KURSARBEIT

zum Thema:

„Praktische Anwendung der Eigenschaften bemerkenswerter Kurven“

Einführung

Relevanz des Themas besteht darin, die Anwendung mathematischer Kenntnisse in praktischen menschlichen Aktivitäten zu demonstrieren. Der Kurs über analytische Geometrie berücksichtigt nicht die Eigenschaften der wunderbaren Kurven, die im Leben weit verbreitet sind.

Hypothese : Die Verwendung dieses Materials erweitert den Horizont der Schüler über Kurven und ihre Eigenschaften und zeigt ihre praktische Anwendung im menschlichen Leben.

Der Zweck dieser Arbeit : Sammeln Sie Material, das Sie beim unabhängigen Studium wunderbarer Kurven verwenden können.

Aufgaben : Um dem Schüler zu helfen. Mit minimalem Zeitaufwand maximalen Nutzen bringen.

Praktische Bedeutung der Arbeit: Ich glaube, dass meine Arbeit den Studierenden dabei helfen wird, den Stoff auf verständliche und klare Weise zu verstehen. Zeigt die praktische Anwendung der Eigenschaften bemerkenswerter Kurven und lehrt, wie man Kurven baut.

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Angesichts des aktuellen Entwicklungsstands des technischen Denkens besteht ein Bedarf an Kenntnissen über bemerkenswerte Kurven. Sie sind in der Natur nicht so selten; sie haben praktische Anwendungen im menschlichen Leben. Das Wissen über ihre bemerkenswerten Eigenschaften wird in verschiedenen Mechanismen genutzt, die der Mensch im Leben nutzt.

Ich habe dieses Thema gewählt, weil ich es für interessant und bedeutungsvoll halte, das kognitive Interesse an analytischer Geometrie weckt und die praktische Anwendung der Geometrie im Leben eröffnet. Die Verwendung dieses Materials in Geometrievorlesungen erweitert den Horizont der Studierenden hinsichtlich der im Programm untersuchten Kurven. In verschiedenen Abschnitten der Mathematik und in verschiedenen Studienphasen stoßen wir auf Kurven dritter und zweiter Ordnung. Über die bemerkenswerten Eigenschaften dieser Kurven wird jedoch nirgends gesprochen, geschweige denn über ihre praktische Anwendung. Ich glaube, dass es für Schüler sehr wichtig ist, die wunderbaren Eigenschaften dieser Kurven zu kennen, die im Leben weit verbreitet sind. Durch das Studieren und schon das bloße Kennenlernen dieser Eigenschaften erkennen die Schüler wirklich praktische Anwendungen der Geometrie.

Dazu habe ich mich in verschiedenen Lehrbüchern und Enzyklopädien der Mathematik mit Material über wunderbare Kurven und ihre Eigenschaften vertraut gemacht.

1. Aus der Entwicklungsgeschichte der Linienlehre

Der Begriff einer Linie entstand bereits in prähistorischer Zeit im menschlichen Bewusstsein. Die Flugbahn eines geworfenen Steins, die Umrisse von Blüten und Blättern von Pflanzen, die gewundene Linie eines Flussufers und andere Naturphänomene erregen seit langem die Aufmerksamkeit der Menschen. Sie wurden vielfach beobachtet und dienten als Grundlage für die schrittweise Etablierung des Linienbegriffs. Es dauerte jedoch eine beträchtliche Zeit, bis unsere Vorfahren begannen, die Formen geschwungener Linien miteinander zu vergleichen. Die ersten Zeichnungen an Höhlenwänden und primitive Ornamente auf Haushaltsgegenständen zeigen, dass die Menschen nicht nur eine gerade Linie von einer Kurve, sondern auch einzelne Kurven unterscheiden konnten. Denkmäler aus der Antike weisen darauf hin, dass alle Völker zu irgendeinem Zeitpunkt ihrer Entwicklung die Vorstellung einer geraden Linie und ihres Kreises hatten. Um diese Linien zu konstruieren, wurden einfache Werkzeuge verwendet.

Doch erst mit dem Aufkommen mathematischer Theorien begann sich das Studium der Linien zu entwickeln. Griechische Wissenschaftler entwickelten die Theorie der Linien zweiter Ordnung. Diese Linien wurden als Abschnitt eines Kegels durch eine Ebene betrachtet, weshalb sie in der Antike als Kegelabschnitte bezeichnet wurden. Kegelschnitte wurden erstmals von Menaechmus in Betracht gezogen, der im 4. Jahrhundert v. Chr. lebte. Die erste systematische Darstellung der Theorie dieser Linien lieferte Apollonius von Perga (III.-II. Jahrhundert v. Chr.) in seinem Werk „Kegelschnitte“, das fast ausschließlich hat uns erreicht. Auf der Suche nach Lösungen für verschiedene Probleme betrachteten griechische Wissenschaftler auch einige transzendentale Linien.

Im Mittelalter gerieten die wichtigen Errungenschaften griechischer Wissenschaftler in Vergessenheit. Erst im 7. Jahrhundert wandte sich die mathematische Wissenschaft wieder der Untersuchung von Kurven zu. Für das Studium der Linien war die Entdeckung der Koordinatenmethode durch Descartes und Fermat, die zur Entstehung der Infinitesimalrechnung beitrug, von größter Bedeutung. Die Koordinatenmethode ermöglichte in Kombination mit der Analyse von Infinitesimalen den Übergang zur allgemeinen Untersuchung von Linien. Verschiedene Probleme der Mechanik, Astronomie, Geodäsie und Optik, die im 7.-8. Jahrhundert auftraten, führten zur Entdeckung vieler neuer Linien und zur Untersuchung ihrer geometrisch-mechanischen Eigenschaften. Die größten Mathematiker dieser Zeit – Descartes, Huygens, Leibniz und die Brüder Bernoulli – beschäftigten sich mit großer Begeisterung mit diesen Fragen.

Der nächste wichtige Schritt in der Untersuchung von Linien wurde von Newton gemacht, der mit der Entwicklung der Theorie der Kurven dritter Ordnung begann. Anschließend wurden folgende Aufgaben gestellt: Kurven vierter und höherer Ordnung zu untersuchen, eine allgemeine Theorie algebraischer Kurven in der Ebene zu erstellen, mit der systematischen Untersuchung algebraischer Flächen beginnend mit Flächen zweiter Ordnung zu beginnen. Bei der Lösung des letzten Problems leistete der berühmte Mathematiker VIII Leonard Euler, Akademiker der St. Petersburger Akademie der Wissenschaften, einen großen Beitrag. Er beschrieb das erste Handbuch zur analytischen Geometrie, das die Theorie der Linien und Flächen zweiter Ordnung darlegte.

. Bemerkenswerte Linien dritter Ordnung

Alle Geraden und Kurven zweiter Ordnung (Kreise, Ellipsen, Parabeln, Hyperbeln) sind Sonderfälle von Kurven dritter Ordnung.

Im Allgemeinen kann die Gleichung einer gekrümmten Linie dritter Ordnung wie folgt geschrieben werden: x 3 +a 1 y 3 +3a 2 x 2 y+3a 3 xy 2 +3a 4 x 2 +3a 5 y 2 +3a 6 xy+3a 7 x+3a 8 y+a 9 =0.

Es wird angenommen, dass die Koeffizienten nicht gleichzeitig verschwinden (andernfalls wäre das Ergebnis eine Gleichung zweiten Grades). Wenn alle nicht zerfallenden Geraden zweiter Ordnung durch einen Kreis, eine Ellipse, eine Hyperbel, eine Parabel erschöpft sind, dann ist die Menge von Linien dritter Ordnung sind reichhaltiger - sie enthalten. Über 70 Arten dieser Linien. Nur einige von ihnen, die in ihren Eigenschaften und Anwendungen bemerkenswert sind, werden hier besprochen.

Kartesisches Blatt

. Merkmale des Formulars. Kartesisches Blatt ist eine Kurve 3. Ordnung, deren Gleichung in einem Rechtecksystem die Form hat

Manchmal ist es praktisch, parametrische kartesische Gleichungen zu verwenden, die durch Setzen erhalten werden können j= tx, Hinzufügen von Gleichheit (1) zu dieser Gleichheit und Lösen des resultierenden Systems nach X Und ja, Als Ergebnis erhalten wir:

Daraus folgt, dass das kartesische Blatt eine rationale Kurve ist.

Beachten Sie auch, dass die Polargleichung des kartesischen Blattes die Form hat

(3)

Koordinaten X Und bei Geben Sie die kartesische Gleichung symmetrisch ein, was bedeutet, dass die Kurve ist symmetrisch zur Winkelhalbierenden y=x. Die übliche Untersuchung singulärer Punkte führt zu dem Schluss, dass der Ursprung der Knotenpunkt des kartesischen Blattes ist. Die Tangentengleichungen an eine algebraische Kurve an ihrem singulären Punkt, der mit dem Koordinatenursprung zusammenfällt, können bekanntlich dadurch erhalten werden, dass man die Gruppe von Termen des niedrigsten Grades aus der Gleichung dieser Kurve mit Null gleichsetzt. In unserem Fall haben wir Z ahu = 0, Daraus ergeben sich x = 0 und y = 0 – die erforderlichen Gleichungen für die Tangenten am Knotenpunkt. Diese Tangenten fallen mit den Koordinatenachsen zusammen und daher schneidet sich die Kurve im Ursprung im rechten Winkel. Es ist leicht zu erkennen, dass die Kurve beim ersten Koordinatenwinkel eine Schleife bildet, die die Gerade y = schneidet X am Punkt

Die Punkte dieser Schleife, an denen die Tangenten parallel zu den Koordinatenachsen verlaufen, haben Koordinaten

Und (siehe Abb. 1)

Um eine endgültige Schlussfolgerung über die Form der Kurve zu ziehen, müssen wir auch die Asymptote finden. Indem wir y in der Gleichung der Kurve ersetzen, setzen wir in der resultierenden Gleichung die Koeffizienten zweier Terme mit höheren Potenzen mit Null gleich X. Wir bekommen

und B = - a. Somit hat das kartesische Blatt die Asymptote

y = - x - a; Daher gehen die Zweige des kartesischen Blattes im 2. und 4. Koordinatenwinkel ins Unendliche.

Reis. 1

Oft wird eine um 135 Grad gedrehte Kurve betrachtet. Ihre Gleichungen sehen so aus. In einem rechteckigen System: , Wo

Parametrisch:

Herleitung der Gleichungen einer gedrehten Kurve:

Das XOY-Koordinatensystem wird in das UOV-Koordinatensystem umgewandelt, das durch Drehen der OX- und OY-Achsen im Uhrzeigersinn um einen Winkel und Neuorientierung der OX-Achse in die entgegengesetzte Richtung erhalten wird:

Das Ausdrücken der alten XY-Koordinaten in Bezug auf die neuen UVs sieht folgendermaßen aus:

Nachdem die Ausdrücke der alten Koordinaten durch die neuen ersetzt wurden, wird die kartesische Gleichung in die folgende Form umgewandelt: .

Wir führen den Parameter ein, die letzte Gleichung wird wie folgt umgeschrieben:

Oder .

Wir ersetzen die Variablen u und v durch die üblichen x und y und erhalten die kartesische Gleichung im neuen Koordinatensystem:

Wenn wir die vorherige in die Gleichung einsetzen, erhalten wir die kartesische Blattgleichung im Polarkoordinatensystem:

Wenn wir diesen Ausdruck nach ρ auflösen, erhalten wir:

.

2. Eigenschaften. Wenn nach dem Satz von Maclaurin Tangenten an diese Kurve an drei Punkten einer algebraischen Kurve 3. Ordnung gezogen werden, die auf derselben Geraden liegen, dann liegen auch deren Schnittpunkte mit der Kurve auf einer Geraden. In Bezug auf das kartesische Blatt lässt sich dieser Satz einfach beweisen. Zu diesem Zweck leiten wir eine Vorbedingung für das Vorhandensein von drei den Werten entsprechenden Punkten des kartesischen Blattes ab T 1 , T 2 Und T 3 Parameter, auf einer Geraden. Wenn die Gleichung einer Geraden die Form hat j= kx+ B, dann müssen die Parameterwerte, die den Schnittpunkten dieser Linie mit der Kurve entsprechen, das System erfüllen

Dieses System führt zur Gleichung

Deren Wurzeln werden die gewünschten Werte sein T 1 , T 2 Und T 3 Parameter, was bedeutet, dass

Diese Gleichheit ist die Voraussetzung für das Vorliegen von drei Punkten M 1 (T 1) , M 2 (T 2 ), M 3 (t 3) Kartesisches Blatt auf einer Geraden.

Unter dieser Bedingung werden wir die Gültigkeit des Satzes von Maclaurin für ein kartesisches Blatt zeigen. Tatsächlich die Tangente am Punkt M 1 (T 1 ) kann als gerade Linie betrachtet werden, die das kartesische Blatt an zwei miteinander zusammenfallenden Punkten schneidet, für die T 2 = T 1 , und am dritten Punkt, für den der entsprechende Parameterwert mit T 1 bezeichnet wird. Bedingung (4) wird die Form annehmen T 1 2 T 1 = - 1. Für Tangenten an Punkten M 2 Und M 3 wir erhalten ähnliche Beziehungen t 2 2 T 2 = -1 und t 3 2 T 3 = -1 . Wenn wir diese drei Gleichungen multiplizieren, erhalten wir

(T 1 T 2 T 3 ) 2 T 1 T 2 T 3 = -1 . Daraus schließen wir auf der Grundlage von (4). T 1 T 2 T 3 = -1, diese. Punkte N 1 (T 1 ), N 2 (T 2) und N 3 (T 3) liegen auf derselben Geraden.

Wenn wir die durch die Schleife des kartesischen Blattes begrenzte Fläche bestimmen, erhalten wir:

. Bauweise. Beachten wir zunächst, dass, wenn die Symmetrieachse des kartesischen Blattes als Abszissenachse genommen wird, seine Gleichung die Form annimmt

(5)

Es sei nun ein Kreis mit Radius r und Mittelpunkt im Punkt

und gerade x= -H. Nehmen wir einen beliebigen Punkt Q dieses Kreises und zeichnen wir eine Gerade Qualitätssicherung und direkt QN, senkrecht zur Abszissenachse (Abb. 2). Vom Schnittpunkt R gerade Qualitätssicherung mit einer geraden Linie x= - h Wir führen eine direkte durch R.O. bis es sich am Punkt schneidet Q 1 mit einer geraden Linie QN. Also, Punkt Q Dem Kreis wird ein Punkt zugewiesen F 1. Der Ort der Punkte Q 1 ist ein kartesisches Blatt.

Um dies zu beweisen, notieren Sie die Koordinaten des Punktes Q kann in das Formular geschrieben werden

der Winkel, den der Radius eines Kreises bildet, der zu einem Punkt gezogen wird Q, mit der positiven Richtung der x-Achse. Dementsprechend ergibt sich die Geradengleichung Qualitätssicherung kann geschrieben werden als

In dieser Gleichung wird davon ausgegangen x= -H, Finden Sie die Ordinate

Punkte R. Daraus folgt die Gleichung der Geraden RQ 1 wird in das Formular geschrieben

(6)

Gleichzeitig gilt die Geradengleichung Q 1 N sieht aus wie

(7)

Ausschließen des Parameters aus den Gleichungen (6) und (7) w, Wir finden die Gleichung des Ortes der Punkte Q 1 in der Form

Beim Vergleich mit Gleichung (5) kommen wir zu dem Schluss, dass der gefundene Ort der Punkte ein kartesisches Blatt ist.

Die auf diese Weise bei seiner Konstruktion durchgeführte Umwandlung von Punkten eines Kreises in Punkte eines kartesischen Blattes wird genannt Maclaurin-Transformation.

4. Historischer Hintergrund. Zum ersten Mal in der Geschichte der Mathematik wurde eine Kurve, die später als kartesisches Blatt bezeichnet wurde, in einem Brief von Descartes an Fermat im Jahr 1638 als eine Kurve definiert, für die die Summe der Volumina von Würfeln auf der Abszisse und Ordinate jedes einzelnen gebildet wurde Der Punkt ist gleich dem Volumen eines Parallelepipeds, das auf der Abszisse, der Ordinate und einer Konstante aufgebaut ist. Die Form der Kurve wird zuerst von Roberval bestimmt, der den Knotenpunkt der Kurve findet, aber in seiner Darstellung besteht die Kurve nur aus einer Schleife. Indem er diese Schleife in vier Quadranten wiederholt, erhält er eine Figur, die ihn an eine Blume mit vier Blütenblättern erinnert. Der poetische Name der Kurve „Jasminblütenblatt“ fand jedoch keinen Anklang. Die vollständige Form der Kurve bei Vorhandensein einer Asymptote wurde später (1692) von Huygens und I. Bernoulli bestimmt. Der Name „Kartesisches Blatt“ hat sich erst seit Beginn des 18. Jahrhunderts fest etabliert.

Cissoide Diokles

1. Merkmale des Formulars. Unter den vielen Möglichkeiten der Bildung Cissoide - Kurve, die von den Alten auf der Suche nach einer Lösung für das berühmte Problem der Verdoppelung des Würfels entdeckt wurde, konzentrieren wir uns zunächst auf die einfachste. Nehmen wir einen Kreis (genannt produzieren) mit Durchmesser OA=2a und Tangente AB zu ihr. Durch Punkt O zeichnen wir einen Strahl OB und zeichnen darauf ein Segment OM=VS. Der so konstruierte Punkt M gehört zum Cissoid. Den Balken drehen 0V zu einem bestimmten Winkel und nachdem wir die angegebene Konstruktion abgeschlossen haben, finden wir den zweiten Punkt des Cissoids usw. (Abb. 3).

Wenn Punkt O als Pol genommen wird, woher erhalten wir dann die Polargleichung des Cissoids?

Mit den Formeln für den Übergang von polaren zu kartesischen Koordinaten finden wir die Gleichung des Cissoids im Rechtecksystem:

(2)

Die parametrischen Gleichungen des Cissoids können unter der Annahme x=ty erhalten werden. Basierend auf Gleichung (2) gelangen wir dann zum System

Reis. 3

Gleichung (2) zeigt, dass das Cissoid eine algebraische Kurve 3. Ordnung ist, und aus Gleichungen (3) folgt, dass es eine rationale Kurve ist.

Das Cissoid ist symmetrisch zur x-Achse und hat endlose Zweige; tangential zum erzeugenden Kreis, d.h. gerade x = 2a dient dafür als Asymptote; der Ursprung ist ein Scheitelpunkt 1. Art.

2. Eigenschaften. Kinematisch kann das Cissoid als Trajektorie der Mitte erhalten werden M Bein Sonne Dreieck ABC, Bewegen Sie sich in der Zeichnungsebene so, dass sein Scheitelpunkt liegt IN gleitet entlang der Ordinatenachse und das andere Bein Wechselstrom geht immer durch einen festen Punkt E auf der Abszissenachse. (Abb. 4)

Tatsächlich wurde die Mitte des Segments bestimmt OE durch D, Das merken wir seitdem BC=EO,ê ALLE=ê VEO, Wo /_ VEO = /_ SVE, und deshalb ê Achtung - gleichschenklig, und seitdem ED=EO/2=BC/2=VM, dann das Segment DM parallel zum Segment SEI. Lassen Sie uns weiter zeigen ZU Es gibt einen Schnittpunkt mit der Fortsetzung des Segments DM gerade Linie, die durch einen Punkt geht IN parallel zur x-Achse. Beschreiben wir einen Kreis mit einem Mittelpunkt im Ursprung und einem Radius gleich OD , und zeichne am zweiten Schnittpunkt mit der Linie eine Tangente daran EO. Es wird offensichtlich durch den Punkt gehen ZU. Markieren Sie den Schnittpunkt der Linie DMK mit einem Kreis durch F, Beachten Sie, dass die Dreiecke DOF Und MVK sind einander gleich. Aus ihrer Gleichheit folgt das DF= MK, und deshalb DM= FK. Die letzte Gleichung zeigt den Ort der Punkte M wird ein Cissoid sein.

Andere Möglichkeiten zur Bildung eines Cissoids basieren auf seinen Beziehungen zu einer Parabel. Zeigen wir das zunächst Das Cissoid ist die Teilära einer Parabel relativ zu ihrem Scheitelpunkt.

Die Gleichung dieser Parabel. Gleichung einer Tangente an einem beliebigen Punkt M(x, h ) Diese Parabel kann in der Form geschrieben werden Die Gleichung einer Senkrechten, die vom Ursprung zu dieser Tangente fällt, sind die Koordinaten des Punktes N sein Schnittpunkt mit der Tangente wird durch die Formeln bestimmt

(4)

Wenn wir den Parameter h aus diesen Gleichungen eliminieren, erhalten wir die Gleichung

Cissoid ausdrücken.

Beachten Sie außerdem, dass die Koordinaten eines Punktes symmetrisch zum Ursprung in Bezug auf die Tangente an die Parabel sind um 2 = 2 px, wird erhalten, wenn die rechten Seiten der Formeln (4) verdoppelt werden, und wird daher durch die Formeln bestimmt

Wenn wir den Parameter h aus diesen Gleichungen ausschließen, erhalten wir erneut ein Cissoid mit der Gleichung. Daraus folgt, dass das Cissoid der Ort von Punkten ist, die symmetrisch zum Scheitelpunkt der Parabel in Bezug auf ihre Tangenten sind.

Es ist zu beachten, dass der Ort der Punkte, die symmetrisch zum Ursprung relativ zur Tangente an die Parabel sind, als die Flugbahn des Scheitelpunkts einer anderen Parabel betrachtet werden kann, die mit dieser identisch ist und entlang dieser Parabel rollt. Somit entsteht eine neue Methode der kinematischen Bildung eines Cissoids wie die Flugbahn der Spitze einer Parabel, die entlang einer anderen ähnlichen Parabel rollt, ohne zu verrutschen.

Strophoid

Strophoid (von griech. stróphos – gedrehtes Band und éidos – Aussicht)

Es gebe eine feste Gerade AB und außerhalb davon einen Punkt C im Abstand CO = A; Eine gerade Linie, die AB an einem variablen Punkt N schneidet, dreht sich um C. Wenn wir vom Punkt N aus die Strecken NM = NM" = NO auf beiden Seiten der geraden Linie AB zeichnen, dann ist der Ort der Punkte M und M" für alle Positionen von Der rotierende Strahl CN ist das Strophoid. Gleichung in rechtwinkligen Koordinaten: ; in Polarkoordinaten: r = - a cos 2j/cosj. Strophoida wurde erstmals von E. Torricelli (1645) untersucht; der Name wurde Mitte des 19. Jahrhunderts eingeführt. Reis. 6

Verziera Agnesi

Verziera (versiera) Agnesi ( manchmal Agnesis Locke) ist eine flache Kurve, der Ort der Punkte M, für die die Beziehung erfüllt ist, wobei OA der Durchmesser des Kreises und BC die Halbsehne dieses Kreises senkrecht zu OA ist. Versière Agnesi erhielt seinen Namen zu Ehren der italienischen Mathematikerin Maria Gaetana Agnesi, die diese Kurve untersuchte.

Gleichungen

O = (0,0), A = (0, a)

In einem rechteckigen Koordinatensystem:

Die Koordinaten des auf der Versière liegenden Punktes M sind x = BM, y = OB. OA = a und per Definition konstruieren wir das Verhältnis

Von hier

Andererseits kann BC aus der Kreisgleichung ermittelt werden:

Wir wissen, dass y = OB ist, also drücken wir aus:

Wir setzen beide Ausdrücke für BC gleich:

Wir quadrieren es, übersetzen es und setzen es aus Klammern:

Wir drücken y aus (y=0 ist per Definition nicht geeignet):

, wobei der Winkel zwischen OA und OC ist.

Eigenschaften:

1. Verzière - Kurve dritter Ordnung.

Der Durchmesser OA ist die einzige Symmetrieachse der Kurve.

Die Kurve hat ein Maximum - A (0; a) und zwei Wendepunkte -

In der Nähe des Scheitelpunkts A nähert sich die Verzière einem Kreis mit dem Durchmesser OA. Im Punkt A gibt es einen Kontakt und die Kurve fällt mit dem Kreis zusammen. Dies wird durch den Wert des Krümmungsradius am Punkt A angezeigt: .

Fläche unter dem Graphen S = πa2. Sie wird durch Integration der Gleichung über alles berechnet.

Das Volumen des Rotationskörpers der Versière um ihre Asymptote (OX-Achse).

Anhé Zee Maria Gaetana(Agnesi Maria Gaetana), geb. 16.05.1718, Mailand – gest. 01.09.1799, ebenda. Italienischer Mathematiker, Professor an der Universität Bologna (seit 1750). Agnesis Werk „Grundlagen der Analyse für den Gebrauch der italienischen Jugend“ („Instituzioni analitiche ad uso della gioventú Italiana“, V. 1-2, Mil., 1748) enthält eine Darstellung der analytischen Geometrie, insbesondere betrachtet es eine dritte- Ordnungskurve namens „Agnesi Curl“ (oder Verzier), deren Gleichung y=a 3 / (x 2 +a 2) lautet.

Um diese Linie zu konstruieren, müssen Sie einen Kreis mit dem Radius a zeichnen, dessen Mittelpunkt im Punkt (0, a) liegt. Anschließend werden vom Ursprung aus Geraden gezogen und zwei Punkte markiert. Punkt A (x1, y1) ist der Schnittpunkt der Geraden und des Kreises, Punkt B (x2,2a) ist der Schnittpunkt der Geraden und der oberen horizontalen Tangente an den Kreis. Anschließend wird der Kurvenpunkt (x2, y1) eingezeichnet.

Der englische Mathematiker John Colson hat es sich zur Aufgabe gemacht, die „Principia of Analysis“ aus dem Italienischen zu übersetzen. Für ihn, einen Europäer des 18. Jahrhunderts, war es jedoch nicht leicht zu erkennen, dass die Autorin des Buches eine Frau war und dass für sie, für die Autorin, eine Kurve mit einer Frisur in Verbindung gebracht werden konnte. In der englischsprachigen Literatur wurde die Kurve daher als „Hexe von Agnesi“ bezeichnet. - etwas aus dem Bereich Fliegen bis Bald Mountain...

3. Bemerkenswerte Linien der vierten und höheren Ordnung

Linie (Kurve) vierter Ordnung bezeichnet eine Linie, die durch eine algebraische Gleichung vierten Grades in Bezug auf kartesische rechtwinklige Koordinaten definiert wird. Linien (Kurven) fünfter, sechster und anderer Ordnungen werden auf ähnliche Weise bestimmt.

Die Menge der Linien (Kurven) vierter Ordnung enthält nicht mehr Zehner, sondern Tausende von Linien eines bestimmten Typs. Noch vielfältiger sind die Linienmengen fünfter und sechster Ordnung. Hier betrachten wir bestimmte Linientypen vierter und höherer Ordnung, die interessante Eigenschaften und praktische Anwendungen haben.

Bernoullis Lemniskate

Wenden wir uns der Kurve zu, die der Punkt M in der Ebene beschreibt, so dass das Produkt p der Abstände dieses Punktes zu zwei bestimmten Punkten F 1 und F 2 derselben Ebene unverändert bleibt. Eine solche Kurve wird Lemniskate genannt (Lemniskate bedeutet auf Griechisch „Band“). Wenn die Länge des Segments F 1 F 2 c beträgt, dann sind die Abstände von der Mitte O des Segments F 1 F 2 zu F1 und F2 gleich c/2 und das Produkt dieser Abstände ist gleich c 2 /4 . Fordern wir zunächst, dass der Wert p des unveränderten Produkts genau c 2/4 ist; Dann

Der Punkt O wird auf der Lemniskate liegen und die Lemniskate selbst wird wie eine „liegende Acht“ aussehen (Abb. 8). Wenn wir das Segment F 1 F 2 in beide Richtungen fortsetzen, bis es die Lemniskate schneidet, erhalten wir zwei Punkte A 1 und A 2. Lassen Sie uns den Abstand zwischen A 1 A 2 = x durch den bekannten Abstand c ausdrücken:

Die Brennpunkte der Lemniskate sind F1 (− c; 0) und F2 (c; 0). Nehmen wir einen beliebigen Punkt M (x; y). Das Produkt der Abstände von den Brennpunkten zum Punkt M ist

Und per Definition ist es gleich c2:

Wir quadrieren beide Seiten der Gleichheit:

Erweitern Sie die Klammern auf der linken Seite:

Öffnen Sie die Klammern und falten Sie ein neues Summenquadrat:

Wir nehmen den gemeinsamen Faktor heraus und übertragen ihn:

In diesem Fall ist a der Radius des Kreises, der die Lemniskate beschreibt. Durch einfache Transformationen können wir eine explizite Gleichung erhalten:

Wir quadrieren und öffnen die Klammern:

Erinnern wir uns daran

Das ist eine quadratische Gleichung für y.“ Wenn wir sie lösen, erhalten wir

Wenn wir die Wurzel ziehen und die Option mit einem negativen zweiten Term verwerfen, erhalten wir:

wobei die positive Option die obere Hälfte der Lemniskate definiert, die negative – die untere.

Wenn der Wert des konstanten Produkts p ungleich c 2/4 ist, ändert die Lemniskate ihr Aussehen. Und wenn p kleiner als c 2 /4 ist, besteht die Lemniskate aus zwei Ovalen, die jeweils die Punkte F 1 und F 2 enthalten (Abb. 9).

Das. Indem wir unterschiedliche Bedingungen für p und c 2 /4 festlegen, erhalten wir Lemniskaten verschiedener Typen (Abb. 10).

Reis. 10

Nehmen wir nun beliebig viele Punkte auf der Ebene. F 1, F 2,…, F n und bewegen Sie den Punkt M so, dass für ihn das Produkt der Abstände zu jedem der genommenen Punkte unverändert bleibt. Wir erhalten eine Kurve, deren Form davon abhängt, wie die Punkte F 1, F 2,..., F n relativ zueinander liegen und welchen Wert das konstante Produkt hat. Diese Kurve nennt man Lemniskate mit n Brennpunkten.

Oben haben wir Lemniskaten mit zwei Brennpunkten betrachtet. Indem man eine unterschiedliche Anzahl von Brennpunkten nimmt, sie unterschiedlich anordnet und dem Produkt der Entfernungen den einen oder anderen Wert zuordnet, kann man Lemniskaten mit den bizarrsten Formen erhalten. Wir werden die Spitze des Bleistifts von einem bestimmten Punkt A aus zeichnen, ohne ihn vom Papier abzuheben, so dass er schließlich zum Ausgangspunkt A zurückkehrt. Dann beschreibt er eine bestimmte Kurve; Wir verlangen lediglich, dass sich diese Kurve nirgendwo schneidet

selbst. Offensichtlich lassen sich auf diese Weise Kurven erhalten, die beispielsweise den Umriss eines menschlichen Kopfes oder eines Vogels haben (Abb. 11). Es stellt sich heraus, dass wir bei einer solchen willkürlichen Kurve die Zahl n und die Lage der Brennpunkte wie folgt wählen können:

F 1, F 2,…, F n

und weisen Sie dem konstanten Produkt der Entfernungen einen solchen Wert zu

MF 1 MF 2 … MF n = p

dass die entsprechende Lemniskate mit dem Auge nicht von dieser Kurve abweichen wird. Mit anderen Worten: Mögliche Abweichungen des Punktes M, der die Lemniskate beschreibt, von der gezeichneten Kurve werden die Breite eines Bleistiftstrichs nicht überschreiten (der Bleistift kann vorher beliebig angespitzt werden, so dass der Strich sehr schmal wird). Diese bemerkenswerte Tatsache, die mit vielen Tricks von der außergewöhnlichen Vielfalt und dem Reichtum der Lemniskenformen spricht, lässt sich mit Hilfe der höheren Mathematik recht streng, aber sehr schwierig beweisen.

Pascals Schnecke

Der geometrische Ort der Punkte M und M'' liegt auf den Geraden des Strahls (dessen Mittelpunkt O auf einem Kreis mit dem Radius R liegt) im Abstand a auf beiden Seiten des Schnittpunkts P der Geraden mit dem Kreis; d. h. PM = PM" = A. Gleichung in rechtwinkligen Koordinaten: ( x 2 + y 2 - 2Rx)2 - eine 2(x 2 + y 2) = 0, in Polarkoordinaten: r = 2 R weil j + A. Bei a = 2R Die Schleife zieht sich bis zu einem Punkt zusammen, in diesem Fall verwandelt sich die Cochlea von Pascal in eine Niere. Der Name ist nach dem französischen Wissenschaftler B. Pascal (1588-1651) benannt, der ihn als Erster untersuchte.

Zykloidenkurven

Stellen wir uns vor, dass eine bestimmte Kurve rollt, ohne entlang einer anderen Kurve zu gleiten; Jeder Punkt, der ausnahmslos mit der ersten Kurve verbunden ist, beschreibt eine neue Kurve. Sie können sich also vorstellen, dass eine Ellipse auf einer anderen Ellipse rollt, und die Linie untersuchen, entlang der sich ihr Mittelpunkt bewegt, oder die Flugbahn des Brennpunkts einer Parabel bestimmen, die in einer geraden Linie rollt usw.

Unter den mit dieser Methode erzeugten Kurven gibt es Kurven, die die Trajektorien eines Punktes darstellen, der stets durch einen Kreis verbunden ist, der rollt, ohne auf einem anderen Kreis zu gleiten. Die resultierenden Zeilen werden aufgerufen Zykloide.

Bei der Bildung von Zykloidenkurven liegt der Zeichenpunkt in einem bestimmten Abstand vom Mittelpunkt des erzeugenden (bewegten) Kreises. Im Einzelfall liegt es auf dem Umfang des erzeugenden Kreises. Unter dieser Bedingung werden die resultierenden Kurven in Epizykloiden und Hypozykloiden unterteilt, je nachdem, ob der erzeugende Kreis auf der Außenseite oder auf der Innenseite des stationären Kreises liegt.

Zu den algebraischen Kurven gehören so bekannte Kurven wie Niere und Astern; betrachten wir diese Kurven.

Niere

1. Die gleichung. Eine Niere kann als die Flugbahn eines Punktes definiert werden, der auf dem Umfang eines Kreises mit dem Radius r liegt und entlang des Umfangs eines stationären Kreises mit demselben Radius rollt. Es stellt somit eine Epizykloide mit einem Modul m gleich 1 dar.

Dieser Umstand ermöglicht es uns, die parametrischen Gleichungen der Niere sofort aufzuschreiben und den Modul m durch einen in den zuvor angegebenen parametrischen Gleichungen der Epizykloide zu ersetzen. Werde haben:

(1)

Um die Polargleichung der Niere zu erhalten, ist es zweckmäßig, Punkt A als Pol zu nehmen (Abb. 13) und die Polarachse entlang der Abszissenachse auszurichten. Da das Viereck AOO 1 M ein gleichschenkliges Trapez ist, ist der Polarwinkel j des Punktes M gleich dem Drehwinkel des erzeugenden Kreises, d.h. Parameter t. Unter Berücksichtigung dieses Umstands ersetzen wir y in der zweiten Gleichung des Systems (1) durch r sin t. Wenn wir die so erhaltene Gleichheit um sin t reduzieren, erhalten wir die Polargleichung der Niere

Entsprechend der Form dieser Gleichung

Wir können daraus schließen, dass die Niere eine von Pascals Schnecken ist. Es kann daher als Konchoide eines Kreises definiert werden.

Aus dieser Gleichung folgt, dass die Niere eine algebraische Kurve 4. Ordnung ist.

2. Eigenschaften. Da die Niere eine Epizykloide mit m=1 ist, können zunächst alle Eigenschaften der Epizykloiden, die wir im vorherigen Absatz betrachtet haben, auf sie übertragen werden.

Dies sind die Eigenschaften und Merkmale.

Die Tangente an einem beliebigen Punkt der Niere verläuft durch den Punkt des Kreises des erzeugenden Kreises, der dem Berührungspunkt der Kreise diametral gegenüberliegt, und die Normale verläuft durch den Berührungspunkt.

Der Winkel m, den die Tangente an die Niere mit dem Radiusvektor des Tangentenpunkts bildet, ist gleich der Hälfte des Winkels, den dieser Radiusvektor mit der Polarachse bildet. Wirklich

Aus dieser Beziehung folgt direkt, dass der Winkel, den die Tangente an die Niere mit der Abszissenachse bildet, gleich ist (wie der Außenwinkel des Dreiecks AMN Abb. 14). Mit der Formel können wir beweisen, dass die Tangenten an die Niere, die an den Enden der durch den Pol verlaufenden Sehne gezogen werden, senkrecht zueinander stehen.

In der Tat, seitdem

Reis. 14

Beachten wir auch, dass der geometrische Ort der Schnittpunkte dieser Tangenten ein Kreis ist. Tatsächlich wird die Gleichung der ersten Tangente basierend auf Gleichungen (1) der Niere die Form haben

Und die zweite Tangente. Wenn wir den Parameter aus diesen Gleichungen eliminieren, erhalten wir die Gleichung des angegebenen Kreises.

Der Krümmungsradius an einem beliebigen Punkt der Niere wird durch die Formel bestimmt

Es kann auch gezeigt werden, dass der Krümmungsradius an einem bestimmten Punkt 2/3 der Polarnormalen N beträgt.

Tatsächlich erhalten wir daraus, basierend auf (4), diese Beziehung, um den Krümmungsmittelpunkt der Niere zu konstruieren.

Die Evolute einer Niere wird gemäß der allgemeinen Eigenschaft epizykloider Evoluten ebenfalls eine Niere sein, die der gegebenen ähnelt, einen Ähnlichkeitskoeffizienten von 1/3 aufweist und gegenüber der gegebenen Evolute um einen Winkel von 180° gedreht ist.

Die Länge des Nierenbogens von Punkt A zu einem beliebigen Punkt M wird durch die Formel bestimmt

Wenn die Länge des Bogens vom Punkt A 1 aus gemessen wird, der Punkt A diametral gegenüberliegt, kann die Formel zur Bestimmung der Bogenlänge in das Formular geschrieben werden

(6)

Die natürliche Gleichung der Niere erhält man, wenn man den Parameter aus den Gleichungen (4) und (6) eliminiert. Es wird so aussehen

(7)

Der durch die Niere begrenzte Bereich wird durch die Formel bestimmt

und ist, wie man sieht, gleich der sechsfachen Fläche des erzeugenden Kreises.

Die Länge der gesamten Niere wird durch die Formel bestimmt

und ist, wie man sehen kann, gleich acht Durchmessern des erzeugenden Kreises. Das Volumen des Körpers, das durch die Drehung der Niere um ihre Achse entsteht, ist gleich

Die Oberfläche des Körpers, die durch die Drehung der Niere um ihre Achse entsteht, ist gleich

Wir haben gesehen, dass die Niere organisch mit dem Kreis zusammenhängt. Sie ist eine Kreismuschel und eine Epizykloide. Es hat eine andere Beziehung zum Kreis – die Niere ist eine Subera des Kreises relativ zu einem Punkt, der zu diesem Kreis gehört.

Tatsächlich sei OM eine Senkrechte, die auf eine Tangente an einen Kreis mit dem Radius 2r fällt, der am Punkt N gezeichnet wird.

Da OM = OB + BM oder r == 2r cos j + 2r, ist der geometrische Ort der Punkte M eine Niere mit der Gleichung r = 2r (1 + cos j)

Abschließend stellen wir fest, dass die Niere ebenfalls zur Familie der Sinusspiralen gehört und ihre einzelnen Eigenschaften die allgemeinen Eigenschaften dieser Kurven wiederholen. Aus diesen Eigenschaften folgt insbesondere, dass die Umkehrung einer Niere relativ zum Scheitelpunkt eine Parabel ergibt.

Astroid

1. Eigenschaften. Ein Astroid ist ein Sonderfall einer Hypozykloide, nämlich einer Hypozykloide mit einem Modul m gleich 1/4. Es stellt also die Flugbahn eines Punktes dar, der auf dem Umfang eines Kreises mit dem Radius r liegt und auf der Innenseite eines anderen, stationären Kreises rollt, dessen Radius R viermal größer ist.

Parametrische Gleichungen für den Asteroiden können erhalten werden, indem man in den Gleichungen die Hypozykloide m=1/4 annimmt. Dies sind die Gleichungen:

wobei t wie zuvor der Drehwinkel des erzeugenden Kreises ist (Abb. 16)

Wenn wir den Parameter t aus den Gleichungen (1) ausschließen, erhalten wir:

Aus Gleichung (2) folgt, dass der Astroid eine algebraische Kurve 6. Ordnung ist.

Parametrische Gleichungen (1) des Astroids können auf die Form reduziert werden

(3)

Wenn wir den Parameter t aus diesen Gleichungen herausnehmen, erhalten wir die häufig verwendete Form der Asteroidengleichung

(4)

In den zuvor abgeleiteten allgemeinen Beziehungen für Zykloidenkurven wird der Modul angenommen

m = -1/4 erhalten wir die entsprechenden Beziehungen für den Asteroiden:

) Der Krümmungsradius an einem beliebigen Punkt auf dem Astroiden wird durch die Formel bestimmt

(5)

) Die Länge des Astroidbogens von Punkt A zu einem beliebigen Punkt M(t) wird durch die Formel bestimmt

die Länge eines Zweigs ist gleich und die Länge der gesamten Kurve beträgt 6R;

), um die natürliche Gleichung des Asteroiden zu erhalten, stellen wir zunächst fest, dass, wenn der Ursprung der Bogenlänge nicht auf Punkt A gelegt wird, für den t = 0, sondern auf den Punkt, für den t = p, dann die Länge des Bogens wird durch die Formel bestimmt

Wenn wir den Parameter t aus den Gleichungen (5) und (6) ausschließen, erhalten wir die natürliche Gleichung des Asteroiden

) Die Evolute eines Astroids ist auch ein dem gegebenen ähnlicher Astroid mit einem Ähnlichkeitskoeffizienten von 2, der gegenüber dem gegebenen um einen Winkel p/4 gedreht ist (Abb. 16).

) Die vom gesamten Asteroiden begrenzte Fläche ist gleich dem Volumen des Körpers, das sich aus der Rotation des Asteroiden ergibt, gleich 32/105p R 3

Die durch die Rotation des Asteroiden gebildete Körperoberfläche ist gleich

Wenden wir uns nun einer Betrachtung einiger besonderer Eigenschaften des Asteroiden zu.

Der Asteroid ist die Hülle eines Segments konstanter Länge, die Enden. die entlang zweier zueinander senkrechter Geraden verschoben wird.

Wir nehmen diese Geraden als Koordinatenachsen und bezeichnen den Neigungswinkel des Gleitsegments ND=R durch a (Abb. 4) und erhalten die Gleichung der Geraden ND in der Form

Wenn wir diese Gleichung nach dem Parameter a differenzieren, erhalten wir:

In der Praxis kann die Bewegung des ND-Segments über sogenannte Kardankreise erfolgen. Einer dieser Kreise mit dem Radius R ist stationär, und der andere mit dem halb so großen Radius r rollt entlang der Innenseite des stationären Kreises. Zwei beliebige diametral gegenüberliegende Punkte N und D eines Rollkreises bewegen sich entlang zweier zueinander senkrechter Durchmesser Ox und Oy eines stationären Kreises. Es ist klar, dass die Einhüllende des Durchmessers des Rollkreises der Asteroid sein wird.

Reis. 17

Reis. 18

Die betrachtete Methode der Asteroidenentstehung kann auch wie folgt interpretiert werden. Rechteck ODCN, dessen zwei Seiten auf zwei zueinander senkrechten Linien liegen, wird so verformt, dass seine Diagonale eine Länge gleich R behält, die Hülle der Diagonale wird ein Astroid sein. Da in diesem Fall die vom Scheitelpunkt C auf die Diagonale DN fallende Senkrechte als Normale der Hülle dient, ist der Astroid der geometrische Ort der Basen der Senkrechten, die vom Scheitelpunkt C des Rechtecks ​​auf seine Diagonale fallen.

Wenn diese Gleichungen den zuvor betrachteten geraden Asteroiden ausdrücken.

. Einige transzendentale Zeilen

Transzendental sind Linien, deren Gleichungen in rechtwinkligen kartesischen Koordinaten nicht algebraisch sind. Die einfachsten Beispiele für transzendente Linien sind die Funktionsgraphen y=, y= und andere trigonometrische Funktionen. Schauen wir uns einige andere transzendentale Linien an.

Archimedes-Spirale

Stellen wir uns einen unendlich langen Sekundenzeiger vor, auf dem ausgehend von der Mitte des Zifferblatts ein kleiner Käfer unermüdlich mit einer konstanten Geschwindigkeit v cm/s läuft. In einer Minute befindet sich der Käfer in einem Abstand von 60 V cm von der Mitte, in zwei Minuten bei 120 V usw. Im Allgemeinen beträgt t Sekunden nach Beginn des Laufs der Abstand des Käfers vom Zentrum vt cm. Während dieser Zeit dreht sich der Pfeil um einen Winkel von 6 t° (immerhin in einer Sekunde). schafft es, sich um einen Winkel von 360° zu drehen: 60 = 6°). Daher wird die Position des Käfers auf der Ebene des Zifferblatts nach einer beliebigen Anzahl von t Sekunden nach Beginn der Bewegung auf diese Weise ermittelt. Es ist notwendig, von der Anfangsposition des Pfeils in Richtung seiner Drehung einen Winkel a von 6t° beiseite zu legen und den Abstand r = vt cm von der Mitte entlang der neuen Position des Pfeils zu messen. Hier überholen wir die Fehler (Abb. 21).

Reis. 21.

Offensichtlich ist die Beziehung zwischen dem Drehwinkel a des Pfeils (in Grad) und der zurückgelegten Strecke r (in Zentimetern) wie folgt:

Mit anderen Worten, r ist direkt proportional zu a, mit dem Proportionalitätskoeffizienten k = v/6.

Befestigen wir ein kleines, aber unerschöpfliches Gefäß mit schwarzer Farbe an unserem Läufer und gehen wir davon aus, dass die Farbe, die durch ein winziges Loch herausfließt, eine Spur auf dem Papier hinterlässt, die von dem mit dem Pfeil mitgerissenen Käfer stammt. Dann wird die Kurve, die erstmals von Archimedes (287 - 212 v. Chr.) untersucht wurde, nach und nach auf dem Papier zum Vorschein kommen. Ihm zu Ehren wird sie Archimedes-Spirale genannt. Es muss nur gesagt werden, dass Archimedes weder von einem Sekundenzeiger (damals gab es keine Uhren mit Feder, sie wurden erst im 17. Jahrhundert erfunden) noch von einem Käfer sprach. Der Übersichtlichkeit halber haben wir sie hier aufgeführt.

Reis. 22 Abb. 23.

Die Archimedes-Spirale besteht aus unendlich vielen Windungen. Sie beginnt in der Mitte des Zifferblatts und entfernt sich mit zunehmender Umdrehungszahl immer weiter von dieser. In Abb. 22 zeigt die erste Runde und einen Teil der zweiten.

Sie haben wahrscheinlich gehört, dass es mit einem Zirkel und einem Lineal unmöglich ist, einen zufällig genommenen Winkel in drei gleiche Teile zu teilen (in besonderen Fällen, wenn der Winkel beispielsweise 180°, 135° oder 90° enthält, tritt dieses Problem auf ist leicht zu lösen). Wenn Sie jedoch eine sorgfältig gezeichnete archimedische Spirale verwenden, kann jeder Winkel in beliebig viele gleiche Teile geteilt werden.

Teilen wir zum Beispiel den Winkel AOB in drei gleiche Teile (Abb. 23). Wenn wir davon ausgehen, dass sich der Pfeil genau um diesen Winkel gedreht hat, befindet sich der Käfer im Punkt N auf der Seite des Winkels. Wenn der Drehwinkel jedoch dreimal kleiner war, befand sich der Käfer dreimal näher am Mittelpunkt O. Um diese Position zu finden, teilen Sie zunächst das Segment ON in drei gleiche Teile. Dies kann mit Zirkel und Lineal erfolgen. Wir erhalten ein Segment ON 1, dessen Länge dreimal kürzer ist als ON. Um den Käfer wieder in die Spirale zu bringen, müssen Sie in dieser Kurve eine Kerbe mit dem Radius EIN 1 machen (wieder Kompass!). Wir erhalten Punkt M. Der Winkel AOM ist dreimal kleiner als der Winkel AON.

Zykloide

Bringen wir ein Lineal an der Unterkante der Tafel an und rollen wir einen Reifen oder Kreis (Pappe oder Holz) entlang, wobei wir ihn gegen das Lineal und die Tafel drücken. Wenn Sie ein Stück Kreide an einem Reifen oder Kreis befestigen (am Kontaktpunkt mit dem Lineal), zeichnet die Kreide eine Kurve (Abb. 24), die als Zykloide bezeichnet wird (was auf Griechisch „kreisförmig“ bedeutet). Eine Umdrehung des Reifens entspricht einem „Bogen“ der Zykloide MM"M""N", rollt der Reifen weiter, so entstehen immer mehr Bögen derselben Zykloide.

Reis. 24.

Um auf Papier ungefähr einen Bogen einer Zykloide zu konstruieren, der durch das Rollen eines Reifens mit einem Durchmesser von beispielsweise drei Zentimetern beschrieben wird, zeichnen wir ihn auf einem geraden Segment von 3 x 3,14 = 9,42 cm auf.

Wir erhalten ein Segment, dessen Länge gleich der Länge des Reifenrandes ist, d.h. die Länge eines Kreises mit einem Durchmesser von drei Zentimetern. Teilen wir dieses Segment weiter in eine bestimmte Anzahl gleicher Teile, zum Beispiel 6, und stellen wir für jeden Teilungspunkt unseren Reifen in seiner Position dar, wenn er auf diesem bestimmten Punkt ruht (Abb. 24), und nummerieren diese Positionen mit Zahlen :

Oh, 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Um von einer Position zur nächsten zu gelangen, muss sich der Reifen um ein Sechstel einer vollen Umdrehung drehen (da der Abstand zwischen benachbarten Teilungspunkten einem Sechstel des Kreises entspricht). Befindet sich die Kreide also in Position 0 am Punkt M 0, dann liegt sie in Position 1 am Punkt M 1 – auf einem Sechstel des Kreises vom Kontaktpunkt entfernt, in Position 2 – am Punkt M 2 – zwei Sechstel davon der Ansprechpartner usw. .d. Um die Punkte M 1, M 2, M 3 usw. zu erhalten, müssen Sie nur ausgehend vom Kontaktpunkt Einkerbungen des entsprechenden Kreises mit einem Radius von machen

Reis. 25.

5 cm, und in Position 1 ist eine Kerbe erforderlich, in Position 2 - zwei Kerben hintereinander, in Position 3 - drei Kerben usw. Um nun eine Zykloide zu zeichnen, müssen nur noch die Punkte verbunden werden

M 0, M 1, M 2, M 3, M 4, M 5, M 6

glatte Kurve (nach Augenmaß).

Kürzeste Abstiegskurve

Unter den vielen bemerkenswerten Eigenschaften der Zykloide erwähnen wir eine, die ihr einen laut klingenden, anspruchsvollen Namen eingebracht hat: „Brachistochrone“. Dieser Name setzt sich aus zwei griechischen Wörtern zusammen und bedeutet „kürzeste“ und „Zeit“.

Betrachten wir die folgende Frage: Welche Form sollte einem gut polierten Metallkanal gegeben werden, der zwei gegebene Punkte A und B verbindet (Abb. 26.), damit die polierte Metallkugel auf kürzestem Weg von Punkt A nach Punkt B durch diesen Kanal rollt? möglicher Zeitpunkt? Auf den ersten Blick scheint es, dass man bei einer geraden Rille anhalten muss, da die Kugel nur entlang dieser den kürzesten Weg von A nach B zurücklegt. Dabei handelt es sich jedoch nicht um den kürzesten Weg, sondern um die kürzeste Zeit; Die Zeit hängt nicht nur von der Länge des Weges ab, sondern auch von der Geschwindigkeit, mit der der Ball läuft. Wenn die Rutsche nach unten gebogen ist, fällt ihr Teil ausgehend von Punkt A steiler ab als bei einer geraden Rutsche, und der entlang der Rutsche fallende Ball erhält eine höhere Geschwindigkeit als in einem Abschnitt gleicher Länge einer geraden Rutsche. Wenn Sie jedoch den ersten Teil sehr steil und relativ lang gestalten, wird der an Punkt B angrenzende Teil sehr flach und ebenfalls relativ lang sein. Der Ball passiert den ersten Teil schnell, den zweiten sehr langsam, und der Ball kommt möglicherweise zu spät an Punkt B an. Daher muss der Rutsche offenbar eine konkave Form gegeben werden, aber die Biegung sollte nicht zu groß sein

Reis. 26.

Reis. 27.

Der italienische Physiker und Astronom Galileo (1564-1642) meinte, dass der Graben der kürzesten Zeit entlang eines Kreisbogens gebogen sein sollte. Aber die Schweizer Mathematiker Gebrüder Bernoulli haben vor etwa dreihundert Jahren mit genauen Berechnungen bewiesen, dass dies nicht der Fall ist und dass der Graben entlang des Bogens einer Zykloide gebogen sein sollte (umgestürzt, Abb. 27.). Seitdem hat sich die Zykloide den Spitznamen Brachistochrone verdient, und Bernoullis Beweise dienten als Beginn eines neuen Zweigs der Mathematik – der Variationsrechnung. Letzterer beschäftigt sich damit, die Art von Kurven zu finden, bei denen die eine oder andere für uns interessante Größe ihren minimalen (und in einigen Fällen ihren größten) Wert erreicht.

Logarithmische Spirale

Diese Kurve könnte nach Descartes benannt werden, da sie erstmals in einem seiner Briefe (1638) erwähnt wurde. Eine detaillierte Untersuchung seiner Eigenschaften wurde jedoch erst ein halbes Jahrhundert später von Jacob Bernoulli durchgeführt. Diese Eigenschaften hinterließen einen starken Eindruck auf die Mathematiker seiner Zeit. Die auf dem Grab dieses berühmten Mathematikers errichtete Steinplatte zeigt die Windungen einer logarithmischen Spirale.

Eine archimedische Spirale wird durch einen Punkt beschrieben, der sich entlang eines Strahls („unendlicher Pfeil“) bewegt, sodass der Abstand vom Anfang des Strahls proportional zum Winkel seiner Drehung zunimmt: r = ka. Eine logarithmische Spirale erhält man, wenn nicht der Abstand selbst, sondern sein Logarithmus direkt proportional zum Drehwinkel zunehmen soll. Normalerweise wird die Gleichung einer logarithmischen Spirale unter Verwendung der Nichtfederzahl e als Basis des Logarithmensystems geschrieben (Abschnitt 25). Dieser Logarithmus der Zahl r wird natürlicher Logarithmus genannt und mit In r bezeichnet. Die logarithmische Spiralgleichung wird also als ln r = ka geschrieben

Natürlich kann der Drehwinkel a weiterhin in Grad gemessen werden. Aber Mathematiker messen es lieber im Bogenmaß, d.h. Nehmen Sie als Winkelmaß das Verhältnis der Länge des Kreisbogens zwischen den Seiten des Mittelpunktswinkels zum Radius dieses Kreises. Dann wird eine Drehung des Pfeils um einen rechten Winkel mit der Zahl l 1,57 gemessen, eine Drehung um den Betrag des aufgeklappten Winkels wird mit der Zahl l 3,14 gemessen und eine vollständige Drehung, gemessen in Grad, mit der Zahl 360. wird im Bogenmaß mit der Zahl 2 l 6,28 gemessen.

Reis. 28.

Von den vielen Eigenschaften einer logarithmischen Spirale bemerken wir eine: Jeder von Anfang an austretende Strahl schneidet jede Windung der Spirale im gleichen Winkel. Die Größe dieses Winkels hängt nur von der Zahl k in der Spiralgleichung ab. Unter dem Winkel zwischen Strahl und Spirale wird in diesem Fall der Winkel zwischen diesem Strahl und der am Schnittpunkt gezeichneten Tangente an die Spirale verstanden (Abb. 28).

Abschluss

Bei der Betrachtung von Kurven dritter und vierter Ordnung

Wir haben einige wirklich bemerkenswerte Kurven kennengelernt, die die wunderbare Welt der analytischen Geometrie bevölkern und in unserem Leben viel häufiger vorkommen, als es scheint. Wir untersuchten ihre praktische Anwendung im menschlichen Leben und die Bedeutung ihrer bemerkenswerten Eigenschaften in verschiedenen Mechanismen, die der Mensch im Leben nutzt. In dieser Arbeit haben wir Material mit Schwerpunkt auf der praktischen Konstruktion von Kurven gesammelt.

Damit wurde das gesetzte Ziel erreicht und die entsprechend dem Ziel identifizierten Aufgaben gelöst.

Literatur

transzendentale Spirale der Linienordnung

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Ilyin V.A., Poznyak E.G. Analytische Geometrie. - M.: Nauka, 1971. - 232 S.

Tyshkevich R.I., Fedenko A.S. Lineare Algebra und analytische Geometrie. - 2. Aufl. - Minsk: Wysch. Schule, 1976.544 S.

Antwort: Flugbahn von Punkt B - Astroid s t)

Zu den Zykloidenkurven gehören nicht nur die Zykloide, Epi- und Hypozykloide, sondern auch die unten beschriebene Trochoide, Niere und Aastroide.

Die Koordinaten X, y erfüllen in diesem Fall die Astroidgleichung (Abb. 91)

Ausnahme gibt (astroid)

Wenn p = r = (m = 3), wird die Hypozykloide als Asteroid bezeichnet (Abb. 64) und die Gleichungen haben die Form x = R os i y = R sin "i oder x -y = R.

Wenn p = r = - (t = 3), wird die Hypozykloide als Asteroid bezeichnet (Abb. 64) und die Gleichungen nehmen die Form an

In Abb. 72 Das Segment AB = I ist in einem Winkel von 0 = 180° an der Verbindung AB = I befestigt. Daher ist der von Punkt Bi gezeichnete Astroid relativ zu dem von Punkt B gezeichneten Astroid um einen Winkel t6 gedreht,

Lassen Sie uns die Frage untersuchen, wie Tangenten an diese Kurve mit dem betrachteten Mechanismus gezogen werden können. Gemäß der oben formulierten Regel schneidet die Tangente an den Astroid ein Segment auf der Kurbellinie OA ab, das dem Nenner des Bruchs auf der rechten Seite des Ausdrucks (160) entspricht. In Bezug auf den in Abb. dargestellten Mechanismus. 72, die Größe des Schnittsegments wird durch die Formel (172) bestimmt

In der Praxis wird für den Bau von Asteroiden unter Produktionsbedingungen jede gerade Linie benötigt, in der sie sich bewegt

In Abb. In Abb. 72 haben wir einen Mechanismus gezeigt, der den Enden S und Si der Verbindung 10 eine Bewegung entlang zweier Astroiden ermöglicht, die relativ zueinander um 45° gedreht sind.

Die durch die Gleichungen (57) und (58) beschriebene Kurve ist eine Asteroidenkurve. Die Symmetrieachsen dieser Kurve bilden die Ax-Achsen

Lassen Sie uns, wie in , das Äußere des Asteroiden auf der Halbebene Re5>0 darstellen

Mit a = p = 1 konstruieren wir die Kontur, in der der Asteroid deformiert wurde (Abb. 24).

Die Schieber / und 2 gleiten in festen Führungen p und q, deren Achsen senkrecht zueinander stehen. Die Prozesse a und 6 Schieber 1 bis 2 gleiten in dem kreuzförmigen Schieber 3, dessen Achsen ebenfalls senkrecht zueinander stehen. Das Glied 4 geht mit dem Schieber 3 ein Drehpaar C ein und gleitet in einem kreuzförmigen Schieber 5, der entlang der Achse des Glieds 6 gleitet, das mit den Schiebern I und 2 in den Drehpaaren L und B enthalten ist. Bei den Schiebern I bis 2 Bewegen Sie sich entlang der Hilfslinien und Punkt K beschreibt einen Bogenastroiden, dessen Gleichung = wobei 1 - AB. Die gerade Linie krümmt sich

Die Hypozykloide hat n - -1 Scheitelpunkte, von denen jeder aus Sicht der Spannungskonzentration dem Ende des Risses entspricht (Abb. PZO zeigt einen Astroid mit n = 3). Defekte dieser Art können die Sprödigkeit bestimmen

Finden Sie die Gleichung der Tangente an den Asteroiden.

In Abb. In Abb. 72 zeigt einen zehngliedrigen Mechanismus zur Reproduktion von Astroiden. Der Astroid ist eine gewöhnliche Hypozykloide mit Modul m = und eine algebraische Kurve 6. Ordnung. Astroid-Name

Somit verläuft die Tangente an einen der in der Zeichnung gezeigten Astroiden durch die Punkte C und 5 und die Tangente an den anderen durch die Punkte C und S. Die Punkte B und B sind jedoch die Enden der Pleuelstange B B des Lambda -förmige Gruppe in der Harte-Geraden. Daher gleitet Ende B immer entlang der Verbindung DDj und Ende B entlang der Senkrechten, die von Punkt C zu DDj wiederhergestellt werden. Daraus folgt, dass der von Punkt B gezeichnete Astroid die Hülle aller Positionen der Verbindung DD ist. Das Obige kann auch auf Astroiden ausgedehnt werden, die durch Punkt B oder jeden beliebigen Punkt auf dem Kreis, der von A durch Radius I umschrieben wird, reproduziert werden.

Wie bekannt ist, ist die Blume eines Astroiden, wenn man dessen Symmetriezentrum als Pol wählt, eine vierblättrige Rose. Es reicht also aus, die Segmente ABi = AB in Abb. zu verlängern. 72 (oder in Abb. 73) zu der Größe AB = ABi = L, um damit zu erhalten

KUL ISIO-RY WICHTIGER VYATKIN-MECHANISMUS FÜR DIE REPRODUKTION VON ASTROIDEN

Um die Arbeit abzuschließen, die direkt mit der Theorie des Flügels zusammenhängt, erwähnen wir die Arbeit von G.N. Babaeva über Flettner-Rotoren (Wissenschaftliche Anmerkung. Staatliche Universität Saratow, Fakultät für Pädagogik. T. VH. Heft 11, 1929), in dem der Autor die übliche Methode zur Untersuchung von Flügeln auf den Fall von zwei Flettner-Rotoren anwendet. Der Autor hat übrigens gezeigt, dass die Momentenlinie in diesem Fall ein Asteroid ist. Hinsichtlich

Warum ist unsere Welt schön? Denn die Formen und Farben der belebten Natur folgen weitgehend den allgemeinen Gesetzen der Harmonie, die durch eine strenge mathematische Analyse aufgedeckt werden. Wenn wir die Natur studieren, finden wir in ihr immer mehr ästhetische Merkmale, die sich in der Regel nicht sofort, sondern nach einer detaillierten mathematischen Analyse offenbaren.

Ein Mensch unterscheidet Gegenstände um ihn herum anhand ihrer Form. Das Interesse an der Form eines Objekts kann durch eine lebenswichtige Notwendigkeit bedingt sein oder durch die Schönheit der Form verursacht werden. Die Form, deren Konstruktion auf einer Kombination aus Symmetrie und dem Goldenen Schnitt basiert, trägt zur besten visuellen Wahrnehmung und zum Erscheinungsbild eines Gefühls von Schönheit und Harmonie bei.

Das Ganze besteht immer aus Teilen, unterschiedlich große Teile stehen in einem bestimmten Verhältnis zueinander und zum Ganzen. Das Prinzip des Goldenen Schnitts ist die höchste Manifestation der strukturellen und funktionalen Perfektion des Ganzen und seiner Teile in Kunst, Wissenschaft, Technik und Natur.

Wenn wir die Gesetze der natürlichen Geometrie in einer neuen Situation anwenden, um Kurse in Fächern im Zusammenhang mit geometrischen Konstruktionen zu studieren, überdenken wir die untersuchten geometrischen Gesetze und entwickeln eine geometrische Intuition.

Im Rahmen der Bearbeitung kreativer Aufgaben unterschiedlicher Inhalte lernten wir mögliche Anwendungsbereiche geometrischen Wissens (Künstler, Architekten, Designer etc.) kennen.

Grafische Mittel zur Darstellung von Informationen werden in allen Bereichen der Gesellschaft eingesetzt. Sie haben ein vollständiges Bild, zeichnen sich durch Symbolik, Kompaktheit und relative Lesbarkeit aus. Es sind diese Eigenschaften grafischer Bilder, die ihren erweiterten Einsatz bestimmen. In naher Zukunft werden mehr als die Hälfte der dargestellten Informationen grafisch dargestellt. Die Entwicklung der theoretischen Grundlagen der beschreibenden Geometrie, der technischen Grafik und anderer verwandter Wissenschaften hat die Methoden zur Gewinnung grafischer Bilder erweitert. Neben manuellen Methoden zur Erstellung grafischer Bilder und der Erstellung von Konstruktionsdokumentationen kommen zunehmend computergestützte Methoden zum Einsatz. Der Einsatz neuer Informationstechnologien gewährleistet die Erstellung, Bearbeitung, Speicherung und Vervielfältigung grafischer Bilder mithilfe verschiedener Softwaretools.

I. Grundlegende Informationen zu algebraischen Kurven

1. Astroid

Ein Asteroid (von griech. >-Stern) ist eine Kurve, die durch einen Punkt auf einem sich bewegenden Kreis beschrieben wird, der von innen einen festen Kreis mit dem vierfachen Radius berührt und daran entlangrollt, ohne zu rutschen. Die durch den Astroid begrenzte Fläche beträgt ein Achtel der Fläche des festen Kreises, und die Gesamtlänge des Astroids entspricht dem Sechsfachen des Radius dieses Kreises.

Gleichung des Asteroiden in kartesischen rechtwinkligen Koordinaten:

x + y = R.

Der Astroidgraph wurde auf folgende Weise erstellt:

:: Konstruierte einen Graphen der Funktion für y > 0 (Radius R = 5);

:: Einen Graphen der Funktion erstellt.

2. Niere

Die Niere (von griech. >-Herz und eidos-Ansicht) ist eine durch einen festen Punkt auf einem Kreis beschriebene flache Kurve, die von außen einen festen Kreis gleichen Radius berührt und ohne zu verrutschen auf diesem abrollt. Die Kurve erhielt ihren Namen aufgrund ihrer Ähnlichkeit mit einem Herzen.

Die Konstruktion von Cardioid-Graphen wurde auch in > durchgeführt.

3. Nephroid

Nephroid (von griech. hephros-Niere, eidos-Art) ist eine Kurve, die durch einen festen Punkt eines Kreises beschrieben wird, der außen entlang eines doppelt so großen Kreises rollt. Die Eigenschaften von Nephroid wurden erstmals im 17. Jahrhundert vom sächsischen Adligen E. V. Tschirnhaus untersucht. Die Nephroide besteht aus zwei Nieren.

4. Pascals Schnecke.

Pascals Schnecke ist eine ebene algebraische Kurve. Benannt nach Etienne Pascal (Vater von Blaise Pascal), der es als Erster untersuchte. Gleichung in Polarkoordinaten. Bei l = 2a erhält man eine Niere.

II. Anwendung mathematischer Modellierung.

1. Geschichte der Erstellung von String-Grafiken

Fadengrafik (oder Isofaden) ist ein grafisches Bild, das auf besondere Weise mit Fäden auf Karton oder einer anderen festen Unterlage erstellt wird. Fadengrafiken werden manchmal auch als Isografien oder Stickereien auf Karton bezeichnet.

Der Begriff > (Fadengrafik oder Isothread) wird in Russland verwendet, im englischsprachigen Raum wird der Ausdruck - Stickerei auf Papier, im deutschsprachigen Raum - der Begriff verwendet.

Fadengrafiken als eine Form der dekorativen und angewandten Kunst tauchten erstmals im 17. Jahrhundert in England auf. Englische Weber erfanden eine besondere Art, Fäden zu weben. Sie hämmerten Nägel in die Bretter und zogen in einer bestimmten Reihenfolge Fäden darauf. Das Ergebnis waren durchbrochene Spitzenprodukte, die zur Dekoration des Hauses verwendet wurden. (Es gab eine Version, dass es sich bei diesen Arbeiten um eine Art Skizzen für Muster auf Stoff handelte). Moderne Verbrauchsmaterialien ermöglichen es, sehr beeindruckende Produkte zu erhalten.

Neben der ursprünglichen Technik der Fadengrafik gibt es eine weitere Richtung der Fadengestaltung – das Sticken auf Karton (Isofaden) mit den gleichen Techniken (Technik des Füllens von Ecken und Kreisen).

Das Interesse an Filamentgrafiken tauchte auf und verschwand dann wieder. Einer der Höhepunkte der Popularität war das Ende des 19. Jahrhunderts. Es wurden Bücher über Handarbeiten veröffentlicht, die eine ungewöhnliche Methode des Stickens auf Papier beschrieben, einfach und leicht, für Kinder zugänglich. Bei der Arbeit wurden perforierte Karten (vorgefertigte Vorlagen) und die Technik des Füllens der Ecken, Stiche >, > (zum Sticken von Kurven) verwendet. Mit einem Minimum an Geld könnte jeder (und vor allem Kinder) ausgefallene Souvenirs für die Feiertage herstellen.

Mittlerweile wird diese Kunst in vielen Ländern der Welt praktiziert.

In unserem Land gibt es nur wenige Informationen über Isothread, hauptsächlich zu Informationszwecken: einzelne Veröffentlichungen in Zeitschriften > 1995 erschien ein Buch des Minsker Professors G. A. Branitsky > und ein Buch von M. I. Nagibina > mit einem kleinen Kapitel über Isothread .

Nach der Analyse der verfügbaren Informationen konnten wir feststellen, dass viele Bücher zu dieser Art von Handarbeiten in Form von Schritt-für-Schritt-Anleitungen und Ideenalben veröffentlicht werden, in denen überall nur die reproduktive Arbeitsmethode verwendet wird.

Der Vorteil von Isothread besteht darin, dass es schnell erledigt ist und Sie viele interessante Muster erstellen können. Diese Art von Kreativität entwickelt Vorstellungskraft, Auge, Feinmotorik der Finger, künstlerische Fähigkeiten und ästhetischen Geschmack. Mit der Fadengrafiktechnik können Sie nicht nur dekorative Tafeln, sondern auch Grußkarten, Souvenirhüllen und Lesezeichen herstellen.

Isothread (Thread-Grafik oder Thread-Design) kann mehrere Richtungen haben:

1) Reproduktionsmethode: Arbeiten nach Vorlage, Schritt-für-Schritt-Anleitung, Verteilung vorgefertigter Muster und Sticksets

2) teilweise Suche (Projekt): Rechnen auf Karton lernen (d. h. eigene Meisterwerke schaffen), nach eigenen Techniken und Kombinationen suchen, mit dem Hintergrund „spielen“, Fäden – mit dem Ausführungsmaterial

3) kombiniert – wenn alles mit dem „ABC“ beginnt, arbeiten wir mit vorgefertigten Diagrammen, ändern aber die Art des Materials (Farbe) und erreichen das „Meisterwerk“.

2. Grundlegende Techniken der String-Grafik

Fadengrafiken sind auch unter anderen Namen bekannt: Isothread (d. h. Bild mit Faden), grafische Stickerei. Um die Technik zu beherrschen, genügt es zu wissen, wie ein Winkel, ein Kreis und ein Bogen gefüllt werden.

Technik 1. Die Ecke füllen.

Zeichnen Sie einen Winkel auf die Rückseite des Kartons und teilen Sie jede Seite in gleich viele Teile. Wir stechen mit einer Nadel oder einer dünnen Ahle in die Spitzen, fädeln die Nadel ein und füllen gemäß der Abbildung.

Technik 2. Den Kreis füllen.

Zeichnen wir mit einem Zirkel einen Kreis. Teilen wir es in 12 gleiche Teile und füllen wir es gemäß dem Diagramm.

Technik 3. Den Bogen füllen.

Zeichnen wir einen Bogen, teilen ihn in gleiche Teile und machen an den Teilungspunkten Einstiche. Den Faden in die Nadel einfädeln und entsprechend der Abbildung füllen

III. Forschungsarbeit.

Konstruktionen im Programm >.

Problem 1. Ein Segment in n gleiche Teile teilen.

Lösung 1. Die Unterteilung in 2, 4, 8, 16 usw. Teile erfolgte in > durch Konstruieren der Mittelpunkte des Segments.

Lösung 2. Wir haben auch die Aufteilung eines Segments in eine beliebige Anzahl von Teilen mithilfe des Satzes von Thales durchgeführt.

Aufgabe 2. Einen Kreis in 6, 12, 24 Teile teilen.

Lösung 1. Wir suchten nach verschiedenen Möglichkeiten, einen Kreis in Teile zu unterteilen. Im Programm > haben wir einen Kreis gezeichnet, Punkte in zufälliger Reihenfolge platziert, die resultierenden Winkel gemessen und dann > die Punkte entlang des Kreises verschoben, bis der gewünschte Wert erreicht war. Es war eine eintönige und uninteressante Arbeit. Der Fehler der ersten Teilung in 12 Teile betrug + 0,15 cm in der Länge der Akkorde. Wir begannen, die Situation zu analysieren und nach optimalen Wegen zur Lösung der Probleme zu suchen. Als Ergebnis haben wir mehrere Lösungen gefunden, um einen Kreis in 6, 12, 24 Teile zu unterteilen.

Lösung 2. Markieren Sie 6 Punkte auf dem Kreis, messen Sie alle Winkel und richten Sie die Punkte so aus, dass jeder Winkel 60 [o] beträgt. Dann haben wir mit dem Programm die Winkelhalbierenden jedes Winkels gezeichnet. Das Ergebnis war eine Aufteilung in 12 Teile. Und um es in 24 Teile zu teilen, haben wir noch einmal die Winkelhalbierenden der resultierenden Winkel eingezeichnet. Es stellte sich heraus, dass der Fehler dieser Konstruktion +0,01 Grad betrug.

Lösung 3. Mit dem Programm haben wir 3 Kreise mit demselben Radius erstellt (durch Kopieren) und sie wie in der Abbildung gezeigt kombiniert. Markieren Sie die Schnittpunkte der Kreise. Wir haben die resultierenden Winkel gemessen und es stellte sich heraus, dass sie 60 [o] betrugen. Als nächstes konstruierten wir Winkelhalbierende zur Aufteilung in 12 und 24 Teile. Der Fehler einer solchen Lösung ist Null.

Aufgabe 3. Einen Kreis in 9, 18, 36 Teile teilen.

Nachdem wir den optimalen Weg zur Lösung des vorherigen Problems gefunden hatten, begannen wir ebenfalls nach Möglichkeiten zu suchen, einen Kreis in 9, 18 und 36 Teile zu unterteilen. Eine Aufteilung in 18 und 36 Teile kann erst nach der Konstruktion von 9 Punkten durch die Konstruktion von Winkelhalbierenden erfolgen.

Lösung. 360 [o] : 9 = 40 [o]. Wir > haben den Halbkreis in 4 Bögen von etwa 40 [o] und einen Bogen von 20 [o] unterteilt. Mit dem Programm haben wir alle notwendigen Winkelmessungen durch Verschieben der Punkte durchgeführt. Als nächstes haben wir die konstruierten Punkte ausgewählt und mit dem Befehl > die Punkte um 180 Grad relativ zum Mittelpunkt des Kreises auf den zweiten Halbkreis gespiegelt. Der Fehler dieser Konstruktion betrug + 0,04 Grad.

Aufgabe 4. Konstruktion algebraischer Kurven

Astroid

Lösung 1. Der Astroid wird auf der Koordinatenebene mit dem folgenden Algorithmus konstruiert:

:: Es ist notwendig, die Punkte der Ordinatenachse mit den Punkten der Abszissenachse zu verbinden, sodass die Summe der Teilungszahlen 10 ergibt (zum Beispiel: 1 und 9, 2 und 8, 3 und 7 usw.).

:: Verbinde die Punkte in der gleichen Reihenfolge in den restlichen Vierteln der Koordinatenebene.

Lösung 2. Zeichnen Sie einen Kreis, konstruieren Sie senkrechte Durchmesser und teilen Sie jeden Radius in eine gerade Anzahl von Teilen. Wir haben die Punkte gemäß dem vorherigen Algorithmus mit Segmenten verbunden.

Lösung 3. Nachdem wir die optimale Technik der Aufteilung eines Kreises in 6 Teile beherrschten, konstruierten wir einen 6-Sterne-Astroiden.

Lösung 4. Die Konstruktion eines 8-Sterne-Astroiden erfolgte durch die Konstruktion der Winkelhalbierenden rechter Winkel.

Niere

Lösung. Um eine Niere zu konstruieren, ist die Basis ein Kreis. Die Niere wurde nach folgendem Plan gebaut:

:: zeichnete einen Kreis und teilte ihn in 36 Teile (jeweils 10 Grad);

:: nummerierte die äußeren Punkte von 1 bis 36 gegen den Uhrzeigersinn;

:: interne Punkte werden gemäß Diagramm 1 nummeriert;

:: verbundene Punkte mit den gleichen internen und externen Nummern;

:: Die Hüllkurve wird die Niere sein.

Schema 1 Schema 2

IV. Unsere Kreativität.

Nachdem wir die Grundtechniken des Entwerfens und Modellierens beherrschten, versuchten wir, uns als Designer und Künstler zu verwirklichen. Wir haben folgende Arbeiten entwickelt und in die Praxis umgesetzt:

Fazit, Schlussfolgerungen

>“, bemerkte Aristoteles vor 2500 Jahren. Unser Zeitgenosse Suchomlinsky glaubte das >. Und Mathematik ist ein wunderbares Fach für Überraschungen.

Nachdem wir das verfügbare Material eingehend studiert hatten, lernten wir eine neue Methode zur Konstruktion von Kurven kennen – die mathematische Stickerei, bei der bekannte Techniken zur Konstruktion geometrischer Figuren verwendet wurden (Winkel konstruieren, ein Segment in gleiche Teile teilen, Punkte in einer bestimmten Reihenfolge verbinden, a teilen). Kreis im Programm in gleiche Teile teilen >). Wir fanden eine erstaunliche Ähnlichkeit zwischen mathematischer Stickerei und einer seit langem bekannten Art dekorativer und angewandter Kunst – Isofaden.

Im Internet und in der Fachliteratur gibt es viele Fotos mit Isofaden-Stickerei, denen jedoch keine Diagramme beigefügt sind. Wir kamen zu dem Schluss, dass mathematisches Sticken ein kreativer Prozess ist. Wenn Sie die Grundlagen der mathematischen Modellierung kennen, die in unserer Arbeit dargelegt werden, können Sie mit kreativem Denken, Logik und Geduld individuelle > angewandte Kunst schaffen.

Die mathematische Stickerei interessierte nicht nur uns, sondern auch viele Schüler (sowohl Mädchen als auch Jungen). Wir glauben, dass moderne Informationstechnologien die Verbindung von Mathematik und Kunst ermöglichen werden.

Kurve oder Linie ist ein geometrischer Begriff, der in verschiedenen Abschnitten unterschiedlich definiert wird.

KURVE (Linie), eine Spur, die ein sich bewegender Punkt oder Körper hinterlässt. Normalerweise wird eine Kurve nur als sanft geschwungene Linie dargestellt, wie eine Parabel oder ein Kreis. Der mathematische Begriff einer Kurve umfasst jedoch sowohl eine gerade Linie als auch Figuren, die aus geraden Abschnitten bestehen, beispielsweise ein Dreieck oder ein Quadrat.

Kurven können in ebene und räumliche Kurven unterteilt werden. Eine ebene Kurve, beispielsweise eine Parabel oder eine Gerade, entsteht durch den Schnittpunkt zweier Ebenen oder einer Ebene und eines Körpers und liegt daher vollständig in einer Ebene. Eine räumliche Kurve, beispielsweise eine Helix in Form einer Schraubenfeder, kann nicht als Schnittpunkt einer Oberfläche oder eines Körpers mit einer Ebene erhalten werden und liegt nicht in derselben Ebene. Kurven können auch in geschlossene und offene Kurven unterteilt werden. Eine geschlossene Kurve, beispielsweise ein Quadrat oder ein Kreis, hat keine Enden, d. h. Der bewegliche Punkt, der eine solche Kurve erzeugt, wiederholt seinen Weg periodisch.

Eine Kurve ist ein Ort oder eine Menge von Punkten, die eine mathematische Bedingung oder Gleichung erfüllen.

Ein Kreis ist beispielsweise der Ort der Punkte auf einer Ebene, die von einem bestimmten Punkt gleich weit entfernt sind. Durch algebraische Gleichungen definierte Kurven werden algebraische Kurven genannt.

Beispielsweise ist die Gleichung einer Geraden y = mx + b, wobei m die Steigung und b das auf der y-Achse geschnittene Segment ist, algebraisch.

Kurven, deren Gleichungen transzendente Funktionen wie Logarithmen oder trigonometrische Funktionen enthalten, werden transzendente Kurven genannt.

Beispielsweise sind y = log x und y = tan x Gleichungen transzendenter Kurven.

Die Form einer algebraischen Kurve kann durch den Grad ihrer Gleichung bestimmt werden, der mit dem höchsten Grad der Terme der Gleichung übereinstimmt.

Wenn die Gleichung ersten Grades ist, zum Beispiel Ax + By + C = 0, dann hat die Kurve die Form einer Geraden.

Wenn die Gleichung zweiten Grades beispielsweise lautet:

Ax 2 + By + C = 0 oder Ax 2 + By 2 + C = 0, dann ist die Kurve quadratisch, d. h. stellt einen der Kegelschnitte dar; Zu diesen Kurven gehören Parabeln, Hyperbeln, Ellipsen und Kreise.

Lassen Sie uns die allgemeinen Formen der Kegelschnittgleichungen auflisten:

x 2 + y 2 = r 2 - Kreis,

x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1 - Ellipse,

y = Axt 2 - Parabel,

x 2 /a 2 – y 2 /b 2 = 1 - Hyperbel.

Kurven, die den Gleichungen der dritten, vierten, fünften, sechsten usw. entsprechen. Grad heißen Kurven der Terz, Quarte, Quinte, Sexte usw. Befehl. Im Allgemeinen gilt: Je höher der Grad der Gleichung, desto mehr Krümmungen weist die offene Kurve auf.

Viele komplexe Kurven haben spezielle Namen erhalten.

Eine Zykloide ist eine ebene Kurve, die durch einen festen Punkt auf einem Kreis beschrieben wird, der entlang einer geraden Linie rollt, die als Generator der Zykloide bezeichnet wird. Eine Zykloide besteht aus einer Reihe sich wiederholender Bögen.

Eine Epizykloide ist eine ebene Kurve, die durch einen festen Punkt auf einem Kreis beschrieben wird, der auf einem anderen festen Kreis außerhalb davon rollt.

Eine Hypozykloide ist eine ebene Kurve, die durch einen festen Punkt auf einem Kreis beschrieben wird, der von innen entlang eines festen Kreises rollt.

Eine Spirale ist eine flache Kurve, die sich Windung für Windung von einem festen Punkt aus abwickelt (oder diesen umschlingt).

Mathematiker untersuchen die Eigenschaften von Kurven seit der Antike, und die Namen vieler ungewöhnlicher Kurven sind mit den Namen derjenigen verbunden, die sie zuerst untersucht haben. Dies sind beispielsweise die Archimedes-Spirale, die Agnesi-Kurve, die Diokles-Zissoide, die Nikomedes-Kochoide und die Bernoulli-Lemniskate.

Im Rahmen der Elementargeometrie erhält der Begriff einer Kurve keine eindeutige Formulierung und wird manchmal als „Länge ohne Breite“ oder als „Grenze einer Figur“ definiert. Im Wesentlichen läuft das Studium von Kurven in der Elementargeometrie auf die Betrachtung von Beispielen hinaus (, , , usw.). Mangels allgemeiner Methoden drang die Elementargeometrie ziemlich tief in die Untersuchung der Eigenschaften spezifischer Kurven ein (, mancheund auch), wobei jeweils spezielle Techniken zum Einsatz kommen.

Am häufigsten wird eine Kurve als kontinuierliche Abbildung von einem Segment auf Folgendes definiert:

Gleichzeitig können die Kurven unterschiedlich sein, auch wenn sie es sindzusammenpassen. Solche Kurven heißenparametrisierte Kurvenoder wenn[ A , B ] = , Wege.

Manchmal wird die Kurve bis zu bestimmt, das heißt bis zur minimalen Äquivalenzrelation, so dass parametrische Kurven vorliegen

sind äquivalent, wenn eine kontinuierliche (manchmal nicht abnehmende) H aus dem Segment [ A 1 ,B 1 ] pro Segment [ A 2 ,B 2 ], so dass

Diejenigen, die durch diese Beziehung definiert werden, werden einfach Kurven genannt.

Analytische Definitionen

In Kursen zur analytischen Geometrie wird bewiesen, dass zwischen Linien, die in kartesischen rechtwinkligen (oder sogar allgemeinen affinen) Koordinaten geschrieben sind, eine allgemeine Gleichung zweiten Grades gilt

Ax 2 + 2Bxy + Cy 2 + 2Dx + 2Ey + F = 0

(wobei mindestens einer der Koeffizienten A, B, C von Null verschieden ist) werden nur die folgenden acht Arten von Linien gefunden:

a) Ellipse;

b) Übertreibung;

c) Parabel (nicht entartete Kurven zweiter Ordnung);

d) ein Paar sich schneidender Linien;

e) ein Paar paralleler Linien;

f) ein Paar zusammenfallender Linien (eine gerade Linie);

g) ein Punkt (entartete Linien zweiter Ordnung);

h) eine „Linie“, die überhaupt keine Punkte enthält.

Umgekehrt wird jede Linie jedes der acht angegebenen Typen durch eine Gleichung zweiter Ordnung in kartesischen rechtwinkligen Koordinaten geschrieben. (In Kursen zur analytischen Geometrie spricht man normalerweise von neun (nicht acht) Arten von Kegelschnitten, weil sie zwischen einer „imaginären Ellipse“ und einem „Paar imaginärer paralleler Linien“ unterscheiden – geometrisch sind diese „Linien“ gleich, da beide es tun (enthalten keinen einzigen Punkt, werden aber analytisch durch unterschiedliche Gleichungen geschrieben.) Daher können (entartete und nicht entartete) Kegelschnitte auch als Linien zweiter Ordnung definiert werden.

INEine Kurve auf einer Ebene ist als eine Menge von Punkten definiert, deren Koordinaten die Gleichung erfüllenF ( X , j ) = 0 . Gleichzeitig für die FunktionF Es werden Einschränkungen auferlegt, die garantieren, dass diese Gleichung unendlich viele divergente Lösungen hat und

Dieser Lösungssatz füllt den „Teil der Ebene“ nicht aus.

Algebraische Kurven

Eine wichtige Klasse von Kurven sind diejenigen, für die die Funktion giltF ( X , j ) Es gibtaus zwei Variablen. In diesem Fall die durch die Gleichung definierte KurveF ( X , j ) = 0 , angerufen.

Algebraische Kurven, die durch eine Gleichung 1. Grades definiert sind, sind.

Eine Gleichung vom Grad 2 mit unendlich vielen Lösungen bestimmt , also entartet und nicht entartet.

Beispiele für Kurven, die durch Gleichungen 3. Grades definiert sind: , .

Beispiele für Kurven 4. Grades: und.

Beispiel einer Kurve 6. Grades: .

Beispiel einer Kurve, die durch eine Gleichung geraden Grades definiert ist: (multifokal).

Algebraische Kurven, die durch Gleichungen höheren Grades definiert sind, werden in berücksichtigt. Gleichzeitig wird ihre Theorie harmonischer, wenn die Betrachtung weitergeführt wird. In diesem Fall wird die algebraische Kurve durch eine Gleichung der Form bestimmt

F ( z 1 , z 2 , z 3 ) = 0 ,

Wo F- ein Polynom aus drei Variablen, die Punkte sind.

Arten von Kurven

Eine ebene Kurve ist eine Kurve, bei der alle Punkte in derselben Ebene liegen.

(einfache Linie oder Jordan-Bogen, auch Kontur) – eine Menge von Punkten einer Ebene oder eines Raums, die in einer eins-zu-eins- und gegenseitig kontinuierlichen Entsprechung mit Liniensegmenten stehen.

Der Pfad ist ein Segment in .

analytische Kurven, die nicht algebraisch sind. Genauer gesagt Kurven, die durch die Niveaulinie einer analytischen Funktion (oder im mehrdimensionalen Fall eines Funktionensystems) definiert werden können.

Sinus,

Zykloide,

Archimedes-Spirale,

Traktor,

Kettenlinie,

Hyperbolische Spirale usw.

1. Methoden zum Definieren von Kurven:

analytisch – die Kurve wird durch eine mathematische Gleichung gegeben;

grafisch – die Kurve wird visuell auf einem grafischen Informationsträger angegeben;

tabellarisch – die Kurve wird durch die Koordinaten einer aufeinanderfolgenden Reihe von Punkten angegeben.

parametrisch (die gebräuchlichste Art, die Gleichung einer Kurve anzugeben):

Wo - glatte ParameterfunktionenT, Und

(X") 2 + (j") 2 + (z") 2 > 0 (Regelmäßigkeitsbedingung).

Es ist oft praktisch, eine invariante und kompakte Darstellung der Kurvengleichung zu verwenden, indem man Folgendes verwendet:

wobei auf der linken Seite Punkte der Kurve vorhanden sind und auf der rechten Seite ihre Abhängigkeit von einem Parameter bestimmt wird T. Wenn wir diesen Eintrag in Koordinaten erweitern, erhalten wir die Formel (1).

1. Zykloide.

Die Geschichte des Studiums der Zykloide ist mit den Namen so großer Wissenschaftler, Philosophen, Mathematiker und Physiker wie Aristoteles, Ptolemaios, Galileo, Huygens, Torricelli und anderen verbunden.

Zykloide(ausκυκλοειδής - rund) -, die als Flugbahn eines Punktes definiert werden kann, der auf der Grenze eines Kreises liegt, der rollt, ohne auf einer geraden Linie zu gleiten. Dieser Kreis wird als erzeugend bezeichnet.

Eine der ältesten Methoden zur Kurvenbildung ist die kinematische Methode, bei der die Kurve als Trajektorie eines Punktes ermittelt wird. Eine Kurve, die als Flugbahn eines auf einem Kreis fixierten Punktes erhalten wird, der entlang einer geraden Linie, entlang eines Kreises oder einer anderen Kurve rollt, ohne zu gleiten, wird als Zykloide bezeichnet, was aus dem Griechischen übersetzt „kreisförmig“ bedeutet und an einen Kreis erinnert.

Betrachten wir zunächst den Fall, dass der Kreis entlang einer geraden Linie rollt. Die Kurve, die durch einen auf einem Kreis fixierten Punkt beschrieben wird, der auf einer geraden Linie rollt, ohne zu gleiten, wird Zykloide genannt.

Lassen Sie einen Kreis mit dem Radius R entlang einer geraden Linie a rollen. C ist ein auf einem Kreis fixierter Punkt, der sich zum Anfangszeitpunkt an Position A befindet (Abb. 1). Zeichnen wir auf der Linie a ein Segment AB gleich der Länge des Kreises, d.h. AB = 2 π R. Teilen Sie dieses Segment durch die Punkte A1, A2, ..., A8 = B in 8 gleiche Teile.

Es ist klar, dass, wenn der Kreis, der entlang der Geraden a rollt, eine Umdrehung macht, d.h. dreht sich um 360, dann nimmt es Position (8) ein und Punkt C bewegt sich von Position A nach Position B.

Wenn der Kreis eine halbe volle Umdrehung macht, d.h. dreht sich um 180, dann nimmt es Position (4) ein und Punkt C bewegt sich zur höchsten Position C4.

Wenn sich der Kreis um einen Winkel von 45 dreht, bewegt sich der Kreis zu Position (1) und Punkt C bewegt sich zu Position C1.

Abbildung 1 zeigt auch andere Punkte der Zykloide, die den verbleibenden Drehwinkeln des Kreises entsprechen, Vielfache von 45.

Indem wir die konstruierten Punkte mit einer glatten Kurve verbinden, erhalten wir einen Abschnitt der Zykloide, der einer vollständigen Kreisumdrehung entspricht. Bei den nächsten Umdrehungen werden die gleichen Abschnitte erhalten, d.h. Die Zykloide besteht aus einem sich periodisch wiederholenden Abschnitt, der als Zykloidenbogen bezeichnet wird.

Achten wir auf die Lage der Tangente an die Zykloide (Abb. 2). Wenn ein Radfahrer auf einer nassen Straße fährt, fliegen die vom Rad kommenden Tropfen tangential zur Zykloide und können, wenn keine Schutzschilde vorhanden sind, auf den Rücken des Radfahrers spritzen.

Der erste Mensch, der sich mit der Zykloide beschäftigte, war Galileo Galilei (1564 – 1642). Er hat sich auch den Namen ausgedacht.

Eigenschaften der Zykloide:

Cycloid hat eine Reihe bemerkenswerter Eigenschaften. Lassen Sie uns einige davon erwähnen.

Eigentum 1. (Eisberg.) Im Jahr 1696 stellte I. Bernoulli das Problem, die Kurve des steilsten Abstiegs zu finden, oder mit anderen Worten, das Problem, welche Form eine Eisrutsche haben sollte, um sie für die Reise hinunterzurollen vom Startpunkt A zum Endpunkt B in kürzester Zeit (Abb. 3, a). Die gewünschte Kurve wurde „Brachistochrone“ genannt, d.h. kürzeste Zeitkurve.

Es ist klar, dass der kürzeste Weg von Punkt A nach Punkt B das Segment AB ist. Bei einer solchen geradlinigen Bewegung nimmt die Geschwindigkeit jedoch langsam zu und der Zeitaufwand für den Abstieg fällt groß aus (Abb. 3, b).

Je steiler der Abstieg, desto schneller steigt die Geschwindigkeit. Bei einem steilen Abstieg verlängert sich jedoch der Weg entlang der Kurve und damit die Zeit, die für die Bewältigung benötigt wird.

Zu den Mathematikern, die dieses Problem gelöst haben, gehörten: G. Leibniz, I. Newton, G. L'Hopital und J. Bernoulli. Sie bewiesen, dass die gewünschte Kurve eine umgekehrte Zykloide ist (Abb. 3, a). Die von diesen Wissenschaftlern zur Lösung des Brachistochronproblems entwickelten Methoden legten den Grundstein für eine neue Richtung in der Mathematik – die Variationsrechnung.

Eigentum 2. (Uhr mit Pendel.) Eine Uhr mit einem gewöhnlichen Pendel kann nicht genau gehen, da die Schwingungsdauer eines Pendels von seiner Amplitude abhängt: Je größer die Amplitude, desto größer die Periodendauer. Der niederländische Wissenschaftler Christiaan Huygens (1629 – 1695) fragte sich, welcher Kurve eine Kugel auf der Schnur eines Pendels folgen sollte, damit die Schwingungsdauer nicht von der Amplitude abhängt. Beachten Sie, dass bei einem gewöhnlichen Pendel die Kurve, entlang der sich die Kugel bewegt, ein Kreis ist (Abb. 4).

Es stellte sich heraus, dass die gesuchte Kurve eine umgekehrte Zykloide war. Wenn beispielsweise ein Graben in Form einer umgekehrten Zykloide angelegt wird und eine Kugel entlang dieser geschleudert wird, hängt die Bewegungsdauer der Kugel unter dem Einfluss der Schwerkraft nicht von ihrer Ausgangsposition und Amplitude ab (Abb. 5). ). Aufgrund dieser Eigenschaft wird die Zykloide auch „Tautochrone“ genannt – eine Kurve gleicher Zeiten.

Huygens stellte zwei Holzbretter mit zykloidenförmigen Kanten her, die die Bewegung des Fadens nach links und rechts begrenzten (Abb. 6). In diesem Fall bewegt sich die Kugel selbst entlang einer umgekehrten Zykloide und daher hängt die Schwingungsdauer nicht von der Amplitude ab.

Insbesondere aus dieser Eigenschaft der Zykloide folgt, dass wir, egal von welcher Stelle auf der Eisrutsche in Form einer umgekehrten Zykloide wir unseren Abstieg beginnen, bis zum Endpunkt die gleiche Zeit verbringen werden.

Zykloidengleichung

1. Es ist zweckmäßig, die Zykloidengleichung in Form von α zu schreiben – dem Drehwinkel des Kreises, ausgedrückt im Bogenmaß; beachten Sie, dass α auch gleich dem Weg ist, den der erzeugende Kreis in einer geraden Linie zurücklegt.

x=rα– R Sünde α

y=r – r cos α

2. Nehmen wir die horizontale Koordinatenachse als die Gerade, entlang derer der erzeugende Radiuskreis rollt R.

Die Zykloide wird durch parametrische Gleichungen beschrieben

X = rt – R Sünde T,

j = R – R cos T.

Gleichung in:

Die Zykloide kann durch Lösen der Differentialgleichung erhalten werden:

Aus der Geschichte der Zykloide

Der erste Wissenschaftler, der sich mit der Zykloide beschäftigteV, aber ernsthafte Forschungen zu dieser Kurve begannen erst in.

Der erste Mensch, der die Zykloide untersuchte, war Galileo Galilei (1564-1642), der berühmte italienische Astronom, Physiker und Pädagoge. Er erfand auch den Namen „Zykloide“, was „an einen Kreis erinnernd“ bedeutet. Galilei selbst hat nichts über die Zykloide geschrieben, aber seine Arbeit in dieser Richtung wird von Galileis Schülern und Anhängern erwähnt: Viviani, Toricelli und anderen. Toricelli, ein berühmter Physiker und Erfinder des Barometers, widmete viel Zeit der Mathematik. In der Renaissance gab es keine engstirnigen Fachwissenschaftler. Ein talentierter Mann studierte Philosophie, Physik und Mathematik und erzielte überall interessante Ergebnisse und machte bedeutende Entdeckungen. Etwas später als die Italiener griffen die Franzosen die Zykloide auf und nannten sie „Roulette“ oder „Trochoid“. Im Jahr 1634 berechnete Roberval, der Erfinder des berühmten Skalensystems, die Fläche, die vom Bogen einer Zykloide und ihrer Basis begrenzt wird. Eine umfassende Untersuchung der Zykloide wurde von einem Zeitgenossen Galileis durchgeführt. Darunter sind Kurven, deren Gleichung nicht in der Form geschrieben werden kann X , j, die Zykloide ist die erste der untersuchten.

Schrieb über die Zykloide:

Das Roulette ist eine Linie, die so häufig vorkommt, dass es nach der geraden Linie und dem Kreis keine Linie gibt, die häufiger vorkommt; Es wird so oft vor aller Augen umrissen, dass man sich wundern muss, dass die Alten es nicht berücksichtigt haben ... denn es ist nichts weiter als ein Weg, der durch den Nagel eines Rades in der Luft beschrieben wird.

Die neue Kurve erfreute sich schnell großer Beliebtheit und wurde einer eingehenden Analyse unterzogen, darunter:, , Newton,, die Bernoulli-Brüder und andere Koryphäen der Wissenschaft des 17.-18. Jahrhunderts. Auf der Zykloide wurden die in diesen Jahren aufkommenden Methoden aktiv verfeinert. Die Tatsache, dass sich die analytische Untersuchung der Zykloide als ebenso erfolgreich erwies wie die Analyse algebraischer Kurven, hinterließ großen Eindruck und wurde zu einem wichtigen Argument für die „Gleichberechtigung“ algebraischer und transzendentaler Kurven. Epizykloide

Einige Arten von Zykloiden

Epizykloide - die Flugbahn des Punktes A, der auf einem Kreis mit dem Durchmesser D liegt und ohne zu gleiten auf einem Führungskreis mit dem Radius R rollt (äußerer Kontakt).

Der Aufbau der Epizykloide erfolgt in der folgenden Reihenfolge:

Zeichnen Sie vom Mittelpunkt 0 aus einen Hilfsbogen mit einem Radius von 000=R+r;

Zeichnen Sie von den Punkten 01, 02, ... 012 aus wie von den Mittelpunkten aus Kreise mit dem Radius r, bis sie sich mit Hilfsbögen an den Punkten A1, A2, ... A12 schneiden, die zur Epizykloide gehören.

Hypozykloide

Die Hypozykloide ist die Flugbahn des Punktes A, der auf einem Kreis mit dem Durchmesser D liegt und ohne zu gleiten auf einem Führungskreis mit dem Radius R (innere Tangentialität) rollt.

Der Aufbau einer Hypozykloide erfolgt in der folgenden Reihenfolge:

Der erzeugende Kreis mit dem Radius r und der richtende Kreis mit dem Radius R werden so gezeichnet, dass sie sich im Punkt A berühren;

Der erzeugende Kreis wird in 12 gleiche Teile geteilt, man erhält die Punkte 1, 2, ... 12;

Zeichnen Sie vom Mittelpunkt 0 aus einen Hilfsbogen mit einem Radius von 000=R-r;

Der Zentriwinkel a wird durch die Formel a =360r/R bestimmt.

Teilen Sie den durch den Winkel a begrenzten Bogen des Führungskreises in 12 gleiche Teile und erhalten Sie die Punkte 11, 21, ... 121;

Vom Mittelpunkt 0 aus werden Geraden durch die Punkte 11, 21, ...121 gezogen, bis sie den Hilfsbogen an den Punkten 01, 02, ...012 schneiden;

Vom Mittelpunkt 0 aus werden Hilfsbögen durch die Teilungspunkte 1, 2, ... 12 des erzeugenden Kreises gezogen;

Zeichnen Sie von den Punkten 01, 02, ... 012 sowie von den Mittelpunkten aus Kreise mit dem Radius r, bis sie sich mit Hilfsbögen an den Punkten A1, A2, ... A12 schneiden, die zur Hypozykloide gehören.

1. Niere.

Niere ( καρδία - Herz, Einen Sonderfall stellt die Niere dar. Der Begriff „Niere“ wurde 1741 von Castillon eingeführt.

Wenn wir einen Kreis und einen Punkt darauf als Pol nehmen, erhalten wir nur dann eine Niere, wenn wir Segmente zeichnen, die dem Durchmesser des Kreises entsprechen. Bei anderen Größen der hinterlegten Segmente sind die Konchoiden verlängerte oder verkürzte Nieren. Diese verlängerten und verkürzten Nieren werden auch Pascal-Cochlea genannt.

Die Nierencharakteristik hat in der Technik vielfältige Anwendungsmöglichkeiten. Nierenformen werden zur Herstellung von Exzentern und Nocken für Autos verwendet. Es wird manchmal beim Zeichnen von Zahnrädern verwendet. Darüber hinaus wird es in der optischen Technik eingesetzt.

Eigenschaften einer Niere

Niere -B M auf einem sich bewegenden Kreis beschreibt eine geschlossene Flugbahn. Diese flache Kurve wird Niere genannt.

2) Niere kann auf andere Weise erhalten werden. Markieren Sie einen Punkt auf dem Kreis UM und lasst uns daraus einen Balken zeichnen. Wenn von Punkt A Schnittpunkt dieses Strahls mit einem Kreis, zeichnen Sie ein Segment BIN, Länge gleich dem Durchmesser des Kreises, und der Strahl dreht sich um den Punkt UM, dann zeigen M bewegt sich entlang der Niere.

3) Eine Niere kann auch als Kurve dargestellt werden, die alle Kreise tangiert, deren Mittelpunkte auf einem gegebenen Kreis liegen und durch dessen Fixpunkt verlaufen. Bei der Konstruktion mehrerer Kreise scheint die Niere wie von selbst konstruiert zu sein.

4) Es gibt auch eine ebenso elegante und unerwartete Art, die Niere zu sehen. In der Abbildung sehen Sie eine Punktlichtquelle auf einem Kreis. Nachdem die Lichtstrahlen zum ersten Mal vom Kreis reflektiert wurden, laufen sie tangential zur Niere. Stellen Sie sich nun vor, dass der Kreis der Rand einer Tasse ist; eine helle Glühbirne wird an einem Punkt reflektiert. In die Tasse wird schwarzer Kaffee gegossen, sodass Sie die hellen reflektierten Strahlen sehen können. Dadurch wird die Niere durch Lichtstrahlen hervorgehoben.

1. Astroid.

Astroid (aus dem Griechischen astron – Stern und eidos – Sicht), eine flache Kurve, die durch einen Punkt auf einem Kreis beschrieben wird, der von innen einen festen Kreis mit dem vierfachen Radius berührt und daran entlangrollt, ohne zu rutschen. Gehört zu den Hypozykloiden. Astroid ist eine algebraische Kurve 6. Ordnung.

Astroid.

Die Länge des gesamten Astroids entspricht sechs Radien des festen Kreises, und die dadurch begrenzte Fläche beträgt drei Achtel des festen Kreises.

Das Tangentialsegment zum Astroid, das zwischen zwei zueinander senkrechten Radien des an den Spitzen des Astroids gezeichneten festen Kreises eingeschlossen ist, ist gleich dem Radius des festen Kreises, unabhängig davon, wie der Punkt gewählt wurde.

Eigenschaften des Astroids

Es gibt vierKaspa .

Bogenlänge vom Punkt 0 bis zur Hüllkurve

Familien von Segmenten konstanter Länge, deren Enden auf zwei zueinander senkrechten Linien liegen.

Astroid ist 6. Ordnung.

Astroidgleichungen

Gleichung in kartesischen rechtwinkligen Koordinaten:| x | 2 / 3 + | y | 2 / 3 = R 2 / 3parametrische Gleichung:x = Rcos 3 t y = Rsin 3 t

Methode zur Konstruktion eines Asteroiden

Wir zeichnen zwei zueinander senkrechte Geraden und zeichnen eine Reihe von LängensegmentenR , deren Enden auf diesen Linien liegen. Die Abbildung zeigt 12 solcher Segmente (einschließlich Segmente der zueinander senkrechten Geraden selbst). Je mehr Segmente wir zeichnen, desto genauer erhalten wir die Kurve. Konstruieren wir nun die Hülle all dieser Segmente. Diese Hülle wird der Astroid sein.

1. Abschluss

Die Arbeit liefert Beispiele für Probleme mit unterschiedlichen Kurventypen, die durch unterschiedliche Gleichungen definiert sind oder eine mathematische Bedingung erfüllen. Insbesondere Zykloidenkurven, Methoden zu ihrer Definition, verschiedene Konstruktionsmethoden, Eigenschaften dieser Kurven.

Die Eigenschaften von Zykloidenkurven werden in der Getriebemechanik sehr häufig genutzt, was die Festigkeit von Teilen in Mechanismen deutlich erhöht.