Formeln zur Berechnung der Geschwindigkeit eines Punktes, der Beschleunigung, des Krümmungsradius einer Flugbahn, der Tangente, Normalen und Binormalen aus gegebenen Koordinaten über der Zeit. Ein Beispiel für die Lösung eines Problems, bei dem anhand gegebener Bewegungsgleichungen die Geschwindigkeit und Beschleunigung eines Punktes bestimmt werden muss. Der Krümmungsradius der Flugbahn, Tangente, Normale und Binormale werden ebenfalls bestimmt.

Inhalt

Einführung

Die Schlussfolgerungen der folgenden Formeln und die Darstellung der Theorie finden Sie auf der Seite „Kinematik eines materiellen Punktes“. Hier werden wir die Hauptergebnisse dieser Theorie auf die Koordinatenmethode zur Angabe der Bewegung eines materiellen Punktes anwenden.

Wir haben ein festes rechteckiges Koordinatensystem mit einem Mittelpunkt an einem festen Punkt. In diesem Fall wird die Position des Punktes M eindeutig durch seine Koordinaten (x, y, z) bestimmt. Koordinatenmethode zur Angabe der Bewegung eines Punktes- Dies ist eine Methode, bei der die Abhängigkeit von Koordinaten von der Zeit angegeben wird. Das heißt, es werden drei Funktionen der Zeit angegeben (für dreidimensionale Bewegung):

Bestimmung kinematischer Größen

Da wir die Abhängigkeit der Koordinaten von der Zeit kennen, bestimmen wir automatisch den Radiusvektor des materiellen Punktes M mit der Formel:
,
wo sind Einheitsvektoren (Orts) in Richtung der x-, y-, z-Achsen.

Unter Differenzierung nach der Zeit finden wir die Projektionen von Geschwindigkeit und Beschleunigung auf die Koordinatenachsen:
;
;
Geschwindigkeits- und Beschleunigungsmodule:
;
.

.

Tangentiale (tangentiale) Beschleunigung ist die Projektion der Gesamtbeschleunigung auf die Geschwindigkeitsrichtung:
.
Tangentialer (tangentialer) Beschleunigungsvektor:

Normale Beschleunigung:
.
; .
Einheitsvektor in Richtung der Hauptnormalen der Flugbahn:
.

Krümmungsradius der Flugbahn:
.
Krümmungsmittelpunkt der Flugbahn:
.

.

Beispiel einer Problemlösung

Bestimmen der Geschwindigkeit und Beschleunigung eines Punktes anhand der gegebenen Bewegungsgleichungen

Bestimmen Sie anhand der gegebenen Bewegungsgleichungen eines Punktes die Art seiner Flugbahn und ermitteln Sie für einen bestimmten Zeitpunkt die Position des Punktes auf der Flugbahn, seine Geschwindigkeit, Gesamt-, Tangential- und Normalbeschleunigung sowie den Radius von Krümmung der Flugbahn.

Bewegungsgleichungen eines Punktes:
, cm;
, cm.

Lösung

Bestimmung der Art der Flugbahn

Wir schließen die Zeit aus den Bewegungsgleichungen aus. Dazu schreiben wir sie in der Form um:
; .
Wenden wir die Formel an:
.
;
;
;
.

Wir haben also die Flugbahngleichung erhalten:
.
Dies ist die Gleichung einer Parabel mit einem Scheitelpunkt in einem Punkt und einer Symmetrieachse.

Weil das
, Das
; oder
.
Auf ähnliche Weise erhalten wir eine Einschränkung für die Koordinate:
;
;

Somit ist die Flugbahn der Punktbewegung der Bogen einer Parabel
,
befindet sich
Und .

Wir bauen eine Parabel aus Punkten.

0	6
3	5,625
6	4,5
9	2,625
12	0

Wir bestimmen die Position des Punktes zum jeweiligen Zeitpunkt.
;
.

Bestimmung der Geschwindigkeit eines Punktes

Indem wir die Koordinaten und nach der Zeit differenzieren, finden wir die Geschwindigkeitskomponenten.
.
Zur Unterscheidung bietet es sich an, die trigonometrische Formel anzuwenden:
. Dann
;
.

Wir berechnen die Werte der Geschwindigkeitskomponenten zum jeweiligen Zeitpunkt:
;
.
Geschwindigkeitsmodul:
.

Bestimmen der Beschleunigung eines Punktes

Indem wir die Komponenten von Geschwindigkeit und Zeit differenzieren, finden wir die Komponenten der Beschleunigung des Punktes.
;
.

Wir berechnen die Werte der Beschleunigungskomponenten zum jeweiligen Zeitpunkt:
;
.
Beschleunigungsmodul:
.

Tangentialbeschleunigung ist die Projektion der Gesamtbeschleunigung auf die Geschwindigkeitsrichtung:
.
Denn der Tangentialbeschleunigungsvektor ist der Geschwindigkeit entgegengesetzt gerichtet.

Normale Beschleunigung:
.
Der Vektor ist auf den Krümmungsmittelpunkt der Flugbahn gerichtet.

Krümmungsradius der Flugbahn:
.

Die Flugbahn eines Punktes ist der Bogen einer Parabel
; .
Punktgeschwindigkeit: .
Punktbeschleunigung: ; ; .
Krümmungsradius der Flugbahn: .

Bestimmung anderer Größen

Bei der Lösung des Problems haben wir Folgendes festgestellt:
Vektor- und Geschwindigkeitsmodul:
; ;
Vektor und Modul der Gesamtbeschleunigung:
; ;
Tangential- und Normalbeschleunigung:
; ;
Krümmungsradius der Flugbahn: .

Lassen Sie uns die verbleibenden Mengen ermitteln.

Einheitsvektor in Tangentenrichtung zum Pfad:
.
Tangentialer Beschleunigungsvektor:

.
Normaler Beschleunigungsvektor:

.
Einheitsvektor in Richtung der Hauptnormalen:
.
Koordinaten des Krümmungsmittelpunkts der Flugbahn:

.

Lassen Sie uns die dritte Achse des Koordinatensystems senkrecht zu den und-Achsen einführen. In einem dreidimensionalen System
; .
Einheitsvektor in binormaler Richtung:


.

Die Bewegung eines Punktes im Raum kann als gegeben angesehen werden, wenn die Änderungsgesetze seiner drei kartesischen Koordinaten x, y, z als Funktion der Zeit bekannt sind. In einigen Fällen der räumlichen Bewegung materieller Punkte (z. B. in Bereichen, die durch Oberflächen unterschiedlicher Form begrenzt sind) ist die Verwendung von Bewegungsgleichungen in kartesischen Koordinaten jedoch unpraktisch, da sie zu umständlich werden. In solchen Fällen können Sie drei weitere unabhängige Skalarparameter $q_1,(\q)_2,\\q_3$ wählen, sogenannte krummlinige oder verallgemeinerte Koordinaten, die ebenfalls eindeutig die Position des Punktes im Raum bestimmen.

Die Geschwindigkeit des Punktes M wird bei Angabe seiner Bewegung in krummlinigen Koordinaten in Form einer Vektorsumme von Geschwindigkeitskomponenten parallel zu den Koordinatenachsen bestimmt:

\[\overrightarrow(v)=\frac(d\overrightarrow(r))(dt)=\frac(\partial \overrightarrow(r))(\partial q_1)\dot(q_1)+\frac(\partial \ overrightarrow(r))(\partial q_2)\dot(q_2)+\frac(\partial \overrightarrow(r))(\partial q_3)\dot(q_3)=v_(q_1)\overline(e_1)+v_( q_2)\overline(e_2)\ +v_(q_3)\overline(e_3)\]

Die Projektionen des Geschwindigkeitsvektors auf die entsprechenden Koordinatenachsen sind gleich: $v_(q_i)=\overline(v\ )\cdot \overline(e_i)=H_i\dot(q_i)\ \ ,\ \ i=\overline (1,3)$

Hier ist $H_i=\left|(\left(\frac(\partial \overrightarrow(r))(\partial q_i)\right))_M\right|$ ein Parameter namens i-ter Lame-Koeffizient und gleich dem Modulwert partielle Ableitung des Radiusvektors eines Punktes entlang der i-ten krummlinigen Koordinate, berechnet an einem gegebenen Punkt M. Jeder der Vektoren $\overline(e_i)$ hat eine Richtung, die der Bewegungsrichtung des Endpunkts von entspricht der Radiusvektor $r_i$ als i-te verallgemeinerte Koordinaten. Der Geschwindigkeitsmodul in einem orthogonalen krummlinigen Koordinatensystem kann aus der Abhängigkeit berechnet werden:

In den obigen Formeln werden die Werte der Ableitungen und Lamé-Koeffizienten für die aktuelle Position des Punktes M im Raum berechnet.

Die Koordinaten eines Punktes in einem sphärischen Koordinatensystem sind die Skalarparameter r, $(\mathbf \varphi ),\ (\mathbf \theta )$, gemessen wie in Abb. 1.

Abbildung 1. Geschwindigkeitsvektor in einem sphärischen Koordinatensystem

Das Bewegungsgleichungssystem eines Punktes hat in diesem Fall die Form:

\[\left\( \begin(array)(c) r=r(t) \\ \varphi =\varphi (t \\ \theta =\theta (t \end(array) \right.\]

In Abb. Abbildung 1 zeigt den aus dem Ursprung gezogenen Radiusvektor r, die Winkel $(\mathbf \varphi )$ und $(\mathbf \theta )$ sowie Koordinatenlinien und Achsen des betrachteten Systems an einem beliebigen Punkt M des Flugbahn. Man erkennt, dass die Koordinatenlinien $((\mathbf \varphi ))$ und $((\mathbf \theta ))$ auf der Oberfläche einer Kugel mit dem Radius r liegen. Dieses krummlinige Koordinatensystem ist auch orthogonal. Kartesische Koordinaten können als Kugelkoordinaten wie folgt ausgedrückt werden:

Dann sind die Lame-Koeffizienten: $H_r=1;\ \ H_(\varphi )=rsin\varphi ;\ \ H_0=r$ ; Projektionen der Geschwindigkeit des Punktes auf der Achse des sphärischen Koordinatensystems $v_r=\dot(r\ \ );$ $v_(\theta )=r\dot(\theta )$; $\ v_(\varphi )=r\dot(\varphi )sin\theta $ und die Größe des Geschwindigkeitsvektors

Beschleunigung eines Punktes in einem sphärischen Koordinatensystem

\[\overrightarrow(a)=a_r(\overrightarrow(e))_r+a_(\varphi )(\overrightarrow(e))_(\varphi )+a_(\theta )(\overrightarrow(e))_( \theta),\]

Projektionen der Beschleunigung eines Punktes auf der Achse eines sphärischen Koordinatensystems

\ \

Beschleunigungsmodul $a=\sqrt(a^2_r+a^2_(\varphi )+a^2_(\theta ))$

Problem 1

Der Punkt bewegt sich entlang der Schnittlinie der Kugel und des Zylinders gemäß den Gleichungen: r = R, $\varphi $ = kt/2, $\theta $ = kt/2 , (r, $\varphi $, $ \theta $ --- sphärische Koordinaten ). Finden Sie den Modul und die Projektionen der Geschwindigkeit des Punktes auf der Achse des sphärischen Koordinatensystems.

Finden wir die Projektionen des Geschwindigkeitsvektors auf den sphärischen Koordinatenachsen:

Geschwindigkeitsmodul $v=\sqrt(v^2_r+v^2_(\varphi )+v^2_(\theta ))=R\frac(k)(2)\sqrt((sin)^2\frac(kt )(2)+1)$

Problem 2

Bestimmen Sie unter Verwendung der Bedingung von Aufgabe 1 den Beschleunigungsmodul des Punktes.

Finden wir die Projektionen des Beschleunigungsvektors auf den sphärischen Koordinatenachsen:

\ \ \

Beschleunigungsmodul $a=\sqrt(a^2_r+a^2_(\varphi )+a^2_(\theta ))=R\frac(k^2)(4)\sqrt(4+(sin)^2 \frac(kt)(2))$

Bewegungsaufgaben

Lassen Sie uns Gleichung (4) verwenden und ihre Ableitung nach der Zeit bilden

In (8) gibt es für Einheitsvektoren Projektionen des Geschwindigkeitsvektors auf die Koordinatenachsen

Geschwindigkeitsprojektionen auf Koordinatenachsen werden als erste zeitliche Ableitungen der entsprechenden Koordinaten definiert.

Wenn Sie die Projektionen kennen, können Sie die Größe des Vektors und seine Richtung ermitteln

, (10)

Geschwindigkeitsbestimmung mit der natürlichen Methode

Bewegungsaufgaben

Gegeben seien die Flugbahn eines materiellen Punktes und das Änderungsgesetz der krummlinigen Koordinate. Angenommen, um T 1 Punkt hatte
und die Koordinate S 1 , und bei T 2 – Koordinate S 2. Während
Die Koordinate wurde erhöht
, dann die Durchschnittsgeschwindigkeit des Punktes

.

Um die Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt zu ermitteln, gehen wir an die Grenze

,

. (12)

Der Geschwindigkeitsvektor eines Punktes wird bei der natürlichen Bewegungsangabe als erste zeitliche Ableitung der krummlinigen Koordinate definiert.

Punktbeschleunigung

Unter der Beschleunigung eines materiellen Punktes Unter einer Vektorgröße verstehen, die die Änderungsrate des Geschwindigkeitsvektors eines Punktes in Größe und Richtung über die Zeit charakterisiert.

Beschleunigung eines Punktes mithilfe der Vektormethode zur Angabe der Bewegung

Betrachten Sie einen Punkt zu zwei Zeitpunkten T 1 (
) Und T 2 (
), Dann
- Zeitinkrement,
- Geschwindigkeitserhöhung.

Vektor
liegt immer in der Bewegungsebene und ist auf die Konkavität der Flugbahn gerichtet.

P od durchschnittliche Beschleunigung eines Punktes während  T das Ausmaß verstehen

. (13)

Um die Beschleunigung zu einem bestimmten Zeitpunkt zu ermitteln, gehen wir an die Grenze

,

. (14)

Die Beschleunigung eines Punktes zu einem bestimmten Zeitpunkt ist definiert als die zweite Ableitung des Radiusvektors des Punktes nach der Zeit oder die erste Ableitung des Geschwindigkeitsvektors nach der Zeit.

Der Beschleunigungsvektor liegt in der Kontaktebene und ist auf die Konkavität der Flugbahn gerichtet.

Beschleunigung eines Punktes mit der Koordinatenmethode zur Angabe der Bewegung

Nutzen wir die Gleichung für den Zusammenhang zwischen der Vektor- und der Koordinatenmethode zur Bewegungsangabe

Und nehmen wir daraus die zweite Ableitung

,

. (15)

In Gleichung (15) für Einheitsvektoren gibt es Projektionen des Beschleunigungsvektors auf die Koordinatenachsen

. (16)

Beschleunigungsprojektionen auf Koordinatenachsen werden als erste Ableitungen der Geschwindigkeitsprojektionen nach der Zeit oder als zweite Ableitungen der entsprechenden Koordinaten nach der Zeit definiert.

Die Größe und Richtung des Beschleunigungsvektors können mithilfe der folgenden Ausdrücke ermittelt werden

, (17)

,
,
. (18)

Beschleunigung eines Punktes unter Verwendung der natürlichen Methode der Bewegungsangabe

P
Lassen Sie den Punkt sich entlang einer gekrümmten Bahn bewegen. Betrachten wir seine beiden Positionen zu bestimmten Zeitpunkten T (S, M, v) Und T 1 (S 1, M 1, v 1).

In diesem Fall wird die Beschleunigung durch ihre Projektionen auf die Achsen des natürlichen Koordinatensystems bestimmt, die sich zusammen mit dem Punkt M bewegen. Die Achsen sind wie folgt gerichtet:

M  - Tangente, gerichtet entlang der Tangente an die Flugbahn, in Richtung der positiven Distanzreferenz,

M N– Hauptnormale, gerichtet entlang der Normalen, die in der Kontaktebene liegt, und gerichtet auf die Konkavität der Flugbahn,

M B– binormal, senkrecht zur Ebene M  N und bildet mit den ersten Achsen ein rechtes Tripel.

Da der Beschleunigungsvektor dann in der Berührungsebene liegt A B = 0. Finden wir die Projektionen der Beschleunigung auf andere Achsen.

. (19)

Projizieren wir (19) auf die Koordinatenachsen

, (20)

. (21)

Zeichnen wir durch Punkt M 1 Achsen parallel zu den Achsen am Punkt M und finden Sie die Geschwindigkeitsprojektionen:

Wo  - der sogenannte Adjazenzwinkel.

Ersetzen Sie (22) durch (20)

.

Bei  T 0  0, cos 1 dann

. (23)

Die Tangentialbeschleunigung eines Punktes wird durch die erste zeitliche Ableitung der Geschwindigkeit oder die zweite zeitliche Ableitung der krummlinigen Koordinate bestimmt.

Die Tangentialbeschleunigung charakterisiert die betragsmäßige Änderung des Geschwindigkeitsvektors.

Ersetzen wir (22) durch (21)

.

Multiplizieren Sie Zähler und Nenner mit s Grenzen kennen lernen

Wo
(die erste wunderbare Grenze),

,
,

, Wo  - Krümmungsradius der Flugbahn.

Wenn wir die berechneten Grenzen in (24) einsetzen, erhalten wir

. (25)

Die Normalbeschleunigung eines Punktes wird durch das Verhältnis des Quadrats der Geschwindigkeit zum Krümmungsradius der Flugbahn an einem bestimmten Punkt bestimmt.

Die Normalbeschleunigung charakterisiert die Richtungsänderung des Geschwindigkeitsvektors und ist immer auf die Konkavität der Flugbahn gerichtet.

Schließlich erhalten wir die Projektionen der Beschleunigung des materiellen Punktes auf die Achse des natürlichen Koordinatensystems und den Betrag des Vektors

, (26)

. (27)