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Eine irrationale Gleichung ist jede Gleichung, die eine Funktion unter dem Wurzelzeichen enthält. Zum Beispiel:

Solche Gleichungen werden immer in 3 Schritten gelöst:

1. Trennen Sie die Wurzel. Das heißt, wenn neben der Wurzel noch weitere Zahlen oder Funktionen links vom Gleichheitszeichen stehen, muss das alles durch Vorzeichenwechsel nach rechts verschoben werden. Dabei soll nur das Radikal links bleiben – ohne Koeffizienten.
2. 2. Wir quadrieren beide Seiten der Gleichung. Denken Sie gleichzeitig daran, dass der Bereich der Wurzel alle nicht negativen Zahlen sind. Daher die rechte Funktion irrationale Gleichung muss auch nichtnegativ sein: g (x) ≥ 0.
3. Der dritte Schritt folgt logisch aus dem zweiten: Sie müssen eine Überprüfung durchführen. Tatsache ist, dass wir im zweiten Schritt zusätzliche Wurzeln haben könnten. Und um sie abzuschneiden, muss man die resultierenden Kandidatenzahlen in die ursprüngliche Gleichung einsetzen und prüfen: Wird wirklich die richtige numerische Gleichheit erreicht?

Lösen einer irrationalen Gleichung

Befassen wir uns mit unserer irrationalen Gleichung, die ganz am Anfang der Lektion gegeben wurde. Hier ist die Wurzel bereits abgeschlossen: Links vom Gleichheitszeichen steht nichts als die Wurzel. Lassen Sie uns beide Seiten quadrieren:

2x 2 - 14x + 13 = (5 - x) 2
2x2 - 14x + 13 = 25 - 10x + 2x
x 2 - 4x - 12 = 0

Wir lösen die resultierende quadratische Gleichung durch die Diskriminante:

D = b 2 − 4ac = (−4) 2 − 4 1 (−12) = 16 + 48 = 64
x1 = 6; x 2 \u003d -2

Es bleibt nur übrig, diese Zahlen in der ursprünglichen Gleichung zu ersetzen, d.h. eine Kontrolle durchführen. Aber auch hier können Sie das Richtige tun, um die endgültige Entscheidung zu vereinfachen.

Wie man die Entscheidung vereinfacht

Überlegen wir einmal: Warum prüfen wir überhaupt am Ende der Lösung einer irrationalen Gleichung? Wir möchten sicherstellen, dass beim Ersetzen unserer Wurzeln rechts vom Gleichheitszeichen eine nicht negative Zahl steht. Schließlich wissen wir bereits sicher, dass es sich links um eine nicht-negative Zahl handelt, denn die arithmetische Quadratwurzel (weshalb unsere Gleichung als irrational bezeichnet wird) kann per Definition nicht kleiner als Null werden.

Daher müssen wir nur prüfen, ob die Funktion g ( x ) = 5 − x , die rechts vom Gleichheitszeichen steht, nicht negativ ist:

g(x) ≥ 0

Wir setzen unsere Wurzeln in diese Funktion ein und erhalten:

g (x 1) \u003d g (6) \u003d 5 - 6 \u003d -1< 0
g (x 2) = g (−2) = 5 − (−2) = 5 + 2 = 7 > 0

Aus den erhaltenen Werten folgt, dass die Wurzel x 1 = 6 nicht zu uns passt, da wir beim Einsetzen auf die rechte Seite der ursprünglichen Gleichung eine negative Zahl erhalten. Aber die Wurzel x 2 \u003d −2 ist für uns gut geeignet, weil:

1. Diese Wurzel ist die Lösung der quadratischen Gleichung, die durch Erhöhen beider Seiten erhalten wird irrationale Gleichung in ein Quadrat.
2. Die rechte Seite der ursprünglichen irrationalen Gleichung wird, wenn die Wurzel x 2 = −2 eingesetzt wird, zu einer positiven Zahl, d. h. der Bereich der arithmetischen Wurzel wird nicht verletzt.

Das ist der ganze Algorithmus! Wie Sie sehen können, ist das Lösen von Gleichungen mit Radikalen nicht so schwierig. Die Hauptsache ist, nicht zu vergessen, die empfangenen Wurzeln zu überprüfen, da es sonst sehr wahrscheinlich ist, dass zusätzliche Antworten erhalten werden.

Lösung irrationaler Gleichungen.

In diesem Artikel werden wir über Lösungsmöglichkeiten sprechen die einfachsten irrationalen Gleichungen.

Irrationale Gleichung eine Gleichung genannt, die die Unbekannte unter dem Vorzeichen der Wurzel enthält.

Schauen wir uns zwei Arten an irrationale Gleichungen, die auf den ersten Blick sehr ähnlich sind, sich aber in Wirklichkeit stark voneinander unterscheiden.

(1)

(2)

In der ersten Gleichung wir sehen, dass das Unbekannte unter dem Zeichen der Wurzel dritten Grades steht. Wir können aus einer negativen Zahl eine ungerade Wurzel ziehen, daher gibt es in dieser Gleichung weder für den Ausdruck unter dem Wurzelzeichen noch für den Ausdruck auf der rechten Seite der Gleichung Einschränkungen. Wir können beide Seiten der Gleichung in die dritte Potenz erheben, um die Wurzel loszuwerden. Wir erhalten eine äquivalente Gleichung:

Wenn wir die rechte und die linke Seite der Gleichung zu einer ungeraden Potenz erheben, können wir keine Angst haben, fremde Wurzeln zu bekommen.

Beispiel 1. Lösen wir die Gleichung

Lassen Sie uns beide Seiten der Gleichung in die dritte Potenz erheben. Wir erhalten eine äquivalente Gleichung:

Lassen Sie uns alle Terme in eine Richtung verschieben und x aus Klammern entfernen:

Wir setzen jeden Faktor gleich Null, wir erhalten:

Antwort: (0;1;2)

Schauen wir uns die zweite Gleichung genauer an: . Auf der linken Seite der Gleichung befindet sich die Quadratwurzel, die nur nicht negative Werte annehmen kann. Damit die Gleichung Lösungen hat, muss daher auch die rechte Seite nicht negativ sein. Daher wird der rechten Seite der Gleichung folgende Bedingung auferlegt:

Title="(!LANG:g(x)>=0"> - это !} die Bedingung für die Existenz von Wurzeln.

Um eine solche Gleichung zu lösen, müssen Sie beide Seiten der Gleichung quadrieren:

(3)

Das Quadrieren kann fremde Wurzeln einführen, also brauchen wir Gleichungen:

Title="(!LANG:f(x)>=0"> (4)!}

Die Ungleichung (4) folgt jedoch aus Bedingung (3): Wenn die rechte Seite der Gleichheit das Quadrat eines Ausdrucks ist und das Quadrat eines beliebigen Ausdrucks nur nicht negative Werte annehmen kann, dann muss die linke Seite auch nicht sein. Negativ. Daher folgt Bedingung (4) automatisch aus Bedingung (3) und unserer Die gleichung entspricht dem System:

Title="(!LANG:delim(lbrace)(matrix(2)(1)((f(x)=g^2((x))) (g(x)>=0) ))( )">!}

Beispiel 2 . Lösen wir die Gleichung:

.

Kommen wir zu einem äquivalenten System:

Title="(!LANG:delim(lbrace)(matrix(2)(1)((2x^2-7x+5=((1-x))^2) (1-x>=0) ))( )">!}

Wir lösen die erste Gleichung des Systems und prüfen, welche Wurzeln die Ungleichung erfüllen.

Ungleichheit title="(!LANG:1-x>=0">удовлетворяет только корень !}

Antwort: x=1

Aufmerksamkeit! Wenn wir beim Lösen beide Seiten der Gleichung quadrieren, müssen wir uns daran erinnern, dass Fremdwurzeln auftreten können. Daher müssen Sie entweder zu einem äquivalenten System wechseln oder am Ende der Lösung EINE ÜBERPRÜFUNG MACHEN: Finden Sie die Wurzeln und setzen Sie sie in die ursprüngliche Gleichung ein.

Beispiel 3. Lösen wir die Gleichung:

Um diese Gleichung zu lösen, müssen wir auch beide Seiten quadrieren. Kümmern wir uns nicht um die ODZ und die Bedingung für das Vorhandensein von Wurzeln in dieser Gleichung, sondern überprüfen einfach am Ende der Lösung.

Lassen Sie uns beide Seiten der Gleichung quadrieren:

Verschieben Sie den Begriff mit der Wurzel nach links und alle anderen Begriffe nach rechts:

Lassen Sie uns beide Seiten der Gleichung noch einmal quadrieren:

Laut Vieta Terme:

Machen wir einen Check. Dazu setzen wir die gefundenen Wurzeln in die ursprüngliche Gleichung ein. Offensichtlich ist für die rechte Seite der ursprünglichen Gleichung negativ, während die linke Seite positiv ist.

Wenn wir die richtige Gleichheit bekommen.

Zusammenfassung der Lektion

"Methoden zum Lösen irrationaler Gleichungen"

11. Klasse des physikalischen und mathematischen Profils.

Stadtbezirk Zelenodolsky der Republik Tatarstan

Valieva S.Z.

Unterrichtsthema: Methoden zum Lösen irrationaler Gleichungen

Das Ziel des Unterrichts: 1. Untersuchen Sie verschiedene Möglichkeiten, irrationale Gleichungen zu lösen.

1. 
   Entwickeln Sie die Fähigkeit, Methoden zur Lösung irrationaler Gleichungen zu verallgemeinern und richtig auszuwählen.
2. 
   Unabhängigkeit entwickeln, Sprachkompetenz erziehen

Unterrichtsart: Seminar.
Unterrichtsplan:

1. 
   Zeit organisieren
2. 
   Neues Material lernen
3. 
   Verankerung
4. 
   Hausaufgaben
5. 
   Zusammenfassung der Lektion

Während des Unterrichts
ich. Organisationszeit: die Botschaft des Themas der Lektion, der Zweck der Lektion.

In der vorherigen Lektion haben wir darüber nachgedacht, irrationale Gleichungen mit Quadratwurzeln zu lösen, indem wir sie quadrieren. In diesem Fall erhalten wir eine Konsequenzgleichung, die manchmal zum Auftreten von Fremdwurzeln führt. Und dann ist ein obligatorischer Teil der Lösung der Gleichung die Überprüfung der Wurzeln. Wir haben auch überlegt, Gleichungen mit der Definition einer Quadratwurzel zu lösen. In diesem Fall kann die Prüfung entfallen. Beim Lösen von Gleichungen ist es jedoch nicht immer erforderlich, sofort mit der „blinden“ Anwendung von Algorithmen zum Lösen der Gleichung fortzufahren. In den Aufgaben des Einheitlichen Staatsexamens gibt es eine ganze Reihe von Gleichungen, bei deren Lösung es notwendig ist, eine Lösungsmethode zu wählen, mit der Sie die Gleichungen einfacher und schneller lösen können. Daher ist es notwendig, andere Methoden zum Lösen irrationaler Gleichungen zu kennen, mit denen wir uns heute vertraut machen werden. Zuvor wurde die Klasse in 8 kreative Gruppen eingeteilt und ihnen wurden spezifische Beispiele gegeben, um die Essenz einer bestimmten Methode zu enthüllen. Wir geben ihnen ein Wort.

II. Neues Material lernen.

Aus jeder Gruppe erklärt 1 Schüler den Kindern, wie man irrationale Gleichungen löst. Die ganze Klasse hört zu und macht sich Notizen zu ihrer Geschichte.

1 Weg. Einführung einer neuen Variablen.

Löse die Gleichung: (2x + 3) 2 - 3

4x 2 + 12x + 9 - 3

4x 2 - 8x - 51 - 3

, t ≥0

x 2 - 2x - 6 \u003d t 2;

4t 2 – 3t – 27 = 0

x 2 - 2x - 15 \u003d 0

x 2 - 2x - 6 \u003d 9;

Antwort: -3; 5.

2-Wege. ODZ-Forschung.

löse die Gleichung

ODZ:


x \u003d 2. Durch Überprüfung stellen wir sicher, dass x \u003d 2 die Wurzel der Gleichung ist.

3 Wege. Multiplizieren beider Seiten der Gleichung mit dem konjugierten Faktor.

+
(beide Seiten multiplizieren mit -
)

x + 3 - x - 8 \u003d 5 (-)

2=4, also x=1. Durch Überprüfung sind wir davon überzeugt, dass x \u003d 1 die Wurzel dieser Gleichung ist.

4 Wege. Reduktion einer Gleichung auf ein System durch Einführung einer Variablen.

löse die Gleichung

Sei = u,
=v.

Wir bekommen das System:

Lassen Sie uns mit der Substitutionsmethode lösen. Wir erhalten u = 2, v = 2. Daher gilt

wir bekommen x = 1.

Antwort: x = 1.

5 Wege. Auswahl eines vollen Quadrats.

löse die Gleichung

Lassen Sie uns die Module öffnen. Da -1≤cos0.5x≤1, dann -4≤cos0.5x-3≤-2, also . Ebenfalls,

Dann erhalten wir die Gleichung

x = 4πn, nZ.

Antwort: 4πn, nZ.

6 Wege. Bewertungsmethode

löse die Gleichung

ODZ: x 3 - 2x 2 - 4x + 8 ≥ 0, per Definition die rechte Seite -x 3 + 2x 2 + 4x - 8 ≥ 0

wir bekommen
diese. x 3 - 2x 2 - 4x + 8 = 0. Wenn wir die Gleichung durch Faktorisieren lösen, erhalten wir x = 2, x = -2

Methode 7: Verwendung der Eigenschaften der Monotonie von Funktionen.

Löse die Gleichung. Die Funktionen sind streng steigend. Die Summe steigender Funktionen wächst und diese Gleichung hat höchstens eine Wurzel. Durch Selektion finden wir x = 1.

8 Wege. Verwendung von Vektoren.

Löse die Gleichung. ODZ: -1≤х≤3.

Lassen Sie den Vektor
. Das Skalarprodukt von Vektoren ist die linke Seite. Finden wir das Produkt ihrer Längen. Dies ist die rechte Seite. Habe
, d.h. Vektoren a und b sind kollinear. Von hier
. Lassen Sie uns beide Seiten quadrieren. Wenn wir die Gleichung lösen, erhalten wir x \u003d 1 und x \u003d
.

1. 
   Konsolidierung.(Jeder Schüler bekommt ein Arbeitsblatt)

Mündliche Frontarbeit

Finden Sie eine Idee zum Lösen der Gleichungen (1-10)

1.
(ODZ - )

2.
x = 2

3. x 2 - 3x +
(Ersatz)

4. (Auswahl eines ganzen Quadrats)

5.
(Reduzierung einer Gleichung auf ein System durch Einführung einer Variablen.)

6.
(durch Multiplikation mit dem adjungierten Ausdruck)

7.
Weil
. Diese Gleichung hat keine Wurzeln.

8. Weil jeder Term nichtnegativ ist, setzen wir sie mit Null gleich und lösen das System.

9. 3

10. Finden Sie die Wurzel der Gleichung (oder das Produkt der Wurzeln, falls es mehrere gibt) der Gleichung.

Schriftliche selbstständige Arbeit mit anschließender Prüfung

Lösen Sie die Gleichungen mit den Nummern 11,13,17,19

Gleichungen lösen:

12. (x + 6) 2 -

14.

Bewertungsmethode

Verwendung der Eigenschaften der Monotonie von Funktionen.

Verwendung von Vektoren.

1. 
   Welche dieser Methoden werden verwendet, um andere Arten von Gleichungen zu lösen?
2. 
   Welche dieser Methoden hat dir am besten gefallen und warum?

1. 
   Hausaufgabe: Lösen Sie die restlichen Gleichungen.

Referenzliste:

1. 
   Algebra und der Beginn der mathematischen Analyse: Lehrbuch. für 11 Zellen. Allgemeinbildung Institutionen / S. M. Nikolsky, M. K. Potapov, N. N. Reshetnikov, A. V. Shevkin. M: Aufklärung, 2009

1. 
   Didaktische Materialien zu Algebra und Analysisprinzipien für die 11. Klasse /B.M. Ivlev, S.M. Sahakyan, S.I. Schwarzburg. – M.: Aufklärung, 2003.
2. 
   Mordkovich A. G. Algebra und die Anfänge der Analysis. 10 - 11 Zellen: Aufgabenheft für die Allgemeinbildung. Institutionen. – M.: Mnemosyne, 2000.
3. 
   Ershova A.P., Goloborodko V.V. Unabhängige und kontrollierte Arbeit zu Algebra und Analyseprinzipien für die Klassen 10-11. – M.: Ileksa, 2004
4. 
   KIM VERWENDUNG 2002 - 2010

6. Algebraischer Simulator. A. G. Merzlyak, V. B. Polonsky, M. S. Yakir. Handbuch für Schüler und Einsteiger. Moskau.: "Ileksa" 2001.
7. Gleichungen und Ungleichungen. Nicht standardmäßige Lösungsmethoden. Pädagogisch - methodisches Handbuch. 10 - 11 Klassen. S. N. Oleinik, M. K. Potapov, P. I. Pasichenko. Moskau. "Trappe". 2001

Gleichungen, in denen eine Variable unter dem Vorzeichen der Wurzel steht, heißen irrational.

Methoden zur Lösung irrationaler Gleichungen basieren in der Regel auf der Möglichkeit, eine irrationale Gleichung (mit Hilfe einiger Transformationen) durch eine rationale Gleichung zu ersetzen, die entweder der ursprünglichen irrationalen Gleichung entspricht oder deren Folge ist. Meistens werden beide Seiten der Gleichung gleich potenziert. In diesem Fall wird eine Gleichung erhalten, die eine Folge der ursprünglichen ist.

Beim Lösen irrationaler Gleichungen ist Folgendes zu beachten:

1) Wenn der Wurzelindex eine gerade Zahl ist, muss der Wurzelausdruck nicht negativ sein; der Wert der Wurzel ist ebenfalls nicht negativ (die Definition einer Wurzel mit einem geraden Exponenten);

2) wenn der Wurzelindex eine ungerade Zahl ist, dann kann der Wurzelausdruck jede reelle Zahl sein; in diesem Fall ist das Vorzeichen der Wurzel dasselbe wie das Vorzeichen des Wurzelausdrucks.

Beispiel 1 löse die Gleichung

Lassen Sie uns beide Seiten der Gleichung quadrieren.
x 2 - 3 \u003d 1;
Wir übertragen -3 von der linken Seite der Gleichung auf die rechte Seite und führen die Reduktion ähnlicher Terme durch.
x 2 \u003d 4;
Die resultierende unvollständige quadratische Gleichung hat zwei Wurzeln -2 und 2.

Lassen Sie uns die erhaltenen Wurzeln überprüfen, dazu werden wir die Werte der Variablen x in die ursprüngliche Gleichung einsetzen.
Untersuchung.
Wenn x 1 \u003d -2 - wahr:
Wenn x 2 \u003d -2- wahr ist.
Daraus folgt, dass die ursprüngliche irrationale Gleichung zwei Wurzeln hat -2 und 2.

Beispiel 2 löse die Gleichung .

Diese Gleichung kann mit der gleichen Methode wie im ersten Beispiel gelöst werden, aber wir werden es anders machen.

Lassen Sie uns die ODZ dieser Gleichung finden. Aus der Definition der Quadratwurzel folgt, dass in dieser Gleichung zwei Bedingungen gleichzeitig erfüllt sein müssen:

ODZ der gegebenen Gleichung: x.

Antwort: keine Wurzeln.

Beispiel 3 löse die Gleichung =+ 2.

Das Auffinden der ODZ in dieser Gleichung ist eine ziemlich schwierige Aufgabe. Lassen Sie uns beide Seiten der Gleichung quadrieren:
x 3 + 4x - 1 - 8= x 3 - 1 + 4+ 4x;
=0;
x 1 = 1; x2=0.
Nach der Überprüfung stellen wir fest, dass x 2 \u003d 0 eine zusätzliche Wurzel ist.
Antwort: x 1 \u003d 1.

Beispiel 4 Lösen Sie die Gleichung x =.

In diesem Beispiel ist die ODZ einfach zu finden. ODZ dieser Gleichung: x[-1;).

Lassen Sie uns beide Seiten dieser Gleichung quadrieren, als Ergebnis erhalten wir die Gleichung x 2 \u003d x + 1. Die Wurzeln dieser Gleichung:

Es ist schwierig, die gefundenen Wurzeln zu überprüfen. Aber trotz der Tatsache, dass beide Wurzeln zur ODZ gehören, ist es unmöglich zu behaupten, dass beide Wurzeln die Wurzeln der ursprünglichen Gleichung sind. Dies führt zu einem Fehler. In diesem Fall entspricht die irrationale Gleichung der Kombination zweier Ungleichungen und einer Gleichung:

x+10 und x0 und x 2 \u003d x + 1, woraus folgt, dass die negative Wurzel für die irrationale Gleichung irrelevant ist und verworfen werden muss.

Beispiel 5 . Lösen Sie die Gleichung += 7.

Lassen Sie uns beide Seiten der Gleichung quadrieren und die Reduktion ähnlicher Terme durchführen, die Terme von einem Teil der Gleichung auf den anderen übertragen und beide Teile mit 0,5 multiplizieren. Als Ergebnis erhalten wir die Gleichung
= 12, (*) was eine Folge der ursprünglichen ist. Lassen Sie uns beide Seiten der Gleichung noch einmal quadrieren. Wir erhalten die Gleichung (x + 5) (20 - x) = 144, die eine Folge der ursprünglichen ist. Die resultierende Gleichung wird auf die Form x 2 - 15x + 44 = 0 reduziert.

Diese Gleichung (die auch eine Folge der ursprünglichen ist) hat Wurzeln x 1 \u003d 4, x 2 \u003d 11. Beide Wurzeln erfüllen, wie der Test zeigt, die ursprüngliche Gleichung.

Rep. x 1 = 4, x 2 = 11.

Kommentar. Beim Quadrieren von Gleichungen multiplizieren Schüler in Gleichungen vom Typ (*) häufig die Wurzelausdrücke, d.h. statt der Gleichung = 12 schreiben sie die Gleichung = 12. Dies führt nicht zu Fehlern, da die Gleichungen Folgen der Gleichungen sind. Es ist jedoch zu beachten, dass eine solche Multiplikation von Radikalausdrücken im allgemeinen nicht äquivalente Gleichungen ergibt.

In den oben diskutierten Beispielen war es möglich, zunächst einen der Reste auf die rechte Seite der Gleichung zu übertragen. Dann verbleibt ein Radikal auf der linken Seite der Gleichung, und nach dem Quadrieren beider Seiten der Gleichung wird eine rationale Funktion auf der linken Seite der Gleichung erhalten. Diese Technik (Einsamkeit des Radikals) wird häufig beim Lösen irrationaler Gleichungen verwendet.

Beispiel 6. Löse Gleichung-= 3.

Nachdem wir das erste Radikal isoliert haben, erhalten wir die Gleichung
=+ 3, was dem Original entspricht.

Wenn wir beide Seiten dieser Gleichung quadrieren, erhalten wir die Gleichung

x 2 + 5x + 2 = x 2 - 3x + 3 + 6, was der Gleichung entspricht

4x - 5 = 3(*). Diese Gleichung ist eine Folge der ursprünglichen Gleichung. Wenn wir beide Seiten der Gleichung quadrieren, kommen wir zur Gleichung
16x 2 - 40x + 25 \u003d 9 (x 2 - Zx + 3) oder

7x2 - 13x - 2 = 0.

Diese Gleichung ist eine Folge der Gleichung (*) (und damit der ursprünglichen Gleichung) und hat Wurzeln. Die erste Wurzel x 1 = 2 erfüllt die ursprüngliche Gleichung, die zweite x 2 =- nicht.

Antwort: x = 2.

Beachten Sie, dass wir, wenn wir sofort, ohne eines der Radikale zu isolieren, beide Teile der ursprünglichen Gleichung quadrieren würden, ziemlich umständliche Transformationen durchführen müssten.

Beim Lösen irrationaler Gleichungen werden neben der Isolierung von Radikalen auch andere Methoden verwendet. Betrachten Sie ein Beispiel für die Verwendung der Methode zum Ersetzen des Unbekannten (die Methode zum Einführen einer Hilfsvariablen).