Berechnung von Fehlern bei direkten und indirekten Messungen
Unter Messung versteht man den Vergleich des gemessenen Wertes mit einem anderen Wert, der als Maßeinheit genommen wird. Die Messungen werden empirisch mit speziellen technischen Mitteln durchgeführt.
Direkte Messungen werden als Messungen bezeichnet, deren Ergebnis direkt aus experimentellen Daten gewonnen wird (z. B. Messen der Länge mit einem Lineal, der Zeit mit einer Stoppuhr, der Temperatur mit einem Thermometer). Indirekte Messungen sind Messungen, bei denen der gewünschte Wert einer Größe auf der Grundlage eines bekannten Zusammenhangs zwischen dieser Größe und den Größen gefunden wird, deren Werte bei direkten Messungen erhalten werden (z. B. Bestimmung der Geschwindigkeit entlang der zurückgelegten Strecke). und Zeit https://pandia.ru/text/78/464/images/image002_23.png" width="65" height="21 src=">).
Jede Messung, egal wie sorgfältig sie durchgeführt wird, ist zwangsläufig mit einem Fehler (Fehler) verbunden - einer Abweichung des Messergebnisses vom wahren Wert der gemessenen Größe.
Systematische Fehler sind Fehler, deren Größe bei allen Messungen gleich ist, die nach demselben Verfahren mit denselben Messgeräten unter denselben Bedingungen durchgeführt werden. Systematische Fehler treten auf:
Als Ergebnis der Unvollkommenheit der bei Messungen verwendeten Instrumente (z. B. kann die Nadel des Amperemeters ohne Strom von der Nullteilung abweichen; der Waagebalken kann ungleiche Arme haben usw.);
Infolge unzureichender Entwicklung der Theorie des Messverfahrens, d. h. das Messverfahren enthält eine Fehlerquelle (z der Ausgleich erfolgt ohne Berücksichtigung der Auftriebskraft der Luft);
Dadurch, dass die Änderung der Versuchsbedingungen nicht berücksichtigt wird (z. B. während des langfristigen Stromflusses durch den Stromkreis, infolge der thermischen Wirkung des Stroms, der elektrischen Parameter des Schaltungswechsels).
Systematische Fehler können eliminiert werden, wenn man die Eigenschaften der Instrumente studiert, die Versuchstheorie weiter entwickelt und auf dieser Grundlage Korrekturen an den Messergebnissen vornimmt.
Zufällige Fehler sind Fehler, deren Größe selbst bei auf die gleiche Weise durchgeführten Messungen unterschiedlich ist. Ihre Gründe liegen sowohl in der Unvollkommenheit unserer Sinne, als auch in vielen anderen messtechnischen Begleitumständen, die nicht im Voraus berücksichtigt werden können (zufällige Fehler treten beispielsweise auf, wenn die Gleichheit der Beleuchtungsfelder des Photometers mit dem Auge eingestellt wird ; wenn der Moment der maximalen Abweichung des mathematischen Pendels mit dem Auge bestimmt wird; wenn der Moment der Schallresonanz mit dem Gehör gefunden wird; wenn auf einer Analysenwaage gewogen wird, wenn die Vibrationen des Bodens und der Wände auf die Waage übertragen werden usw.) .
Zufällige Fehler lassen sich nicht vermeiden. Ihr Auftreten äußert sich darin, dass bei Wiederholungsmessungen der gleichen Größe mit gleicher Sorgfalt voneinander abweichende Zahlenergebnisse erhalten werden. Wenn also beim Wiederholen der Messungen die gleichen Werte erhalten wurden, deutet dies nicht auf das Fehlen zufälliger Fehler hin, sondern auf die unzureichende Empfindlichkeit der Messmethode.
Zufällige Fehler verändern das Ergebnis sowohl in die eine als auch in die andere Richtung vom wahren Wert, daher werden, um den Einfluss von zufälligen Fehlern auf das Messergebnis zu reduzieren, Messungen in der Regel viele Male wiederholt und der arithmetische Mittelwert aller Messergebnisse ermittelt vergriffen.
Wissentlich falsche Ergebnisse - Fehler entstehen durch Verletzung der Grundbedingungen der Messung, als Folge von Unaufmerksamkeit oder Fahrlässigkeit des Experimentators. Schreiben Sie beispielsweise bei schlechter Beleuchtung anstelle von „3“ „8“; aufgrund der Tatsache, dass der Experimentator abgelenkt ist, kann er sich beim Zählen der Pendelschwingungen verirren; Aufgrund von Nachlässigkeit oder Unaufmerksamkeit kann er die Massen der Lasten bei der Bestimmung der Federsteifigkeit usw. verwechseln. Ein äußeres Zeichen für einen Fehler ist ein starker Größenunterschied zu den Ergebnissen anderer Messungen. Wenn ein Miss erkannt wird, sollte das Messergebnis sofort verworfen und die Messung selbst wiederholt werden. Die Identifizierung von Fehlern wird auch durch einen Vergleich der Messergebnisse verschiedener Experimentatoren unterstützt.
Eine physikalische Größe zu messen bedeutet, das Konfidenzintervall zu finden, in dem ihr wahrer Wert liegt https://pandia.ru/text/78/464/images/image005_14.png" width="16 height=21" height="21" >.png" width="21" height="17 src=">.png" width="31" height="21 src="> Fällen liegt der wahre Wert des Messwerts innerhalb des Konfidenzintervalls Der Wert wird entweder in Bruchteilen einer Einheit oder in Prozent ausgedrückt. Die meisten Messungen sind auf ein Konfidenzniveau von 0,9 oder 0,95 beschränkt. Manchmal, wenn ein extrem hohes Maß an Zuverlässigkeit erforderlich ist, wird ein Konfidenzniveau von 0,999 verwendet. Häufig wird ein Signifikanzniveau verwendet, das die Wahrscheinlichkeit angibt, dass der wahre Wert nicht in das Konfidenzintervall fällt. Das Messergebnis wird dargestellt als
wobei https://pandia.ru/text/78/464/images/image012_8.png" width="23" height="19"> der absolute Fehler ist. Also die Intervallgrenzen, https://pandia.ru /text/78/464/images/image005_14.png" width="16" height="21"> liegt in diesem Bereich.
Um und zu finden, führen Sie eine Reihe von Einzelmessungen durch. Betrachten Sie ein konkretes Beispiel..png" width="71" height="23 src=">; ; https://pandia.ru/text/78/464/images/image019_5.png" width="72" height= " 23">.png" width="72" height="24">. Werte können wiederholt werden, wie Werte und https://pandia.ru/text/78/464/images/image024_4.png " width="48 height=15" height="15">.png" width="52" height="21">. Dementsprechend ist das Signifikanzniveau .
Mittelwert des Messwerts
Auch das Messgerät trägt zum Messfehler bei. Dieser Fehler ist auf die Konstruktion des Geräts zurückzuführen (Reibung in der Achse des Zeigergeräts, Rundung durch ein digitales oder diskretes Zeigergerät usw.). Dies ist naturgemäß ein systematischer Fehler, aber weder das Ausmaß noch das Vorzeichen davon sind für dieses spezielle Instrument bekannt. Der Instrumentenfehler wird beim Testen einer großen Serie des gleichen Instrumententyps bewertet.
Der normierte Bereich der Genauigkeitsklassen von Messgeräten umfasst die folgenden Werte: 0,05; 0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 1,5; 2,5; 4.0. Die Genauigkeitsklasse des Geräts entspricht dem relativen Fehler des Geräts, ausgedrückt in Prozent, bezogen auf den gesamten Skalenbereich. Passfehler des Geräts
Alle Messungen werden immer mit einigen Fehlern durchgeführt, die mit der begrenzten Genauigkeit der Messgeräte, der falschen Wahl und dem Fehler der Messmethode, der Physiologie des Experimentators, den Eigenschaften der gemessenen Objekte, Änderungen der Messbedingungen usw. zusammenhängen. Die Messaufgabe umfasst daher nicht nur die Größe selbst, sondern auch den Messfehler, also den Messfehler. das Intervall, in dem der wahre Wert der gemessenen Größe am ehesten zu finden ist. Wenn wir beispielsweise ein Zeitintervall t mit einer Stoppuhr mit einem Teilungswert von 0,2 s messen, können wir sagen, dass ihr wahrer Wert im Intervall von s bis liegt 
mit. Somit enthält der gemessene Wert immer einen gewissen Fehler 
, wo 
und X sind jeweils die wahren und gemessenen Werte der untersuchten Größe. Wert 
namens Absoluter Fehler(Fehler-) Messungen und der Ausdruck 
Charakterisierung der Messgenauigkeit genannt relativer Fehler.
Es ist ganz natürlich, dass der Experimentator danach strebt, jede Messung mit der größtmöglichen Genauigkeit durchzuführen, aber ein solcher Ansatz ist nicht immer zweckmäßig. Je genauer wir diese oder jene Größe messen wollen, je komplexer die Instrumente sind, die wir verwenden müssen, desto mehr Zeit benötigen diese Messungen. Daher sollte die Genauigkeit des Endergebnisses dem Zweck des Experiments entsprechen. Die Fehlertheorie gibt Empfehlungen, wie Messungen vorgenommen und Ergebnisse verarbeitet werden sollten, damit die Fehlerspanne so gering wie möglich ist.
Alle Fehler, die während der Messung auftreten, werden normalerweise in drei Arten eingeteilt – systematische, zufällige und fehlende oder grobe Fehler.
Systematische Fehler aufgrund der begrenzten Genauigkeit der Herstellung von Geräten (Instrumentenfehler), der Mängel der gewählten Messmethode, der Ungenauigkeit der Berechnungsformel, unsachgemäßer Installation des Geräts usw. Systematische Fehler werden also durch gleichwirkende Faktoren verursacht, wenn dieselben Messungen viele Male wiederholt werden. Der Wert dieses Fehlers wird nach einem bestimmten Gesetz systematisch wiederholt oder verändert. Einige systematische Fehler können eliminiert werden (in der Praxis ist dies immer leicht zu erreichen), indem man die Messmethode ändert, Korrekturen an den Instrumentenanzeigen vornimmt und den ständigen Einfluss externer Faktoren berücksichtigt.
Obwohl der systematische (instrumentelle) Fehler bei wiederholten Messungen eine Abweichung des gemessenen Wertes vom wahren Wert in eine Richtung ergibt, wissen wir nie, in welche Richtung. Daher wird der Instrumentenfehler mit einem doppelten Vorzeichen geschrieben
Zufällige Fehler werden durch eine Vielzahl zufälliger Ursachen verursacht (Temperatur-, Druckänderungen, Gebäudeerschütterungen etc.), deren Auswirkung auf jede Messung unterschiedlich ist und nicht im Voraus berücksichtigt werden kann. Zufällige Fehler treten auch aufgrund der Unvollkommenheit der Sinnesorgane des Experimentators auf. Zufällige Fehler umfassen auch Fehler aufgrund der Eigenschaften des gemessenen Objekts.
Zufällige Fehler einzelner Messungen können nicht ausgeschlossen werden, aber der Einfluss dieser Fehler auf das Endergebnis kann durch Mehrfachmessungen reduziert werden. Fällt der zufällige Fehler deutlich geringer aus als der instrumentelle (systematische) Fehler, dann macht es keinen Sinn, den zufälligen Fehler durch Erhöhung der Anzahl der Messungen weiter zu reduzieren. Wenn der Zufallsfehler größer als der Instrumentenfehler ist, sollte die Anzahl der Messungen erhöht werden, um den Wert des Zufallsfehlers zu verringern und ihn kleiner oder eine Größenordnung mit dem Instrumentenfehler zu machen.
Fehler oder Fehler- es handelt sich um falsche Messwerte am Gerät, falsche Erfassung des Messwertes etc. Verfehlungen aus den angegebenen Gründen sind in der Regel deutlich sichtbar, da die ihnen entsprechenden Messwerte stark von anderen Messwerten abweichen. Fehlstellen müssen durch Kontrollmessungen eliminiert werden. Somit wird die Breite des Intervalls, in dem die wahren Werte der gemessenen Größen liegen, nur durch zufällige und systematische Fehler bestimmt.
2 . Schätzung des systematischen (instrumentellen) Fehlers
Für direkte Messungen Der Wert der Messgröße wird direkt auf der Skala des Messgeräts abgelesen. Der Ablesefehler kann mehrere Zehntel eines Skalenteils erreichen. Üblicherweise wird bei solchen Messungen die Größe des systematischen Fehlers gleich der halben Skalenteilung des Messgeräts angenommen. Wenn Sie beispielsweise mit einem Messschieber mit einem Teilungswert von 0,05 mm messen, wird der Wert des instrumentellen Messfehlers gleich 0,025 mm genommen.
Digitale Messgeräte geben den Wert der von ihnen gemessenen Größen mit einem Fehler an, der dem Wert einer Einheit der letzten Ziffer auf der Skala des Instruments entspricht. Wenn also ein digitales Voltmeter einen Wert von 20,45 mV anzeigt, dann ist der absolute Fehler in der Messung 
mV.
Systematische Fehler treten auch bei der Verwendung von aus Tabellen ermittelten konstanten Werten auf. In solchen Fällen wird der Fehler gleich der Hälfte der letzten signifikanten Ziffer genommen. Wenn beispielsweise in der Tabelle der Wert der Stahldichte durch einen Wert von 7,9∙10 3 kg / m 3 angegeben ist, ist der absolute Fehler in diesem Fall gleich 
kg / m 3.
Einige Merkmale bei der Berechnung von Instrumentenfehlern elektrischer Messgeräte werden im Folgenden besprochen.
Bei der Bestimmung des systematischen (instrumentellen) Fehlers indirekter Messungen funktioneller Wert 
Die Formel wird verwendet
, (1)
wo 
- Instrumentenfehler bei direkten Mengenmessungen 
, 
- partielle Ableitungen der Funktion in Bezug auf die Variable .
Als Beispiel erhalten wir eine Formel zur Berechnung des systematischen Fehlers bei der Messung des Volumens eines Zylinders. Die Formel zur Berechnung des Volumens eines Zylinders lautet:
.
Partielle Ableitungen in Bezug auf Variablen d und h wird gleich sein
, 
.
Die Formel zur Bestimmung des absoluten systematischen Fehlers bei der Messung des Volumens eines Zylinders gemäß (2. ..) hat also folgende Form
,
wo 
und 
instrumentelle Fehler bei der Messung des Durchmessers und der Höhe des Zylinders
3. Zufallsfehlerschätzung.
Konfidenzintervall und Konfidenzwahrscheinlichkeit
Für die überwiegende Mehrheit einfacher Messungen ist das sogenannte Normalgesetz der Zufallsfehler recht gut erfüllt ( Gaußsches Gesetz), abgeleitet aus den folgenden Erfahrungswerten.
Messfehler können eine kontinuierliche Reihe von Werten annehmen;
bei einer großen Anzahl von Messungen treten Fehler gleicher Größe, aber unterschiedlichen Vorzeichens gleich häufig auf,
Je größer der zufällige Fehler ist, desto unwahrscheinlicher ist es, dass er auftritt.
Der Graph der Gaußschen Normalverteilung ist in Abb. 1 dargestellt. Die Kurvengleichung hat die Form
, (2)
wo 
- Verteilungsfunktion zufälliger Fehler (Fehler), die die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers charakterisieren 
, σ ist der mittlere quadratische Fehler.
Der Wert σ ist keine Zufallsgröße und charakterisiert den Messvorgang. Ändern sich die Messbedingungen nicht, so bleibt σ konstant. Das Quadrat dieser Größe heißt Streuung der Messungen. Je kleiner die Streuung, desto geringer die Streuung der Einzelwerte und desto höher die Messgenauigkeit.
Der genaue Wert des Effektivfehlers σ sowie der wahre Wert der gemessenen Größe sind unbekannt. Es gibt eine sogenannte statistische Schätzung dieses Parameters, wonach der mittlere quadratische Fehler gleich dem mittleren quadratischen Fehler des arithmetischen Mittels ist 
. Deren Wert wird durch die Formel bestimmt
, (3)
wo 
- Ergebnis ich-te Dimension; 
- arithmetisches Mittel der erhaltenen Werte; n
ist die Anzahl der Messungen.
Je größer die Anzahl der Messungen, desto kleiner und desto mehr nähert sie sich σ an. Wenn der wahre Wert des gemessenen Werts μ, sein arithmetischer Mittelwert, der als Ergebnis von Messungen erhalten wurde, und der zufällige absolute Fehler , dann wird das Messergebnis geschrieben als 
.
Wertintervall von 
Vor 
, in die der wahre Wert der Messgröße μ fällt, heißt Konfidenzintervall. Da es sich um eine Zufallsvariable handelt, fällt der wahre Wert mit einer Wahrscheinlichkeit α in das Konfidenzintervall, das heißt Konfidenzwahrscheinlichkeit, oder Verlässlichkeit Messungen. Dieser Wert ist numerisch gleich der Fläche des schattierten krummlinigen Trapezes. (siehe Bild)
All dies gilt für eine ausreichend große Anzahl von Messungen, wenn nahe bei σ liegt. Um das Konfidenzintervall und Konfidenzniveau für eine kleine Anzahl von Messungen zu finden, mit denen wir uns im Laufe der Laborarbeit befassen, verwenden wir Studentische Wahrscheinlichkeitsverteilung. Dies ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariablen 
namens Studentischer Koeffizient, gibt den Wert des Konfidenzintervalls in Bruchteilen des mittleren quadratischen Fehlers des arithmetischen Mittels an .
. (4)
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung dieser Größe hängt nicht von σ 2 ab, sondern wesentlich von der Anzahl der Experimente n. Mit einer Zunahme der Anzahl von Experimenten n Die Student-Verteilung tendiert zu einer Gaußschen Verteilung.
Die Verteilungsfunktion ist tabelliert (Tabelle 1). Der Wert des Student-Koeffizienten liegt am Schnittpunkt der Linie, die der Anzahl der Messungen entspricht n, und die Spalte, die dem Konfidenzniveau α entspricht
Tabelle 1.
Mit den Daten in der Tabelle können Sie:
Bestimmen Sie das Konfidenzintervall bei einer bestimmten Wahrscheinlichkeit.
Wählen Sie ein Konfidenzintervall und bestimmen Sie das Konfidenzniveau.
Bei indirekten Messungen wird der mittlere quadratische Fehler des arithmetischen Mittels der Funktion durch die Formel berechnet
. (5)
Konfidenzintervall und Konfidenzwahrscheinlichkeit werden wie bei direkten Messungen ermittelt.
Abschätzung des Gesamtmessfehlers. Aufnahme des Endergebnisses.
Der Gesamtfehler des Messergebnisses von X wird als mittlerer quadratischer Wert der systematischen und zufälligen Fehler definiert
, (6)
wo δx - Instrumentenfehler, Δ X ist ein zufälliger Fehler.
X kann entweder eine direkt oder indirekt gemessene Größe sein.
, α=…, Å=… (7)
Zu beachten ist, dass die Formeln der Fehlertheorie selbst für eine Vielzahl von Messungen gelten. Daher wird der Wert des Zufalls und folglich der Gesamtfehler für einen kleinen Wert bestimmt n mit einem großen Fehler. Bei der Berechnung von Δ X mit der Anzahl der Messungen 
Es wird empfohlen, eine signifikante Ziffer zu begrenzen, wenn sie größer als 3 ist, und zwei, wenn die erste signifikante Ziffer kleiner als 3 ist. Wenn beispielsweise Δ X= 0,042, dann verwerfe 2 und schreibe Δ X=0,04, und wenn Δ X=0,123, dann schreiben wir Δ X=0,12.
Die Stellenzahl des Ergebnisses und der Gesamtfehler müssen gleich sein. Daher sollte das arithmetische Mittel des Fehlers gleich sein. Daher wird der arithmetische Mittelwert zunächst um eine Stelle über dem Messwert berechnet und bei der Ergebniserfassung auf die Stellenzahl des Gesamtfehlers verfeinert.
4. Methodik zur Berechnung von Messfehlern.
Fehler direkter Messungen
Bei der Verarbeitung der Ergebnisse direkter Messungen wird empfohlen, die folgende Reihenfolge der Vorgänge einzuhalten.
. (8)
.
.
Der Gesamtfehler wird bestimmt
Der relative Fehler des Messergebnisses wird geschätzt
.
Das Endergebnis wird geschrieben als
, mit α=…E=…%.
5. Fehler indirekter Messungen
Bei der Bewertung des wahren Wertes einer indirekt gemessenen Größe, die eine Funktion anderer unabhängiger Größen ist 
, können zwei Methoden verwendet werden.
Erster Weg wird verwendet, wenn der Wert j unter verschiedenen experimentellen Bedingungen bestimmt. In diesem Fall gilt für jeden der Werte 
, und dann wird das arithmetische Mittel aller Werte bestimmt j ich
. (9)
Der systematische (instrumentelle) Fehler wird auf der Grundlage der bekannten instrumentellen Fehler aller Messungen gemäß der Formel gefunden. Der zufällige Fehler wird in diesem Fall als direkter Messfehler definiert.
Zweiter Weg gilt, wenn die Funktion j mehrmals mit den gleichen Messungen bestimmt. In diesem Fall wird der Wert aus den Durchschnittswerten berechnet. In unserer Laborpraxis wird häufiger die zweite Methode zur Bestimmung der indirekt gemessenen Größe verwendet j. Der systematische (instrumentelle) Fehler wird wie bei der ersten Methode auf der Grundlage der bekannten instrumentellen Fehler aller Messungen gemäß der Formel gefunden
Um den zufälligen Fehler einer indirekten Messung zu finden, werden zunächst die quadratischen Fehler des arithmetischen Mittels von Einzelmessungen berechnet. Dann wird der mittlere quadratische Fehler gefunden j. Das Setzen der Konfidenzwahrscheinlichkeit α, das Finden des Student-Koeffizienten, das Bestimmen von Zufalls- und Gesamtfehlern erfolgt auf die gleiche Weise wie bei direkten Messungen. Ebenso wird das Ergebnis aller Berechnungen im Formular dargestellt
, mit α=…E=…%.
6. Ein Beispiel für die Gestaltung einer Laborarbeit
Labor Nr. 1
BESTIMMUNG DES ZYLINDERVOLUMENS
Zubehör: Messschieber mit einer Teilung von 0,05 mm, ein Mikrometer mit einer Teilung von 0,01 mm, ein zylindrischer Körper.
Zielsetzung: Kennenlernen einfachster physikalischer Messungen, Bestimmung des Volumens eines Zylinders, Berechnung der Fehler direkter und indirekter Messungen.
Arbeitsauftrag
Nehmen Sie mindestens 5 Messungen des Zylinderdurchmessers mit einem Messschieber und seiner Höhe mit einem Mikrometer vor.
Berechnungsformel zur Berechnung des Volumens eines Zylinders
wobei d der Durchmesser des Zylinders ist; h ist die Höhe.
Messergebnisse
Tabelle 2.
Messung Nr. | ||||||
| ; |
; 
.
; E = 0,5 %.
, E = 0,5 %.
In den meisten Fällen besteht das ultimative Ziel der Laborarbeit darin, den gewünschten Wert mithilfe einer Formel zu berechnen, die Größen enthält, die auf direkte Weise gemessen werden. Solche Messungen werden indirekt genannt. Als Beispiel geben wir die Formel für die Dichte eines festen zylindrischen Körpers an
wobei r die Dichte des Körpers ist, m- Körpermasse, d- Durchmesser des Zylinders, h- sein Hoch.
Abhängigkeit (A.5) in allgemeiner Form kann wie folgt dargestellt werden:
wo Y eine indirekt gemessene Größe, in Formel (A.5) die Dichte r; X 1 , X 2 ,... ,Xn direkt gemessene Größen sind, in Formel (A.5) sind dies m, d, und h.
Das Ergebnis einer indirekten Messung kann nicht genau sein, da die Ergebnisse einer direkten Messung von Größen sind X 1 , x2, ... ,Xn enthalten immer Fehler. Daher ist es sowohl für indirekte Messungen als auch für direkte Messungen erforderlich, das Vertrauensintervall (absoluter Fehler) des erhaltenen Werts zu schätzen DY und relativer Fehler e.
Bei der Berechnung von Fehlern bei indirekten Messungen ist es zweckmäßig, die folgende Abfolge von Aktionen einzuhalten:
1) Erhalten Sie die Durchschnittswerte jeder direkt gemessenen Größe á x1ñ, á x2ñ, …, á Xnñ;
2) Erhalte den Mittelwert der indirekt gemessenen Größe á Yñ durch Einsetzen der Mittelwerte der direkt gemessenen Größen in die Formel (A.6);
3) zur Bewertung der absoluten Fehler direkt gemessener Größen DX 1 , DX 2 , ..., DXn, unter Verwendung der Formeln (A.2) und (A.3);
4) Bestimmen Sie ausgehend von der expliziten Form der Funktion (A.6) eine Formel zur Berechnung des absoluten Fehlers des indirekt gemessenen Werts DY und berechne es;
6) Notieren Sie das Messergebnis unter Berücksichtigung des Fehlers.
Nachfolgend wird ohne Herleitung eine Formel angegeben, die es erlaubt, Formeln zur Berechnung des absoluten Fehlers zu erhalten, wenn die explizite Form der Funktion (A.6) bekannt ist:
wo ¶Y¤¶ x1 etc. - partielle Ableitungen von Y nach allen direkt gemessenen Größen X 1 , X 2 , …, X n (wenn zum Beispiel eine partielle Ableitung genommen wird X 1 , dann alle anderen Größen X ich gelten in der Formel als konstant), D X ich– absolute Fehler direkt gemessener Größen, berechnet nach (A.3).
Nachdem sie DY berechnet haben, finden sie den relativen Fehler.
Wenn die Funktion (A.6) jedoch ein Monom ist, dann ist es viel einfacher, zuerst den relativen Fehler und dann den absoluten Fehler zu berechnen.
Tatsächlich teilt man beide Seiten der Gleichheit (A.7) durch Y, wir bekommen
Aber seit können wir schreiben
Nun, da Sie den relativen Fehler kennen, bestimmen Sie den absoluten.
Als Beispiel erhalten wir eine Formel zur Berechnung des Fehlers in der Dichte eines Stoffes, bestimmt durch Formel (A.5). Da (A.5) ein Monom ist, ist es, wie oben erwähnt, einfacher, zunächst den relativen Messfehler nach (A.8) zu berechnen. In (A.8) haben wir unter der Wurzel die Summe der Quadrate der partiellen Ableitungen von Logarithmus gemessene Größe, also finden wir zuerst den natürlichen Logarithmus r:
ln r = ln 4 + ln m– ln p –2 ln d–ln h,
und dann verwenden wir Formel (A.8) und erhalten das
Wie man sieht, werden in (A.9) die Mittelwerte direkt gemessener Größen und deren absolute Fehler, berechnet nach der Methode der direkten Messung nach (A.3), verwendet. Der durch die Zahl p eingeführte Fehler wird nicht berücksichtigt, da sein Wert immer mit einer Genauigkeit genommen werden kann, die die Messgenauigkeit aller anderen Größen übersteigt. Wenn wir e berechnen, finden wir .
Wenn indirekte Messungen unabhängig sind (die Bedingungen jedes nachfolgenden Experiments unterscheiden sich von den Bedingungen des vorherigen), dann die Mengenwerte Y für jeden einzelnen Versuch berechnet. Produziert haben n Erfahrungen, bekommen n Werte Y ich. Nehmen Sie ferner jeden der Werte Y ich(wo ich- Erfahrungszahl) für das Ergebnis der direkten Messung á berechnen Yñ und D Y gemäß den Formeln (A.1) bzw. (A.2).
Das Endergebnis sowohl der direkten als auch der indirekten Messung sollte wie folgt aussehen:
wo m- Exponent, u- Maßeinheiten Y.
FEHLER BEI MESSUNGEN VON PHYSIKALISCHEN MENGEN UND
VERARBEITUNG DER MESSERGEBNISSE
durch Messung nennt man das empirische Finden der Werte physikalischer Größen mit Hilfe spezieller technischer Mittel. Die Messungen sind entweder direkt oder indirekt. Beim Direkte Messung wird der gewünschte Wert einer physikalischen Größe direkt mit Hilfe von Messgeräten gefunden (z. B. Messen der Abmessungen von Körpern mit einem Messschieber). Indirekt wird eine Messung genannt, bei der der gewünschte Wert einer physikalischen Größe auf der Grundlage eines bekannten funktionalen Zusammenhangs zwischen der gemessenen Größe und den direkt gemessenen Größen gefunden wird. Beispielsweise werden bei der Bestimmung des Volumens V eines Zylinders sein Durchmesser D und seine Höhe H gemessen und dann gemäß der Formel p D 2 /4 berechne sein Volumen.
Aufgrund der Ungenauigkeit von Messgeräten und der Schwierigkeit, alle Nebeneffekte bei Messungen zu berücksichtigen, entstehen zwangsläufig Messfehler. Error oder Fehler Messung bezeichnet die Abweichung des Messergebnisses vom wahren Wert der gemessenen physikalischen Größe. Der Messfehler ist normalerweise unbekannt, ebenso wie der wahre Wert der gemessenen Größe. Die Aufgabe der elementaren Verarbeitung von Messergebnissen besteht daher darin, das Intervall zu ermitteln, in dem sich der wahre Wert der gemessenen physikalischen Größe mit einer gegebenen Wahrscheinlichkeit befindet.
Klassifizierung von Messfehlern
Fehler werden in drei Typen unterteilt:
1) grob oder verfehlt,
2) systematisch,
3) zufällig.
grobe Fehler- es handelt sich um Fehlmessungen durch unvorsichtiges Ablesen am Gerät, unleserliche Aufzeichnung von Messwerten. Schreiben Sie zum Beispiel ein Ergebnis von 26,5 statt 2,65; Lesen auf einer Skala von 18 statt 13 usw. Wenn ein grober Fehler festgestellt wird, sollte das Ergebnis dieser Messung sofort verworfen und die Messung selbst wiederholt werden.
Systematische Fehler- Fehler, die bei wiederholten Messungen konstant bleiben oder sich nach einem bestimmten Gesetz ändern. Diese Fehler können auf die falsche Wahl des Messverfahrens, Unvollkommenheit oder Fehlfunktion von Instrumenten zurückzuführen sein (z. B. Messungen mit einem Instrument mit Nullpunktverschiebung). Um systematische Fehler möglichst auszuschließen, sollte man die Messmethode immer genau analysieren, Instrumente mit Standards vergleichen. Künftig gehen wir davon aus, dass alle systematischen Fehler eliminiert wurden, außer denen, die durch Ungenauigkeiten bei der Herstellung von Geräten und Ablesefehler verursacht wurden. Wir nennen diesen Fehler Hardware.
Zufällige Fehler - Es handelt sich um Fehler, deren Ursache nicht im Voraus berücksichtigt werden kann. Zufällige Fehler beruhen auf der Unvollkommenheit unserer Sinnesorgane, auf der ständigen Einwirkung wechselnder äußerer Bedingungen (Änderungen der Temperatur, des Drucks, der Feuchtigkeit, der Luftvibration usw.). Zufällige Fehler sind unvermeidbar, sie sind zwangsläufig in allen Messungen vorhanden, können aber mit den Methoden der Wahrscheinlichkeitstheorie abgeschätzt werden.
Verarbeitung der Ergebnisse direkter Messungen
Lassen Sie als Ergebnis direkter Messungen einer physikalischen Größe eine Reihe ihrer Werte erhalten:
x 1 , x 2 , ... x n .
Wenn Sie diese Zahlenreihe kennen, müssen Sie den Wert angeben, der dem wahren Wert des gemessenen Werts am nächsten kommt, und den Wert des zufälligen Fehlers finden. Dieses Problem wird auf der Grundlage der Wahrscheinlichkeitstheorie gelöst, deren detaillierte Darstellung den Rahmen unseres Kurses sprengen würde.
Der wahrscheinlichste Wert der gemessenen physikalischen Größe (nahe dem wahren Wert) ist das arithmetische Mittel
. (1)
Dabei ist x i das Ergebnis der i-ten Messung; n ist die Anzahl der Messungen. Der zufällige Messfehler kann durch den absoluten Fehler geschätzt werden D x, das durch die Formel berechnet wird
,
(2)
wo t(a ,n) - Student-Koeffizient, abhängig von der Anzahl der Messungen n und dem Konfidenzniveau a . Vertrauenswert a vom Versuchsleiter eingestellt.
Wahrscheinlichkeit Zufallsereignis ist das Verhältnis der Anzahl der für dieses Ereignis günstigen Fälle zur Gesamtzahl der gleichwahrscheinlichen Fälle. Die Wahrscheinlichkeit für ein sicheres Ereignis ist 1, für ein unmögliches 0.
Der Wert des Student-Koeffizienten, der einem gegebenen Konfidenzniveau entspricht a und eine bestimmte Anzahl von Messungen n finden Sie gemäß der Tabelle. ein.
Tabelle 1
|
Anzahl Messungen |
Vertrauenswahrscheinlichkeit a |
|||
|
0,95 |
0,98 |
|||
|
1,38 |
12,7 |
31,8 |
||
|
1,06 |
||||
|
0,98 |
||||
|
0,94 |
||||
|
0,92 |
||||
|
0,90 |
||||
|
0,90 |
||||
|
0,90 |
||||
|
0,88 |
||||
|
0,84 |
||||
Aus Tabelle. 1 ist ersichtlich, dass der Wert des Student-Koeffizienten und der zufällige Messfehler umso kleiner sind, je größer n und je kleiner a . Praktisch wählen a =0,95. Eine einfache Erhöhung der Anzahl der Messungen kann jedoch den Gesamtfehler nicht auf Null reduzieren, da jedes Messgerät einen Fehler ausgibt.
Lassen Sie uns die Bedeutung der Begriffe absoluter Fehler erklären D x und Konfidenzniveau a unter Verwendung des Zahlenstrahls. Lassen Sie den Mittelwert der gemessenen Größe
Abb.1
Werden die Messungen derselben Größe mit denselben Instrumenten unter denselben Bedingungen wiederholt, dann fällt der wahre Wert der gemessenen Größe x ist in dasselbe Konfidenzintervall, aber der Treffer ist nicht zuverlässig, aber mit einer Wahrscheinlichkeit a.
Berechnung der Größe des absoluten Fehlers D x nach Formel (2) kann der wahre Wert x der gemessenen physikalischen Größe als x= geschrieben werden
Berechnen Sie, um die Genauigkeit der Messung einer physikalischen Größe zu beurteilen relativer Fehler die in der Regel in Prozent angegeben wird
. (3)
Daher ist bei der Verarbeitung der Ergebnisse direkter Messungen Folgendes erforderlich:
1. Messen Sie n-mal.
2. Berechnen Sie das arithmetische Mittel mit Formel (1).
3. Legen Sie ein Konfidenzniveau fest a (normalerweise nehmen Sie a = 0,95).
4. Ermitteln Sie gemäß Tabelle 1 den Student-Koeffizienten, der dem gegebenen Konfidenzniveau entspricht a und die Anzahl der Dimensionen n.
5. Berechnen Sie den absoluten Fehler mit Formel (2) und vergleichen Sie ihn mit dem instrumentellen Fehler. Nimm für weitere Berechnungen den größeren.
6. Berechnen Sie mit Formel (3) den relativen Fehler e.
7. Schreiben Sie das Endergebnis auf
x=
Verarbeitung der Ergebnisse indirekter Messungen
Die gewünschte physikalische Größe y sei anderen Größen x 1 , x 2 , ... x k durch eine gewisse funktionale Abhängigkeit zugeordnet
Y=f(x 1 , x 2 , ... x k) (4)
Unter den Werten x 1 , x 2 , ... x k befinden sich Werte, die aus direkten Messungen und Tabellendaten gewonnen wurden. Es ist erforderlich, das Absolute zu bestimmen D y und relativ e Fehler im Wert von y.
In den meisten Fällen ist es einfacher, zuerst den relativen Fehler und dann den absoluten Fehler zu berechnen. Aus der Wahrscheinlichkeitstheorie der relative Fehler der indirekten Messung
.
(5)
Hier 
, wobei die partielle Ableitung der Funktion in Bezug auf die Variable x i ist, bei deren Berechnung alle Werte außer x i als konstant betrachtet werden; D x i ist der absolute Fehler von x i . Wenn x i als Ergebnis direkter Messungen erhalten wird, dann sein Durchschnittswert
Schreiben wir das Endergebnis:
y=
Hier
Üblicherweise sind bei realen Messungen sowohl zufällige als auch systematische (instrumentelle) Fehler vorhanden. Wenn der berechnete Zufallsfehler direkter Messungen gleich Null oder um das Zwei- oder Mehrfache kleiner als der Hardwarefehler ist, sollte bei der Berechnung des Fehlers indirekter Messungen der Hardwarefehler berücksichtigt werden. Wenn sich diese Fehler um weniger als das Zweifache unterscheiden, wird der absolute Fehler durch die Formel berechnet
.
Betrachten Sie ein Beispiel. Lassen Sie es notwendig sein, das Volumen des Zylinders zu berechnen:
. (6)
Dabei ist D der Durchmesser des Zylinders, H seine Höhe, gemessen mit einem Messschieber mit einem Teilungswert von 0,1 mm. Als Ergebnis wiederholter Messungen finden wir die Durchschnittswerte
,
(7)
wo D D und D H sind absolute Fehler direkter Durchmesser- und Höhenmessungen. Ihre Werte werden nach Formel (2) berechnet: D = 0,01 mm; D H = 0,13 mm. Vergleichen wir die berechneten Fehler mit den Hardwarefehlern, die dem Teilungswert des Bremssattels entsprechen. D D<0.1, поэтому в формуле (7) подставим вместо D D ist nicht 0,01 mm, sondern 0,1 mm.
p-Wert muss so gewählt werden, dass der relative Fehler Dp/p in Formel (7) vernachlässigt werden. Aus Analyse von Messwerten und berechneten absoluten Fehlern D D und D H, ist ersichtlich, dass der Höhenmessfehler den größten Beitrag zum relativen Volumenmessfehler leistet. Die Berechnung des relativen Höhenfehlers ergibt e H =0,01. Daher der Wert p Sie müssen 3.14 nehmen. In diesem Fall Dp / p » 0,001 (Dp = 3,142-3,14 = 0,002).
Eine signifikante Zahl verbleibt im absoluten Fehler.
Anmerkungen.
1. Wenn die Messungen einmal durchgeführt werden oder die Ergebnisse mehrerer Messungen gleich sind, sollte der absolute Messfehler als Instrumentenfehler genommen werden, der bei den meisten verwendeten Instrumenten gleich dem Teilungswert des Instruments ist (für mehr Einzelheiten zum Instrumentenfehler siehe Abschnitt „Messinstrumente“).
2. Wenn tabellarische oder experimentelle Daten ohne Angabe des Fehlers angegeben werden, dann wird der absolute Fehler solcher Zahlen gleich der halben Ordnung der letzten signifikanten Ziffer genommen.
Aktionen mit ungefähren Zahlen
Die Frage der unterschiedlichen Berechnungsgenauigkeit ist sehr wichtig, da eine Überschätzung der Berechnungsgenauigkeit zu viel unnötiger Arbeit führt. Studenten berechnen den gesuchten Wert oft mit einer Genauigkeit von fünf oder mehr signifikanten Stellen. Es versteht sich, dass diese Genauigkeit übertrieben ist. Es macht keinen Sinn, Berechnungen über die Genauigkeitsgrenze hinaus durchzuführen, die durch die Genauigkeit der Bestimmung direkt gemessener Größen gegeben ist. Nach der Verarbeitung der Messungen berechnen sie häufig nicht die Fehler einzelner Ergebnisse und beurteilen den Fehler des ungefähren Werts der Größe, indem sie die Anzahl der korrekten signifikanten Stellen in dieser Zahl angeben.
Bedeutende Zahlen Eine ungefähre Zahl heißt alle Ziffern außer Null sowie in zwei Fällen Null:
1) wenn es zwischen signifikanten Ziffern steht (zum Beispiel in der Zahl 1071 - vier signifikante Ziffern);
2) wenn es am Ende der Nummer steht und wenn bekannt ist, dass die Einheit der entsprechenden Ziffer in der angegebenen Nummer nicht verfügbar ist. Beispiel. In der Zahl 5,20 gibt es drei signifikante Stellen, und das bedeutet, dass wir bei der Messung nicht nur Einheiten, sondern auch Zehntel und Hundertstel berücksichtigt haben, und in der Zahl 5,2 - nur zwei signifikante Stellen, was bedeutet, dass wir nur ganze Zahlen berücksichtigt haben und Zehntel.
Annäherungsberechnungen sollten in Übereinstimmung mit den folgenden Regeln durchgeführt werden.
1. Beim Addieren und Subtrahieren Behalten Sie daher so viele Dezimalstellen bei, wie es in der Zahl mit der geringsten Anzahl von Dezimalstellen gibt. Zum Beispiel: 0,8934+3,24+1,188=5,3214» 5.32. Der Betrag ist auf Hundertstel zu runden, d.h. gleich 5,32 nehmen.
2. Beim Multiplizieren und Dividieren als Ergebnis werden so viele signifikante Stellen beibehalten, wie die ungefähre Zahl mit den wenigsten signifikanten Stellen hat. Zum Beispiel müssen Sie 8,632 multiplizieren´ 2,8´ 3.53. Stattdessen sollten Ausdrücke ausgewertet werden
8,6 ´ 2,8 ´ 3,5 » 81.
Bei der Berechnung von Zwischenergebnissen sparen sie eine Ziffer mehr ein, als die Regeln empfehlen (die sogenannte Ersatzziffer). Im Endergebnis wird die Ersatzziffer verworfen. Um den Wert der letzten signifikanten Ziffer des Ergebnisses zu verdeutlichen, müssen Sie die Ziffer dahinter berechnen. Wenn sich herausstellt, dass es weniger als fünf sind, sollte es einfach verworfen werden, und wenn es fünf oder mehr als fünf sind, sollte die vorherige Zahl nach dem Verwerfen um eins erhöht werden. Üblicherweise wird im absoluten Fehler eine signifikante Stelle belassen und der Messwert auf die Stelle aufgerundet, in der die signifikante Stelle des absoluten Fehlers steht.
3. Das Ergebnis der Berechnung der Werte der Funktionen x n , , lg( x) eine ungefähre Zahl x muss so viele signifikante Ziffern enthalten, wie die Zahl enthält x. Zum Beispiel: 
.
Plotten
Die Ergebnisse, die während der Durchführung von Laborarbeiten erhalten werden, sind oft wichtig und müssen in einem grafischen Zusammenhang dargestellt werden. Um ein Diagramm zu erstellen, muss auf der Grundlage der durchgeführten Messungen eine Tabelle erstellt werden, in der jeder Wert einer der Größen einem bestimmten Wert der anderen entspricht.
Grafiken werden auf Millimeterpapier erstellt. Beim Erstellen eines Diagramms sollten die Werte der unabhängigen Variablen auf der Abszisse und die Werte der Funktion auf der Ordinate aufgetragen werden. In der Nähe jeder Achse müssen Sie die Bezeichnung des angezeigten Werts schreiben und angeben, in welchen Einheiten er gemessen wird (Abb. 2).
Abb.2
Für die korrekte Konstruktion des Diagramms ist die Wahl des Maßstabs wichtig: Die Kurve nimmt das gesamte Blatt ein, und die Abmessungen des Diagramms in Länge und Höhe sind ungefähr gleich. Die Skala sollte einfach sein. Am einfachsten ist es, wenn die Einheit des Messwerts (0,1; 10; 100 usw.) 1, 2 oder 5 cm entspricht, wobei zu beachten ist, dass der Schnittpunkt der Koordinatenachsen nicht mit dem zusammenfallen muss Nullwerte der geplotteten Werte (Abb. 2).
Jeder erhaltene experimentelle Wert wird auf gut sichtbare Weise in der Grafik dargestellt: ein Punkt, ein Kreuz usw.
Fehler werden für die Messwerte in Form von Segmenten mit einer Länge eines Vertrauensbereichs angegeben, in deren Mitte sich die experimentellen Punkte befinden. Da die Angabe von Fehlern den Graphen unübersichtlich macht, erfolgt dies nur, wenn Informationen über die Fehler wirklich benötigt werden: bei der Konstruktion einer Kurve aus experimentellen Punkten, bei der Bestimmung von Fehlern anhand eines Diagramms, beim Vergleich experimenteller Daten mit einer theoretischen Kurve (Abbildung 2). . Oft reicht es aus, den Fehler für einen oder mehrere Punkte anzugeben.
Es ist notwendig, eine glatte Kurve durch die experimentellen Punkte zu ziehen. Oft sind die Versuchspunkte durch eine einfache unterbrochene Linie verbunden. Damit ist gleichsam angedeutet, dass die Größen irgendwie sprunghaft voneinander abhängen. Und das ist unglaublich. Die Kurve muss glatt sein und darf nicht durch die markierten Punkte verlaufen, sondern in deren Nähe, so dass diese Punkte auf beiden Seiten der Kurve gleich weit von ihr entfernt sind. Wenn ein Punkt stark aus dem Diagramm herausfällt, sollte diese Messung wiederholt werden. Daher ist es wünschenswert, direkt während des Experiments einen Graphen zu erstellen. Der Graph kann dann zur Kontrolle und Verbesserung von Beobachtungen dienen.
MESSGERÄTE UND BUCHHALTUNG IHRER FEHLER
Messgeräte dienen der direkten Messung physikalischer Größen. Alle Messgeräte geben nicht den wahren Wert der gemessenen Größe an. Dies liegt zum einen daran, dass es unmöglich ist, den Messwert auf der Skala des Instruments genau abzulesen, und zum anderen an der Ungenauigkeit bei der Herstellung von Messgeräten. Um den ersten Faktor zu berücksichtigen, wird der Lesefehler Δx o eingeführt, für den zweiten - der zulässige FehlerΔ x D. Die Summe dieser Fehler bildet den instrumentellen oder absoluten Fehler des GerätsΔ x:
.
Der zulässige Fehler wird durch staatliche Standards normalisiert und im Pass oder in der Beschreibung des Geräts angegeben.
Der Ablesefehler wird normalerweise gleich der halben Teilung des Instruments genommen, bei einigen Instrumenten (Stoppuhr, Aneroidbarometer) jedoch gleich der Teilung des Instruments (da sich die Position des Pfeils dieser Instrumente in Sprüngen um eine Teilung ändert). und sogar mehrere Teilungen der Skala, wenn die Versuchsbedingungen es nicht zulassen, sicher bis zu einer Teilung zu zählen (z. B. bei dickem Zeiger oder schlechter Beleuchtung). Somit wird der Zählfehler vom Experimentator selbst eingestellt und spiegelt tatsächlich die Bedingungen eines bestimmten Experiments wider.
Wenn der zulässige Fehler viel kleiner als der Lesefehler ist, kann er ignoriert werden. Normalerweise wird der absolute Fehler des Instruments gleich der Skalenteilung des Instruments genommen.
Messlineale haben in der Regel Millimetereinteilungen. Zur Messung wird empfohlen, Stahl- oder Zeichenlineale mit einer Fase zu verwenden. Der zulässige Fehler solcher Lineale beträgt 0,1 mm und kann vernachlässigt werden, da er viel kleiner als der Ablesefehler ist ± 0,5mm. Zulässige Fehler bei Holz- und Kunststofflinealen± 1 mm.
Der zulässige Messfehler einer Bügelmessschraube hängt von der oberen Messgrenze ab und kann sein ± (3-4) µm (für Mikrometer mit Messbereich 0-25 mm). Als Lesefehler wird die Hälfte des Teilungswerts genommen. Somit kann der absolute Fehler des Mikrometers gleich dem Teilungswert genommen werden, d.h. 0,01mm.
Beim Wiegen ist der zulässige Fehler technischer Waagen lastabhängig und beträgt 50 mg bei einer Last von 20 bis 200 g und 25 mg bei einer Last von weniger als 20 g.
Der Fehler digitaler Instrumente wird durch die Genauigkeitsklasse bestimmt.
Die Formeln zur Berechnung der Fehler indirekter Messungen basieren auf den Darstellungen der Differentialrechnung.
Lassen Sie die Abhängigkeit der Menge Y aus dem gemessenen Wert Z hat eine einfache Form: .
Hier und sind Konstanten, deren Werte bekannt sind. Wenn z um eine Zahl erhöht oder verringert wird, ändert es sich zu:
Wenn - der Fehler des Messwerts Z, dann ist jeweils der Fehler des berechneten Werts Y.
Wir erhalten die Formel für den absoluten Fehler im allgemeinen Fall einer Funktion einer Variablen. Der Graph dieser Funktion habe die in Abb. 1 gezeigte Form. Der exakte Wert des Arguments z 0 entspricht dem exakten Wert der Funktion y 0 = f(z 0).
Der gemessene Wert des Arguments weicht aufgrund von Messfehlern vom exakten Wert des Arguments um den Wert von Δz ab. Der Wert der Funktion weicht vom exakten Wert um Δy ab.
Aus der geometrischen Bedeutung der Ableitung als Tangente der Steigung der Tangente an die Kurve an einem gegebenen Punkt (Abb. 1) folgt:
. (10)
Die Formel für den relativen Fehler der indirekten Messung im Falle einer Funktion einer Variablen lautet: 
. (11)
Wenn man bedenkt, dass das Differential der Funktion ist, erhalten wir
(12)
Wenn die indirekte Messung eine Funktion ist m Variablen 
, dann hängt der Fehler der indirekten Messung von den Fehlern der direkten Messung ab. Wir bezeichnen den partiellen Fehler, der mit dem Messfehler des Arguments verbunden ist. Es stellt das Inkrement der Funktion um das Inkrement dar, vorausgesetzt, dass alle anderen Argumente unverändert bleiben. Wir schreiben also den partiellen absoluten Fehler nach (10) in folgender Form:
(13)
Um also den partiellen Fehler der indirekten Messung zu finden, ist es nach (13) notwendig, die partielle Ableitung mit dem Fehler der direkten Messung zu multiplizieren. Bei der Berechnung der partiellen Ableitung einer Funktion in Bezug auf die verbleibenden Argumente werden diese als konstant betrachtet.
Der resultierende absolute Fehler der indirekten Messung wird durch die Formel bestimmt, die die Quadrate der Teilfehler enthält
indirekte Messung:
oder unter Berücksichtigung (13)
(14)
Der relative Fehler der indirekten Messung wird durch die Formel bestimmt:
Oder unter Berücksichtigung von (11) und (12)
. (15)
Unter Verwendung von (14) und (15) wird einer der Fehler gefunden, absolut oder relativ, je nach Bequemlichkeit der Berechnungen. Wenn die Arbeitsformel beispielsweise die Form eines Produkts hat, das Verhältnis der gemessenen Größen, ist es einfach, einen Logarithmus zu nehmen und Formel (15) zu verwenden, um den relativen Fehler der indirekten Messung zu bestimmen. Berechnen Sie dann den absoluten Fehler mit Formel (16):
Zur Veranschaulichung des obigen Verfahrens zur Fehlerbestimmung indirekter Messungen kehren wir zur virtuellen Laborarbeit „Ermittlung der Beschleunigung des freien Falls mit einem mathematischen Pendel“ zurück.
Die Arbeitsformel (1) hat die Form des Quotienten der Messwerte:
Daher beginnen wir mit der Definition des relativen Fehlers. Dazu logarithmieren wir diesen Ausdruck und berechnen dann die partiellen Ableitungen:
; ; 
.
Einsetzen in Formel (15) führt auf die Formel für den relativen Fehler der indirekten Messung:
(17)
Nach Einsetzen der Ergebnisse direkter Messungen
{ 
; 
) in (17) erhalten wir:
(18)
Um den absoluten Fehler zu berechnen, verwenden wir den Ausdruck (16) und den zuvor berechneten Wert (9) der Erdbeschleunigung g:
Das Ergebnis der Berechnung des absoluten Fehlers wird auf eine signifikante Stelle aufgerundet. Der berechnete Wert des absoluten Fehlers bestimmt die Genauigkeit der Aufzeichnung des Endergebnisses:
, α ≈ 1. (19)
Die Konfidenzwahrscheinlichkeit wird dabei durch die Konfidenzwahrscheinlichkeit derjenigen der direkten Messungen bestimmt, die maßgeblich zum Fehler der indirekten Messung beigetragen haben. In diesem Fall handelt es sich um Periodenmessungen.
Also mit einer Wahrscheinlichkeit nahe 1 der Wert g liegt zwischen 8 und 12.
Um einen genaueren Wert der Freifallbeschleunigung zu erhalten g Es ist notwendig, die Messtechnik zu verbessern. Dazu ist es notwendig, den relativen Fehler zu reduzieren, der, wie aus Formel (18) folgt, hauptsächlich durch den Zeitmessfehler bestimmt wird.
Dazu ist es notwendig, die Zeit nicht einer vollständigen Schwingung, sondern beispielsweise von 10 vollständigen Schwingungen zu messen. Dann nimmt die relative Fehlerformel, wie aus (2) folgt, die Form an:
. (20)
Tabelle 4 zeigt die Ergebnisse der Messzeit für N = 10
Für die Menge L entnehmen Sie die Messergebnisse aus Tabelle 2. Setzen wir die Ergebnisse direkter Messungen in Formel (20) ein, finden wir den relativen Fehler indirekter Messungen:
Mit Formel (2) berechnen wir den Wert der indirekt gemessenen Größe:
.
.
Das Endergebnis wird geschrieben als:
; ; .
Dieses Beispiel zeigt die Rolle der relativen Fehlerformel bei der Analyse möglicher Richtungen zur Verbesserung der Messtechnik.
