Bereich, in dem sich das Verhalten des Systems im Raum konzentriert. Viele chaotische Prozesse sind Attraktoren, weil sie sich auf einen bestimmten Raumbereich konzentrieren.

Implementierung

In diesem Artikel möchte ich über die vier Hauptattraktoren sprechen – Lorentz, Ressler, Rikitake und Nose-Hoover. Neben der theoretischen Beschreibung reflektiert der Artikel Aspekte der Schaffung dynamischer Systeme in der Umwelt MATLAB Simulink und deren weitere Integration in das FPGA des Unternehmens Xilinx Verwendung des Tools Systemgenerator. Warum nicht VHDL/Verilog? Es ist möglich, Attraktoren mit RTL-Sprachen zu synthetisieren, aber für eine bessere Visualisierung aller Prozesse ist MATLAB die ideale Option. Ich werde nicht auf die komplexen Probleme eingehen, die mit der Berechnung des Spektrums von Lyapunov-Exponenten oder der Konstruktion von Poincaré-Abschnitten verbunden sind. Und noch mehr: Es wird keine umständlichen mathematischen Formeln und Schlussfolgerungen geben. Also lasst uns anfangen.

Um Chaosgeneratoren zu erstellen, benötigen wir folgende Software:

• MATLAB R2014 mit Lizenz für Simulink und DSP Toolbox.
• Xilinx ISE Design Suite 14.7 mit System-Generator (DSP Edition)-Lizenz

Diese Programme sind ziemlich umfangreich. Seien Sie also geduldig, wenn Sie sie installieren. Es ist besser, die Installation mit MATLAB zu starten und erst dann die Xilinx-Software zu installieren (mit einer anderen Reihenfolge konnten einige meiner Freunde eine Anwendung nicht in eine andere integrieren). Bei der Installation von Letzterem erscheint ein Fenster, in dem Sie Simulink und System Generator verknüpfen können. Da bei der Installation nichts Kompliziertes oder Ungewöhnliches ist, verzichten wir auf diesen Vorgang.

Lorentz-Attraktor

Lorentz-Attraktor ist vielleicht das berühmteste dynamische System in der Chaostheorie. Seit mehreren Jahrzehnten erregt die Beschreibung bestimmter physikalischer Prozesse bei vielen Forschern große Aufmerksamkeit. Der Attraktor wurde erstmals 1963 in den Arbeiten von E. Lorenz erwähnt, der sich mit der Modellierung atmosphärischer Phänomene beschäftigte. Der Lorentz-Attraktor ist ein dreidimensionales dynamisches System nichtlinearer autonomer Differentialgleichungen erster Ordnung. Es hat eine komplexe topologische Struktur, ist asymptotisch stabil und Lyapunov-stabil. Der Lorentz-Attraktor wird durch das folgende Differentialgleichungssystem beschrieben:

In der Formel bedeutet ein Punkt über einem Parameter die Bildung einer Ableitung, die die Änderungsrate einer Größe in Bezug auf den Parameter (die physikalische Bedeutung der Ableitung) widerspiegelt.

Mit Parameterwerten σ = 10, R= 28 und B= 8/3 Dieses einfache dynamische System wurde von E. Lorentz erhalten. Lange Zeit konnte er nicht verstehen, was mit seinem Computer geschah, bis ihm schließlich klar wurde, dass das System chaotische Eigenschaften aufwies! Es wurde während Experimenten zum Problem der Modellierung der Flüssigkeitskonvektion gewonnen. Darüber hinaus beschreibt dieses dynamische System das Verhalten folgender physikalischer Prozesse:

• – Modell eines Singlemode-Lasers,
• – Konvektion in einem geschlossenen Kreislauf und einer flachen Schicht,
• - Drehung des Wasserrades,
• – harmonischer Oszillator mit Trägheitsnichtlinearität,
• – Turbulenzen von Wolkenmassen usw.

Die folgende Abbildung zeigt das Lorentz-Attraktorsystem in MATLAB:

Die Abbildung verwendet eine Reihe der folgenden Symbole:

• Subtrahierer: SUB0-3;
• Multiplikatoren durch Konstante: SIGMA, B, R;
• Multiplikatoren: MULT0-1;
• Integratoren mit einer Zelle zur Angabe der Anfangsbedingung: INTEGRATOR X,Y,Z;
• OUT-Ports: DATEN X,Y,Z für Signale XSIG, YSIG, ZSIG;

Darüber hinaus zeigt das Diagramm zusätzliche Analysetools:

• Berechnungsergebnisse in einer Datei speichern: Zum Arbeitsbereich X,Y,Z;
• Konstruktion räumlicher Graphen: Diagramm XY, YZ, XZ;
• Konstruktion von Zeitdiagrammen: Umfang XYZ;
• Werkzeuge zur Schätzung der belegten Kristallressourcen und zur Generierung von HDL-Code aus dem Modell " Ressourcenschätzer" Und " Systemgenerator».

Innerhalb jedes Knotens mathematischer Operationen ist es notwendig, die Bittiefe der Zwischendaten und deren Typ anzugeben. Leider ist es nicht so einfach, in FPGAs mit Gleitkommazahlen zu arbeiten, und in den meisten Fällen werden alle Operationen im Festkommaformat ausgeführt. Eine falsche Einstellung der Parameter kann zu falschen Ergebnissen führen und zu Enttäuschungen beim Aufbau Ihrer Systeme führen. Ich habe mit verschiedenen Größen experimentiert, mich aber für den folgenden Datentyp entschieden: einen 32-Bit-Vektor aus vorzeichenbehafteten Zahlen im Festkommaformat. Für den ganzzahligen Teil sind 12 Bits vorgesehen, für den Bruchteil sind es 20 Bits.

Durch Setzen des Anfangswertes des Systems in den Integratoren X, Y, Z im Triggerblock, z.B. {10, 0, 0} , ich habe das Modell laufen lassen. In der Zeitbasis sind folgende drei Signale zu beobachten:


Selbst wenn die Simulationszeit gegen unendlich geht, wird die zeitliche Implementierung nie wiederholt. Chaotische Prozesse sind nicht periodisch.

Im dreidimensionalen Raum sieht der Lorentz-Attraktor folgendermaßen aus:

Es ist ersichtlich, dass der Attraktor zwei Anziehungspunkte hat, um die herum der gesamte Prozess abläuft. Bei einer geringfügigen Änderung der Anfangsbedingungen wird sich der Prozess ebenfalls auf diese Punkte konzentrieren, seine Flugbahnen werden sich jedoch erheblich von der vorherigen Version unterscheiden.

Rössler-Attraktor

Der zweite Attraktor in Bezug auf die Anzahl der Erwähnungen in wissenschaftlichen Artikeln und Veröffentlichungen. Für Rössler-Attraktor gekennzeichnet durch das Vorhandensein eines Grenzpunkts für die Manifestation chaotischer oder periodischer Eigenschaften. Unter bestimmten Parametern eines dynamischen Systems hören die Schwingungen auf, periodisch zu sein und es entstehen chaotische Schwingungen. Eine der bemerkenswerten Eigenschaften des Rössler-Attraktors ist die fraktale Struktur in der Phasenebene, also das Phänomen der Selbstähnlichkeit. Es ist zu beachten, dass andere Attraktoren in der Regel diese Eigenschaft besitzen.

Der Rössler-Attraktor wird in vielen Systemen beobachtet. Es wird beispielsweise zur Beschreibung von Flüssigkeitsströmen und auch zur Beschreibung des Verhaltens verschiedener chemischer Reaktionen und molekularer Prozesse verwendet. Das Rössler-System wird durch die folgenden Differentialgleichungen beschrieben:

In der MATLAB-Umgebung ist der Attraktor wie folgt aufgebaut:

Zeitliche Realisierung räumlicher Größen:

Dreidimensionales Modell des Rössler-Attraktors:

Bumm! Die Werte haben sich leicht geändert:

Attraktor mit leicht veränderten Anfangsbedingungen (andere Flugbahnen!)

Attraktor mit unterschiedlichen Koeffizienten im Gleichungssystem (aus dem chaotischen Prozess ist ein periodischer geworden!)

Vergleichen Sie Bilder dreidimensionaler Attraktoren für verschiedene Anfangsbedingungen und Koeffizienten im Gleichungssystem. Sehen Sie, wie sich die Bewegungsbahnen im ersten Fall dramatisch veränderten? Aber auf die eine oder andere Weise konzentrieren sie sich in der Nähe eines einzigen Anziehungspunkts. Im zweiten Fall zeigte der Attraktor überhaupt keine Anzeichen von Chaos mehr und verwandelte sich in eine geschlossene periodische Schleife (Grenzzyklus).

Attraktor Rikitake

Dynamo Rikitake– eines der bekanntesten dynamischen Systeme dritter Ordnung mit chaotischem Verhalten. Es ist ein Modell eines Doppelscheibendynamos und wurde erstmals bei Problemen der chaotischen Umkehrung des Erdmagnetfeldes vorgeschlagen. Der Wissenschaftler Rikitake untersuchte ein Dynamosystem mit zwei miteinander verbundenen Scheiben, das so aufgebaut war, dass der Strom von einer Spule der Scheibe in die andere floss und die zweite Scheibe erregte und umgekehrt. Ab einem bestimmten Punkt begann das System zu versagen und unvorhersehbare Dinge zu zeigen. Aktive Studien des Attraktors ermöglichten es, den Rikitake-Dynamo auf ein Modell der Verbindung großer Magnetfeldwirbel im Erdkern zu projizieren.

Rikitakes Dynamo wird durch das folgende Gleichungssystem beschrieben:

Rikitake-Dynamomodell in MATLAB:

Temporäre Umsetzung:

Attraktor (erste Version):

Dynamo (zweite Version)

Möglicherweise stellen Sie fest, dass der Rikitake-Dynamo dem Lorentz-Attraktor etwas ähnelt, es handelt sich jedoch um völlig unterschiedliche Systeme, die unterschiedliche physikalische Prozesse beschreiben!

Nasensauger-Attraktor

Ein weniger bekanntes, aber nicht weniger wichtiges dreidimensionales dynamisches System ist Nose-Hoover-Thermostat. Wird in der Molekulartheorie als zeitumkehrbares Thermostatsystem verwendet. Leider weiß ich über diesen Attraktor nicht so viel wie über die anderen, aber ich fand ihn interessant und habe ihn in die Rezension aufgenommen.

Der Nose-Hoover-Thermostat wird durch das folgende Gleichungssystem beschrieben:

Nose-Hoover-Modell in MATLAB:

Temporäre Umsetzung:

1

Der Artikel widmet sich der Verwendung der Methode des analytischen Entwurfs aggregierter Regler zur Entwicklung von Regelgesetzen für typische nichtlineare dynamische Systeme mit chaotischer Dynamik, die die Stabilisierung von Gleichgewichtszuständen in solchen Systemen gewährleisten. Der Artikel präsentiert eine Lösung für eines der charakteristischen Probleme der antichaotischen Kontrolle, nämlich das Problem der Unterdrückung aperiodischer Schwingungen in solchen Systemen. Es wurden synergetische Kontrollgesetze für chaotische Lorentz- und Ressler-Modelle entwickelt, die eine Stabilisierung der Phasenvariablen in diesen Modellen gewährleisten. Die Einführung synthetisierter Rückkopplungen führt zur Entstehung eines Gleichgewichtszustands in Systemen. Es wurde eine Computermodellierung synthetisierter geschlossener dynamischer Systeme durchgeführt, die die theoretischen Bestimmungen der synergetischen Kontrolltheorie bestätigt. Die synthetisierten Steuergesetze können in verschiedenen technischen Anwendungen eingesetzt werden, um die Effizienz ihrer Funktionsweise zu verbessern.

Lorentz-Modell

Ressler-Modell

dynamisches System

Kontrolle

Synergetik

Rückkopplung

Selbstschwingungen

1. Anishchenko V.S., Vadivasova T.E. Vorlesungen zur nichtlinearen Dynamik // Nachrichten von Hochschulen. Angewandte nichtlineare Dynamik. – 2010. – T. 18. – Nr. 3. – S. 186–191.

2. Kolesnikov A.A. Angewandte Synergetik: Grundlagen der Systemsynthese. – Taganrog: Verlag TTI SFU, 2007. – 384 S.

3. Kolesnikov A.A. Theorie des synergetischen Managements. – M.: Energoatomizdat, 1994. – 344 S.

4. Malinetsky G.G. Chaos. Strukturen. Computerexperiment: Einführung in die nichtlineare Dynamik. – M.: Editorial URSS, 2002. – 255 S.

5. Neymark Yu.I., Landa P.S. Stochastische und chaotische Schwingungen. – M.: Nauka, 1987. – 424 S.

6. Moderne angewandte Managementtheorie. Teil II: Synergetischer Ansatz zur Kontrolltheorie / Hrsg. Hrsg. A.A. Kolesnikowa. – M.-Taganrog: TRTU Publishing House, 2000. – 558 S.

7. Lorenz E.N. Deterministischer nichtperiodischer Fluss // J. Atmos. Wissenschaft. – 1963. – Nr. 20. – S. 130–133.

8. Rossler O.E. Eine Gleichung für kontinuierliches Chaos // Phys. Lette. A. – 1976. – Bd. 57A, Nr. 5. – S. 397–398.

Heutzutage ist die Verwendung des Begriffs „Chaos“ in der wissenschaftlichen Forschung mit der Notwendigkeit verbunden, Systeme zu beschreiben, die sich durch eine auf den ersten Blick völlig zufällige Dynamik und gleichzeitig das Vorhandensein einer verborgenen Ordnung in ihnen auszeichnen.

Das recht dringende wissenschaftliche Problem der Kontrolle chaotischer Dynamiken ist derzeit nicht gelöst. Unter den zahlreichen verfügbaren Aspekten seiner Lösung kann die Untersuchung verschiedener Methoden und Gesetze zur Unterdrückung unregelmäßiger Schwingungen in nichtlinearen Systemen, die durch das Vorhandensein chaotischer Dynamik gekennzeichnet sind, als äußerst wichtig identifiziert werden.

Das Problem der Steuerung nichtlinearer Systeme mit chaotischer Dynamik ist von großer praktischer Bedeutung. Es ist erwähnenswert, dass es hier nicht nur um den Kampf gegen das Chaos geht, das oft die Funktionsfähigkeit komplexer Systeme beeinträchtigt, sondern auch um die Idee der Entstehung der sogenannten „Ordnung aus dem Chaos“, die ist für eine Reihe technologischer Prozesse geeignet.

Das Problem der Unterdrückung unregelmäßiger Schwingungen ist eines der charakteristischsten Probleme der Regelung von Modellen mit chaotischer Dynamik und besteht darin, Regelungsmaßnahmen so zu gestalten, dass eine Stabilisierung eines zunächst chaotischen Modells in einem stabilen stationären Zustand gewährleistet ist. Im Folgenden wird davon ausgegangen, dass es möglich ist, die Dynamik des Modells mit Hilfe einer externen Steuereinwirkung zu beeinflussen, die additiv in die rechte Seite einer seiner Differentialgleichungen eingeht.

Zweck der Studie. In dieser Arbeit haben wir das Problem gelöst, skalare Kontrollgesetze zu konstruieren, die die Unterdrückung chaotischer Schwingungen in typischen chaotischen Systemen von Lorenz und Rössler gewährleisten, in denen die unregelmäßigen Schwingungen der ursprünglichen Modelle in einem stabilen Gleichgewichtszustand stabilisiert werden. Probleme ähnlicher Art treten auf, wenn unerwünschte Vibrationen von Bauwerken, verschiedene Geräusche usw. beseitigt werden müssen. .

Materialien und Forschungsmethoden

Eine der Methoden zur effektiven Lösung des komplexen Problems der Chaoskontrolle und zur Synthese objektiver Gesetze zur Steuerung nichtlinearer Systeme mit chaotischer Dynamik ist die von Professor A.A. vorgeschlagene Methode des analytischen Entwurfs aggregierter Regler (ACAR). Kolesnikow.

Die Konstruktion skalarer Regler durch die Methode des analytischen Entwurfs aggregierter Regler basiert auf der Einführung einer Folge invarianter Mannigfaltigkeiten abnehmender geometrischer Dimension und der anschließenden schrittweisen dynamischen Zerlegung des ursprünglichen dynamischen Systems. In diesem Fall bewegt sich der darstellende Punkt (IT) des Systems, der sich von einem beliebigen Anfangszustand aus zu bewegen beginnt, sequentiell von einer Anziehungsfläche zur anderen, bis er die Endfläche der Form ψ1 = 0 → ψ2 = 0 → erreicht. .. → ψm = 0. „Interne“ Mannigfaltigkeiten sind topologisch in „externe“ Mannigfaltigkeiten eingebettet. Somit entsteht im synthetisierten System ein interner Prozess der Selbstverwaltung. Als Ergebnis kommt es zu einer Kaskadenbildung einer Folge interner Kontrollen, die das Phasenvolumen des Systems in der Richtung vom externen Bereich des Phasenraums zum Satz ineinander verschachtelter interner Bereiche komprimieren, bis die IT den gewünschten Wert erreicht Zustand des Systems.

Nehmen wir an, dass es im Zustandsraum eines geschlossenen Systems eine anziehende invariante Mannigfaltigkeit der Form ψ(x) = 0 gibt, die den asymptotischen Grenzwert von Phasentrajektorien darstellt. Im Allgemeinen kann es mehrere solcher Sorten geben. In der Regel stimmt die Anzahl der invarianten Mannigfaltigkeiten mit der Anzahl der Steuerkanäle überein. Dann beginnt der darstellende Punkt des Systems zum Schnittpunkt invarianter Mannigfaltigkeiten zu tendieren. Eine notwendige Bedingung dafür, dass der darstellende Punkt des geschlossenen Systems „Objekt-Controller“ auf die invariante Mannigfaltigkeit ψ(x) = 0 fällt, ist, dass seine Bewegung eine stabile Differentialgleichung erfüllt, die in Bezug auf die aggregierte Makrovariable ψ(x) geschrieben wurde. Eine solche Gleichung wird in der synergetischen Kontrolltheorie als funktional oder evolutionär bezeichnet. Typischerweise wird ein System funktionaler Gleichungen als System gewöhnlicher Differentialgleichungen erster Ordnung der Form spezifiziert

S = 1, 2, ..., m, Ts > 0.

Dabei ist m die Anzahl gegebener invarianter Mannigfaltigkeiten; Ts ist der Steuerparameter, φ s (ψ s) ist eine Funktion, die die folgenden Bedingungen erfüllen muss:

1) φ s (ψ s) muss für alle ψs stetig, eindeutig und differenzierbar sein;

2) φ s (0) = 0;

3) φ s (ψ s ) > 0 für jede 0,

diese. sie verschwinden nur auf Mannigfaltigkeiten φ s = 0, gegenüber denen das System gegebener Funktionsgleichungen als Ganzes asymptotisch stabil ist.

Die ACAR-Methode verwendet in der Regel Funktionsgleichungen:

diese. φ s (ψ s ) = ψ s 0. Gleichungen dieser Art zeichnen sich, wie man sieht, durch asymptotische Stabilität bezüglich der Mannigfaltigkeit ψ s = 0 unter der Bedingung Ts > 0 aus.

In dieser Situation wird das Problem der Synthese der Gesetze zur Stabilisierung der Kontrolle chaotischer Modelle im allgemeinen Fall wie folgt formuliert. Es ist notwendig, die Funktion uS(x) als eine bestimmte Menge von Rückkopplungen zu finden, die die Übertragung des darstellenden Punktes des ursprünglichen chaotischen Modells von beliebigen Anfangsbedingungen in einem zulässigen Bereich in einen gegebenen Zustand (Zustandsmenge) gewährleisten, der entspricht in einen stabilen Modus. Im einfachsten Fall geht die Steuerung nur in eine Differentialgleichung des ursprünglichen Systems ein. Es kann Optionen geben, wenn sich dieselbe Steueraktion in verschiedenen Zeilen des Quellsystems befindet.

Ein charakteristischer Aspekt der Formulierung des Problems der synergetischen Synthese von Kontrollgesetzen ist das Vorhandensein einer zusätzlichen Anforderung für die Bewegung des Systems vom Anfangszustand in den Endzustand, die in der asymptotischen Anziehung der Phasentrajektorien des Systems besteht zu einer bestimmten invarianten Mannigfaltigkeit (Schnittpunkt von Mannigfaltigkeiten) im Zustandsraum (SS) des Systems.

Die Einführung einer stabilisierenden Rückkopplung in die Gleichungen des ursprünglichen Modells führt zu einer gezielten Änderung der Topologie seines Zustandsraums. Als Ergebnis einer solchen Umstrukturierung verschwindet der chaotische Attraktor und es entsteht ein regulärer „Punkt“-Attraktor, der dem gewünschten Gleichgewichtsverhalten entspricht.

Forschungsergebnisse und Diskussion

Betrachten wir die Phasen des implementierten Verfahrens zur Synthese eines stabilisierenden Kontrollgesetzes unter Verwendung der AKAR-Methode für ein chaotisches Lorentz-System.

Das Lorentz-Modell wurde ursprünglich aus den Navier-Stokes- und Wärmeleitfähigkeitsgleichungen abgeleitet, um die Möglichkeit der Vorhersage von Wetterbedingungen bei variierenden Kontrollparametern zu untersuchen. Das Modell beschreibt die Bewegung konvektiver Rollen in einer Flüssigkeit mit einem Temperaturgradienten.

Das Modell stellt das folgende System aus drei gewöhnlichen Differentialgleichungen dar:

wobei σ die Prandtl-Zahl ist; ρ – normalisierte Rayleigh-Zahl; Parameter b hängt vom gegenseitigen Abstand der Ebenen und der horizontalen Periode ab.

Reis. 1. Chaotischer Attraktor des Lorentz-Systems

In diesem System kommt es unter bestimmten Bedingungen zu chaotischen Schwingungen. In Abb. Abbildung 1 zeigt die Phasentrajektorie des Systems für Parameterwerte σ = 10, ρ = 24, b = 8/3 im deterministischen Chaosmodus. In diesem dynamischen System wurden erstmals stochastische Selbstoszillationen untersucht. Der chaotische Attraktor des Systems (1) unterscheidet sich grundlegend von den chaotischen Attraktoren der meisten Modelle der nichtlinearen Dynamik. Seine Struktur entspricht voll und ganz einem seltsamen Attraktor und zeichnet sich durch das Vorhandensein nur einer sattelartigen Bewegung aus.

Nehmen wir an, dass die Steuerwirkung u1 in Form einer internen Rückkopplung in der ersten Gleichung des Systems (1) enthalten ist:

Lassen Sie uns eine invariante Variante der Form einführen

wobei μ ein Steuerparameter ist.

Wenn wir die Funktion ψ1 (3) nach der Zeit differenzieren und ihre Ableitung in die Funktionsgleichung einsetzen

wir erhalten das gewünschte Kontrollgesetz:

Das Kontrollgesetz (5) sorgt für die Übertragung des durch Rückkopplung (5) geschlossenen Darstellungspunktes des Systems (2) auf die invariante Mannigfaltigkeit ψ1 = 0.

Die Dynamik der Bewegung des darstellenden Punkts des Modells entlang einer gegebenen invarianten Mannigfaltigkeit wird mithilfe der Differentialgleichungen des zerlegten Modells beschrieben, die nach Einsetzen des Ausdrucks aus der Gleichung ψ1 = 0 (3) in die zweite und dritte Gleichung gebildet werden des Systems (2):

(6)

Reis. 2. Phasenporträts der Systeme (2), (5) und (6)

Reis. Abbildung 2 zeigt die Ergebnisse der numerischen Simulation des Systems (2), (5) mit Werten der Kontrollparameter σ = 10, ρ = 24, b = 8/3, charakteristisch für die Existenz eines chaotischen Lorentz-Attraktors und Werte der Reglerparameter T1 = 0,1, μ = 4, die die Wirksamkeit der theoretischen Bestimmungen der AKAR-Methode bestätigen. Die erste Gleichung im zerlegten System (6) ist völlig identisch mit der grundlegenden Evolutionsgleichung der Synergetik mit einer gabelartigen Bifurkation.

Konstruieren wir ein stabilisierendes Kontrollgesetz mit der ACAR-Methode für das Ressler-Modell. Das Rössler-Modell ist ein nichtlineares dynamisches System von Differentialgleichungen dritter Ordnung der Form:

wobei a, b, c Steuerparameter sind.

System (7) wurde von Ressler vorgeschlagen, um die Wechselwirkungsprozesse einer Reihe chemischer Substanzen zu modellieren. Dieses System wird aufgrund des Vorhandenseins charakteristischer Anzeichen für das Auftreten und Vorhandensein chaotischer Dynamiken häufig in verschiedenen wissenschaftlichen Studien zu Phänomenen unterschiedlicher Natur verwendet. Reis. Abbildung 3 zeigt den chaotischen Attraktor des Rössler-Systems mit Parameterwerten a = b = 0,2; c = 9.

Nehmen wir an, dass die Steuerwirkung in der zweiten Gleichung des ursprünglichen Systems (7) enthalten ist:

Typ der invarianten Mannigfaltigkeit

und Funktionsgleichung (4) ermöglichen es uns, das gewünschte Kontrollgesetz zu erhalten:

(10)

Das Regelgesetz (10) gewährleistet die Überführung des durch die Rückkopplung (10) geschlossenen Darstellungspunktes der Regelstrecke (8) auf die invariante Mannigfaltigkeit ψ2 = 0 (9).

Reis. 3. Chaotischer Attraktor des Rössler-Systems

Die Art der Bewegung des Systems entlang der invarianten Mannigfaltigkeit ψ2 = 0 wird durch das zerlegte Modell beschrieben:

(11)

wobei in der ersten Zeile die Gabelungsgleichung vorliegt.

Reis. 4. Phasenporträts der Systeme (8), (10) und (11)

Reis. Abbildung 4 zeigt die erhaltenen Ergebnisse der numerischen Simulation des geschlossenen Regelkreissystems (8), (10) für die Werte der Modellsteuerparameter a = b = 0,2; c = 9, die für die Entstehung eines chaotischen Attraktors charakteristisch sind, sowie die Werte der Reglerparameter T2 = 0,1; μ = 25.

In beiden erhaltenen zerlegten Modellen (6), (11) stimmen die in der ersten Zeile befindlichen Gleichungen mit der grundlegenden Evolutionsgleichung der Synergetik mit einer gabelartigen Bifurkation überein. In dieser Hinsicht können wir die natürliche Natur der synthetisierten Gesetze der stabilisierenden Kontrolle der ursprünglichen chaotischen Systeme und die bestehende Einheit und interne Verbindung der universellen Evolutionsgleichungen der nichtlinearen Theorie der Selbstorganisation und Synergetik bestätigen.

Die natürliche Natur der synthetisierten Kontrollgesetze beruht zunächst auf dem Vorhandensein einer Reihe typischer Bifurkationseigenschaften in geschlossenen Systemen.

Als Ergebnis der Studie wurde eine Reihe von Rückkopplungsverbindungen synthetisiert. Beim Schließen der anfänglichen chaotischen Systeme kommt es zu einer Änderung der Art ihres Verhaltens und zur Umwandlung eines chaotischen Attraktors in einen „Punkt“-Attraktor. Die erhaltenen Kontrollgesetze u1 (5) und u2 (10) sorgen garantiert für asymptotische Stabilität im gesamten Phasenraum relativ zu den gewünschten Gleichgewichtszuständen bei Werten des Parameters μ< 0 или μ >0 für die entsprechenden anfänglichen chaotischen Modelle. Die erhaltenen Gesetze u1 (5) und u2 (10) gehören zur Klasse der objektiven Kontrollgesetze, die Lorentz- und Ressler-Systeme, die eine chaotische Dynamik aufweisen, in die grundlegenden Evolutionsgleichungen der Theorie der Selbstorganisation und Synergetik umwandeln.

Die synthetisierten Kontrollgesetze u1 (5) und u2 (10) sind originell und universell. Sie können bei der Gestaltung von Regelsystemen für verschiedene Zwecke eingesetzt werden und erhöhen so die Effizienz ihres Betriebs erheblich.

Bibliografischer Link

Kucherova V.Yu., Petkov V.N., Artamonov P.A. Anwendung der AKAR-Methode zur Lösung des Problems der Stabilisierung von Gleichgewichtszuständen typischer nichtlinearer Systeme // Grundlagenforschung. – 2016. – Nr. 5-2. – S. 264-268;
URL: http://fundamental-research.ru/ru/article/view?id=40286 (Zugriffsdatum: 15.01.2020). Wir machen Sie auf Zeitschriften des Verlags „Academy of Natural Sciences“ aufmerksam.

Material aus Wikipedia – der freien Enzyklopädie

Rössler-Attraktor- chaotischer Attraktor, den das System der Differentialgleichungen von Rössler besitzt:

$\backslash left\; \backslash (\; \backslash begin(matrix)\; \backslash frac(dx)(dt)\; =\; -y\; -\; z\; \backslash \backslash \; \backslash frac(dy)(dt)\; =\; x\; +\; ay\; \backslash \backslash \; \backslash frac(dz)(dt)\; =\; b\; +\; z\; (x-c)\backslash end(matrix)\backslash right.$ ;

Wo $ABC$- positive Konstanten. Mit Parameterwerten $a\; =\; b\; =\; 0,2$ Und $2,\; 6\; \backslash le\; c\; \backslash le\; 4,2$ Rösslers Gleichungen haben einen stabilen Grenzzyklus. Für diese Parameterwerte durchlaufen Periode und Form des Grenzzyklus eine Periodenverdopplungssequenz. Unmittelbar nach dem Punkt $c\; =\; 4,2$ es entsteht das Phänomen eines chaotischen Attraktors. Gut definierte Linien von Grenzzyklen verwischen und füllen den Phasenraum mit einer unendlichen abzählbaren Menge von Trajektorien, die die Eigenschaften eines Fraktals haben.

Manchmal werden Rössler-Attraktoren für eine Ebene konstruiert, also mit $z\; =\; 0$.

$\backslash left\; \backslash (\; \backslash begin(matrix)\; \backslash frac(dx)(dt)\; =\; -y\; \backslash \backslash \; \backslash frac(dy)(dt)\; =\; x\; +\; ay\; \backslash end(matrix)\; \backslash right.$

Nachhaltige Lösungen für $x,\; y$ kann durch Berechnung des Eigenvektors der Jacobi-Matrix der Form gefunden werden , wofür $\backslash frac\; (a\; \backslash pm\; \backslash sqrt(a^2\; -\; 4))\; (2)$.

{2}

Daraus ist klar, wann , die Eigenvektoren sind komplex und haben positive Realkomponenten, was den Attraktor instabil macht. Jetzt betrachten wir das Flugzeug $Z$ im gleichen Bereich $A$. Tschüss $X$ weniger $C$, Parameter $C$ hält die Flugbahn nahe am Flugzeug $x,\; y$. Sobald $X$ Da wird es noch mehr geben $C$, $z$-Die Koordinate beginnt zu steigen und etwas später auch der Parameter $-z$ wird das Wachstum verlangsamen $X$ V $\backslash frac\; (dx)\; (dt)$.

Balancepunkte

Um Gleichgewichtspunkte zu finden, werden die drei Rössler-Gleichungen gleich Null gesetzt und $xyz$-Die Koordinaten jedes Gleichgewichtspunkts werden durch Lösen der resultierenden Gleichungen ermittelt. Zusammenfassend:

$\backslash left\; \backslash (\; \backslash begin(matrix)\; x\; =\; \backslash frac(c\backslash pm\backslash sqrt(c^2-4ab))(2)\; \backslash \backslash \; y\; =\; -\backslash left(\backslash frac(c\backslash pm\backslash sqrt(c^2\; -4ab))(2a)\backslash right)\; \backslash \backslash \; z\; =\; \backslash frac(c\backslash pm\backslash sqrt(c^2-4ab))(2a)\; \backslash end(matrix)\; \backslash right.$

Wie aus Rösslers allgemeinen Attraktorgleichungen hervorgeht, liegt einer dieser Fixpunkte im Zentrum des Attraktors, während die anderen relativ weit vom Zentrum entfernt liegen.

Ändern der Parameter a, b und c

Das Verhalten des Rössler-Attraktors hängt weitgehend von den Werten der konstanten Parameter ab. Das Ändern jedes Parameters hat einen bestimmten Effekt, wodurch das System zu einer periodischen Umlaufbahn, zu einem festen Punkt konvergieren oder in die Unendlichkeit rasen kann. Die Anzahl der Perioden eines Rössler-Attraktors wird durch die Anzahl seiner Windungen um einen zentralen Punkt bestimmt, die vor einer Reihe von Schleifen auftreten.

Bifurkationsdiagramme sind ein Standardwerkzeug zur Analyse des Verhaltens dynamischer Systeme, zu denen auch der Rössler-Attraktor gehört. Sie entstehen durch die Lösung von Systemgleichungen, bei denen zwei Variablen festgelegt und eine geändert wird. Bei der Erstellung eines solchen Diagramms erhält man nahezu vollständig „schattierte“ Bereiche; Dies ist die Region des dynamischen Chaos.

Parameter ändern a

Lass es uns reparieren $b\; =\; 0,2$, $c\; =\; 5,7$ und wir werden uns ändern $A$.

Als Ergebnis erhalten wir experimentell die folgende Tabelle:

• $a\backslash leq\; 0$: Konvergiert zu einem stabilen Punkt.
• $a\; =\; 0,1$: Spins mit einer Periode von 2.
• $a\; =\; 0,2$: Chaos (Standardparameter der Rössler-Gleichungen) .
• $a\; =\; 0,3$: Chaotischer Attraktor.
• $a\; =\; 0,35$: Ähnlich wie beim vorherigen, aber das Chaos ist ausgeprägter.
• $a\; =\; 0,38$: Ähnlich wie beim vorherigen, aber das Chaos ist noch stärker.

Parameter ändern b

Lass es uns reparieren $a\; =\; 0,2$, $c\; =\; 5,7$ und jetzt werden wir den Parameter ändern $B$. Wie aus der Abbildung ersichtlich ist, wann $B$ Da der Attraktor gegen Null tendiert, ist er instabil. Wann $B$ Da wird es noch mehr geben $A$ Und $C$, das System wird sich im Gleichgewicht befinden und in einen stationären Zustand übergehen.

Parameter ändern c

Lass es uns reparieren $a\; =\; b\; =\; 0,1$ und wir werden uns ändern $C$. Aus dem Bifurkationsdiagramm geht hervor, dass es sich um kleine handelt $C$ Das System ist periodisch, aber wenn es zunimmt, wird es schnell chaotisch. Die Zahlen zeigen genau, wie sich das Chaos des Systems mit zunehmender Geschwindigkeit verändert $C$. Zum Beispiel wann $C$= 4 der Attraktor hat eine Periode gleich eins und es wird eine einzelne Linie im Diagramm geben, das Gleiche wird sich wiederholen, wenn $C$= 3 und so weiter; Tschüss $C$ wird nicht größer als 12: Das letzte periodische Verhalten ist durch genau diesen Wert gekennzeichnet, dann entsteht überall Chaos.

Wir veranschaulichen das Verhalten des Attraktors im angegebenen Wertebereich $C$, die das allgemeine Verhalten solcher Systeme veranschaulichen – häufige Übergänge von Periodizität zu dynamischem Chaos.

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Anmerkungen

Links

• Konstrukteur

Literatur

• Voronov V.K., Podoplelov A.V. Moderne Physik: Lehrbuch. M., KomKniga, 2005, 512 S., ISBN 5-484-00058-0, Kap. 2 Physik offener Systeme. S. 2.4 Chaotischer Rössler-Attraktor.

Ein Auszug zur Charakterisierung des Rössler-Attraktors

„Lass mich durch, das sage ich dir“, wiederholte Prinz Andrei noch einmal und schürzte die Lippen.
- Und wer bist du? - Der Beamte drehte sich plötzlich mit betrunkener Wut zu ihm um. - Wer bist du? Sind Sie (er hat Sie besonders hervorgehoben) der Chef, oder was? Ich bin hier der Boss, nicht du. „Du gehst zurück“, wiederholte er, „ich werde dich in ein Stück Kuchen zerschlagen.“
Dem Beamten gefiel dieser Ausdruck offenbar.
„Er hat den Adjutanten ernsthaft rasiert“, war eine Stimme von hinten zu hören.
Prinz Andrei sah, dass der Offizier in diesem betrunkenen Anfall grundloser Wut war, bei dem sich die Leute nicht daran erinnern, was sie sagen. Er sah, dass seine Fürsprache für die Frau des Arztes im Wagen mit dem erfüllt war, was er am meisten auf der Welt fürchtete, dem, was man Spott [lächerlich] nennt, aber sein Instinkt sagte etwas anderes. Bevor der Offizier seine letzten Worte zu Ende bringen konnte, ritt Prinz Andrei mit vor Wut entstelltem Gesicht auf ihn zu und hob seine Peitsche:
- Bitte lass mich rein!
Der Beamte winkte ab und fuhr hastig davon.
„Es liegt alles an ihnen, am Personal, es ist alles ein Chaos“, grummelte er. - Mach was du willst.
Prinz Andrei ritt hastig, ohne den Blick zu heben, von der Frau des Arztes weg, die ihn einen Retter nannte, und galoppierte, als er sich mit Abscheu an die kleinsten Details dieser demütigenden Szene erinnerte, weiter in das Dorf, wo, wie ihm gesagt wurde, der Kommandant- Der Chef befand sich.
Nachdem er das Dorf betreten hatte, stieg er von seinem Pferd und ging zum ersten Haus mit der Absicht, sich mindestens eine Minute auszuruhen, etwas zu essen und all diese beleidigenden Gedanken, die ihn quälten, klar zu machen. „Das ist eine Schar von Schurken, keine Armee“, dachte er, als er sich dem Fenster des ersten Hauses näherte, als eine vertraute Stimme ihn beim Namen rief.
Er blickte zurück. Nesvitskys hübsches Gesicht lugte aus einem kleinen Fenster hervor. Nesvitsky, der mit seinem saftigen Mund etwas kaute und mit den Armen wedelte, rief ihn zu sich.
- Bolkonski, Bolkonski! Hörst du nicht, oder was? „Geh schnell“, rief er.
Als Prinz Andrei das Haus betrat, sah er, wie Nesvitsky und ein anderer Adjutant etwas aßen. Sie wandten sich hastig an Bolkonsky und fragten, ob er etwas Neues wisse. In ihren ihm so vertrauten Gesichtern las Fürst Andrei einen Ausdruck von Besorgnis und Besorgnis. Dieser Ausdruck war besonders auffällig auf Nesvitskys immer lachendem Gesicht.
-Wo ist der Oberbefehlshaber? – fragte Bolkonsky.
„Hier, in diesem Haus“, antwortete der Adjutant.
- Stimmt es, dass es Frieden und Hingabe gibt? – fragte Nesvitsky.
- Ich frage dich. Ich weiß nichts, außer dass ich mit Gewalt zu dir gekommen bin.
- Was ist mit uns, Bruder? Grusel! „Es tut mir leid, Bruder, sie haben Mak ausgelacht, aber für uns ist es noch schlimmer“, sagte Nesvitsky. - Nun, setz dich und iss etwas.
„Nun, Prinz, Sie werden keine Karren oder so etwas finden, und Ihr Peter, Gott weiß wo“, sagte ein anderer Adjutant.
-Wo ist die Hauptwohnung?
– Wir werden die Nacht in Tsnaim verbringen.
„Und ich habe alles, was ich brauchte, auf zwei Pferde geladen“, sagte Nesvitsky, „und sie haben mir hervorragende Rucksäcke gemacht.“ Entfliehen Sie wenigstens durch die böhmischen Berge. Es ist schlimm, Bruder. Geht es dir wirklich schlecht, warum schauderst du so? - fragte Nesvitsky und bemerkte, wie Prinz Andrei zuckte, als würde er ein Leidener Glas berühren.
„Nichts“, antwortete Prinz Andrei.
In diesem Moment erinnerte er sich an seinen jüngsten Zusammenstoß mit der Frau des Arztes und dem Furshtat-Beamten.
-Was macht der Oberbefehlshaber hier? - er hat gefragt.
„Ich verstehe nichts“, sagte Nesvitsky.
„Ich verstehe nur, dass alles ekelhaft, ekelhaft und ekelhaft ist“, sagte Prinz Andrei und ging zu dem Haus, in dem der Oberbefehlshaber stand.
Vorbei an Kutusows Kutsche, den gequälten Pferden des Gefolges und den laut miteinander redenden Kosaken betrat Prinz Andrei den Eingang. Kutuzov selbst war, wie Prinz Andrei erzählt wurde, mit Prinz Bagration und Weyrother in der Hütte. Weyrother war ein österreichischer General, der den ermordeten Schmitt ersetzte. Im Flur hockte der kleine Kozlovsky vor dem Angestellten. Der Angestellte, der auf einer umgedrehten Wanne saß und die Manschetten seiner Uniform hochschlug, schrieb hastig. Kozlovskys Gesicht war erschöpft – er hatte offenbar auch nachts nicht geschlafen. Er sah Prinz Andrei an und nickte ihm nicht einmal zu.
– Zweite Zeile... Hast du es geschrieben? - fuhr er fort und diktierte dem Angestellten: - Kiewer Grenadier, Podolsk...
„Sie werden keine Zeit haben, Euer Ehren“, antwortete der Angestellte respektlos und wütend und blickte zu Kozlovsky zurück.
Zu diesem Zeitpunkt war hinter der Tür Kutusows lebhaft unzufriedene Stimme zu hören, unterbrochen von einer anderen, unbekannten Stimme. Am Klang dieser Stimmen, an der Unaufmerksamkeit, mit der Kozlovsky ihn ansah, an der Respektlosigkeit des erschöpften Schreibers, an der Tatsache, dass der Schreiber und Kozlovsky so dicht neben dem Oberbefehlshaber auf dem Boden neben der Wanne saßen , und durch die Tatsache, dass die Kosaken, die die Pferde hielten, laut unter dem Fenster des Hauses lachten – aus all dem hatte Fürst Andrei das Gefühl, dass etwas Wichtiges und Unglückliches passieren würde.
Prinz Andrei wandte sich mit Fragen dringend an Kozlovsky.
„Jetzt, Prinz“, sagte Kozlovsky. – Disposition zu Bagration.
-Was ist mit der Kapitulation?
- Es gibt keine; Es wurden Kampfbefehle erteilt.
Prinz Andrei ging zur Tür, hinter der Stimmen zu hören waren. Doch gerade als er die Tür öffnen wollte, verstummten die Stimmen im Zimmer, die Tür öffnete sich von selbst, und Kutusow erschien mit seiner Adlernase im runden Gesicht auf der Schwelle.
Prinz Andrei stand Kutusow direkt gegenüber; Aber aus dem Ausdruck des einzigen sehenden Auges des Oberbefehlshabers war klar, dass ihn Gedanken und Sorgen so sehr beschäftigten, dass es seine Sicht zu trüben schien. Er blickte seinem Adjutanten direkt ins Gesicht und erkannte ihn nicht.
- Na, bist du fertig? – er wandte sich an Kozlovsky.
- Genau in dieser Sekunde, Eure Exzellenz.
Bagration, ein kleiner Mann mit orientalischem, festem und regungslosem Gesicht, ein trockener, noch nicht alter Mann, folgte dem Oberbefehlshaber.
„Ich habe die Ehre zu erscheinen“, wiederholte Prinz Andrei ganz laut und überreichte den Umschlag.
- Ach, aus Wien? Bußgeld. Nachher, nachher!
Kutusow ging mit Bagration auf die Veranda.
„Nun, Prinz, auf Wiedersehen“, sagte er zu Bagration. - Christus ist mit dir. Ich segne Sie für diese großartige Leistung.
Kutusows Gesicht wurde plötzlich weicher und Tränen traten in seine Augen. Mit der linken Hand zog er Bagration zu sich, und mit der rechten Hand, an der sich ein Ring befand, kreuzte er ihn offenbar mit einer vertrauten Geste und bot ihm seine dicke Wange an, stattdessen küsste Bagration ihn auf den Hals.

In diesem Buch haben wir einen empirischen Ansatz zu chaotischen Schwingungen gewählt und eine Reihe verschiedener physikalischer Phänomene skizziert, bei denen chaotische Dynamiken eine wichtige Rolle spielen. Natürlich haben nicht alle Leser Zugang zu einem Labor oder eine Vorliebe für Experimente, obwohl die meisten von digitalen Computern Gebrauch machen können. Vor diesem Hintergrund stellen wir in diesem Anhang eine Reihe numerischer Experimente vor, die entweder auf einem Personalcomputer oder einem Mikrocomputer durchgeführt werden können, in der Hoffnung, dass sie dem Leser dabei helfen, die Dynamik mittlerweile klassischer Chaosmodelle zu erkunden.

B.1. LOGISTISCHE GLEICHUNG: VERDOPPELN SIE DIE ZEIT

Eines der einfachsten Probleme, mit denen man mit der Einführung einer neuen Dynamik beginnen kann, muss das Bevölkerungswachstumsmodell oder die logistische Gleichung sein

Phänomene im Zusammenhang mit der Periodenverdoppelung wurden von verschiedenen Forschern beobachtet (siehe zum Beispiel die Arbeit von May) und natürlich von Feigenbaum, der die berühmten Gesetze der Ähnlichkeit von Parametern entdeckte (siehe Kapitel 1 und 5). Mit einem Personalcomputer ist es äußerst einfach, zwei numerische Experimente zu reproduzieren.

Im ersten Experiment haben wir einen Graphen der Abhängigkeit von im Bereich. Der Periodenverdopplungsmodus wird bei den folgenden Werten beobachtet. Beginnend mit können Sie eine Trajektorie mit einer Periode von 1 sehen. Um längere Trajektorien anzuzeigen, markieren Sie die ersten 30–50 Iterationen mit Punkten und die nachfolgenden Iterationen mit einem anderen Symbol.

Durch die grafische Darstellung der Abhängigkeit von können Sie natürlich transiente und stationäre Modi beobachten. Chaotische Flugbahnen sind bei zu erkennen. In der Nähe kann man eine Flugbahn mit einer Periode von 3 erkennen.

Das nächste numerische Experiment bezieht sich auf die Konstruktion eines Bifurkationsdiagramms. Dazu sollten Sie ein Diagramm der Abhängigkeit vom Steuerparameter insgesamt erstellen. Wählen Sie eine Anfangsbedingung aus (z. B. und führen Sie 100 Mapping-Iterationen durch. Zeichnen Sie dann die als Ergebnis der nächsten 50 Iterationen erhaltenen Werte auf der vertikalen Achse und den entsprechenden Wert auf der horizontalen Achse (oder umgekehrt). Wählen Sie a Machen Sie einen Schritt von etwa 0,01 und gehen Sie durch den Bereich On. Im Diagramm sollten Sie an den Periodenverdopplungspunkten klassische Verzweigungen vom Mistgabeltyp erhalten. Können Sie die Feigenbaum-Zahl aus den Daten eines numerischen Experiments bestimmen?

May stellt auch eine Liste numerischer Experimente mit anderen eindimensionalen Abbildungen zur Verfügung, beispielsweise mit der Abbildung

Er beschreibt diese Kartierung als ein Muster des Populationswachstums einer einzelnen Art, das durch eine epidemische Krankheit reguliert wird. Erkunden Sie die Gegend. Der Punkt der Häufung von Periodenverdoppelungen und der Beginn des Chaos entsprechen . Mays Artikel enthält auch Daten zu einigen anderen numerischen Experimenten.

B.2. LORENTZ-GLEICHUNGEN

Ein bemerkenswertes numerisches Experiment, das zweifellos einer Wiederholung würdig ist, ist im Originalwerk von Lorentz enthalten. Lorentz vereinfachte die von Salzman abgeleiteten Gleichungen basierend auf den Gleichungen der thermischen Konvektion in einer Flüssigkeit (siehe Kapitel 3). Die Priorität bei der Entdeckung nichtperiodischer Lösungen der Konvektionsgleichungen liegt, wie Lorenz zugab, bei Salzman. Um chaotische Bewegungen zu untersuchen, wählte Lorentz die heute klassischen Werte der Parameter in den Gleichungen

Die in Abb. 1 und 2 des Artikels von Lorentz können reproduziert werden, indem man die Anfangsbedingungen und den Zeitschritt wählt und die Lösung entweder auf eine Ebene oder auf eine Ebene projiziert

Um die durch diesen Fluss induzierte eindimensionale Abbildung zu erhalten, betrachtete Lorentz aufeinanderfolgende Maxima der Variablen z, die er als Abhängigkeitsdiagramm bezeichnete. Es zeigte sich, dass in diesem Fall die Abbildung durch eine Kurve gegeben ist, die der Form des Daches eines Hauses ähnelt. Anschließend untersuchte Lorentz eine vereinfachte Version dieser Abbildung, die sogenannte „Haustyp-Abbildung“, eine bilineare Version der logistischen Gleichung

B.3. INTERMITABILITÄT UND LORENTZ-GLEICHUNGEN

Ein klares Beispiel für Intermittenz ist die numerische Integration der Lorentz-Gleichungen mithilfe eines Computers:

mit Parametern nach der Runge-Kutta-Methode. Wenn Sie eine periodische Flugbahn erhalten, werden jedoch immer mehr „Ausbrüche“ oder chaotische Geräusche auftreten (siehe die Arbeit von Manneville und Pomo). Durch Messen der durchschnittlichen Anzahl N periodischer Zyklen zwischen Bursts (laminare Phase) sollten Sie das Ähnlichkeitsgesetz erhalten

B.4. ATTRAKTOR VON OENON

Eine Verallgemeinerung der quadratischen Abbildung auf einer Geraden für den zweidimensionalen Fall (auf einer Ebene) wurde vom französischen Astronomen Hénon vorgeschlagen:

Die Hénon-Karte reduziert sich auf die von May und Feigenbaum untersuchte Logistikkarte. Zu den Werten von a und b, bei denen ein seltsamer Attraktor auftritt, gehören insbesondere . Konstruieren Sie einen Graphen dieser Abbildung auf einer Ebene und beschränken Sie ihn auf ein Rechteck. Nachdem Sie einen Attraktor erhalten haben, richten Sie Ihre Aufmerksamkeit auf einen kleinen Bereich davon und vergrößern Sie diesen Bereich mithilfe einer Ähnlichkeitstransformation. Verfolgen Sie eine wesentlich größere Anzahl von Mapping-Iterationen und versuchen Sie, fraktale Strukturen im kleinen Maßstab aufzudecken. Wenn Sie genug Geduld haben oder einen schnellen Computer zur Hand haben, dann führen Sie eine weitere Ähnlichkeitstransformation durch und wiederholen Sie dies noch einmal für einen noch kleineren Bereich des Attraktors (siehe Abb. 1.20, 1.22).

Wenn Sie über ein Programm zur Berechnung von Lyapunov-Exponenten verfügen, sollten Sie bedenken, dass der Wert des Lyapunov-Exponenten in der Literatur angegeben ist und die fraktale Dimension des Attraktors in der Henon-Karte gleich ist. Durch Variation der Parameter a und b können Sie versuchen, den Bereich dieser Werte zu bestimmen, in denen der Attraktor existiert, und den Bereich der Periodenverdopplung auf der Ebene (a, b) zu ermitteln.

B.5. DUFFING-GLEICHUNG: UEDA-ATTRAKTOR

Dieses Modell eines Stromkreises mit nichtlinearer Induktivität wurde im Kapitel diskutiert. 3. Die Gleichungen dieses Modells, geschrieben in Form eines Gleichungssystems erster Ordnung, haben die Form

Chaotische Schwingungen in diesem Modell wurden von Ueda eingehend untersucht. Verwenden Sie einen standardmäßigen numerischen Integrationsalgorithmus, beispielsweise das Runge-Kutta-Schema vierter Ordnung, und betrachten Sie den Fall. Wenn Sie eine periodische Trajektorie mit Periode 3 erhalten sollten. (Führen Sie den Poincaré-Abschnitt bei aus) In der Nähe des Wertes sollte die Trajektorie mit Periode 3 nach der Gabelung in eine chaotische Bewegung übergehen.

Bei einem vorübergehenden chaotischen Regime wird die Periodizität wieder wiederhergestellt (siehe Abb. 3.13).

Vergleichen Sie die fraktale Natur des Attraktors mit abnehmender Dämpfung unter der Annahme von 0,05. Bitte beachten Sie, dass bei nur ein kleiner Teil des Attraktors übrig bleibt und die Bewegung periodisch wird.

B.6. DUFFING-GLEICHUNG MIT ZWEI POTENZIELLEN LÖCHERN: HOLMES-ATTRAKTOR

Dieses Beispiel wurde in unserem Buch besprochen. Mehrere numerische Experimente sind eine Wiederholung wert. In diesem Fall haben die dimensionslosen Gleichungen die Form

(Durch Aufstellung und Einführung der zusätzlichen Gleichung z = w können sie als autonomes System dritter Ordnung geschrieben werden.) Der Faktor 1/2 macht die Eigenfrequenz kleiner Schwingungen in jedem Potentialtopf gleich eins. Das Chaoskriterium für einen festen Dämpfungskoeffizienten und Variablen wurde von uns in Kap. 5. Ein Interessengebiet für die Forschung ist. In dieser Region sollte es einen Übergang vom periodischen zum chaotischen Regime, periodische Fenster im chaotischen Regime und einen Ausstieg aus dem chaotischen Regime bei geben. Es gibt noch einen weiteren interessanten Bereich: Wir empfehlen dem Leser in allen Studien dringend, die Poincaré-Karte zu verwenden. Beim Einsatz eines Personalcomputers kann durch spezielle Tricks bei der Programmerstellung eine hohe Geschwindigkeit der Informationsverarbeitung erreicht werden (siehe Abb. 5.3).

Ein weiteres interessantes numerisches Experiment besteht darin, die Parameter festzulegen, beispielsweise die Phase der Poincaré-Karte festzulegen und zu variieren, d ? (Siehe Abbildung 4.8.)

B.7. KUBISCHE KARTIERUNG (HOLMES)

Wir haben viele Konzepte der Theorie chaotischer Schwingungen am Beispiel eines Attraktors in einem Modell mit zwei Potentialtöpfen veranschaulicht. Die Dynamik eines solchen Modells wird durch eine gewöhnliche nichtlineare Differentialgleichung zweiter Ordnung beschrieben (siehe Kap.

2 und 3), aber eine explizite Formel für die Poincaré-Karte eines solchen Attraktors ist unbekannt. Holmes schlug eine zweidimensionale kubische Abbildung vor, die einige Eigenschaften eines Duffing-Oszillators mit negativer Steifigkeit aufweist:

In der Nähe der Parameterwerte befindet sich ein chaotischer Attraktor

B.8. ANZEIGE EINES Hüpfenden BALLS (STANDARDANZEIGE)

(Siehe den Artikel von Holmes und das Buch von Lichtenberg und Lieberman.) Wie in Kap. 3 kann die Poincaré-Karte für einen Ball, der auf einen vibrierenden Tisch springt, anhand der dimensionslosen Geschwindigkeit des Balls, der auf den Tisch trifft, und der Bewegungsphase des Tischs genau geschrieben werden

Wo ist der Energieverlust beim Aufprall?

Fall (konservatives Chaos). Dieser Fall wird im Buch von Lichtenberg und Lieberman als Modell für die Beschleunigung von Elektronen in elektromagnetischen Feldern untersucht. Zeichnen Sie nach der Iteration der Anzeige die resultierenden Punkte auf der Ebene. Verwenden Sie zur Berechnung den Ausdruck

in einer verbesserten Version von BASIC. Um ein gutes Bild zu erhalten, müssen Sie die Ausgangsbedingungen variieren. Wählen Sie beispielsweise mehrere hundert Mapping-Iterationen bei unterschiedlichen v aus dem Intervall aus und überwachen Sie sie –

Sie werden interessante Fälle finden, wenn. Wenn man quasiperiodische geschlossene Trajektorien um periodische Fixpunkte der Abbildung beobachten kann. Bei sollten Regionen konservativen Chaos in der Nähe der Punkte der Separatricen erscheinen (siehe Abb. 5.21).

Fall. Dieser Fall entspricht einer dissipativen Abbildung, bei der bei jeder Kollision zwischen Ball und Tisch Energie verloren geht. Beginnen mit . Beachten Sie, dass, obwohl die ersten Iterationen wie in Fall 1 chaotisch erscheinen, die Bewegung periodisch wird. Um ein fraktalartiges Chaos zu erhalten, müssen die K-Werte auf erhöht werden. Sie erhalten einen seltsamen Attraktor, der noch mehr an ein Fraktal erinnert, wenn Sie annehmen.

B.9. DEN KREIS AUF SICH ANZEIGEN: SYNCHRONISATION DER ANZAHL DER DREHUNGEN UND DER FEENBÄUME

Ein Punkt, der sich entlang der Oberfläche eines Torus bewegt, kann als abstraktes mathematisches Modell der Dynamik zweier gekoppelter Oszillatoren dienen. Die Bewegungsamplituden der Oszillatoren dienen als kleiner und großer Radius des Torus und werden oft als fest angenommen. Die Phasen der Oszillatoren entsprechen zwei Winkeln, die die Position des Punktes entlang des kleinen Kreises (Meridian) und des großen Kreises (parallel) auf der Oberfläche des Torus angeben. Der Poincaré-Schnitt entlang der kleinen Kreise des Torus erzeugt eine eindimensionale Differenzengleichung, die als Abbildung des Kreises auf sich selbst bezeichnet wird:

wo ist eine periodische Funktion.

Jede Iteration dieser Abbildung entspricht der Flugbahn eines Oszillators entlang des Großkreises des Torus. Ein beliebtes Untersuchungsobjekt ist die sogenannte Standardkreiskartierung (normalisiert auf ).

Mögliche mit dieser Abbildung beobachtete Bewegungen sind: periodische, quasiperiodische und chaotische Modi. Um periodische Zyklen zu sehen, zeichnen Sie Punkte auf einem Kreis mit rechtwinkligen Koordinaten ein

Bei Parameter 0 gibt es nichts weiter als die Anzahl der Umdrehungen – das Verhältnis zweier Frequenzen unabhängiger Oszillatoren.

Wann die Anzeige periodisch sein kann und wann es sich um eine irrationale Zahl handelt. In diesem Fall heißt es, dass die Oszillatoren synchronisiert sind oder dass eine Modenverschärfung stattgefunden hat. Wenn man synchronisierte oder periodische Bewegungen in Bereichen endlicher Breite entlang der O-Achse beobachten kann, die natürlich irrationale Werte des Parameters enthalten. Wenn beispielsweise ein Zyklus mit Periode 2 im Intervall und ein Zyklus mit Periode 3 im Intervall gefunden werden kann. Um diese Intervalle zu finden, berechnen Sie die Anzahl der Umdrehungen W als Funktion des Parameters bei 0 01. Wir berechnen die Anzahl der Umdrehungen, wenn wir die Vergleichsoperation verwerfen und zum Grenzwert gehen

Um die Anzahl der Umdrehungen mit ausreichender Genauigkeit zu erhalten, müssen Sie in der Praxis N > 500 annehmen. Wenn Sie W gegen zeichnen, sehen Sie eine Reihe von Plateaus, die den Synchronisationsbereichen entsprechen. Um mehr Synchronisationsbereiche zu sehen, sollten Sie einen kleinen AP-Bereich auswählen und W für eine große Anzahl von Punkten in diesem kleinen Bereich zeichnen.

Jedes Synchronisationsplateau im Diagramm entspricht einer rationalen Zahl – dem Verhältnis der Zyklen eines Oszillators zu q Zyklen eines anderen Oszillators. Die Beziehungen sind in einer Reihenfolge angeordnet, die als Fary-Baum bekannt ist. Wenn für Parameterwerte zwei Modus-Synchronisationsbereiche angegeben sind, dann wird es zwischen ihnen im Intervall sicherlich einen weiteren Synchronisationsbereich mit der Anzahl der Umdrehungen geben

Beginnend mit 0/1 bei und 1/1 bei können Sie die gesamte unendliche Folge von Synchronisationsbereichen aufbauen. Die meisten davon sind sehr schmal.

Beachten Sie, dass die Breite dieser Regionen gegen Null tendiert und größer wird. Synchronisationsregionen in der Ebene () haben die Form langer Vorsprünge und werden manchmal als Arnold-Zungen bezeichnet.

B.10. Rössler-Attraktor: Chemische Reaktionen, eindimensionale Annäherung an mehrdimensionale Systeme

Jeder der Hauptbereiche der klassischen Physik hat sein eigenes Modell der chaotischen Dynamik geschaffen: Strömungsmechanik – die Lorentz-Gleichungen, Strukturmechanik – der Duffing-Holmes-Attraktor mit zwei Potentialtöpfen, Elektrotechnik – der Duffing-Ueda-Attraktor. Ein weiteres einfaches Modell entstand in der Dynamik chemischer Reaktionen, die in einem Behälter unter Rühren ablaufen. Es wurde von Röbssler vorgeschlagen.