3.1. Gleichmäßige Bewegung in einer geraden Linie.

3.1.1. Gleichmäßige Bewegung in einer geraden Linie- Bewegung in einer geraden Linie mit konstantem Modul und Beschleunigungsrichtung:

3.1.2. Beschleunigung()- eine physikalische Vektorgröße, die angibt, wie stark sich die Geschwindigkeit in 1 s ändert.

In Vektorform:

wobei die Anfangsgeschwindigkeit des Körpers ist, ist die Geschwindigkeit des Körpers zum Zeitpunkt der Zeit t.

In der Projektion auf die Achse Ochse:

wo ist die Projektion der Anfangsgeschwindigkeit auf die Achse Ochse, - Projektion der Körpergeschwindigkeit auf die Achse Ochse damals t.

Die Vorzeichen der Projektionen hängen von der Richtung der Vektoren und der Achse ab Ochse.

3.1.3. Graph der Projektion der Beschleunigung gegen die Zeit.

Bei gleichförmig veränderlicher Bewegung ist die Beschleunigung konstant, daher handelt es sich um Geraden parallel zur Zeitachse (siehe Abb.):

3.1.4. Geschwindigkeit in gleichförmiger Bewegung.

In Vektorform:

In der Projektion auf die Achse Ochse:

Für gleichmäßig beschleunigte Bewegung:

Für Zeitlupe:

3.1.5. Diagramm der Geschwindigkeitsprojektion gegen die Zeit.

Der Graph der Projektion der Geschwindigkeit gegen die Zeit ist eine gerade Linie.

Bewegungsrichtung: Wenn der Graph (oder ein Teil davon) über der Zeitachse liegt, bewegt sich der Körper in die positive Richtung der Achse Ochse.

Beschleunigungswert: Je größer der Tangens des Neigungswinkels (je steiler es nach oben oder unten geht), desto größer ist das Beschleunigungsmodul; wo ist die geschwindigkeitsänderung über die zeit

Schnittpunkt mit der Zeitachse: Wenn der Graph die Zeitachse schneidet, wurde der Körper vor dem Schnittpunkt langsamer (gleich langsame Bewegung) und nach dem Schnittpunkt begann er in die entgegengesetzte Richtung zu beschleunigen (gleich beschleunigte Bewegung).

3.1.6. Die geometrische Bedeutung der Fläche unter dem Diagramm in den Achsen

Bereich unter dem Diagramm, wenn auf der Achse Ey Geschwindigkeit verzögert wird, und auf der Achse Ochse Die Zeit ist der Weg, den der Körper zurücklegt.

Auf Abb. 3.5 ist der Fall der gleichförmig beschleunigten Bewegung gezeichnet. Der Pfad ist in diesem Fall gleich der Fläche des Trapezes: (3.9)

3.1.7. Formeln zur Berechnung des Pfades

Gleichmäßig beschleunigte Bewegung	Gleichmäßig Zeitlupe
(3.10)	(3.12)
(3.11)	(3.13)
(3.14)

Alle in der Tabelle aufgeführten Formeln funktionieren nur unter Beibehaltung der Bewegungsrichtung, dh bis zum Schnittpunkt der Geraden mit der Zeitachse im Diagramm der Abhängigkeit der Geschwindigkeitsprojektion von der Zeit.

Wenn der Schnittpunkt aufgetreten ist, lässt sich die Bewegung leichter in zwei Phasen aufteilen:

vor dem Überqueren (Bremsen):

Nach Überquerung (Beschleunigung, Bewegung in Gegenrichtung)

In den obigen Formeln - die Zeit vom Beginn der Bewegung bis zum Schnittpunkt mit der Zeitachse (time to stop), - der Weg, den der Körper vom Beginn der Bewegung bis zum Schnittpunkt mit der Zeitachse zurückgelegt hat, - die Zeit, die vom Zeitpunkt des Überquerens der Zeitachse bis zum gegenwärtigen Zeitpunkt verstrichen ist t, - der Weg, den der Körper in der Zeit zurückgelegt hat, die vom Moment des Überquerens der Zeitachse bis zum gegenwärtigen Moment verstrichen ist t, - das Modul des Verschiebungsvektors für die gesamte Bewegungszeit, L- der Weg, den der Körper während der gesamten Bewegung zurücklegt.

3.1.8. Bewegen Sie sich in der -ten Sekunde.

Mit der Zeit wird der Körper den Weg gehen:

Mit der Zeit wird der Körper den Weg gehen:

Dann, im i-ten Intervall, wird der Körper den Weg zurücklegen:

Das Intervall kann beliebig lang sein. Meistens mit

Dann durchläuft der Körper in 1 Sekunde den Weg:

Für die 2. Sekunde:

Für die 3. Sekunde:

Wenn wir genau hinsehen, werden wir das sehen usw.

Damit kommen wir auf die Formel:

In Worten: Die vom Körper in aufeinanderfolgenden Zeitabschnitten zurückgelegten Wege korrelieren als eine Reihe ungerader Zahlen miteinander, und dies hängt nicht von der Beschleunigung ab, mit der sich der Körper bewegt. Wir betonen, dass diese Beziehung gilt für

3.1.9. Körperkoordinatengleichung für gleichförmig veränderliche Bewegung

Koordinatengleichung

Die Vorzeichen der Projektionen der Anfangsgeschwindigkeit und -beschleunigung hängen von der relativen Position der entsprechenden Vektoren und der Achse ab Ochse.

Um Probleme zu lösen, muss der Gleichung die Gleichung zum Ändern der Geschwindigkeitsprojektion auf der Achse hinzugefügt werden:

3.2. Diagramme kinematischer Größen für geradlinige Bewegung

3.3. Körper im freien Fall

Freier Fall bedeutet folgendes physikalisches Modell:

1) Der Sturz erfolgt unter dem Einfluss der Schwerkraft:

2) Es gibt keinen Luftwiderstand (bei Aufgaben steht manchmal „Luftwiderstand vernachlässigen“);

3) Alle Körper, unabhängig von ihrer Masse, fallen mit der gleichen Beschleunigung (manchmal wird hinzugefügt - „unabhängig von der Form des Körpers“, aber wir betrachten die Bewegung nur eines materiellen Punktes, sodass die Form des Körpers nicht mehr übernommen wird berücksichtigen);

4) Die Beschleunigung des freien Falls ist streng nach unten gerichtet und auf der Erdoberfläche gleich (bei Problemen nehmen wir sie oft zur Vereinfachung der Berechnungen);

3.3.1. Bewegungsgleichungen in der Projektion auf die Achse Ey

Im Gegensatz zur Bewegung entlang einer horizontalen geraden Linie ist es im freien Fall am besten, wenn weit entfernt von allen Aufgaben die Bewegungsrichtung ändert, die in Projektionen auf die Achse geschriebenen Gleichungen sofort zu verwenden Ey.

Körperkoordinatengleichung:

Geschwindigkeitsprojektionsgleichung:

In der Regel ist es bei Problemen zweckmäßig, die Achse zu wählen Ey auf die folgende Weise:

Achse Ey senkrecht nach oben gerichtet;

Der Koordinatenursprung fällt mit dem Erdniveau oder dem tiefsten Punkt der Flugbahn zusammen.

Mit dieser Wahl werden die Gleichungen und in die folgende Form umgeschrieben:

3.4. Bewegung in einer Ebene Oxy.

Wir haben die Bewegung eines Körpers mit Beschleunigung entlang einer Geraden betrachtet. Die gleichförmige Bewegung ist jedoch nicht darauf beschränkt. Zum Beispiel ein Körper, der schräg zum Horizont geworfen wird. Bei solchen Aufgaben muss die Bewegung entlang zweier Achsen gleichzeitig berücksichtigt werden:

Oder in Vektorform:

Und die Geschwindigkeitsprojektion auf beiden Achsen ändern:

3.5. Anwendung des Konzepts von Ableitung und Integral

Wir werden hier keine detaillierte Definition der Ableitung und des Integrals geben. Um Probleme zu lösen, benötigen wir nur einen kleinen Satz von Formeln.

Derivat:

wo EIN, B und das sind die Konstanten.

Integral:

Sehen wir uns nun an, wie das Konzept der Ableitung und des Integrals auf physikalische Größen anwendbar ist. In der Mathematik wird die Ableitung mit "" bezeichnet, in der Physik wird die zeitliche Ableitung mit "∙" über einer Funktion bezeichnet.

Geschwindigkeit:

das heißt, die Geschwindigkeit ist eine Ableitung des Radiusvektors.

Für Geschwindigkeitsprojektion:

Beschleunigung:

Das heißt, die Beschleunigung ist eine Ableitung der Geschwindigkeit.

Für Beschleunigungsprojektion:

Wenn also das Bewegungsgesetz bekannt ist, können wir sowohl die Geschwindigkeit als auch die Beschleunigung des Körpers leicht finden.

Wir verwenden nun den Begriff des Integrals.

Geschwindigkeit:

Das heißt, die Geschwindigkeit kann als Zeitintegral der Beschleunigung gefunden werden.

Radiusvektor:

das heißt, der Radiusvektor kann gefunden werden, indem das Integral der Geschwindigkeitsfunktion genommen wird.

Wenn also die Funktion bekannt ist, können wir sowohl die Geschwindigkeit als auch das Bewegungsgesetz des Körpers leicht finden.

Die Konstanten in den Formeln werden aus den Anfangsbedingungen bestimmt - dem Wert und dem Zeitpunkt

3.6. Geschwindigkeitsdreieck und Verschiebungsdreieck

3.6.1. Geschwindigkeitsdreieck

In Vektorform hat das Gesetz der Geschwindigkeitsänderung bei konstanter Beschleunigung die Form (3.5):

Diese Formel bedeutet, dass der Vektor gleich der Vektorsumme von Vektoren ist und die Vektorsumme immer in der Abbildung dargestellt werden kann (siehe Abbildung).

In jeder Aufgabe hat das Geschwindigkeitsdreieck je nach den Bedingungen seine eigene Form. Eine solche Darstellung ermöglicht es, bei der Lösung geometrische Überlegungen heranzuziehen, was die Lösung des Problems oft vereinfacht.

3.6.2. Bewegungsdreieck

In Vektorform hat das Bewegungsgesetz bei konstanter Beschleunigung die Form:

Bei der Lösung des Problems können Sie das Referenzsystem auf die bequemste Weise auswählen. Daher können wir, ohne die Allgemeingültigkeit zu verlieren, das Referenzsystem so wählen, dass der Ursprung des Koordinatensystems an dem Punkt liegt, an dem sich der Körper befindet befindet sich im Anfangsmoment. Dann

das heißt, der Vektor ist gleich der Vektorsumme der Vektoren und Zeichnen wir die Abbildung ein (siehe Abb.).

Wie im vorherigen Fall hat das Verschiebungsdreieck je nach den Bedingungen eine eigene Form. Eine solche Darstellung ermöglicht es, bei der Lösung geometrische Überlegungen heranzuziehen, was die Lösung des Problems oft vereinfacht.

Diagramme

Bestimmung der Art der Bewegung gemäß Fahrplan

1. Eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung entspricht einem Diagramm der Abhängigkeit des Beschleunigungsmoduls von der Zeit, das in der Figur durch den Buchstaben gekennzeichnet ist

1) A

2)B

3) BEIM

4)G

2. Die Figuren zeigen Diagramme der Zeitabhängigkeit des Beschleunigungsmoduls für verschiedene Bewegungsarten. Welcher Graph entspricht einer gleichförmigen Bewegung?

1 4

3.
Körper bewegt sich entlang der Achse Oh geradlinig und gleichmäßig beschleunigt, für einige Zeit seine Geschwindigkeit um das 2-fache reduziert. Welcher der Graphen der Beschleunigungs-Zeit-Projektion entspricht einer solchen Bewegung?

1 4

4. Der Fallschirmspringer bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit senkrecht nach unten. Welcher Graph - 1, 2, 3 oder 4 - gibt die Abhängigkeit seiner Koordinaten korrekt wieder? Y ab dem Zeitpunkt der Bewegung t relativ zur Erdoberfläche? Luftwiderstand ignorieren.

1) 3 4) 4

5. Welcher der Graphen der Abhängigkeit der Geschwindigkeitsprojektion von der Zeit (Abb.) entspricht der Bewegung eines senkrecht nach oben geworfenen Körpers mit einer bestimmten Geschwindigkeit (Achse Y senkrecht nach oben gerichtet)?

13 4) 4

6.
Ein Körper wird mit einer gewissen Anfangsgeschwindigkeit von der Erdoberfläche senkrecht nach oben geschleudert. Welcher der Graphen der zeitlichen Abhängigkeit der Höhe des Körpers über der Erdoberfläche (Abb.) entspricht dieser Bewegung?

12

Bestimmung und Vergleich von Bewegungsmerkmalen nach Fahrplan

7. Das Diagramm zeigt die Abhängigkeit der Projektion der Geschwindigkeit des Körpers von der Zeit für eine geradlinige Bewegung. Bestimmen Sie die Projektion der Beschleunigung des Körpers.

1) – 10 m/s2

2) – 8 m/s2

3) 8 m/s2

4) 10 m/s2

8. Die Abbildung zeigt ein Diagramm der Abhängigkeit der Bewegungsgeschwindigkeit von Körpern von der Zeit. Wie groß ist die Beschleunigung des Körpers?

1) 1m/s2

2) 2 m/s2

3) 3 m/s2

4) 18 m/s2

9. Gemäß dem Diagramm der Geschwindigkeitsprojektion gegen die Zeitauch nicht vorgelegtBestimmen Sie in der Abbildung den Beschleunigungsmodul in einer geraden LinieKörper hineinbewegen Moment der Zeit t= 2 s.

1) 2 m/s2

2) 3 m/s2

3) 10 m/s2

4) 27 m/s2

10. x= 0, und Punkt B an der Stelle x= 30km. Wie schnell fährt der Bus von A nach B?

1) 40 km/h

2) 50 km/h

3) 60 km/h

4) 75 km/h

11. Die Abbildung zeigt den Fahrplan des Busses von Punkt A nach Punkt B und zurück. Punkt A ist am Punkt x= 0, und Punkt B an der Stelle x= 30km. Wie schnell ist der Bus auf dem Weg von B nach A?

1) 40 km/h

2) 50 km/h

3) 60 km/h

4) 75 km/h

12. Das Auto bewegt sich auf einer geraden Straße. Die Grafik zeigt die Abhängigkeit der Geschwindigkeit des Autos von der Zeit. Der Beschleunigungsmodul ist im Zeitintervall maximal

1) 0 s bis 10 s

2) von 10 s bis 20 s

3) 20er bis 30er Jahre

Schriftfamilie: "times new roman>4) von 30s bis 40s

13. Vier Körper bewegen sich entlang einer Achse Ochse.Die Abbildung zeigt die Graphen der Geschwindigkeitsprojektionenυx von Zeit t für diese Körper. Welcher der Körper bewegt sich mit der geringsten Modulo-Beschleunigung?

1) 3 4) 4

14. Die Figur zeigt einen PfadabhängigkeitsgraphenSRadfahrer ab und zut. Bestimmen Sie das Zeitintervall, in dem sich der Radfahrer mit einer Geschwindigkeit von 2,5 m/s bewegte.

1) 5 s bis 7 s

2) 3 s bis 5 s

3) 1s bis 3s

4) 0 bis 1 s

15. Die Abbildung zeigt ein Diagramm der Abhängigkeit der Koordinaten eines Körpers, der sich entlang der Achse bewegtÖX, von Zeit. Geschwindigkeiten vergleichenv1 , v2 undv3 Körper manchmal t1, t2, t3

1) v1 > v2 = v3

2) v1 > v2 > v3

3) v1 < v2 < v3

4) v 1 = v 2 > v 3

16. Die Figur zeigt ein Diagramm der Abhängigkeit der Projektion von der GeschwindigkeitWachstum des Körpers im Laufe der Zeit.

Die Projektion der Beschleunigung des Körpers im Zeitintervall von 5 bis 10 s wird grafisch dargestellt

13 4) 4

17. Ein materieller Punkt bewegt sich geradlinig mit Beschleunigung, deren Zeitabhängigkeit in der Abbildung dargestellt ist. Die Anfangsgeschwindigkeit des Punktes ist 0. Welcher Punkt im Diagramm entspricht der maximalen Geschwindigkeit des materiellen Punktes:

1) 2

2) 3

3) 4

4) 5

Erstellung kinematischer Abhängigkeiten (Funktionen der Zeitabhängigkeit kinematischer Größen) nach Zeitplan

18. Auf Abb. zeigt ein Diagramm der Körperkoordinaten über der Zeit. Bestimmen Sie das kinematische Bewegungsgesetz dieses Körpers

1) x( t) = 2 + 2 t

2) x( t) = – 2 – 2 t

3) x( t) = 2 – 2 t

4) x ( t ) = – 2 + 2 t

19. Bestimmen Sie aus dem Diagramm der Geschwindigkeit eines Körpers über der Zeit die Funktion der Geschwindigkeit dieses Körpers über der Zeit

1) vx= – 30 + 10 t

2) vx = 30 + 10 t

3) v x = 30 – 10 t

4) vx = – 30 + 10 t

Ermittlung von Versatz und Weg nach Fahrplan

20. Bestimmen Sie den Weg, den ein sich geradlinig bewegender Körper in 3 s zurücklegt, aus dem Diagramm der Abhängigkeit der Geschwindigkeit eines Körpers von der Zeit.

1) 2 m

2) 4m

3) 18 m

4) 36 m

21. Ein Stein wird senkrecht nach oben geworfen. Die Projektion seiner Geschwindigkeit auf die vertikale Richtung ändert sich mit der Zeit gemäß dem Diagramm in der Figur. Welche Strecke legt der Stein in den ersten 3 Sekunden zurück?

1) 30 m

2) 45 m

3) 60m

4) 90m

22. Ein Stein wird senkrecht nach oben geworfen. Die Projektion seiner Geschwindigkeit auf die vertikale Richtung ändert sich mit der Zeit gemäß dem Diagramm in Abbildung h.21. Welche Strecke legt der Stein während des gesamten Fluges zurück?

1) 30 m

2) 45m

3) 60m

4) 90m

23. Ein Stein wird senkrecht nach oben geworfen. Die Projektion seiner Geschwindigkeit auf die vertikale Richtung ändert sich mit der Zeit gemäß dem Diagramm in Abbildung h.21. Wie groß ist die Verschiebung des Steins in den ersten 3 s?

1) 0 m

2) 30m

3) 45 m

4) 60m

24. Ein Stein wird senkrecht nach oben geworfen. Die Projektion seiner Geschwindigkeit auf die vertikale Richtung ändert sich mit der Zeit gemäß dem Diagramm in Abbildung h.21. Wie groß ist die Verschiebung des Steins während des gesamten Fluges?

1) 0 m

2) 30m

3) 60m

4) 90m

25. Die Abbildung zeigt ein Diagramm der Abhängigkeit der Projektion der Geschwindigkeit eines Körpers, der sich entlang der Ox-Achse bewegt, von der Zeit. Welchen Weg legt der Körper zum Zeitpunkt t = 10 s zurück?

1) 1m

2) 6m

3) 7m

4) 13 m

26. Position: relativ; z-index:24">Der Wagen beginnt sich aus der Ruhe entlang des Papierbandes zu bewegen. Auf dem Wagen befindet sich eine Pipette, die in regelmäßigen Abständen Farbflecken auf dem Klebeband hinterlässt.

Wählen Sie ein Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm, das die Bewegung des Wagens korrekt beschreibt.

1 4

GLEICHUNGEN

27. Die Bewegung eines Oberleitungsbusses während einer Notbremsung ergibt sich aus der Gleichung: x = 30 + 15 t – 2,5 t2, m Wie lautet die Anfangskoordinate des Trolleybusses?

1) 2,5 m

2) 5m

3) 15m

4) 30 m

28. Die Bewegung des Flugzeugs während des Startlaufs ist durch die Gleichung gegeben: x = 100 + 0,85 t2, m Wie groß ist die Beschleunigung des Flugzeugs?

1) 0 m/s2

2) 0,85 m/s2

3) 1,7 m/s2

4) 100 m/s2

29. Die Bewegung eines Personenkraftwagens ist durch die Gleichung gegeben: x = 150 + 30 t + 0,7 t2, m. Wie groß ist die Anfangsgeschwindigkeit des Autos?

1) 0,7 m/s

2) 1,4 m/s

3) 30 m/s

4) 150 m/s

30. Die Gleichung für die Projektion der Geschwindigkeit eines sich bewegenden Körpers auf die Zeit:vx= 2 +3t(Frau). Wie lautet die entsprechende Gleichung für die Projektion der Verschiebung des Körpers?

1) Sx = 2 t + 3 t2 2) Sx = 4 t + 3 t2 3) Sx = t + 6 t2 4) Sx = 2 t + 1,5 t 2

31. Die Abhängigkeit der Koordinate von der Zeit für einen Körper wird durch die Gleichung beschrieben x = 8t - t2. Zu welchem ​​Zeitpunkt ist die Geschwindigkeit des Körpers Null?

1) 8 Sek

2) 4 Sek

3) 3 Sek

4) 0 s

TABELLEN

32. X gleichmäßige Bewegung eines Körpers über die Zeit t:

t, mit
X , m

Mit welcher Geschwindigkeit bewegte sich der Körper vom Zeitpunkt 0 s bis moZeit 4s?

1) 0,5 m/s

2) 1,5 m/s

3) 2 Frau

4) 3 m/s

33. Die Tabelle zeigt die Abhängigkeit der Koordinate X Körperbewegungen im Laufe der Zeit t:

t, mit
X, m

Bestimmen Sie die Durchschnittsgeschwindigkeit des Körpers im Zeitintervall von 1s bis 3s.

1) 0 m/s

2) ≈0,33 m/s

3) 0,5 m/s

4) 1 m/s

t, mit	0	1	2	3	4	5
x1 m
x2, m
x3, m
x4, m

Welcher der Körper könnte eine konstante Geschwindigkeit haben und von Null verschieden sein?

1) 1

35. Vier Körper bewegten sich entlang der Ox-Achse. Die Tabelle zeigt die Abhängigkeit ihrer Koordinaten von der Zeit.

t, mit	0	1	2	3	4	5
x1 m
x2, m
x3, m
x4, m

Welcher der Körper könnte eine konstante Beschleunigung haben und von Null verschieden sein?

Gleichmäßige Bewegung- Dies ist eine Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit, dh wenn sich die Geschwindigkeit nicht ändert (v \u003d const) und keine Beschleunigung oder Verzögerung auftritt (a \u003d 0).

Geradlinige Bewegung- Dies ist eine Bewegung in einer geraden Linie, dh die Flugbahn der geradlinigen Bewegung ist eine gerade Linie.

Gleichmäßige geradlinige Bewegung ist eine Bewegung, bei der der Körper in gleichen Zeitintervallen die gleichen Bewegungen ausführt. Wenn wir beispielsweise ein Zeitintervall in Segmente von einer Sekunde unterteilen, bewegt sich der Körper bei gleichförmiger Bewegung in jedem dieser Zeitsegmente um die gleiche Strecke.

Die Geschwindigkeit der gleichförmigen geradlinigen Bewegung hängt nicht von der Zeit ab und ist an jedem Punkt der Bahn genauso gerichtet wie die Bewegung des Körpers. Das heißt, der Verschiebungsvektor fällt in der Richtung mit dem Geschwindigkeitsvektor zusammen. In diesem Fall ist die Durchschnittsgeschwindigkeit für einen beliebigen Zeitraum gleich der Momentangeschwindigkeit:

Geschwindigkeit der gleichmäßigen geradlinigen Bewegung ist eine physikalische Vektorgröße, die gleich dem Verhältnis der Verschiebung des Körpers für einen beliebigen Zeitraum zum Wert dieses Intervalls t ist:

Die Geschwindigkeit der gleichförmigen geradlinigen Bewegung zeigt also, welche Bewegung ein materieller Punkt pro Zeiteinheit macht.

ziehen um mit gleichförmiger geradliniger Bewegung wird durch die Formel bestimmt:

Zurückgelegte Entfernung bei geradliniger Bewegung ist gleich dem Verschiebungsmodul. Fällt die positive Richtung der OX-Achse mit der Bewegungsrichtung zusammen, dann ist die Projektion der Geschwindigkeit auf die OX-Achse gleich der Geschwindigkeit und positiv:

v x = v, also v > 0

Die Projektion der Verschiebung auf die OX-Achse ist gleich:

s \u003d vt \u003d x - x 0

wobei x 0 die Anfangskoordinate des Körpers ist, x die Endkoordinate des Körpers ist (oder die Koordinate des Körpers zu einem beliebigen Zeitpunkt)

Bewegungsgleichung, also die Abhängigkeit der Körperkoordinate von der Zeit x = x(t), hat die Form:

Wenn die positive Richtung der OX-Achse der Bewegungsrichtung des Körpers entgegengesetzt ist, dann ist die Projektion der Körpergeschwindigkeit auf die OX-Achse negativ, die Geschwindigkeit ist kleiner als Null (v< 0), и тогда уравнение движения принимает вид:

Abhängigkeit von Geschwindigkeit, Koordinaten und Wegzeit

Die Abhängigkeit der Projektion der Körpergeschwindigkeit von der Zeit ist in Abb. 1 dargestellt. 1.11. Da die Geschwindigkeit konstant ist (v = const), ist der Geschwindigkeitsverlauf eine Gerade parallel zur Zeitachse Ot.

Reis. 1.11. Die Abhängigkeit der Projektion der Geschwindigkeit des Körpers von der Zeit für eine gleichförmige geradlinige Bewegung.

Die Projektion der Bewegung auf die Koordinatenachse ist numerisch gleich der Fläche des OABS-Rechtecks ​​(Abb. 1.12), da die Größe des Bewegungsvektors gleich dem Produkt aus dem Geschwindigkeitsvektor und der Zeit ist, während der die Bewegung war gemacht.

Reis. 1.12. Die Abhängigkeit der Projektion der Bewegung des Körpers von der Zeit für eine gleichförmige geradlinige Bewegung.

Das Diagramm der Verschiebung über der Zeit ist in Abb. 1.13. Aus dem Diagramm ist ersichtlich, dass die Geschwindigkeitsprojektion gleich ist

v = s 1 / t 1 = tg α

wobei α der Neigungswinkel des Graphen zur Zeitachse ist.

Je größer der Winkel α ist, desto schneller bewegt sich der Körper, das heißt, desto größer ist seine Geschwindigkeit (je länger der Körper in kürzerer Zeit zurücklegt). Die Tangente der Steigung der Tangente an den Graphen der Abhängigkeit der Koordinate von der Zeit ist gleich der Geschwindigkeit:

Reis. 1.13. Die Abhängigkeit der Projektion der Bewegung des Körpers von der Zeit für eine gleichförmige geradlinige Bewegung.

Die Abhängigkeit der Koordinate von der Zeit ist in Abb. 1 dargestellt. 1.14. Das ist aus der Abbildung ersichtlich

tgα1 > tgα2

daher ist die Geschwindigkeit von Körper 1 größer als die Geschwindigkeit von Körper 2 (v 1 > v 2).

tg α 3 = v 3< 0

Wenn der Körper in Ruhe ist, dann ist der Koordinatengraph eine Gerade parallel zur Zeitachse, das heißt

Reis. 1.14. Abhängigkeit der Körperkoordinate von der Zeit bei gleichförmiger geradliniger Bewegung.

Zusammenhang zwischen Winkel- und Linearwerten

Einzelne Punkte eines rotierenden Körpers haben unterschiedliche lineare Geschwindigkeiten. Die Geschwindigkeit jedes Punktes, der tangential zum entsprechenden Kreis gerichtet ist, ändert kontinuierlich seine Richtung. Die Größe der Geschwindigkeit wird durch die Rotationsgeschwindigkeit des Körpers und den Abstand R des betrachteten Punktes von der Rotationsachse bestimmt. Lassen Sie den Körper in kurzer Zeit um einen Winkel drehen (Abbildung 2.4). Ein Punkt, der sich im Abstand R von der Achse befindet, legt einen Weg zurück, der gleich ist

Lineare Geschwindigkeit eines Punktes per Definition.

Tangentialbeschleunigung

Unter Verwendung der gleichen Beziehung (2.6) erhalten wir

Somit wachsen sowohl die Normal- als auch die Tangentialbeschleunigung linear mit dem Abstand des Punktes von der Rotationsachse.

Grundlegendes Konzept.

periodische Schwingung ein Prozess, bei dem ein System (z. B. ein mechanisches) nach einer bestimmten Zeit wieder in den gleichen Zustand zurückkehrt, wird aufgerufen. Diese Zeitspanne wird als Schwingungsperiode bezeichnet.

Wiederherstellungskräfte- die Kraft, unter deren Wirkung der Schwingungsvorgang auftritt. Diese Kraft neigt dazu, den Körper- oder Materialpunkt, der von der Ruheposition abweicht, in seine ursprüngliche Position zurückzubringen.

Je nach Art des Stoßes auf einen schwingenden Körper werden freie (oder natürliche) Schwingungen und erzwungene Schwingungen unterschieden.

Freie Schwingungen erfolgen, wenn nur die Rückstellkraft auf den Schwingkörper wirkt. Für den Fall, dass keine Energiedissipation auftritt, sind freie Schwingungen ungedämpft. Echte Schwingungsvorgänge werden jedoch gedämpft, weil Auf einen schwingenden Körper wirken Widerstandskräfte (hauptsächlich Reibungskräfte).

Erzwungene Schwingungen werden unter Einwirkung einer externen, sich periodisch ändernden Kraft ausgeführt, die als treibende Kraft bezeichnet wird. In vielen Fällen führen Systeme Schwingungen aus, die als harmonisch angesehen werden können.

Harmonische Schwingungen nennt man solche Schwingungsbewegungen, bei denen die Verschiebung des Körpers aus der Gleichgewichtslage nach dem Sinus- oder Cosinusgesetz erfolgt:

Um die physikalische Bedeutung zu veranschaulichen, betrachten Sie einen Kreis und drehen Sie den OK-Radius mit einer Winkelgeschwindigkeit ω gegen den Uhrzeigersinn (7.1) Pfeil. Lag das OK zum Anfangszeitpunkt in einer horizontalen Ebene, so verschiebt es sich nach einer Zeit t um einen Winkel. Wenn der Anfangswinkel ungleich Null und gleich ist φ 0 , dann ist der Drehwinkel gleich Die Projektion auf die XO-Achse 1 ist gleich . Wenn sich der OK-Radius dreht, ändert sich der Projektionswert und der Punkt oszilliert relativ zum Punkt – nach oben, unten usw. In diesem Fall ist der Maximalwert von x gleich A und wird Schwingungsamplitude genannt; ω - kreisförmige oder zyklische Frequenz; - Oszillationsphase; - Anfangsphase. Für eine Umdrehung des Punktes K entlang des Kreises macht seine Projektion eine vollständige Schwingung und kehrt zum Ausgangspunkt zurück.

Zeitraum T ist die Zeit einer vollständigen Schwingung. Nach der Zeit T wiederholen sich die Werte aller die Schwingungen charakterisierenden physikalischen Größen. In einer Periode legt ein Schwingungspunkt einen Weg zurück, der numerisch gleich vier Amplituden ist.

Winkelgeschwindigkeit wird aus der Bedingung bestimmt, dass der Radius OK für die Zeitdauer T eine Umdrehung macht, d. h. dreht sich um einen Winkel von 2π Radiant:

Oszillationsfrequenz- die Anzahl der Schwingungen eines Punktes in einer Sekunde, d.h. die Schwingungsfrequenz ist definiert als der Kehrwert der Schwingungsdauer:

Elastische Kräfte des Federpendels.

Ein Federpendel besteht aus einer Feder und einer massiven Kugel, die an einem horizontalen Stab befestigt ist, an dem es entlang gleiten kann. Lassen Sie eine Kugel mit einem Loch auf einer Feder montieren, die entlang der Führungsachse (Stange) gleitet. Auf Abb. 7.2a zeigt die Position der Kugel in Ruhe; in Abb. 7.2, b - maximale Kompression und in Abb. 7.2, в - beliebige Position des Balls.

Unter der Wirkung einer Rückstellkraft, die gleich der Kompressionskraft ist, schwingt die Kugel. Druckkraft F \u003d -kx, wobei k der Koeffizient der Federsteifigkeit ist. Das Minuszeichen zeigt an, dass die Richtung der Kraft F und der Weg x entgegengesetzt sind. Potentielle Energie einer zusammengedrückten Feder

kinetisch .

Um die Bewegungsgleichung der Kugel herzuleiten, ist es notwendig, x und t zu verbinden. Die Schlussfolgerung basiert auf dem Energieerhaltungssatz. Die gesamte mechanische Energie ist gleich der Summe der kinetischen und potentiellen Energie des Systems. In diesem Fall:

. Auf Position b): .

Da der Erhaltungssatz der mechanischen Energie in der betrachteten Bewegung erfüllt ist, können wir schreiben:

. Lassen Sie uns die Geschwindigkeit von hier aus definieren:

Aber wiederum, und deshalb . Separate Variablen . Integrieren wir diesen Ausdruck, erhalten wir: ,

wo ist die Integrationskonstante. Aus letzterem folgt

Somit führt der Körper unter Einwirkung einer elastischen Kraft harmonische Schwingungen aus. Kräfte anderer Natur als elastisch, bei denen aber die Bedingung F = -kx erfüllt ist, heißen quasielastisch. Unter dem Einfluss dieser Kräfte führen auch Körper harmonische Schwingungen aus. Dabei:

Voreingenommenheit:
Geschwindigkeit:
Beschleunigung:

Mathematisches Pendel.

Ein mathematisches Pendel ist ein materieller Punkt, der an einem undehnbaren, schwerelosen Faden aufgehängt ist und unter der Wirkung der Schwerkraft in einer vertikalen Ebene schwingt.

Ein solches Pendel kann als schwere Kugel der Masse m betrachtet werden, die an einem dünnen Faden aufgehängt ist, dessen Länge l viel größer ist als die Größe der Kugel. Wenn es um einen Winkel α (Abb. 7.3.) von der Vertikalen abgelenkt wird, schwingt es unter dem Einfluss der Kraft F - einer der Komponenten des Gewichts P. Die andere Komponente , die entlang des Fadens gerichtet ist, wird nicht berücksichtigt, weil ausgeglichen durch die Spannung in der Saite. Bei kleinen Verschiebungswinkeln kann dann die x-Koordinate in horizontaler Richtung gezählt werden. Aus Abb. 7.3 ist ersichtlich, dass die Gewichtskomponente senkrecht zum Gewinde gleich ist

Das Minuszeichen auf der rechten Seite bedeutet, dass die Kraft F zur Verringerung des Winkels α gerichtet ist. Unter Berücksichtigung der Kleinheit des Winkels α

Zur Ableitung des Bewegungsgesetzes mathematischer und physikalischer Pendel verwenden wir die Grundgleichung für die Dynamik der Drehbewegung

Das Kraftmoment bezogen auf den Punkt O: , und das Trägheitsmoment: M=FL. Trägheitsmoment J in diesem Fall Winkelbeschleunigung:

Unter Berücksichtigung dieser Werte haben wir:

Seine Entscheidung ,

Wie Sie sehen können, hängt die Schwingungsdauer eines mathematischen Pendels von seiner Länge und der Erdbeschleunigung ab und nicht von der Amplitude der Schwingungen.

gedämpfte Schwingungen.

Alle reellen Schwingungssysteme sind dissipativ. Die Energie der mechanischen Schwingungen eines solchen Systems wird allmählich für die Arbeit gegen Reibungskräfte aufgewendet, daher werden freie Schwingungen immer gedämpft - ihre Amplitude nimmt allmählich ab. In vielen Fällen, in denen keine Trockenreibung vorliegt, kann in erster Näherung davon ausgegangen werden, dass bei niedrigen Bewegungsgeschwindigkeiten die Kräfte, die die Dämpfung mechanischer Schwingungen bewirken, proportional zur Geschwindigkeit sind. Diese Kräfte, unabhängig von ihrer Herkunft, werden als Widerstandskräfte bezeichnet.

Lassen Sie uns diese Gleichung in der folgenden Form umschreiben:

und bezeichnen:

wo stellt die Frequenz dar, mit der freie Schwingungen des Systems ohne mittleren Widerstand auftreten würden, d.h. bei r = 0. Diese Frequenz wird als Eigenschwingungsfrequenz des Systems bezeichnet; β - Dämpfungsfaktor. Dann

Wir suchen nach einer Lösung für Gleichung (7.19) in der Form wobei U eine Funktion von t ist.

Wir differenzieren diesen Ausdruck zweimal nach der Zeit t und setzen die Werte der ersten und zweiten Ableitung in Gleichung (7.19) ein und erhalten

Die Lösung dieser Gleichung hängt im Wesentlichen vom Vorzeichen des Koeffizienten bei U ab. Betrachten Sie den Fall, dass dieser Koeffizient positiv ist. Lassen Sie uns die Notation einführen. Dann ist die Lösung dieser Gleichung bei reellem ω bekanntlich die Funktion

Bei geringem Widerstand des Mediums ist also die Lösung von Gleichung (7.19) die Funktion

Der Graph dieser Funktion ist in Abb. 7.8. Die gestrichelten Linien zeigen die Grenzen, innerhalb derer sich die Verschiebung des Schwingungspunktes befindet. Die Größe wird als natürliche zyklische Schwingungsfrequenz des dissipativen Systems bezeichnet. Gedämpfte Schwingungen sind nichtperiodische Schwingungen, da sie beispielsweise nie die Maximalwerte von Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung wiederholen. Der Wert wird normalerweise als Periode gedämpfter Schwingungen bezeichnet, genauer gesagt als bedingte Periode gedämpfter Schwingungen,

Der natürliche Logarithmus des Verhältnisses der nach einem Zeitintervall gleich der Periode T aufeinander folgenden Auslenkungsamplituden wird als logarithmisches Dämpfungsdekrement bezeichnet.

Bezeichnen wir mit τ das Zeitintervall, in dem die Schwingungsamplitude um den Faktor e abnimmt. Dann

Der Dämpfungskoeffizient ist also eine physikalische Größe reziprok zum Zeitintervall τ, in dem die Amplitude um den Faktor e abnimmt. Der Wert τ wird als Relaxationszeit bezeichnet.

Sei N die Anzahl der Schwingungen, nach denen die Amplitude um den Faktor e abnimmt

Folglich ist das logarithmische Dämpfungsdekrement δ eine physikalische Größe, die reziprok zur Schwingungszahl N ist, wonach die Amplitude um den Faktor e abnimmt

Erzwungene Schwingungen.

Bei erzwungenen Schwingungen schwingt das System unter Einwirkung einer äußeren (erzwungenen) Kraft und durch die Arbeit dieser Kraft werden die Energieverluste des Systems periodisch kompensiert. Die Frequenz der erzwungenen Schwingungen (Antriebsfrequenz) hängt von der Änderungsfrequenz der äußeren Kraft ab.

Diese Kraft verändere sich mit der Zeit gemäß dem Gesetz , wobei die Amplitude der treibenden Kraft ist. Die Rückstellkraft und die Widerstandskraft Dann lässt sich das zweite Newtonsche Gesetz in folgender Form schreiben.

Gleichmäßige geradlinige Bewegung Dies ist ein Spezialfall einer ungleichförmigen Bewegung.

Ungleichmäßige Bewegung- Dies ist eine Bewegung, bei der ein Körper (materieller Punkt) in gleichen Zeitintervallen ungleiche Bewegungen ausführt. Beispielsweise bewegt sich ein Stadtbus ungleichmäßig, da seine Bewegung hauptsächlich aus Beschleunigung und Verzögerung besteht.

Gleichvariable Bewegung- Dies ist eine Bewegung, bei der sich die Geschwindigkeit eines Körpers (materieller Punkt) in beliebigen gleichen Zeitintervallen in gleicher Weise ändert.

Beschleunigung eines gleichförmig bewegten Körpers in Betrag und Richtung konstant bleibt (a = const).

Eine gleichmäßige Bewegung kann gleichmäßig beschleunigt oder gleichmäßig verlangsamt werden.

Gleichmäßig beschleunigte Bewegung- Dies ist die Bewegung eines Körpers (materieller Punkt) mit einer positiven Beschleunigung, dh bei einer solchen Bewegung beschleunigt der Körper mit einer konstanten Beschleunigung. Bei gleichmäßig beschleunigter Bewegung nimmt der Geschwindigkeitsmodul des Körpers mit der Zeit zu, die Richtung der Beschleunigung fällt mit der Richtung der Bewegungsgeschwindigkeit zusammen.

Gleichmäßig Zeitlupe- Dies ist die Bewegung eines Körpers (materieller Punkt) mit negativer Beschleunigung, dh bei einer solchen Bewegung verlangsamt sich der Körper gleichmäßig. Bei gleichmäßig langsamer Bewegung sind die Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektoren entgegengesetzt, und der Geschwindigkeitsmodul nimmt mit der Zeit ab.

In der Mechanik wird jede geradlinige Bewegung beschleunigt, daher unterscheidet sich die langsame Bewegung von der beschleunigten Bewegung nur durch das Vorzeichen der Projektion des Beschleunigungsvektors auf die ausgewählte Achse des Koordinatensystems.

Durchschnittliche Geschwindigkeit der variablen Bewegung wird bestimmt, indem die Bewegung des Körpers durch die Zeit dividiert wird, während der diese Bewegung ausgeführt wurde. Die Einheit der Durchschnittsgeschwindigkeit ist m/s.

V cp = s / t

- Dies ist die Geschwindigkeit des Körpers (Materialpunkt) zu einem bestimmten Zeitpunkt oder an einem bestimmten Punkt der Flugbahn, dh die Grenze, zu der die Durchschnittsgeschwindigkeit bei unendlicher Abnahme des Zeitintervalls Δt tendiert:

Momentaner Geschwindigkeitsvektor gleichförmige Bewegung als erste Ableitung des Verschiebungsvektors nach der Zeit:

Geschwindigkeitsvektorprojektion auf der OX-Achse:

Vx = x'

dies ist die Ableitung der Koordinate nach der Zeit (die Projektionen des Geschwindigkeitsvektors auf andere Koordinatenachsen werden ähnlich erhalten).

- Dies ist der Wert, der die Geschwindigkeitsänderung des Körpers bestimmt, dh die Grenze, zu der die Geschwindigkeitsänderung bei unendlicher Abnahme des Zeitintervalls Δt tendiert:

Beschleunigungsvektor der gleichförmigen Bewegung kann als erste Ableitung des Geschwindigkeitsvektors nach der Zeit oder als zweite Ableitung des Verschiebungsvektors nach der Zeit gefunden werden:

Bewegt sich der Körper geradlinig entlang der OX-Achse eines geradlinigen kartesischen Koordinatensystems, dessen Richtung mit der Körperbahn übereinstimmt, so wird die Projektion des Geschwindigkeitsvektors auf diese Achse durch die Formel bestimmt:

V x = v 0x ± a x t

Das „-“ (Minus) Zeichen vor der Projektion des Beschleunigungsvektors weist auf eine gleichmäßig langsame Bewegung hin. Gleichungen von Projektionen des Geschwindigkeitsvektors auf andere Koordinatenachsen werden ähnlich geschrieben.

Da die Beschleunigung bei gleichmäßig variabler Bewegung konstant ist (a \u003d const), ist der Beschleunigungsgraph eine gerade Linie parallel zur 0t-Achse (Zeitachse, Abb. 1.15).

Reis. 1.15. Abhängigkeit der Körperbeschleunigung von der Zeit.

Geschwindigkeit versus Zeit ist eine lineare Funktion, deren Graph eine Gerade ist (Abb. 1.16).

Reis. 1.16. Abhängigkeit der Körpergeschwindigkeit von der Zeit.

Diagramm der Geschwindigkeit gegen die Zeit(Abb. 1.16) zeigt das

In diesem Fall ist die Verschiebung numerisch gleich der Fläche der Figur 0abc (Abb. 1.16).

Die Fläche eines Trapezes ist die Hälfte der Summe der Längen seiner Grundflächen mal der Höhe. Die Basen des Trapezes 0abc sind numerisch gleich:

0a = v 0bc = v

Die Höhe des Trapezes ist t. Somit ist die Fläche des Trapezes und damit die Projektion der Verschiebung auf die OX-Achse gleich:

Bei gleichmäßig langsamer Bewegung ist die Beschleunigungsprojektion negativ, und in der Formel für die Wegprojektion wird der Beschleunigung das Zeichen „–“ (minus) vorangestellt.

Das Diagramm der Abhängigkeit der Geschwindigkeit des Körpers von der Zeit bei verschiedenen Beschleunigungen ist in Abb. 1.17. Der Graph der Abhängigkeit der Verschiebung von der Zeit bei v0 = 0 ist in Abb. 1 dargestellt. 1.18.

Reis. 1.17. Abhängigkeit der Körpergeschwindigkeit von der Zeit für verschiedene Beschleunigungswerte.

Reis. 1.18. Abhängigkeit der Körperverschiebung von der Zeit.

Die Geschwindigkeit des Körpers zu einem bestimmten Zeitpunkt t 1 ist gleich der Tangente des Neigungswinkels zwischen der Tangente an den Graphen und der Zeitachse v \u003d tg α, und die Bewegung wird durch die Formel bestimmt:

Wenn die Bewegungszeit des Körpers unbekannt ist, können Sie eine andere Verschiebungsformel verwenden, indem Sie ein System aus zwei Gleichungen lösen:

Es wird uns helfen, eine Formel für die Verschiebungsprojektion abzuleiten:

Da die Koordinate des Körpers zu jedem Zeitpunkt durch die Summe der Anfangskoordinate und der Verschiebungsprojektion bestimmt wird, sieht es so aus:

Der Graph der x(t)-Koordinate ist ebenfalls eine Parabel (ebenso wie der Verschiebungsgraph), aber der Scheitelpunkt der Parabel fällt im Allgemeinen nicht mit dem Ursprung zusammen. Für ein x< 0 и х 0 = 0 ветви параболы направлены вниз (рис. 1.18).

Wir zeigen, wie Sie den vom Körper zurückgelegten Weg anhand eines Geschwindigkeits-Zeit-Diagramms ermitteln können.

Beginnen wir mit dem einfachsten Fall – gleichförmiger Bewegung. Abbildung 6.1 zeigt ein Diagramm von v(t) - Geschwindigkeit gegen Zeit. Sie ist ein Abschnitt einer Geraden parallel zur Basis der Zeit, da bei gleichförmiger Bewegung die Geschwindigkeit konstant ist.

Die unter diesem Diagramm eingeschlossene Figur ist ein Rechteck (es ist in der Figur schattiert). Seine Fläche ist zahlenmäßig gleich dem Produkt aus der Geschwindigkeit v und der Bewegungszeit t. Andererseits ist das Produkt vt gleich dem vom Körper zurückgelegten Weg l. Also mit gleichförmiger Bewegung

Der Weg ist numerisch gleich der Fläche der Figur, die unter dem Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm eingeschlossen ist.

Zeigen wir nun, dass auch ungleichförmige Bewegungen diese bemerkenswerte Eigenschaft besitzen.

Lassen Sie zum Beispiel das Diagramm der Geschwindigkeit über der Zeit wie die in Abbildung 6.2 gezeigte Kurve aussehen.

Lassen Sie uns die gesamte Bewegungszeit gedanklich in so kleine Intervalle unterteilen, dass während jedes von ihnen die Bewegung des Körpers als nahezu gleichförmig betrachtet werden kann (diese Unterteilung ist in Abbildung 6.2 durch gestrichelte Linien dargestellt).

Dann ist der für jedes solche Intervall zurückgelegte Weg numerisch gleich der Fläche der Figur unter dem entsprechenden Klumpen des Diagramms. Daher ist der gesamte Pfad gleich der Fläche der Zahlen, die unter dem gesamten Diagramm eingeschlossen sind. (Die von uns verwendete Technik liegt der Integralrechnung zugrunde, deren Grundlagen Sie im Kurs „Anfänge der Analysis“ lernen werden.)

2. Weg und Verschiebung in geradliniger, gleichmäßig beschleunigter Bewegung

Wenden wir nun das oben beschriebene Verfahren an, um den Weg zu einer geradlinigen, gleichmäßig beschleunigten Bewegung zu finden.

Die Anfangsgeschwindigkeit des Körpers ist Null

Richten wir die x-Achse auf die Beschleunigung des Körpers aus. Dann ist a x = a, v x = v. Somit,

Abbildung 6.3 zeigt ein Diagramm von v(t).

1. Beweisen Sie anhand von Bild 6.3, dass bei einer geradlinigen, gleichmäßig beschleunigten Bewegung ohne Anfangsgeschwindigkeit der Weg l durch den Beschleunigungsmodul a und die Laufzeit t durch die Formel ausgedrückt wird

l = at2/2. (2)

Wichtigste Schlussfolgerung:

Bei einer geradlinigen, gleichmäßig beschleunigten Bewegung ohne Anfangsgeschwindigkeit ist der vom Körper zurückgelegte Weg proportional zum Quadrat der Bewegungszeit.

Diese gleichförmig beschleunigte Bewegung unterscheidet sich deutlich von gleichförmig.

Abbildung 6.4 zeigt den Verlauf des Weges über der Zeit für zwei Körper, von denen sich der eine gleichmäßig bewegt und der andere ohne Anfangsgeschwindigkeit gleichmäßig beschleunigt wird.

2. Sehen Sie sich Abbildung 6.4 an und beantworten Sie die Fragen.
a) Welche Farbe hat der Graph für einen Körper, der sich gleichmäßig beschleunigt bewegt?
b) Wie groß ist die Beschleunigung dieses Körpers?
c) Wie groß sind die Geschwindigkeiten der Körper in dem Moment, wenn sie denselben Weg zurückgelegt haben?
d) Zu welchem ​​Zeitpunkt sind die Geschwindigkeiten der Körper gleich?

3. Beim Anfahren legte das Auto in den ersten 4 s eine Strecke von 20 m zurück. Betrachten Sie die Bewegung des Autos als geradlinig und gleichmäßig beschleunigt. Bestimmen Sie, ohne die Beschleunigung des Autos zu berechnen, wie weit das Auto fahren wird:
a) in 8 s? b) in 16 s? c) in 2 s?

Finden wir nun die Abhängigkeit der Verschiebungsprojektion s x von der Zeit. In diesem Fall ist die Beschleunigungsprojektion auf die x-Achse positiv, also s x = l, a x = a. Somit folgt aus Formel (2):

s x \u003d a x t 2 /2. (3)

Die Formeln (2) und (3) sind sehr ähnlich, was bei der Lösung einfacher Probleme manchmal zu Fehlern führt. Der Punkt ist, dass der Verschiebungsprojektionswert negativ sein kann. So wird es sein, wenn die x-Achse der Verschiebung entgegengerichtet ist: dann ist s x< 0. А путь отрицательным быть не может!

4. Abbildung 6.5 zeigt Graphen der Laufzeit und Verschiebungsprojektion für einige Körper. Welche Farbe hat die Verschiebungsprojektionsgrafik?

Die Anfangsgeschwindigkeit des Körpers ist nicht Null

Erinnern Sie sich, dass in diesem Fall die Abhängigkeit der Geschwindigkeitsprojektion von der Zeit durch die Formel ausgedrückt wird

v x = v 0x + a x t, (4)

wobei v 0x die Projektion der Anfangsgeschwindigkeit auf die x-Achse ist.

Wir betrachten weiter den Fall, wenn v 0x > 0, a x > 0. In diesem Fall können wir wieder die Tatsache verwenden, dass der Weg numerisch gleich der Fläche der Figur unter dem Diagramm der Geschwindigkeit über der Zeit ist. (Betrachten Sie selbst andere Kombinationen von Vorzeichen der Projektion der Anfangsgeschwindigkeit und -beschleunigung: Das Ergebnis ist dieselbe allgemeine Formel (5).

Abbildung 6.6 zeigt einen Plot von v x (t) für v 0x > 0, a x > 0.

5. Beweisen Sie anhand von Bild 6.6, dass bei einer geradlinigen gleichförmig beschleunigten Bewegung mit einer Anfangsgeschwindigkeit die Verschiebungsprojektion

s x \u003d v 0x + a x t 2 /2. (5)

Mit dieser Formel können Sie die Abhängigkeit der x-Koordinate des Körpers von der Zeit ermitteln. Erinnern Sie sich (siehe Formel (6), § 2), dass die Koordinate x des Körpers mit der Projektion seiner Verschiebung s x durch die Beziehung in Beziehung steht

s x \u003d x - x 0,

wobei x 0 die Anfangskoordinate des Körpers ist. Somit,

x = x 0 + s x , (6)

Aus den Formeln (5), (6) erhalten wir:

x = x 0 + v 0x t + a x t 2 /2. (7)

6. Die Abhängigkeit der Koordinate von der Zeit für einen Körper, der sich entlang der x-Achse bewegt, wird in SI-Einheiten durch die Formel x = 6 – 5t + t 2 ausgedrückt.
a) Wie lautet die Anfangskoordinate des Körpers?
b) Wie groß ist die Projektion der Anfangsgeschwindigkeit auf die x-Achse?
c) Wie groß ist die Projektion der Beschleunigung auf die x-Achse?
d) Zeichnen Sie einen Graphen der x-Koordinate über der Zeit.
e) Zeichnen Sie einen Graphen der Geschwindigkeitsprojektion über der Zeit.
e) Wann ist die Geschwindigkeit des Körpers gleich Null?
g) Wird der Körper zum Ausgangspunkt zurückkehren? Wenn ja, zu welchem ​​Zeitpunkt(en)?
h) Wird der Körper den Ursprung passieren? Wenn ja, zu welchem ​​Zeitpunkt(en)?
i) Zeichnen Sie einen Graphen der Verschiebungsprojektion über der Zeit.
j) Zeichnen Sie einen Graphen des Weges über der Zeit.

3. Zusammenhang zwischen Weg und Geschwindigkeit

Beim Lösen von Problemen wird häufig der Zusammenhang zwischen Weg, Beschleunigung und Geschwindigkeit (Anfangs-v 0 , End-v oder beides) verwendet. Lassen Sie uns diese Beziehungen ableiten. Beginnen wir mit der Bewegung ohne Anfangsgeschwindigkeit. Aus Formel (1) erhalten wir für die Bewegungszeit:

Wir setzen diesen Ausdruck in Formel (2) für den Pfad ein:

l \u003d bei 2 / 2 \u003d a / 2 (v / a) 2 \u003d v 2 / 2a. (neun)

Wichtigste Schlussfolgerung:

bei einer geradlinigen, gleichmäßig beschleunigten Bewegung ohne Anfangsgeschwindigkeit ist der vom Körper zurückgelegte Weg proportional zum Quadrat der Endgeschwindigkeit.

7. Ausgehend von einem Halt nahm das Auto auf einer Strecke von 40 m eine Geschwindigkeit von 10 m/s auf. Betrachten Sie die Bewegung des Autos als geradlinig und gleichmäßig beschleunigt. Bestimmen Sie, ohne die Beschleunigung des Autos zu berechnen, welche Strecke das Auto vom Beginn der Bewegung zurückgelegt hat, als seine Geschwindigkeit gleich war: a) 20 m/s? b) 40 m/s? c) 5 m/s?

Die Beziehung (9) kann auch erhalten werden, indem man sich daran erinnert, dass der Weg numerisch gleich der Fläche der Figur ist, die unter dem Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm eingeschlossen ist (Abb. 6.7).

Diese Überlegung wird Ihnen helfen, die folgende Aufgabe leicht zu bewältigen.

8. Beweisen Sie anhand von Abbildung 6.8, dass der Körper beim Bremsen mit konstanter Beschleunigung auf dem Weg l t \u003d v 0 2 / 2a vollständig zum Stillstand kommt, wobei v 0 die Anfangsgeschwindigkeit des Körpers und a das Beschleunigungsmodul ist.

Beim Abbremsen eines Fahrzeugs (Auto, Zug) wird der bis zum Stillstand zurückgelegte Weg als Bremsweg bezeichnet. Beachte: Der Bremsweg bei der Anfangsgeschwindigkeit v 0 und der zurückgelegte Weg beim Beschleunigen aus dem Stillstand auf die Geschwindigkeit v 0 bei gleicher Beschleunigung a modulo sind gleich.

9. Bei einer Notbremsung auf trockener Fahrbahn beträgt die Beschleunigung des Fahrzeugs Modulo 5 m/s 2 . Wie lang ist der Anhalteweg des Autos bei der Anfangsgeschwindigkeit: a) 60 km/h (höchstzulässige Geschwindigkeit in der Stadt); b) 120 km/h? Ermitteln Sie den Anhalteweg bei den angegebenen Geschwindigkeiten auf Eis, wenn der Beschleunigungsmodul 2 m/s 2 beträgt. Vergleichen Sie die gefundenen Anhaltewege mit der Länge des Klassenzimmers.

10. Beweisen Sie anhand von Abbildung 6.9 und der Formel, die die Fläche eines Trapezes in Bezug auf seine Höhe und die Hälfte der Summe seiner Basen ausdrückt, dass bei einer geradlinigen, gleichmäßig beschleunigten Bewegung:
a) l \u003d (v 2 - v 0 2) / 2a, wenn die Geschwindigkeit des Körpers zunimmt;
b) l \u003d (v 0 2 - v 2) / 2a, wenn die Geschwindigkeit des Körpers abnimmt.

11. Beweisen Sie, dass die Projektionen von Verschiebung, Anfangs- und Endgeschwindigkeit und Beschleunigung durch die Beziehung zusammenhängen

s x \u003d (v x 2 - v 0x 2) / 2ax (10)

12. Ein Auto beschleunigte auf einer Strecke von 200 m von einer Geschwindigkeit von 10 m/s auf 30 m/s.
a) Wie schnell fuhr das Auto?
b) Wie lange hat das Auto für die angegebene Strecke gebraucht?
c) Wie groß ist die Durchschnittsgeschwindigkeit des Autos?

Zusätzliche Fragen und Aufgaben

13. Das letzte Auto wird vom fahrenden Zug abgehängt, danach bewegt sich der Zug gleichmäßig und das Auto bewegt sich mit konstanter Beschleunigung, bis es anhält.
a) Zeichnen Sie auf einer Zeichnung Geschwindigkeits-Zeit-Diagramme für einen Zug und ein Auto.
b) Wie oft ist die Strecke, die das Auto bis zur Haltestelle zurücklegt, kürzer als die Strecke, die der Zug in derselben Zeit zurücklegt?

14. Der Zug verließ den Bahnhof und fuhr einige Zeit gleichmäßig, dann 1 Minute lang - gleichmäßig mit einer Geschwindigkeit von 60 km / h und dann wieder gleichmäßig beschleunigt bis zum nächsten Bahnhof. Die Beschleunigungsmodule beim Beschleunigen und Abbremsen waren unterschiedlich. Der Zug fuhr zwischen den Stationen in 2 Minuten.
a) Zeichnen Sie ein schematisches Diagramm der Abhängigkeit der Projektion der Geschwindigkeit des Zuges von der Zeit.
b) Bestimmen Sie anhand dieser Grafik die Entfernung zwischen den Stationen.
c) Welche Strecke würde der Zug zurücklegen, wenn er auf dem ersten Streckenabschnitt beschleunigen und auf dem zweiten verlangsamen würde? Was wäre seine maximale Geschwindigkeit?

15. Der Körper bewegt sich gleichmäßig entlang der x-Achse. Im Anfangsmoment befand es sich am Koordinatenursprung, und die Projektion seiner Geschwindigkeit war gleich 8 m/s. Nach 2 s wurde die Koordinate des Körpers gleich 12 m.
a) Wie groß ist die Projektion der Beschleunigung des Körpers?
b) Zeichnen Sie v x (t).
c) Schreiben Sie eine Formel, die die Abhängigkeit x(t) in SI-Einheiten ausdrückt.
d) Wird die Geschwindigkeit des Körpers Null sein? Wenn ja, zu welchem ​​Zeitpunkt?
e) Wird der Körper den Punkt mit der Koordinate 12 m ein zweites Mal besuchen? Wenn ja, zu welchem ​​Zeitpunkt?
f) Wird der Körper zum Ausgangspunkt zurückkehren? Wenn ja, zu welchem ​​Zeitpunkt und wie lang wird die zurückgelegte Strecke sein?

16. Nach dem Stoß rollt die Kugel die schiefe Ebene hinauf und kehrt dann zum Ausgangspunkt zurück. In einem Abstand b vom Startpunkt besuchte der Ball zweimal in den Zeitintervallen t 1 und t 2 nach dem Stoß. Auf und ab entlang der schiefen Ebene bewegte sich die Kugel mit dem gleichen Beschleunigungsmodulo.
a) Richten Sie die x-Achse entlang der schiefen Ebene nach oben, wählen Sie den Ursprung am Punkt der Anfangsposition der Kugel und schreiben Sie eine Formel, die die x(t)-Abhängigkeit ausdrückt, die den Betrag der Anfangsgeschwindigkeit der Kugel v0 und die enthält Modul der Ballbeschleunigung a.
b) Stellen Sie mit dieser Formel und der Tatsache, dass sich der Ball zu den Zeitpunkten t 1 und t 2 im Abstand b vom Startpunkt befand, ein System aus zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten v 0 und a auf.
c) Nachdem Sie dieses Gleichungssystem gelöst haben, drücken Sie v 0 und a bis b, t 1 und t 2 aus.
d) Drücken Sie den gesamten von der Kugel zurückgelegten Weg l durch b, t 1 und t 2 aus.
e) Finden Sie die Zahlenwerte v 0 , a und l bei b = 30 cm, t 1 = 1s, t 2 = 2 s.
f) Plotten Sie v x (t), s x (t), l(t) Abhängigkeiten.
g) Verwenden Sie die Darstellung von sx(t), um den Moment zu bestimmen, in dem der Verschiebungsmodul der Kugel maximal war.