Im letzteren Fall liegt der Graph einer Funktion nicht höher als die Gerade y=C und der Graph der anderen Funktion liegt nicht tiefer als diese Gerade. Es ist klar, dass Graphen nur auf dieser Linie gemeinsame Punkte haben können. Dies erklärt den Übergang von der Gleichung g(x)=h(x) zum System.

Sie können mit dem Üben fortfahren. Betrachten wir Lösungen für charakteristische irrationale Gleichungen mithilfe der Schätzmethode.

Zunächst lohnt es sich, die Frage der Genauigkeit der Schätzung der Werte von Ausdrücken zu verstehen. Um zu verdeutlichen, woher diese Frage kommt, schauen Sie sich drei Schätzungen der Wurzelwerte an: Erstens , zweitens, drittens, und sagen Sie mir, welches ich bevorzugen soll? Nun, wir werden die erste Schätzung verwerfen, da sie größtenteils weit hergeholt ist, aber die zweite und dritte Schätzung sind durchaus brauchbar, und je nach Situation können sowohl die erste, relativ grobe, als auch die zweite verwendet werden. Betrachten wir dieses Problem aus praktischer Sicht.

Um zu beweisen, dass eine Gleichung keine Lösungen hat, genügen grobe Schätzungen. Der Hauptvorteil grober Schätzungen gegenüber präziseren Schätzungen besteht darin, dass sie relativ einfach zu ermitteln sind. Grobe Schätzungen sind praktisch offensichtlich und erfordern keine zusätzliche Forschung, da sie auf bekannten Fakten basieren, wie zum Beispiel: Die Quadratwurzel ist eine nicht negative Zahl, der Modul ist eine nicht negative Zahl, das Quadrat einer Zahl ist eine nichtnegative Zahl, die Summe der positiven Kehrwerte ist nicht kleiner als zwei, die Werte eines quadratischen Trinoms mit einem negativen führenden Term und einer negativen Diskriminante sind negativ usw. Um die folgende irrationale Gleichung mit der Schätzmethode zu lösen, reicht also eine grobe Schätzung der Wurzel einerseits und des quadratischen Trinoms andererseits aus.

Normalerweise ist es einfacher, grobe Schätzungen der Werte von Funktionen oder Ausdrücken zu erhalten als genaue. Aber grobe Schätzungen erlauben es uns oft nicht, Rückschlüsse auf die Wurzeln der zu lösenden Gleichungen zu ziehen, während genauere Schätzungen dies ermöglichen. Lassen Sie uns eine typische irrationale Gleichung lösen.

Beginnen wir mit der Lösung einer einfachen, aber sehr charakteristischen irrationalen Gleichung: Die Schätzung der Werte ihrer linken Seite ergibt sich aus den Schätzungen ihrer konstituierenden Wurzeln, und aus der resultierenden Schätzung folgt die Schlussfolgerung, dass es keine Wurzeln der Gleichung gibt.

Die Situation ist interessanter, wenn der Ausdruck, der der linken Seite der irrationalen Gleichung f(x)=C entspricht, die Summe oder das Produkt mehrerer Ausdrücke ist und seine Werte als f(x)≤C oder f(x) geschätzt werden. ≥C. In solchen Fällen schreiben die oben geschriebenen Aussagen den Übergang von der ursprünglichen irrationalen Gleichung zu einem äquivalenten Gleichungssystem vor. Stellen wir die Lösung einer charakteristischen irrationalen Gleichung vor.

Festigen wir die Fähigkeiten des Übergangs mithilfe der Schätzmethode von der irrationalen Gleichung f(x) = C mit einer Summe oder einem Produkt auf der linken Seite zu einem äquivalenten Gleichungssystem. Dazu lösen wir eine relativ komplexe irrationale Gleichung, deren linke Seite die Summe zweier irrationaler Ausdrücke ist, von denen einer das Produkt zweier Ausdrücke ist. Das Lösungsprinzip ist dasselbe: Wir erhalten eine Schätzung, die es uns ermöglicht, von der ursprünglichen Gleichung zu einem äquivalenten System überzugehen.

Kommen wir nun zu irrationalen Gleichungen der Form g(x)=h(x) .

Die vorherigen Beispiele waren im Hinblick auf die Auswertung der Werte von Ausdrücken und Funktionen recht einfach. Es ist an der Zeit, sich eingehender mit dem Bewertungsaspekt zu befassen. Aus offensichtlichen Gründen konzentrieren wir uns auf Bewertungsmethoden, auf die bei der Lösung irrationaler Gleichungen mithilfe der Bewertungsmethode am häufigsten zurückgegriffen werden muss. Beginnen wir mit Schätzmethoden, die keine Ermittlung der Ableitung erfordern. Um die folgende irrationale Gleichung zu lösen, müssen Sie also fast alle bekannten Mittel verwenden: von der Eigenschaft von Potenzen mit geradem Exponenten und der Eigenschaft der Monotonie der Wurzelziehfunktion bis hin zu Schätzungen, die auf den Eigenschaften numerischer Gleichheiten basieren.

Die in allen vorherigen Beispielen verwendeten Methoden zum Erhalten von Schätzungen decken die Frage der Schätzung von Werten nicht vollständig ab. Mit anderen Worten: Mit ihrer Hilfe ist es nicht immer möglich, die Werte von Funktionen und Ausdrücken auszuwerten. Insbesondere sind die betrachteten Methoden nicht gut, wenn der Bereich zulässiger Werte der Variablen x für die zu lösende irrationale Gleichung von der Menge aller reellen Zahlen R abweicht. Als Beispiel geben wir eine Schätzung der Wurzel in zwei Fällen an: wenn die ODZ eine Menge R ist und wenn die ODZ ein Segment von 3 bis 5 ist. Basierend auf den oben verwendeten Schätzmethoden können wir eine Schätzung von erhalten. Für den Fall, dass die ODZ eine Menge R ist, ist diese Schätzung sehr gut. Für den Fall, dass es sich bei der ODZ jedoch um ein Segment handelt, erweist sich die aufgezeichnete Schätzung bereits als relativ grob, und es ist möglich, die Wurzel genauer abzuschätzen, nämlich als . Aber es ist nicht nur der DL, der die Möglichkeiten einschränkt, mit den oben diskutierten Methoden Schätzungen zu erhalten. Aufgrund der Art der zu schätzenden Funktion bieten diese Methoden häufig nicht die Möglichkeit, Funktionswerte zu schätzen. Die Schätzmethoden, über die wir sprechen, ermöglichen es uns beispielsweise, die Werte der Wurzeln und sowie deren Summe abzuschätzen: , , woher und weiter . Mit diesen Schätzmethoden ist es jedoch nicht mehr möglich, die Differenz zwischen den angegebenen Wurzeln abzuschätzen. In solchen Situationen muss man auf die Untersuchung der Funktion zurückgreifen und ihre größten und kleinsten Werte ermitteln, anhand derer die Werte der Funktion bewertet werden können. Manchmal ist es sinnvoll, verschiedene Methoden zur Schätzungserstellung zu kombinieren. Zeigen wir die Lösung einer charakteristischen irrationalen Gleichung.

Zum Abschluss des Gesprächs über die Lösung irrationaler Gleichungen mithilfe der funktionalgrafischen Methode und insbesondere der Schätzmethode erinnern wir uns an ein Versprechen, das am Ende des entsprechenden Absatzes gegeben wurde. Denken Sie daran, wir haben die irrationale Gleichung gelöst auf eher exotische Weise durch die Einführung zweier neuer Variablen (über die noch nachgedacht werden musste) und sie versprachen, die Lösung mithilfe einer Standardmethode zu zeigen. Diese Methode ist in diesem Fall die Bewertungsmethode. Also lasst uns unser Versprechen erfüllen.

Irrationale Gleichungen durch ODZ lösen

Sehr oft ist es Teil des Prozesses, Gleichungen zu lösen. Die Gründe, die dazu zwingen, nach der ODZ zu suchen, können unterschiedlich sein: Es müssen Transformationen der Gleichung durchgeführt werden, und diese werden bekanntlich an der ODZ durchgeführt, die gewählte Lösungsmethode besteht darin, die ODZ zu finden und eine Überprüfung durchzuführen Verwendung der ODZ usw. Und in bestimmten Fällen fungiert ODZ nicht nur als Hilfs- oder Kontrollinstrument, sondern ermöglicht auch die Lösung der Gleichung. Hier meinen wir zwei Situationen: wenn die ODZ eine leere Menge ist und wenn die ODZ eine endliche Menge von Zahlen ist.

Es ist klar, dass die Gleichung keine Lösungen hat, wenn die ODZ einer Gleichung, insbesondere einer irrationalen Gleichung, eine leere Menge ist. Die ODZ der Variablen x für die folgende irrationale Gleichung ist also eine leere Menge, was bedeutet, dass die Gleichung keine Lösungen hat.

Wenn die ODZ einer Variablen für eine Gleichung eine endliche Menge von Zahlen ist, kann man durch sequentielles Überprüfen und Ersetzen dieser Zahlen eine Lösung der Gleichung erhalten. Betrachten Sie beispielsweise eine irrationale Gleichung, bei der die ODZ aus zwei Zahlen besteht und die Substitution zeigt, dass nur eine davon die Wurzel der Gleichung ist, woraus geschlossen wird, dass diese Wurzel die einzige Lösung der Gleichung ist.

Lösen irrationaler Gleichungen der Form „Bruch gleich Null“

Irrationale Gleichungen reduzieren sich auf numerische Gleichheiten

Gehen Sie zu den Modulen

Wenn in der Notation einer irrationalen Gleichung unter dem Vorzeichen einer Wurzel geraden Grades ein Grad eines Ausdrucks mit einem Exponenten gleich dem Exponenten der Wurzel vorhanden ist, können Sie zum Modul übergehen. Diese Transformation erfolgt aufgrund einer der Formeln, wobei 2·m eine gerade Zahl und a eine beliebige reelle Zahl ist. Es ist erwähnenswert, dass diese Transformation eine äquivalente Transformation der Gleichung ist. Tatsächlich wird bei einer solchen Transformation die Wurzel durch ein identisch gleiches Modul ersetzt, während sich die ODZ nicht ändert.

Betrachten wir eine charakteristische irrationale Gleichung, die durch Übergang zum Modul gelöst werden kann.

Lohnt es sich immer, nach Möglichkeit auf Module umzusteigen? In den allermeisten Fällen ist ein solcher Übergang gerechtfertigt. Eine Ausnahme bilden die Fälle, in denen offensichtlich ist, dass alternative Methoden zur Lösung einer irrationalen Gleichung relativ weniger Arbeitsaufwand erfordern. Nehmen wir eine irrationale Gleichung, die durch den Übergang zu Modulen und einigen anderen Methoden gelöst werden kann, beispielsweise durch Quadrieren beider Seiten der Gleichung oder durch Bestimmen der Wurzel, und schauen wir, welche Lösung die einfachste und kompakteste ist.

Im gelösten Beispiel sieht die Lösung zur Bestimmung der Wurzel vorzuziehen aus: Sie ist kürzer und einfacher als sowohl die Lösung durch den Übergang zum Modul als auch die Lösung durch Quadrieren beider Seiten der Gleichung. Hätten wir das wissen können, bevor wir die Gleichung mit allen drei Methoden gelöst haben? Seien wir ehrlich, es war nicht offensichtlich. Wenn Sie also mehrere Lösungsmethoden in Betracht ziehen und nicht sofort klar ist, welche Sie bevorzugen sollten, sollten Sie versuchen, mit einer davon eine Lösung zu finden. Wenn das klappt, dann gut. Wenn die gewählte Methode nicht zu Ergebnissen führt oder sich die Lösung als sehr schwierig erweist, sollten Sie eine andere Methode ausprobieren.

Am Ende dieses Punktes kehren wir zur irrationalen Gleichung zurück. Im vorherigen Absatz haben wir es bereits gelöst und gesehen, dass der Versuch, es durch Isolieren der Wurzel und Quadrieren beider Seiten der Gleichung zu lösen, zur numerischen Gleichheit 0=0 und zur Unmöglichkeit führte, eine Schlussfolgerung über die Wurzeln zu ziehen. Und die Lösung zur Bestimmung der Wurzel bestand darin, eine irrationale Ungleichung zu lösen, was an sich schon ziemlich schwierig ist. Eine gute Methode zur Lösung dieser irrationalen Gleichung ist die Berechnung von Moduli. Lassen Sie uns eine detaillierte Lösung geben.

Transformation irrationaler Gleichungen

Die Lösung irrationaler Gleichungen ist ohne Transformation fast nie vollständig. Wenn wir irrationale Gleichungen studieren, sind wir bereits mit äquivalenten Gleichungstransformationen vertraut. Bei der Lösung irrationaler Gleichungen werden sie auf die gleiche Weise verwendet wie bei der Lösung zuvor untersuchter Gleichungstypen. Sie haben in den vorherigen Absätzen Beispiele für solche Transformationen irrationaler Gleichungen gesehen, und Sie sehen, sie wurden ganz natürlich wahrgenommen, da sie uns vertraut sind. Oben haben wir auch etwas über eine für uns neue Transformation erfahren – die Potenzierung beider Seiten der Gleichung auf die gleiche Potenz, was typisch für irrationale Gleichungen ist; im allgemeinen Fall ist sie nicht äquivalent. Es lohnt sich, über all diese Transformationen im Detail zu sprechen, um alle Feinheiten zu kennen, die bei ihrer Umsetzung auftreten, und um Fehler zu vermeiden.

Wir werden die Transformationen irrationaler Gleichungen in der folgenden Reihenfolge analysieren:

1. Ersetzen von Ausdrücken durch identisch gleiche Ausdrücke, die die ODZ nicht ändern.
2. Das Addieren derselben Zahl auf beiden Seiten einer Gleichung oder das Subtrahieren derselben Zahl auf beiden Seiten einer Gleichung.
3. Hinzufügen desselben Ausdrucks, der den Eigenschaftswert nicht ändert, zu beiden Seiten einer Gleichung oder Subtrahieren desselben Ausdrucks, der den Eigenschaftswert nicht ändert, von beiden Seiten der Gleichung.
4. Übertragen von Termen von einer Seite der Gleichung auf eine andere mit entgegengesetztem Vorzeichen.
5. Beide Seiten einer Gleichung mit derselben Zahl ungleich Null multiplizieren und dividieren.
6. Multiplizieren und Dividieren beider Seiten einer Gleichung mit demselben Ausdruck, wodurch sich der Bereich der zulässigen Werte der Variablen nicht ändert und diese nicht auf Null gesetzt wird.
7. Beide Seiten einer Gleichung gleich potenzieren.

Damit ist das Spektrum der Fragen umrissen. Beginnen wir, sie anhand von Beispielen zu verstehen.

Die erste Transformation, die uns interessiert, ist das Ersetzen von Ausdrücken in der Gleichung durch identisch gleiche Ausdrücke. Wir wissen, dass es äquivalent ist, wenn die VA für die als Ergebnis der Transformation erhaltene Gleichung mit der VA für die ursprüngliche Gleichung übereinstimmt. Daraus wird deutlich, dass es zwei Hauptgründe für das Auftreten von Fehlern bei der Durchführung dieser Transformation gibt: Der erste ist eine durch die Transformation bedingte Änderung des OD, der zweite ist das Ersetzen eines Ausdrucks durch einen Ausdruck das ist nicht identisch damit. Lassen Sie uns diese Aspekte im Detail und der Reihe nach untersuchen und dabei Beispiele typischer Transformationen dieser Art betrachten.

Lassen Sie uns zunächst die typischen Transformationen von Gleichungen durchgehen, die darin bestehen, einen Ausdruck durch einen identisch gleichen Ausdruck zu ersetzen, die immer äquivalent sind. Hier ist die entsprechende Liste.

• Begriffe und Faktoren neu anordnen. Diese Transformation kann sowohl auf der linken als auch auf der rechten Seite der irrationalen Gleichung durchgeführt werden. Es kann beispielsweise verwendet werden, um ähnliche Terme zu gruppieren und dann zu reduzieren, um die Form der Gleichung zu vereinfachen. Das Umordnen von Termen oder Faktoren ist offensichtlich eine äquivalente Transformation der Gleichung. Das ist verständlich: Der ursprüngliche Ausdruck und der Ausdruck mit den umgeordneten Termen oder Faktoren sind identisch gleich (sofern die Umlagerung natürlich korrekt durchgeführt wird), und es ist offensichtlich, dass eine solche Transformation die ODZ nicht verändert. Geben wir ein Beispiel. Auf der linken Seite der irrationalen Gleichung im Produkt x·3·x können Sie den ersten und zweiten Faktor x und 3 vertauschen, wodurch Sie anschließend das Polynom unter dem Wurzelzeichen in einer Standardform darstellen können. Und auf der rechten Seite der Gleichung in der Summe 4+x+5 können Sie die Terme 4 und x vertauschen, was Ihnen in Zukunft die Addition der Zahlen 4 und 5 ermöglicht. Nach diesen Umordnungen nimmt die irrationale Gleichung die Form an, die resultierende Gleichung ist äquivalent zur ursprünglichen.
• Erweiternde Klammern. Die Äquivalenz dieser Gleichungstransformation ist offensichtlich: Die Ausdrücke vor und nach dem Öffnen der Klammern sind identisch gleich und haben den gleichen zulässigen Wertebereich. Nehmen wir zum Beispiel die irrationale Gleichung . Seine Lösung erfordert das Öffnen der Klammern. Wenn wir die Klammern sowohl auf der linken als auch auf der rechten Seite der Gleichung öffnen, gelangen wir zu einer äquivalenten Gleichung.
• Gruppierung von Begriffen und/oder Faktoren. Diese Transformation einer Gleichung stellt im Wesentlichen das Ersetzen eines beliebigen Ausdrucks, der Teil der Gleichung ist, durch einen identisch gleichen Ausdruck mit gruppierten Termen oder Faktoren dar. Offensichtlich ändert dies nichts an der ODZ. Dies bedeutet, dass die angegebene Transformation der Gleichung äquivalent ist. Nehmen wir zur Veranschaulichung eine irrationale Gleichung. Durch Neuanordnen der Begriffe (wir haben oben in den beiden Absätzen darüber gesprochen) und Gruppieren der Begriffe können wir zu einer äquivalenten Gleichung gelangen. Der Zweck einer solchen Gruppierung von Begriffen ist klar erkennbar: die folgende äquivalente Transformation durchzuführen, die die Einführung einer neuen Variablen ermöglicht.
• Den gemeinsamen Faktor ausklammern. Es ist klar, dass die Ausdrücke vor dem Ausklammern des gemeinsamen Faktors und nach dem Ausklammern des gemeinsamen Faktors identisch gleich sind. Es ist auch klar, dass das Entfernen des gemeinsamen Faktors aus Klammern die VA nicht verändert. Daher ist das Herausnehmen des gemeinsamen Faktors aus Klammern in einem Ausdruck, der Teil einer Gleichung ist, eine äquivalente Transformation der Gleichung. Diese Transformation dient beispielsweise dazu, die linke Seite einer Gleichung als Produkt darzustellen, um diese durch Faktorisierung zu lösen. Hier ist ein konkretes Beispiel. Betrachten Sie die irrationale Gleichung. Die linke Seite dieser Gleichung kann als Produkt dargestellt werden; dazu müssen Sie den gemeinsamen Faktor aus Klammern entfernen. Als Ergebnis dieser Transformation erhält man die irrationale Gleichung , äquivalent zum Original, das durch Faktorisierung gelöst werden kann.
• Numerische Ausdrücke durch ihre Werte ersetzen. Es ist klar, dass, wenn die Gleichung einen bestimmten numerischen Ausdruck enthält und wir diesen numerischen Ausdruck durch seinen (richtig berechneten) Wert ersetzen, eine solche Ersetzung äquivalent ist. Tatsächlich wird ein Ausdruck im Wesentlichen durch einen identisch gleichen Ausdruck ersetzt, und gleichzeitig ändert sich die ODZ der Gleichung nicht. Somit wird in der irrationalen Gleichung ersetzt Durch die Summe zweier Zahlen −3 und 1 und den Wert dieser Summe, der gleich −2 ist, erhalten wir eine äquivalente irrationale Gleichung. Ebenso kann man eine äquivalente Transformation der irrationalen Gleichung durchführen , Operationen mit Zahlen unter dem Wurzelzeichen (1+2=3 und ), führt uns diese Transformation zur äquivalenten Gleichung .
• Durchführen von Operationen mit Monomen und Polynomen, die in der Notation einer irrationalen Gleichung vorkommen. Es ist klar, dass die korrekte Umsetzung dieser Maßnahmen zu einer äquivalenten Gleichung führen wird. Tatsächlich wird in diesem Fall der Ausdruck durch einen identisch gleichen Ausdruck ersetzt und die OD ändert sich nicht. Zum Beispiel in der irrationalen Gleichung Sie können die Monome x 2 und 3 x 2 addieren und zur äquivalenten Gleichung gelangen . Ein weiteres Beispiel: Das Subtrahieren von Polynomen auf der linken Seite einer irrationalen Gleichung ist eine äquivalente Transformation, die zu einer äquivalenten Gleichung führt .

Wir betrachten weiterhin Transformationen von Gleichungen, die darin bestehen, Ausdrücke durch identisch gleiche Ausdrücke zu ersetzen. Solche Transformationen können auch ungleich sein, da sie die ODZ verändern können. Insbesondere kann es zu einer Ausweitung der ODZ kommen. Dies kann beim Reduzieren ähnlicher Terme, beim Reduzieren von Brüchen, beim Ersetzen eines Produkts durch mehrere Nullfaktoren oder eines Bruchs mit einem Zähler gleich Null durch Null und am häufigsten bei der Verwendung von Formeln auftreten, die den Eigenschaften von Wurzeln entsprechen. Übrigens kann auch ein unachtsamer Umgang mit den Eigenschaften von Wurzeln zu einer Verengung der ODZ führen. Und wenn Transformationen, die die ODZ erweitern, beim Lösen von Gleichungen akzeptabel sind (sie können zum Auftreten von Fremdwurzeln führen, die auf eine bestimmte Weise eliminiert werden), müssen Transformationen, die die ODZ einengen, aufgegeben werden, da sie zum Verlust von Wurzeln führen können. Bleiben wir bei diesen Punkten.

Die erste irrationale Gleichung lautet . Seine Lösung beginnt mit der Umwandlung der Gleichung in die Form basierend auf einer der Eigenschaften von Graden. Diese Transformation ist äquivalent, da der Ausdruck durch einen identisch gleichen Ausdruck ersetzt wird und sich die ODZ nicht ändert. Der nächste Übergang zur Gleichung, der auf der Grundlage der Wurzeldefinition erfolgt, kann jedoch bereits eine ungleiche Transformation der Gleichung sein, da bei einer solchen Transformation die ODZ erweitert wird. Lassen Sie uns die vollständige Lösung dieser Gleichung zeigen.

Die zweite irrationale Gleichung, die gut geeignet ist, zu veranschaulichen, dass Transformationen irrationaler Gleichungen, die die Eigenschaften von Wurzeln und die Definition einer Wurzel verwenden, ungleich sein können, hat die Form . Es ist gut, wenn Sie sich nicht erlauben, die Lösung so zu beginnen

Oder so

Beginnen wir mit dem ersten Fall. Die erste Transformation ist der Übergang von der ursprünglichen irrationalen Gleichung zur Gleichung besteht darin, den Ausdruck x+3 durch den Ausdruck zu ersetzen. Diese Ausdrücke sind identisch gleich. Aber mit einer solchen Ersetzung verengt sich die ODZ von der Menge (−∞, −3)∪[−1, +∞) auf die Menge [−1, +∞). Und wir haben uns darauf geeinigt, Reformen aufzugeben, die die DLZ einengen, da sie zum Verlust ihrer Wurzeln führen können.

Was ist im zweiten Fall falsch? Erweiterung der ODZ während des letzten Übergangs von zur Zahl −3? Nicht nur das. Von großer Bedeutung ist der erste Übergang von der ursprünglichen irrationalen Gleichung zur Gleichung . Der Kern dieses Übergangs besteht darin, den Ausdruck x+3 durch den Ausdruck zu ersetzen. Aber diese Ausdrücke sind nicht identisch gleich: für x+3<0 значения этих выражений не совпадают. Действительно, согласно свойству квадратного корня из квадрата , woraus folgt .

Wie löst man dann diese irrationale Gleichung? ? Hier führt man am besten gleich eine neue Variable ein , in diesem Fall (x+3)·(x+1)=t 2. Lassen Sie uns eine detaillierte Lösung geben.

Fassen wir die erste der Transformationen der analysierten Gleichungen zusammen – das Ersetzen eines Ausdrucks, der Teil einer Gleichung ist, durch einen mit ihr identischen Ausdruck. Bei jeder Durchführung müssen zwei Bedingungen erfüllt sein: erstens, dass der Ausdruck durch einen identisch gleichen Ausdruck ersetzt wird, und zweitens, dass es nicht zu einer Einengung der ODZ kommt. Wenn eine solche Ersetzung die ODZ nicht ändert, ist das Ergebnis der Transformation eine äquivalente Gleichung. Wenn sich die ODZ bei einem solchen Austausch ausdehnt, können Fremdwurzeln entstehen, und es muss darauf geachtet werden, diese herauszufiltern.

Fahren wir mit der zweiten Transformation der Liste fort: Addieren derselben Zahl auf beiden Seiten der Gleichung und Subtrahieren derselben Zahl auf beiden Seiten der Gleichung. Dies ist eine äquivalente Transformation der Gleichung. Normalerweise greifen wir darauf zurück, wenn es auf der linken und rechten Seite der Gleichung identische Zahlen gibt; wenn wir diese Zahlen von beiden Seiten der Gleichung subtrahieren, können wir sie in Zukunft loswerden. Zum Beispiel sowohl auf der linken als auch auf der rechten Seite der irrationalen Gleichung Es gibt einen Begriff 3. Das Subtrahieren eines Tripels von beiden Seiten der Gleichung führt zu einer Gleichung, die nach Manipulationen mit Zahlen die Form annimmt und weiter vereinfacht zu . Dem Ergebnis zufolge hat die betreffende Transformation etwas mit der Übertragung eines Termes von einem Teil der Gleichung auf einen anderen mit umgekehrtem Vorzeichen gemeinsam, aber zu dieser Transformation etwas später mehr. Es gibt weitere Beispiele für die Verwendung dieser Transformation. Beispielsweise ist in einer irrationalen Gleichung das Addieren der Zahl 3 auf beiden Seiten erforderlich, um ein perfektes Quadrat auf der linken Seite der Gleichung zu bilden und die Gleichung weiter zu transformieren, um eine neue Variable einzuführen.

Eine Verallgemeinerung der gerade besprochenen Transformation besteht darin, auf beiden Seiten der Gleichung zu addieren oder denselben Ausdruck von beiden Seiten der Gleichung zu subtrahieren. Diese Transformation der Gleichungen ist äquivalent, wenn sich die ODZ nicht ändert. Diese Transformation wird hauptsächlich durchgeführt, um anschließend identische Terme zu entfernen, die gleichzeitig auf der linken und rechten Seite der Gleichung stehen. Geben wir ein Beispiel. Nehmen wir an, dass wir eine irrationale Gleichung haben. Es ist offensichtlich, dass es sowohl auf der linken als auch auf der rechten Seite der Gleichung einen Term gibt. Es ist sinnvoll, diesen Ausdruck von beiden Seiten der Gleichung zu subtrahieren: . In unserem Fall ändert ein solcher Übergang die ODZ nicht, sodass die durchgeführte Transformation gleichwertig ist. Und dies geschieht, um weiter zu einer einfacheren irrationalen Gleichung zu gelangen.

Die nächste Transformation von Gleichungen, auf die wir in diesem Absatz eingehen werden, ist die Übertragung von Termen von einem Teil der Gleichung auf einen anderen mit umgekehrtem Vorzeichen. Diese Transformation der Gleichung ist immer äquivalent. Der Anwendungsbereich ist recht breit. Mit seiner Hilfe können Sie beispielsweise das Wurzelwort isolieren oder ähnliche Terme in einem Teil der Gleichung sammeln, um diese anschließend zu reduzieren und so die Form der Gleichung zu vereinfachen. Geben wir ein Beispiel. Eine irrationale Gleichung lösen Sie können die Terme −1 auf die rechte Seite verschieben und dabei ihr Vorzeichen ändern. Dadurch erhalten Sie eine äquivalente Gleichung , was beispielsweise durch Quadrieren beider Seiten der Gleichung weiter gelöst werden kann.

Wir bewegen uns weiter auf dem Weg und betrachten Transformationen von Gleichungen, um beide Seiten der Gleichung mit derselben Zahl, die von Null verschieden ist, zu multiplizieren oder zu dividieren. Diese Transformation ist eine äquivalente Transformation der Gleichung. Die Multiplikation beider Seiten einer Gleichung mit derselben Zahl wird hauptsächlich verwendet, um von Brüchen zu ganzen Zahlen zu gelangen. Zum Beispiel damit in der irrationalen Gleichung Um Brüche loszuwerden, sollten Sie beide Teile mit 8 multiplizieren, was eine äquivalente Gleichung ergibt , was weiter auf die Form reduziert wird . Die Division beider Seiten der Gleichung erfolgt hauptsächlich zum Zweck der Reduzierung der numerischen Koeffizienten. Zum Beispiel beide Seiten der irrationalen Gleichung Es empfiehlt sich, durch die numerischen Koeffizienten 18 und 12 zu dividieren, also durch 6, eine solche Division ergibt eine äquivalente Gleichung , von wo aus wir später mit der Gleichung fortfahren können , das kleinere, aber auch ganzzahlige Koeffizienten hat.

Die nächste Transformation einer Gleichung besteht darin, beide Seiten der Gleichung mit demselben Ausdruck zu multiplizieren und zu dividieren. Diese Transformation ist äquivalent, wenn der Ausdruck, mit dem die Multiplikation oder Division durchgeführt wird, den Bereich der zulässigen Werte der Variablen nicht ändert und darauf nicht auf Null geht. Normalerweise ähnelt die Multiplikation beider Seiten mit demselben Ausdruck der Multiplikation beider Seiten einer Gleichung mit derselben Zahl. Am häufigsten wird auf diese Transformation zurückgegriffen, um Brüche durch weitere Transformationen loszuwerden. Lassen Sie uns dies anhand eines Beispiels zeigen.

Wir werden irrationale Gleichungen nicht ignorieren, zu deren Lösung wir auf die Division beider Seiten der Gleichung durch denselben Ausdruck zurückgreifen müssen. Wir haben etwas weiter oben angemerkt, dass eine solche Division eine äquivalente Transformation ist, wenn sie sich nicht auf die ODZ auswirkt und dieser Ausdruck auf der ODZ nicht verschwindet. Aber manchmal muss eine Teilung durch einen Ausdruck erfolgen, der in der ODZ verschwindet. Dies ist durchaus möglich, wenn Sie gleichzeitig die Nullstellen dieses Ausdrucks separat prüfen, um festzustellen, ob sich zwischen ihnen Wurzeln der zu lösenden Gleichung befinden. Andernfalls können diese Nullstellen bei einer solchen Division verloren gehen.

Die letzte Transformation irrationaler Gleichungen, auf die wir in diesem Absatz eingehen werden, besteht darin, beide Seiten der Gleichung gleich zu potenzieren. Diese Transformation kann als typisch für irrationale Gleichungen bezeichnet werden, da sie bei der Lösung von Gleichungen anderer Art praktisch nicht verwendet wird. Wir haben diese Transformation bereits im aktuellen Artikel erwähnt, als wir untersucht haben. Es gibt auch viele Beispiele für diese Transformation. Wir werden uns hier nicht wiederholen, sondern nur daran erinnern, dass diese Transformation im allgemeinen Fall nicht äquivalent ist. Es kann zum Auftreten von Fremdwurzeln kommen. Wenn wir uns daher während des Lösungsprozesses dieser Transformation zugewandt haben, müssen die gefundenen Wurzeln auf das Vorhandensein fremder Wurzeln überprüft werden.

Über den Verlust von Wurzeln

Was kann beim Lösen einer Gleichung zum Verlust von Wurzeln führen? Der Hauptgrund für den Wurzelverlust ist die Transformation der Gleichung, die die OD verengt. Um diesen Punkt zu verstehen, schauen wir uns ein Beispiel an.

Nehmen wir die irrationale Gleichung , das wir im aktuellen Artikel bereits gelöst haben. Wir begannen die Lösung mit der Warnung, die folgenden Transformationen der Gleichung nicht durchzuführen

Die allererste Transformation ist der Übergang von der Gleichung zur Gleichung – engt die ODZ ein. Tatsächlich ist die ODZ für die ursprüngliche Gleichung (−∞, −3)∪[−1, +∞) und für die resultierende Gleichung [−1, +∞). Dies führt zum Ausschluss des Intervalls (−∞, −3) aus der Betrachtung und damit zum Verlust aller Wurzeln der Gleichung aus diesem Intervall. In unserem Fall gehen bei dieser Transformation alle Wurzeln der Gleichung verloren, von denen es zwei gibt und .

Wenn also die Transformation einer Gleichung zu einer Verengung der OD führt, gehen alle Wurzeln der Gleichung verloren, die in dem Teil liegen, in dem die Verengung aufgetreten ist. Deshalb fordern wir, nicht auf Reformen zurückzugreifen, die die DZ einengen. Es gibt jedoch eine Einschränkung.

Diese Klausel gilt für Transformationen, bei denen die ODZ um eine oder mehrere Zahlen eingeengt wird. Die typischste Transformation, bei der mehrere Einzelzahlen aus der ODZ herausfallen, ist die Division beider Seiten der Gleichung durch denselben Ausdruck. Es ist klar, dass bei der Durchführung einer solchen Transformation nur die Wurzeln verloren gehen können, die zu dieser endlichen Menge von Zahlen gehören, die bei der Einengung der ODZ wegfallen. Wenn Sie also alle Zahlen in dieser Menge separat prüfen, um festzustellen, ob sich darin Wurzeln der zu lösenden Gleichung befinden, beispielsweise durch Substitution, und die gefundenen Wurzeln in die Antwort einbeziehen, können Sie anschließend die beabsichtigte Transformation durchführen ohne Angst davor, Wurzeln zu verlieren. Lassen Sie uns dies anhand eines Beispiels veranschaulichen.

Betrachten wir die irrationale Gleichung, die ebenfalls bereits im vorherigen Absatz gelöst wurde. Um diese Gleichung durch Einführung einer neuen Variablen zu lösen, ist es sinnvoll, zunächst beide Seiten der Gleichung durch 1+x zu dividieren. Bei dieser Division fällt die Zahl −1 aus der ODZ heraus. Das Einsetzen dieses Werts in die ursprüngliche Gleichung ergibt die falsche numerische Gleichheit (), was bedeutet, dass −1 nicht die Wurzel der Gleichung ist. Nach einer solchen Prüfung können Sie die beabsichtigte Teilung sicher durchführen, ohne befürchten zu müssen, dass die Wurzel verloren geht.

Abschließend stellen wir fest, dass bei der Lösung irrationaler Gleichungen die Division beider Seiten der Gleichung durch denselben Ausdruck sowie Transformationen auf der Grundlage der Eigenschaften der Wurzeln am häufigsten zu einer Verengung der OD führt. Daher muss man bei solchen Transformationen sehr vorsichtig sein und darf nicht zulassen, dass die Wurzeln verloren gehen.

Über Fremdwurzeln und Methoden zu ihrer Aussortierung

Die Lösung der überwiegenden Zahl von Gleichungen erfolgt durch Transformation von Gleichungen. Bestimmte Transformationen können zu Folgegleichungen führen, und unter den Lösungen der Folgegleichung können sich Wurzeln befinden, die der ursprünglichen Gleichung fremd sind. Fremdwurzeln sind keine Wurzeln der ursprünglichen Gleichung und sollten daher nicht in der Antwort erscheinen. Mit anderen Worten: Sie müssen ausgemerzt werden.

Wenn es also in der Transformationskette der zu lösenden Gleichung mindestens eine Folgegleichung gibt, müssen Sie darauf achten, Fremdwurzeln zu erkennen und herauszufiltern.

Die Methoden zur Erkennung und Aussortierung fremder Wurzeln hängen von den Gründen ab, die ihr mögliches Auftreten verursachen. Und es gibt zwei Gründe für das mögliche Auftreten von Fremdwurzeln bei der Lösung irrationaler Gleichungen: Der erste ist die Erweiterung der ODZ als Ergebnis der Transformation der Gleichung, der zweite ist die Potenzierung beider Seiten der Gleichung auf eine gerade Potenz. Schauen wir uns die entsprechenden Methoden an.

Beginnen wir mit Methoden zum Aussieben von Fremdwurzeln, wenn der Grund für ihr mögliches Auftreten nur die Erweiterung der ODZ ist. In diesem Fall erfolgt das Aussortieren von Fremdwurzeln auf eine der folgenden drei Arten:

• Laut ODZ. Dazu wird die ODZ der Variablen zur Originalgleichung ermittelt und die Zugehörigkeit der gefundenen Wurzeln überprüft. Diejenigen Wurzeln, die zur ODZ gehören, sind Wurzeln der ursprünglichen Gleichung, und diejenigen, die nicht zur ODZ gehören, sind Fremdwurzeln für die ursprüngliche Gleichung.
• Durch die Bedingungen der ODZ. Die Bedingungen, die die ODZ der Variablen für die ursprüngliche Gleichung bestimmen, werden aufgeschrieben und die gefundenen Wurzeln werden nacheinander in sie eingesetzt. Diejenigen Wurzeln, die alle Bedingungen erfüllen, sind Wurzeln, und diejenigen, die nicht mindestens eine Bedingung erfüllen, sind Fremdwurzeln für die ursprüngliche Gleichung.
• Durch Substitution in die ursprüngliche Gleichung (oder in eine beliebige äquivalente Gleichung). Die gefundenen Wurzeln werden wiederum in die ursprüngliche Gleichung eingesetzt, diejenigen von ihnen, bei deren Ersetzung die Gleichung in eine korrekte numerische Gleichheit übergeht, sind Wurzeln, und diejenigen von ihnen, bei deren Ersetzung ein Ausdruck erhalten wird, der keinen Sinn ergibt , sind Fremdwurzeln für die ursprüngliche Gleichung.

Lassen Sie uns beim Lösen der folgenden irrationalen Gleichung mit jeder der angegebenen Methoden Fremdwurzeln herausfiltern, um eine allgemeine Vorstellung von jeder von ihnen zu bekommen.

Es ist klar, dass wir mit allen bekannten Methoden nicht jedes Mal Fremdwurzeln identifizieren und aussortieren können. Um Fremdwurzeln auszusortieren, wählen wir im Einzelfall die am besten geeignete Methode. Im folgenden Beispiel ist es beispielsweise am bequemsten, Fremdwurzeln durch die Bedingungen der ODZ herauszufiltern, da es unter diesen Bedingungen schwierig ist, die ODZ in Form eines numerischen Satzes zu finden.

Lassen Sie uns nun über das Aussieben überflüssiger Wurzeln sprechen, wenn die Lösung einer irrationalen Gleichung durch Potenz beider Seiten der Gleichung erfolgt. Hier hilft das Durchsuchen der ODZ oder der ODZ-Bedingungen nicht mehr, da es uns nicht erlaubt, Fremdwurzeln auszusortieren, die aus einem anderen Grund entstehen – weil beide Seiten der Gleichung auf die gleiche gerade Potenz angehoben werden. Warum erscheinen fremde Wurzeln, wenn beide Seiten einer Gleichung auf die gleiche gerade Potenz erhoben werden? Das Auftreten von Fremdwurzeln ergibt sich in diesem Fall aus der Tatsache, dass die Potenz beider Teile einer falschen numerischen Gleichheit in die gleiche gerade Potenz eine korrekte numerische Gleichheit ergeben kann. Beispielsweise wird die falsche numerische Gleichheit 3=−3 nach der Quadrierung beider Seiten zur korrekten numerischen Gleichheit 3 ​​2 =(−3) 2, was dasselbe ist wie 9=9.

Wir haben die Gründe für das Auftreten von Fremdwurzeln herausgefunden, wenn beide Seiten der Gleichung gleich potenziert werden. Es bleibt zu zeigen, wie in diesem Fall Fremdwurzeln beseitigt werden. Das Screening erfolgt hauptsächlich durch Einsetzen der gefundenen Potentialwurzeln in die Originalgleichung oder in eine dazu äquivalente Gleichung. Lassen Sie uns dies anhand eines Beispiels demonstrieren.

Es lohnt sich jedoch, eine weitere Methode im Auge zu behalten, mit der Sie überflüssige Wurzeln aussortieren können, wenn beide Seiten einer irrationalen Gleichung mit einem einzelnen Radikal auf die gleiche gerade Potenz erhoben werden. Beim Lösen irrationaler Gleichungen , wobei 2·k eine gerade Zahl ist, können durch Potenzierung beider Seiten der Gleichungen überflüssige Wurzeln durch die Bedingung g(x)≥0 aussortiert werden (d. h. tatsächlich eine irrationale Gleichung durch Bestimmung von lösen). Wurzel). Diese Methode erweist sich oft als hilfreich, wenn sich herausstellt, dass das Herausfiltern von Fremdwurzeln durch Substitution komplexe Berechnungen erfordert. Das folgende Beispiel veranschaulicht dies gut.

Literatur

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4. Algebra und der Beginn der mathematischen Analyse. 10. Klasse: Lehrbuch. für die Allgemeinbildung Institutionen: Basis und Profil. Ebenen / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; bearbeitet von A. B. Schizhchenko. - 3. Aufl. - M.: Bildung, 2010.- 368 S.: Abb.-ISBN 978-5-09-022771-1.
5. Mathematik. Erhöhtes Niveau des Einheitlichen Staatsexamens 2012 (C1, C3). Thematische Tests. Gleichungen, Ungleichungen, Systeme / herausgegeben von F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhov. - Rostow am Don: Legion-M, 2011. - 112 S. - (Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen) ISBN 978-5-91724-094-7
6. Abschluss 2004. Mathematik. Sammlung von Aufgaben zur Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen. Teil 1. I. V. Boykov, L. D. Romanova.

Wie bereits bekannt (Kapitel II, § 2), ist die Gleichung

heißt irrational, wenn es eine irrationale Funktion der Unbekannten gibt.

Bei der Lösung irrationaler Gleichungen und Systeme, die irrationale Gleichungen im Bereich der reellen Zahlen umfassen, gelten nur diejenigen Systeme reeller Werte als akzeptabel, in denen die Werte der Wurzelausdrücke aller Wurzeln geraden Grades nicht negativ sind Wertesysteme von Unbekannten; Mit den Werten der Wurzeln geraden Grades meinen wir ihre arithmetischen Werte, und mit den Werten der Wurzeln ungeraden Grades meinen wir die realen Werte dieser Wurzeln. Betrachten wir algebraische Methoden zur Lösung irrationaler Gleichungen.

1. Befreiung einer irrationalen Gleichung von Radikalen durch Potenzierung beider Teile. Bei der Lösung einer irrationalen Gleichung auf diese Weise wird in der Regel nacheinander ein Radikal isoliert (d. h. das ausgewählte Radikal bleibt in einem Teil und alle anderen Terme der Gleichung werden in einen anderen Teil übertragen) und dann beide Teile der Gleichung werden auf eine Potenz erhöht, deren Exponent gleich dem Indikator für das isolierte Radikal ist. Normalerweise wird jeweils das komplexeste Radikal isoliert. Dies geschieht so lange, bis sie völlig frei von Radikalen sind. Als Ergebnis erhält man eine algebraische Gleichung, die eine Folge der gegebenen irrationalen Gleichung ist. Anschließend wird die resultierende algebraische Gleichung gelöst.

In manchen Fällen (siehe Beispiel 4 unten) ist es zur schnellen Radikalentfernung ratsam, nicht nur ein, sondern gleich zwei Radikale abzutrennen.

Bei der Lösung irrationaler Gleichungen auf diese Weise kann sich der Definitionsbereich der Gleichung erweitern, da für einige Systeme unbekannte Werte vorliegen

Einige in einer gegebenen Gleichung enthaltene Radikale machen im Bereich der reellen Zahlen möglicherweise keinen Sinn, aber diese Systeme unbekannter Werte können für die resultierende algebraische Gleichung gültig sein. Die Erweiterung des Definitionsbereichs einer Gleichung kann bekanntermaßen zum Auftreten von Fremdlösungen führen, die nicht zum Definitionsbereich einer bestimmten Gleichung gehören (siehe Beispiel 2 unten).

Darüber hinaus kann die Potenzierung beider Seiten der Gleichung auch zum Auftreten von Fremdlösungen führen, die zum Definitionsbereich der gegebenen Gleichung gehören. Das Auftreten dieser irrelevanten Lösungen wird nicht durch eine Erweiterung des Definitionsbereichs dieser Gleichung verursacht, sondern durch Gründe anderer Art (siehe Beispiel 3 unten).

Nachdem daher Lösungen für eine algebraische Gleichung gefunden wurden, die aus einer gegebenen irrationalen Gleichung erhalten wurde, ist es notwendig, durch Einsetzen jeder von ihnen in die gegebene Gleichung zu prüfen, welche davon diese erfüllen und welche ihr fremd sind.

Beispiele. 1. Lösen Sie die Gleichung

Lösung. Wählen wir das Radikal aus, belassen es also auf der linken Seite der Gleichung und verschieben wir das Radikal auf die rechte Seite. Wir erhalten: oder nach Vereinfachungen: Wenn wir um 2 reduzieren und das Radikal erneut trennen, erhalten wir:

Indem wir beide Seiten dieser Gleichung quadrieren, erhalten wir:

Die Lösungen dieser Gleichung sind: Durch Einsetzen in die gegebene Gleichung stellen wir sicher, dass jede dieser Lösungen sie erfüllt.

2. Lösen Sie die Gleichung

Lösung. Wenn wir V auf die rechte Seite der Gleichung verschieben, erhalten wir:

Wir quadrieren beide Seiten dieser Gleichung:

Indem wir beide Seiten der resultierenden Gleichung quadrieren, erhalten wir: oder nach Vereinfachungen:

Daher sind die Lösungen dieser Gleichung:

Die zweite dieser Lösungen erfüllt die gegebene Gleichung, die erste ist ihr fremd.

Das Auftreten einer Fremdlösung wird durch eine Erweiterung des Definitionsbereichs der Gleichung verursacht. Tatsächlich ist die Zahl 0 nicht im Definitionsbereich der gegebenen Gleichung enthalten, wohl aber im Definitionsbereich der Gleichung. Ein Wert kann keine Lösung für eine gegebene Gleichung sein, da er nicht zu deren Definitionsbereich gehört.

3. Lösen Sie die Gleichung

Lösung. Durch Quadrieren beider Seiten der Gleichung erhalten wir:

Die Lösungen dieser Gleichung sind: Die erste dieser Lösungen erfüllt die gegebene Gleichung und die zweite ist ihr fremd.

Das Auftreten einer Fremdlösung wird nicht durch eine Erweiterung des Definitionsbereichs einer gegebenen Gleichung verursacht, sondern durch die Tatsache, dass die Gleichung nicht äquivalent zur ursprünglichen ist, sondern nur

daraus ableitbar. Es ist eine Konsequenz nicht nur der gegebenen Gleichung, sondern auch der Gleichung selbst

Die Lösung erfüllt die Gleichung. Die Lösung dieser Gleichung ist irrelevant.

4. Lösen Sie die Gleichung

Lösung. Lassen Sie uns die Radikale in einen Teil verschieben

Indem wir beide Seiten dieser Gleichung quadrieren, erhalten wir:

oder nach Vereinfachungen:

Der Test zeigt, dass es die gegebene Gleichung erfüllt.

2. Reduzieren einer irrationalen Gleichung auf ein gemischt rationales System durch Einführung neuer Unbekannter.

Ein Satz aus einer oder mehreren Gleichungen der Form

und eine oder mehrere Ungleichungen der Form

heißt gemischtes System, wenn festgestellt werden soll, welche Wertesysteme von Unbekannten alle diese Gleichungen und Ungleichungen gleichzeitig erfüllen. Ein Wertesystem von Unbekannten, das alle Gleichungen und Ungleichungen eines gemischten Systems erfüllt, wird als Lösung des gemischten Systems bezeichnet. Ein gemischtes System zu lösen bedeutet, festzustellen, ob es Lösungen hat oder nicht, und wenn ja, alle Lösungen zu finden.

Satz. Jede irrationale Gleichung

(Klicken Sie hier, um den Scan anzuzeigen)

Da in Gleichung (1) für jedes zulässige Wertesystem von Unbekannten das Radikal geraden Grades den arithmetischen Wert der Wurzel und ungeraden Grades den einzigen reellen Wert der Wurzel bezeichnet, können Hilfsunbekannte nur reelle Werte annehmen ​​und darüber hinaus

Fügen wir die Ungleichungen zum System (2) hinzu. Wir erhalten ein gemischtrationales System

(siehe Scan)

Lassen Sie uns nun beweisen, dass sich die Lösung der irrationalen Gleichung (1) auf die Lösung des gemischten rationalen Systems (3) reduziert.

Wenn es tatsächlich eine Lösung für Gleichung (1) gibt, dann

Es gibt eine Lösung für das gemischte System (3).

Im Gegenteil, wenn das System der reellen Zahlen eine Lösung des gemischten Systems (3) ist, dann

Darüber hinaus ist dies der arithmetische Wert der Wurzel der Potenz von

Ebenso ist eine reelle Zahl der einzige reelle Wert der Wurzel der Potenz von d.h.

Aus den Beziehungen (4), (5) und (6) folgt das

und daher ist das Zahlensystem eine Lösung für Gleichung (1).

Daraus folgt, dass es zur Lösung von Gleichung (1) ausreicht, alle Lösungen des gemischten Systems (3) zu finden. Die in den gefundenen Lösungen des Systems (3) enthaltenen Systeme unbekannter Werte sind Lösungen für Gleichung (1) und erschöpfen alle Lösungen für Gleichung (1). Stellt sich heraus, dass das gemischte System (3) inkonsistent ist, dann hat Gleichung (1) keine Lösungen. Im betrachteten Fall umfasst die irrationale Gleichung

Es wurden nur einfache Radikale berücksichtigt. Wenn die linke Seite einer irrationalen Gleichung Radikale enthält, deren Radikalausdrücke wiederum Radikale enthalten, die Operation des Wurzelziehens jedoch endlich oft durchgeführt wird, dann lautet die Lösung einer solchen Gleichung durch sukzessive Einführung von Hilfsunbekannten auch auf die Lösung eines gemischten rationalen Systems reduziert.

Beispiele. 1. Lösen Sie die Gleichung:

Lösung. Vorausgesetzt, dass

ein gemischtes rationales System zusammenstellen

Wenn wir stattdessen in die zweite Gleichung einsetzen, erhalten wir ein System, das dem System (7) entspricht:

Von der zweiten Gleichung des Systems (8) subtrahieren wir die dritte Gleichung nach Teilen, was eine Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten ergibt:

Die direkte Überprüfung zeigt, dass der Teiler 2 des freien Termes die Gleichung erfüllt, d. h. Gleichung (9) hat eine Lösung. Daher kann Gleichung (9) wie folgt geschrieben werden:

und deshalb

Die Lösungen für Gleichung (10) sind und Daher hat Gleichung (9) im Bereich der reellen Zahlen nur eine Lösung. Diese Lösung erfüllt die Ungleichung

Wenn wir den Wert in die Gleichungen einsetzen, finden wir die Werte, nämlich:

Somit hat das gemischte rationale System (7) eine eindeutige Lösung. Daraus folgt, dass die gegebene irrationale Gleichung auch im Bereich der reellen Zahlen eine eindeutige Lösung hat

2. Lösen Sie die Gleichung

Lösung. Putten

Lassen Sie uns ein gemischtes rationales System erstellen

Wenn wir die erste Gleichung relativ lösen und den gefundenen Wert in die dritte Gleichung einsetzen, erhalten wir ein gemischtes System, das dem System (11) entspricht:

Wenn wir die Werte aus der zweiten und vierten Gleichung in die dritte Gleichung (12) einsetzen, erhalten wir ein System, das dem System (12) entspricht:

Indem wir beide Seiten der dritten Gleichung von System (13) quadrieren, erhalten wir ein System, das eine Folge von System (13) ist:

Aus den letzten drei Gleichungen dieses Systems erhalten wir: oder nach Vereinfachungen:

Was eine Lösung für eine gegebene Gleichung sein kann, ist offensichtlich, da kein Wertesystem die dritte Gleichung des Systems erfüllen kann, die gegebene Gleichung erfüllt. Folglich hat die gegebene irrationale Gleichung eine eindeutige Lösung im Bereich der reellen Zahlen

Manchmal ist es beim Lösen einer irrationalen Gleichung ratsam, die Methode der Einführung neuer Unbekannter mit der Methode der Potenzierung beider Seiten der Gleichung zu kombinieren.

Beispiel. Löse die Gleichung

Lösung. Angenommen, wir haben:

Wir ersetzen Gleichung (15) durch ein gemischtes System

Wenn wir das Radikal in der zweiten Gleichung des Systems (16) trennen und beide Seiten der Gleichung quadrieren, erhalten wir: oder nach Vereinfachungen:

Daher erfüllen beide Lösungen die Gleichung und die Ungleichung. Wenn wir die Werte in die erste Gleichung des Systems (16) einsetzen, erhalten wir die folgenden zwei Gleichungen:

Daher hat das gemischte System (16) vier Lösungen:

und daher hat Gleichung (15) auch vier Lösungen, nämlich:

Künstliche Techniken. In der Praxis der Lösung irrationaler Gleichungen werden teilweise einzelne, sogenannte künstliche Techniken erfolgreich eingesetzt. Schauen wir uns einige davon anhand von Beispielen an.

a) Lösen Sie die Gleichung

Lösung. Lassen Sie uns beide Seiten der Gleichung mit dem zu ihrer linken Seite konjugierten Faktor multiplizieren. Werde haben:

oder nach Transformationen:

Durch partielle Addition der Gleichungen (17) und (18) erhalten wir:

Beide Lösungen erfüllen die gegebene Gleichung, was leicht überprüft werden kann, indem man sie in die Gleichung einsetzt.

b) Lösen Sie die Gleichung

Lösung. Nehmen wir die Identität

und schreibe es so:

Gleichheit (20) ist für alle Werte erfüllt, insbesondere für Werte, die Gleichung (19) erfüllen. Wenn wir daher seinen zweiten Faktor auf der linken Seite der Identität (20), der linken Seite der Gleichung (19), durch den Ausdruck ersetzen, erhalten wir die Gleichung

die von allen Lösungen der Gleichung (19) erfüllt wird.

Gleichung (21) ist somit eine Folge von Gleichung (19), und daher sollten Lösungen für Gleichung (19) unter den Lösungen für Gleichung (21) gesucht werden. Wir schreiben Gleichung (21) wie folgt:

Dies zeigt, dass sich Gleichung (21) in zwei Gleichungen aufspaltet:

Daraus folgt, dass Lösungen für Gleichung (19) unter Lösungen für Gleichung (22) und Lösungen für Gleichung (23) gesucht werden müssen. Die Lösung für Gleichung (22) lautet: Diese Lösung erfüllt auch die gegebene Gleichung (19). Um andere Lösungen für Gleichung (19) zu finden, addieren wir die Teile der Gleichungen (19) und (23). Wir erhalten die Gleichung

die von allen Lösungen der Gleichung (19) erfüllt wird, die sich von der Lösung unterscheiden

Methodische Entwicklungen für das Wahlfach

„Methoden zur Lösung irrationaler Gleichungen“

EINFÜHRUNG

Das vorgeschlagene Wahlfach „Methoden zur Lösung irrationaler Gleichungen“ richtet sich an Schüler der 11. Klasse einer allgemeinbildenden Schule und ist fachorientiert und zielt auf die Erweiterung des theoretischen und praktischen Wissens der Schüler ab. Das Wahlpflichtfach baut auf den Kenntnissen und Fähigkeiten auf, die sich die Studierenden im Mathematikstudium an der Oberstufe aneignen.

Die Besonderheit dieses Kurses besteht darin, dass er sich in erster Linie an Studierende richtet, die ihr mathematisches Wissen erweitern, vertiefen, systematisieren, verallgemeinern und gängige Methoden und Techniken zur Lösung irrationaler Gleichungen erlernen möchten. Das Programm umfasst Fragen, die teilweise über die aktuellen Mathematikprogramme hinausgehen, und nicht standardmäßige Methoden, mit denen Sie verschiedene Probleme effektiver lösen können.

Bei den meisten USE-Aufgaben müssen die Absolventen verschiedene Methoden zur Lösung verschiedener Arten von Gleichungen und ihrer Systeme beherrschen. Material zu Gleichungen und Gleichungssystemen macht einen wesentlichen Teil des schulischen Mathematikunterrichts aus. Die Relevanz der Wahl des Wahlfachthemas wird durch die Bedeutung des Themas „Irrationale Gleichungen“ im schulischen Mathematikkurs und gleichzeitig durch den Mangel an Zeit für die Betrachtung nicht standardmäßiger Methoden und Ansätze zur Lösung irrationaler Gleichungen bestimmt Gleichungen, die in den Aufgaben der Gruppe „C“ des Einheitlichen Staatsexamens zu finden sind.

Neben der Grundaufgabe des Mathematikunterrichts – der Sicherstellung einer starken und bewussten Beherrschung des Systems mathematischer Kenntnisse und Fähigkeiten durch die Studierenden – sorgt dieser Wahlpflichtkurs für die Bildung eines nachhaltigen Interesses am Fach, die Entwicklung mathematischer Fähigkeiten und die Steigerung des Niveaus mathematische Kultur der Studierenden, die die Grundlage für das erfolgreiche Bestehen des Einheitlichen Staatsexamens und die Weiterbildung an Universitäten schafft.

Ziel des Kurses:

Erhöhen Sie das Verständnis und die praktische Ausbildung beim Lösen irrationaler Gleichungen.

Lerntechniken und Methoden zur Lösung irrationaler Gleichungen;

Entwickeln Sie die Fähigkeit, Elemente der kreativen Suche auf der Grundlage von Generalisierungstechniken zu analysieren, hervorzuheben und Elemente einer kreativen Suche zu bilden.

Erweitern Sie das Wissen der Studierenden zu diesem Thema, verbessern Sie ihre Fähigkeiten zur Lösung verschiedener Probleme, um das Einheitliche Staatsexamen erfolgreich zu bestehen.

Kursziele:

Erweiterung des Wissens über Methoden und Techniken zur Lösung algebraischer Gleichungen;

Verallgemeinerung und Systematisierung des Wissens beim Lernen in den Klassen 10-11 und bei der Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen;

Entwicklung der Fähigkeit, sich selbstständig Wissen anzueignen und anzuwenden;

Einführung der Studierenden in die Arbeit mit mathematischer Literatur;

Entwicklung des logischen Denkens der Schüler, ihrer algorithmischen Kultur und ihrer mathematischen Intuition;

Verbesserung der mathematischen Kultur des Schülers.

Das Wahlfachprogramm umfasst das Studium verschiedener Methoden und Ansätze zur Lösung irrationaler Gleichungen sowie die Entwicklung praktischer Fähigkeiten zu den behandelten Fragestellungen. Der Kurs dauert 17 Stunden.

Das Programm ist komplex, geht über das übliche Studium hinaus, fördert die Entwicklung des abstrakten Denkens und erweitert den Erkenntnisbereich der Studierenden. Gleichzeitig wird die Kontinuität zu den bestehenden Programmen gewahrt und ist deren logische Fortsetzung.

Bildungs- und Themenplan

№p/p

Unterrichtsthema

Anzahl der Stunden

Lösen von Gleichungen unter Berücksichtigung des Bereichs akzeptabler Werte

Lösung irrationaler Gleichungen durch Erhöhung auf Naturkräfte

Gleichungen durch Einführung von Hilfsvariablen lösen (Ersetzungsmethode)

Lösen einer Gleichung mit einer Wurzel dritten Grades.

Identische Transformationen beim Lösen irrationaler Gleichungen

Unkonventionelle Aufgaben. Probleme der Gruppe „C“ des Einheitlichen Staatsexamens

Formen der Kontrolle: Heimtests, unabhängige Arbeiten, Aufsätze und Forschungsarbeiten.

Als Ergebnis des Studiums dieses Wahlfachs sollten die Studierenden in der Lage sein, verschiedene irrationale Gleichungen mit Standard- und Nicht-Standard-Methoden und -Techniken zu lösen;

den Algorithmus zur Lösung irrationaler Standardgleichungen beherrschen;

in der Lage sein, die Eigenschaften von Gleichungen zur Lösung nicht standardmäßiger Probleme zu nutzen;

in der Lage sein, beim Lösen von Gleichungen Identitätstransformationen durchzuführen;

ein klares Verständnis der Themen des Einheitlichen Staatsexamens und der wichtigsten Methoden zu deren Lösung haben;

Sammeln Sie Erfahrungen in der Auswahl von Methoden zur Lösung nicht standardmäßiger Probleme.

HAUPTTEIL.

Man nennt Gleichungen, bei denen die unbekannte Größe unter dem Wurzelzeichen steht irrational.

Zu den einfachsten irrationalen Gleichungen gehören Gleichungen der Form:

Die Hauptidee der Lösung Die Lösung einer irrationalen Gleichung besteht darin, sie auf eine rationale algebraische Gleichung zu reduzieren, die entweder der ursprünglichen irrationalen Gleichung äquivalent ist oder deren Konsequenz darstellt. Beim Lösen irrationaler Gleichungen geht es immer darum, echte Wurzeln zu finden.

Schauen wir uns einige Möglichkeiten zur Lösung irrationaler Gleichungen an.

1. Lösung irrationaler Gleichungen unter Berücksichtigung des zulässigen Wertebereichs (APV).

Der Bereich zulässiger Werte einer irrationalen Gleichung besteht aus den Werten der Unbekannten, für die alle Ausdrücke unter dem Vorzeichen einer Wurzel geraden Grades nicht negativ sind.

Manchmal können Sie mit der Kenntnis der ODZ beweisen, dass die Gleichung keine Lösungen hat, und manchmal können Sie durch direktes Ersetzen von Zahlen aus der ODZ Lösungen für die Gleichung finden.

Beispiel 1 . Löse die Gleichung.

Lösung . Nachdem wir die ODZ dieser Gleichung gefunden haben, kommen wir zu dem Schluss, dass die ODZ der ursprünglichen Gleichung eine Einzelelementmenge ist. Ersetzenx=2In diese Gleichung kommen wir zu dem Schluss, dassx=2ist die Wurzel der ursprünglichen Gleichung.

Antwort : 2 .

Beispiel 2.

Die Gleichung hat keine Lösungen, weil Für jeden gültigen Wert einer Variablen darf die Summe zweier nicht negativer Zahlen nicht negativ sein.

Beispiel 3.
+ 3 =
.

ODZ:

Die ODZ-Gleichung ist eine leere Menge.

Antwort: Die Gleichung hat keine Wurzeln.

Beispiel 4. 3
−4
−
=−(2+
).

ODZ:

ODZ:
. Durch die Überprüfung sind wir überzeugt, dass x=1 die Wurzel der Gleichung ist.

Antwort 1.

Beweisen Sie, dass die Gleichung nicht gilt

Wurzeln.

1.
= 0.

2.
=1.

3. 5
.

4.
+
=2.

5.
=
.

Löse die Gleichung.

1. .

2. = 0.

3.
= 92.

4. = 0.

5.
+
+(x+3)(2005−x)=0.

2. B beide Seiten der Gleichung auf die natürliche Kraft anheben , also der Übergang von der Gleichung

(1)

zur Gleichung

. (2)

Die folgenden Aussagen sind wahr:

1) für jede Gleichung (2) ist eine Folge von Gleichung (1);

2) wenn ( N eine ungerade Zahl ist), dann gelten die Gleichungen (1) und (2 ) sind gleichwertig;

3) wenn ( N eine gerade Zahl ist), dann ist Gleichung (2) äquivalent zur Gleichung

, (3)

und Gleichung (3) ist äquivalent zum Gleichungssatz

. (4)

Insbesondere die Gleichung

(5)

ist äquivalent zum Gleichungssatz (4).

Beispiel 1. Löse die Gleichung

.

Die Gleichung ist äquivalent zum System

Daraus folgt, dass x=1 ist und die Wurzel die zweite Ungleichung nicht erfüllt. Gleichzeitig bedarf eine kompetente Lösung keiner Überprüfung.

Antwort:x=1.

Beispiel 2. Löse die Gleichung.

Lösen Sie die erste Gleichung dieses Systems, die der Gleichung entspricht , wir bekommen die Wurzeln und . Allerdings bei diesen Werten X Die Ungleichung gilt nicht, und daher hat diese Gleichung keine Wurzeln.

Antwort: Keine Wurzeln.

Beispiel 3. Löse die Gleichung

Wenn wir das erste Radikal isolieren, erhalten wir die Gleichung

entspricht dem Original.

Indem wir beide Seiten dieser Gleichung quadrieren, da beide positiv sind, erhalten wir die Gleichung

,

was eine Folge der ursprünglichen Gleichung ist. Indem wir beide Seiten dieser Gleichung unter der Bedingung quadrieren, dass , erhalten wir die Gleichung

.

Diese Gleichung hat Wurzeln , . Die erste Wurzel erfüllt die Anfangsbedingung, die zweite jedoch nicht.

Antwort: x=2.

Wenn die Gleichung zwei oder mehr Radikale enthält, werden diese zuerst isoliert und dann quadriert.

Beispiel 1.

Wenn wir das erste Radikal isolieren, erhalten wir eine Gleichung, die der gegebenen Gleichung äquivalent ist. Quadrieren wir beide Seiten der Gleichung:

Nachdem wir die notwendigen Transformationen durchgeführt haben, quadrieren wir die resultierende Gleichung

Nach der Prüfung fällt uns das auf

liegt nicht im Bereich akzeptabler Werte.

Antwort: 8.

Antwort: 2

Antwort: 3; 1.4.

3. Viele irrationale Gleichungen werden durch Einführung von Hilfsvariablen gelöst.

Ein bequemes Mittel zur Lösung irrationaler Gleichungen ist manchmal die Methode der Einführung einer neuen Variablen oder „Ersatzmethode“ Die Methode wird normalerweise angewendet, wenn in Gl. Manche Ausdrücke kommen immer wieder vor, abhängig von einer unbekannten Größe. Dann ist es sinnvoll, diesen Ausdruck mit einem neuen Buchstaben zu bezeichnen und zu versuchen, die Gleichung zunächst in Bezug auf die eingeführte Unbekannte zu lösen und dann die ursprüngliche Unbekannte zu finden.

Die erfolgreiche Wahl einer neuen Variablen macht die Struktur der Gleichung transparenter. Die neue Variable ist manchmal offensichtlich, manchmal etwas verschleiert, aber „fühlbar“ und manchmal „manifestiert“ sie sich erst im Prozess der Transformation.

Beispiel 1.

Lassen
t>0 also

t =
,

t 2 +5t-14=0,

t 1 =-7, t 2 =2. t=-7 erfüllt dann nicht die Bedingung t>0

,

x 2 -2x-5=0,

x 1 =1-
, x 2 =1+
.

Antwort 1-
; 1+
.

Beispiel 2. Lösen Sie eine irrationale Gleichung

Ersatz:

Umgekehrter Ersatz: /

Antwort:

Beispiel 3. Löse die Gleichung .

Machen wir Ersetzungen: , . Die ursprüngliche Gleichung wird in die Form umgeschrieben, aus der wir das ermitteln A = 4B Und . Als nächstes erhöhen wir beide Seiten der Gleichung quadriert erhalten wir: Von hier aus X= 15. Es bleibt nur noch zu prüfen:

- Rechts!

Antwort: 15.

Beispiel 4. Löse die Gleichung

Durch Setzen erhalten wir eine wesentlich einfachere irrationale Gleichung. Quadrieren wir beide Seiten der Gleichung: .

; ;

; ; , .

Die Überprüfung der gefundenen Werte und deren Einsetzen in die Gleichung zeigt, dass dies die Wurzel der Gleichung und eine Fremdwurzel ist.

Rückkehr zur ursprünglichen Variablen X, erhalten wir eine Gleichung, also eine quadratische Gleichung, deren Lösung wir zwei Wurzeln finden: ,. Beide Wurzeln erfüllen die ursprüngliche Gleichung.

Antwort: , .

Der Ersatz ist insbesondere dann sinnvoll, wenn dadurch eine neue Qualität erreicht wird, beispielsweise eine irrationale Gleichung in eine rationale umgewandelt wird.

Beispiel 6. Löse die Gleichung.

Schreiben wir die Gleichung folgendermaßen um: .

Es ist ersichtlich, dass wir eine neue Variable einführen , dann nimmt die Gleichung die Form an , wo ist die Fremdwurzel und .

Aus der Gleichung erhalten wir , .

Antwort: , .

Beispiel 7. Löse die Gleichung .

Lassen Sie uns eine neue Variable einführen, .

Infolgedessen nimmt die ursprüngliche irrationale Gleichung die Form einer quadratischen Gleichung an

,

woraus wir unter Berücksichtigung der Einschränkung erhalten. Wenn wir die Gleichung lösen, erhalten wir die Wurzel. Antwort: 2,5.

Aufgaben zur eigenständigen Lösung.

1.
+
=
.

2.
+
=.

3.
.

5.
.

4.Methode zur Einführung zweier Hilfsvariablen.

Gleichungen der Form (Hier A , B , C , D – einige Zahlen M , N – natürliche Zahlen) und eine Reihe anderer Gleichungen können oft gelöst werden durch Einführung zweier Hilfsunbekannter: und , wo und anschließender Übergang zu äquivalentes System rationaler Gleichungen.

Beispiel 1. Löse die Gleichung.

Beide Seiten dieser Gleichung in die vierte Potenz zu erhöhen, verspricht nichts Gutes. Wenn wir setzen, wird die ursprüngliche Gleichung wie folgt umgeschrieben: . Da wir zwei neue Unbekannte eingeführt haben, müssen wir eine weitere Beziehungsgleichung finden j Und z. Dazu erhöhen wir die Gleichungen in die vierte Potenz und stellen fest, dass . Wir müssen also das Gleichungssystem lösen

Durch Quadrieren erhalten wir:

Nach der Substitution haben wir: oder . Dann hat das System zwei Lösungen: , ; , , und das System hat keine Lösungen.

Es bleibt das System aus zwei Gleichungen mit einer Unbekannten zu lösen

und das System: Der Erste gibt, der Zweite gibt.

Antwort: , .

Beispiel 2.

Lassen

Antwort:

5. Gleichungen mit einem Radikal dritten Grades.
Beim Lösen von Gleichungen, die Radikale 3. Grades enthalten, kann es sinnvoll sein, die Addition nach Identitäten zu verwenden:

Beispiel 1. .
Erhöhen wir beide Seiten dieser Gleichung auf die 3. Potenz und verwenden wir die obige Identität:

Beachten Sie, dass der Ausdruck in Klammern gleich 1 ist, was sich aus der ursprünglichen Gleichung ergibt. Wenn wir dies berücksichtigen und ähnliche Begriffe heranziehen, erhalten wir:
Öffnen wir die Klammern, fügen ähnliche Terme hinzu und lösen die quadratische Gleichung. Seine WurzelnUnd. Wenn wir (per Definition) davon ausgehen, dass ungerade Wurzeln auch aus negativen Zahlen gezogen werden können, dann sind beide erhaltenen Zahlen Lösungen der ursprünglichen Gleichung.
Antwort:.

6. Multiplikation beider Seiten der Gleichung mit dem konjugierten Ausdruck einer von ihnen.

Manchmal lässt sich eine irrationale Gleichung recht schnell lösen, wenn beide Seiten mit einer gut gewählten Funktion multipliziert werden. Wenn beide Seiten der Gleichung mit einer bestimmten Funktion multipliziert werden, können natürlich fremde Lösungen auftreten; sie können sich als Nullstellen dieser Funktion selbst herausstellen. Daher erfordert die vorgeschlagene Methode eine obligatorische Untersuchung der resultierenden Werte.

Beispiel 1. Löse die Gleichung

Lösung: Wählen wir eine Funktion aus

Lassen Sie uns beide Seiten der Gleichung mit der ausgewählten Funktion multiplizieren:

Bringen wir ähnliche Begriffe und erhalten eine äquivalente Gleichung

Addieren wir die ursprüngliche Gleichung und die letzte, erhalten wir

Antwort: .

7. Identische Transformationen beim Lösen irrationaler Gleichungen

Bei der Lösung irrationaler Gleichungen ist es oft notwendig, identische Transformationen anzuwenden, die mit der Verwendung bekannter Formeln verbunden sind. Leider sind diese Aktionen manchmal genauso unsicher wie das Erhöhen auf eine gleichmäßige Potenz – Lösungen können gewonnen oder verloren werden.

Schauen wir uns verschiedene Situationen an, in denen diese Probleme auftreten, und erfahren Sie, wie Sie sie erkennen und verhindern können.

ICH. Beispiel 1. Löse die Gleichung.

Lösung. Die Formel, die hier gilt, lautet .

Sie müssen nur an die Sicherheit seiner Verwendung denken. Es ist leicht zu erkennen, dass seine linke und rechte Seite unterschiedliche Definitionsbereiche haben und dass diese Gleichheit nur unter der Bedingung gilt. Daher ist die ursprüngliche Gleichung äquivalent zum System

Wenn wir die Gleichung dieses Systems lösen, erhalten wir die Wurzeln und . Die zweite Wurzel erfüllt nicht die Menge der Ungleichungen des Systems und ist daher eine fremde Wurzel der ursprünglichen Gleichung.

Antwort: -1 .

II.Die nächste gefährliche Transformation beim Lösen irrationaler Gleichungen wird durch die Formel bestimmt.

Wenn Sie diese Formel von links nach rechts anwenden, erweitert sich die ODZ und Sie können Lösungen von Drittanbietern erwerben. Tatsächlich müssen auf der linken Seite beide Funktionen nicht negativ sein; und rechts darf ihr Produkt nicht negativ sein.

Schauen wir uns ein Beispiel an, bei dem ein Problem mithilfe der Formel implementiert wird.

Beispiel 2. Löse die Gleichung.

Lösung. Versuchen wir, diese Gleichung durch Faktorisieren zu lösen

Beachten Sie, dass sich bei dieser Aktion herausstellte, dass die Lösung verloren ging, da sie zur ursprünglichen Gleichung passt und nicht mehr zur resultierenden: Sie macht keinen Sinn für . Daher ist es besser, diese Gleichung durch gewöhnliches Quadrieren zu lösen

Wenn wir die Gleichung dieses Systems lösen, erhalten wir die Wurzeln und . Beide Wurzeln erfüllen die Systemungleichung.

Antwort: , .

III Es gibt eine noch gefährlichere Aktion – die Reduzierung um einen gemeinsamen Faktor.

Beispiel 3. Löse die Gleichung .

Falsche Argumentation: Reduzieren Sie beide Seiten der Gleichung um , erhalten wir .

Es gibt nichts Gefährlicheres und Falscheres als diese Aktion. Erstens ging eine geeignete Lösung für die ursprüngliche Gleichung verloren; Zweitens wurden zwei Lösungen von Drittanbietern gekauft. Es stellt sich heraus, dass die neue Gleichung nichts mit der ursprünglichen gemein hat! Geben wir die richtige Lösung.

Lösung. Verschieben wir alle Terme auf die linke Seite der Gleichung und faktorisieren sie in Faktoren

.

Diese Gleichung entspricht dem System

das eine einzigartige Lösung hat.

Antwort: 3 .

ABSCHLUSS.

Im Rahmen des Wahlfachs werden nicht standardmäßige Techniken zur Lösung komplexer Probleme aufgezeigt, die das logische Denken und die Fähigkeit, unter vielen Lösungen eine für den Studierenden bequeme und rationale zu finden, erfolgreich entwickeln. Dieser Kurs erfordert viel selbstständiges Arbeiten von den Studierenden, bereitet die Studierenden auf die Weiterbildung vor und verbessert das Niveau der mathematischen Kultur.

Die Arbeit diskutierte die wichtigsten Methoden zur Lösung irrationaler Gleichungen, einige Ansätze zur Lösung von Gleichungen höheren Grades, deren Verwendung bei der Lösung von Aufgaben des Einheitlichen Staatsexamens sowie bei der Zulassung zu Universitäten und der mathematischen Weiterbildung vorausgesetzt wird. Der Inhalt grundlegender Konzepte und Aussagen zur Theorie der Lösung irrationaler Gleichungen wurde ebenfalls offengelegt. Nachdem wir die gebräuchlichste Methode zum Lösen von Gleichungen ermittelt hatten, identifizierten wir ihre Verwendung in Standard- und Nicht-Standard-Situationen. Darüber hinaus wurden typische Fehler bei der Durchführung von Identitätstransformationen und Möglichkeiten zu deren Überwindung betrachtet.

Nach Abschluss des Kurses haben die Studierenden die Möglichkeit, verschiedene Methoden und Techniken zur Lösung von Gleichungen zu beherrschen, theoretische Informationen zu systematisieren und zu verallgemeinern, selbstständig nach Lösungen für bestimmte Probleme zu suchen und in diesem Zusammenhang eine Reihe von Problemen und Übungen zu verfassen zu diesen Themen. Die Auswahl komplexer Materialien wird den Schülern helfen, sich in Forschungsaktivitäten auszudrücken.

Die positive Seite des Studiengangs ist die Möglichkeit der weiteren Anwendung der Studieninhalte durch Studierende beim Bestehen des Einheitlichen Staatsexamens und beim Hochschulzugang.

Der Nachteil ist, dass aufgrund der Schwierigkeit der meisten zu lösenden Probleme nicht jeder Student in der Lage ist, alle Techniken dieses Kurses zu beherrschen, selbst wenn er es möchte.

LITERATUR:

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Prüfungsmaterialien zur Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen – 2008 – 2012.

V. V. Kochagin, M. N. Kochagina „Einheitliches Staatsexamen – 2010. Mathematik. Tutor“ Moskau „Aufklärung“ 2010

V.A.Gusev, A.G.Mordkovich „Mathematik. Referenzmaterialien“ Moskau „Aufklärung“ 1988

Die Wahrung Ihrer Privatsphäre ist uns wichtig. Aus diesem Grund haben wir eine Datenschutzrichtlinie entwickelt, die beschreibt, wie wir Ihre Daten verwenden und speichern. Bitte lesen Sie unsere Datenschutzpraktiken durch und teilen Sie uns mit, wenn Sie Fragen haben.

Erhebung und Nutzung personenbezogener Daten

Unter personenbezogenen Daten versteht man Daten, die dazu genutzt werden können, eine bestimmte Person zu identifizieren oder mit ihr in Kontakt zu treten.

Sie können jederzeit um die Angabe Ihrer persönlichen Daten gebeten werden, wenn Sie mit uns Kontakt aufnehmen.

Nachfolgend finden Sie einige Beispiele für die Arten personenbezogener Daten, die wir möglicherweise sammeln, und wie wir diese Informationen verwenden können.

Welche personenbezogenen Daten erfassen wir:

• Wenn Sie auf der Website eine Bewerbung einreichen, erfassen wir möglicherweise verschiedene Informationen, einschließlich Ihres Namens, Ihrer Telefonnummer, Ihrer E-Mail-Adresse usw.

Wie wir Ihre persönlichen Daten verwenden:

• Die von uns erfassten personenbezogenen Daten ermöglichen es uns, Sie mit einzigartigen Angeboten, Werbeaktionen und anderen Veranstaltungen sowie bevorstehenden Veranstaltungen zu kontaktieren.
• Von Zeit zu Zeit können wir Ihre persönlichen Daten verwenden, um wichtige Mitteilungen und Mitteilungen zu versenden.
• Wir können personenbezogene Daten auch für interne Zwecke verwenden, beispielsweise zur Durchführung von Audits, Datenanalysen und verschiedenen Forschungsarbeiten, um die von uns bereitgestellten Dienste zu verbessern und Ihnen Empfehlungen zu unseren Diensten zu geben.
• Wenn Sie an einer Verlosung, einem Wettbewerb oder einer ähnlichen Aktion teilnehmen, können wir die von Ihnen bereitgestellten Informationen zur Verwaltung solcher Programme verwenden.

Weitergabe von Informationen an Dritte

Wir geben die von Ihnen erhaltenen Informationen nicht an Dritte weiter.

Ausnahmen:

• Wenn es erforderlich ist – in Übereinstimmung mit dem Gesetz, dem Gerichtsverfahren, in Gerichtsverfahren und/oder auf der Grundlage öffentlicher Anfragen oder Anfragen von Regierungsbehörden im Hoheitsgebiet der Russischen Föderation – Ihre personenbezogenen Daten offenzulegen. Wir können auch Informationen über Sie offenlegen, wenn wir zu dem Schluss kommen, dass eine solche Offenlegung aus Sicherheits-, Strafverfolgungs- oder anderen Gründen von öffentlicher Bedeutung notwendig oder angemessen ist.
• Im Falle einer Umstrukturierung, Fusion oder eines Verkaufs können wir die von uns erfassten personenbezogenen Daten an den jeweiligen Nachfolger-Dritten weitergeben.

Schutz personenbezogener Daten

Wir treffen Vorkehrungen – einschließlich administrativer, technischer und physischer –, um Ihre persönlichen Daten vor Verlust, Diebstahl und Missbrauch sowie vor unbefugtem Zugriff, Offenlegung, Änderung und Zerstörung zu schützen.

Respektieren Sie Ihre Privatsphäre auf Unternehmensebene

Um sicherzustellen, dass Ihre persönlichen Daten sicher sind, kommunizieren wir Datenschutz- und Sicherheitsstandards an unsere Mitarbeiter und setzen Datenschutzpraktiken strikt durch.