Betrachten wir die komplexe Bewegung eines starren Körpers, bestehend aus Translations- und Rotationsbewegungen. Ein entsprechendes Beispiel ist in Abb. 207. Hier ist die relative Bewegung von Körper 1 eine Drehung mit der Winkelgeschwindigkeit c um eine auf der Plattform 2 befestigte Achse, und die tragbare Bewegung ist eine translatorische Bewegung der Plattform mit der Geschwindigkeit v. Gleichzeitig nimmt Rad 3 auch an zwei solchen Bewegungen teil, wobei die Relativbewegung eine Drehung um seine Achse und die tragbare Bewegung die Bewegung derselben Plattform ist. Abhängig von der Größe des Winkels a zwischen den Vektoren und v (bei einem Rad beträgt dieser Winkel 90°) sind hier drei Fälle möglich.

1. Die Geschwindigkeit der Translationsbewegung ist senkrecht zur Rotationsachse. Die komplexe Bewegung eines Körpers bestehe aus einer Rotationsbewegung um eine Achse mit der Winkelgeschwindigkeit co und einer Translationsbewegung mit der Geschwindigkeit v senkrecht dazu (Abb. 208).

Es ist leicht zu erkennen, dass es sich bei dieser Bewegung (in Bezug auf die Ebene P, senkrecht zur Achse) um eine planparallele Bewegung handelt, die in Kap. XI. Betrachtet man den Punkt A als Pol, so setzt sich die betreffende Bewegung, wie jede planparallele Bewegung, tatsächlich aus einer translatorischen Bewegung mit Geschwindigkeit, also mit der Geschwindigkeit des Pols, und einer rotatorischen Bewegung um eine durch ihn verlaufende Achse zusammen Der Pol.

Der Vektor v kann durch ein Paar Winkelgeschwindigkeiten (siehe § 69) ersetzt werden, indem man nimmt. In diesem Fall wird der Abstand AR aus der Gleichheit von wo bestimmt (unter Berücksichtigung dessen)

Die Vektoren addieren sich zu Null, und wir erhalten, dass die Bewegung des Körpers in diesem Fall als augenblickliche Drehung um eine Achse mit der Winkelgeschwindigkeit betrachtet werden kann. Dieses Ergebnis wurde zuvor auf anderem Weg ermittelt (siehe § 56). Beim Vergleich der Gleichungen (55) und (107) sehen wir, dass der Punkt P für den Abschnitt S des Körpers der momentane Mittelpunkt der Geschwindigkeiten ist. Hier sind wir erneut davon überzeugt, dass die Drehung des Körpers um die Achsen mit der gleichen Winkelgeschwindigkeit erfolgt , d. h. dass der rotatorische Teil der Bewegung nicht von der Wahl des Pols abhängt (siehe § 52).

2. Schraubenbewegung (). Besteht die komplexe Bewegung eines Körpers aus einer Rotationsbewegung um eine Achse mit der Winkelgeschwindigkeit co und einer Translationsbewegung mit der Geschwindigkeit v, die parallel zur Achse gerichtet ist (Abb. 209), dann wird eine solche Bewegung des Körpers Schraubenbewegung genannt. Die Achse wird Schraubenachse genannt.

Wenn die Vektoren in eine Richtung gerichtet sind, befindet sich die Schraube bei der von uns übernommenen Bildregel rechts; wenn in verschiedene Richtungen - links.

Der Weg, den jeder Punkt des Körpers, der auf der Achse der Schraube liegt, während einer Umdrehung zurücklegt, wird Steigung h der Schraube genannt. Wenn die Werte von und und c konstant sind, ist auch die Propellersteigung konstant. Indem wir die Zeit einer Umdrehung durch T bezeichnen, erhalten wir in diesem Fall , von dem

Bei konstanter Steigung beschreibt jeder Punkt M des Körpers, der nicht auf der Achse der Schraube liegt, eine Schraubenlinie. Die Geschwindigkeit des von der Propellerachse entfernten Punktes M setzt sich aus der Translationsgeschwindigkeit v und der bei Rotationsbewegung erhaltenen Geschwindigkeit senkrecht dazu zusammen, die numerisch gleich ist. Daher ist

Die Geschwindigkeit ist tangential zur Helix gerichtet. Wenn die Zylinderfläche, entlang der sich Punkt M bewegt, entlang der Mantellinie geschnitten und umgedreht wird, werden die Schraubenlinien zu geraden Linien, die in einem Winkel zur Basis des Zylinders geneigt sind

3. Die Geschwindigkeit der Translationsbewegung bildet mit der Rotationsachse einen beliebigen Winkel. Die komplexe Bewegung, die der Körper in diesem Fall ausführt (Abb. 210, a), ist die in § 63 diskutierte Bewegung (der allgemeine Fall der Bewegung eines freien starren Körpers).

Zerlegen wir den Vektor v (Abb. 210, b) in seine Komponenten: Die senkrechte Geschwindigkeit ist entlang gerichtet und kann durch ein Paar Winkelgeschwindigkeiten ersetzt werden (wie in Abb. 208), wonach die Vektoren verworfen werden können. Den Abstand AC ermitteln wir mit der Formel (107).

Betrachten wir die komplexe Bewegung eines starren Körpers, bestehend aus Translations- und Rotationsbewegungen. Ein entsprechendes Beispiel ist in Abb. 78. Hier die relative Bewegung des Körpers 1 ist die Drehung mit Winkelgeschwindigkeit um eine Achse Ahh, auf einer Plattform befestigt 2, und tragbar – translatorische Bewegung der Plattform mit einer Geschwindigkeit von . Gleichzeitig nimmt das Rad auch an zwei solchen Bewegungen teil. 3, wobei die Relativbewegung eine Drehung um die eigene Achse und die tragbare Bewegung die Bewegung derselben Plattform ist. Abhängig von der Größe des Winkels α zwischen den Vektoren und (bei einem Rad beträgt dieser Winkel 90°) sind hier drei Fälle möglich.

1. Die Translationsgeschwindigkeit verläuft senkrecht zur Rotationsachse ( ). Die komplexe Bewegung eines Körpers bestehe aus einer Rotationsbewegung um eine Achse Ahh mit Winkelgeschwindigkeit ω und translatorische Bewegung mit Geschwindigkeit senkrecht (Abb. 79). Es ist offensichtlich, dass diese Bewegung (relativ zur Ebene) ist P, senkrecht zur Achse Ahh)planparallele Bewegung.

Wenn man den Punkt zählt A Pol, dann setzt sich die betrachtete Bewegung, wie jede planparallele Bewegung, tatsächlich aus einer translatorischen Bewegung mit der Geschwindigkeit, also mit der Geschwindigkeit des Pols, und einer rotatorischen Bewegung um die Achse zusammen Ahh durch die Stange gehen.

Der Vektor kann gemäß Abschnitt 6.2 durch ein Paar Winkelgeschwindigkeiten und ersetzt werden, wobei , und verwendet werden. In diesem Fall die Entfernung AR wird aus der Gleichheit bestimmt, woher .

Vektoren und ergeben bei Addition Null und daher kann die Bewegung des Körpers in diesem Fall als augenblickliche Drehung um eine Achse betrachtet werden RR mit Winkelgeschwindigkeit. Somit ist die Drehung des Körpers um die Achsen möglich Ahh Und RR erfolgt mit der gleichen Winkelgeschwindigkeit, d. h. der rotatorische Teil der Bewegung hängt nicht von der Wahl des Pols ab.

2. Schraubenbewegung ( ). Wenn die komplexe Bewegung eines Körpers aus einer Rotationsbewegung um eine Achse besteht Ahh mit Winkelgeschwindigkeit und translatorisch mit parallel zur Achse gerichteter Geschwindigkeit Ahh(Abb. 80), dann nennt man eine solche Bewegung des Körpers schrauben. Achse Ahh angerufen Schraubenachse. Wenn die Vektoren und in eine Richtung gerichtet sind, wird die Schraube mit der von uns übernommenen Bildregel sein Rechts; wenn in verschiedene Richtungen - links. Die Strecke, die jeder Punkt des Körpers, der auf der Achse der Schraube liegt, während einer Umdrehung zurücklegt, wird aufgerufen Schritt h schrauben Bei konstanten Werten ist auch die Steigung der Schraube konstant. Bezeichnet die Zeit einer Umdrehung T, erhalten wir in diesem Fall und , woher .

Mit einem konstanten Schritt, jeder Punkt M Körper, der nicht auf der Achse der Schraube liegt, beschreibt Helixlinie. Punktgeschwindigkeit M, von der Schraubenachse im Abstand angeordnet R, besteht aus der Translationsgeschwindigkeit und der bei Rotationsbewegung erhaltenen Geschwindigkeit senkrecht dazu, die numerisch gleich ω ist R. Somit .

Die Geschwindigkeit ist tangential zur Helix gerichtet. Wenn die zylindrische Oberfläche, entlang derer sich der Punkt bewegt M, entlang der Mantellinie schneiden und entfalten, dann werden die Schraubenlinien zu geraden Linien, die in einem Winkel zur Basis des Zylinders geneigt sind , wo .

3. Die Geschwindigkeit der Translationsbewegung bildet mit der Rotationsachse einen beliebigen Winkel. Die in diesem Fall vom Körper ausgeführte komplexe Bewegung (Abb. 81, a) kann als allgemeiner Fall der Bewegung eines freien starren Körpers betrachtet werden.

Zerlegen wir den Vektor (Abb. 81, b) in Komponenten: , entlang gerichtet () und senkrecht () . Die Geschwindigkeit kann durch ein Paar Winkelgeschwindigkeiten und ersetzt werden, wonach die Vektoren und verworfen werden können. Distanz Wechselstrom Wir finden es mithilfe der Formel.

Dann bleibt der Körper in Rotation mit Winkelgeschwindigkeit und translatorischer Bewegung mit Geschwindigkeit. Folglich ist die Geschwindigkeitsverteilung der Körperpunkte zu einem bestimmten Zeitpunkt dieselbe wie bei der Schraubenbewegung um die Achse SS mit Winkelgeschwindigkeit und Translationsgeschwindigkeit.

Nachdem wir die Transformationen abgeschlossen hatten (Abb. 81, b), entfernten wir uns vom Pol A zum Pol MIT. Das Ergebnis bestätigt, dass sich im allgemeinen Fall der Bewegung eines starren Körpers die Winkelgeschwindigkeit bei einer Poländerung nicht ändert (), sondern nur die Translationsgeschwindigkeit ().

Da sich bei der Bewegung eines freien starren Körpers die Größen , α ständig ändern, ändert sich auch die Lage der Achse kontinuierlich SS, was daher heißt momentane Schraubenachse. Auf diese Weise, Die Bewegung eines freien starren Körpers kann auch als eine Reihe momentaner Schraubenbewegungen um sich ständig ändernde Schraubenachsen betrachtet werden.

Abschluss

Die Rolle und der Stellenwert der theoretischen Mechanik in der Ingenieurausbildung werden durch die Tatsache bestimmt, dass sie die wissenschaftliche Grundlage für viele Bereiche der modernen Technologie darstellt. Die Aneignung der theoretischen Mechanik wird dadurch erschwert, dass in dieser Wissenschaft die Modellierung und mathematische Darstellung der untersuchten Naturphänomene eine bedeutende Rolle spielt. Daher stoßen Studierende bei der Lösung ingenieurwissenschaftlicher Probleme häufig auf erhebliche Schwierigkeiten. Das Problem, bei Studierenden einen Forschungsansatz für die gestellten Aufgaben (aus dem Abschnitt „Kinematik“ des Studiengangs Theoretische Mechanik) zu entwickeln, kann durch das vorgeschlagene Lehrbuch gelöst werden. Das Handbuch deckt die Hauptthemen des Abschnitts „Kinematik“ übersichtlich mit allen notwendigen Nachweisen ab. Es werden methodische Empfehlungen zur Lösung von Problemen gegeben und Beispiele für deren Lösung gegeben. Die am Ende der Kapitel des Handbuchs aufgeführten Aufgaben zum selbstständigen Arbeiten helfen Ihnen, den präsentierten Stoff zu beherrschen und zu festigen.

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SCHRAUBENBEWEGUNG. Wenn sich die Bewegung eines unveränderlichen Systems (z. B. eines starren Körpers) aus einer Drehung um eine Achse und einer Translationsbewegung entlang dieser Achse zusammensetzt, wird eine solche Bewegung des Körpers als Spiralbewegung bezeichnet. Diese Achse wird als Spiralachse oder als Rotationsachse bezeichnet – als Gleitachse. Sind zwei beliebige Positionen eines sich im Raum bewegenden Körpers gegeben, so kann der Übergang von Position I nach II mit einer Schraubenbewegung um eine spezifisch lokalisierte Schraubenachse erfolgen (Satz von Chasles); Dabei können Rotations- und Translationsbewegungen entweder gleichzeitig oder nacheinander in beliebiger Reihenfolge ausgeführt werden. Betrachtet man alle gegebenen Bewegungen eines Körpers im Raum als aus infinitesimalen Elementarbewegungen bestehend und wendet den Satz von Chasles auf jede von ihnen an, erhält man den folgenden Satz: Jede Bewegung eines Körpers im Raum ist eine Reihe von infinitesimalen Schraubenbewegungen um momentane Schraubenachsen. ändern ihre Position in jedem Moment und in jeder Richtung im Raum.

Spiralförmige Elementarverschiebungen des Körpers um jede Momentanachse sind Bewegungen, die den infinitesimalen realen Verschiebungen des Körpers äquivalent sind und diese mit einer Genauigkeit von infinitesimalen Größenordnungen höherer Ordnung darstellen. Die Gesetze der Schraubenbewegung, die jeder Bewegung eines starren Körpers entsprechen, wurden von Mozzi aufgestellt (Giulio Mozzi, 1768). Auch die Addition zweier Schraubenbewegungen ergibt eine Schraubenbewegung.

SCHRAUBENBEWEGUNG- Bewegung eines starren Körpers, bestehend aus einer geradlinigen Vorwärtsbewegung bei einer bestimmten Geschwindigkeit Und Rotationsbewegung mit einer bestimmten Winkelgeschwindigkeit um die Achse aa 1, parallel zur Richtung des Postulats. Geschwindigkeit (Abb. 1). Ein Körper, der eine stationäre V.D. ausführt, d. h. V.D., mit der die Richtung der Achse bestimmt wird aa 1 bleibt unverändert, genannt schrauben; Achse aa 1 angerufen Schraubenachse; Strecke, die ein beliebiger auf der Achse liegender Punkt des Körpers zurücklegt aa 1, während einer Umdrehung, genannt. Schritt H Schraube, der Wert ist der Schraubenparameter. Wenn der Vektor in die Richtung gerichtet ist, aus der gesehen wird, dass die Drehung des Körpers gegen den Uhrzeigersinn erfolgt, spricht man bei Vektoren, die in eine Richtung gerichtet sind, von einer Schraube. rechts und in verschiedene Richtungen - links.

Geschwindigkeit und Beschleunigung eines beliebigen Punktes M Körper entfernt von der Achse aa 1 auf Distanz R, sind numerisch gleich

Wenn der Parameter R konstant, Propellersteigung ist auch konstant. In diesem Fall jeder Punkt M Körper liegt nicht auf der Achse aa 1 beschreibt eine Schraubenlinie, die mit der Ebene eine Tangente an den Schnitt in einem beliebigen Punkt bildet yz, senkrecht zur Achse aa 1, Winkel Jede komplexe Bewegung eines starren Körpers besteht im Allgemeinen aus einer Reihe elementarer oder augenblicklicher V.D. Die Achse des augenblicklichen V.D. wird genannt. momentane Schraubenachse. Im Gegensatz zur Achse einer stationären Vertikalbewegung ändert die momentane Schraubenachse kontinuierlich ihre Position sowohl in Bezug auf das Bezugssystem, in dem die Bewegung des Körpers betrachtet wird, als auch in Bezug auf den Körper selbst und bildet so 2 Regeln (Berühren). aber gerade Linie) ) Flächen, genannt bzw. feste und mobile Axoide (Abb. 2). Geom. Im allgemeinen Fall kann ein Bild der Bewegung eines Körpers erhalten werden, indem ein bewegliches Axoid über ein stationäres rollt und in Längsrichtung gleitet und auf diese Weise eine Reihe von Sequenzen ausgeführt wird. V. d., aus dem sich die Bewegung des Körpers zusammensetzt.

Wenn ein Körper gleichzeitig an einer tragbaren Translationsbewegung mit Geschwindigkeit und einer relativen Rotationsbewegung mit Winkelgeschwindigkeit teilnimmt, empfiehlt es sich, je nach ihrer relativen Position drei getrennte Fälle zu betrachten.

1. Die Translationsgeschwindigkeit verläuft senkrecht zur Achse der relativen Rotation. In diesem Fall stehen die Vektoren und senkrecht (Abb. 53). Online Betriebssystem, senkrecht zur Ebene, in der und liegen, gibt es einen Punkt MIT, dessen Geschwindigkeit Null ist. Bestimmen Sie den Abstand vom Punkt UM.

Nach dem Satz der Geschwindigkeitsaddition für einen Punkt MIT wir haben

da beim Drehen um eine Achse

Unter Berücksichtigung der Tatsache, dass die Geschwindigkeiten und die entgegengesetzte Richtung haben, erhalten wir

Seitdem, dann und daher Punkte MIT Und UM sind auf Distanz

Andere Punkte mit Geschwindigkeiten gleich Null liegen auf einer Linie, die durch den Punkt verläuft MIT, parallel zur Rotationsachse des Körpers mit Winkelgeschwindigkeit. Somit gibt es eine momentane Rotationsachse, die parallel zur Achse der relativen Rotation verläuft und durch den Punkt verläuft MIT.

Addiert man translatorische translatorische und rotatorische Relativbewegungen eines starren Körpers, bei denen die Geschwindigkeit der Translationsbewegung senkrecht zur Achse der relativen Rotation verläuft, ist die äquivalente absolute Bewegung eine Drehung um eine Momentanachse parallel zur Achse der relativen Rotation mit einer Winkelgeschwindigkeit mit der Winkelgeschwindigkeit der Relativdrehung zusammenfällt.

2. Spiralbewegung. Die Bewegung, bei der die Geschwindigkeit der translatorischen Bewegung des Körpers parallel zur Achse der relativen Rotation verläuft, wird als Schraubenbewegung eines Festkörpers bezeichnet (Abb. 54). Die Rotationsachse des Körpers wird in diesem Fall Rotationsachse genannt. Bei der Schraubenbewegung bewegt sich der Körper translatorisch parallel zur Achse der Schraubenbewegung und dreht sich um diese Achse. Die Spiralbewegung lässt sich nicht auf eine andere einfache äquivalente Bewegung reduzieren.

Während der Schraubenbewegung können die Vektoren und sowohl die gleiche als auch die entgegengesetzte Richtung haben. Die Schraubenbewegung eines Körpers wird durch den jährlichen Schraubenbewegungsparameter charakterisiert, der als Größe angesehen wird. Wenn sie sich im Laufe der Zeit ändern, sind die Parameter der Schraubenbewegung variabel. Im allgemeinen Fall und, d.h. p ist die Verschiebung des Körpers entlang der Achse der Schraubenbewegung, wenn der Körper um ein Bogenmaß gedreht wird.

Für einen Punkt M wir haben

Aber wo R– Abstand des Punktes zur Schraubenachse. Geschwindigkeiten und Senkrechte. Somit,

Wenn man das bedenkt, bekommen wir

Wenn sich ein Körper mit konstanter Winkelgeschwindigkeit dreht und eine konstante Translationsgeschwindigkeit aufweist, wird eine solche Bewegung des Körpers als konstante Propellerbewegung bezeichnet. In diesem Fall liegt der Punkt des Körpers während der Bewegung immer auf der Oberfläche eines Kreiszylinders mit Radius R. Die Flugbahn eines Punktes ist eine Helix. Geben Sie zusätzlich zum Parameter im betrachteten Fall ein Propellersteigung, d. h. die Strecke, um die sich ein beliebiger Punkt des Körpers während einer Umdrehung des Körpers um die Achse der Schraubenbewegung bewegt. Der Drehwinkel des Körpers bei wird nach der Formel berechnet. Für eine Umdrehung des Körpers. Die hierfür benötigte Zeit.

Während T Der Punkt bewegt sich um die Schraubensteigung in eine Richtung parallel zur Schraubenachse.

Daraus erhalten wir die Abhängigkeit der Propellersteigung vom Schraubenbewegungsparameter.

Bewegungsgleichungen eines Punktes M Körper entlang einer Helix (Abb. 102) in kartesischen Koordinaten werden in der folgenden Form ausgedrückt:

In diesen Gleichungen sind die Größen und konstant.

3. Allgemeiner Fall. Lassen Sie die Geschwindigkeit der tragbaren Translationsbewegung und die Winkelgeschwindigkeit der Relativdrehung einen Winkel bilden. Der Fall, dass , und , bereits betrachtet wurden, umfasst alle Punkte des Körpers. Somit erhält man eine Schraubenbewegung mit einer Schraubenachse, die von der ursprünglichen Drehachse um einen Betrag beabstandet ist.

Parameter der resultierenden Schraubenbewegung.

Der allgemeine Fall tragbarer translatorischer und relativer Rotationsbewegungen eines starren Körpers erwies sich als äquivalent zur momentanen Schraubenbewegung.