In diesem Artikel zeigen wir, wie Definitionen von Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens von Winkel und Zahl in der Trigonometrie. Hier werden wir über Notation sprechen, Beispiele für Aufzeichnungen geben und grafische Illustrationen geben. Abschließend ziehen wir eine Parallele zwischen den Definitionen von Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens in Trigonometrie und Geometrie.

Seitennavigation.

Definition von Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens

Folgen wir der Bildung der Begriffe Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens im Schulmathematikkurs. Im Geometrieunterricht wird die Definition von Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck gegeben. Und später wird Trigonometrie studiert, die sich auf Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens des Drehwinkels und der Zahl bezieht. Wir geben all diese Definitionen, geben Beispiele und geben die notwendigen Kommentare.

Spitzer Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck

Aus dem Studium der Geometrie sind die Definitionen von Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck bekannt. Sie werden als Verhältnis der Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks angegeben. Wir stellen ihre Formulierungen vor.

Definition.

Sinus eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis des gegenüberliegenden Schenkels zur Hypotenuse.

Definition.

Kosinus eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis des angrenzenden Schenkels zur Hypotenuse.

Definition.

Tangente eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis des gegenüberliegenden Beins zum benachbarten Bein.

Definition.

Kotangens eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis des benachbarten Beins zum gegenüberliegenden Bein.

Dort wird auch die Notation von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens eingeführt - sin, cos, tg bzw. ctg.

Wenn beispielsweise ABC ein rechtwinkliges Dreieck mit einem rechten Winkel C ist, dann ist der Sinus des spitzen Winkels A gleich dem Verhältnis des gegenüberliegenden Schenkels BC zur Hypotenuse AB, d. h. sin∠A=BC/AB.

Mit diesen Definitionen können Sie die Werte von Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens eines spitzen Winkels aus den bekannten Längen der Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks sowie aus den bekannten Werten von Sinus, Kosinus, Tangens, Kotangens und die Länge einer der Seiten, finden Sie die Längen der anderen Seiten. Wenn wir beispielsweise wüssten, dass in einem rechtwinkligen Dreieck der Schenkel AC 3 und die Hypotenuse AB 7 ist, dann könnten wir per Definition den Kosinus des spitzen Winkels A berechnen: cos∠A=AC/AB=3/7 .

Drehwinkel

In der Trigonometrie beginnen sie, den Winkel umfassender zu betrachten - sie führen das Konzept des Rotationswinkels ein. Der Rotationswinkel ist im Gegensatz zu einem spitzen Winkel nicht durch Rahmen von 0 bis 90 Grad begrenzt, der Rotationswinkel in Grad (und im Bogenmaß) kann durch eine beliebige reelle Zahl von −∞ bis +∞ ausgedrückt werden.

Vor diesem Hintergrund sind die Definitionen von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens kein spitzer Winkel mehr, sondern ein Winkel beliebiger Größe – der Rotationswinkel. Sie sind gegeben durch die x- und y-Koordinaten des Punktes A 1 , in den der sogenannte Anfangspunkt A(1, 0) übergeht, nachdem er sich um den Punkt O - den Anfang eines rechtwinkligen kartesischen Koordinatensystems - um den Winkel α gedreht hat und der Mittelpunkt des Einheitskreises.

Definition.

Sinus des Drehwinkelsα ist die Ordinate des Punktes A 1 , dh sinα = y .

Definition.

Kosinus des Drehwinkelsα wird die Abszisse des Punktes A 1 genannt, d. h. cosα = x .

Definition.

Tangens des Drehwinkelsα ist das Verhältnis der Ordinate des Punktes A 1 zu seiner Abszisse, dh tgα = y/x .

Definition.

Der Kotangens des Drehwinkelsα ist das Verhältnis der Abszisse des Punktes A 1 zu seiner Ordinate, dh ctgα = x/y.

Sinus und Cosinus sind für beliebige Winkel α definiert, da wir immer Abszisse und Ordinate des Punktes bestimmen können, den man durch Drehen des Startpunktes um den Winkel α erhält. Und Tangens und Kotangens sind für keinen Winkel definiert. Für solche Winkel α, bei denen der Anfangspunkt auf einen Punkt mit Nullabszisse (0, 1) oder (0, −1) geht, ist die Tangente nicht definiert, und dies geschieht bei den Winkeln 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad). Allerdings ist bei solchen Drehwinkeln der Ausdruck tgα=y/x nicht sinnvoll, da er eine Division durch Null enthält. Der Kotangens ist für solche Winkel α nicht definiert, bei denen der Startpunkt zu einem Punkt mit der Null-Ordinate (1, 0) oder (–1, 0) geht, und dies ist der Fall für die Winkel 180° k , k ∈Z (π k rad).

Also sind Sinus und Cosinus für alle Rotationswinkel definiert, der Tangens ist für alle Winkel außer 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad) definiert und der Kotangens ist für alle Winkel außer 180 ° ·k , k∈Z (π·k rad).

Die uns bereits bekannten Schreibweisen tauchen in den Definitionen sin, cos, tg und ctg auf, sie werden auch zur Bezeichnung von Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens des Drehwinkels verwendet (manchmal findet man auch die Schreibweise tan und cot, die Tangente und entsprechen Kotangens). Der Sinus des Rotationswinkels von 30 Grad lässt sich also als sin30° schreiben, die Aufzeichnungen tg(−24°17′) und ctgα entsprechen dem Tangens des Rotationswinkels −24 Grad 17 Minuten und dem Kotangens des Rotationswinkels α . Denken Sie daran, dass beim Schreiben des Bogenmaßes eines Winkels die Notation "rad" oft weggelassen wird. Beispielsweise wird der Kosinus eines Rotationswinkels von drei Pi rad üblicherweise als cos3 π bezeichnet.

Zum Abschluss dieses Absatzes ist anzumerken, dass bei der Rede von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens des Rotationswinkels der Ausdruck „Rotationswinkel“ oder das Wort „Rotation“ oft weggelassen wird. Das heißt, anstelle des Ausdrucks "Sinus des Drehwinkels Alpha" wird normalerweise der Ausdruck "Sinus des Winkels Alpha" oder noch kürzer - "Sinus von Alpha" verwendet. Dasselbe gilt für Kosinus, Tangens und Kotangens.

Nehmen wir auch an, dass die Definitionen von Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck mit den gerade gegebenen Definitionen für Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens eines Rotationswinkels im Bereich von 0 bis 90 übereinstimmen Grad. Wir werden dies belegen.

Zahlen

Definition.

Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens einer Zahl t ist eine Zahl, die dem Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens des Rotationswinkels in t Bogenmaß entspricht.

Beispielsweise ist der Kosinus von 8 π per Definition eine Zahl gleich dem Kosinus eines Winkels von 8 π rad. Und der Kosinus des Winkels in 8 π rad ist gleich eins, also ist der Kosinus der Zahl 8 π gleich 1.

Es gibt einen anderen Ansatz zur Definition von Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens einer Zahl. Sie besteht darin, dass jeder reellen Zahl t ein Punkt des Einheitskreises mit Mittelpunkt im Ursprung des rechtwinkligen Koordinatensystems zugeordnet wird und durch die Koordinaten dieses Punktes Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens bestimmt werden. Lassen Sie uns näher darauf eingehen.

Lassen Sie uns zeigen, wie die Entsprechung zwischen reellen Zahlen und Punkten des Kreises hergestellt wird:

• der Zahl 0 wird der Startpunkt A(1, 0) zugeordnet;
• eine positive Zahl t ist einem Punkt auf dem Einheitskreis zugeordnet, den wir erreichen, wenn wir uns vom Startpunkt aus gegen den Uhrzeigersinn um den Kreis bewegen und einen Weg der Länge t durchlaufen;
• Eine negative Zahl t ist einem Punkt auf dem Einheitskreis zugeordnet, den wir erreichen, wenn wir den Kreis vom Startpunkt im Uhrzeigersinn umrunden und einen Weg der Länge |t| durchlaufen .

Kommen wir nun zu den Definitionen von Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens der Zahl t. Nehmen wir an, dass die Zahl t einem Punkt des Kreises A 1 (x, y) entspricht (zum Beispiel entspricht die Zahl &pi/2; dem Punkt A 1 (0, 1) ).

Definition.

Der Sinus einer Zahl t ist die Ordinate des Einheitskreispunktes, der der Zahl t entspricht, d. h. sint=y .

Definition.

Der Kosinus einer Zahl t wird die Abszisse des Punktes des Einheitskreises genannt, der der Zahl t entspricht, d. h. cost=x .

Definition.

Tangens einer Zahl t ist das Verhältnis der Ordinate zur Abszisse des Punktes des Einheitskreises, der der Zahl t entspricht, dh tgt = y/x. In einer anderen äquivalenten Formulierung ist der Tangens der Zahl t das Verhältnis des Sinus dieser Zahl zum Kosinus, d. h. tgt = sint/cost .

Definition.

Kotangens einer Zahl t ist das Verhältnis der Abszisse zur Ordinate des Punktes des Einheitskreises, der der Zahl t entspricht, dh ctgt = x/y. Eine andere Formulierung lautet wie folgt: Der Tangens der Zahl t ist das Verhältnis des Kosinus der Zahl t zum Sinus der Zahl t : ctgt=cost/sint .

Hier stellen wir fest, dass die gerade gegebenen Definitionen mit der am Anfang dieses Unterabschnitts gegebenen Definition übereinstimmen. Tatsächlich fällt der Punkt des Einheitskreises, der der Zahl t entspricht, mit dem Punkt zusammen, den man erhält, wenn man den Startpunkt um einen Winkel von t im Bogenmaß dreht.

Es lohnt sich auch, diesen Punkt zu klären. Nehmen wir an, wir haben einen sin3-Eintrag. Wie kann man verstehen, ob es sich um den Sinus der Zahl 3 oder den Sinus des Drehwinkels von 3 Radiant handelt? Das geht meist aus dem Kontext hervor, sonst ist es wahrscheinlich egal.

Trigonometrische Funktionen des Winkel- und Zahlenarguments

Gemäß den im vorherigen Absatz gegebenen Definitionen entspricht jeder Rotationswinkel α einem wohldefinierten Wert von sinα sowie dem Wert von cosα. Außerdem entsprechen alle Drehwinkel außer 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad) den Werten tgα , und außer 180° k , k∈Z (π k rad ) sind die Werte von ctgα . Daher sind sinα, cosα, tgα und ctgα Funktionen des Winkels α. Mit anderen Worten, dies sind Funktionen des Winkelarguments.

Ebenso können wir über die Funktionen Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens eines numerischen Arguments sprechen. Tatsächlich entspricht jede reelle Zahl t einem wohldefinierten Wert von sint sowie cost . Außerdem entsprechen alle Zahlen außer π/2+π·k , k∈Z den Werten tgt , und die Zahlen π·k , k∈Z entsprechen den Werten ctgt .

Die Funktionen Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens werden aufgerufen grundlegende trigonometrische Funktionen.

Aus dem Kontext geht meist hervor, dass es sich um trigonometrische Funktionen eines Winkelarguments oder eines Zahlenarguments handelt. Andernfalls können wir die unabhängige Variable sowohl als Maß für den Winkel (das Winkelargument) als auch als numerisches Argument betrachten.

Die Schule untersucht jedoch hauptsächlich numerische Funktionen, dh Funktionen, deren Argumente sowie die entsprechenden Funktionswerte Zahlen sind. Wenn wir also über Funktionen sprechen, ist es ratsam, trigonometrische Funktionen als Funktionen numerischer Argumente zu betrachten.

Verbindung von Definitionen aus Geometrie und Trigonometrie

Wenn wir den Rotationswinkel α von 0 bis 90 Grad betrachten, stimmen die Daten im Zusammenhang mit der Trigonometrie der Definition von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens des Rotationswinkels vollständig mit den Definitionen von Sinus, Cosinus überein , Tangens und Kotangens eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck, die im Geometriekurs gegeben werden. Lassen Sie uns das begründen.

Zeichnen Sie einen Einheitskreis im rechtwinkligen kartesischen Koordinatensystem Oxy. Beachten Sie den Startpunkt A(1, 0) . Drehen wir es um einen Winkel α im Bereich von 0 bis 90 Grad, erhalten wir den Punkt A 1 (x, y) . Lassen Sie uns die Senkrechte A 1 H vom Punkt A 1 auf die Ox-Achse fallen lassen.

Es ist leicht zu sehen, dass in einem rechtwinkligen Dreieck der Winkel A 1 OH gleich dem Drehwinkel α ist, die Länge des an diesen Winkel angrenzenden Schenkels OH gleich der Abszisse des Punktes A 1 ist, also |OH |=x, die Länge des Schenkels A 1 H gegenüber dem Winkel ist gleich der Ordinate des Punktes A 1 , das heißt |A 1 H| = y , und die Länge der Hypotenuse OA 1 ist gleich eins , da es der Radius des Einheitskreises ist. Dann ist nach geometrischer Definition der Sinus eines spitzen Winkels α in einem rechtwinkligen Dreieck A 1 OH gleich dem Verhältnis des gegenüberliegenden Schenkels zur Hypotenuse, also sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y . Und per Definition aus der Trigonometrie ist der Sinus des Drehwinkels α gleich der Ordinate des Punktes A 1, dh sinα = y. Dies zeigt, dass die Definition des Sinus eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck der Definition des Sinus des Drehwinkels α für α von 0 bis 90 Grad entspricht.

Ebenso kann gezeigt werden, dass die Definitionen von Kosinus, Tangens und Kotangens eines spitzen Winkels α mit den Definitionen von Kosinus, Tangens und Kotangens des Rotationswinkels α übereinstimmen.

Referenzliste.

1. Geometrie. 7-9 Klassen: Studien. für Allgemeinbildung Institutionen / [L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev und andere]. - 20. Aufl. M.: Bildung, 2010. - 384 S.: mit Abb. - ISBN 978-5-09-023915-8.
2. Pogorelow A.V. Geometrie: Proc. für 7-9 Zellen. Allgemeinbildung Institutionen / A. V. Pogorelov. - 2. Aufl. - M.: Enlightenment, 2001. - 224 S.: Abb. - ISBN 5-09-010803-X.
3. Algebra und elementare Funktionen: Lehrbuch für Schüler der 9. Klasse der Sekundarschule / E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; Herausgegeben von Doktor der Physikalischen und Mathematischen Wissenschaften O. N. Golovin – 4. Aufl. Moskau: Bildung, 1969.
4. Algebra: Proz. für 9 Zellen. durchschn. Schule / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M.: Enlightenment, 1990.- 272 S.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
5. Algebra und Beginn der Analyse: Proc. für 10-11 Zellen. Allgemeinbildung Institutionen / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn und andere; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14. Aufl.- M.: Enlightenment, 2004.- 384 S.: Abb.- ISBN 5-09-013651-3.
6. Mordkowitsch A. G. Algebra und die Anfänge der Analysis. 10. Klasse. Um 14 Uhr Teil 1: Ein Lehrbuch für Bildungseinrichtungen (Profilebene) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 4. Aufl., erg. - M.: Mnemosyne, 2007. - 424 S.: mit Abb. ISBN 978-5-346-00792-0.
7. Algebra und der Beginn der mathematischen Analyse. Klasse 10: Lehrbuch. für Allgemeinbildung Institutionen: Basis und Profil. Ebenen /[Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; ed. A. B. Zhizhchenko. - 3. Aufl. - I.: Bildung, 2010. - 368 S.: Abb. - ISBN 978-5-09-022771-1.
8. Bashmakov M.I. Algebra und Beginn der Analysis: Proc. für 10-11 Zellen. durchschn. Schule - 3. Aufl. - M.: Aufklärung, 1993. - 351 S.: Abb. - ISBN 5-09-004617-4.
9. Gusev V. A., Mordkovich A. G. Mathematik (ein Handbuch für Bewerber an technischen Schulen): Proc. Zulage.- M.; Höher Schule, 1984.-351 S., mit Abb.

Trigonometrische Identitäten sind Gleichungen, die eine Beziehung zwischen Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens eines Winkels herstellen, wodurch Sie jede dieser Funktionen finden können, vorausgesetzt, dass eine andere bekannt ist.

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1

Diese Identität besagt, dass die Summe des Quadrats des Sinus eines Winkels und des Quadrats des Kosinus eines Winkels gleich eins ist, was es in der Praxis ermöglicht, den Sinus eines Winkels zu berechnen, wenn sein Kosinus bekannt ist, und umgekehrt .

Bei der Konvertierung trigonometrischer Ausdrücke wird diese Identität sehr häufig verwendet, wodurch Sie die Summe der Quadrate des Kosinus und des Sinus eines Winkels durch eins ersetzen und die Ersetzungsoperation auch in umgekehrter Reihenfolge durchführen können.

Tangens und Kotangens durch Sinus und Cosinus ermitteln

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace

Diese Identitäten werden aus den Definitionen von Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens gebildet. Schließlich ist die Ordinate von y per Definition der Sinus und die Abszisse von x der Kosinus. Dann ist die Tangente gleich dem Verhältnis \frac(y)(x)=\frac(\sin\alpha)(\cos\alpha), und das Verhältnis \frac(x)(y)=\frac(\cos\alpha)(\sin\alpha)- wird ein Kotangens sein.

Wir fügen hinzu, dass nur für solche Winkel \alpha, für die die darin enthaltenen trigonometrischen Funktionen Sinn machen, die Identitäten stattfinden werden, ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).

Zum Beispiel: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha) gilt für \alpha-Winkel, die von verschieden sind \frac(\pi)(2)+\pi z, a ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- für einen anderen Winkel \alpha als \pi z ist z eine ganze Zahl.

Zusammenhang zwischen Tangens und Kotangens

tg \alpha \cdot ctg \alpha=1

Diese Identität gilt nur für Winkel \alpha, die von verschieden sind \frac(\pi)(2) z. Andernfalls wird entweder Kotangens oder Tangens nicht bestimmt.

Basierend auf den obigen Punkten erhalten wir das tg \alpha = \frac(y)(x), a ctg\alpha=\frac(x)(y). Daraus folgt das tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Somit sind Tangens und Kotangens eines Winkels, in dem sie sinnvoll sind, gegenseitig reziproke Zahlen.

Beziehungen zwischen Tangens und Kosinus, Kotangens und Sinus

tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)— Die Summe des Quadrats der Tangente des Winkels \alpha und 1 ist gleich dem inversen Quadrat des Kosinus dieses Winkels. Diese Identität gilt für alle \alpha außer \frac(\pi)(2)+ \pi z.

1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- Die Summe aus 1 und dem Quadrat des Kotangens des Winkels \alpha ist gleich dem inversen Quadrat des Sinus des gegebenen Winkels. Diese Identität gilt für jedes andere \alpha als \pi z .

Beispiele mit Lösungen zu Problemen mit trigonometrischen Identitäten

Beispiel 1

Finde \sin \alpha und tg \alpha wenn \cos \alpha=-\frac12 und \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;

Lösung anzeigen

Lösung

Die Funktionen \sin \alpha und \cos \alpha sind durch die Formel verknüpft \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. Einsetzen in diese Formel \cos \alpha = -\frac12, wir bekommen:

\sin^(2)\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1

Diese Gleichung hat 2 Lösungen:

\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)

Nach Zustand \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . Im zweiten Viertel ist der Sinus also positiv \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).

Um tg \alpha zu finden, verwenden wir die Formel tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3

Beispiel 2

Finde \cos \alpha und ctg \alpha wenn und \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .

Lösung anzeigen

Lösung

Einsetzen in die Formel \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1 bedingte Zahl \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), wir bekommen \left (\frac(\sqrt3)(2)\right)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. Diese Gleichung hat zwei Lösungen \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.

Nach Zustand \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . Im zweiten Viertel ist der Kosinus also negativ \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.

Um ctg \alpha zu finden, verwenden wir die Formel ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Wir kennen die entsprechenden Werte.

ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).

Ursprünglich entstanden Sinus und Cosinus aus der Notwendigkeit, Größen in rechtwinkligen Dreiecken zu berechnen. Es wurde festgestellt, dass, wenn der Wert des Gradmaßes der Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck nicht geändert wird, das Seitenverhältnis, egal wie sehr sich diese Seiten in der Länge ändern, immer gleich bleibt.

So wurden die Begriffe Sinus und Cosinus eingeführt. Der Sinus eines spitzen Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck ist das Verhältnis des gegenüberliegenden Schenkels zur Hypotenuse, und der Kosinus ist das Verhältnis des benachbarten Schenkels zur Hypotenuse.

Sätze von Kosinus und Sinus

Kosinus und Sinus können aber nicht nur in rechtwinkligen Dreiecken verwendet werden. Um den Wert eines stumpfen oder spitzen Winkels, der Seite eines beliebigen Dreiecks, zu finden, reicht es aus, den Kosinus- und Sinussatz anzuwenden.

Der Kosinussatz ist ganz einfach: "Das Quadrat einer Seite eines Dreiecks ist gleich der Summe der Quadrate der beiden anderen Seiten minus dem Doppelten des Produkts dieser Seiten mit dem Kosinus des Winkels zwischen ihnen."

Es gibt zwei Interpretationen des Sinussatzes: klein und erweitert. Laut dem kleinen: "In einem Dreieck sind die Winkel proportional zu den gegenüberliegenden Seiten." Dieser Satz wird oft aufgrund der Eigenschaft des Umkreises eines Dreiecks erweitert: "In einem Dreieck sind die Winkel proportional zu gegenüberliegenden Seiten, und ihr Verhältnis ist gleich dem Durchmesser des umschriebenen Kreises."

Derivate

Eine Ableitung ist ein mathematisches Werkzeug, das zeigt, wie schnell sich eine Funktion in Bezug auf eine Änderung ihres Arguments ändert. Ableitungen werden in der Geometrie und in einer Reihe von technischen Disziplinen verwendet.

Beim Lösen von Problemen müssen Sie die Tabellenwerte der Ableitungen trigonometrischer Funktionen kennen: Sinus und Cosinus. Die Ableitung des Sinus ist der Kosinus, und die Ableitung des Kosinus ist der Sinus, jedoch mit Minuszeichen.

Anwendung in der Mathematik

Besonders häufig werden Sinus und Cosinus verwendet, um rechtwinklige Dreiecke und damit verbundene Probleme zu lösen.

Die Bequemlichkeit von Sinus und Cosinus spiegelt sich auch in der Technik wider. Winkel und Seiten ließen sich leicht mit den Kosinus- und Sinussätzen auswerten, wobei komplexe Formen und Objekte in „einfache“ Dreiecke zerlegt wurden. Ingenieure, die sich oft mit Berechnungen von Seitenverhältnissen und Gradmaßen befassen, verbrachten viel Zeit und Mühe damit, Kosinus und Sinus von Nicht-Tabellenwinkeln zu berechnen.

Dann kamen Bradis-Tabellen zur Rettung, die Tausende von Werten von Sinus, Kosinus, Tangens und Kotangens verschiedener Winkel enthielten. In der Sowjetzeit zwangen einige Lehrer ihre Mündel, die Seiten der Bradis-Tabellen auswendig zu lernen.

Bogenmaß - der Winkelwert des Bogens entlang der Länge gleich dem Radius oder 57,295779513 ° Grad.

Grad (in der Geometrie) - 1/360 eines Kreises oder 1/90 eines rechten Winkels.

π = 3,141592653589793238462… (ungefährer Wert von pi).

Kosinustabelle für Winkel: 0°, 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°, 360°.

Winkel x (in Grad)	0°	30°	45°	60°	90°	120°	135°	150°	180°	210°	225°	240°	270°	300°	315°	330°	360°
Winkel x (im Bogenmaß)	0	π/6	π/4	π/3	π/2	2 x π/3	3xπ/4	5xπ/6	π	7xπ/6	5xπ/4	4xπ/3	3xπ/2	5xπ/3	7xπ/4	11xπ/6	2xπ
cos x	1	√3/2 (0,8660)	√2/2 (0,7071)	1/2 (0,5)	0	-1/2 (-0,5)	-√2/2 (-0,7071)	-√3/2 (-0,8660)	-1	-√3/2 (-0,8660)	-√2/2 (-0,7071)	-1/2 (-0,5)	0	1/2 (0,5)	√2/2 (0,7071)	√3/2 (0,8660)	1

- sicherlich wird es Aufgaben in der Trigonometrie geben. Die Trigonometrie ist oft unbeliebt, weil sie eine große Anzahl schwieriger Formeln vollstopfen muss, die von Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens wimmeln. Die Seite hat schon einmal am Beispiel der Euler- und der Peel-Formel Tipps gegeben, wie man sich eine vergessene Formel merken kann.

Und in diesem Artikel werden wir versuchen zu zeigen, dass es ausreicht, nur fünf einfache trigonometrische Formeln genau zu kennen und eine allgemeine Vorstellung über den Rest zu haben und sie auf dem Weg abzuleiten. Es ist wie mit der DNA: Im Molekül sind nicht die kompletten Zeichnungen eines fertigen Lebewesens gespeichert. Es enthält vielmehr Anweisungen zum Zusammenbau aus den verfügbaren Aminosäuren. In der Trigonometrie werden wir also, wenn wir einige allgemeine Prinzipien kennen, alle notwendigen Formeln aus einer kleinen Gruppe von Formeln erhalten, die im Auge behalten werden müssen.

Wir verlassen uns auf die folgenden Formeln:

Aus den Formeln für den Sinus und Cosinus der Summen erhalten wir, da wir wissen, dass die Cosinusfunktion gerade und die Sinusfunktion ungerade ist, indem wir -b für b ersetzen, Formeln für die Differenzen:

1. Sinus des Unterschieds: Sünde(ab) = Sündeacos(-b)+cosaSünde(-b) = Sündeacosb-cosaSündeb
2. Kosinus-Differenz: cos(ab) = cosacos(-b)-SündeaSünde(-b) = cosacosb+SündeaSündeb

Wenn wir a \u003d b in dieselben Formeln einsetzen, erhalten wir die Formeln für den Sinus und Kosinus von Doppelwinkeln:

1. Sinus eines Doppelwinkels: Sünde2a = Sünde(a+a) = Sündeacosa+cosaSündea = 2Sündeacosa
2. Kosinus eines Doppelwinkels: cos2a = cos(a+a) = cosacosa-SündeaSündea = cos2a-Sünde2a

Die Formeln für andere Mehrfachwinkel erhält man ähnlich:

1. Sinus eines dreifachen Winkels: Sünde3a = Sünde(2a+a) = Sünde2acosa+cos2aSündea = (2Sündeacosa)cosa+(cos2a-Sünde2a)Sündea = 2Sündeacos2a+Sündeacos2a-Sünde 3 a = 3 Sündeacos2a-Sünde 3 a = 3 Sündea(1-Sünde2a)-Sünde 3 a = 3 Sündea-4Sünde 3a
2. Kosinus eines dreifachen Winkels: cos3a = cos(2a+a) = cos2acosa-Sünde2aSündea = (cos2a-Sünde2a)cosa-(2Sündeacosa)Sündea = cos 3a- Sünde2acosa-2Sünde2acosa = cos 3a-3 Sünde2acosa = cos 3 a-3(1- cos2a)cosa = 4cos 3a-3 cosa

Bevor wir fortfahren, betrachten wir ein Problem.
Gegeben: Der Winkel ist spitz.
Finden Sie seinen Kosinus, wenn
Lösung eines Schülers:
Da , dann Sündea= 3,a cosa = 4.
(Aus mathematischem Humor)

Die Definition von Tangens verbindet diese Funktion also sowohl mit Sinus als auch mit Cosinus. Aber Sie können eine Formel erhalten, die die Verbindung der Tangente nur mit dem Kosinus angibt. Um sie abzuleiten, nehmen wir die grundlegende trigonometrische Identität: Sünde 2 a+cos 2 a= 1 und teile es durch cos 2 a. Wir bekommen:

Die Lösung für dieses Problem wäre also:

(Da der Winkel spitz ist, wird beim Wurzelziehen das +-Zeichen genommen)

Die Formel für den Tangens der Summe ist ebenfalls schwer zu merken. Lassen Sie es uns so ausgeben:

sofort ausgegeben und

Aus der Cosinus-Formel für einen Doppelwinkel erhältst du die Sinus- und Cosinus-Formel für einen Halbwinkel. Dazu auf der linken Seite der Doppelwinkel-Cosinus-Formel:
cos2 a = cos 2 a-Sünde 2 a
Wir fügen eine Einheit hinzu und rechts eine trigonometrische Einheit, d.h. Summe der Quadrate von Sinus und Cosinus.
cos2a+1 = cos2a-Sünde2a+cos2a+Sünde2a
2cos 2 a = cos2 a+1
ausdrücken cosa durch cos2 a und durch eine Variablenänderung erhalten wir:

Das Vorzeichen wird abhängig vom Quadranten genommen.

In ähnlicher Weise subtrahieren wir eins von der linken Seite der Gleichheit und die Summe der Quadrate von Sinus und Cosinus von der rechten Seite und erhalten:
cos2a-1 = cos2a-Sünde2a-cos2a-Sünde2a
2Sünde 2 a = 1-cos2 a

Um schließlich die Summe trigonometrischer Funktionen in ein Produkt umzuwandeln, wenden wir den folgenden Trick an. Angenommen, wir müssen die Sinussumme als Produkt darstellen Sündea+Sündeb. Lassen Sie uns die Variablen x und y so einführen, dass a = x+y, b+x-y. Dann
Sündea+Sündeb = Sünde(x+y)+ Sünde(x-y) = Sünde x cos j+ cos x Sünde j+ Sünde x cos y- cos x Sünde y=2 Sünde x cos j. Lassen Sie uns nun x und y durch a und b ausdrücken.

Da a = x+y, b = x-y, dann . Deshalb

Sie können sofort zurücktreten

1. Partitionsformel Produkte von Sinus und Cosinus in Menge: Sündeacosb = 0.5(Sünde(a+b)+Sünde(a-b))

Wir empfehlen das Üben und Herleiten von Formeln zur Umrechnung des Produkts aus Sinusdifferenz und Summe und Differenz von Cosinus in ein Produkt sowie zur Aufspaltung der Produkte von Sinus und Cosinus in eine Summe. Nach diesen Übungen beherrschen Sie das Herleiten trigonometrischer Formeln gründlich und verlieren sich auch bei der schwierigsten Kontrolle, Olympiade oder Prüfung nicht.

Ich werde Sie nicht davon überzeugen, keine Spickzettel zu schreiben. Schreiben! Einschließlich Spickzettel zur Trigonometrie. Später werde ich erklären, warum Spickzettel benötigt werden und wie Spickzettel nützlich sind. Und hier - Informationen darüber, wie man nicht lernt, sondern sich an einige trigonometrische Formeln erinnert. Also - Trigonometrie ohne Spickzettel!Wir verwenden Assoziationen zum Auswendiglernen.

1. Additionsformeln:

Cosinus "geht immer paarweise": Cosinus-Cosinus, Sinus-Sinus. Und noch etwas: Kosinusse sind „unzureichend“. Sie „alles ist falsch“, also ändern sie die Vorzeichen: „-“ zu „+“ und umgekehrt.

Nebenhöhlen - "mischen": Sinus-Kosinus, Kosinus-Sinus.

2. Summen- und Differenzformeln:

Kosinusse "gehen immer paarweise". Nachdem wir zwei Kosinusse hinzugefügt haben - "Brötchen", erhalten wir ein Paar Kosinusse - "Koloboks". Und wenn wir davon abziehen, werden wir definitiv keine Koloboks bekommen. Wir bekommen ein paar Sinus. Immer noch mit einem Minus voraus.

Nebenhöhlen - "mischen" :

3. Formeln zur Umrechnung eines Produkts in eine Summe und eine Differenz.

Wann bekommen wir ein Kosinuspaar? Beim Addieren der Kosinus. Deshalb

Wann bekommen wir ein Paar Sinus? Beim Subtrahieren von Kosinus. Von hier:

"Mischen" wird sowohl durch Addieren als auch Subtrahieren von Sinus erhalten. Was macht mehr Spaß: Addieren oder Subtrahieren? Richtig, folden. Und für die Formel nimm zusätzlich:

In der ersten und dritten Formel in Klammern - der Betrag. Durch die Umordnung der Stellen der Terme ändert sich die Summe nicht. Die Reihenfolge ist nur für die zweite Formel wichtig. Aber um nicht verwirrt zu werden, nehmen wir zur besseren Erinnerung in allen drei Formeln in den ersten Klammern die Differenz

und zweitens die Summe

Krippenblätter in der Tasche geben Sicherheit: Wenn Sie die Formel vergessen, können Sie sie abschreiben. Und sie geben Vertrauen: Wenn Sie den Spickzettel nicht verwenden, können Sie sich die Formeln leicht merken.