Und die alten Ägypter verwendeten Methoden zur Berechnung der Flächen verschiedener Figuren, ähnlich unseren Methoden.
In meinen Büchern „Anfänge“ Der berühmte antike griechische Mathematiker Euklid beschrieb eine ziemlich große Anzahl von Möglichkeiten, die Flächen vieler geometrischer Figuren zu berechnen. Die ersten Manuskripte in Russland mit geometrischen Informationen wurden im 16. Jahrhundert verfasst. Sie beschreiben die Regeln zum Finden der Flächen von Figuren unterschiedlicher Form.
Heutzutage können Sie mit modernen Methoden die Fläche jeder Figur mit großer Genauigkeit ermitteln.
Betrachten wir eine der einfachsten Figuren – ein Rechteck – und die Formel zur Bestimmung seiner Fläche.
Rechteckflächenformel
Betrachten wir eine Figur (Abb. 1), die aus 8$ Quadraten mit einer Seitenlänge von 1$ cm besteht. Die Fläche eines Quadrats mit einer Seitenlänge von 1$ cm wird Quadratzentimeter genannt und mit $1\ cm^2 geschrieben $.
Die Fläche dieser Figur (Abb. 1) beträgt $8\cm^2$.
Die Fläche einer Figur, die in mehrere Quadrate mit einer Seitenlänge von $1\ cm$ (zum Beispiel $p$) unterteilt werden kann, ist gleich $p\ cm^2$.
Mit anderen Worten, die Fläche der Figur entspricht so vielen $cm^2$, in wie viele Quadrate mit der Seitenlänge $1\ cm$ diese Figur geteilt werden kann.
Betrachten wir ein Rechteck (Abb. 2), das aus 3$ Streifen besteht, die jeweils in 5$ Quadrate mit einer Seitenlänge von 1\ cm$ unterteilt sind. Das gesamte Rechteck besteht aus $5\cdot 3=15$ solcher Quadrate und seine Fläche beträgt $15\cm^2$.
Bild 1.
Figur 2.
Die Fläche von Figuren wird üblicherweise mit dem Buchstaben $S$ bezeichnet.
Um die Fläche eines Rechtecks zu ermitteln, müssen Sie seine Länge mit seiner Breite multiplizieren.
Wenn wir seine Länge mit dem Buchstaben $a$ und seine Breite mit dem Buchstaben $b$ bezeichnen, dann sieht die Formel für die Fläche eines Rechtecks wie folgt aus:
Definition 1
Die Figuren heißen gleich wenn bei der Überlagerung die Figuren übereinstimmen. Gleiche Figuren haben gleiche Flächen und gleiche Umfänge.
Die Fläche einer Figur lässt sich als Summe der Flächen ihrer Teile ermitteln.
Beispiel 1
In Abbildung $3$ wird beispielsweise das Rechteck $ABCD$ durch die Linie $KLMN$ in zwei Teile geteilt. Die Fläche eines Teils beträgt $12\ cm^2$ und die des anderen Teils beträgt $9\ cm^2$. Dann ist die Fläche des Rechtecks $ABCD$ gleich $12\ cm^2+9\ cm^2=21\ cm^2$. Finden Sie die Fläche des Rechtecks mit der Formel:
Wie Sie sehen, sind die mit beiden Methoden ermittelten Flächen gleich.
Figur 3.
Figur 4.
Das Liniensegment $AC$ teilt das Rechteck in zwei gleiche Dreiecke: $ABC$ und $ADC$. Das bedeutet, dass die Fläche jedes Dreiecks der Hälfte der Fläche des gesamten Rechtecks entspricht.
Definition 2
Ein Rechteck mit gleichen Seiten heißt Quadrat.
Wenn wir die Seite eines Quadrats mit dem Buchstaben $a$ bezeichnen, dann wird die Fläche des Quadrats durch die Formel ermittelt:
Daher der Name Quadrat der Zahl $a$.
Beispiel 2
Wenn zum Beispiel die Seitenlänge eines Quadrats $5$ cm beträgt, dann beträgt seine Fläche:
Bände
Mit der Entwicklung des Handels und des Baugewerbes in den Tagen der alten Zivilisationen entstand die Notwendigkeit, Volumen zu finden. In der Mathematik gibt es einen Zweig der Geometrie, der sich mit der Untersuchung räumlicher Figuren befasst, die Stereometrie. Erwähnungen dieses separaten Zweigs der Mathematik wurden bereits im 4. Jahrhundert v. Chr. gefunden.
Antike Mathematiker entwickelten eine Methode zur Berechnung des Volumens einfacher Figuren – eines Würfels und eines Parallelepipeds. Alle Gebäude jener Zeit hatten diese Form. Später wurden jedoch Methoden gefunden, um das Volumen von Figuren mit komplexeren Formen zu berechnen.
Volumen eines rechteckigen Parallelepipeds
Füllt man die Form mit nassem Sand und dreht sie dann um, erhält man eine dreidimensionale Figur, die sich durch Volumen auszeichnet. Wenn Sie mehrere solcher Figuren mit derselben Form herstellen, erhalten Sie Figuren mit demselben Volumen. Wenn Sie die Form mit Wasser füllen, sind auch das Wasservolumen und das Volumen der Sandfigur gleich.
Abbildung 5.
Sie können das Volumen zweier Gefäße vergleichen, indem Sie eines mit Wasser füllen und es in das zweite Gefäß gießen. Ist das zweite Gefäß vollständig gefüllt, haben die Gefäße gleiche Volumina. Bleibt Wasser im ersten, dann ist das Volumen des ersten Gefäßes größer als das Volumen des zweiten. Wenn es beim Eingießen von Wasser aus dem ersten Gefäß nicht möglich ist, das zweite Gefäß vollständig zu füllen, ist das Volumen des ersten Gefäßes geringer als das Volumen des zweiten.
Das Volumen wird mit den folgenden Einheiten gemessen:
$mm^3$ – Kubikmillimeter,
$cm^3$ – Kubikzentimeter,
$dm^3$ – Kubikdezimeter,
$m^3$ – Kubikmeter,
$km^3$ – Kubikkilometer.
Um Geometrieprobleme zu lösen, müssen Sie Formeln kennen – wie zum Beispiel die Fläche eines Dreiecks oder die Fläche eines Parallelogramms – sowie einfache Techniken, die wir behandeln werden.
Lernen wir zunächst die Formeln für die Zahlenbereiche. Wir haben sie speziell in einer praktischen Tabelle zusammengestellt. Drucken, lernen und bewerben!
Natürlich sind nicht alle Geometrieformeln in unserer Tabelle enthalten. Um beispielsweise Probleme in Geometrie und Stereometrie im zweiten Teil des Profils Einheitliches Staatsexamen in Mathematik zu lösen, werden andere Formeln für die Fläche eines Dreiecks verwendet. Wir werden Ihnen auf jeden Fall davon erzählen.
Was aber, wenn Sie nicht die Fläche eines Trapezes oder Dreiecks ermitteln müssen, sondern die Fläche einer komplexen Figur? Es gibt universelle Wege! Wir zeigen sie anhand von Beispielen aus der FIPI-Taskbank.
1. Wie finde ich die Fläche einer nicht standardmäßigen Figur? Zum Beispiel ein beliebiges Viereck? Eine einfache Technik: Teilen wir diese Figur in diejenigen auf, über die wir alles wissen, und ermitteln wir ihre Fläche – als Summe der Flächen dieser Figuren.
Teilen Sie dieses Viereck mit einer horizontalen Linie in zwei Dreiecke mit einer gemeinsamen Basis gleich . Die Höhen dieser Dreiecke sind gleich 
Und . Dann ist die Fläche des Vierecks gleich der Summe der Flächen der beiden Dreiecke: .
Antwort: .
2. In manchen Fällen kann die Fläche einer Figur als Differenz einiger Flächen dargestellt werden.
Es ist nicht so einfach zu berechnen, wie groß die Grundfläche und die Höhe dieses Dreiecks sind! Aber wir können sagen, dass seine Fläche gleich der Differenz zwischen den Flächen eines Quadrats mit einer Seite und drei rechtwinkligen Dreiecken ist. Siehst du sie auf dem Bild? Wir bekommen: .
Antwort: .
3. Manchmal müssen Sie bei einer Aufgabe nicht die Fläche der gesamten Figur, sondern eines Teils davon ermitteln. Normalerweise sprechen wir von der Fläche eines Sektors - Teil eines Kreises. Finden Sie die Fläche eines Sektors eines Kreises mit einem Radius, dessen Bogenlänge gleich ist .
Auf diesem Bild sehen wir einen Teil eines Kreises. Die Fläche des gesamten Kreises ist gleich. Es bleibt herauszufinden, welcher Teil des Kreises abgebildet ist. Da die Länge des gesamten Kreises gleich ist (da) und die Länge des Bogens eines gegebenen Sektors gleich ist Daher ist die Länge des Bogens um ein Vielfaches geringer als die Länge des gesamten Kreises. Der Winkel, in dem dieser Bogen ruht, ist ebenfalls ein Faktor kleiner als ein Vollkreis (d. h. Grad). Dies bedeutet, dass die Fläche des Sektors um ein Vielfaches kleiner ist als die Fläche des gesamten Kreises.
Und die alten Ägypter verwendeten Methoden zur Berechnung der Flächen verschiedener Figuren, ähnlich unseren Methoden.
In meinen Büchern „Anfänge“ Der berühmte antike griechische Mathematiker Euklid beschrieb eine ziemlich große Anzahl von Möglichkeiten, die Flächen vieler geometrischer Figuren zu berechnen. Die ersten Manuskripte in Russland mit geometrischen Informationen wurden im 16. Jahrhundert verfasst. Sie beschreiben die Regeln zum Finden der Flächen von Figuren unterschiedlicher Form.
Heutzutage können Sie mit modernen Methoden die Fläche jeder Figur mit großer Genauigkeit ermitteln.
Betrachten wir eine der einfachsten Figuren – ein Rechteck – und die Formel zur Bestimmung seiner Fläche.
Rechteckflächenformel
Betrachten wir eine Figur (Abb. 1), die aus 8$ Quadraten mit einer Seitenlänge von 1$ cm besteht. Die Fläche eines Quadrats mit einer Seitenlänge von 1$ cm wird Quadratzentimeter genannt und mit $1\ cm^2 geschrieben $.
Die Fläche dieser Figur (Abb. 1) beträgt $8\cm^2$.
Die Fläche einer Figur, die in mehrere Quadrate mit einer Seitenlänge von $1\ cm$ (zum Beispiel $p$) unterteilt werden kann, ist gleich $p\ cm^2$.
Mit anderen Worten, die Fläche der Figur entspricht so vielen $cm^2$, in wie viele Quadrate mit der Seitenlänge $1\ cm$ diese Figur geteilt werden kann.
Betrachten wir ein Rechteck (Abb. 2), das aus 3$ Streifen besteht, die jeweils in 5$ Quadrate mit einer Seitenlänge von 1\ cm$ unterteilt sind. Das gesamte Rechteck besteht aus $5\cdot 3=15$ solcher Quadrate und seine Fläche beträgt $15\cm^2$.
Bild 1.
Figur 2.
Die Fläche von Figuren wird üblicherweise mit dem Buchstaben $S$ bezeichnet.
Um die Fläche eines Rechtecks zu ermitteln, müssen Sie seine Länge mit seiner Breite multiplizieren.
Wenn wir seine Länge mit dem Buchstaben $a$ und seine Breite mit dem Buchstaben $b$ bezeichnen, dann sieht die Formel für die Fläche eines Rechtecks wie folgt aus:
Definition 1
Die Figuren heißen gleich wenn bei der Überlagerung die Figuren übereinstimmen. Gleiche Figuren haben gleiche Flächen und gleiche Umfänge.
Die Fläche einer Figur lässt sich als Summe der Flächen ihrer Teile ermitteln.
Beispiel 1
In Abbildung $3$ wird beispielsweise das Rechteck $ABCD$ durch die Linie $KLMN$ in zwei Teile geteilt. Die Fläche eines Teils beträgt $12\ cm^2$ und die des anderen Teils beträgt $9\ cm^2$. Dann ist die Fläche des Rechtecks $ABCD$ gleich $12\ cm^2+9\ cm^2=21\ cm^2$. Finden Sie die Fläche des Rechtecks mit der Formel:
Wie Sie sehen, sind die mit beiden Methoden ermittelten Flächen gleich.
Figur 3.
Figur 4.
Das Liniensegment $AC$ teilt das Rechteck in zwei gleiche Dreiecke: $ABC$ und $ADC$. Das bedeutet, dass die Fläche jedes Dreiecks der Hälfte der Fläche des gesamten Rechtecks entspricht.
Definition 2
Ein Rechteck mit gleichen Seiten heißt Quadrat.
Wenn wir die Seite eines Quadrats mit dem Buchstaben $a$ bezeichnen, dann wird die Fläche des Quadrats durch die Formel ermittelt:
Daher der Name Quadrat der Zahl $a$.
Beispiel 2
Wenn zum Beispiel die Seitenlänge eines Quadrats $5$ cm beträgt, dann beträgt seine Fläche:
Bände
Mit der Entwicklung des Handels und des Baugewerbes in den Tagen der alten Zivilisationen entstand die Notwendigkeit, Volumen zu finden. In der Mathematik gibt es einen Zweig der Geometrie, der sich mit der Untersuchung räumlicher Figuren befasst, die Stereometrie. Erwähnungen dieses separaten Zweigs der Mathematik wurden bereits im 4. Jahrhundert v. Chr. gefunden.
Antike Mathematiker entwickelten eine Methode zur Berechnung des Volumens einfacher Figuren – eines Würfels und eines Parallelepipeds. Alle Gebäude jener Zeit hatten diese Form. Später wurden jedoch Methoden gefunden, um das Volumen von Figuren mit komplexeren Formen zu berechnen.
Volumen eines rechteckigen Parallelepipeds
Füllt man die Form mit nassem Sand und dreht sie dann um, erhält man eine dreidimensionale Figur, die sich durch Volumen auszeichnet. Wenn Sie mehrere solcher Figuren mit derselben Form herstellen, erhalten Sie Figuren mit demselben Volumen. Wenn Sie die Form mit Wasser füllen, sind auch das Wasservolumen und das Volumen der Sandfigur gleich.
Abbildung 5.
Sie können das Volumen zweier Gefäße vergleichen, indem Sie eines mit Wasser füllen und es in das zweite Gefäß gießen. Ist das zweite Gefäß vollständig gefüllt, haben die Gefäße gleiche Volumina. Bleibt Wasser im ersten, dann ist das Volumen des ersten Gefäßes größer als das Volumen des zweiten. Wenn es beim Eingießen von Wasser aus dem ersten Gefäß nicht möglich ist, das zweite Gefäß vollständig zu füllen, ist das Volumen des ersten Gefäßes geringer als das Volumen des zweiten.
Das Volumen wird mit den folgenden Einheiten gemessen:
$mm^3$ – Kubikmillimeter,
$cm^3$ – Kubikzentimeter,
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$m^3$ – Kubikmeter,
$km^3$ – Kubikkilometer.
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Allgemeine Überprüfung. Stereometrieformeln!
Hallo liebe Freunde! In diesem Artikel habe ich beschlossen, einen allgemeinen Überblick über die Probleme in der Stereometrie zu geben, die auftreten werden Einheitliches Staatsexamen in Mathematik e. Es muss gesagt werden, dass die Aufgaben dieser Gruppe recht vielfältig, aber nicht schwierig sind. Dies sind Probleme zum Finden geometrischer Größen: Längen, Winkel, Flächen, Volumina.
Betrachtet werden: Würfel, Quader, Prisma, Pyramide, zusammengesetztes Polyeder, Zylinder, Kegel, Kugel. Die traurige Tatsache ist, dass einige Absolventen solche Probleme nicht einmal während der Prüfung selbst angehen, obwohl mehr als 50 % davon einfach, fast mündlich, gelöst werden.
Der Rest erfordert wenig Aufwand, Wissen und spezielle Techniken. In zukünftigen Artikeln werden wir uns mit diesen Aufgaben befassen. Verpassen Sie es nicht und abonnieren Sie Blog-Updates.
Um die Lösung zu finden, müssen Sie es wissen Formeln für Oberflächen und Volumina Parallelepiped, Pyramide, Prisma, Zylinder, Kegel und Kugel. Es gibt keine schwierigen Probleme, sie werden alle in 2-3 Schritten gelöst, es ist wichtig zu „sehen“, welche Formel angewendet werden muss.
Nachfolgend finden Sie alle notwendigen Formeln:
Ball oder Kugel. Eine Kugel oder sphärische Oberfläche (manchmal auch einfach eine Kugel) ist der geometrische Ort von Punkten im Raum, die den gleichen Abstand von einem Punkt haben – dem Mittelpunkt der Kugel.
Ballvolumen gleich dem Volumen einer Pyramide, deren Grundfläche die gleiche Fläche wie die Oberfläche der Kugel hat und deren Höhe dem Radius der Kugel entspricht
Das Volumen der Kugel ist eineinhalb Mal kleiner als das Volumen des sie umgebenden Zylinders.
Einen Kreiskegel erhält man, indem man ein rechtwinkliges Dreieck um einen seiner Schenkel dreht, weshalb ein Kreiskegel auch Rotationskegel genannt wird. Siehe auch Oberfläche eines Kreiskegels
Volumen eines runden Kegels gleich einem Drittel des Produkts aus Grundfläche S und Höhe H:
(H ist die Höhe der Würfelkante)
Ein Parallelepiped ist ein Prisma, dessen Basis ein Parallelogramm ist. Das Parallelepiped hat sechs Flächen und alle davon sind Parallelogramme. Ein Parallelepiped, dessen vier Seitenflächen Rechtecke sind, wird als gerades Parallelepiped bezeichnet. Ein rechtwinkliges Parallelepiped, dessen sechs Flächen alle Rechtecke sind, heißt rechteckig.
Volumen eines rechteckigen Parallelepipeds gleich dem Produkt aus der Fläche der Grundfläche und der Höhe:
(S ist die Fläche der Basis der Pyramide, h ist die Höhe der Pyramide)
Eine Pyramide ist ein Polyeder, dessen eine Fläche – die Basis der Pyramide – ein beliebiges Polygon ist, und der Rest – Seitenflächen – Dreiecke mit einer gemeinsamen Spitze, die Spitze der Pyramide genannt wird.
Ein zur Basis der Pyramide paralleler Abschnitt teilt die Pyramide in zwei Teile. Der Teil der Pyramide zwischen ihrer Basis und diesem Abschnitt ist ein Pyramidenstumpf.
Volumen eines Pyramidenstumpfes gleich einem Drittel des Produkts aus der Höhe h(OS) durch die Summe der Flächen der oberen Basis S1 (abcde), untere Basis eines Pyramidenstumpfes S2 (ABCDE) und das durchschnittliche Verhältnis zwischen ihnen.
| 1. | V= |
n – die Anzahl der Seiten eines regelmäßigen Vielecks – die Basis einer regelmäßigen Pyramide
a – Seite eines regelmäßigen Vielecks – Basis einer regelmäßigen Pyramide
h - Höhe einer regelmäßigen Pyramide
Eine regelmäßige dreieckige Pyramide ist ein Polyeder, dessen eine Fläche – die Basis der Pyramide – ein regelmäßiges Dreieck ist, und der Rest – die Seitenflächen – gleiche Dreiecke mit einer gemeinsamen Spitze. Die Höhe nimmt von oben bis zur Mitte der Basis ab.
Volumen einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide gleich einem Drittel des Produkts der Fläche eines regelmäßigen Dreiecks, das die Basis darstellt S (ABC) zur Höhe h(OS)
a - Seite eines regelmäßigen Dreiecks - Basis einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide
h - Höhe einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide
Herleitung der Formel für das Volumen eines Tetraeders
Das Volumen eines Tetraeders wird mit der klassischen Formel für das Volumen einer Pyramide berechnet. Es ist notwendig, die Höhe des Tetraeders durch die Fläche eines regelmäßigen (gleichseitigen) Dreiecks zu ersetzen.
Volumen eines Tetraeders- ist gleich dem Bruch im Zähler, dessen Quadratwurzel aus zwei im Nenner zwölf ist, multipliziert mit der dritten Potenz der Kantenlänge des Tetraeders
(h ist die Länge der Seite der Raute)
Umfang P beträgt ungefähr das Dreifache und ein Siebtel der Länge des Kreisdurchmessers. Das genaue Verhältnis von Kreisumfang zu Kreisdurchmesser wird durch den griechischen Buchstaben angegeben π
Als Ergebnis wird der Umfang des Kreises bzw. Umfangs anhand der Formel berechnet
| π r n |
(r ist der Radius des Bogens, n ist der Mittelpunktswinkel des Bogens in Grad.)
