Analytische Definition einer Funktion

Funktion %%y = f(x), x \in X%% gegeben auf explizit analytische Weise, wenn eine Formel angegeben ist, die die Folge mathematischer Operationen angibt, die mit dem Argument %%x%% durchgeführt werden müssen, um den Wert %%f(x)%% dieser Funktion zu erhalten.

Beispiel

• %% y = 2 x^2 + 3x + 5, x \in \mathbb(R)%%;
• %% y = \frac(1)(x - 5), x \neq 5%%;
• %% y = \sqrt(x), x \geq 0%%.

So wird beispielsweise in der Physik bei gleichmäßig beschleunigter geradliniger Bewegung die Geschwindigkeit eines Körpers durch die Formel t%% bestimmt wie folgt: %% s = s_0 + v_0 t + \frac(a t^2)(2) %%.

Stückweise definierte Funktionen

Manchmal kann die betrachtete Funktion durch mehrere Formeln definiert werden, die in verschiedenen Teilen des Definitionsbereichs arbeiten, in denen sich das Funktionsargument ändert. Zum Beispiel: $$ y = \begin(cases) x ^ 2,~ if~x< 0, \\ \sqrt{x},~ если~x \geq 0. \end{cases} $$

Funktionen dieser Art werden manchmal aufgerufen Bestandteil oder stückweise. Ein Beispiel für eine solche Funktion ist %%y = |x|%%

Funktionsumfang

Wenn die Funktion explizit analytisch durch eine Formel spezifiziert wird, aber der Funktionsumfang in Form einer Menge %%D%% nicht spezifiziert wird, dann meinen wir mit %%D%% immer die Wertemenge ​​des Arguments %%x%%, für das diese Formel sinnvoll ist . Für die Funktion %%y = x^2%% ist der Definitionsbereich also die Menge %%D = \mathbb(R) = (-\infty, +\infty)%%, da das Argument %%x% % kann beliebige Werte annehmen Zahlenreihe. Und für die Funktion %%y = \frac(1)(\sqrt(1 - x^2))%% ist der Definitionsbereich die Menge von Werten %%x%%, die die Ungleichung %%1 erfüllen - x^2 > 0%%, m .d.h. %%D = (-1, 1)%%.

Vorteile der expliziten analytischen Funktionsdefinition

Beachten Sie, dass die explizite analytische Methode zur Definition einer Funktion ziemlich kompakt ist (die Formel nimmt in der Regel wenig Platz ein), leicht reproduziert werden kann (die Formel ist leicht aufzuschreiben) und am besten geeignet ist, mathematische Operationen und Transformationen durchzuführen Funktionen.

Einige dieser Operationen - algebraische (Addition, Multiplikation usw.) - sind aus dem Schulmathematikunterricht gut bekannt, andere (Differenzierung, Integration) werden in Zukunft untersucht. Diese Methode ist jedoch nicht immer klar, da die Art der Abhängigkeit der Funktion vom Argument nicht immer klar ist und manchmal umständliche Berechnungen erforderlich sind, um die Werte der Funktion zu finden (falls erforderlich).

Implizite Funktionsspezifikation

Die Funktion %%y = f(x)%% ist definiert auf implizit analytische Weise, wenn die Relation $$F(x,y) = 0 gegeben ist, ~~~~~~~~~~(1)$$ die Werte der Funktion %%y%% und das Argument %% in Beziehung setzen x%%. Wenn Argumentwerte gegeben sind, dann ist es notwendig, um den Wert von %%y%% zu finden, der einem bestimmten Wert von %%x%% entspricht, die Gleichung %%(1)%% in Bezug auf %%y%% zu lösen. bei diesem bestimmten Wert von %%x%%.

Bei einem Wert von %%x%% kann die Gleichung %%(1)%% keine Lösung oder mehr als eine Lösung haben. Im ersten Fall liegt der angegebene Wert %%x%% nicht im Geltungsbereich der impliziten Funktion und im zweiten Fall spezifiziert er mehrwertige Funktion, die mehr als einen Wert für einen bestimmten Argumentwert hat.

Beachten Sie, dass, wenn die Gleichung %%(1)%% explizit in Bezug auf %%y = f(x)%% gelöst werden kann, wir dieselbe Funktion erhalten, aber bereits auf explizit analytische Weise definiert. Also, die Gleichung %%x + y^5 - 1 = 0%%

und die Gleichheit %%y = \sqrt(1 - x)%% definieren dieselbe Funktion.

Parametrische Funktionsdefinition

Wenn die Abhängigkeit von %%y%% von %%x%% nicht direkt angegeben wird, sondern die Abhängigkeiten der beiden Variablen %%x%% und %%y%% von irgendeiner dritten Hilfsvariablen %%t%% angegeben werden in der Form

$$ \begin(cases) x = \varphi(t),\\ y = \psi(t), \end(cases) ~~~t \in T \subseteq \mathbb(R), ~~~~~ ~~~~~(2) $$über die sie reden parametrisch die Methode zum Einstellen der Funktion;

dann heißt die Hilfsvariable %%t%% Parameter.

Wenn es möglich ist, den Parameter %%t%% aus den Gleichungen %%(2)%% auszuschließen, dann kommen sie zu einer Funktion, die durch eine explizite oder implizite analytische Abhängigkeit von %%y%% von %%x%% gegeben ist. . Zum Beispiel aus den Beziehungen $$ \begin(cases) x = 2 t + 5, \\ y = 4 t + 12, \end(cases), ~~~t \in \mathbb(R), $$ außer für den Parameter % %t%% erhalten wir die Abhängigkeit %%y = 2 x + 2%%, was eine Gerade in der Ebene %%xOy%% setzt.

Grafischer Weg

Ein Beispiel für eine grafische Definition einer Funktion

Die obigen Beispiele zeigen, dass die analytische Art, eine Funktion zu definieren, ihrer entspricht grafisches Bild, die als bequeme und visuelle Form der Beschreibung einer Funktion angesehen werden kann. Manchmal verwendet grafische Weise Definieren einer Funktion, wenn die Abhängigkeit von %%y%% von %%x%% durch eine Linie auf der Ebene %%xOy%% gegeben ist. Allerdings verliert es bei aller Übersichtlichkeit an Genauigkeit, da die Werte des Arguments und die entsprechenden Werte der Funktion nur näherungsweise aus dem Graphen zu entnehmen sind. Der resultierende Fehler hängt von der Skalierung und Genauigkeit der Messung der Abszisse und Ordinate der einzelnen Punkte des Diagramms ab. In Zukunft werden wir dem Graphen der Funktion nur noch die Rolle zuweisen, das Verhalten der Funktion zu veranschaulichen, und uns daher auf die Konstruktion von "Skizzen" von Graphen beschränken, die die Hauptmerkmale der Funktionen widerspiegeln.

Tabellarischer Weg

Notiz tabellarischer Weg Funktionszuweisungen, wenn einige Argumentwerte und ihre entsprechenden Funktionswerte in einer bestimmten Reihenfolge in einer Tabelle platziert werden. So werden die bekannten Tafeln der trigonometrischen Funktionen, Tafeln der Logarithmen etc. aufgebaut. In Form einer Tabelle wird üblicherweise der Zusammenhang zwischen den in experimentellen Studien, Beobachtungen und Tests gemessenen Größen dargestellt.

Der Nachteil dieser Methode ist die Unmöglichkeit, die Werte der Funktion für die Werte des Arguments, die nicht in der Tabelle enthalten sind, direkt zu bestimmen. Wenn Vertrauen besteht, dass die Werte des Arguments, die nicht in der Tabelle aufgeführt sind, zum Definitionsbereich der betrachteten Funktion gehören, können die entsprechenden Werte der Funktion näherungsweise durch Interpolation und Extrapolation berechnet werden.

Beispiel

x	3	5.1	10	12.5
j	9	23	80	110

Algorithmische und verbale Möglichkeiten zur Spezifikation von Funktionen

Die Funktion kann eingestellt werden algorithmisch(oder programmatisch) in einer Weise, die in Computerberechnungen weit verbreitet ist.

Abschließend sei angemerkt beschreibend(oder verbal) eine Möglichkeit, eine Funktion anzugeben, wenn die Regel zum Abgleichen der Werte der Funktion mit den Werten des Arguments in Worten ausgedrückt wird.

Beispielsweise ist die Funktion %%[x] = m~\forall (x \in , Konstante (-∞; -5];4. begrenzt - von unten begrenzt5. der größte und kleinste Wert der Funktion - y naim = 0, y naib - existiert nicht;6. Kontinuität – kontinuierlich über den gesamten Definitionsbereich;7. Wertebereich - , konvex und nach oben und unten (-∞; -5] und [-2; +∞).VI. Reproduktion von Wissen auf einem neuen Level. Sie wissen, dass die Konstruktion und Untersuchung von Graphen stückweise gegebener Funktionen im zweiten Teil der Algebra-Klausur im Funktionsteil behandelt und mit 4 und 6 Punkten bewertet werden. Wenden wir uns der Aufgabensammlung zu Seite 119 - Nr. 4.19-1) Lösung: 1) y \u003d - x, - quadratische Funktion, Graph - Parabel, Zweige nach unten (a \u003d -1, a 0) . x -2 -1 0 1 2 y -4 -1 0 1 4 2) y \u003d 3x - 10, - eine lineare Funktion, der Graph ist eine gerade LinieLassen Sie uns eine Tabelle mit einigen Werten erstellenx 3 3 y 0 -1 3) y \u003d -3x -10, - eine lineare Funktion, der Graph ist eine gerade LinieLassen Sie uns eine Tabelle mit einigen Werten erstellen x -3 -3 y 0 -1 4) Wir konstruieren Graphen von Funktionen in einem Koordinatensystem und wählen Teile der Graphen in bestimmten Intervallen aus.
Lassen Sie uns anhand des Diagramms herausfinden, für welche Werte von x die Werte der Funktion nicht negativ sind. Antwort: f(x)  0 für x = 0 und für  3 VII. Arbeiten an nicht standardmäßigen Aufgaben. Nr. 4.29-1), S. 121. Entscheidung: 1) Direkt (links) y \u003d kx + b geht durch die Punkte (-4;0) und (-2;2). Also -4 k + b = 0, -2 k + b = 2;
k \u003d 1, b \u003d 4, y \u003d x + 4. Antwort: x +4 wenn x -2 y = wenn -2  x 3 € 3 wenn x  3
VIII. Wissenskontrolle. Fassen wir also ein wenig zusammen. Was wir in der Lektion wiederholt haben: Funktionsforschungsplan, Schritte zum Zeichnen eines stückweisen Funktionsgraphen, analytisches Setzen einer Funktion. Sehen wir uns an, wie Sie dieses Material gelernt haben. Prüfung auf "4" - "5", "3" Ich Option Nr. U
2 1 -1 -1 1X

D(f) = , konvex und auf und ab um , konvex auf und ab um , abnehmend um ________ Begrenzt durch ____________ existiert zumindest nicht, bei max =_____ Stetig über den gesamten Definitionsbereich E(f) = ____________ Konvex und nach unten und nach oben durch den gesamten Definitionsbereich

Städtische Haushaltsbildungseinrichtung

Sekundarschule №13

"Stückweise Funktionen"

Sapogowa Valentina und

Donskaja Alexandra

Leitender Berater:

Berdsk

1. Definition der Hauptziele und Ziele.

2. Hinterfragen.

2.1. Bestimmung der Relevanz der Arbeit

2.2. Praktische Bedeutung.

3. Funktionsgeschichte.

4. Allgemeine Merkmale.

5. Methoden zum Einstellen von Funktionen.

6. Konstruktionsalgorithmus.

8. Verwendete Literatur.

1. Definition der Hauptziele und Ziele.

Ziel:

Finden Sie heraus, wie Sie stückweise Funktionen lösen können, und entwerfen Sie darauf aufbauend einen Algorithmus für deren Konstruktion.

Aufgaben:

— Machen Sie sich mit dem allgemeinen Konzept der stückweisen Funktionen vertraut;

- Lernen Sie die Geschichte des Begriffs "Funktion" kennen;

- Eine Untersuchung führen;

— Möglichkeiten zur stückweisen Einstellung von Funktionen zu identifizieren;

- Erstellen Sie einen Algorithmus für ihre Konstruktion;

2. Hinterfragen.

Unter Gymnasiasten wurde eine Umfrage zur Fähigkeit durchgeführt, stückweise Funktionen zu erstellen. Die Gesamtzahl der Befragten betrug 54 Personen. Davon haben 6 % die Arbeit vollständig abgeschlossen. 28 % konnten die Arbeit abschließen, allerdings mit gewissen Fehlern. 62 % - sie konnten die Arbeit nicht erledigen, obwohl sie einige Versuche unternommen haben, und die restlichen 4 % haben überhaupt nicht mit der Arbeit begonnen.

Aus dieser Umfrage können wir schließen, dass die Schüler unserer Schule, die das Programm durchlaufen, eine unzureichende Wissensbasis haben, da dieser Autor Aufgaben dieser Art nicht viel Aufmerksamkeit schenkt. Daraus folgt die Relevanz und praktische Bedeutung unserer Arbeit.

2.1. Bestimmung der Relevanz der Arbeit.

Relevanz:

Stückweise Funktionen finden sich sowohl im GIA als auch im USE, Aufgaben, die solche Funktionen enthalten, werden an 2 oder mehr Stellen ausgewertet. Und daher kann Ihre Einschätzung von ihrer Entscheidung abhängen.

2.2. Praktische Bedeutung.

Das Ergebnis unserer Arbeit wird ein Algorithmus zur stückweisen Lösung von Funktionen sein, der helfen wird, ihre Konstruktion zu verstehen. Und es erhöht die Chancen, die gewünschte Note in der Prüfung zu erhalten.

3. Funktionsgeschichte.

- "Algebra Klasse 9" usw.;

Kontinuität und stückweises Plotten von Funktionen ist ein komplexes Thema. Besser ist es, das Erstellen von Graphen direkt in einer praktischen Lektion zu lernen. Hier wird hauptsächlich die Studie zur Kontinuität gezeigt.

Es ist bekannt, dass elementare Funktion(siehe S. 16) ist an allen Stellen, an denen es definiert ist, stetig. Daher ist eine Diskontinuität in elementaren Funktionen nur an zwei Arten von Punkten möglich:

a) an Stellen, an denen die Funktion "übersteuert" wird;

b) an Stellen, wo die Funktion nicht existiert.

Dementsprechend werden während der Studie nur solche Punkte auf Kontinuität geprüft, wie in den Beispielen gezeigt.

Für nicht-elementare Funktionen ist das Studium schwieriger. Beispielsweise ist eine Funktion (der ganzzahlige Teil einer Zahl) auf dem gesamten Zahlenstrahl definiert, erleidet aber bei jeder Ganzzahl einen Bruch x. Fragen wie diese liegen außerhalb des Rahmens dieses Leitfadens.

Vor dem Studium des Stoffes sollten Sie aus einer Vorlesung oder einem Lehrbuch wiederholen, was (welcher Art) Bruchstellen sind.

Untersuchung stückweise gegebener Funktionen auf Stetigkeit

Funktion eingestellt stückweise, wenn sie in verschiedenen Teilen des Definitionsbereichs durch verschiedene Formeln gegeben ist.

Die Hauptidee beim Studium solcher Funktionen besteht darin, herauszufinden, ob und wie die Funktion an den Stellen definiert wird, an denen sie neu definiert wird. Dann wird geprüft, ob die Werte der Funktion links und rechts von solchen Punkten gleich sind.

Beispiel 1 Zeigen wir, dass die Funktion
kontinuierlich.

Funktion
ist elementar und daher stetig an den Stellen, an denen sie definiert ist. Aber es ist offensichtlich an allen Stellen definiert. Daher ist es an allen Punkten kontinuierlich, einschließlich at
, wie es die Bedingung erfordert.

Gleiches gilt für die Funktion
, und bei
es ist kontinuierlich.

In solchen Fällen kann die Kontinuität nur unterbrochen werden, wenn die Funktion neu definiert wird. In unserem Beispiel ist dies der Punkt
. Überprüfen wir es, wofür wir links und rechts die Grenzen finden:

Die Begrenzungen links und rechts sind gleich. Es bleibt abzuwarten:

a) ob die Funktion am Punkt selbst definiert ist
;

b) Wenn ja, passt es?
mit Grenzwerten links und rechts.

Nach Bedingung, wenn
, dann
. So
.

Wir sehen das (alle sind gleich der Zahl 2). Das bedeutet an der Stelle
Die Funktion ist stetig. Die Funktion ist also stetig auf der gesamten Achse, einschließlich des Punktes
.

Lösungshinweise

a) Es spielte bei den Berechnungen keine Rolle, Ersatz wir befinden uns in einer bestimmten Zahlenformel
oder
. Dies ist normalerweise wichtig, wenn eine Division durch einen infinitesimalen Wert erhalten wird, da es das Zeichen der Unendlichkeit beeinflusst. Hier
und
nur verantwortlich für Funktionsauswahl;

b) in der Regel Bezeichnungen
und
gleich sind, gilt das gleiche für die Bezeichnungen
und
(und gilt für jeden Punkt, nicht nur für
). Im Folgenden verwenden wir der Kürze halber Schreibweisen der Form
;

c) Wenn die Grenzen links und rechts gleich sind, um auf Stetigkeit zu testen, bleibt tatsächlich zu sehen, ob eine der Ungleichungen vorliegt lax. Im Beispiel stellte sich heraus, dass dies die 2. Ungleichung war.

Beispiel 2 Wir untersuchen die Stetigkeit der Funktion
.

Aus den gleichen Gründen wie in Beispiel 1 kann die Kontinuität nur an der Stelle unterbrochen werden
. Lass uns das Prüfen:

Die Grenzen links und rechts sind gleich, aber am Punkt selbst
die Funktion ist nicht definiert (Ungleichungen sind strikt). Das bedeutet es
- Punkt reparierbarer Spalt.

"Entfernbare Diskontinuität" bedeutet, dass es ausreicht, entweder eine der Ungleichungen nicht streng zu machen oder für einen separaten Punkt zu erfinden
Funktion, deren Wert bei
ist -5, oder geben Sie das einfach an
damit die ganze funktion
wurde kontinuierlich.

Antworten: Punkt
– Bruchstelle.

Bemerkung 1. In der Literatur wird eine behebbare Lücke meist als Sonderfall einer Lücke 1. Art betrachtet, Studenten werden jedoch häufiger als eigenständige Lückenart verstanden. Um Diskrepanzen zu vermeiden, halten wir an der 1. Sichtweise fest und fordern ausdrücklich die „unbehebbare“ Lücke 1. Art.

Beispiel 3Überprüfen Sie, ob die Funktion kontinuierlich ist

Am Punkt

Die Begrenzungen links und rechts sind unterschiedlich:
. Ob die Funktion definiert ist oder nicht
(ja) und wenn ja, was ist gleich (ist gleich 2), Punkt
–Stelle der nicht behebbaren Diskontinuität 1. Art.

Am Punkt
los letzter Sprung(von 1 bis 2).

Antworten: Punkt

Bemerkung 2. Anstatt
und
normalerweise schreiben
und
bzw.

Erhältlich Frage: wie unterscheiden sich die funktionen

und
,

und auch ihre Diagramme? Recht Antworten:

a) 2. Funktion ist an Punkt nicht definiert
;

b) auf dem Graphen der 1. Funktion, dem Punkt
"übermalt", auf dem Diagramm 2 - nein ("punktierter Punkt").

Punkt
wo der Graph endet
, ist in beiden Diagrammen nicht schattiert.

Es ist schwieriger, Funktionen zu untersuchen, die unterschiedlich definiert sind drei Grundstücke.

Beispiel 4 Ist die Funktion stetig?
?

Genau wie in den Beispielen 1 - 3, jede der Funktionen
,
und auf der gesamten Zahlenachse stetig ist, einschließlich des Abschnitts, auf dem sie angegeben ist. Die Lücke ist nur an der Stelle möglich
oder (und) an dem Punkt
wo die Funktion überschrieben wird.

Die Aufgabe gliedert sich in 2 Teilaufgaben: die Stetigkeit der Funktion zu untersuchen

und
,

außerdem der Punkt
nicht von Interesse für die Funktion
, und der Punkt
- für die Funktion
.

1. Schritt.Überprüfung des Punktes
und Funktion
(wir schreiben den Index nicht):

Die Limits stimmen überein. Nach Bedingung,
(Wenn die Grenzen links und rechts gleich sind, dann ist die Funktion tatsächlich stetig, wenn eine der Ungleichungen nicht streng ist). Also an der Stelle
Die Funktion ist stetig.

2. Schritt.Überprüfung des Punktes
und Funktion
:

Soweit
, Punkt
eine Unstetigkeitsstelle 1. Art ist und der Wert
(und ob es überhaupt existiert) spielt keine Rolle mehr.

Antworten: Die Funktion ist an allen Punkten außer dem Punkt stetig
, wo es eine nicht behebbare Diskontinuität der 1. Art gibt - einen Sprung von 6 auf 4.

Beispiel 5 Funktionsunterbrechungspunkte finden
.

Wir gehen genauso vor wie in Beispiel 4.

1. Schritt.Überprüfung des Punktes
:

a)
, weil links davon
die Funktion ist konstant und gleich 0;

b) (
ist eine gerade Funktion).

Die Grenzen sind die gleichen, aber
die Funktion ist nicht durch die Bedingung definiert, und das stellt sich heraus
– Bruchstelle.

2. Schritt.Überprüfung des Punktes
:

a)
;

b)
- Der Wert der Funktion hängt nicht von der Variablen ab.

Die Grenzen sind unterschiedlich: , Punkt
ist der Punkt der nicht behebbaren Diskontinuität 1. Art.

Antworten:
– Bruchstelle,
ist ein Punkt der nicht behebbaren Diskontinuität 1. Art, an anderen Stellen ist die Funktion stetig.

Beispiel 6 Ist die Funktion stetig?
?

Funktion
bestimmt bei
, also die Bedingung
wird zur Bedingung
.

Andererseits die Funktion
bestimmt bei
, d.h. beim
. Also der Zustand
wird zur Bedingung
.

Es stellt sich heraus, dass die Bedingung erfüllt sein muss
, und der Definitionsbereich der gesamten Funktion ist das Segment
.

Die Funktionen selbst
und
sind elementar und daher stetig an allen Punkten, an denen sie definiert sind – insbesondere und für
.

Es bleibt zu prüfen, was an der Stelle passiert
:

a)
;

Soweit
, prüfen Sie, ob die Funktion an diesem Punkt definiert ist
. Ja, die 1. Ungleichung ist nicht streng in Bezug auf
, und das reicht.

Antworten: die Funktion wird auf dem Segment definiert
und kontinuierlich darauf.

Komplexere Fälle, in denen eine der konstituierenden Funktionen nicht elementar oder an keiner Stelle in ihrem Segment definiert ist, gehen über den Rahmen des Handbuchs hinaus.

NF1. Funktionsgraphen darstellen. Achten Sie darauf, ob die Funktion an dem Punkt definiert ist, an dem sie neu definiert wird, und wenn ja, welchen Wert die Funktion hat (das Wort " Wenn” wird in der Funktionsdefinition der Kürze halber weggelassen):

1) ein)
b)
in)
G)

2) a)
b)
in)
G)

3) a)
b)
in)
G)

4) a)
b)
in)
G)

Beispiel 7 Lassen
. Dann auf der Website
eine horizontale Linie bilden
, und auf dem Grundstück
eine horizontale Linie bilden
. In diesem Fall der Punkt mit Koordinaten
"ausgestochen" und der Punkt
„übermalt“. Am Punkt
eine Diskontinuität 1. Art („Sprung“) entsteht, und
.

NF2. Untersuchen Sie die auf 3 Intervallen unterschiedlich definierten Funktionen auf Kontinuität. Zeichnen Sie die Diagramme:

1) ein)
b)
in)

G)
e)
e)

2) a)
b)
in)

G)
e)
e)

3) a)
b)
in)

G)
e)
e)

Beispiel 8 Lassen
. Standort an
eine gerade Linie bauen
, für die wir finden
und
. Die Punkte verbinden
und
Segment. Wir schließen die Punkte selbst nicht ein, da z
und
die Funktion wird nicht durch die Bedingung definiert.

Standort an
und
Kreise die OX-Achse (darauf
), aber die Punkte
und
„ausgeknallt“. Am Punkt
wir erhalten eine entfernbare Diskontinuität, und an dem Punkt
– Diskontinuität 1. Art („Sprung“).

NF3. Zeichnen Sie die Funktionsgraphen und stellen Sie sicher, dass sie kontinuierlich sind:

1) ein)
b)
in)

G)
e)
e)

2) a)
b)
in)

G)
e)
e)

NF4. Stellen Sie sicher, dass die Funktionen kontinuierlich sind, und erstellen Sie ihre Graphen:

1) ein)
b)
in)

2a)
b)
in)

3) a)
b)
in)

NF5. Funktionsgraphen darstellen. Achten Sie auf Kontinuität:

1) ein)
b)
in)

G)
e)
e)

2) a)
b)
in)

G)
e)
e)

3) a)
b)
in)

G)
e)
e)

4) a)
b)
in)

G)
e)
e)

5) a)
b)
in)

G)
e)
e)

NF6. Zeichne Graphen von unstetigen Funktionen. Beachten Sie den Wert der Funktion an dem Punkt, an dem die Funktion neu definiert wird (und ob sie existiert):

1) ein)
b)
in)

G)
e)
e)

2) a)
b)
in)

G)
e)
e)

3) a)
b)
in)

G)
e)
e)

4) a)
b)
in)

G)
e)
e)

5) a)
b)
in)

G)
e)
e)

NF7. Gleiche Aufgabe wie in NF6:

1) ein)
b)
in)

G)
e)
e)

2) a)
b)
in)

G)
e)
e)

3) a)
b)
in)

G)
e)
e)

4) a)
b)
in)

G)
e)
e)

In der Natur ablaufende reale Prozesse lassen sich durch Funktionen beschreiben. Wir können also zwei Haupttypen des Flusses von Prozessen unterscheiden, die einander entgegengesetzt sind - diese sind allmählich oder kontinuierlich und krampfhaft(Ein Beispiel wäre ein Ball, der fällt und zurückprallt). Aber wenn es diskontinuierliche Prozesse gibt, dann gibt es spezielle Mittel zu ihrer Beschreibung. Zu diesem Zweck werden Funktionen in Umlauf gebracht, die Unstetigkeiten, Sprünge aufweisen, dh in verschiedenen Teilen der Zahlenlinie verhält sich die Funktion nach unterschiedlichen Gesetzen und ist dementsprechend durch unterschiedliche Formeln gegeben. Die Konzepte von Diskontinuitätspunkten und entfernbaren Diskontinuitäten werden eingeführt.

Sicherlich haben Sie bereits Funktionen gesehen, die durch mehrere Formeln definiert sind, abhängig von den Werten des Arguments, zum Beispiel:

y \u003d (x - 3, mit x\u003e -3;
(-(x - 3), für x< -3.

Solche Funktionen werden aufgerufen stückweise oder stückweise. Abschnitte des Zahlenstrahls mit verschiedenen Jobformeln, lasst uns anrufen Bestandteile Domain. Die Vereinigung aller Komponenten ist die Domäne der stückweisen Funktion. Diejenigen Punkte, die den Definitionsbereich einer Funktion in Komponenten teilen, werden genannt Grenzpunkte. Formeln, die eine stückweise Funktion auf jedem konstituierenden Definitionsbereich definieren, werden aufgerufen eingehende Funktionen. Graphen von stückweise gegebenen Funktionen werden als Ergebnis des Kombinierens von Teilen von Graphen erhalten, die auf jedem der Partitionsintervalle aufgebaut sind.

Übungen.

Erstellen Sie Graphen von stückweisen Funktionen:

1) (-3, mit -4 ≤ x< 0,
f(x) = (0, für x = 0,
(1, bei 0< x ≤ 5.

Der Graph der ersten Funktion ist eine Gerade, die durch den Punkt y = -3 verläuft. Sie beginnt am Punkt mit den Koordinaten (-4; -3), verläuft parallel zur Abszissenachse zum Punkt mit den Koordinaten (0; -3). Der Graph der zweiten Funktion ist ein Punkt mit den Koordinaten (0; 0). Das dritte Diagramm ähnelt dem ersten - es ist eine gerade Linie, die durch den Punkt y \u003d 1 verläuft, sich jedoch bereits im Bereich von 0 bis 5 entlang der Ox-Achse befindet.

Antwort: Bild 1.

2) (3 wenn x ≤ -4,
f(x) = (|x 2 - 4|x| + 3| wenn -4< x ≤ 4,
(3 - (x - 4) 2 wenn x > 4.

Betrachten Sie jede Funktion einzeln und zeichnen Sie ihren Graphen.

Also ist f(x) = 3 eine gerade Linie parallel zur Ox-Achse, aber sie muss nur in dem Bereich gezeichnet werden, in dem x ≤ -4 ist.

Graph der Funktion f(x) = |x 2 – 4|x| + 3| kann aus der Parabel y \u003d x 2 - 4x + 3 erhalten werden. Nach dem Erstellen des Diagramms muss der Teil der Figur, der über der Ox-Achse liegt, unverändert bleiben, und der Teil, der unter der Abszissenachse liegt, muss symmetrisch angezeigt werden relativ zur Ochsenachse. Zeigen Sie dann symmetrisch den Teil des Diagramms an, in dem
x ≥ 0 um die Oy-Achse für negatives x. Der als Ergebnis aller Transformationen erhaltene Graph bleibt nur im Bereich von -4 bis 4 entlang der Abszisse übrig.

Der Graph der dritten Funktion ist eine Parabel, deren Äste nach unten gerichtet sind und der Scheitelpunkt am Punkt mit den Koordinaten (4; 3) liegt. Die Zeichnung wird nur im Bereich x > 4 dargestellt.

Antwort: Bild 2.

3) (8 - (x + 6) 2 wenn x ≤ -6,
f(x) = (|x 2 – 6|x| + 8| falls -6 ≤ x< 5,
(3 wenn x ≥ 5.

Die Konstruktion der vorgeschlagenen stückweise gegebenen Funktion ist ähnlich wie im vorherigen Absatz. Hier werden die Graphen der ersten beiden Funktionen aus Parabeltransformationen erhalten, und der Graph der dritten ist eine Gerade parallel zu Ox.

Antwort: Bild 3.

4) Zeichnen Sie die Funktion y = x – |x| + (x – 1 – |x|/x) 2 .

Entscheidung. Der Definitionsbereich dieser Funktion sind alle reellen Zahlen außer Null. Lassen Sie uns das Modul öffnen. Betrachten Sie dazu zwei Fälle:

1) Für x > 0 erhalten wir y = x - x + (x - 1 - 1) 2 = (x - 2) 2 .

2) Für x< 0 получим y = x + x + (x – 1 + 1) 2 = 2x + x 2 .

Damit haben wir eine stückweise gegebene Funktion:

y = ((x - 2) 2 , für x > 0;
( x 2 + 2x, für x< 0.

Die Graphen beider Funktionen sind Parabeln, deren Äste nach oben gerichtet sind.

Antwort: Bild 4.

5) Zeichnen Sie die Funktion y = (x + |x|/x – 1) 2 .

Entscheidung.

Es ist leicht zu sehen, dass der Definitionsbereich der Funktion alle reellen Zahlen außer Null sind. Nach Erweiterung des Moduls erhalten wir eine stückweise gegebene Funktion:

1) Für x > 0 erhalten wir y = (x + 1 - 1) 2 = x 2 .

2) Für x< 0 получим y = (x – 1 – 1) 2 = (x – 2) 2 .

Schreiben wir um.

y \u003d (x 2, für x\u003e 0;
((x – 2) 2 , für x< 0.

Die Graphen dieser Funktionen sind Parabeln.

Antwort: Bild 5.

6) Gibt es eine Funktion, deren Graph auf der Koordinatenebene einen gemeinsamen Punkt mit irgendeiner Gerade hat?

Entscheidung.

Ja da ist.

Ein Beispiel wäre die Funktion f(x) = x 3 . Tatsächlich schneidet sich der Graph der kubischen Parabel mit der vertikalen Linie x = a im Punkt (a; a 3). Nun sei die Gerade durch die Gleichung y = kx + b gegeben. Dann die Gleichung
x 3 - kx - b \u003d 0 hat eine reelle Wurzel x 0 (da ein Polynom ungeraden Grades immer mindestens eine reelle Wurzel hat). Daher schneidet sich der Graph der Funktion beispielsweise am Punkt (x 0; x 0 3) mit der geraden Linie y \u003d kx + b.

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