Alle Messungen werden immer mit einigen Fehlern durchgeführt, die mit der begrenzten Genauigkeit der Messgeräte, der falschen Wahl und dem Fehler der Messmethode, der Physiologie des Experimentators, den Eigenschaften der gemessenen Objekte, Änderungen der Messbedingungen usw. zusammenhängen. Die Messaufgabe umfasst daher nicht nur die Größe selbst, sondern auch den Messfehler, also den Messfehler. das Intervall, in dem der wahre Wert der gemessenen Größe am ehesten zu finden ist. Wenn wir beispielsweise ein Zeitintervall t mit einer Stoppuhr mit einem Teilungswert von 0,2 s messen, können wir sagen, dass ihr wahrer Wert im Intervall von s bis liegt 
mit. Somit enthält der gemessene Wert immer einen gewissen Fehler 
, wo 
und X sind jeweils die wahren und gemessenen Werte der untersuchten Größe. Wert 
namens Absoluter Fehler(Fehler-) Messungen und der Ausdruck 
Charakterisierung der Messgenauigkeit genannt relativer Fehler.
Es ist ganz natürlich, dass der Experimentator danach strebt, jede Messung mit der größtmöglichen Genauigkeit durchzuführen, aber ein solcher Ansatz ist nicht immer zweckmäßig. Je genauer wir diese oder jene Größe messen wollen, je komplexer die Instrumente sind, die wir verwenden müssen, desto mehr Zeit benötigen diese Messungen. Daher sollte die Genauigkeit des Endergebnisses dem Zweck des Experiments entsprechen. Die Fehlertheorie gibt Empfehlungen, wie Messungen vorgenommen und Ergebnisse verarbeitet werden sollten, damit die Fehlerspanne so gering wie möglich ist.
Alle Fehler, die während der Messung auftreten, werden normalerweise in drei Arten eingeteilt – systematische, zufällige und fehlende oder grobe Fehler.
Systematische Fehler aufgrund der begrenzten Genauigkeit der Herstellung von Geräten (Instrumentenfehler), der Mängel der gewählten Messmethode, der Ungenauigkeit der Berechnungsformel, unsachgemäßer Installation des Geräts usw. Systematische Fehler werden also durch gleichwirkende Faktoren verursacht, wenn dieselben Messungen viele Male wiederholt werden. Der Wert dieses Fehlers wird nach einem bestimmten Gesetz systematisch wiederholt oder verändert. Einige systematische Fehler können eliminiert werden (in der Praxis ist dies immer leicht zu erreichen), indem man die Messmethode ändert, Korrekturen an den Instrumentenanzeigen vornimmt und den ständigen Einfluss externer Faktoren berücksichtigt.
Obwohl der systematische (instrumentelle) Fehler bei wiederholten Messungen eine Abweichung des gemessenen Wertes vom wahren Wert in eine Richtung ergibt, wissen wir nie, in welche Richtung. Daher wird der Instrumentenfehler mit einem doppelten Vorzeichen geschrieben
Zufällige Fehler werden durch eine Vielzahl zufälliger Ursachen verursacht (Temperatur-, Druckänderungen, Gebäudeerschütterungen etc.), deren Auswirkung auf jede Messung unterschiedlich ist und nicht im Voraus berücksichtigt werden kann. Zufällige Fehler treten auch aufgrund der Unvollkommenheit der Sinnesorgane des Experimentators auf. Zufällige Fehler umfassen auch Fehler aufgrund der Eigenschaften des gemessenen Objekts.
Zufällige Fehler einzelner Messungen können nicht ausgeschlossen werden, aber der Einfluss dieser Fehler auf das Endergebnis kann durch Mehrfachmessungen reduziert werden. Fällt der zufällige Fehler deutlich geringer aus als der instrumentelle (systematische) Fehler, dann macht es keinen Sinn, den zufälligen Fehler durch Erhöhung der Anzahl der Messungen weiter zu reduzieren. Wenn der Zufallsfehler größer als der Instrumentenfehler ist, sollte die Anzahl der Messungen erhöht werden, um den Wert des Zufallsfehlers zu verringern und ihn kleiner oder eine Größenordnung mit dem Instrumentenfehler zu machen.
Fehler oder Fehler- es handelt sich um falsche Messwerte am Gerät, falsche Erfassung des Messwertes etc. Verfehlungen aus den angegebenen Gründen sind in der Regel deutlich sichtbar, da die ihnen entsprechenden Messwerte stark von anderen Messwerten abweichen. Fehlstellen müssen durch Kontrollmessungen eliminiert werden. Somit wird die Breite des Intervalls, in dem die wahren Werte der gemessenen Größen liegen, nur durch zufällige und systematische Fehler bestimmt.
2 . Schätzung des systematischen (instrumentellen) Fehlers
Für direkte Messungen Der Wert der Messgröße wird direkt auf der Skala des Messgeräts abgelesen. Der Ablesefehler kann mehrere Zehntel eines Skalenteils erreichen. Üblicherweise wird bei solchen Messungen die Größe des systematischen Fehlers gleich der halben Skalenteilung des Messgeräts angenommen. Wenn Sie beispielsweise mit einem Messschieber mit einem Teilungswert von 0,05 mm messen, wird der Wert des instrumentellen Messfehlers gleich 0,025 mm genommen.
Digitale Messgeräte geben den Wert der von ihnen gemessenen Größen mit einem Fehler an, der dem Wert einer Einheit der letzten Ziffer auf der Skala des Instruments entspricht. Wenn also ein digitales Voltmeter einen Wert von 20,45 mV anzeigt, dann ist der absolute Fehler in der Messung 
mV.
Systematische Fehler treten auch bei der Verwendung von aus Tabellen ermittelten konstanten Werten auf. In solchen Fällen wird der Fehler gleich der Hälfte der letzten signifikanten Ziffer genommen. Wenn beispielsweise in der Tabelle der Wert der Stahldichte durch einen Wert von 7,9∙10 3 kg / m 3 angegeben ist, ist der absolute Fehler in diesem Fall gleich 
kg / m 3.
Einige Merkmale bei der Berechnung von Instrumentenfehlern elektrischer Messgeräte werden im Folgenden besprochen.
Bei der Bestimmung des systematischen (instrumentellen) Fehlers indirekter Messungen funktioneller Wert 
Die Formel wird verwendet
, (1)
wo 
- Instrumentenfehler bei direkten Mengenmessungen 
, 
- partielle Ableitungen der Funktion in Bezug auf die Variable .
Als Beispiel erhalten wir eine Formel zur Berechnung des systematischen Fehlers bei der Messung des Volumens eines Zylinders. Die Formel zur Berechnung des Volumens eines Zylinders lautet:
.
Partielle Ableitungen in Bezug auf Variablen d und h wird gleich sein
, 
.
Die Formel zur Bestimmung des absoluten systematischen Fehlers bei der Messung des Volumens eines Zylinders gemäß (2. ..) hat also folgende Form
,
wo 
und 
instrumentelle Fehler bei der Messung des Durchmessers und der Höhe des Zylinders
3. Zufallsfehlerschätzung.
Konfidenzintervall und Konfidenzwahrscheinlichkeit
Für die überwiegende Mehrheit einfacher Messungen ist das sogenannte Normalgesetz der Zufallsfehler recht gut erfüllt ( Gaußsches Gesetz), abgeleitet aus den folgenden Erfahrungswerten.
Messfehler können eine kontinuierliche Reihe von Werten annehmen;
bei einer großen Anzahl von Messungen treten Fehler gleicher Größe, aber unterschiedlichen Vorzeichens gleich häufig auf,
Je größer der zufällige Fehler ist, desto unwahrscheinlicher ist es, dass er auftritt.
Der Graph der Gaußschen Normalverteilung ist in Abb. 1 dargestellt. Die Kurvengleichung hat die Form
, (2)
wo 
- Verteilungsfunktion zufälliger Fehler (Fehler), die die Wahrscheinlichkeit eines Fehlers charakterisieren 
, σ ist der mittlere quadratische Fehler.
Der Wert σ ist keine Zufallsgröße und charakterisiert den Messvorgang. Ändern sich die Messbedingungen nicht, so bleibt σ konstant. Das Quadrat dieser Größe heißt Streuung der Messungen. Je kleiner die Streuung, desto geringer die Streuung der Einzelwerte und desto höher die Messgenauigkeit.
Der genaue Wert des Effektivfehlers σ sowie der wahre Wert der gemessenen Größe sind unbekannt. Es gibt eine sogenannte statistische Schätzung dieses Parameters, wonach der mittlere quadratische Fehler gleich dem mittleren quadratischen Fehler des arithmetischen Mittels ist 
. Deren Wert wird durch die Formel bestimmt
, (3)
wo 
- Ergebnis ich-te Dimension; 
- arithmetisches Mittel der erhaltenen Werte; n
ist die Anzahl der Messungen.
Je größer die Anzahl der Messungen, desto kleiner und desto mehr nähert sie sich σ an. Wenn der wahre Wert des gemessenen Werts μ, sein arithmetischer Mittelwert, der als Ergebnis von Messungen erhalten wurde, und der zufällige absolute Fehler , dann wird das Messergebnis geschrieben als 
.
Wertintervall von 
Vor 
, in die der wahre Wert der Messgröße μ fällt, heißt Konfidenzintervall. Da es sich um eine Zufallsvariable handelt, fällt der wahre Wert mit einer Wahrscheinlichkeit α in das Konfidenzintervall, das heißt Konfidenzwahrscheinlichkeit, oder Verlässlichkeit Messungen. Dieser Wert ist numerisch gleich der Fläche des schattierten krummlinigen Trapezes. (siehe Bild)
All dies gilt für eine ausreichend große Anzahl von Messungen, wenn nahe bei σ liegt. Um das Konfidenzintervall und Konfidenzniveau für eine kleine Anzahl von Messungen zu finden, mit denen wir uns im Laufe der Laborarbeit befassen, verwenden wir Studentische Wahrscheinlichkeitsverteilung. Dies ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsvariablen 
namens Studentischer Koeffizient, gibt den Wert des Konfidenzintervalls in Bruchteilen des mittleren quadratischen Fehlers des arithmetischen Mittels an .
. (4)
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung dieser Größe hängt nicht von σ 2 ab, sondern wesentlich von der Anzahl der Experimente n. Mit einer Zunahme der Anzahl von Experimenten n Die Student-Verteilung tendiert zu einer Gaußschen Verteilung.
Die Verteilungsfunktion ist tabelliert (Tabelle 1). Der Wert des Student-Koeffizienten liegt am Schnittpunkt der Linie, die der Anzahl der Messungen entspricht n, und die Spalte, die dem Konfidenzniveau α entspricht
Tabelle 1.
Mit den Daten in der Tabelle können Sie:
Bestimmen Sie das Konfidenzintervall bei einer bestimmten Wahrscheinlichkeit.
Wählen Sie ein Konfidenzintervall und bestimmen Sie das Konfidenzniveau.
Bei indirekten Messungen wird der mittlere quadratische Fehler des arithmetischen Mittels der Funktion durch die Formel berechnet
. (5)
Konfidenzintervall und Konfidenzwahrscheinlichkeit werden wie bei direkten Messungen ermittelt.
Abschätzung des Gesamtmessfehlers. Aufnahme des Endergebnisses.
Der Gesamtfehler des Messergebnisses von X wird als mittlerer quadratischer Wert der systematischen und zufälligen Fehler definiert
, (6)
wo δx - Instrumentenfehler, Δ X ist ein zufälliger Fehler.
X kann entweder eine direkt oder indirekt gemessene Größe sein.
, α=…, Å=… (7)
Zu beachten ist, dass die Formeln der Fehlertheorie selbst für eine Vielzahl von Messungen gelten. Daher wird der Wert des Zufalls und folglich der Gesamtfehler für einen kleinen Wert bestimmt n mit einem großen Fehler. Bei der Berechnung von Δ X mit der Anzahl der Messungen 
es wird empfohlen, sich auf eine signifikante Ziffer zu beschränken, wenn sie größer als 3 ist, und auf zwei, wenn die erste signifikante Ziffer kleiner als 3 ist. Wenn beispielsweise Δ X= 0,042, dann verwerfe 2 und schreibe Δ X=0,04, und wenn Δ X=0,123, dann schreiben wir Δ X=0,12.
Die Stellenzahl des Ergebnisses und der Gesamtfehler müssen gleich sein. Daher sollte das arithmetische Mittel des Fehlers gleich sein. Daher wird der arithmetische Mittelwert zunächst um eine Stelle über dem Messwert berechnet und bei der Ergebniserfassung auf die Stellenzahl des Gesamtfehlers verfeinert.
4. Methodik zur Berechnung von Messfehlern.
Fehler direkter Messungen
Bei der Verarbeitung der Ergebnisse direkter Messungen wird empfohlen, die folgende Reihenfolge der Vorgänge einzuhalten.
. (8)
.
.
Der Gesamtfehler wird bestimmt
Der relative Fehler des Messergebnisses wird geschätzt
.
Das Endergebnis wird geschrieben als
, mit α=…E=…%.
5. Fehler indirekter Messungen
Bei der Bewertung des wahren Wertes einer indirekt gemessenen Größe, die eine Funktion anderer unabhängiger Größen ist 
, können zwei Methoden verwendet werden.
Erster Weg wird verwendet, wenn der Wert j unter verschiedenen experimentellen Bedingungen bestimmt. In diesem Fall gilt für jeden der Werte 
, und dann wird das arithmetische Mittel aller Werte bestimmt j ich
. (9)
Der systematische (instrumentelle) Fehler wird auf der Grundlage der bekannten instrumentellen Fehler aller Messungen gemäß der Formel gefunden. Der zufällige Fehler wird in diesem Fall als direkter Messfehler definiert.
Zweiter Weg gilt, wenn die Funktion j mehrmals mit den gleichen Messungen bestimmt. In diesem Fall wird der Wert aus den Durchschnittswerten berechnet. In unserer Laborpraxis wird häufiger die zweite Methode zur Bestimmung der indirekt gemessenen Größe verwendet j. Der systematische (instrumentelle) Fehler wird wie bei der ersten Methode auf der Grundlage der bekannten instrumentellen Fehler aller Messungen gemäß der Formel gefunden
Um den Zufallsfehler einer indirekten Messung zu finden, werden zunächst die quadratischen Fehler des arithmetischen Mittels der Einzelmessungen berechnet. Dann wird der mittlere quadratische Fehler gefunden j. Das Setzen der Konfidenzwahrscheinlichkeit α, das Finden des Student-Koeffizienten, das Bestimmen von Zufalls- und Gesamtfehlern erfolgt auf die gleiche Weise wie bei direkten Messungen. Ebenso wird das Ergebnis aller Berechnungen im Formular dargestellt
, mit α=…E=…%.
6. Ein Beispiel für die Gestaltung einer Laborarbeit
Labor Nr. 1
BESTIMMUNG DES ZYLINDERVOLUMENS
Zubehör: Messschieber mit einer Teilung von 0,05 mm, ein Mikrometer mit einer Teilung von 0,01 mm, ein zylindrischer Körper.
Zielsetzung: Kennenlernen einfachster physikalischer Messungen, Bestimmung des Volumens eines Zylinders, Berechnung der Fehler direkter und indirekter Messungen.
Arbeitsauftrag
Nehmen Sie mindestens 5 Messungen des Zylinderdurchmessers mit einem Messschieber und seiner Höhe mit einem Mikrometer vor.
Berechnungsformel zur Berechnung des Volumens eines Zylinders
wobei d der Durchmesser des Zylinders ist; h ist die Höhe.
Messergebnisse
Tabelle 2.
Messung Nr. | ||||||
| ; |
; 
.
; E = 0,5 %.
, E = 0,5 %.
Wenn die gesuchte physikalische Größe nicht direkt vom Gerät gemessen werden kann, sondern durch die gemessenen Größen mittels einer Formel ausgedrückt wird, dann nennt man solche Messungen indirekt.
Wie bei direkten Messungen können Sie den mittleren absoluten (arithmetischen Mittelwert) Fehler oder den mittleren quadratischen Fehler indirekter Messungen berechnen.
Allgemeine Regeln zur Berechnung von Fehlern für beide Fälle werden unter Verwendung der Differentialrechnung hergeleitet.
Die physikalische Größe j( x, y, z, ...) ist eine Funktion mehrerer unabhängiger Argumente x, y, z, ..., die jeweils experimentell bestimmt werden können. Größen werden durch direkte Messungen bestimmt und ihre mittleren absoluten Fehler oder quadratischen Fehler bewertet.
Der durchschnittliche absolute Fehler indirekter Messungen der physikalischen Größe j wird durch die Formel berechnet
wo sind die partiellen Ableitungen von φ in Bezug auf x, y, z berechnet für die Durchschnittswerte der entsprechenden Argumente.
Da die Formel die absoluten Werte aller Terme der Summe verwendet, schätzt der Ausdruck für den maximalen Fehler bei der Messung der Funktion für gegebene maximale Fehler der unabhängigen Variablen.
Mittlerer quadratischer Fehler indirekter Messungen der physikalischen Größe j
Relativer maximaler Fehler indirekter Messungen der physikalischen Größe j
wo usw.
In ähnlicher Weise können wir den relativen mittleren quadratischen Fehler indirekter Messungen j schreiben
Wenn die Formel einen Ausdruck darstellt, der zum Logarithmieren geeignet ist (d. h. ein Produkt, ein Bruch, eine Potenz), dann ist es bequemer, zuerst den relativen Fehler zu berechnen. Dazu sollte (im Fall des durchschnittlichen absoluten Fehlers) Folgendes getan werden.
1. Logarithmieren Sie den Ausdruck für die indirekte Messung einer physikalischen Größe.
2. Unterscheide es.
3. Kombiniere alle Terme mit demselben Differential und entferne es aus Klammern.
4. Nehmen Sie den Ausdruck vor verschiedenen Modulo-Differentialen.
5. Ersetzen Sie formal die Symbole der Differentiale durch die Symbole des absoluten Fehlers D.
Dann kann man, wenn man e kennt, den absoluten Fehler Dj durch die Formel berechnen
Beispiel 1 Herleitung einer Formel zur Berechnung des maximalen relativen Fehlers indirekter Messungen des Volumens eines Zylinders.
Ausdruck zur indirekten Messung einer physikalischen Größe (Anfangsformel)
Durchmesserwert D und Zylinderhöhe h direkt gemessen durch Instrumente mit direkten Messfehlern, bzw. D D und d h.
Wir nehmen den Logarithmus der ursprünglichen Formel und erhalten
Differenziere die resultierende Gleichung
Indem wir die Symbole der Differentiale durch die Symbole des absoluten Fehlers D ersetzen, erhalten wir schließlich eine Formel zur Berechnung des maximalen relativen Fehlers indirekter Messungen des Zylindervolumens
Nun muss die Frage betrachtet werden, wie man den Fehler der physikalischen Größe findet U, die durch indirekte Messungen bestimmt wird. Gesamtansicht der Messgleichung
Y=f(X 1 , X 2 , … , Xn), (1.4)
wo Xj- verschiedene physikalische Größen, die der Experimentator durch direkte Messungen erhält, oder physikalische Konstanten, die mit einer bestimmten Genauigkeit bekannt sind. In einer Formel sind sie Funktionsargumente.
In der Messpraxis sind zwei Methoden zur Berechnung des Fehlers indirekter Messungen weit verbreitet. Beide Methoden liefern fast das gleiche Ergebnis.
Methode 1. Absolutes D wird zuerst gefunden, dann relativ d Fehler. Diese Methode wird für Messgleichungen empfohlen, die Summen und Differenzen von Argumenten enthalten.
Allgemeine Formel zur Berechnung des absoluten Fehlers bei indirekten Messungen einer physikalischen Größe Y für eine willkürliche Ansicht f Funktion sieht so aus:
wo die partiellen Ableitungen der Funktionen Y=f(X 1 , X 2 , … , Xn) argumentativ Xj,
Der Gesamtfehler direkter Messungen der Größe Xj.
Um den relativen Fehler zu finden, müssen Sie zuerst den Durchschnittswert der Menge finden Y. Dazu müssen die arithmetischen Mittelwerte der Größen in die Messgleichung (1.4) eingesetzt werden. Xj.
Das heißt, der Durchschnittswert des Werts Y gleich: . Jetzt ist es einfach, den relativen Fehler zu finden: .
Beispiel: Finden Sie den Fehler in der Volumenmessung v Zylinder. Höhe h und Durchmesser D des Zylinders gelten als durch direkte Messungen bestimmt und lassen die Anzahl der Messungen zu n= 10.
Die Formel zur Berechnung des Volumens eines Zylinders, also die Messgleichung, lautet:
Lassen Sie bei P= 0,68;
Beim P= 0,68.
Wenn wir dann die Durchschnittswerte in Formel (1.5) einsetzen, finden wir:
Fehler DV in diesem Beispiel hängt, wie ersichtlich, hauptsächlich der Messfehler vom Durchmesser ab.
Das durchschnittliche Volumen ist: , relativer Fehler dV entspricht:
Oder d V = 19%.
v=(47±9) mm 3 , d V = 19%, P= 0,68.
Methode 2. Diese Methode zur Bestimmung des Fehlers indirekter Messungen unterscheidet sich von der ersten Methode durch weniger mathematische Schwierigkeiten und wird daher häufiger verwendet.
Finden Sie zuerst den relativen Fehler d, und nur dann absolutes D. Diese Methode ist besonders praktisch, wenn die Messgleichung nur Produkte und Verhältnisse von Argumenten enthält.
Das Verfahren kann anhand des gleichen konkreten Beispiels betrachtet werden - der Bestimmung des Fehlers bei der Messung des Volumens eines Zylinders
Wir werden alle Zahlenwerte der in der Formel enthaltenen Mengen gleich halten wie in den Berechnungen für Weg 1.
Lassen mm, ; beim P= 0,68;
; bei P = 0,68.
Rundungsfehler bei Zahlen p(siehe Abb. 1.1)
Verwenden Weg 2 soll so vorgehen:
1) nimm den Logarithmus der Messgleichung (wir nehmen den natürlichen Logarithmus)
finden Sie die Differentiale des linken und rechten Teils unter Berücksichtigung unabhängiger Variablen,
2) Ersetzen Sie das Differential jedes Werts durch den absoluten Fehler desselben Werts und die „Minus“ -Zeichen, wenn sie vor den Fehlern stehen, durch „Plus“:
3) Es scheint, dass es mit Hilfe dieser Formel bereits möglich ist, den relativen Fehler abzuschätzen, aber das ist nicht so. Es ist erforderlich, den Fehler so zu schätzen, dass die Konfidenzwahrscheinlichkeit dieser Schätzung mit den Konfidenzwahrscheinlichkeiten der Fehlerschätzung der Terme auf der rechten Seite der Formel übereinstimmt. Damit diese Bedingung erfüllt ist, müssen Sie dazu alle Terme der letzten Formel quadrieren und dann die Quadratwurzel von beiden Seiten der Gleichung ziehen:
Oder in anderer Notation ist der relative Fehler des Volumens:
Darüber hinaus stimmt die Wahrscheinlichkeit dieser Schätzung des Volumenfehlers mit der Wahrscheinlichkeit der Schätzung der Fehler der im Wurzelausdruck enthaltenen Terme überein:
Nachdem wir die Berechnungen durchgeführt haben, stellen wir sicher, dass das Ergebnis mit der Schätzung von übereinstimmt Methode 1:
Nun, da wir den relativen Fehler kennen, finden wir den absoluten:
D v=0,19 47=9,4 mm 3 , P=0,68.
Endergebnis nach Rundung:
v\u003d (47 ± 9) mm 3, dV = 19%, P=0,68.
Testfragen
1. Welche Aufgabe haben physikalische Messungen?
2. Welche Arten von Messungen werden unterschieden?
3. Wie werden Messfehler klassifiziert?
4. Was sind absolute und relative Fehler?
5. Was sind Fehler, systematische und zufällige Fehler?
6. Wie bewertet man den systematischen Fehler?
7. Was ist das arithmetische Mittel des Messwerts?
8. Wie kann man die Größe des Zufallsfehlers schätzen, wie hängt er mit der Standardabweichung zusammen?
9. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, den wahren Wert des gemessenen Wertes im Intervall von zu finden X cf-s Vor X cf + s?
10. Wenn wir als Schätzung für einen zufälligen Fehler den Wert wählen 2s oder 3 Sek, mit welcher Wahrscheinlichkeit wird der wahre Wert dann in die durch diese Schätzungen bestimmten Intervalle fallen?
11. Wie werden Fehler zusammengefasst und wann sollte dies geschehen?
12. Wie rundet man den absoluten Fehler und den Mittelwert des Messergebnisses?
13. Welche Methoden gibt es, um Fehler bei indirekten Messungen abzuschätzen? Wie geht man damit vor?
14. Was soll als Messergebnis festgehalten werden? Welche Werte sind anzugeben?
Vortrag Nr. 8
Verarbeitung von Messergebnissen
Direkte Einzel- und Mehrfachmessungen.
1. Direkte Einzelmessungen .
Im Allgemeinen wird die Aufgabe, den Fehler des erhaltenen Ergebnisses abzuschätzen, normalerweise auf der Grundlage von Informationen über die Grenze des Hauptfehlers des Messgeräts (gemäß der behördlichen und technischen Dokumentation für die verwendeten Messgeräte) und durchgeführt die bekannten Werte zusätzlicher Fehler aus dem Einfluss von Einflussgrößen. Den Maximalwert des Gesamtfehlers des Messergebnisses (ohne Berücksichtigung des Vorzeichens) erhält man durch Aufsummieren der Komponenten im Betrag:
Eine realistischere Schätzung des Fehlers kann durch statistische Addition der Fehlerkomponenten erhalten werden:
wobei die Grenze der i-ten nicht ausgeschlossenen Komponente des systematischen Fehlers ist; k- Koeffizient bestimmt durch die akzeptierte Konfidenzwahrscheinlichkeit (bei P = 0,95, Koeffizient k=1,11); m ist die Anzahl der nicht ausgeschlossenen Komponenten.
Das Messergebnis wird gemäß der ersten Form der Ergebniserfassung erfasst:
wo ist das Ergebnis einer einzelnen Messung; - Gesamtfehler des Messergebnisses; Р - Konfidenzwahrscheinlichkeit (bei Р = 0,95 darf nicht angegeben werden).
Bei Messung unter Normalbedingungen können wir davon ausgehen
2. Direkte Mehrfachmessungen.
Nur durch deren Mehrfachmessungen und entsprechende Verarbeitung ihrer Ergebnisse ist es möglich, den tatsächlichen Wert der Messgröße genau zu bestimmen. Die korrekte Verarbeitung der erhaltenen Beobachtungsergebnisse bedeutet, die genaueste Schätzung des tatsächlichen Werts der gemessenen Größe und des Vertrauensbereichs zu erhalten, in dem sich ihr wahrer Wert befindet.
Bei der Verarbeitung der Beobachtungsergebnisse müssen die folgenden Hauptaufgaben konsequent gelöst werden:
Bestimmen Sie Punkt- und Integralschätzungen des Verteilungsgesetzes von Messergebnissen durch die Formeln:
wo D(x) eine Punktschätzung der Varianz ist;
Beseitigen Sie "Fehlschläge" (gemäß einem der Kriterien);
Beseitigen Sie systematische Messfehler;
Bestimmen Sie die Vertrauensgrenzen des nicht ausgeschlossenen Saldos der systematischen Komponente, der Zufallskomponente und des Gesamtfehlers des Messergebnisses;
Notieren Sie das Messergebnis.
Abschätzung des Fehlers indirekter Messungen. Grundprinzipien und Berechnungsschritte. GOSTs für die Verarbeitung von Ergebnissen.
Fehler indirekter Messungen
Die Schätzung von Fehlern, die sich aus indirekten Messungen ergeben, basiert auf den folgenden Annahmen:
1. Die relativen Fehler der durch direkte Messungen erhaltenen und in die Berechnung des gewünschten Wertes einbezogenen Werte müssen im Vergleich zur Einheit klein sein (in der Praxis sollten sie 10% nicht überschreiten).
2. Für die Fehler aller an der Berechnung beteiligten Größen wird dieselbe Konfidenzwahrscheinlichkeit angenommen. Der Fehler des gewünschten Werts wird auch die gleiche Konfidenzwahrscheinlichkeit haben.
3. Der wahrscheinlichste Wert des gewünschten Werts wird erhalten, wenn die wahrscheinlichsten Werte der Anfangswerte für seine Berechnung verwendet werden, d.h. ihre arithmetischen Mittelwerte.
Fehler bei einem Anfangswert.
Absoluter Fehler. Lassen Sie den gewünschten Wert j, indirekt gemessen, hängt nur von einer Größe ab a durch direkte Messung erhalten. Die Grenzen des Intervalls, in dem der Wert mit einer gegebenen Wahrscheinlichkeit liegt a, werden durch das arithmetische Mittel und den absoluten Gesamtfehler bestimmt a Mengen a. Das bedeutet, dass der Wert a kann innerhalb eines Intervalls mit Schranken liegen ± a.
Mit indirekter Mengenmessung j(a) werden diese Grenzen durch ihren wahrscheinlichsten Wert bestimmt = ja() und Fehler j, d.h. Werte j liegen innerhalb des Intervalls mit Grenzen ± j. Obergrenze für j(bei monotonem Anstieg) wird es einen Wert geben, der der oberen Grenze entspricht a, d.h. Wert + j= j( + a) . Also der absolute Fehler j Mengen j hat die Form eines Funktionsinkrements ja verursacht durch Inkrementieren seines Arguments a um den Betrag a sein absoluter Fehler. Daher können wir für kleine Werte die Regeln der Differentialrechnung anwenden, nach denen a Zuwachs j kann ungefähr ausgedrückt werden als
Hier ist die Ableitung bzgl a Funktionen ja beim a = .
Somit kann der absolute Fehler des Endergebnisses unter Verwendung von Formel (1) berechnet werden, und die Konfidenzwahrscheinlichkeit entspricht der Konfidenzwahrscheinlichkeit that a.
Relativer Fehler. Um den relativen Fehler eines Wertes zu finden j, teile (1) durch j und das berücksichtigen
ist die Ableitung nach a natürlicher Logarithmus j. Das Ergebnis wird sein
Wenn wir in diesen Ausdruck einsetzen a= und j= , dann ist sein Wert der relative Fehler der Menge j.
Es wird verwendet, um die Ergebnisse von Messungen zu verarbeiten GOST 8.207-76 „GSI. Direkte Messungen mit mehreren Beobachtungen. Methoden zur Verarbeitung der Beobachtungsergebnisse.
8.3. Messergebnis und Schätzung seiner Standardabweichung:
1. Methoden zur Erkennung grober Fehler sollten im Messverfahren angegeben werden. Wenn die Beobachtungsergebnisse als normalverteilt angesehen werden können, sind grobe Fehler ausgeschlossen.
2. Das Messergebnis wird als arithmetisches Mittel der Beobachtungsergebnisse genommen, in die zuvor Korrekturen eingeführt wurden, um systematische Fehler zu eliminieren.
3. Standardabweichung S das Beobachtungsergebnis wird nach NTD bewertet.
4. Die Standardabweichung des Messergebnisses wird durch die Formel geschätzt
,
wo x ich - ich-tes Beobachtungsergebnis;
Messergebnis (arithmetisches Mittel der korrigierten Beobachtungsergebnisse);
n- Anzahl der Beobachtungsergebnisse;
Schätzung der Standardabweichung des Messergebnisses.
8.4. Vertrauensgrenzen des zufälligen Fehlers des Messergebnisses:
1. Vertrauensgrenzen für den zufälligen Fehler des Messergebnisses gemäß dieser Internationalen Norm werden für die Ergebnisse von Beobachtungen festgelegt, die zu einer Normalverteilung gehören. Wenn diese Bedingung nicht erfüllt ist, sollten Methoden zur Berechnung der Vertrauensgrenzen eines zufälligen Fehlers im Verfahren zur Durchführung spezifischer Messungen angegeben werden.
1.1. Mit der Anzahl der Beobachtungsergebnisse n>50 Um zu prüfen, ob sie zur Normalverteilung nach NTD gehören, ist eines der Kriterien vorzuziehen: χ 2 Pearson oder ω 2 Mises - Smirnov.
Bei der Verarbeitung der Ergebnisse indirekter Messungen einer physikalischen Größe, die funktional mit den direkt gemessenen physikalischen Größen A, B und C zusammenhängt, bestimmen Sie zunächst den relativen Fehler der indirekten Messung e = DX / X pr anhand der Formeln in der Tabelle angegeben (ohne Nachweis).
Der absolute Fehler wird durch die Formel DX \u003d X pr * e bestimmt,
wobei e als Dezimalzahl ausgedrückt wird, nicht als Prozentsatz.
Das Endergebnis wird wie bei direkten Messungen festgehalten.
| Funktionstyp | Formel |
| X=A+B+C | |
| X=A-B | |
| X=A*B*C | |
| X=A n | |
| X=A/B | |
| X= |
(+ http://fiz.1september.ru/2001/16/no16_01.htm nützlich) Wie man Messungen vornimmt http://www.fizika.ru/fakultat/index.php?theme=01&id=1220
Beispiel: Lassen Sie uns den Fehler bei der Messung des Reibungskoeffizienten mit einem Dynamometer berechnen. Die Erfahrung ist, dass die Stange gleichmäßig entlang einer horizontalen Fläche gezogen wird und die aufgebrachte Kraft gemessen wird: Sie ist gleich der Gleitreibungskraft.
Mit einem Dynamometer wiegen wir eine Stange mit Lasten: 1,8 N. F tr \u003d 0,6 N
μ = 0,33. Der Instrumentenfehler des Dynamometers (aus der Tabelle entnehmen) beträgt Δ und \u003d 0,05 N, Ablesefehler (halbe Skalenteilung)
Δo \u003d 0,05 N. Der absolute Fehler bei der Messung von Gewicht und Reibungskraft beträgt 0,1 N.
Relativer Messfehler (5. Zeile der Tabelle)
Daher beträgt der absolute Fehler der indirekten Messung von μ 0,22 * 0,33 = 0,074
Antworten:
Eine physikalische Größe zu messen bedeutet, sie mit einer anderen homogenen Größe zu vergleichen, die als Maßeinheit genommen wird. Die Messung kann durchgeführt werden mit:
1. Maße, die Muster einer Maßeinheit sind (Meter, Gewicht, Litergefäß usw.),
2. Messgeräte (Amperemeter, Manometer usw.),
3. Messeinrichtungen, worunter eine Gesamtheit von Maßen, Messgeräten und Hilfselementen zu verstehen ist.
Die Messungen sind entweder direkt oder indirekt. Bei direkten Messungen die physikalische Größe wird direkt gemessen. Direkte Messungen sind zum Beispiel die Messung der Länge mit einem Lineal, der Zeit mit einer Stoppuhr, der Stromstärke mit einem Amperemeter.
Bei indirekten Messungen sie messen direkt nicht die Größe, deren Wert bekannt sein muss, sondern andere Größen, mit denen die gesuchte Größe in einer bestimmten mathematischen Abhängigkeit verbunden ist. Beispielsweise wird die Dichte eines Körpers durch Messung seiner Masse und seines Volumens und der Widerstand durch Messung von Strom und Spannung bestimmt.
Aufgrund der Unvollkommenheit von Maßen und Messinstrumenten sowie unserer Sinnesorgane können Messungen nicht genau durchgeführt werden, d.h. Jede Messung liefert nur ein ungefähres Ergebnis. Darüber hinaus ist die Art der Messgröße selbst oft der Grund für die Abweichung von Messergebnissen. Beispielsweise schwankt die von einem Thermometer oder Thermoelement an einer bestimmten Stelle im Ofen gemessene Temperatur aufgrund von Konvektion und Wärmeleitfähigkeit in gewissen Grenzen. Das Maß zur Beurteilung der Genauigkeit des Messergebnisses ist Messfehler (Messfehler).
Zur Beurteilung der Genauigkeit wird entweder der absolute Fehler oder der relative Messfehler angegeben. Absoluter Fehler ausgedrückt in Einheiten der gemessenen Größe. Beispielsweise wird der vom Körper zurückgelegte Wegabschnitt mit einem absoluten Fehler gemessen. Der relative Messfehler ist das Verhältnis des absoluten Fehlers zum Wert der Messgröße. Im gegebenen Beispiel ist der relative Fehler . Je kleiner der Messfehler, desto höher die Genauigkeit.
Messfehler werden nach ihren Entstehungsquellen in systematische, zufällige und grobe (Fehlschläge) unterteilt.
1. Systematische Fehler- Messfehler, deren Wert bei wiederholten Messungen nach der gleichen Methode mit den gleichen Messgeräten konstant bleibt. Die Gründe für systematische Fehler sind:
Fehlfunktionen, Ungenauigkeiten von Messgeräten
Rechtswidrigkeit, Ungenauigkeit der verwendeten Messtechnik
Beispiele für systematische Fehler können die Temperaturmessung mit einem Thermometer mit verschobenem Nullpunkt, die Strommessung mit einem falsch kalibrierten Amperemeter, das Wiegen eines Körpers auf einer Waage mit Gewichten ohne Berücksichtigung der Auftriebskraft von Archimedes sein.
Um systematische Fehler zu eliminieren oder zu reduzieren, ist es notwendig, die Messgeräte sorgfältig zu überprüfen, dieselben Größen mit unterschiedlichen Methoden zu messen und Korrekturen vorzunehmen, wenn die Fehler bekannt sind (Korrekturen für Auftriebskraft, Korrekturen für Thermometeranzeigen).
2. Grobe Fehler (Verfehlungen)- eine deutliche Überschreitung des unter den gegebenen Messbedingungen erwarteten Fehlers. Fehler treten als Ergebnis falscher Aufzeichnung von Instrumentenablesungen, falscher Ablesungen auf dem Instrument, aufgrund von Berechnungsfehlern bei indirekten Messungen auf. Die Quelle der Fehler ist die Unaufmerksamkeit des Experimentators. Der Weg, diese Fehler zu eliminieren, ist die Genauigkeit des Experimentators, der Ausschluss des Umschreibens von Messprotokollen.
3. Zufällige Fehler- Fehler, deren Wert sich bei wiederholten Messungen desselben Werts nach derselben Methode mit denselben Instrumenten zufällig ändert. Quelle zufälliger Fehler ist die unkontrollierte Reproduzierbarkeit der Messbedingungen. Während der Messung können sich beispielsweise Temperatur, Feuchtigkeit, Luftdruck, Spannung im Stromnetz und der Zustand der Sinne des Experimentators unkontrolliert ändern. Zufällige Fehler sind nicht auszuschließen. Bei Mehrfachmessungen gehorchen zufällige Fehler statistischen Gesetzen und ihr Einfluss kann berücksichtigt werden.
