Städtische autonome Bildungseinrichtung

„Sekundarschule Nr. 56 mit vertieftem Mathematikstudium“ in der Stadt Magnitogorsk

Methodische Entwicklung des Unterrichts

Mathematik

Stammfunktionen und bestimmtes Integral im Einheitlichen Staatsexamen. Überprüfung der Aufgaben des Einheitlichen Staatsexamens zum Thema „Primordial“)

für Schüler der 11. Klasse

(zusammenfassende Lektion)

Filimonova Tatjana Michailowna

Magnitogorsk 2018

Anmerkung

Der Unterricht richtet sich an Schüler der 11. Klasse. Das Thema der Lektion ist „Eine Stammfunktion und ein bestimmtes Integral im Einheitlichen Staatsexamen.“Überprüfung der Aufgaben des Einheitlichen Staatsexamens zum Thema „Primordial“. Die Schulungsphase zu diesem Thema ist die letzte. Die Motivation zum Studium dieses Themas wird durch den Einsatz von IKT, den Einsatz verschiedener Arten von Aufgaben, den Einsatz von FIPI-Aufgaben und Aufgaben von der Website zur Lösung des Einheitlichen Staatsexamens vermittelt. Das vorrangige Ziel des Unterrichts besteht darin, das erworbene Wissen anzuwenden, Fähigkeiten zu üben und Probleme mit dem Einheitlichen Staatsexamen zu lösen.

Erläuterungen

Unter methodischer Entwicklung versteht man die Entwicklung einer spezifischen Mathematikstunde unter Einsatz von IKT-Tools. Die Relevanz der Entwicklung liegt darin, dass Studierende das Problem der Flächenfindung einer Figur mit unterschiedlichen Methoden lösen. Unterschiedliche Lösungsansätze für ein Problem, Klarheit, historische Informationen und das Vorhandensein interdisziplinärer Zusammenhänge tragen zur Entwicklung kognitiver Fähigkeiten bei Interesse an Mathematik, Bewusstsein für die Bedeutung der Mathematik im menschlichen Alltag.

Während der Prüfung wiederholen die Studierenden theoretische Informationen über Stammfunktion und Integral, die ihnen helfen, die Theorie zu diesem Thema zu systematisieren und sich auf die bevorstehende Prüfung vorzubereiten.

Zusammenfassung der Lektion

Unterrichtsart: zusammenfassende Lektion.

Ziele:

Lehrreich:

Bildung pädagogischer, kognitiver und Informationskompetenzen durch Verallgemeinerung und Systematisierung des Wissens zum Thema „Stammfunktion.Integral".

Entwicklung:

Bildung informativer und allgemeiner kultureller Kompetenzen durch die Entwicklung kognitiver Aktivität, Interesse am Fach, kreative Fähigkeiten der Studierenden, Erweiterung ihres Horizonts und Entwicklung der mathematischen Sprache.

Lehrreich:

Bildung kommunikativer Kompetenz und Kompetenz zur persönlichen Selbstverbesserung durch die Arbeit an Kommunikationsfähigkeiten, der Fähigkeit zur Zusammenarbeit und der Entwicklung persönlicher Qualitäten wie Organisation und Disziplin.

Ausrüstung:PC, Projektor, Leinwand.

Während des Unterrichts

I. Organisatorischer Moment:

Hallo Leute! Ich freue mich, Sie im Unterricht begrüßen zu dürfen.CDer Zweck unserer Lektion besteht darin, Wissen zum Thema „Primordial“ zu verallgemeinern und zu systematisieren. Integral“, bereiten Sie sich auf das bevorstehende Einheitliche Staatsexamen vor.

II . Hausaufgaben überprüfen:

Finden Sie die Fläche einer durch Linien begrenzten Figurj= X2 , y=. Die Lösung wird auf dem Objektträger vorbereitet.

Eine Aufgabe zur Ableitung der Formel für das Volumen einer Kugel ist vorab an der Tafel vorbereitet.

Abwechselnd kommen 2 Personen an die Tafel, um kurz die Lösung zu erläutern

Der Rest prüft derzeit.

ICH II . Sich warm laufen.

Jeder Schüler erhält einen Test.

Sammeln Sie abgeschlossene Tests.

Die Aufgabenanalyse erfolgt frontal anhand der auf dem Bildschirm angezeigten Aufgaben.

ICH V . Mathematischer Staffellauf.

Jetzt aber los! Der Aufstieg zum „Gipfel des Wissens“ wird nicht einfach sein, es kann zu Verstopfungen, Erdrutschen und Verwehungen kommen. Es gibt aber auch Haltestellen, an denen nicht nur Aufgaben auf Sie warten. Um voranzukommen, müssen Sie Wissen zeigen.

Die Studierenden erhalten an jedem Schreibtisch Arbeitsblätter mit Aufgaben zum Thema „Primordial“.

1. Die Bedeutung der StammfunktionF( X) FunktionenF( X)=11 X+5 am Punkt 0 ist 6. FindenF(-3).

2. Die Bedeutung der StammfunktionF( X) FunktionenF( X)=8 cosXam Punkt -π ist 13. FindenF( π /6).

3. Der Wert der StammfunktionF( X) FunktionenF( X)=6 am Punkt 0 ist gleich -18. FindenF(ln3).

4. Die Abbildung zeigt einen Graphen einer Stammfunktionj= F( X) FunktionenF( X) und acht Punkte auf der x-Achse: , , …, . An wie vielen dieser Punkte liegt die Funktion?F( X) ist positiv?

5. Die Abbildung zeigt den Graphen der Stammfunktion y=F( X) FunktionenF( X) und acht Punkte auf der x-Achse: , , , …,. An wie vielen dieser Punkte liegt die Funktion?f(x)Negativ?

V . Halt.

„Glückliche Zufälle passieren nur vorbereiteten Köpfen“ (Louis Pasteur).

Es werden Informationen aus der Geschichte der Integralrechnung vorgelesen. Ausgestellt werden von Studierenden verfasste Zeitungen zur Geschichte der Integralrechnung. Zeitungen sind Newton und Leibniz gewidmet.

VI. Der schwierigste Aufstieg.

Die nächste Aufgabe soll schriftlich erledigt werden, also arbeiten die Schüler in Notizbüchern.

Aufgabe. Auf wie viele Arten kann man die durch Linien begrenzte Fläche einer Figur ermitteln (Folie)

Wer hat Vorschläge? (Die Figur besteht aus zwei krummlinigen Trapezen und einem Rechteck) (Lösungsmethode wählen, Folie)

Nachdem Sie dieses Problem besprochen haben, erscheint eine Aufzeichnung auf der Folie

Methode 1: S=S1 +S2 +S

Methode 2: S=S1 +SA B C D-SZwangsstörung

Zwei Schüler lösen das Problem an der Tafel, gefolgt von einer Erläuterung der Lösung, die übrigen Schüler arbeiten in Notizbüchern und wählen eine der Lösungsmethoden aus.

Abschluss (Schüler tun es): Wir haben zwei Möglichkeiten gefunden, dieses Problem zu lösen und das gleiche Ergebnis zu erzielen. Besprechen Sie, welche Methode einfacher ist.

Alle sind sehr müde, aber je näher man dem Ziel kommt, desto einfacher werden die Aufgaben.

VSH. Zusammenfassung der Lektion (Folien)

„Denken beginnt mit Staunen“, bemerkte Aristoteles vor 2.500 Jahren. Unser Landsmann Sukhomlinsky glaubte, dass „ein Gefühl der Überraschung eine starke Quelle des Wissensdrangs ist; Von der Überraschung zum Wissen – ein Schritt.“ Und Mathematik ist ein wunderbares Fach für Überraschungen.

Integrale werden verwendet, wenn:

Lösen von Problemen aus dem Bereich der Physik;

Lösung wirtschaftlicher Probleme (Optimierung der Arbeit eines Unternehmens im Wettbewerbsumfeld, Berechnung der Rentabilität eines Verbraucherkredits);

Lösung soziodemografischer Probleme (mathematisches Modell der Erdbevölkerung usw.).

IX . Hausaufgaben. (gleiten)

Die Aufgabe wurde vom Lehrer auf der Website „Ich werde das Einheitliche Staatsexamen lösen“ zusammengestellt.

X . Zeichen setzen.

Referenzliste

Vilenkin N.Ya. usw. Algebra und Beginn der mathematischen Analyse. Klasse 11. V. Teil 2. (Profilebene). - M.: Mnemosyne, 2009. - 264 S.

Alexandrova L.A. Algebra und Beginn der mathematischen Analyse. Klasse 11. Unabhängige Arbeit. - M.: Mnemosyne, 2009. - 100 S.

3. Shipova T.A. Algebra und die Anfänge der Analysis: Ableitung. Bestimmtes Integral. Tests. - M.: Shkola-Press, 1996. - 64 S.

4. Website metaschool.ru zur Unterrichtsentwicklung.

5. Website Ich werde das Einheitliche Staatsexamen lösen, Aufgabenkatalog, Stammfunktion.

\(\DeclareMathOperator(\tg)(tg)\)\(\DeclareMathOperator(\ctg)(ctg)\)\(\DeclareMathOperator(\arctg)(arctg)\)\(\DeclareMathOperator(\arcctg)(arcctg) \)

Inhalt

Inhaltselemente

Ableitung, Tangente, Stammfunktion, Funktionsgraphen und Ableitungen.

Derivat Die Funktion \(f(x)\) sei in einer Umgebung des Punktes \(x_0\) definiert.

Ableitung der Funktion \(f\) am Punkt \(x_0\) Grenze genannt

\(f"(x_0)=\lim_(x\rightarrow x_0)\dfrac(f(x)-f(x_0))(x-x_0),\)

wenn diese Grenze existiert.

Die Ableitung einer Funktion an einem Punkt charakterisiert die Änderungsrate dieser Funktion an einem bestimmten Punkt.

Derivatetabelle

Funktion	Derivat
\(const\)	\(0\)
\(X\)	\(1\)
\(x^n\)	\(n\cdot x^(n-1)\)
\(\dfrac(1)(x)\)	\(-\dfrac(1)(x^2)\)
\(\sqrt(x)\)	\(\dfrac(1)(2\sqrt(x))\)
\(e^x\)	\(e^x\)
\(a^x\)	\(a^x\cdot \ln(a)\)
\(\ln(x)\)	\(\dfrac(1)(x)\)
\(\log_a(x)\)	\(\dfrac(1)(x\ln(a))\)
\(\sin x\)	\(\cos x\)
\(\cos x\)	\(-\sin x\)
\(\tg x\)	\(\dfrac(1)(\cos^2 x)\)
\(\ctg x\)	\(-\dfrac(1)(\sin^2x)\)

Differenzierungsregeln\(f\) und \(g\) sind Funktionen abhängig von der Variablen \(x\); \(c\) ist eine Zahl.

2) \((c\cdot f)"=c\cdot f"\)

3) \((f+g)"= f"+g"\)

4) \((f\cdot g)"=f"g+g"f\)

5) \(\left(\dfrac(f)(g)\right)"=\dfrac(f"g-g"f)(g^2)\)

6) \(\left(f\left(g(x)\right)\right)"=f"\left(g(x)\right)\cdot g"(x)\) - Ableitung einer komplexen Funktion

Geometrische Bedeutung der Ableitung Gleichung einer Geraden- nicht parallel zur Achse \(Oy\) kann in der Form \(y=kx+b\) geschrieben werden. Der Koeffizient \(k\) in dieser Gleichung heißt Steigung einer Geraden. Es ist gleich Tangens Neigungswinkel diese gerade Linie.

Geraden Winkel- der Winkel zwischen der positiven Richtung der \(Ox\)-Achse und dieser Geraden, gemessen in Richtung der positiven Winkel (also in Richtung der kleinsten Drehung von der \(Ox\)-Achse zur \ (Oy\)-Achse).

Die Ableitung der Funktion \(f(x)\) am Punkt \(x_0\) ist gleich der Steigung der Tangente an den Graphen der Funktion an diesem Punkt: \(f"(x_0)=\tg\ Alpha.\)

Wenn \(f"(x_0)=0\), dann ist die Tangente an den Graphen der Funktion \(f(x)\) im Punkt \(x_0\) parallel zur Achse \(Ox\).

Tangentengleichung

Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion \(f(x)\) im Punkt \(x_0\):

\(y=f(x_0)+f"(x_0)(x-x_0)\)

Monotonie der Funktion Wenn die Ableitung einer Funktion an allen Punkten des Intervalls positiv ist, dann nimmt die Funktion in diesem Intervall zu.

Wenn die Ableitung einer Funktion an allen Punkten des Intervalls negativ ist, dann nimmt die Funktion in diesem Intervall ab.

Minimum-, Maximum- und Wendepunkte positiv An Negativ An diesem Punkt ist \(x_0\) der Maximalpunkt der Funktion \(f\).

Wenn die Funktion \(f\) im Punkt \(x_0\) stetig ist und sich der Wert der Ableitung dieser Funktion \(f"\) mit ändert Negativ An positiv An diesem Punkt ist \(x_0\) der Minimalpunkt der Funktion \(f\).

Die Punkte, an denen die Ableitung \(f"\) gleich Null ist oder nicht existiert, werden aufgerufen kritische Punkte Funktionen \(f\).

Interne Punkte des Definitionsbereichs der Funktion \(f(x)\), in dem \(f"(x)=0\) Minimum-, Maximum- oder Wendepunkte sein können.

Physikalische Bedeutung der Ableitung Wenn sich ein materieller Punkt geradlinig bewegt und sich seine Koordinate in Abhängigkeit von der Zeit gemäß dem Gesetz \(x=x(t)\) ändert, dann ist die Geschwindigkeit dieses Punktes gleich der Ableitung der Koordinate nach der Zeit:

Die Beschleunigung eines materiellen Punktes ist gleich der Ableitung der Geschwindigkeit dieses Punktes nach der Zeit:

\(a(t)=v"(t).\)

Funktion F(X ) angerufen Stammfunktion für Funktion F(X) in einem bestimmten Intervall, wenn überhaupt X ab diesem Intervall gilt die Gleichheit

F"(X ) = F(X ) .

Zum Beispiel die Funktion F(x) = x 2 F(X ) = 2X , als

F"(x) = (x 2 )" = 2x = f(x). ◄

Die Haupteigenschaft der Stammfunktion

Wenn F(x) - Stammfunktion einer Funktion f(x) in einem gegebenen Intervall, dann die Funktion f(x) hat unendlich viele Stammfunktionen, und alle diese Stammfunktionen können in der Form geschrieben werden F(x) + C, Wo MIT ist eine beliebige Konstante.

Zum Beispiel. Funktion F(x) = x 2 + 1 ist eine Stammfunktion der Funktion F(X ) = 2X , als F"(x) = (x 2 + 1 )" = 2 x = f(x); Funktion F(x) = x 2 - 1 ist eine Stammfunktion der Funktion F(X ) = 2X , als F"(x) = (x 2 - 1)" = 2x = f(x) ; Funktion F(x) = x 2 - 3 ist eine Stammfunktion der Funktion F(X) = 2X , als F"(x) = (x 2 - 3)" = 2 x = f(x); jede Funktion F(x) = x 2 + MIT , Wo MIT - eine beliebige Konstante, und nur eine solche Funktion ist eine Stammfunktion der Funktion F(X) = 2X . ◄

Regeln zur Berechnung von Stammfunktionen

1. Wenn F(x) - Stammfunktion für f(x) , A G(x) - Stammfunktion für g(x) , Das F(x) + G(x) - Stammfunktion für f(x) + g(x) . Mit anderen Worten, die Stammfunktion der Summe ist gleich der Summe der Stammfunktionen .
2. Wenn F(x) - Stammfunktion für f(x) , Und k - also konstant k · F(x) - Stammfunktion für k · f(x) . Mit anderen Worten, Der konstante Faktor kann aus dem Vorzeichen der Ableitung entnommen werden .
3. Wenn F(x) - Stammfunktion für f(x) , Und k,B- konstant, und k ≠ 0 , Das 1 / k F( k x+ B ) - Stammfunktion für F(k x+ B) .

Unbestimmtes Integral

Unbestimmtes Integral aus der Funktion f(x) Ausdruck genannt F(x) + C, also die Menge aller Stammfunktionen einer gegebenen Funktion f(x) . Das unbestimmte Integral wird wie folgt bezeichnet:

∫ f(x) dx = F(x) + C ,

f(x)- Sie rufen Integrandenfunktion ;

f(x) dx- Sie rufen Integrand ;

X - Sie rufen Integrationsvariable ;

F(x) - eine der primitiven Funktionen f(x) ;

MIT ist eine beliebige Konstante.

Zum Beispiel, ∫ 2 x dx =X 2 + MIT , ∫ cosx dx = Sünde X + MIT usw. ◄

Das Wort „Integral“ kommt vom lateinischen Wort ganze Zahl , was „wiederhergestellt“ bedeutet. Betrachtet man das unbestimmte Integral von 2 X, wir scheinen die Funktion wiederherzustellen X 2 , dessen Ableitung gleich ist 2 X. Das Wiederherstellen einer Funktion aus ihrer Ableitung oder, was dasselbe ist, das Finden eines unbestimmten Integrals über einem gegebenen Integranden nennt man Integration diese Funktion. Integration ist die Umkehroperation der Differentiation. Um zu überprüfen, ob die Integration korrekt durchgeführt wurde, genügt es, das Ergebnis zu differenzieren und den Integranden zu erhalten.

Grundlegende Eigenschaften des unbestimmten Integrals

1. Die Ableitung des unbestimmten Integrals ist gleich dem Integranden:

(∫ f(x) dx )" = f(x) .

2. Der konstante Faktor des Integranden lässt sich aus dem Integralzeichen entnehmen:

∫ k · f(x) dx = k · ∫ f(x) dx .

3. Das Integral der Summe (Differenz) der Funktionen ist gleich der Summe (Differenz) der Integrale dieser Funktionen:

∫ ( f(x) ± g(x ) ) dx = ∫ f(x) dx ± ∫ g(x ) dx .

4. Wenn k,B- konstant, und k ≠ 0 , Das

∫ F ( k x+ B) dx = 1 / k F( k x+ B ) + C .

Tabelle der Stammfunktionen und unbestimmten Integrale

	f(x)	F(x) + C	∫ f(x) dx = F(x) + C
ICH.	$$0$$	$$C$$	$$\int 0dx=C$$
II.	$$k$$	$$kx+C$$	$$\int kdx=kx+C$$
III.	$$x^n~(n\neq-1)$$	$$\frac(x^(n+1))(n+1)+C$$	$$\int x^ndx=\frac(x^(n+1))(n+1)+C$$
IV.	$$\frac(1)(x)$$	$$\ln |x|+C$$	$$\int\frac(dx)(x)=\ln |x|+C$$
V.	$$\sin x$$	$$-\cos x+C$$	$$\int\sin x~dx=-\cos x+C$$
VI.	$$\cos x$$	$$\sin x+C$$	$$\int\cos x~dx=\sin x+C$$
VII.	$$\frac(1)(\cos^2x)$$	$$\textrm(tg) ~x+C$$	$$\int\frac(dx)(\cos^2x)=\textrm(tg) ~x+C$$
VIII.	$$\frac(1)(\sin^2x)$$	$$-\textrm(ctg) ~x+C$$	$$\int\frac(dx)(\sin^2x)=-\textrm(ctg) ~x+C$$
IX.	$$e^x$$	$$e^x+C$$	$$\int e^xdx=e^x+C$$
X.	$$a^x$$	$$\frac(a^x)(\ln a)+C$$	$$\int a^xdx=\frac(a^x)(\ln a)+C$$
XI.	$$\frac(1)(\sqrt(1-x^2))$$	$$\arcsin x +C$$	$$\int\frac(dx)(\sqrt(1-x^2))=\arcsin x +C$$
XII.	$$\frac(1)(\sqrt(a^2-x^2))$$	$$\arcsin \frac(x)(a)+C$$	$$\int\frac(dx)(\sqrt(a^2-x^2))=\arcsin \frac(x)(a)+C$$
XIII.	$$\frac(1)(1+x^2)$$	$$\textrm(arctg) ~x+C$$	$$\int \frac(dx)(1+x^2)=\textrm(arctg) ~x+C$$
XIV.	$$\frac(1)(a^2+x^2)$$	$$\frac(1)(a)\textrm(arctg) ~\frac(x)(a)+C$$	$$\int \frac(dx)(a^2+x^2)=\frac(1)(a)\textrm(arctg) ~\frac(x)(a)+C$$
XV.	$$\frac(1)(\sqrt(a^2+x^2))$$	$$\ln|x+\sqrt(a^2+x^2)|+C$$	$$\int\frac(dx)(\sqrt(a^2+x^2))=\ln|x+\sqrt(a^2+x^2)|+C$$
XVI.	$$\frac(1)(x^2-a^2)~(a\neq0)$$	$$\frac(1)(2a)\ln \begin(vmatrix)\frac(x-a)(x+a)\end(vmatrix)+C$$	$$\int\frac(dx)(x^2-a^2)=\frac(1)(2a)\ln \begin(vmatrix)\frac(x-a)(x+a)\end(vmatrix)+ C$$
XVII.	$$\textrm(tg) ~x$$	$$-\ln |\cos x|+C$$	$$\int \textrm(tg) ~x ~dx=-\ln |\cos x|+C$$
XVIII.	$$\textrm(ctg) ~x$$	$$\ln |\sin x|+C$$	$$\int \textrm(ctg) ~x ~dx=\ln |\sin x|+C$$
XIX.	$$ \frac(1)(\sin x) $$	$$\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg) ~\frac(x)(2)\end(vmatrix)+C $$	$$\int \frac(dx)(\sin x)=\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg) ~\frac(x)(2)\end(vmatrix)+C $$
XX.	$$ \frac(1)(\cos x) $$	$$\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg)\left (\frac(x)(2)+\frac(\pi )(4) \right) \end(vmatrix)+C $$	$$\int \frac(dx)(\cos x)=\ln \begin(vmatrix)\textrm(tg)\left (\frac(x)(2)+\frac(\pi )(4) \right ) \end(vmatrix)+C $$
Die in dieser Tabelle angegebenen Stammfunktionen und unbestimmten Integrale werden üblicherweise aufgerufen tabellarische Stammfunktionen Und Tabellenintegrale .

Bestimmtes Integral

Zwischendurch lassen [A; B] eine stetige Funktion ist gegeben y = f(x) , Dann bestimmtes Integral von a nach b Funktionen f(x) heißt das Inkrement der Stammfunktion F(x) diese Funktion, das ist

$$\int_(a)^(b)f(x)dx=F(x)|(_a^b) = ~~F(a)-F(b).$$

Zahlen A Und B heißen entsprechend untere Und Spitze Grenzen der Integration.

Grundregeln zur Berechnung des bestimmten Integrals

1. \(\int_(a)^(a)f(x)dx=0\);

2. \(\int_(a)^(b)f(x)dx=- \int_(b)^(a)f(x)dx\);

3. \(\int_(a)^(b)kf(x)dx=k\int_(a)^(b)f(x)dx,\) wobei k - konstant;

4. \(\int_(a)^(b)(f(x) ± g(x))dx=\int_(a)^(b)f(x) dx±\int_(a)^(b) g(x)dx\);

5. \(\int_(a)^(b)f(x)dx=\int_(a)^(c)f(x)dx+\int_(c)^(b)f(x)dx\);

6. \(\int_(-a)^(a)f(x)dx=2\int_(0)^(a)f(x)dx\), wobei f(x) - gleiche Funktion;

7. \(\int_(-a)^(a)f(x)dx=0\), wobei f(x) ist eine seltsame Funktion.

Kommentar . In allen Fällen wird davon ausgegangen, dass die Integranden in numerischen Intervallen integrierbar sind, deren Grenzen die Grenzen der Integration sind.

Geometrische und physikalische Bedeutung des bestimmten Integrals

Geometrische Bedeutung bestimmtes Integral	Physikalische Bedeutung bestimmtes Integral
Quadrat S krummliniges Trapez (eine Figur, die durch den Graphen eines kontinuierlichen Positivs im Intervall begrenzt wird). [A; B] Funktionen f(x) , Achse Ochse und gerade x=a , x=b ) wird nach der Formel berechnet $$S=\int_(a)^(b)f(x)dx.$$	Weg S, die der materielle Punkt überwunden hat, und bewegt sich geradlinig mit einer gesetzmäßig variierenden Geschwindigkeit v(t) , für einen Zeitraum a ; B] , dann die Fläche der Figur, die durch die Graphen dieser Funktionen und Geraden begrenzt wird x = a , x = b , berechnet nach der Formel $$S=\int_(a)^(b)(f(x)-g(x))dx.$$
	Zum Beispiel. Berechnen wir die Fläche der durch Linien begrenzten Figur y = x 2 Und y = 2-X . Lassen Sie uns die Diagramme dieser Funktionen schematisch darstellen und die Figur, deren Fläche gefunden werden muss, in einer anderen Farbe hervorheben. Um die Grenzen der Integration zu finden, lösen wir die Gleichung: X 2 = 2-X ; X 2 + X- 2 = 0 ; X 1 = -2, X 2 = 1 . $$S=\int_(-2)^(1)((2-x)-x^2)dx=$$
$$=\int_(-2)^(1)(2-x-x^2)dx=\left (2x-\frac(x^2)(2)-\frac(x^3)(2) \right )\bigm|(_(-2)^(~1))=4\frac(1)(2). $$ ◄

Volumen eines Revolutionskörpers

	Wenn ein Körper durch Drehung um eine Achse entsteht Ochse krummliniges Trapez, das durch einen kontinuierlichen und nicht negativen Graphen im Intervall begrenzt wird [A; B] Funktionen y = f(x) und gerade x = a Und x = b , dann heißt es Rotationskörper . Das Volumen eines Rotationskörpers wird nach der Formel berechnet $$V=\pi\int_(a)^(b)f^2(x)dx.$$ Wenn ein Rotationskörper als Ergebnis der Drehung einer nach oben und unten durch Funktionsgraphen begrenzten Figur entsteht y = f(x) Und y = g(x) , dementsprechend also $$V=\pi\int_(a)^(b)(f^2(x)-g^2(x))dx.$$
	Zum Beispiel. Berechnen wir das Volumen eines Kegels mit Radius R und Höhe H . Positionieren wir den Kegel in einem rechtwinkligen Koordinatensystem so, dass seine Achse mit der Achse übereinstimmt Ochse , und die Mitte der Basis befand sich im Ursprung. Generatorrotation AB definiert einen Kegel. Da die Gleichung AB $$\frac(x)(h)+\frac(y)(r)=1,$$ $$y=r-\frac(rx)(h)$$
und für das Volumen des Kegels haben wir $$V=\pi\int_(0)^(h)(r-\frac(rx)(h))^2dx=\pi r^2\int_(0)^(h)(1-\frac( x)(h))^2dx=-\pi r^2h\cdot \frac((1-\frac(x)(h))^3)(3)|(_0^h)=-\pi r^ 2h\left (0-\frac(1)(3) \right)=\frac(\pi r^2h)(3).$$ ◄

51. Die Abbildung zeigt eine Grafik y=f "(x)- Ableitung einer Funktion f(x), definiert auf dem Intervall (− 4; 6). Finden Sie die Abszisse des Punktes, an dem die Tangente an den Funktionsgraphen liegt y=f(x) parallel zur Linie y=3x oder fällt damit zusammen.

Antwort: 5

52. Die Abbildung zeigt eine Grafik y=F(x) f(x) f(x) positiv?

Antwort: 7

53. Die Abbildung zeigt eine Grafik y=F(x) eine der Stammfunktionen einer Funktion f(x) und auf der x-Achse sind acht Punkte markiert: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8. An wie vielen dieser Punkte liegt die Funktion? f(x) Negativ?

Antwort: 3

54. Die Abbildung zeigt eine Grafik y=F(x) eine der Stammfunktionen einer Funktion f(x) und auf der x-Achse sind zehn Punkte markiert: x1, x2, x3, x4, x5, x6, x7, x8, x9, x10. An wie vielen dieser Punkte liegt die Funktion? f(x) positiv?

Antwort: 6

55. Die Abbildung zeigt eine Grafik y=F(x f(x), definiert auf dem Intervall (− 7; 5). Bestimmen Sie anhand der Abbildung die Anzahl der Lösungen der Gleichung f(x)=0 auf dem Segment [− 5; 2].

Antwort: 3

56. Die Abbildung zeigt eine Grafik y=F(x) eine der Stammfunktionen einer Funktion f (X), definiert auf dem Intervall (− 8; 7). Bestimmen Sie anhand der Abbildung die Anzahl der Lösungen der Gleichung f(x)= 0 auf dem Intervall [− 5; 5].

Antwort: 4

57. Die Abbildung zeigt eine Grafik y=F(X) eine der Stammfunktionen einer Funktion F(X), definiert auf dem Intervall (1;13). Bestimmen Sie anhand der Abbildung die Anzahl der Lösungen der Gleichung F (X)=0 auf dem Segment .

Antwort: 4

58. Die Abbildung zeigt einen Graphen einer bestimmten Funktion y=f(x)(zwei Strahlen mit einem gemeinsamen Ausgangspunkt). Berechnen Sie anhand der Zahl F(−1)−F(−8), Wo F(x) f(x).

Antwort: 20

59. Die Abbildung zeigt einen Graphen einer bestimmten Funktion y=f(x) (zwei Strahlen mit einem gemeinsamen Ausgangspunkt). Berechnen Sie anhand der Zahl F(−1)−F(−9), Wo F(x)- eine der primitiven Funktionen f(x).

Antwort: 24

60. Die Abbildung zeigt einen Graphen einer bestimmten Funktion y=f(x). Funktion

-eine der primitiven Funktionen f(x). Finden Sie die Fläche der schattierten Figur.

Antwort: 6

61. Die Abbildung zeigt einen Graphen einer bestimmten Funktion y=f(x). Funktion

Eine der primitiven Funktionen f(x). Finden Sie die Fläche der schattierten Figur.

Antwort: 14.5

parallel zur Tangente an den Funktionsgraphen

Antwort:0,5

Finden Sie die Abszisse des Tangentenpunkts.

Antwort 1

ist tangential zum Graphen der Funktion

Finden C.

Antwort: 20

ist tangential zum Graphen der Funktion

Finden A.

Antwort: 0,125

ist tangential zum Graphen der Funktion

Finden B, wobei zu berücksichtigen ist, dass die Abszisse des Tangentenpunkts größer als 0 ist.

Antwort: -33

67. Ein materieller Punkt bewegt sich gemäß dem Gesetz geradlinig

Wo X T- Zeit in Sekunden, gemessen ab dem Moment, in dem die Bewegung begann. Zu welchem ​​Zeitpunkt (in Sekunden) betrug seine Geschwindigkeit 96 m/s?

Antwort: 18

68. Ein materieller Punkt bewegt sich gemäß dem Gesetz geradlinig

Wo X- Entfernung vom Referenzpunkt in Metern, T- Zeit in Sekunden, gemessen ab dem Moment, in dem die Bewegung begann. Zu welchem ​​Zeitpunkt (in Sekunden) betrug seine Geschwindigkeit 48 m/s?

Antwort: 9

69. Ein materieller Punkt bewegt sich gemäß dem Gesetz geradlinig

Wo X T T=6 Mit.

Antwort: 20

70. Ein materieller Punkt bewegt sich gemäß dem Gesetz geradlinig

Wo X- Entfernung vom Referenzpunkt in Metern, T- Zeit in Sekunden, gemessen ab Beginn der Bewegung. Ermitteln Sie die aktuelle Geschwindigkeit (in m/s). T=3 Mit.

Antwort: 59

Jobtyp: 7
Thema: Stammfunktion der Funktion

Zustand

Die Abbildung zeigt einen Graphen der Funktion y=f(x) (eine gestrichelte Linie bestehend aus drei geraden Segmenten). Berechnen Sie anhand der Abbildung F(9)-F(5), wobei F(x) eine der Stammfunktionen der Funktion f(x) ist.

Lösung anzeigen

Lösung

Nach der Newton-Leibniz-Formel ist die Differenz F(9)-F(5), wobei F(x) eine der Stammfunktionen der Funktion f(x) ist, gleich der Fläche des begrenzten krummlinigen Trapezes durch den Graphen der Funktion y=f(x), Geraden y=0 , x=9 und x=5. Aus der Grafik bestimmen wir, dass das angegebene gebogene Trapez ein Trapez mit den Basen 4 und 3 und der Höhe 3 ist.

Seine Fläche ist gleich \frac(4+3)(2)\cdot 3=10,5.

Antwort

Jobtyp: 7
Thema: Stammfunktion der Funktion

Zustand

Die Abbildung zeigt einen Graphen der Funktion y=F(x) – eine der Stammfunktionen einer Funktion f(x), die im Intervall (-5; 5) definiert ist. Bestimmen Sie anhand der Abbildung die Anzahl der Lösungen der Gleichung f(x)=0 auf der Strecke [-3; 4].

Lösung anzeigen

Lösung

Gemäß der Definition einer Stammfunktion gilt die Gleichung: F"(x)=f(x). Daher kann die Gleichung f(x)=0 als F"(x)=0 geschrieben werden. Da die Abbildung den Graphen der Funktion y=F(x) zeigt, müssen wir diese Punkte im Intervall [-3; 4], in dem die Ableitung der Funktion F(x) gleich Null ist. Aus der Abbildung geht hervor, dass dies die Abszissen der Extrempunkte (Maximum oder Minimum) des F(x)-Graphen sind. Davon gibt es im angegebenen Intervall genau 7 (vier Mindestpunkte und drei Höchstpunkte).

Antwort

Quelle: „Mathematik. Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen 2017. Profilebene.“ Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Jobtyp: 7
Thema: Stammfunktion der Funktion

Zustand

Die Abbildung zeigt einen Graphen der Funktion y=f(x) (eine gestrichelte Linie bestehend aus drei geraden Segmenten). Berechnen Sie anhand der Abbildung F(5)-F(0), wobei F(x) eine der Stammfunktionen der Funktion f(x) ist.

Lösung anzeigen

Lösung

Gemäß der Newton-Leibniz-Formel ist die Differenz F(5)-F(0), wobei F(x) eine der Stammfunktionen der Funktion f(x) ist, gleich der Fläche des begrenzten krummlinigen Trapezes durch den Graphen der Funktion y=f(x), Geraden y=0 , x=5 und x=0. Aus der Grafik bestimmen wir, dass das angegebene gebogene Trapez ein Trapez mit den Basen 5 und 3 und der Höhe 3 ist.

Seine Fläche ist gleich \frac(5+3)(2)\cdot 3=12.

Antwort

Quelle: „Mathematik. Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen 2017. Profilebene.“ Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Jobtyp: 7
Thema: Stammfunktion der Funktion

Zustand

Die Abbildung zeigt einen Graphen der Funktion y=F(x) – eine der Stammfunktionen einer Funktion f(x), definiert auf dem Intervall (-5; 4). Bestimmen Sie anhand der Abbildung die Anzahl der Lösungen der Gleichung f (x) = 0 auf dem Segment (-3; 3).

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Lösung

Gemäß der Definition einer Stammfunktion gilt die Gleichung: F"(x)=f(x). Daher kann die Gleichung f(x)=0 als F"(x)=0 geschrieben werden. Da die Abbildung den Graphen der Funktion y=F(x) zeigt, müssen wir diese Punkte im Intervall [-3; 3], in dem die Ableitung der Funktion F(x) gleich Null ist.

Aus der Abbildung geht hervor, dass dies die Abszissen der Extrempunkte (Maximum oder Minimum) des F(x)-Graphen sind. Davon gibt es im angegebenen Intervall genau 5 (zwei Minimalpunkte und drei Maximalpunkte).

Antwort

Quelle: „Mathematik. Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen 2017. Profilebene.“ Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Jobtyp: 7
Thema: Stammfunktion der Funktion

Zustand

Die Abbildung zeigt einen Graphen einer Funktion y=f(x). Die Funktion F(x)=-x^3+4,5x^2-7 ist eine der Stammfunktionen der Funktion f(x).

Finden Sie die Fläche der schattierten Figur.

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Lösung

Die schattierte Figur ist ein krummliniges Trapez, das von oben durch den Graphen der Funktion y=f(x), der Geraden y=0, x=1 und x=3 begrenzt wird. Nach der Newton-Leibniz-Formel ist seine Fläche S gleich der Differenz F(3)-F(1), wobei F(x) die Stammfunktion der in der Bedingung angegebenen Funktion f(x) ist. Deshalb S= F(3)-F(1)= -3^3 +(4,5)\cdot 3^2 -7-(-1^3 +(4,5)\cdot 1^2 -7)= 6,5-(-3,5)= 10.

Antwort

Quelle: „Mathematik. Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen 2017. Profilebene.“ Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Jobtyp: 7
Thema: Stammfunktion der Funktion

Zustand

Die Abbildung zeigt einen Graphen einer Funktion y=f(x). Die Funktion F(x)=x^3+6x^2+13x-5 ist eine der Stammfunktionen der Funktion f(x). Finden Sie die Fläche der schattierten Figur.